第二十二章 一元二次方程
一。填空题
1、关于x的方程,当 时为一元一次方程；当[]
时为一元二次方程。
2、若方程的两个根是和3，则的值分别为 。
3、若代数式与的值互为相反数，则的值是 。
4、已知的值是10，则代数式的值是 。
5、对于方程，= ，= ，= ，
= 此方程的解的情况是 。
6、当 时，关于的方程可用公式法求解。
7、设 、是方程的两个根，则+= ， []
8、已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则
9、 当时，方程有实数根；
10、当时，方程有两个实数根；
二、选择题（
1.下列方程中是一元二次方程的是( ).
A.xy＋2＝1 B. C. x2＝0 D.
2.配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.若的值等于零，则x的值是( )
A 7或-1 B -7或1 C 7 D -1
4.已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（ ）
A. 0 B. 1 C. -1 D. 2
5、若与互为倒数，则实数为（ ）
（A）± （B）±1 （C）± （D）±
6．若是关于的一元二次方程的根，且≠0，则的值为（ ）
（A） （B）1 （C） （D）
7、．关于的一元二次方程的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
8．关于的一元二次方程有实数根，则（ ）
（A）＜0 （B）＞0 （C）≥0 （D）≤0
9、等腰三角形的底和腰是方程的两个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D． 不能确定
10、.若关X的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围（ ）
A.k≤4,且k≠1 B.k＜4, 且k≠1 C. .k＜4 D. k≤4
11. 一元二次方程方程有两个相等实数根，则-------------（ ）
A B C D
12. 若方程有两个相等实数根，则= -------------------（ ）
A B C D
[]
13、 方程的一个根为零，则-----------（ ）
A B C 4 D 7
14、关于x的方程有实数根，则K的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
三.解下列方程
1. 选用合适的方法解下列方程
（1） （2）
（3） （4）
[]
（５）（y＋3）（1－3y）＝1＋2y2； （６）（x－7）（x＋3）＋（x－1）（x＋5）＝38；
2、用配方法
（１）3x 2＋8 x－3＝0 （２） (x＋2) 2＝8x
四、解答题
１、.（1）已知关于x的方程2x2－mx－m2＝0有一个根是1，求m的值；
（2）已知关于x的方程（2x－m）（mx＋1）＝（3x＋1）（mx－1）有一个根是0，求另一个根和m的值.
[]
2、已知：x 2＋3x＋1＝0 求x＋的值；
３．已知m是一元二次方程x2–2005x+1=0的解，求代数式的值.
４．已知x= –5是方程x2+mx–10=0的一个根，求x =3时，x2+mx–10的值.
5.已知关于x的方程.
（1）求证方程有两个不相等的实数根.
（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解
６、已知关于的方程⑴若方程有两个相等的实数根,求的值,并求出此时方程的根；⑵是否存在正数,使方程的两个实数根的平方和等于224 ？若存在,求出满足条件的的值； 若不存在，请说明理由。
７、一元二次方程,当k为何值时,方程有两个不相等的实数根？
８.已知关于x的方程(1)若1是方程的一个根，求的值(2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围
９、求证：方程对于任何实数，永远有两个不相等的实数根；本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第22章 一元二次方程 小结与复习
教学内容
本节课主要是对一元二次方程进行系统复习，巩固所学知识，提升应用能力．
教学目标
知识技能
灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，运用一元二次方程解决简单的实际问题．
数学思考
经历运用知识、技能解决问题的过程，发展学生的独立思考能力和创新精神．
解决问题
了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想．
情感态度
培养学生对数学的好奇心与求知欲，养成质疑和独立思考的学习习惯．
重难点、关键21世纪教育网
重点：运用知识、技能解决问题
难点：解题分析能力的提高．
关键：引导学生参与解题的讨论与交流
教学准备
教师准备：制作课件，精选习题
学生准备：写一份本单元知识结构图．
教学过程
1、 回顾交流
【教学方略】
将学生分成四人小组，交流各自书写的“单元知识结构图”进行概括总结．
知识网络图表
【师生共识】
1．方程中只含有_______未知数，并且未知数的最高次数是_______，这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_______（ ）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．
2．解一元二次方程的一般解法有
（1）_________；（2）________；（3）_________；（4）求根公式法，求根公式是______________．
3．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，它没有实数根．
2、 范例点击
例1：解下列方程．
（1）2（x+3）2=x（x+3） （2）x2-2x+2=0
（3）x2-8x=0 （4）x2+12x+32=0
解：（1）2（x+3）2=x（x+3）
2（x+3）2-x（x+3）=0
（x+3）[2（x+3）-x]=0
（x+3）（x+6）=0
x1=-3，x2=-6．
（2）x2-2x+2=0
这里a=1，b=-2，c=2
b2-4ac=（-2）2-4×1×2=12>0
x==
x1=+，x2=-21世纪教育网
（3）x（x-8）=0
x1=0，x2=8．
（4）配方，得
x2+12x+32+4=0+4
（x+6）2=4
x+6=2或x+6=-2
x2=-4，x2=-8．
点拨：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法．
3、 随堂巩固21世纪教育网
课本P58 复习题22 第1、3、5、11题
补充练习21世纪教育网
【活动方略】
学生独立思考、独立解题．
教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）
【设计意图】
为学生提供实际演练的机会，加强对已学知识的复习并检查对新知识的掌握情况.
4、 小结作业[来源:21世纪教育网]
1.问题：谈一谈本节课自己的收获和感受？
2.作业：课本P58 复习题22 第2、4题
【活动方略】
教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程．
学生独立完成作业，教师批改、总结．
【设计意图】通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识。
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网第22章一元二次方程 复习题双基演练
一、选择题
1．下面关于x的方程中①ax2+bx+c=0；②3（x-9）2-（x+1）2=1；③x+3=；
④（a2+a+1）x2-a=0；④=x-1．一元二次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．要使方程（a-3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则（ ）[]
A．a≠0 B．a≠3
C．a≠1且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠0
3．若（x+y）（1-x-y）+6=0，则x+y的值是（ ）
A．2 B．3 C．-2或3 D．2或-3
4．若关于x的一元二次方程3x2+k=0有实数根，则（ ）[]
A．k>0 B．k<0 C．k≥0 D．k≤0
5．下面对于二次三项式-x2+4x-5的值的判断正确的是（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．不小于0 D．可能为0
6．下面是某同学在九年级期中测试中解答的几道填空题：（1）若x2=a2，则x= a ；
（2）方程2x（x-1）=x-1的根是 x=0 ；（3）若直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为 5 ．其中答案完全正确的题目个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．某种商品因换季准备打折出售，如果按原定价的七五折出售，将赔25元，而按原定价的九折出售，将赚20元，则这种商品的原价是（ ）
A．500元 B．400元 C．300元 D．200元
8．利华机械厂四月份生产零件50万个，若五、六月份平均每月的增长率是20%，则第二季度共生产零件（ ）
A．100万个 B．160万个 C．180万个 D．182万个
二、填空题
9．若ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，则不等式3a+6>0的解集是________．
10．已知关于x的方程x2+3x+k2=0的一个根是-1，则k=_______．
11．若x=2-，则x2-4x+8=________．
12．若（m+1）+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是________．
13．若a+b+c=0，且a≠0，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一个定根，它是_______．
14．若矩形的长是6cm，宽为3cm，一个正方形的面积等于该矩形的面积，则正方形的边长是_______．
15．若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是__________．[]
三、计算题（每题9分，共18分）
16．按要求解方程：
（1）4x2-3x-1=0（用配方法）； （2）5x2-x-6=0（精确到0．1）
17．用适当的方法解方程：
（1）（2x-1）2-7=3（x+1）； （2）（2x+1）（x-4）=5；
（3）（x2-3）2-3（3-x2）+2=0．
能力提升
18．若方程x2-2x+（2-）=0的两根是a和b（a>b），方程x-4=0的正根是c，试判断以a、b、c为边的三角形是否存在．若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由．
19．已知关于x的方程（a+c）x2+2bx-（c-a）=0的两根之和为-1，两根之差为1，其中a，b，c是△ABC的三边长．
（1）求方程的根；（2）试判断△ABC的形状．
20．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？
21．李先生乘出租车去某公司办事，下午时，打出的电子收费单为“里程11公里，应收29.10元”．出租车司机说：“请付29.10元．”该城市的出租车收费标准按下表计算，请求出起步价N（N<12）是多少元．
里程（公里） 06
价格（元） N
聚焦中考
22.方程的根是（ ）
A B C D
23.某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的，则平均每次降价（ ）
A． B． C． D．
24.关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
25．已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
26．关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一根为 .
27.小华在解一元二次方程x2-4x=0时．只得出一个根是x=4,则被他漏掉的一个根是x=_____．
28．在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。
29．阅读材料：
如果，是一元二次方程的两根，那么有.
这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题:
设是方程的两根，求的值.
解法可以这样：则
. 请你根据以上解法解答下题：
已知是方程的两根，求：
（1）的值；（2）的值.
答案:
一、
1．B 点拨：方程①与a的取值有关；方程②经过整理后，二次项系数为2，是一元二次方程；方程③是分式方程；方程④的二次项系数经过配方后可化为（a+）2+．不论a取何值，都不为0，所以方程④是一元二次方程；方程⑤不是整式方程．也可排除，故一元二次方程仅有2个．
2．B 点拨：由a-3≠0，得a≠3．
3．C 点拨：用换元法求值，可设x+y=a，原式可化为a（1-a）+6=0，解得a1=3，a2=-2．
4．D 点拨：把原方程移项，变形为：x2=-．由于实数的平方均为非负数，故-≥0，则k≤0．
5．B 点拨：-x2+4x-5=-（x2-4x+5）=-（x2-4x+4+1）=-（x-2）2=-1．
由于不论x取何值，-（x-2）2≤0，所以-x2+4x-5<0．
6．A 点拨：第（1）题的正确答案应是x=±a；第（2）题的正确答案应是x1=1，x2=．第（3）题的正确答案是5或．
7．C 点拨：设商品的原价是x元．则0.75x+25=0.9x-20．解之得x=300．
8．D 点拨：五月份生产零件：50（1+20%）=60（万个）
六月份生产零件50（1+20%）2=72（万个）
所以第二季度共生产零件50+60+72=182（万个），故选D．
二、
9．a>-2且a≠0 点拨：不可忘记a≠0．
10．± 点拨：把-1代入方程：（-1）2+3×（-1）+k2=0，则k2=2，所以k=±．
11．14 点拨：由x=2-，得x-2=-．两边同时平方，得（x-2）2=10，即x2-4x+4=10， 所以x2-4x+8=14．注意整体代入思想的运用．
12．-3或1 点拨：由 解得m=-3或m=1．
13．1 点拨：由a+b+c=0，得b=-（a+c），原方程可化为ax-（a+c）x+c=0，
解得x1=1，x2=．
14．3cm 点拨：设正方形的边长为xcm，则x2=6×3，解之得x=±3，由于边长不能为负，故x=-3舍去，故正方形的边长为3cm．
15．30或-30 点拨：设其中的一个偶数为x，则x（x+2）=224．解得x1=14，x2=-16，则另一个偶数为16，-14．这两数的和是30或-30．
三、
16．解：（1）4x2-3x-1=0，称 ，得4x2-3x=1，
二次项系数化为1，得x2-x=，
配方，得x2-x+（）2=+（）2，
（x-）2=，x-=±，x=±，
所以x1=+=1，x2=-=．
（2）5x2-x-6=0
原方程可化为（x+2）（x-3）=0，
+2=0或-3=0，
所以x1=≈=0.9，x2=≈1.3．
点拨：不要急于下手，一定要审清题，按要求解题．
17．解：（1）（2x-1）2-7=3（x+1）
整理，得4x2-7x-9=0，因为a=4，b=-7，c=-9．
所以x=．
即x1=，x2=．
（2）（2x+1）（x-4）=5，整理，得2x2-7x-9=0，
（x+1）（2x-9）=0，即x+1=0或2x-9=0，
所以x1=-1，x2=．
（3）设x2-3=y，则原方程可化为y2+3y+2=0．[]
解这个方程，得y1=-1，y2=-2．[]
当y1=-1时，x2-3=-1．x2=2，x1=，x2=-．
当y2=-2时，x2-3=-2，x2=1，x3=1，x4=-1．
点拨：在解方程时，一定要认真分析，选择恰当的方法，若遇到比较复杂的方程，审题就显得更重要了．方程（3）采用了换元法，使解题变得简单．
18．解：解方程x2-2x+（2-）=0，得x1=，x2=2-．
方程x2-4=0的两根是x1=2，x2=-2．
所以a、b、c的值分别是，2-，2．
因为+2-=2，所以以a、b、c为边的三角形不存在．
点拨：先解这两个方程，求出方程的根，再用两边的和与第三边相比较等来判断．
19．解：（1）设方程的两根为x1，x2（x1>x2），则x1+x1=-1，x1-x2=1，解得x1=0，x2=-1．
（2）当x=0时，（a+c）×02+2b×0-（c-a）=0．
所以c=a．当x=-1时，（a+c）×（-1）2+2b×（-1）-（c-a）=0．a+c-2b-c+a=0，
所以a=b．即a=b=c，△ABC为等边三角形．
点拨：先根据题意，列出关于x，x的二元一次方程组，可以求出方程的两个根0和-1．进而把这两个根代入原方程，判断a、b、c的关系，确定三角形的形状．
20．解：设该产品的成本价平均每月应降低x．
625（1-20%）（1+6%）-500（1-x）2=625-500
整理，得500（1-x）2=405，（1-x）2=0.81．
1-x=±0.9，x=1±0.9，
x1=1.9（舍去），x2=0.1=10%．
答：该产品的成本价平均每月应降低10%．
点拨：题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达到125元，关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价．
21．解：依题意，N+（6-3）×+（11-6）×=29.10，
整理，得N2-29.1N+191=0，解得N1=19.1，N2=10，
由于N<12，所以N1=19.1舍去，所以N=10．
答：起步价是10元．
点拨：读懂表格是正确列出方程的基础，表格中的含义是：当行车里程不超过3公里时，价格是10元，当行车里程超过了3公里而不超过6公里时，除付10元外，超过的部分每公里再付元；若行车里程超过6公里，除了需付以上两项费用外，超过6公里的部分，每公里再付元．
22．C 23。 A 24。B 25。A 26。-2 27。0
28．.解：设小正方形的边长为.
由题意得，.
解得，.
经检验，符合题意，不符合题意舍去.
∴ .
答：截去的小正方形的边长为.
29．解：
（1）
（2）(共19张PPT)
一元二次方程
一般形式
解法
根的判别式：
根与系数的关系：
应用
实际应用
思想方法
转化思想；整体思想;配方法、换元法
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
ax2+bx+c=0（a≠0）
知识结构
例
关于x的方程
(1)当m为何值时，是一元二次方程？
(2)当m为何值时，是一元一次方程？
例
解方程：
化一般形式
若实数x、y满足
则 的值是多少
例
解方程: (x+1)(x+2)=6
2. 已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10
求a2+b2 的值。
中考直击
8、已知
例
的解。
，求关于x的方程
重点
一元二次方程根的判别式：
有两个不相等
的实数根
有两个相等
的实数根
没有实数根
例
是否存在k，使方程
一元二次方程根的判别式：
有两个相等的实数根？若存在，求
出k的值；若不存在，请说明理由。
重点
一元二次方程的根与系数关系：
例
已知关于x的一元二次方程
一元二次方程的根与系数关系
的两个实数根的平方和为23，求m的值。
1.一个直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2,求斜边的长
解：设其中的一条直角边长为xcm，另一条直角边长为( 14 － x )．
根据题意可列方程
整理得
解得
答：斜边的长为10cm.
x2－14x＋48 = 0.
根据勾股定理
斜边2＝62+82
x1=6, x2=8.
例.一个直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2,求斜边的长
关于x的方程
例
的一个根是2，求它的另一个根
和k的值。
例
一个菱形两条对角线的和是 cm，
并且面积为80cm2，求菱形的周长。
解方程
例
某水果经销商上月份销售一种新上市的水果,平均售价为10元/千克,月销售量为1000千克.经市场调查,若将该种水果价格调低至 元/千克,则本月份销售量 (千克)与 (元/千克)之间满足一次函数关系.且当 时 ； 当 时 ．
（1）求与之间的函数关系式；
某水果经销商上月份销售一种新上市的水果,平均售价为10元/千克,月销售量为1000千克.经市场调查,若将该种水果价格调低至 元/千克,则本月份销售量 (千克)与 (元/千克)之间满足一次函数关系.且当 时 ； 当 时 ．
（2）已知该种水果上月份的成本价为5元／千克，本月份的成本价为4元／千克，要使本月份销售该种水果所获利润比上月份增加20%，同时又要让顾客得到实惠，那么该种水果价格每千克应调低至多少元？
在三角形ABC中，∠B=60°，BA=24cm，BC=16cm．现有动点P从点A出发，沿射线AB向点B方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，求：
（1）几秒钟后，△PBQ的面积是△ABC面积的一半？
（2）在第（1）问的前提下，P，Q两点之间的距离是多少？
B
A
C
动态几何
P
Q
P
A
B
C
Q(共14张PPT)
第二十二章
一元二次方程
复习
一元二次方程概念？一般形式？
问题1：剪一面积为20cm2的长方形纸片，且长比宽多1cm，则纸片长、宽各为多少？
问题2：如图：如果用一正方形纸片，在其四各角上截去四各相同的边长为2cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖长方体盒子。使它的容积为32cm3。能用正方形纸板边长为多少？(阴影部分截去)
上述两问题若用列方程来解，那么列出的方程应是什么样的呢？
（问题1：设长方形宽为xcm，
则x（x+1）=20
问题2：设纸板边长为xcm，
则2（x-4）2 =32 ）
典型例题
判断下列方程是否一元二次方程，若是，指出二次项系数a，一次项系数b和常数项c；若不是，说明理由。
(1)x-7x2=0
(2) (3)3x(x+2)=11+2(3x-5)
(4) (x-1) 2+7x=x(x+1)
(5)y2 = - 4
解方程
一、解一元二次方程的方法：
1.直接开方法；
因式分解法（提取公因式法、十字相乘法（利用根与系数的关系）。
2.配方法：
（1）解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0， b≠0， c≠0)可以转化为适合于直接开平方法的形式(x+m)2=n;
(2)记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”；
(3)在数学思想方法方面，体会“转化”的思想和掌握配方法。
典型例题：
x2 -8x-9=0.
解：移项，得 x 2-8x=9,
两边都加一次项系数一半的平方，
x 2-8x+4 2=q+4 2,
配方，得 (x-4) 2=25,
解这个方程，得 x-4=±5，
移项，得 x=4±5.
即 x 1=9,x2 =-1. (口头检验，是不是原方程的根)
3.用配方法解一元二次方程的步骤
(1)化二次项系数为1；
(2)移项，使方程左边只有二次项及一次项；
(3)在方程两边都加上一次项系数一半的平方；
(4)变形为(x+m2)=n的形式，如果n≥0，得x+m=± ,x=-m± .所以x1=-m+ ,x2=-m--
典型例题：
(1)x2-10x+24=0; (2)x2-8x+15=0;
(3)x2+2x-99=0; (4)y2+5y+2=0;
(5)3x2-1=4x; (6)2x2+2x-30=0;
(7)x2+px+q=0 (p2-4q≥0)；
公式法：
强调公式的条件：
根与系数关系
1.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.
2.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当
b2-4ac≥0时，才能应用根与系关系.
3.可以通过一元二次方程系数判断方程根的情况.
