（北师大版必修5）数学 第二章 第2-3节 三角形中的几何计算；解三角形的实际应用举例（文）知识精讲
文档属性
| 名称 | （北师大版必修5）数学 第二章 第2-3节 三角形中的几何计算；解三角形的实际应用举例（文）知识精讲 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 178.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-09-28 20:12:00 | ||
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文档简介
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第二章 第2-3节 三角形中的几何计算；解三角形的实际应用举例（文）北师大版必修5
【本讲教育信息】
一、教学内容：
三角形中的几何计算及实际应用举例
二、教学目标
（1）体会用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题。
（2）能灵活的运用正弦定理、余弦定理解决测量、航海、台风预报等有关的实际问题，体会建立三角函数模型的思想。
（3）结合正弦定理、余弦定理等体会用方程的数学思想、分论讨论的数学思想等解决实际问题。
三、知识要点分析：
1. 三角形中的几何计算的有关知识点（三角形中的边和角的关系：）
（i）大角对大边：
（ii）正弦定理：，（R是三角形外接圆的半径）
（iii）余弦定理：
（iv）三角形的面积
S△ABC
2. 解决实际问题的有关知识点
（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。
（2）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角叫方位角。
（3）解决实际问题的步骤。
（i）理解题意分清已知与未知。（ii）画图建模利用正、余弦定理等知识点求解。（iii）作答。
3. 掌握三角形内角诱导公式及相关的结论，（i）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
（ii）
（iii）
【典型例题】
考点一：三角形中的几何计算
例1. 设D是直角三角形ABC的斜边BC上的一点，AB=AD，。
（1）求证：，（2）若求的值。
思路分析：（1）由已知找出与的关系，即，即可证明。（2）由正弦定理得到关于的方程即可。
解：（1）由AB=AD
.
①
（2）由正弦定理得：
将此式代入①得：
②
将②整理得：
又
故。即所求的角是
例2. 设P是正方形ABCD内一点，P到A、B、C的距离分别是1，2，3，求正方形ABCD的边长
思路分析：设正方形的边长为x，根据角ABP与角CBP互余，可知其余弦的平方和是1，建立关于x的方程，再求解。21世纪教育网
解：设边长是x，（1在三角形ABP中：由余弦定理得：，
同理在△CBP中： ，90°得：
即有： （*）
解*得所求的边长为。
说明：使用正弦定理或余弦定理或相关的知识点解决几何问题，首先要在已知的图形中构造三角形（已有三角形，不需构造），能构造特殊三角形的尽可能地构造特殊的三角形。
考点二：研究几何计算问题中的最值问题。
如图所示，点P在直径AB=1的半圆上移动，过点P作半圆的切线PT，使PT=1，则如何确定P点的位置？才能使得四边形ABTP的面积最大？
思路分析：由已知得P点的变化引起角PAB的变化，故可把四边形ABTP的面积表示成关于角PAB的函数，然后求函数的最值。
解：连接BP，设∠PAB＝α，由AB为直径得∠APB＝90°，即△APB是直角三角形，
由AB=PT=1得：。又PT是圆的切线，故，∠BPT＝∠PAB＝α
例4. 在等边三角形ABC中，AB=a，O为中心，过O的直线交AB于M，交AC于N，
求的最大值。
思路分析：由于M、N的变化导致角MOA的变化，然后利用正弦定理，把式子表示成角MOA的函数，再求最大值。
解：由已知∠MAO=∠NAO＝30°，设∠MOA＝θ，则
故当时，即时，取得最大值是。
【说明】在三角形几何计算中解决最值问题的关键是引入变量。
考点三：利用正弦定理、余弦定理解决实际问题
例5. （1）（航海问题）已知一测高仪表失灵的飞机在高空以300km/h的速度按水平方向向东飞行，飞机的航线和山顶C在同一铅直的平面内，若在A处的飞行员利用测角仪器测得先看到海拔高度为4000m的山顶C的俯角为15°，经120秒后在B点又看到山顶C的俯角是60°，求飞机现在的海拔高度。
思路分析：先根据已知条件画出图形，找出两个俯角，再根据正弦定理求出BC，在直角三角形BCD中求出CD，CD加上山的高度即是飞机现在的海拔高度。
解：根据已知画出图形（如图）∠BAC=15°，∠DBC=60°，故∠BCA=45°
又AB=300×=10（km），则在△ABC中由正弦定理得：
在直角△BDC中：CD=BCsin60°=
故飞机飞行的海拔高度是3170+4000=7170（米）
（2）某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮在方位角45°，距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以每小时9海里的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以每小时21海里的速度前去营救，求舰艇的航向及靠近渔轮的时间。
思路分析：根据题意先画出图形，设舰艇收到信号后x小时在B处靠拢渔轮，在三角形ABC中利用余弦定理可求得x，再用正弦定理求得舰艇的航向。
解：设舰艇收到信号x小时在B处与渔轮靠拢，则AB=21x，BC=9x，AC=10，∠ACB=
120°
在△ABC中，由余弦定理得：120°
整理得：，由正弦定理可求∠BAC≈
21.8°，
答：舰艇沿方位角（45°+21.8°）的方向航行40min 可靠近渔轮。
例6. （测量问题）欲测量河对岸两点P，Q之间的距离，应如何测量？
思路分析：可以在岸边选定距离为a的两个观测点A，B，然后测出角BAP，角BAQ，角ABQ，角ABP，利用正弦定理求解。
解：选定距离为a的两个观测点A，B。利用测角仪器测得：∠BAP=∠BAQ=，∠ABQ=
∠ABP=，则由正弦定理得：，
同理：，在三角形APQ中利用余弦定理得：
例7. （台风问题）某城市附近的海面上有一股台风，台风中心位于城市O的南偏东方向300km海面的P处，并以每小时20km/h的速度向北偏西45°的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当时半径是60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市受到台风的侵袭？21世纪教育网
思路分析：设经过x小时该城市恰好受到台风的侵袭，假设台风中心由P移到Q处（如图），此时台风的侵袭半径是OQ=60+10x,在三角形OPQ中，OP=300,PQ=20x,由余弦定理建立关于x的方程求x。
解：设x小时后该城市恰好受到台风的侵袭，此时台风中心由P处移到Q处，台风的侵袭半径是（60+10x）km，城市O恰好受到台风侵袭的条件是OQ=60+10x
在三角形OPQ中：OP=300，PQ=20x，∠OPQ=－45°，cos∠OPQ=cos（－45°）
=，
由余弦定理得：
故方程无解，即该城市不会受到台风的影响。
【本讲涉及的数学思想、方法】
本讲主要讲述了利用正弦定理、余弦定理及其相关的知识解决三角形中的几何计算及实际问题，在此过程中，体现了方程的数学思想（如例1、例2）、函数的数学思想（如求最值问题）、等价转化的数学思想等在解题中的应用。
预习导学案
（不等关系及一元二次不等式的解法）
一：预习前知
1. 在初中你学过不等式有哪些性质？
2. 解一元一次不等式的步骤有哪些？
3. 解关于x的不等式：ax>b (a,b是实数)
4. 二次函数的关系是什么？
二：预习导学
探究、反思
探究反思的任务：不等关系、一元二次不等式的解法
1、举例说明在现实生活中的不等关系。
【反思】比较两个实数大小的方法有哪些？（作差比较，作商比较）
a-b>0
2、不等式的性质有哪些？
传递性_________，(2)加法单调性_________，（3）乘法单调性_________。（4）同向不等式相加______________（5）两边都是正数的同向不等式相乘_____________。
【反思】由上面的性质你能证明：a>b>0,吗？
3、一元二次不等式的定义：_____________________________________________。
4、一元二次不等式的解法的步骤有_______________________________________。
【反思】（1）你能画出解一元二次不等式的解法的程序框图吗？
（2）对不等式，若方程
三种情形中，如何表示不等式的解集？
5、分式不等式的解法思想是___________________________________________
【反思】分式不等式可化为不等式组________________
6、一元高次不等式的解法思想是__________________________________________
简述用穿针引线法求一元高次不等式的解集的方法。
【反思】：在利用穿针引线法求一元高次不等式的解集的过程中，若出现因式，应如何处理？
【模拟试题】（答题时间：70分钟）
一、选择题：
1. 在△ABC中，已知a=1，b=，∠A=30°，B为锐角，则角A，B，C的大小关系是（ ）
A. A>B>C B. B>A>C C. C>B>A D. C>A>B
*2. 在△ABC中，角A，B满足：sin=sin，则三边a，b，c必满足（ ）
A. a=b B. a=b=c
C. a+b=2c D.
3. 如图，D，C，B三点在一条直线上，DC=a，从C，D两点测得A点的仰角是，（）则A点离地面的高度AB 等于（ ）[来源:21世纪教育网]
4. 在三角形ABC中，下列等式总能成立的是（ ）
A. a cosC=c cosA B. bsinC=csinA C. absinc=bcsinB D. asinC=csinA
*5. 某人向正东方向走x千米后，他向右转150°，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好为千米，则x=（ ）
*6. 有一座20米高的观测台，测得对面一水塔塔顶的仰角是60°，塔底的俯角是，则这座塔高是（ ）
*7. 已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都是a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离是（ ）
8. 在三角形ABC中，若（a+b+c）（b+c－a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，则三角形ABC是（ ）
A. 等腰三角形， B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
二、填空题：
*9. 在三角形ABC中，a－b=4，a+c=2b，且最大角为120°，则此三角形的周长是
**10. 在三角形ABC中，若C=3B，则的取值范围是
*11. 在三角形ABC中，已知B=45°，C=60°，则三角形的面积S=________
12. 海上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望，C岛和B岛成60°视角，从B岛望A岛和C岛成75°视角，则B岛和C岛的距离是 海里
*13. 在三角形ABC中，若acosA+bcosB=c cosC，则三角形ABC的形状是
**14. 若等腰三角形的顶角是20°，底边和一腰长分别是b，a，则下列结论不成立的是[来源:21世纪教育网]
（1），（3）（4）
三、计算题：
*15. 已知地面上有一旗杆OP，为了测得其高度h，地面上取一基线AB，AB=20米，在A处测得P点的仰角∠OAP=30°，在B处测得P点的仰角∠OBP=45°，又知∠AOB=60°，求旗杆的高度h.
16. 已知小岛A的周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，问有无触礁的危险？
**17. 在圆心角为60°的扇形铁板OAB中，工人师傅要裁出一个面积最大的内接矩形，求此内接矩形的最大面积。
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【试题答案】
一、选择题: C D A D C B B B
二、填空题：
9. 30 10.（1，3） 11. 12.
13. 直角三角形 14.（2）（3）（4）
三、计算题：
15.【分析】欲求旗杆的高度，只要注意到OP=OB=h.然后利用正弦定理或余弦定理解决即可。
解：AO=OPcot30°=，OB=OP=h，在三角形ABO中：由余弦定理得：
60°
答：所求旗杆的高度是。
16.【分析】要判断船有无触礁的危险，只要判断A到BC的直线距离是否大于38海里就可以判断。
解：在三角形ABC中：BC=30，∠B=30°，∠ACB=180°－45°=135°，故∠A=
15°
由正弦定理得：
故
于是A到BC的直线距离是Acsin45°==
，大于38海里。
答：继续向南航行无触礁的危险。
17. 【分析】要找出内接矩形的长宽与面积S的关系，可采用引入第三个变量的办法，用表示矩形的长宽x，y，这样矩形的面积可以表示成的三角函数，通过的变化情况，得出S的最大值。
解：如图，设PQ=x，MP=y，则矩形面积S=xy
连接ON，令∠AON=，则y=Rsin
在三角形OMN中：由正弦定理得：
故当=30°时，矩形的面积最大，其最大值是.
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第二章 第2-3节 三角形中的几何计算；解三角形的实际应用举例（文）北师大版必修5
【本讲教育信息】
一、教学内容：
三角形中的几何计算及实际应用举例
二、教学目标
（1）体会用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题。
（2）能灵活的运用正弦定理、余弦定理解决测量、航海、台风预报等有关的实际问题，体会建立三角函数模型的思想。
（3）结合正弦定理、余弦定理等体会用方程的数学思想、分论讨论的数学思想等解决实际问题。
三、知识要点分析：
1. 三角形中的几何计算的有关知识点（三角形中的边和角的关系：）
（i）大角对大边：
（ii）正弦定理：，（R是三角形外接圆的半径）
（iii）余弦定理：
（iv）三角形的面积
S△ABC
2. 解决实际问题的有关知识点
（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。
（2）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角叫方位角。
（3）解决实际问题的步骤。
（i）理解题意分清已知与未知。（ii）画图建模利用正、余弦定理等知识点求解。（iii）作答。
3. 掌握三角形内角诱导公式及相关的结论，（i）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
（ii）
（iii）
【典型例题】
考点一：三角形中的几何计算
例1. 设D是直角三角形ABC的斜边BC上的一点，AB=AD，。
（1）求证：，（2）若求的值。
思路分析：（1）由已知找出与的关系，即，即可证明。（2）由正弦定理得到关于的方程即可。
解：（1）由AB=AD
.
①
（2）由正弦定理得：
将此式代入①得：
②
将②整理得：
又
故。即所求的角是
例2. 设P是正方形ABCD内一点，P到A、B、C的距离分别是1，2，3，求正方形ABCD的边长
思路分析：设正方形的边长为x，根据角ABP与角CBP互余，可知其余弦的平方和是1，建立关于x的方程，再求解。21世纪教育网
解：设边长是x，（1
同理在△CBP中： ，90°得：
即有： （*）
解*得所求的边长为。
说明：使用正弦定理或余弦定理或相关的知识点解决几何问题，首先要在已知的图形中构造三角形（已有三角形，不需构造），能构造特殊三角形的尽可能地构造特殊的三角形。
考点二：研究几何计算问题中的最值问题。
如图所示，点P在直径AB=1的半圆上移动，过点P作半圆的切线PT，使PT=1，则如何确定P点的位置？才能使得四边形ABTP的面积最大？
思路分析：由已知得P点的变化引起角PAB的变化，故可把四边形ABTP的面积表示成关于角PAB的函数，然后求函数的最值。
解：连接BP，设∠PAB＝α，由AB为直径得∠APB＝90°，即△APB是直角三角形，
由AB=PT=1得：。又PT是圆的切线，故，∠BPT＝∠PAB＝α
例4. 在等边三角形ABC中，AB=a，O为中心，过O的直线交AB于M，交AC于N，
求的最大值。
思路分析：由于M、N的变化导致角MOA的变化，然后利用正弦定理，把式子表示成角MOA的函数，再求最大值。
解：由已知∠MAO=∠NAO＝30°，设∠MOA＝θ，则
故当时，即时，取得最大值是。
【说明】在三角形几何计算中解决最值问题的关键是引入变量。
考点三：利用正弦定理、余弦定理解决实际问题
例5. （1）（航海问题）已知一测高仪表失灵的飞机在高空以300km/h的速度按水平方向向东飞行，飞机的航线和山顶C在同一铅直的平面内，若在A处的飞行员利用测角仪器测得先看到海拔高度为4000m的山顶C的俯角为15°，经120秒后在B点又看到山顶C的俯角是60°，求飞机现在的海拔高度。
思路分析：先根据已知条件画出图形，找出两个俯角，再根据正弦定理求出BC，在直角三角形BCD中求出CD，CD加上山的高度即是飞机现在的海拔高度。
解：根据已知画出图形（如图）∠BAC=15°，∠DBC=60°，故∠BCA=45°
又AB=300×=10（km），则在△ABC中由正弦定理得：
在直角△BDC中：CD=BCsin60°=
故飞机飞行的海拔高度是3170+4000=7170（米）
（2）某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮在方位角45°，距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以每小时9海里的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以每小时21海里的速度前去营救，求舰艇的航向及靠近渔轮的时间。
思路分析：根据题意先画出图形，设舰艇收到信号后x小时在B处靠拢渔轮，在三角形ABC中利用余弦定理可求得x，再用正弦定理求得舰艇的航向。
解：设舰艇收到信号x小时在B处与渔轮靠拢，则AB=21x，BC=9x，AC=10，∠ACB=
120°
在△ABC中，由余弦定理得：120°
整理得：，由正弦定理可求∠BAC≈
21.8°，
答：舰艇沿方位角（45°+21.8°）的方向航行40min 可靠近渔轮。
例6. （测量问题）欲测量河对岸两点P，Q之间的距离，应如何测量？
思路分析：可以在岸边选定距离为a的两个观测点A，B，然后测出角BAP，角BAQ，角ABQ，角ABP，利用正弦定理求解。
解：选定距离为a的两个观测点A，B。利用测角仪器测得：∠BAP=∠BAQ=，∠ABQ=
∠ABP=，则由正弦定理得：，
同理：，在三角形APQ中利用余弦定理得：
例7. （台风问题）某城市附近的海面上有一股台风，台风中心位于城市O的南偏东方向300km海面的P处，并以每小时20km/h的速度向北偏西45°的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当时半径是60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市受到台风的侵袭？21世纪教育网
思路分析：设经过x小时该城市恰好受到台风的侵袭，假设台风中心由P移到Q处（如图），此时台风的侵袭半径是OQ=60+10x,在三角形OPQ中，OP=300,PQ=20x,由余弦定理建立关于x的方程求x。
解：设x小时后该城市恰好受到台风的侵袭，此时台风中心由P处移到Q处，台风的侵袭半径是（60+10x）km，城市O恰好受到台风侵袭的条件是OQ=60+10x
在三角形OPQ中：OP=300，PQ=20x，∠OPQ=－45°，cos∠OPQ=cos（－45°）
=，
由余弦定理得：
故方程无解，即该城市不会受到台风的影响。
【本讲涉及的数学思想、方法】
本讲主要讲述了利用正弦定理、余弦定理及其相关的知识解决三角形中的几何计算及实际问题，在此过程中，体现了方程的数学思想（如例1、例2）、函数的数学思想（如求最值问题）、等价转化的数学思想等在解题中的应用。
预习导学案
（不等关系及一元二次不等式的解法）
一：预习前知
1. 在初中你学过不等式有哪些性质？
2. 解一元一次不等式的步骤有哪些？
3. 解关于x的不等式：ax>b (a,b是实数)
4. 二次函数的关系是什么？
二：预习导学
探究、反思
探究反思的任务：不等关系、一元二次不等式的解法
1、举例说明在现实生活中的不等关系。
【反思】比较两个实数大小的方法有哪些？（作差比较，作商比较）
a-b>0
2、不等式的性质有哪些？
传递性_________，(2)加法单调性_________，（3）乘法单调性_________。（4）同向不等式相加______________（5）两边都是正数的同向不等式相乘_____________。
【反思】由上面的性质你能证明：a>b>0,吗？
3、一元二次不等式的定义：_____________________________________________。
4、一元二次不等式的解法的步骤有_______________________________________。
【反思】（1）你能画出解一元二次不等式的解法的程序框图吗？
（2）对不等式，若方程
三种情形中，如何表示不等式的解集？
5、分式不等式的解法思想是___________________________________________
【反思】分式不等式可化为不等式组________________
6、一元高次不等式的解法思想是__________________________________________
简述用穿针引线法求一元高次不等式的解集的方法。
【反思】：在利用穿针引线法求一元高次不等式的解集的过程中，若出现因式，应如何处理？
【模拟试题】（答题时间：70分钟）
一、选择题：
1. 在△ABC中，已知a=1，b=，∠A=30°，B为锐角，则角A，B，C的大小关系是（ ）
A. A>B>C B. B>A>C C. C>B>A D. C>A>B
*2. 在△ABC中，角A，B满足：sin=sin，则三边a，b，c必满足（ ）
A. a=b B. a=b=c
C. a+b=2c D.
3. 如图，D，C，B三点在一条直线上，DC=a，从C，D两点测得A点的仰角是，（）则A点离地面的高度AB 等于（ ）[来源:21世纪教育网]
4. 在三角形ABC中，下列等式总能成立的是（ ）
A. a cosC=c cosA B. bsinC=csinA C. absinc=bcsinB D. asinC=csinA
*5. 某人向正东方向走x千米后，他向右转150°，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好为千米，则x=（ ）
*6. 有一座20米高的观测台，测得对面一水塔塔顶的仰角是60°，塔底的俯角是，则这座塔高是（ ）
*7. 已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都是a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离是（ ）
8. 在三角形ABC中，若（a+b+c）（b+c－a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，则三角形ABC是（ ）
A. 等腰三角形， B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
二、填空题：
*9. 在三角形ABC中，a－b=4，a+c=2b，且最大角为120°，则此三角形的周长是
**10. 在三角形ABC中，若C=3B，则的取值范围是
*11. 在三角形ABC中，已知B=45°，C=60°，则三角形的面积S=________
12. 海上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望，C岛和B岛成60°视角，从B岛望A岛和C岛成75°视角，则B岛和C岛的距离是 海里
*13. 在三角形ABC中，若acosA+bcosB=c cosC，则三角形ABC的形状是
**14. 若等腰三角形的顶角是20°，底边和一腰长分别是b，a，则下列结论不成立的是[来源:21世纪教育网]
（1），（3）（4）
三、计算题：
*15. 已知地面上有一旗杆OP，为了测得其高度h，地面上取一基线AB，AB=20米，在A处测得P点的仰角∠OAP=30°，在B处测得P点的仰角∠OBP=45°，又知∠AOB=60°，求旗杆的高度h.
16. 已知小岛A的周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，问有无触礁的危险？
**17. 在圆心角为60°的扇形铁板OAB中，工人师傅要裁出一个面积最大的内接矩形，求此内接矩形的最大面积。
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【试题答案】
一、选择题: C D A D C B B B
二、填空题：
9. 30 10.（1，3） 11. 12.
13. 直角三角形 14.（2）（3）（4）
三、计算题：
15.【分析】欲求旗杆的高度，只要注意到OP=OB=h.然后利用正弦定理或余弦定理解决即可。
解：AO=OPcot30°=，OB=OP=h，在三角形ABO中：由余弦定理得：
60°
答：所求旗杆的高度是。
16.【分析】要判断船有无触礁的危险，只要判断A到BC的直线距离是否大于38海里就可以判断。
解：在三角形ABC中：BC=30，∠B=30°，∠ACB=180°－45°=135°，故∠A=
15°
由正弦定理得：
故
于是A到BC的直线距离是Acsin45°==
，大于38海里。
答：继续向南航行无触礁的危险。
17. 【分析】要找出内接矩形的长宽与面积S的关系，可采用引入第三个变量的办法，用表示矩形的长宽x，y，这样矩形的面积可以表示成的三角函数，通过的变化情况，得出S的最大值。
解：如图，设PQ=x，MP=y，则矩形面积S=xy
连接ON，令∠AON=，则y=Rsin
在三角形OMN中：由正弦定理得：
故当=30°时，矩形的面积最大，其最大值是.
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