（北师大版必修5）数学：3 解三角形的实际应用举例（2）教案

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§3 解三角形的实际应用举例（2）
教学目标
1、掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形。
2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。
3、培养和提高分析、解决问题的能力。
教学重点难点
1、正弦定理与余弦定理及其综合应用。
2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。
教学过程
一、复习引入21世纪教育网
1、正弦定理：
2、余弦定理：
，
二、例题讲解
引例： （课本P62题2）飞机的飞行线路和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m,速度为189km/h,飞行员先看到山顶的俯角为,经过960s（秒）后又看到山顶的俯角为, 求山顶的海拔高度（精确到1m）.
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例1 曲柄连杆机构
当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作往复直线运动。当曲柄在时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在处。设连杆AB长为，曲柄CB长为，
（1）当曲柄自按顺时针方向旋转度时，其中，求活塞移动的距离（即连杆的端点移动的距离）。
（2）当，，时，求的长（结果精确到）
分析：不难得到，活塞移动的距离为 21世纪教育网
易知
所以，只要求出的长即可，在中，已知两边和其中一边的对角，可以通过正弦定理或余弦定理求出的长
解：（1）设，若，则，若，则
若，在中，由余弦定理得：
即：
解得：
（不合题意，舍去）
若则根据对称性，将上式中的改为即可
有：
总之，当时，
（2）当，，时，利用计算器得：
答：此时活塞移动的距离约为
例2：是海面上一条南北方向的海防警戒线，在上点处有一个水声监测点，另两个监测点分别在的正东方和处，某时刻，监测点收到发自静止目标的一个声波，后监测点，后监测点相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是21世纪教育网
（1）设到的距离为，用表示到的距离，并求的值
（2）求静止目标到海防警戒线的距离（结果精确到）
分析：（1）长度之间的关系可以通过收到信号的先后时间建立起来
（2）作，垂足为，要求的长，只需要求出的长和，即的值，由题意，都是定值，因此，只需要分别在和中，求出，的表达式，建立方程即可[来源:21世纪教育网]
解：（1）依题意，，
因此：，，在中，
同理：
由于：
即：
解得：
（2）作，垂足为，在中，
答：静止目标到海防警戒线的距离约为
练习：1、如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量。已知AB=50m,BC=120m，于A处测得水深AD=80m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得CF=110m，求的余弦值。
解：作DM//AC交BE于N，交CF于M。
在中，由余弦定理，
.
2、甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里．问乙船每小时航行多少海里？
解：如图，连结，由已知，，
∴，又∠，
∴是等边三角形，
∴．由已知，，
∠=在中，
由余弦定理，
∴．因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）
答：乙船每小时航行海里．
课堂小结
1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。
掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。
2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知
与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余
弦定理解题。
3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程
图可表示为：
画图形
数学模型
实际问题
解三角形
检验（答）
实际问题的解
数学模型的解
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