课件1张PPT。第八章 不等式(必修5)
第一节 不等关系
第二节 一元二次不等式
第三节 基本不等式
第四节 简单线性规划
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是( )
A．5x＋4y＜200 B．5x＋4y≥200
C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
【解析】 依题意得50x＋40y≤2 000，
即5x＋4y≤200.
【答案】 D
2．若x>1>y，下列不等式中不成立的是( )
A．x－1>1－y B．x－1>y－1
C．x－y>1－y D．1－x>y－x
【解析】 利用不等式的性质直接判断．
【答案】 A
3．下列命题正确的是( )
A．若ac＞bc?a＞b B．若a2＞b2?a＞b
C．若＞?a＜b D．若＜?a＜b
【解析】 对于A，若c＜0，其不成立；
对于B，若a、b均小于0或a＜0，其不成立；
对于C，若a＞0，b＜0，其不成立；
对于D，其中a≥0，b＞0，平方后显然有a＜b.
【答案】 D
4．已知实数a、b、c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a、b、c的大小关系是( )
A．c≥b＞a B．a＞c≥b
C．c＞b＞a D．a＞c＞b
【解析】 c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，
∴c≥b，已知两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2，
∵1＋a2－a＝(a－)2＋＞0，∴1＋a2＞a，
∴b＝1＋a2＞a，∴c≥b＞a.
【答案】 A
5．已知x＞y＞z，且x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是( )
A．xy＞yz B．xz＞yz
C．xy＞xz D．x|y|＞z|y|
【解析】 由已知3x＞x＋y＋z＝0
3z＜x＋y＋z＝0，
∴x＞0，z＜0.
由得：xy＞xz.
【答案】 C
6．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )
A．甲先到教室 B．乙先到教室
C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定
【解析】 设步行速度与跑步速度分别为v1，v2，显然v1＜v2，总路程为2s，
则甲用时间为＋，乙用时间为，
而＋－＝
＝＞0
故＋＞，故乙先到教室．
【答案】 B
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．设A＝1＋2x4，B＝2x3＋x2，x∈R，则A，B的大小关系是______．
【解析】 ∵A－B＝1＋2x4－2x3－x2＝2x3(x－1)－(x2－1)
＝(x－1)(2x3－x－1)
＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)，
∵(x－1)2≥0,2x2＋2x＋1＞0，
∴A－B≥0，即A≥B.
【答案】 A≥B
8．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a、b满足的条件是________．
【解析】 x－y＝(ab－1)2＋(a＋2)2，因为x＞y，所以(ab－1)2＋(a＋2)2＞0，则ab－1≠0或a＋2≠0，
即ab≠1或a≠－2.
【答案】 ab≠1或a≠－2
9．用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的(k∈N＋)．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这件实事中提炼出一个不等式组是________
【解析】 依题意＋＜1，且三次后全部进入，
即＋＋≥1，
故不等式组为.
【答案】
三、解答题(共46分)
10．(15分)已知a≠0，比较(a2＋a＋1)(a2－a＋1)与(a2＋a＋1)(a2－a＋1)的大小．
【解析】 (a2＋a＋1)(a2－a＋1)－(a2＋a＋1)(a2－a＋1)＝[(a2＋1)2－(a)2]－[(a2＋1)2－a2]＝－a2，∵a≠0，∴a2＞0，－a2＜0，
故(a2＋a＋1)(a2－a＋1)＜(a2＋a＋1)(a2－a＋1)．
11．(15分)已知a、b为正实数，试比较＋与＋的大小
【解析】 －(＋)
＝＋＝＋
＝＝
∵a、b为正实数，
∴＋＞0，＞0，(－)2≥0，
∴≥0，当且仅当a＝b时等号成立，
∴＋≥＋，当且仅当a＝b时等号成立．
12．(16分)2008年北京成功举办了第29届奥运会，中国取得了51金、21银、28铜的骄人成绩．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备用12 000元预订15张下表中球类比赛的门票：
比赛项目
票价(元/场)
男篮
1 000
足球
800
乒乓球
500
若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，该球迷想预订上表中三种球类比赛门票，其中足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且足球比赛门票的费用不超过男篮比赛门票的费用，求可以预订的男篮比赛门票数．
【解析】 设足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都预订n(n∈N＋)张，则男篮比赛门票预订(15－2n)张，
得，
解得4≤n≤5.
由n∈N＋，可得n＝5，∴15－2n＝5.
∴可以预订男篮比赛门票5张．
课件24张PPT。1.不等关系
了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．
2．一元二次不等式
(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
加以解决．3．二元一次不等式组与简单的线性规划问题
(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．第一节 不等关系
1．比较两个实数大小的法则
设a，b∈R，则
(1)a＞b?_______，
(2)a＝b?_________，
(3)a＜b?__________.a－b＞0a－b＝0a－b＜0(1)三个关系式左边是实数的大小顺序，右边是实数的运算性质，合起来就是两者之间的关系，它是不等式的理论基础和证明不等式、解不等式的主要依据．
(2)三个关系式可以使不等式问题和实数运算问题互相转化，例如比较两个实数(或代数式)的大小可以转化为判断它们的差的符号．“a≥b”和“a≤b”．“a≥b”是指“a＞b或a＝b”，它等价于“a不小于b”，在a＞b和a＝b中只要有一个成立，a≥b就成立．例如，2≥2,3≥2等都是正确的命题．
2．不等式的基本性质：
(1)对称性：a＞b?b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c.
(3)加法性质：a＞b?a＋c＞b＋c；
a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.
(4)乘法性质：a＞b，c＞0?ac＞bc；
a＞b，c＜0?ac＜bc；
a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.1．已知a，b都是实数，那么“a2>b2”是“a>b”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 令a＝－2，b＝1，(－2)2>12/?－2>1，充分性不成立．
令a＝1，b＝－2,1>－2/?12>(－2)2，必要性不成立．
【答案】 D2．若x＋y＞0，a＜0，ay＞0，则x－y的值为( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．符号不确定
【解析】 ∵a＜0，ay＞0?y＜0，又∵x＋y＞0?x＞0，又－y＞0，∴x－y＞0.故本题应选A.
【答案】 A3．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是( )
A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜n
C．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m
【解析】 方法一：(取特殊值法)
令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验可知只有D正确．
方法二：m＋n＜0?m＜－n?n＜－m，又由于m＜0＜n，
故m＜－n＜n＜－m成立．
【答案】 D4．某地规定本地最低生活保障金不低于300元，上述不等关系写成不等式为________．
【解析】 设最低生活保障金为x元，则x≥300.
【答案】 x≥300【答案】 (－π，0)对于实数a、b、c，判断下列命题的真假．
(1)若a＞b，则ac＞bc；
(2)若a＞b，则ac2＞bc2；
(3)若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；【解析】 (1)因未知c的正负或是否为零，无法确定ac与bc的大小，所以是假命题．
(2)因为c2≥0，所以只有c≠0时才能正确．c＝0时，ac2＝bc2，所以是假命题．
变式：若ac2＞bc2，则a＞b，命题是真命题．
(3)a＜b，a＜0?a2＞ab；a＜b，b＜0?ab＞b2，命题是真命题．比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)(x－3)2与(x－2)(x－4)；
(2)当x＞1时，x3与x2－x＋1；
【解析】 (1)(x－3)2－(x－2)(x－4)
＝x2－6x＋9－(x2－6x＋8)＝1＞0，
∴(x－3)2＞(x－2)(x－4)．
(2)x3－(x2－x＋1)＝x3－x2＋x－1
＝x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(x2＋1)，
∵x＞1，∴x3－(x2－x＋1)＞0，
∴当x＞1时，x3＞x2－x＋1.比较两个代数式的大小，通常采用作差比较法，当两个代数式都有根号，作差后不好变形时，可以作平方差，但要注意只有两个代数式同号时，才可以作平方差比较大小，否则要先将两代数式变形后再比较．1．(1)比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R.
(2)若x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．
【解析】 (1)(x6＋1)－(x4＋x2)
＝x6－x4－x2＋1＝x4(x2－1)－(x2－1)
＝(x2－1)(x4－1)＝(x2－1)(x2－1)(x2＋1)
＝(x2－1)2(x2＋1)．
当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2；
当x≠±1时，x6＋1＞x4＋x2.
(2)(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[x2＋y2－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．
∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0，∴－2xy(x－y)＞0，
∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车．根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．将实际的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换，这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系．
2．私人办学是教育发展的方向，某企业准备投资不超过1200万元兴办一所完全中学，每个初中班的硬件建设需要28万元，每个高中班的硬件建设需要58万元，因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜，初中至少12个班，高中至少8个班，写出满足上述所有不等关系的不等式．本节以考查不等式的性质为重点，同时考查不等关系，常与函数、数列、几何、实际问题等相结合进行综合命题，题型多以选择题形式出现，难度为中档题，多与函数相结合．1．(2009年安徽卷)“a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 “a＋c＞b＋d”?/“a＞b且c＞d”，
∴充分性不成立；“a＞b且c＞d”?“a＋c＞b＋d”，
∴必要性成立，故选A.
【答案】 A2．设a，b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是( )
A．b－a＞0 B．a3＋b3＜0
C．b＋a＞0 D．a2－b2＜0【答案】 C课时作业
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(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．“a＞b＞0”是“ab＜”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 当a＞b＞0时，显然能得出a2＋b2＞2ab，
即ab＜，但由ab＜，不一定能推出a＞b＞0，因为a，b可异号等，选A.
【答案】 A
2．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
【解析】 ∵x＜0，∴－x＞0，
∴x＋－2＝－－2≤－2－2＝－4，等号成立的条件是－x＝，即x＝－1.
【答案】 C
3．若0＜x＜1，则f(x)＝x(4－3x)取得最大值时，x的值为( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵0＜x＜1，∴4－3x＞0，
∴x(4－3x)＝·3x(4－3x)
≤·2＝，
当且仅当3x＝4－3x，即x＝时取得等号．
【答案】 D
4．有一个面积为1 m2，形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的钢管供应用，其中最合理(够用且最省)的是( )
A．4.7 m B．4.8 m
C．4.9 m D．5 m
【解析】 设两个直角边为a，b，则ab＝2，周长p＝a＋b＋≥2＋＝2＋2≈4.828，当且仅当a＝b＝时，等号成立．
【答案】 C
5．已知不等式(x＋y)≥9，对任意正实数x，y恒成立，则正实数a取最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】 ∵(x＋y)＝1＋a＋＋a≥1＋a＋2，
且(x＋y)≥9，
∴9≤1＋a＋2＝(＋1)2，
∴＋1≥3，即a≥4.
∴a的最小值为4.
【答案】 B
6．已知函数f(x)＝2x＋，设函数y＝－|f(x)|的最大值为m，函数y＝f(|x|)的最小值为n，则m－n的值为( )
A．8 B．－8
C．4 D．－4
【解析】 y＝－|f(x)|＝－≤－4，当且仅当2x＝，即x＝±1时取得等号，y＝f(|x|)＝|2x|＋≥4当且仅当|2x|＝，即x＝±1时取等号，所以m＝－4，n＝4，则m－n＝－8.
【答案】 B
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．设正数a，b满足条件a＋b＝3，则直线(a＋b)x＋aby＝0的斜率的取值范围是________．
【解析】 由k＝－＝－，3＝a＋b≥2，
∴ab≤2，
∴k＝－≤－.
【答案】
8．函数y＝(x≠0)的最大值为________，此时x的值为________．
【解析】 y＝＝≤＝，当且仅当x2＝，
即x＝±时取等号．
【答案】 ±
9．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为______．
【解析】 A(－2，－1)，A在直线mx＋ny－1＝0，
－2m－n＋1＝0，
即2m＋n＝1，mn>0，∴m>0，n>0.
＋＝＋＝2＋＋＋2
≥4＋2·＝8.
当且仅当＝即m＝，n＝时等号成立．
故＋的最小值为8.
【答案】 8
三、解答题(共46分)
10．(15分)(1)求函数y＝x＋(x＜0)的最大值；
(2)求f(x)＝3＋lg x＋的最值(0＜x＜1)．
【解析】 (1)∵x＜0，
∴y＝x＋＝－≤－2
＝－.
当且仅当x＝－时取等号，∴ymax＝－.
(2)∵0＜x＜1，∴lg x＜0，＜0，∴－lg x＞0，－＞0.
∴(－lg x)＋≥2＝4.
即(－lg x)＋≥4，∴lg x＋≤－4.
∴f(x)＝3＋lg x＋≤3－4＝－1.
当且仅当lg x＝即x＝时，取等号．
则有f(x)＝3＋lg x＋(0＜x＜1)的最大值为－1，无最小值．
11．(15分)(1)求函数y＝x(a－2x)(x＞0，a为大于2x的常数)的最大值；
(2)设x＞－1，求函数y＝的最值．
【解析】 (1)∵x＞0，a＞2x
∴y＝x(a－2x)＝×2x(a－2x)≤×2
＝
当且仅当x＝时取等号，故函数的最大值为.
(2)∵x＞－1，∴x＋1＞0
设x＋1＝z＞0，则x＝z－1
∴y＝＝＝z＋＋5
≥2＋5＝9
当且仅当z＝2即x＝1时上式取等号
∴x＝1时，函数y有最小值9，无最大值．
12．(16分)西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费，对生产的羊皮手套进行促销．在1年内，据测算年销售量S(万双)与广告费x(万元)之间的函数关系为S＝3－(x＞0)．已知羊皮手套的固定投入为3万元，每生产1万双羊皮手套仍需再投入16万元．(年销售收入＝年生产成本的150%＋年广告费的50%)
(1)试将羊皮手套的年利润L(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；
(2)当年广告费投入为多少万元时，此公司的年利润最大，最大利润为多少？(年利润＝年销售收入－年广告费)
【解析】 (1)由题意知，羊皮手套的年成本为(16S＋3)万元，年销售收入为(16S＋3)×150%＋x·50%，年利润L＝(16S＋3)×150%＋x·50%－(16S＋3)－x，即L＝(16S＋3－x)，得L＝(x＞0)．
(2)由L＝＝－≤－2＝21.5.当且仅当＝，即x＝4时，L有最大值21.5，因此，当年广告费投入为4万元时，此公司的年利润最大，最大利润为21.5万元．
课件33张PPT。第三节 基本不等式
1．基本不等式
上述四个不等式等号成立的条件是什么？
【提示】 都是a＝b.
两个不等式取等号的条件是当且仅当“a＝b”时，应理解为：①“当”就是a＝b时，a2＋b2＝2ab；②“仅当”指的是a2＋b2＝2ab时，a＝b.也就是a＝b是a2＋b2＝2ab的充要条件．利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正，二定，三相等”．“一正”即公式中的a、b必须是正数，“二定”即必须有定值(和为定值或积为定值)，“三相等”即公式中的等号必须成立．必要时要合理拆分项或配凑因式，以满足上述三个条件．1．已知两个正数a，b的等差中项为4，则a，b的等比中项的最大值为( )
A．2 B．4
C．8 D．16【答案】 B【答案】 B【答案】 B【答案】 35．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．【答案】 20【思路点拨】 由于不等式左边含字母a，b，右边无字母，直接使用基本不等式既无法约掉字母a，b，不等号方向又不对，因a＋b＝1，可把左边展开，实行“1”的代换．解下列问题：(1)已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值；某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．
(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．(1)解应用题时，一定要注意变量的实际意义，即其取值范围．
(2)在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到等号，此时要利用函数的单调性．2．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝ )．本节以考查基本不等式的应用为重点，兼顾考查代数式变形、化简能力，注意“一正、二定、三相等”的条件．考查方式、可出选择题、填空题，也可出以函数为载体的解答题．不等式证明不会太难．但题型多样，涉及面广．【答案】 C2．(2009年湖北卷)围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．课时作业
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．不等式组的解集为( )
A．{x|－1＜x＜1} B．{x|0＜x＜3}
C．{x|0＜x＜1} D．{x|－1＜x＜3}
【解析】 ??0＜x＜1.
【答案】 C
2．(2008年山东卷)不等式≥2的解集是( )
A. B.
C.∪(1,3] D.∪(1,3]
【解析】 ∵(x－1)2≠0，∴x≠1.
∴x＋5≥2(x－1)2
∴2x2－5x－3≤0.∴－≤x≤3.
综上得不等式的解集为∪(1,3]．
【答案】 D
3．b2－4ac＜0是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是R的( )
A．充分条件，但不是必要条件
B．必要条件，但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件，也不是必要条件
【解析】 若ax2＋bx＋c＞0的解集为R，
则必有，故选B.
【答案】 B.
4．若关于x的不等式ax－b＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式＞0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(1,2) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
【解析】 由于ax＞b的解集为(1，＋∞)，故有a＞0且＝1，又＞0?(ax＋b)(x－2)＝a(x＋1)(x－2)＞0?
(x＋1)(x－2)＞0，故不等式解集为A.
【答案】 A
5．设A＝{x|x2－2x－3＞0}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若A∪B＝R，A∩B＝(3,4]，则a＋b等于( )
A．7 B．－1
C．1 D．－7
【解析】 由A可知x＜-1或x＞3，如图．
若A∪B=R，则x2+ax+b=0的两根x1，x2必有
x1≤-1，x2≥3.
又A∩B=(3,4]，故x1=-1，x2=4.
∴-1+4=-a，∴a=-3，
-1×4=b，∴b=-4，故a+b=-7.
【答案】 D
6．若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈恒成立，则a的最小值是( )
A．0 B．－2
C．－ D．－3
【解析】 设f(x)＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝－.
若－≥，即a≤－1时，f(x)在上是减函数，
应有f≥0?a≥－，
∴－≤a≤－1；若－≤0，即a≥0时，f(x)在上是增函数，应有f(0)≥0恒成立，而f(0)＝1＞0，故a≥0；若0≤－≤，即－1≤a≤0时，应用f＝－＋1＝1－≥0恒成立，
故－1≤a≤0.综上，有a≥－，故选C.
【答案】 C
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．若关于x的不等式－x2＋2x＞mx的解集是{x|0＜x＜2}，则实数m的值是________．
【解析】 －x2＋2x＞mx可化为x2＋(2m－4)x＜0，由于其解集为{x|0＜x＜2}，故0,2是方程x2＋(2m－4)x＝0的两根，
由一元二次方程根与系数的关系知，4－2m＝2，所以m＝1，
故填1.
【答案】 1
8．若集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x＞a}，且A∩B＝?，则实数a的取值范围是________．
【解析】 不等式x2－2x－3≤0?(x＋1)(x－3)≤0，
∴x∈[－1,3]．
∴集合A＝{x|－1≤x≤3}．
∵A∩B＝?，
∴B＝{x|x＞3}，∴a≥3.
【答案】 a≥3
9．已知函数f(x)＝－x2＋2x＋b2－b＋1(b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是________．
【解析】 依题意，f(x)的对称轴为x＝1，又开口向下，
∴当x∈[－1,1]时，f(x)是单调递增函数．
若f(x)＞0恒成立，
则f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＞0，
即b2－b－2＞0，∴(b－2)(b＋1)＞0，
∴b＞2或b＜－1.
【答案】 b＞2或b＜－1
三、解答题(共46分)
10．(15分)解下列关于x的不等式．
(1)(x2－1)(x2－6x＋8)≥0
(2)12x2－ax＞a2(a∈R)．
【解析】 (1)方法一：由(x2－1)(x2－6x＋8)≥0可得
①或②
由①解得x≥4，或1≤x≤2，或x≤－1.
由②得x∈?，
∴原不等式解集为{x|x≤－1或1≤x≤2或x≥4}，
方法二：将原不等式变形为(x＋1)(x－1)(x－2)(x－4)≥0，令f(x)＝(x＋1)(x－1)(x－2)(x－4)，各因式根依次为－1,1,2,4.
结合图形，可得原不等式的解集为{x|x≤－1或1≤x≤2或x≥4}．
(2)由12x2－ax－a2>0?(4x＋a)(3x－a)>0
?>0，
①a>0时，－<，解集为；
②a＝0时，x2>0，解集为{x|x≠0}；
③a<0时，－>，解集为.
11．(15分)已知不等式mx2－2x－m＋1＜0.是否存在实数m，使对于所有的实数x不等式恒成立？若存在，求m的取值范围．若不存在，说明理由．
【解析】 不等式mx2－2x－m＋1＜0恒成立，
即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方．
注意讨论m＝0时的情况．
当m＝0时，1－2x＜0，当x＞时不等式不能恒成立；
当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，
即此时m无解．
综上可知m的值不存在．
12．(16分)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R(x)(万元)满足：
R(x)＝
假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：
(1)要使工厂赢利，产量x应控制在什么范围？
(2)工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？
【解析】 依题意，G(x)＝x＋2.
设利润函数为f(x)，则
f(x)＝
(1)要使工厂赢利，即解不等式f(x)＞0，
当0≤x≤5时，解不等式－0.4x2＋3.2x－2.8＞0
即x2－8x＋7＜0，∴1＜x＜7，
∴1＜x≤5.
当x＞5时，解不等式8.2－x＞0，得x＜8.2，
∴5＜x＜8.2.
综上，要使工厂赢利，x应满足1＜x＜8.2，即产品应控制在大于100台，小于820台的范围内．
(2)0≤x≤5时，f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6；
故当x＝4时，f(x)有最大值3.6；
而当x＞5时，f(x)＜8.2－5＝3.2，
所以，当工厂生产400台产品时，赢利最
课件29张PPT。第二节 一元二次不等式
1．一元二次不等式的解集如下表
{x|x＜x1或x＞x2}{x|x1＜x＜x2}{x|x≠x1}当a<0时，ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集如何？
【提示】 当a<0时，可利用不等式的性质将二次项系数化为正数，注意不等号的变化，而后求得方程两根，再利用“大于号取两边，小于号取中间”求解．(1)解一元二次不等式主要采用判别式法、求根法，应结合上表深刻理解不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集与对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根以及二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象之间的关系
(2)解一元二次不等式要注意密切联系一元二次方程、二次函数的图象，一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标，对应不等式的解集就是使函数图象在x轴上方或下方的部分所对应的x的集合，方程的根就是不等式解集区间的端点．2．用一个流程图来描述一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解的算法过程．
【答案】 B2．不等式x2－|x|－2＜0的解集是( )
A．{x|－2＜x＜2} B．{x|x＜－2或x＞2}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|x＜－1或x＞1}
【解析】 原不等式?|x|2－|x|－2＜0?(|x|－2)(|x|＋1)＜0?|x|－2＜0?－2＜x＜2，故选A.
【答案】 A【答案】 C【解析】 原不等式?2x2＋2x－4≤2－1?x2＋2x－4≤－1，
即x2＋2x－3≤0，解之得－3≤x≤1，解集为[－3,1]．
【答案】 [－3,1]解下列不等式：
(1)2x2＋4x＋3<0；
(2)－3x2－2x＋8≤0；
(3)8x－1≥16x2.
【思路点拨】 首先将二次项系数转化为正数，再看二次三项式能否因式分解，若能，则可得方程的两根，可大于号取两边，小于号取中间，若不能，则再看“Δ”，利用求根公式求解方程的根，而后写出解集．解下列关于x的不等式；
(1)x－a2＜(x－a2)2；
(2)(x－a)(a2－x)≤0.
【解析】 (1)由x－a2＜(x－a2)2，
得(x－a2)[x－(a2＋1)]＞0.
∵a2＜a2＋1，∴x＜a2或x＞a2＋1.
故不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a2＋1}．(2)原不等式等价于(x－a)(x－a2)≥0，
①当a＜0或a＞1时，
有a2＞a，∴原不等式的解集为{x|x≤a或x≥a2}．
②当0＜a＜1时，
有a2＜a，∴原不等式的解集为{x|x≤a2或x≥a}．
③当a＝0，有x2≥0，
当a＝1有(x－1)2≥0，
∴当a＝0或a＝1时，
原不等式的解集为R.解含参数的不等式时，一定要注意参数的取值范围．当二次项的系数含参数时，应按其系数大于0、等于0、小于0进行分类．当二次不等式对应方程存在两实根时，应先确定两根的大小，方可写解集．1．(1)解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.(a＞0)．
(2)当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0的解集为R.国家原计划以2 400元/t的价格收购某种农产品m t，按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，决定降低税率．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点，试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.不等式应用题常以函数的模型出现，多是解决现实生活、生产、科技中的最优化问题，在解题中常涉及到不等式的解的问题．解不等式的应用题，要审清题意，建立合理、恰当的数学模型，这是解不等式应用题的关键．2．某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销集量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？本节以考查一元二次不等式的解法为主，兼顾二次方程的判别式、根的存在性等知识．以函数、数列、解析几何为载体，以二次不等式的解法为手段，考查求参数的范围问题．以选择、填空题为主，偶尔穿插于解答题中考查．1．(2009年山东卷)在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为( )
A．(0,2) B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
【解析】 ∵x·(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＜0，
∴x2＋x－2＜0.∴－2＜x＜1.
【答案】 B【解析】 f(1)＝12－4×1＋6＝3，当x≥0时，x2－4x＋6＞3，解得x＞3或0≤x＜1；当x＜0时，x＋6＞3，解得－3＜x＜0.
【答案】 A课时作业
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域的是( )
A．(0,0) B．(－1,1)
C．(－1,3) D．(2，－3)
【解析】 ∵将x＝－1，y＝3代入x＋y－1
得－1＋3－1＝1>0，
故(－1,3)不在x＋y－1≤0表示的平面区域内．
【答案】 C
2．不等式组表示的平面区域为( )
A．四边形及其内部
B．等腰三角形及其内部
C．在第一象限内的一个无界区域
D．不包含第一象限内的点的一个有界区域
【解析】 画出不等式组表示的平面区域如图，易知2x-y+1=0与x-2y-1=0关于y=x对称，与x+y=1所成角相等，故不等式组表示的平面区域为等腰三角形及其内部．
【答案】 B
3．已知实数x，y满足，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于( )
A．7 B．5
C．4 D．3
【解析】 将直线y＝x＋1与y＝2x－1联立解得A(2,3)，据题意即为最优解，又点A必在直线x＋y＝m上，代入求得m＝5.
【答案】 B
4．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )
A．a＜5 B．a≥8
C．5≤a＜8 D．a＜5或a≥8
【解析】 如图作出可行域，要构成三角形，直线y＝a只能介于y＝5和y＝8两直线间，故5≤a＜8.
【答案】 C
5．(2008年山东卷)设二元一次不等式组，所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是( )
A．[1,3] B．[2，]
C．[2,9] D．[，9]
【解析】 作二元一次不等式组的可行域如图所示，由题意得A(1,9)，C(3,8)．
当y=ax过A(1,9)时，a取最大值，此时a=9；
当y=ax过C(3,8)时，a取最小值，此时a=2，∴2≤a≤9.
【答案】 C
6．(2009年山东卷)某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
【解析】 设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，
则
目标函数为z＝200x＋300y.
作出其可行域，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2300元．
【答案】 2300
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.
能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是 .
【解析】 由阴影部分知
x≤0,0≤y≤1，
又2×0-0+2>0，
故2x-y+2≥0，
∴所求二元一次不等式组为.
【答案】
8．若实数x，y满足，z＝3x＋2y，则z的取值范围是______．
【解析】
作出图象可知，此平面区域是以O(0,0)，A(0,1)，B为顶点的三角形内部(包括边界)，当x=0，y=0时，x+2y取得最小值0；当x=0，y=1时，x+2y取得最大值2.又因为指数函数y=3x在[0,2]上为增函数，故z=3x+2y的取值范围为[1,9]．
【答案】 [1,9]
9．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下，最少要花费________元．
【解析】 设购买第一种包装x袋，第二种包装y袋，由已知条件35x+24y≥106，x≥0，y≥0，则当x=1，y=3时，z=140x+120y，取到最小值500元．
【答案】 500
三、解答题(共46分)
10．(15分)已知非负实数x、y满足
(1)画出不等式组所表示的平面区域；
(2)求z＝x＋3y的最大值．
【解析】 (1)所给不等式组所表示的平面区域为图中阴影所示．
(2)如图作出直线l：x+3y=0，把直线向上平移至l1的位置，使l1经过可行域上点M，此时点M与原点为的距离最大，此时z=x+3y的最大值是0+3×3=9.
11．(15分)设S为平面上以A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)为顶点的三角形区域(含三角形内部及边界)．若点(x，y)在区域S上变动．
(1)求z＝3x－2y的最值；
(2)求z＝y－x的最大值，并指出其最优解；
(3)若x，y为整数，求z＝y－x的最大值，并指出其最优解．
【解析】 (1)z＝3x－2y可化为y＝x－＝x＋b，
故求z的最大值、最小值，相当于求直线y＝x＋b在y轴上的截距b的最小值、最大值．即b取最大值时，z取最小值；反之亦然．
如图(1)所示，直线y＝x左、右平行移动，
(1)
当y＝x＋b过B点时，bmax＝，此时zmin＝－2b＝－5；
(2)
当y＝x＋b过A点时，
bmin＝－，此时zmax＝－2b＝11.
(2)z＝y－x可化为y＝x＋z，故求z的最大值，相当于求直线y＝x＋z在y轴上的截距z的最大值．如图(2)所示，直线y＝x平行移动，
当直线y＝x＋z与直线BC重合时，zmax＝2，此时线段BC上任一点的坐标都是最优解．
(3)由(2)可知zmax＝2，最优解都在线段BC上，且x，y为整数，所以最优解有(－1,1)，(0,2)，(1,3)．
12．(16分)某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：
产品A(件)
产品B(件)
研制成本与搭载
费用之和(万元/件)
20
30
计划最大资金额300万元
产品重量(千克/件)
10
5
最大搭载重量110千克
预计收益(万元/件)
80
60
试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？
【解析】 设搭载产品Ax件，产品By件，
预计收益z＝80x＋60y.
则，作出可行域，如图
作出直线l0：4x+3y=0并平移，由图象得，当直线经过M点时z能取得最大值，，
解得即M(9,4)．
所以zmax=80×9+60×4=960(万元)．
答：搭载产品A9件，产品B4件，可使得总预计收益最大，为960万元．
课件41张PPT。第四节 简单线性规划
1．二元一次不等式表示平面区域
(1)二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线l：Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________，直线l应画成____，Ax＋By＋C＜0，表示直线l______所有点组成的_________，画不等式Ax＋By＋C≥0(或≤0)所表示的平面区域时，应把边界直线画成____．平面区域虚线另一侧实线平面区域(2)若点P(x0，y0)与点P1(x1，y1)在直线l：Ax＋By＋C＝0的同侧，则Ax0＋By0＋C与Ax1＋By1＋C______．
若点P(x0，y0)与点P1(x1，y1)在直线l：Ax＋By＋C＝0的异侧，则Ax0＋By0＋C与Ax1＋By1＋C_____．
(3)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的_____，即各个不等式所表示的平面区域的________．同号异号交集公共部分(1)判断不等式Ax＋By＋C＞0所表示的平面区域，可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证Ax＋By＋C的正负．当C≠0时，常选用原点(0,0)．
(2)画不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域时，其边界直线应为虚线；画不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域时，边界直线应为实线．画二元一次不等式表示的平面区域，常用的方法是：直线定“界”、原点定“域”，即先画出对应的直线，再将原点坐标代入直线方程中，看其值比0大还是比0小；不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即它们平面区域的公共部分．2．线性规划中的基本概念
不等式(组)一次解析式(x，y)最大值最小值(1)最优解可有两种确定方法：
①将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．
②利用围成可行域的直线的斜率来判断．若围成可行域的直线l1，l2，…，ln的斜率分别为k1＜k2＜…＜kn，而且目标函数直线的斜率为k，则当ki＜k＜ki＋1时，直线li与li＋1相交的点是最优解．
(2)利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：
①作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式表示的半平面，然后求出所有半平面的交集．
②作出目标函数的等值线．
③求出最终结果．在可行域内平行移动目标函数等值线．从图中能判定问题有唯一最优解，或者是有无穷最优解，或是无最优解．当表示线性目标函数的直线与可行域的某一边平行时，其最优解可能有无数多个．1．目标函数z＝3x－y，将其看成直线方程时，z的意义是( )
A．该直线的截距 B．该直线的纵截距
C．该直线的纵截距的相反数 D．该直线的横截距
【解析】 令x＝0得z＝－y，
∴z的意义是该直线在y轴上截距的相反数．
【答案】 C【答案】 B 【答案】 C【答案】 (1,4)或(11,4)【解析】 可行域如图所示，作直线y＝－x，当平移直线y＝－x至点A处时，s＝x＋y取得最大值，即smax＝4＋5＝9.
【答案】 9如图，△ABC中，A(0,1)，B(－2,2)，C(2,6)，写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组．
(2)(2009年福建卷)在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( )
A．－5 B．1
C．2 D．3
【思路点拨】 (1)通过三点可求出三条直线的方程，而后利用特殊点验证．因三条直线均不过原点，故可由原点(0,0)验证即可．
(2)找出关键点A、B、C知AB∥y轴．可求|AB|长．及C点到AB的距离．【答案】 D【解析】 不等式组 表示的平面区域如图所示．
图中阴影部分即为可行域．
由 ，得，
∴A(1,2)；
由 ，得∴B(2,1)；
由 ，得，∴M(2,3)．(1)∵z=2x+y，∴y=-2x+z，
当直线y=-2x+z经过可行域内点M(2,3)时，
直线在y轴上的截距最大，z也最大
此时zmax=2×2+3=7.
当直线y=-2x+z经过可行域内点A(1,2)时，
直线在y轴上的截距最小，z也最小
此时zmin=2×1+2=4.
所以z的最大值为7，最小值为4.(2)过原点(0,0)作直线l垂直于直线x+y-3=0，垂足为N，则直线l的方程为y=x，
由 得
点N在线段AB上，也在可行域内．
此时可行域内点M到原点的距离最大，点N到原点的距离最小．
线性规划求最值问题，要充分理解目标函数的几何意义，诸如直线的截距、两点间的距离(或平方)、点到直线的距离、过已知直线两点的直线斜率等．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能出现的最大的亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元．
(1)为了确保资金亏损不超过1.8万元，请你给投资人设计一投资方案，使得投资人获得的利润最大；
(2)求投资人资金亏损不超过1万元的概率．易知B点为最优解，解方程组
得B(4,6)．
故zmax=4+0.5×6=7，即甲项目投资4万元，乙项目投资6万元能使资金亏损不超过1.8万元的情况下盈利最大．
(2)由题意可知，此题为几何概型问题，如下图
(1)认真审题分析，设出未知数，写出线性约束条件和目标函数．
(2)作出可行域．
(3)作出目标函数对应的直线l.
(4)在可行域内平行移动直线，从图中能判定问题有唯一最优解，或是有无穷最优解或无最优解．
(5)求出最优解，从而得到目标函数的最值．2．某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个．问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？作出一组平行直线7x+12y=t，当直线经过直线4x+5y=200和直线3x+10y=300的交点A(20,24)时，利润最大．
即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，zmax=7×20+12×24=428(万元)．
答：每天生产甲产品20吨，乙产品24吨，才能使利润达到最大．本节以考查线性目标函数的最值为重点，兼顾考查代数式的几何意义(如斜率、距离、面积等)．
多在选择、填空题中出现，有时会在解答题中出现，常与实际问题相联系，列出线性约束条件，求出最优解．【解析】 不等式组表示的平面区域如下图所示．
2．(2009年湖北卷)在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )
A．2 000元 B．2 200元
C．2 400元 D．2 800元
【答案】 B课时作业
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