课件45张PPT。降次——一元二次方程的解法22.2 工人师傅为了修屋顶，把一梯子搁在墙上,梯子与屋檐的接触处到底端的长AB=5米,墙高AC=4米,问梯子底端点离墙的距离是多少?走进生活4设BC=x,根据勾股定理，得 x2+42=52.
化简，得 x2-9=0,
∴ (x-3) (x+3) =0,
解得x1=3,x2=-3 (不合题意，舍去）．
另解：x2=9,
∴x1= =3,
X2=- =-3 (不合题意，舍去）． 一般地,对于形如x2=d(d≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.概念对于一元二次方程x2=d，如果d≥0，那么就可以用开平方法求它的根。
当d>0时,方程有两个不相等的根：
当d=0时,方程有两个相等的根：例1：用开平方法解方程 9x2=4解：两边同除以9，得利用开平方法，得所以，原方程的根是例2：用开平方法解方程 3x2=-4解：两边同除以3，得 因为任何一个实数的平方根不可能是负数，所以原方程没有实数根。一般来说，解形如ax2+c=0(其中a≠0)的一元二次方程，其步骤是：（1）通过移项、两边同除以a，把原方程变形为（2）根据平方根的意义，可知例3：用开平方法解方程 -7x2+21=0解：移项，得两边同除以-7，得利用开平方法，得所以，原方程的根是练一练(1)方程x2=0.25的根是 ；
(2)方程2x2=18的根是 ；
(3)方程(x+1)2=1的根是 . x1=0.5, x2=-0.5x1=3, x2=-3x1=0, x2=-2例4：怎样解方程 (x+1)2=16 ?解：利用开平方法，得可得所以，原方程的根是上面这种解法中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程。用开平方法解下列方程:
(1)3x2－27=0;
(2)(x＋1)2=4
(3)(2x－3)2=7你能用开平方法解下列方程吗?
x2－10x＋16=0合作探究(1)x2＋8x＋ =(x＋4)2
(2)x2－3x＋ =(x－ )2
(3)x2－12x＋ =(x－ )2填空42 ( )2626这种方程怎样解？变形为变形为x2－10x+25=9x2－10x+16=0的形式．（ａ为非负常数） 把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法
叫做配方法.概念用配方法解一元二次方程的步骤:移项:把常数项移到方程的右边;
配方:方程两边都加上一次项系数
一半的平方;
开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
求解:解一元一次方程;
定解:写出原方程的解.例题1. 用配方法解下列方程 x2+6x-7=0解：移项，得两边同时加上“一次项 系数一半的平方”，得利用开平方法，得所以，原方程的根是例2. 用配方法解下列方程 2x2+8x-5=0解：移项并且两边同除以2，得两边同时加上“一次项 系数一半的平方”，得利用开平方法，得所以，原方程的根是1.方程x2+6x-5=0的左边配成完全平方后所得方程为（ ）．
（A）(x+3)2=14 （B） (x-3)2=14
（C） (x+6)2=14 （D）以上答案都不对
2.用配方法解下列方程，配方有错的是（ ）
（A）x2-2x-99=0 化为?(x-1)2=100
（B） 2x2-3x-2=0 化为 (x- 3/4 )2=25/16
（C）x2+8x+9=0 化为 (x+4)2=25
（D） 3x2-4x=2 化为(x-2/3)2=10/9AC3.若实数x、y满足(x+y+2)(x+y-1)=0，
则x+y的值为（ ）．
（A）1 （B）－2
（C）2或－1 （D）－2或1
4.对于任意的实数x，代数式x2－5x＋10的值是一个（ ）
（A）非负数 （B）正数
（C）整数 （D）不能确定的数 DB做一做用配方法解下列方程:
(1)x2＋6x=1
(2)x2=6－5x
(3) －x2＋4x－3=0注意:解第(2)题时要先移项,变形成x2+5x=6的形式;
如果方程的二次项系数为负,则先把二次项系数化为正.用配方法解一般形式的一元二次方程移项，得配方，得即即一元二次方程的求根公式特别提醒(a≠0, b2-4ac≥0)例1.用公式法解方程
（3）2x2-7x=0（2）x2+2x+2=0（1）3x2+5x-1=0（4）4x2+1=-4x（1）3x2+5x-1=0解：a=3，b=5，c=-1，
b2-4ac=52-4×3×（-1）=37>0Х1=Х2=（2）x2+2x+2=0∵b2-4ac=22-4×1×2=-4<0∴此方程无实数解解：a=1，b=2，c=2（3）2x2-7x=0解：a=2，b=-7，c=0
b2-4ac=（-7）2-4×2×0=49>0Х==Х2=0Х1=（4）4x2+1=-4x解：移项，得4x2+4x+1=0
a=4，b=4，c=1，b2-4ac=42-4×4×1=0X==-猜一猜：对于一般式ax2+bx+c=0 （a≠0）的根与b2-4ac的符号有会么关系？故对于方程ax2+bx+c=0 （a≠0）有下列关系：因为ax2+bx+c=0 （a≠0）的求根公式是 (1)当b2 -4ac>0时，方程有两个不相等的根(2)当b2-4ac=0时，方程有两个相等的根x = x = (3)当b2 - 4ac＜0时，方程没有实数根.巩固练习（1）x2+3x-4=0（2） x2- x=1四、探索发现X1=X2=1、从两根的代数式结构上有什么特点？2、根据这种结构可以进行什么运算？你发现了什么？1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解五、智力挑战2、关于x的一元二次方程x2-mx-5=0。 当m 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？X1=X2=一元二次方程的解法因式分解主要方法:
(1)提取公因式法
(2)公式法: a2－b2=(a+b) (a－b)
a2±2ab+b2=(a±b)2请选择： 若A·B=0则（ ）（A）A=0； （B）B=0；
（C）A=0且B=0；（D）A=0或B=0D解方程 4x2=9解：移项，得利用平方差公式分解因式，得可得所以，原方程的根是像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。它的基本步骤是：(1)若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；
(2)将方程的左边分解因式；
(3)根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。练一练填空：
（1）方程x2+x=0的根是 ；（2）x2－25=0的根是 。 X1=0, x2=-1X1=5, x2=-5例1 解下列一元二次方程：
（1）（x－5) (3x－2)=10; 解: 化简方程，得 3x2－17x=0.
将方程的左边分解因式，
得 x(3x－17)=0,
∴x=0 ,或3x－17=0
解得 x1=0, x2=例1 解下列一元二次方程：
(2) (3x－4)2=(4x－3)2.解:移项，得 （3x-4)2-(4x-3)2=0.
将方程的左边分解因式，得
[(3x-4)+(4x-3)][(3x-4)-(4x-3)]=0,
即 (7x-7) (-x-1)=0.
∴7x-7=0,或 -x-1=0.
∴x1=1, x2=-1
能用因式分解法解一元二次方程遇到类似例2这样的，移项后能直接因式分解就直接因式分解，否则移项后先化成一般式再因式分解.小结做一做用因式分解法解下列方程：
(1) 4x2=12x; (2) (x -2)(2x -3)=6;
(3) x2+9=-6x ; (4) 9x2=(x-1)2(5)例2 解方程x2=2√2x－2
解 移项，得 x2 －2√2x+2=0,
即 x2 －2 √2x+(√2)2=0.
∴(x －√2)2=0,
∴x1=x2=√21.解方程 x2－2√3x=-3
2.若一个数的平方等于这个数本身,
你能求出这个数吗(要求列出一
元二次方程求解)?做一做注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便. 因式分解法解一元二次方程的基本步骤（1）将方程变形，使方程的右边为零；（2）将方程的左边因式分解；（3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二
次方程转化为解两个一元一次方程；课件12张PPT。降次——解一元二次方程 ①因式分解法
②直接开平方法
③公式法
④配方法
（方程一边是0，另一边整式容易因式分解）（ (x+m)2=k k≥0 ）(化方程为一般式）（二次项系数为1，而一次项系数为偶数）解一元二次方程的方法方法1方法2方法3解:移项,得
方程左边因式分解,得解题步骤用因式分解法解用配方法解解：两边同时除以3，得:左右两边同时加上 ，得:开平方，得:用公式法解解:移项,得
这里a=3,b=-5,c=-2=49例1.选择适当的方法解下列方程：①
②
③结论先考虑开平方法,
再用因式分解法;
最后才用公式法和配方法.三、自选商场用适当的方法解下列一元二次方程1、x（2x-7）=2x2、x2+4x=33、x2-5x=-44、2x2-3x-1=0配方法因式分解法或配方法公式法因式分解法能不能用整体
思想？例2. 解方程
② 2(x-2)2+5(x-2)-3=0
总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。变1： 2(x-2)2+5(2-x)-3=0再变为： 2(x-2)2+5x-13=02(x-2)2+5x-10-3=0变2： 2(2-x)2+5(2-x)-3=0① (2m+3)2=2(4m+7)比一比谁最快：① (y+ )(y- )=2(2y-3)
② 3t(t+2)=2(t+2)
③ x2=4 x-11
④ (x+101)2-10(x+101)+9=0y1=y2=2
t1=-2,t2=2/3
x1= , x2=
x1=-92,x2=-100
能力拓展解关于x的方程：①②小结：ax2+c=0 ====>ax2+bx=0 ====>ax2+bx+c=0 ====>因式分解法公式法（配方法）2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。1、直接开平方法因式分解法
