（北师大版必修5）数学：2.2三角形中的几何计算（教案）

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2.2 三角形中的几何计算
教学目的：
1. 能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。
2. 通过对全章知识的总结提高，帮助学生系统深入地掌握本章知识及典型问题的解决方法。
教学重点、难点：
1。重点：解斜三角形问题的实际应用；全章知识点的总结归纳。
2。难点：如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。
教学过程：
例题讲解：
例1. 在△ABC中，已知求边c。
解析：解法1（用正弦定理）
又
当A＝60°时，C＝75°
当A＝120°时，C＝15°
解法二：
即
解之，得
点评：此类问题求解需要注意解的个数的讨论，比较上述两种解法，解法2较简单。

例2. 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状。
解析：解法一
由正弦定理，得
∵B＝60°，∴A+C＝120°
A＝120°－C，代入上式，得
展开，整理得：
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∴C＝60°，故A＝60°
∴△ABC为正三角形
解法二21世纪教育网
由余弦定理，得
整理，得
从而a＝b＝c
∴△ABC为正三角形
点评：在边角混合条件下判断三角形形状时，可考虑利用边化角，从角的关系判断，也可考虑角化边，从边的关系判断。
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例3. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长。
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解析：在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠ BCA＝30°
由正弦定理，得
∵AD//BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC
于是
同理，在△ABD中，AB＝5，
∠ADB＝45°
解得
故BD的长为
点评：求解三角形中的几何计算问题时，要首先确定与未知量之间相关联的量，把所要求的问题转化为由已知条件可直接求解的量上来。
小结：
先由学生自己总结解题所得。
由正弦定理可以看出，在边角转化时，用正弦定理形式更简单，所以在判断三角形的形状时更加常用。但在解题时要注意，对于三角形的内角，确定了它的正弦值，要分两种情况来分析。
而对于余弦定理，因为对于三角形的内角，确定了余弦值，角的大小就唯一确定了，所以在解三角形时，涉及到三条边和角的问题，都可以用余弦定理来解题。而也因为余弦值的这个特点，在判断一个三角形时锐角、直角或者钝角三角形时，要借助余弦定理。
对于很多题目，并没有一个绝对的规律，我们要对正弦定理，余弦定理深入理解，才能在解题时，根据问题的具体情况，恰当地选用定理，运用好的方法解题。
运用正弦定理或余弦定理可以进行边角关系的转化。它们是解决三角形问题的桥梁，因此，在解决问题的过程中，要注意它们的互相运用联手解题。
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