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课题：22.3实际问题与一元二次方程
一、教学目标
1.会利用一元二次方程解决简单的图形问题.
2.培养分析问题解决问题的能力，发展应用意识.
二、教学重点和难点
1.重点：利用一元二次方程解决简单的图形问题.
2.难点：根据图形问题列方程.
三、教学过程
（一）创设情境，导入新课
师：前面我们学习了有关一元二次方程的知识，我们学习了什么是一元二次方程，学习了什么是一元二次方程的根，学习了如何解一元二次方程.现在，老师要同学们想这样一个问题：为什么要学习这些知识？学习这些知识的目的是什么？（稍停后再叫学生）
生：……（多让几名同学发表看法）
师：和一元一次方程一样，一元二次方程也是解决实际问题的工具.学习一元二次方程不是为了什么，而是为了解决实际问题.从这节课开始，我们来学习如何利用一元二次方程解决实际问题（板书课题：22.3实际问题与一元二次方程）.
师：下面我们来看一个例子.
（二）尝试指导，讲授新课
（师出示下面的例题）
例 扎西家有一个长方形院子，它的长比宽多3米，面积为54平方米，院子的长和宽各是多少米？
师：大家把这个题目默读几遍.（生默读）
师：题目要求院子的长和宽，我们设院子的长为x米，则院子的宽为多少米？
生：(x-3)米（师板书：解：设院子的长为x米，则院子的宽为(x-3)米）.
师：读了题目，又设好了未知数，你能按题目的意思画一个图吗？大家试一试.
（生画图，师巡视）
师：我们一起来画图.扎西家有一个长方形的院子（边讲边画一个长方形），现在设这个院子的长为x米（边讲边标：x米），则宽为(x-3)米（边讲边标：(x-3)米），院子的面积为54平方米（边讲边标：面积54平方米，画好的图如下所示）.
师：根据这个图，大家列一列方程.
（生列方程，师巡视）
师：（板书：根据题意列方程，得）列出的方程是什么？
生：x(x-3)=54.（多让几名同学回答，然后师板书：x(x-3)=54）
师：（指方程）列出的方程是一个一元二次方程，大家把它整理成一般形式.（生整理方程）
师：整理后的方程是什么？
生：x2-3x-54=0（师板书：整理，得x2-3x-54=0）.
师：（指x2-3x-54=0）大家用公式法解这个方程.
（生解方程，师巡视）
师：方程的两个根x1等于什么？x2等于什么？
生：x1=9，x2=-6（师板书：解方程，得x1=9，x2=-6，如有必要师可在黑板的其它地方板演解方程过程）
师：（指准x(x-3)=54）这里的x表示什么？（稍停）表示院子的长，院子的长不能是负数，（指准x1=9，x2=-6）所以x2=-6不符合题目的意思，要舍去（板书：（不合题意，舍去））.所以院子的长为9米（板书：答：院子的长为9米）.
师：院子的宽为多少米？
生：宽为6米.（师板书：宽为6米）
师：这道题目做完了，做了这道题目，谁来归纳一下怎么利用一元二次方程解决实际问题？（让生思考一会儿后再叫学生）
生：……（让几名同学回答）
师：（指准例题）利用一元二次方程解决实际问题，第一步要读题，反复地读题，有的时候还可以画一画图，通过读题画图弄清题目的意思；第二步设未知数；第三步根据题目的意思列出一元二次方程；第四步解一元二次方程，一元二次方程的根有两个，要根据题意来取舍解出的根，-6这个根不符合题目意思，要舍去；第五步答.
师：利用一元二次方程解决实际问题就这么五步，实际上与利用一元一次方程解决实际问题的步骤是一样的.
师：下面就请同学们自己来做两个练习.
（三）试探练习，回授调节
1.完成下面的解题过程：
一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2,求两条直角边的长.
解：设一条直角边的长为 cm，则另一条直角边的长为 cm.
根据题意列方程，得 .
整理，得 .
解方程，得 x1= ，x2= （不合题意，舍去）.
答：一条直角边的长为 cm，则另一条直角边的长为 cm.
2.一个菱形两条对角线长的和是10cm，面积是12cm2，
(1)求菱形的两条对角线长；
(2)求菱形的周长.
（提示：菱形的面积=两条对角线积的一半）
（四）归纳小结，布置作业
师：（指例题）本节课我们学习了一个例题，大家再看一看这个例题，回顾一下利用一元二次方程解决问题有哪几个步骤.
（作业：P48习题1(1)(2)2.3.）
四、板书设计（略）
课题：22.3实际问题与一元二次方程（第2课时）
一、教学目标
1.会利用一元二次方程解决传播问题.
2.培养分析问题解决问题的能力，发展应用意识.
二、教学重点和难点
1.重点：利用一元二次方程解决传播问题.
2.难点：根据传播问题列方程.
三、教学过程
（一）基本训练，巩固旧知21世纪教育网
1.填空：
(1)有一人得了流感，他把流感传染给了10个人，共有 人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了10个人，经过两轮传染后，共有 人得流感.
(2)有一人得了流感，他把流感传染给了x个人，共有 人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了x个人，经过两轮传染后，共有 人得流感.
（(1)题答案为11，121，(2)题答案为1+x，1+x+x(x+1)，先让生自己做，然后师进行讲解）
（二）创设情境，导入新课
师：和一元一次方程一样，利用一元二次方程可以解决实际问题，上节课我们做了一个例题，本节课我们再来看一个例题.21世纪教育网
（三）尝试指导，讲授新课
（师出示下面的例题）
例 有一人得了流感，经过两轮传染后，共有121人得了流感，每轮传染中平均每一个人传染了几个人？
师：大家把这个题目好好默读几遍.（生默读）
师：谁能不看黑板说出题目的意思？
生：……（让几名同学说）
师：这个题目怎么设？
生：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.（师板书：解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人）
师：（在黑板的其它地方板书：第一轮后）设平均一个人传染了x个人，那么第一轮后，共有多少人得了流感？
生：1+x.（多让几名同学回答，然后师板书：1+x）
师：（在黑板的其它地方板书：第二轮后）那么第二轮后，共有多少人得了流感？（让生思考一会儿再叫学生）
生：1+x+x(1+x).（多让几名同学回答，然后师板书：1+x+x(1+x)）
师：下面大家根据题目的意思列一列方程.
（生列方程，师巡视）
师：（板书：根据题意列方程，得）列出的方程是什么？
生：1+x+x(1+x)=121（生答师板书：1+x+x(1+x)=121）.
师：（指方程）这是一个一元二次方程，怎么解这个方程？大家试着解一解.（生解方程）
师：解出来的结果是什么？
生：x1=10，x2=-12（生答师板书：x1=10，x2=-12）.
师：（指方程）解这个方程是有讲究的，很多同学用公式法解，发现数字比较大，解起来比较麻烦.实际上我们可以用直接开平方法来解.怎么用直接平方法来解？（稍停）
师：（指准1+x+x(1+x)=121）1+x+x(1+x)有公因式1+x，我们把1+x提取出来，得到(1+x)(1+x)（边讲边在其它地方板书：(1+x)(1+x)），可见方程可以化成(1+x)2=121（边讲边在其它地方板书：(1+x)2=121），用直接开平方法解这个方程，容易求出x1=10，x2=-12.
师：方程中的x表示每个人传染的人数，所以x2=-12不符合题目的意思，要舍去（板书：（不合题意，舍去））.
师：最后还要答.（板书：答：每轮传染中平均每个人传染了10个人）
师：下面请大家自己来做一个练习.
（三）试探练习，回授调节
2.完成下面的解题过程：
有一个人知道某个消息，经过两轮传播后共有49人知道这个消息，每轮传播中平均一个人传播了几个人？
解：设每轮传播中平均一个人传播了x个人.
根据题意列方程，得 .
提公因式，得( )2= .
解方程，得 x1= ，x2= （不合题意，舍去）.
答：每轮传播中平均一个人传播了 个人.
3.一个人知道某个消息，设每轮传播中一个人传播了x个人，填空：[来源:21世纪教育网]
(1)经过一轮传播后，共有 人知道这个消息；
(2)经过两轮传播后，共有 人知道这个消息；
(3)经过三轮传播后，共有 人知道这个消息； [来源:21世纪教育网]
(4)请猜想，经过十轮传播后，共有 人知道这个消息.
（五）归纳小结，布置作业
师：本节课我们学习了利用一元二次方程解决传播问题.俗话说：一传十，十传百.这一传十，十传百是怎么么传的？（指准方程）用方程来表示就是(1+x)2=121.如果传了三轮，就成了(1+x)3；如果传了十轮，就成了(1+x)10.
（作业：P48习题1(3)(4)4，4题中91改为81）
四、板书设计（略）
课题：22.3实际问题与一元二次方程（第3课时）
一、教学目标
1.会利用一元二次方程解决增长问题.
2.培养分析问题解决问题的能力，发展应用意识.
二、教学重点和难点
1.重点：利用一元二次方程解决增长问题.
2.难点：根据增长问题列方程.
三、教学过程
（一）基本训练，巩固旧知
1.填空：
(1)扎西家2006年收入是2万元，以后每年增长10％，则扎西家2007年的收入是 万元，2008年的收入是 万元；21世纪教育网
(2)扎西家2006年收入是2万元，以后每年的增长率为x，则扎西家2007年的收入是 万元，2008年的收入是 万元.
（(1)题答案为2.2，2.42，(2)题答案为2(1+x)，2(x+1)2，先让生自己做，然后师进行讲解，并写出过程）
（二）创设情境，导入新课
师：上节课我们学习了利用一元二次方程解决传播问题.什么是传播问题？就是像“一传十，十传百”这样的问题.与传播问题类似的还有一种问题，叫什么问题？叫增长问题.
师：下面我们就来看一个增长问题.
（三）尝试指导，讲授新课
（师出示下面的例题）
例 扎西家2006年收入是2万元，2008年的收入是2.6万元，求扎西家收入的年平均增长率.
师：大家把这个题目好好看几遍.（生默读）
师：谁能不看黑板说出题目的意思？
生：……（让几名同学说）
师：这个题目怎么设？
生：设扎西家收入的年平均增长率为x.（师板书：解：设扎西家收入的年平均增长率为x）
师：（指准板书）扎西家2006年收入是2万元（板书：2006年 2万元），年平均增长率为x，那么，2007年扎西家的收入是多少万元？（板书：2007年）
生：2(1+x).（生答师板书：2(1+x)万元）
师：（指准板书）2007年收入是2(1+x)万元，年平均增长率x，那么，2008年扎西家的收入是多少万元？（板书：2008年）
生：2(1+x)2.（生答师板书：2(1+x)2万元）
师：知道了扎西家2008年的收入可以表示成2(1+x)2，下面大家根据题目的意思列一列方程.
（生列方程，师巡视）
师：（板书：根据题意列方程，得）列出的方程是什么？
生：2(1+x)2＝2.6（生答师书：2(1+x)2＝2.6）.
师：接下来解方程（板书：解方程，得）用什么方法解这个方程比较简单？（稍停）用直接开平方法.
（以下师在其它地方板书解方程过程）
师：得到x1≈0.14，x2≈-2.14（生答师板书：x1≈0.14，x2≈-2.14）.
师：扎西家的收入是增加的，所以增长率应该是正数，x2≈-2.14不符合题目的意思，要舍去（板书：（不合题意，舍去））.
师：扎西家收入的年平均增长率约为0.14，也就是14％（板书：答：扎西家收入的年平均增长率约为14％）.
师：下面请大家自己来做一个练习.
（三）试探练习，回授调节
2.完成下面的解题过程：
某公司今年利润预计是300万元，后年利润要达到450万元，该公司利润的年平均增长率是多少？
解：设该公司利润的年平均增长率是x.
根据题意列方程，得 .
解方程，得 x1≈ ，x2≈ （不合题意，舍去）.
答：该公司利润的年平均增长率是 %.
3.某公司今年利润预计是300万元，设该公司利润的年平均增长率是x，填空：
(1)明年该公司年利润要达到 万元；
(2)后年该公司年利润要达到 万元；
(3)第三年该公司年利润要达到 万元；
(4)第十年该公司年利润要达到 万元.
（五）归纳小结，布置作业
师：本节课我们学习了利用一元二次方程解决增长问题，增长问题在现在生活中很常见，它与传播问题类似，希望大家掌握解决这两个问题的方法.
（作业：P48习题1(5)(6)7）
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22.3 实际问题与一元二次方程
疑难分析
1．一元二次方程的应用是一元一次方程应用的继续和发展,能用一元一次方程解的应用题,一般可以用算术方法求解.而用一元二次方程解的应用题,一般不能用算术方法求解.
2．列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1）审:认真审题，分清题意,弄清已知和未知,寻找相等关系;
（2）设:就是设未知数,分直接设未知数和间接设未知数,所谓直接设未知数就是问什么设什么,反之就是间接设未知数,到底选择何种方式设未知数,要以有利于列出方程为准则.
（3）列:就是根据题目中的已知量和未知量之间的关系列出方程.
（4）解:就是求出所列方程的解.列一元二次方程解应用题时,一般会产生两个解,必须检验每个解是否符合题意和生活实际,再正确取舍.
（5）答:就是写出答案．在答之前应对解得的方程进行检验,舍去不符合实际意义的解.21世纪教育网
3.列一元二次方程解应用题,关键是正确地找到等量关系.如何迅速地探求出相等关系列出方程呢
(1)要正确熟练地作语言与式子的互化;
(2)充分运用题目中所给的条件;
(3)要善于发现利用间接的,潜在的等量关系;
(4)对一般应用题,可以从以下几个方面着手寻找相等关系;
①利用题目中的关键语句作为相等关系;
②利用公式、定理作为等量关心;21世纪教育网
③从生活、生产实际经验中发现等量关系.
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例题选讲21世纪教育网
例1 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
解：设比赛组织者应邀请x个队参赛.x个队每两个队之间都要比赛一场总共比赛的场次为场.依题意有:
整理得:
解方程得:
根据问题的实际意义,不符合题意.21世纪教育网
∴
答: 比赛组织者应邀请8个队参赛.
评注：在近年的中考试题中,常常出现一些贴近生活,生产的实际问题,解答这些问题时,等量关系一般从已知公式或题目中的关键词句“译”出来.实际问题的解不仅要满足所列方程,还应该符合题目中的每一个条件.
例2如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动.
(1)如果P、Q分别从A、B同时出发,经过多长时间,使△PBQ的面积为8cm2？
(2)如果P、Q分别从A、B同时出发, 当P、Q两点运动几秒时，有最小值，并求这个最小值.
解：(1)如图,设经过x秒后使得使△PBQ的面积为8cm2.则PB的长度为
(6-x)cm,BQ的长度为2xcm,根据题意,可列方程:
解之得
经过2秒,点P到离B点4cm处,点Q到离B点4cm处;经过4秒,点P到离B点2cm处,点Q到离B点8cm处,即经过2秒或者4秒, 使△PBQ的面积为8cm2.
(2)设经过y秒, .则PB的长度为(6-y)cm,BQ的长度为2ycm,根据题意,可列方程:
显然,当时, PQ有最小值,最小值为PQ2=,即PQ=,依据题意:
∴PQ=
评注：像本例这一类动点问题一般要考查代数知识与动态几何知识的综合运用.解题的关键是要有动态观点,弄清点的运动特征.动态问题,做静态分析,必要时分类讨论,列出方程.
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