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23.2 中心对称（第四课时）
教学内容
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y），关于原点的对称点为P′（-x，-y）及其运用．
教学目标
理解P与点P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）的运用．
复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用．
重难点、关键
1．重点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点P′（-x，-y）及其运用．
2．难点与关键：运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．
教具、学具准备
小黑板、三角尺
教学过程21世纪教育网
一、复习引入
（学生活动）请同学们完成下面三题．
1．已知点A和直线L，如图，请画出点A关于L对称的点A′．
21世纪教育网
2．如图，△ABC是正三角形，以点A为中心，把△ADC顺时针旋转60°，画出旋转后的图形．21世纪教育网
3．如图△ABO，绕点O旋转180°，画出旋转后的图形．
老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．（略）
二、探索新知
（学生活动）如图23-74，在直角坐标系中，已知A（-3，1）、B（-4，0）、C（0，3）、D（2，2）、E（3，-3）、F（-2，-2），作出A、B、C、D、E、F点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标，并回答：
这些坐标与已知点的坐标有什么关系？
老师点评：画法：（1）连结AO并延长AO
（2）在射线AO上截取OA′=OA
（3）过A作AD′⊥x轴于D′点，过A′作A′D″⊥x轴于点D″．
∵△AD′O与△A′D″O全等
∴AD′=A′D″，OA=OA′
∴A′（3，-1）
同理可得B、C、D、E、F这些点关于原点的中心对称点的坐标．[21世纪教育网]
（学生活动）分组讨论（每四人一组）：讨论的内容：关于原点作中心对称时，①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？
提问几个同学口述上面的问题．
老师点评：（1）从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．（2）坐标符号相反，即设P（x，y）关于原点O的对称点P′（-x，-y）．
[来源:21世纪教育网]
例1．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB关于原点对称的图形．
分析：要作出线段AB关于原点的对称线段，只要作出点A、点B关于原点的对称点A′、B′即可．
解：点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y），
因此，线段AB的两个端点A（0，-1），B（3，0）关于原点的对称点分别为A′（1，0），B（-3，0）．
连结A′B′．
则就可得到与线段AB关于原点对称的线段A′B′．
（学生活动）例2．已知△ABC，A（1，2），B（-1，3），C（-2，4）利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形．
老师点评分析：先在直角坐标系中画出A、B、C三点并连结组成△ABC，要作出△ABC关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A、B、C三点关于原点的对称点，依次连结，便可得到所求作的△A′B′C′．
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，
即点P（x，y）关于原点O的对称点P′（-x，-y）．
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课题：23.2.1中心对称
一、教学目标
1.知道中心对称的意义，知道什么是对称中心和对称点.
2.通过观察得出中心对称的两个性质，会利用性质画出对称图形.
二、教学重点和难点
1.重点：中心对称的概念和性质.
2.难点：中心对称的性质.
三、教学过程
（一）基本训练，巩固旧知
1.如图，以点O为中心，把△OAB旋转180°.
（本节课时间紧，建议1题让生课前完成）
（二）创设情境，导入新课
（师出示下图）
师：（指准图）以O为中心，把△OAB旋转180°得到△OA′B′.
师：（指准图）请大家观察这两个三角形（稍停），从图上看可以感觉到这两个三角形有某种对称性.这是一种什么对称？（稍停）这种对称不是我们以前学过的轴对称，而是一种新的对称，叫中心对称.本节课我们就来学习中心对称（板书课题：23.2.1中心对称）.
（三）尝试指导，讲授新课
师：（指准图）中心对称有什么特点？我们来看这个图.如果把△OA′B′绕着点O旋转180°，你发现会有什么结果？
生：△OAB与△OA′B′重合.（多让几名同学回答）
师：对！（指准图）如果我们把△OA′B′绕着点O旋转180°，这两个三角形能够重合.这就是中心对称的特点，根据这一特点，我们可以给中心对称下这样的定义.
师：（指准图）把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形中心对称，或者说这两个图形关于这个点对称.（师出示板书：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形中心对称，或者说这两个图形关于这个点对称）
师：（指图）请大家结合这个图，把中心对称的概念默读几遍.（生默读）
师：（指准图）在中心对称中，旋转中心O叫做对称中心（板书：点O是对称中心），对应点A与A′叫做对称点（板书：点A与A′叫做对称点），对应点B与B′也是对称点，对称点还有很多.
师：知道了中心对称的概念，下面我们来探索中心对称的性质.
师：我们知道，中心对称的两个图形经过旋转能够重合，这说明中心对称的两个图形是全等图形.（师出示板书：中心对称的两个图形是全等图形）
师：（指板书）这就是中心对称的第一个性质，大家把这个性质一起来读一遍.（生读）
师：下面我们来看中心对称的第二个性质.
师：（指准图）点A与A′是对称点，点O是对称中心，大家看一看对称点与对称中心有什么关系？（让生观察一会儿再叫学生）
生：……（多让几名同学发表看法，鼓励学生用自己的语言表述）
师：（指准图）点A与点A′是对称点，点O是对称中心，看到没有？点A与A′所连线段经过对称中心O，而且被对称中心所平分；点B与点B′也是对称点，看到没有？点B与点B′所连线段也经过对称中心O，而且也被对称中心O所平分.其它对称点也一样，于是我们得出这样一个结论.（师出示板书：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分）
师：（指板书）大家一起来把中心对称的第二个性质读一遍.（生读）
师：第二个性质听起来好像有点复杂，实际上它的意思很简单，它的意思是说，（指准图）对称点连线的中点恰好就是对称中心.大家看看图，是不是这样？（让生看图）
师：（指板书）性质二是一个有用的结论，利用它可以很方便地画出中心对称图形，下面我们来看一个例题.
（师出示例题）
例 如图，以点O为对称中心，画出与四边形ABCD关于点O对称的四边形A′B′C′D′.
师：（指准图）这个题目要我们做什么？要我们画出四边形ABCD关于点O对称的四边形A′B′C′D′.
师：怎么画呢？（稍停）关键是要找到点A的对称点A′，点B的对称点B′，点C的对称点C′，点D的对称点D′.
师：怎么找点A的对称点A′？因为根据性质二，（指准图）对称点A，A′的连线的中点恰好是对称中心O，所以我们连结AO并延长到A′，使OA′=OA（边讲边画），点A′就是点A的对称点.
师：同样，连结BO并延长到B′，使OB′=OB（边讲边画），点B′就是点B的对称点.
师：同样画点C的对称点C′（边讲边画）；同样画点D的对称点D′（边讲边画）.
师：找到了对称点，接下来依次连结A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，四边形A′B′C′D′就是我们要画的四边形.
（画好的图形如下所示）
师：利用中心对称的性质，下面请大家自己来画几个对称图形.
（四）试探练习，回授调节[来源:21世纪教育网]
2.如图，以点O为中心，画出点P关于点O的对称点P′.
3.如图，以点O为中心，画出与线段AB关于点O对称的线段A′B′.
4.如图，以点O为中心，画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′.
（五）归纳小结，布置作业
师：本节课我们学习了什么？（指准板书）我们学习了中心对称.结合这个图，请大家把中心对称的概念和性质再看一遍.（生默读）
（作业：P64练习2.P67习题1.）
四、板书设计
23.2.1中心对称把一个图形绕着某一个点 例图 旋转180°……点O是对称中心 中心对称的两个图形……点A与A′是对称点 对称点所连线段都……
21世纪教育网
课题：23.2.2中心对称图形（第1课时）
一、教学目标
1.知道什么是中心对称图形，会判断一个图形是不是中心对称图形.
2.知道中心对称和中心对称图形的区别和联系.
二、教学重点和难点
1.重点：中心对称图形.
2.难点：中心对称图形的判断.
三、教学过程
（一）基本训练，巩固旧知
1.填空：
(1)把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心 ，这个点叫做 中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的 点.
(2)中心对称的性质有：中心对称的两个图形是 图形；中心对称的两个图形，对称点所连线段都 对称中心，而且被对称中心所 .
2.画出下面图形关于点O对称的图形：
（二）尝试指导，讲授新课
（师出示下图）
师：（指准图）这是一条线段，点O是它的中点（边讲边标点O）.现在我们把这条线段绕着点O旋转180°，你想象会发生什么情况？
生：……（多让几名同学发表看法）
师：（指准图）线段绕着点O旋转180°后，这个端点转到了这里，这个端点转到了这里，旋转后的图形与原来的图形恰好重合.
师：我们再来看一个图形.
（师出示下图）
师：（指准图）这是一个平行四边形，点O是对角线的交点（边讲边画对角线并标点O）.现在我们把这个平行四边形绕着点O旋转180°，你想象会发生什么情况？（让生观察一会儿再叫学生）
生：……（多让几名同学发表看法）
师：（指准图）平行四边形绕着点O旋转180°后，这个顶点转到了哪儿？（稍停）这个顶点转到了这里；这个顶点转到了哪儿？（稍停）这个顶点转到了这里；还有这个顶点转到了这里，这个顶点转到了这里.可见，旋转后的图形与原来的图形恰好重合.
师：（指准图）线段也好，平行四边形也好，它们有一个共同的特性，什么特性？就是把图形绕着某一点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合.这样的图形我们把它叫做中心对称图形.（师出示板书：把一个图形绕着某一点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）
师：（指板书）请大家把中心对称图形概念一起来念一遍.（生读）
师：（指准图）在中心对称图形中，旋转中心O叫做对称中心（板书：点O是对称中心）.
师：下面我们利用概念来判断中心对称图形，请看例题.
（师出示例题）
例 下列图形是中心对称图形吗？如果是中心对称图形，在图中用点O标出对称中心.
（先让生尝试，然后师利用概念解释，椭圆、长方形是中心对称图形）
（三）试探练习，回授调节
3.下列图形是中心对称图形吗？如果是中心对称图形，在图中用点O标出对称中心.
4.下列汽车标志中，哪些是中心对称图形？.
（四）归纳小结，布置作业
师：本节课我们学习了什么？我们学习了中心对称图形.（板书课题：23.2.2中心对称图形）
师：什么样的图形是中心对称图形？（指准平行四边形）把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合.那么这个图形叫做中心对称图形.
师：上节课我们学的是中心对称，这节课我们学的是中心对称图形，现在请同学们回答这样一个问题：中心对称与中心对称图形有什么区别？（让生想一会儿再叫学生）
生：……（多让几名同学发表看法）
师：中心对称是对两个图形说的，而中心对称图形是对一个图形说的.一个图形绕着中心旋转180°，能够与另一个图形重合，这是中心对称；一个图形绕着某一点旋转180°，能够与它本身重合，这是中心对称图形.所以中心对称与中心对称图形是有区别的.
（作业：P68习题2.5.）
四、板书设计
23.2.2中心对称图形线段图 平行四边形图 例点O是对称中心 把一个图形绕着某一个点……叫做中心对称图形.
课题：23.2.3关于原点对称的点的坐标（第1课时）
一、教学目标
1.探究点（x，y）关于原点对称点的坐标，会运用发现的规律作关于原点对称的图形.
2.发展空间观念，渗透数形结合思想.
二、教学重点和难点
1.重点：关于原点对称点的坐标.
2.难点：探究关于原点对称点的坐标.
三、教学过程
（一）基本训练，巩固旧知
1.如图，
(1)画出点A关于x轴的对称点A′；
(2)画出点B关于x轴的对称点B′；
(3)画出点C关于y轴的对称点C′；21世纪教育网
(4)画出点A关于y轴的对称点D′.
2.填空：
(1)点A(-2，1)关于x轴的对称点为A′( ， )；
(2)点B(0，-3）关于x轴的对称点为B′( ， )；
(3)点C(-4，-2）关于y轴的对称点为C′( ， )；
(4)点D(5，0）关于y轴的对称点为D′( ， ).
（二）创设情境，导入新课
（师出示下面的板书）
点P(x，y)关于x轴的对称点为P′( ， )；
点P(x，y)关于y轴的对称点为P′( ， )；21世纪教育网
点P(x，y)关于原点的对称点为P′( ， ).
师：初二的时候，我们学过关于数轴的对称点，（指准图）点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是什么？
生：P′(x，-y).（几名学生回答后师填入答案）
师：（指准图）点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是什么？
生：P′(-x，y).（几名学生回答后师填入答案）
师：这节课我们要学习关于原点的对称点.
师：（画点P关于原点的对称点P′，并指准图）点P′是什么？它是点P关于原点的对称点.点P的坐标是(x，y)，那么点P′的坐标是什么呢？请大家自己来探究这个问题.
（三）尝试指导，讲授新课
（师出示下面的探究题）
3.探究题
如图，A(3，2)，B(-3，2)，C(3，0)，
(1)在直角坐标系中，画出点A，B，C关于原点的对称点A′，B′，C′；
(2)点A(3，2)关于原点的对称点为A′( ， )，
点B(-3，2)关于原点的对称点为B′( ， )，
点C(3，0)关于原点的对称点为C′( ， )；
(3)你发现点P(x，y)关于原点的对称点P′( ， ).
（生做探究题，师巡视引导，要给学生充足的探究时间）
师：下面我们一起来做探究题.
师：（指准图）点A的坐标是(3，2)，点B的坐标是(-3，2)，点C的坐标是(3，0).第(1)小题要我们画出点A，B，C关于原点的对称点A′，B′，C′.
师：（指准图）点A关于原点的对称点是这一点（边讲边画点A′），点B关于原点的对称点是这一点（边讲边画点B′），点C关于原点的对称点是这一点（边讲边画点C′）.21世纪教育网
师：（指准图）第(2)小题要我们写出点A′，B′，C′的坐标，点A′的坐标是(-3，-2)（边讲边填入答案），点B′的坐标是什么？
生：（齐答）(-3，-2).（生答师填入答案）
师：（指准图）点C′的坐标是什么？
生：（齐答）(-3，0).（生答师填入答案）
师：（指准(2)题）请大家比较对称点A与A′的坐标、B与B′的坐标、C与C′的坐标，（稍停）你发现点P(x，y)关于原点的对称点P′是什么？
生：(-x，-y).（让几名学生回答后师填入答案）
师：（指准(3)题）P(x，y)关于原点的对称点为P′(-x，-y)，也就是说，如果两个点关于原点对称，那么它们的坐标符号相反.
师：下面请大家利用这个结论来做一个练习.
（四）试探练习，回授调节
4.填空：
(1)点A(8，-6)关于原点的对称点是A′( ， )；
(2)点B(0，5)关于原点的对称点是B′( ， )；
(3)点C( ， )关于原点的对称点是C′(4，7)；
(4)点D( ， )关于原点的对称点是D′(0，0).
（五）尝试指导，讲授新课
师：下面我们来看一道例题.
（师出示例题）
例 如图，△ABC各顶点的坐标分别为A(-4，1)，B(-1，-1)，C(-3，2)，作出与△ABC关于原点对称的图形.
师：（指准图）点A的坐标是(-4，1)，点B的坐标是(-1，-1)，点C的坐标是(-3，2)，这道题要我们做什么？要我们画出与△ABC关于原点对称的图形.怎么画呢？（稍停）关键是要画点A，B，C关于原点的对称点A′，B′，C′.
师：点A的坐标是(-4，1)，所以关于原点对称点A′的坐标是什么？
生：（齐答）(4，-1).（生答师画出A′）
师：点B的坐标是(-1，-1)，所以对称点B′的坐标是什么？
生：（齐答）(1，1).（生答师画出B′）
师：同样可以画出点C′（边讲边画点C′）.
师：（指准图）画好了点A′，B′，C′，再依次连接A′B′，B′C′，C′A′（边讲边画），△A′B′C′就是我们要画的与△ABC关于原点对称的图形.
（六）试探练习，回授调节
5.如图，四边形ABCD各顶点坐标分别为A(5，0)，B(-2，3)，C(-3，0)，D(-1，-5)，作出与四边形ABCD关于原点对称的图形.
（七）归纳小结，布置作业
师：本节课我们学习了什么？我们学习了关于原点对称点的坐标.（板书课题：23.2.3关于原点对称的点的坐标）
师：（指准板书）点P(x，y)关于x轴的对称点为P′(x，-y)，点P(x，y)关于y轴的对称点为P′(-x，y)，点P(x，y)关于原点的对称点为P′，P′的坐标是什么？
生：（齐答）(-x，-y).（生答师填入答案）
（作业：P67练习，P68习题4）
四、板书设计
23.2.3关于原点对称的点的坐标图 探究题 例点P(x，y)关于x轴…… 点P(x，y)关于y轴……点P(x，y)关于原点……
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