函数模型的应用实例
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函数模型的应用实例（02）
厦门双十中学 林敬松
1． 教材的地位与作用：
我们已经学习了函数的概念、性质，以及一次、二次、指数、对数等基本的初等函数模型，知道它们可以用来刻划现实世界中不同的变化规律。函数模型的研究是培养学生用数学的眼光理性地观察生活。了解函数模型的广泛应用，初步认识数学的科学价值，应用价值与文化价值，发展理性思维。
2． 教材分析
(1)函数应用分三个层次，第一层次是能用函数刻划现实生活的问题；第二层次是会进行数学模型的套用；第三层次是会进行简单的数学建模。本节以“指数模型”为主，重点分析数学建模的过程，通过学生动手操作，模仿，参与解决实际问题，体验从实际问题中抽象数学关系的方法，从而感受函数的应用价值。
(2)本节的重点是学习建模的整个过程，难点是对模型的检验。
3． 教学支持条件（学情分析）和教法：
（1）学生解决应用问题的主要困难在于生活经验不足；阅读和理解文字的能力不足；缺少对问题分析的方法和技巧。因此，应用问题的教学宜采用慢节拍、小步骤的方式，循序渐进，由易到难，通过建模过程的探索，体验成功，树立信心。
(2)信息技术的引进，各学科教学和实践中，培养出同学较强的excel数据处理的能力，为本节例题采用生活中的原始数据，体会“原滋原味”的数学应用题提供了可能。
四．教学问题的诊断与分析
(1)课本例4“人口问题”中关于平均增长率有疑问，所以设置“问题1和2”，提出生活中用“增长率的平均数”代替“平均增长率”的依据。
(2)“问题1”，同学会误将平均增长率认为是0.2,通过比较分析找原因，建立“平均增长率”正确求法
(3)“问题2”要指出“增长率的平均数”与“平均增长率”的差别和联系.
(4)“问题3”的模型检验是难点，且方法多样，所以采用讨论式教学。
五.教学设计
厦门同安湾的一处河道的情景
英文名：Water Hyacinth；中文异名：凤眼蓝、水葫芦
生物学特性：多年生草本，浮水或生泥沼中。繁殖方式以无性为主，依靠匍匐枝与母株分离方式，植株数量可在5天内增加1倍。
原产地：巴西东北部；先分布于全世界温暖地区。
引入扩散原因和危害：1901年从日本引入台湾作花卉，20世纪50年代作为猪饲料推广后大量逸生，堵塞河道，影响航运、排灌和水产品养殖；破坏水生生态系统，威胁本地生物多样性；吸附重金属等有害物质，死亡后沉入水底，构成对水质的二次污染；覆盖水面，影响生活用水；滋生蚊蝇。
意图：通过学生熟悉的身边事物中蕴藏的数学问题,激发学生的学习兴趣.
问题1.造成这么大的危害的根本原因是什么呢？
繁殖方式与速度
水葫芦的繁殖方式以无性为主，依靠匍匐枝与母株分离方式，植株数量经过5天增加1倍。
意图：感受特殊到一般的研究方法
列举感受繁殖速度：
解：假设水葫芦原有面积为1平方米，x天后的水葫芦面积为f(x)平方米。
5天后
10天后
15天后
…
x天后
师问：用此模型探究一年后水葫芦的面积达到多少？
同学计算：f(365)=
意图：生物在理想条件（生存空间无限大，食物充足又无天敌等）下，种群增长是以指数型（）爆炸式生长（生物学上叫“J”型增长）。
归纳板书：理想条件，生物种群以模型增长。
师问：是否我们要拒绝一切的外来物种呢？
生答：不一定，那些没有危害的物种可以引进。
师问：怎么判断有无危害呢？
经过思考回答：可以事先开辟一个小型的实验地进行培育，并收集生长的数据，进行数学分析后，对此物种的引进作出科学的判断。
意图：渗透辨证思维。培养数学实验的意识。
师问：水葫芦平均每天的增长率是多少
估计生答：0.2
那么假设原来有水葫芦的面积为1平方米,每天比前一天增长0.2,则x天后的面积有多少平方米呢
第1天 1
第2天（1天后）
第3天（2天后）
…
第x+1天（x天后）
提出疑问：为什么建立的两个模型数据不一样呢？
通过观察，问题出在“平均增长率的估计上”
师问：那么我们到底该怎么计算“平均增长率呢？”
通过研究发现：
板书：方程思想求平均增长：。
a.b分别表示第一次观测点和最后一次观测点的数据。
问题2：已知某厂在2001年的产量为1，且2002年，2003年，2004年产量的年增长率分别为a,b,c。
（1）求2004年的厂量；（2）求这三年的年平均增长率.
解：（1）年份 产量
2001年 1
2002年
2003年
2004年
所以2004年的产量产量为
（2）估计学生计算：年平均增长率=；
又有学生设年平均增长率为x，则由问题1知
=，解得：增长率的平均数=
哪一个是正确的呢？
生答：第2种，
师问：那我们给第一种起个名称
生答：增长率的平均数
师问：它们在什么情况下会相等呢？
生答：a=b=c，
师问：如果a,b,c很接近时，这两者值关系怎样呢？
生答：也很接近。
意图：巩固增长率的算法，正确认识平均增长率，为问题3作好铺垫.
板书：若表示第一年到第n年的增长率，
年平均增长率为；增长率的平均数=
问题3：人口问题是当今世界各国普遍关注的问题。认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出自然状态下的人口增长模型：。
其中t表示经过的时间，表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率。
下表是1950至1959年我国人口数据资料：
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数(万人) 55196 56300 57482 60266 61456 62828 64563 65563 65994 67207
(1) 如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立在我国这一时期的具体人口增长模型，并检验所得的模型与实际数据是否相符；
(2) 如果按上表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
解：
年份 时间 人口数 各年的年增长率
1950 0 55196
1951 1 56300 0.0200
1952 2 57482 0.0210
1953 3 58796 0.0229
1954 4 60266 0.0250
1955 5 61456 0.0197
1956 6 62828 0.0223
1957 7 64563 0.0276
1958 8 65994 0.0222
1959 9 67207 0.0184
算得：r=; 数学理论平均增长率=
意图：感受平均增长率与增长率的区别与联系，并提出在现实生活中，常常用“增长率的平均数”代替“平均增长率”的原因是每年或每月的增长率比较接近.
所以我国在1950至1959年期间的人口增长模型为
师问：为什么要对1798年提出的模型进行检验？
意图：培养与时俱进的科学发展观，和敢于权威的科学精神，科学就是在质疑进步的。
下面由同学分组讨论后，提出检验的方法。
方法1：根据数据作出散点图，并作出函数的图象，此图散点图与图象基本吻合。
师说明：由于数据比较大，图象上细微的差别可能会有成百上千万的差别，指出“形少数时难入微”。
方法2：将已知时间代入拟合模型，求出值，将原始数据与模型数据进行比较.
年份 时间 人口数 各年增长率 模型 模型与实际差的绝对值
1950 0 55196 55196 0
1951 1 56300 0.0200 56429.4 129.4
1952 2 57482 0.0210 57690.4 208.4
1953 3 58796 0.0229 58979.5 183.5
1954 4 60266 0.0250 60297.5 31.5
1955 5 61456 0.0197 61644.9 188.9
1956 6 62828 0.0223 63022.4 194.4
1957 7 64563 0.0276 64430.7 132.3
1958 8 65994 0.0222 65870.5 123.5
1959 9 67207 0.0184 67342.4 135.4
意图：此方法的思想比较接近“最小二乘法原理”，请同学课后到图书馆或网上“最小二乘法原理”。引导学生自主学习。
在误差允许的范围内，此模型基本与数据吻合。
（2）将y=130000代入，解得：。
所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已经达到13亿。
师问：可是我国13亿人口日却是哪一天呢？
生答：2004年1月6日。
师问：这是为什么呢？
生答：计划生育的政策。
意图：（1）说明计划生育政策在现阶段的必须性，如果不实行计划生育，而让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力。
（2）由于各种因素的变化，我们在某一时期得到的函数模型可能无法长期使用，即可能在不同时期要对模型进行修正。
（3）归纳建模的过程的过程
实习作业:4个同学组成一个小组，请从网上收集从1980年到2004年我国的人口数据，并研究我国人口的变化规律。下节课请同学展示自己的结论。
意图：应用所学知识，并提出种群繁殖的“先指数后对数”的模型，即生物学上的“S”形增长。
课后反思：新课程中的应用题的数据都比较原始，对信息技术的要求比较高，确实达到老师与同学在新课程中共同成长的目的。当然计算机如果可以进入高考的考场，我想老师和同学的学习热情将会更高。
分析数据，作出散点图
选择函数模型
求函数模型
符合
不
符
合
实
际
解释现实或预测未来
检验
收集数据
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函数模型的应用实例（02）
厦门双十中学 林敬松
1． 教材的地位与作用：
我们已经学习了函数的概念、性质，以及一次、二次、指数、对数等基本的初等函数模型，知道它们可以用来刻划现实世界中不同的变化规律。函数模型的研究是培养学生用数学的眼光理性地观察生活。了解函数模型的广泛应用，初步认识数学的科学价值，应用价值与文化价值，发展理性思维。
2． 教材分析
(1)函数应用分三个层次，第一层次是能用函数刻划现实生活的问题；第二层次是会进行数学模型的套用；第三层次是会进行简单的数学建模。本节以“指数模型”为主，重点分析数学建模的过程，通过学生动手操作，模仿，参与解决实际问题，体验从实际问题中抽象数学关系的方法，从而感受函数的应用价值。
(2)本节的重点是学习建模的整个过程，难点是对模型的检验。
3． 教学支持条件（学情分析）和教法：
（1）学生解决应用问题的主要困难在于生活经验不足；阅读和理解文字的能力不足；缺少对问题分析的方法和技巧。因此，应用问题的教学宜采用慢节拍、小步骤的方式，循序渐进，由易到难，通过建模过程的探索，体验成功，树立信心。
(2)信息技术的引进，各学科教学和实践中，培养出同学较强的excel数据处理的能力，为本节例题采用生活中的原始数据，体会“原滋原味”的数学应用题提供了可能。
四．教学问题的诊断与分析
(1)课本例4“人口问题”中关于平均增长率有疑问，所以设置“问题1和2”，提出生活中用“增长率的平均数”代替“平均增长率”的依据。
(2)“问题1”，同学会误将平均增长率认为是0.2,通过比较分析找原因，建立“平均增长率”正确求法
(3)“问题2”要指出“增长率的平均数”与“平均增长率”的差别和联系.
(4)“问题3”的模型检验是难点，且方法多样，所以采用讨论式教学。
五.教学设计
厦门同安湾的一处河道的情景
英文名：Water Hyacinth；中文异名：凤眼蓝、水葫芦
生物学特性：多年生草本，浮水或生泥沼中。繁殖方式以无性为主，依靠匍匐枝与母株分离方式，植株数量可在5天内增加1倍。
原产地：巴西东北部；先分布于全世界温暖地区。
引入扩散原因和危害：1901年从日本引入台湾作花卉，20世纪50年代作为猪饲料推广后大量逸生，堵塞河道，影响航运、排灌和水产品养殖；破坏水生生态系统，威胁本地生物多样性；吸附重金属等有害物质，死亡后沉入水底，构成对水质的二次污染；覆盖水面，影响生活用水；滋生蚊蝇。
意图：通过学生熟悉的身边事物中蕴藏的数学问题,激发学生的学习兴趣.
问题1.造成这么大的危害的根本原因是什么呢？
繁殖方式与速度
水葫芦的繁殖方式以无性为主，依靠匍匐枝与母株分离方式，植株数量经过5天增加1倍。
意图：感受特殊到一般的研究方法
列举感受繁殖速度：
解：假设水葫芦原有面积为1平方米，x天后的水葫芦面积为f(x)平方米。
5天后
10天后
15天后
…
x天后
师问：用此模型探究一年后水葫芦的面积达到多少？
同学计算：f(365)=
意图：生物在理想条件（生存空间无限大，食物充足又无天敌等）下，种群增长是以指数型（）爆炸式生长（生物学上叫“J”型增长）。
归纳板书：理想条件，生物种群以模型增长。
师问：是否我们要拒绝一切的外来物种呢？
生答：不一定，那些没有危害的物种可以引进。
师问：怎么判断有无危害呢？
经过思考回答：可以事先开辟一个小型的实验地进行培育，并收集生长的数据，进行数学分析后，对此物种的引进作出科学的判断。
意图：渗透辨证思维。培养数学实验的意识。
师问：水葫芦平均每天的增长率是多少
估计生答：0.2
那么假设原来有水葫芦的面积为1平方米,每天比前一天增长0.2,则x天后的面积有多少平方米呢
第1天 1
第2天（1天后）
第3天（2天后）
…
第x+1天（x天后）
提出疑问：为什么建立的两个模型数据不一样呢？
通过观察，问题出在“平均增长率的估计上”
师问：那么我们到底该怎么计算“平均增长率呢？”
通过研究发现：
板书：方程思想求平均增长：。
a.b分别表示第一次观测点和最后一次观测点的数据。
问题2：已知某厂在2001年的产量为1，且2002年，2003年，2004年产量的年增长率分别为a,b,c。
（1）求2004年的厂量；（2）求这三年的年平均增长率.
解：（1）年份 产量
2001年 1
2002年
2003年
2004年
所以2004年的产量产量为
（2）估计学生计算：年平均增长率=；
又有学生设年平均增长率为x，则由问题1知
=，解得：增长率的平均数=
哪一个是正确的呢？
生答：第2种，
师问：那我们给第一种起个名称
生答：增长率的平均数
师问：它们在什么情况下会相等呢？
生答：a=b=c，
师问：如果a,b,c很接近时，这两者值关系怎样呢？
生答：也很接近。
意图：巩固增长率的算法，正确认识平均增长率，为问题3作好铺垫.
板书：若表示第一年到第n年的增长率，
年平均增长率为；增长率的平均数=
问题3：人口问题是当今世界各国普遍关注的问题。认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出自然状态下的人口增长模型：。
其中t表示经过的时间，表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率。
下表是1950至1959年我国人口数据资料：
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数(万人) 55196 56300 57482 60266 61456 62828 64563 65563 65994 67207
(1) 如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立在我国这一时期的具体人口增长模型，并检验所得的模型与实际数据是否相符；
(2) 如果按上表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
解：
年份 时间 人口数 各年的年增长率
1950 0 55196
1951 1 56300 0.0200
1952 2 57482 0.0210
1953 3 58796 0.0229
1954 4 60266 0.0250
1955 5 61456 0.0197
1956 6 62828 0.0223
1957 7 64563 0.0276
1958 8 65994 0.0222
1959 9 67207 0.0184
算得：r=; 数学理论平均增长率=
意图：感受平均增长率与增长率的区别与联系，并提出在现实生活中，常常用“增长率的平均数”代替“平均增长率”的原因是每年或每月的增长率比较接近.
所以我国在1950至1959年期间的人口增长模型为
师问：为什么要对1798年提出的模型进行检验？
意图：培养与时俱进的科学发展观，和敢于权威的科学精神，科学就是在质疑进步的。
下面由同学分组讨论后，提出检验的方法。
方法1：根据数据作出散点图，并作出函数的图象，此图散点图与图象基本吻合。
师说明：由于数据比较大，图象上细微的差别可能会有成百上千万的差别，指出“形少数时难入微”。
方法2：将已知时间代入拟合模型，求出值，将原始数据与模型数据进行比较.
年份 时间 人口数 各年增长率 模型 模型与实际差的绝对值
1950 0 55196 55196 0
1951 1 56300 0.0200 56429.4 129.4
1952 2 57482 0.0210 57690.4 208.4
1953 3 58796 0.0229 58979.5 183.5
1954 4 60266 0.0250 60297.5 31.5
1955 5 61456 0.0197 61644.9 188.9
1956 6 62828 0.0223 63022.4 194.4
1957 7 64563 0.0276 64430.7 132.3
1958 8 65994 0.0222 65870.5 123.5
1959 9 67207 0.0184 67342.4 135.4
意图：此方法的思想比较接近“最小二乘法原理”，请同学课后到图书馆或网上“最小二乘法原理”。引导学生自主学习。
在误差允许的范围内，此模型基本与数据吻合。
（2）将y=130000代入，解得：。
所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已经达到13亿。
师问：可是我国13亿人口日却是哪一天呢？
生答：2004年1月6日。
师问：这是为什么呢？
生答：计划生育的政策。
意图：（1）说明计划生育政策在现阶段的必须性，如果不实行计划生育，而让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力。
（2）由于各种因素的变化，我们在某一时期得到的函数模型可能无法长期使用，即可能在不同时期要对模型进行修正。
（3）归纳建模的过程的过程
实习作业:4个同学组成一个小组，请从网上收集从1980年到2004年我国的人口数据，并研究我国人口的变化规律。下节课请同学展示自己的结论。
意图：应用所学知识，并提出种群繁殖的“先指数后对数”的模型，即生物学上的“S”形增长。
课后反思：新课程中的应用题的数据都比较原始，对信息技术的要求比较高，确实达到老师与同学在新课程中共同成长的目的。当然计算机如果可以进入高考的考场，我想老师和同学的学习热情将会更高。
分析数据，作出散点图
选择函数模型
求函数模型
符合
不
符
合
实
际
解释现实或预测未来
检验
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