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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．集合A＝{1,2，a}，B＝{2,3，a2}，C＝{1,2,3,4}，a∈R，则集合(A∩B)∩C不可能是( )
A．{2} B．{1,2}
C．{2,3} D．{3}
【解析】 若a＝－1，(A∩B)∩C＝{1,2}；
若a＝3，则(A∩B)∩C＝{2,3}
若a≠－1且a≠3，则(A∩B)∩C＝{2}，故选D.
【答案】 D
2．(2009全国卷Ⅰ)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合?U(A∩B)中的元素共有( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
【解析】 A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，?U(A∩B)＝{3,5,8}，故选A.
【答案】 A
3．(2009年广东卷)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如右图
所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．无穷多个
【解析】 M＝{x|－1≤x≤3}，M∩N＝{1,3}，有2个．
【答案】 B
4．给出以下集合：
①M＝{x|x2＋2x＋a＝0，a∈R}；
②N＝{x|－x2＋x－2＞0}；
③P＝{x|y＝lg(－x)}∩{y|y＝lg(－x)}；
④Q＝{y|y＝x2}∩{y|y＝x－4}，
其中一定是空集的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【解析】 在集合M中，当Δ＝4－4a≥0时，方程有解，集合不是空集；而Q＝{y|y＝x2}∩{y|y＝x－4}＝{y|y≥0}∩{y|y∈R}＝{y|y≥0}，所以不是空集；在P中，P＝{x|y＝lg(－x)}∩{y|y＝lg(－x)}＝{x|x＜0}∩R＝{x|x＜0}，不是空集；在N中，由于不等式－x2＋x－2＞0?x2－x＋2＜0，Δ＝－7＜0，故无解，因此，只有1个一定是空集，所以选B.
【答案】 B
5．如右图所示
的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分所表示的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3x，x＞0}，则A#B=( )
A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x≤2}
C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x＞2}
【解析】 依据定义，A#B就是将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合．对于集合A，求的是函数y＝的定义域，解得：A＝{x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y＝3x(x＞0)的值域，解得B＝{y|y＞1}，依据定义得：A#B＝{x|0≤x≤1或x＞2}．
【答案】 D
6．定义一种集合运算A?B＝{x|x∈(A∪B)，且x?(A∩B)}，设M＝{x||x|＜2}，N＝{x|x2－4x＋3＜0}，则M?N所表示的集合是( )
A．(－∞，－2]∪[1,2)∪(3，＋∞)
B．(－2,1]∪[2,3)
C．(－2,1)∪(2,3)
D．(－∞，－2]∪(3，＋∞)
【解析】 M＝{x|－2＜x＜2}，N＝{x|1＜x＜3}，所以M∩N＝{x|1＜x＜2}，M∪N＝{x|－2＜x＜3}，故M?N＝(－2,1]∪[2,3)．
【答案】 B
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．已知集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}只有一个元素，则a的值为________．
【解析】 当a＝0时，A＝{－}；
当a≠0时，若集合A只有一个元素，
则4－4a＝0，即a＝1.
综上，当a＝0或a＝1时，集合A只有一个元素．
【答案】 0或1
8．(2009年天津卷)设全集U＝A∪B＝{x∈N＋|lg x＜1}，若A∩(?UB)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.
【解析】 A∪B＝{x∈N＋|lg x＜1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(?UB)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，
∴B＝{2,4,6,8}．
【答案】 {2,4,6,8}
9．设全集I＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{2，|a＋1|}，?IA＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合M的所有子集是________．
【解析】 ∵A∪(?IA)＝I，
∴{2,3，a2＋2a－3}＝{2,5，|a＋1|}，
∴|a＋1|＝3，且a2＋2a－3＝5，
解得a＝－4或a＝2.
∴M＝{log2 2，log2|－4|}＝{1,2}．
【答案】 ?，{1}，{2}，{1,2}
三、解答题(共46分)
10．(15分)设集合A＝{x2,2x－1，－4}，B＝{x－5,1－x,9}，若A∩B＝{9}，求A∪B.
【解析】 由9∈A，可得x2＝9或2x－1＝9，
解得x＝±3或x＝5.
当x＝3时，A＝{9,5，－4}，B＝{－2，－2,9}，
B中元素重复舍去．
当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8,4,9}，
A∩B＝{9}满足题意，故A∪B＝{－7，－4，－8,4,9}．
当x＝5时，A＝{25,9，－4}，B＝{0，－4,9}，
此时A∩B＝{－4,9}与A∩B＝{9}矛盾，舍去．
综上所述，x＝－3且A∪B＝{－8，－4,4，－7,9}．
11．(15分)已知集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且B?A，求实数m的值组成的集合．
【解析】 A＝{x|(x－2)(x－3)＝0}＝{2,3}，
若m＝0，B＝??A；
若m≠0，B＝，由B?A得
－＝2，或－＝3，解得m＝－，m＝－，因此实数m的值组成的集合是.
12．(16分)集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若B?A，求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(3)当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
【解析】 (1)当m＋1＞2m－1，即m＜2时，B＝?满足B?A.
当m＋1≤2m－1，即m≥2时，要使B?A成立，
需，可得2≤m≤3，
综上，m≤3时有B?A.
(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
所以A的非空真子集个数为28－2＝254.
(3)因为x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立．
则①若B＝?，即m＋1＞2m－1，得m＜2时满足条件．
②若B≠?，则要满足的条件是
或，
解得m＞4.
综上，有m＜2或m＞4
课件36张PPT。1．集合
(1)集合的含义与表示
了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．
能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
(2)集合的基本关系
理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
在具体情景中，了解全集与空集的含义．
(3)集合的基本运算
理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
理解给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
能用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．2．函数
(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
(2)在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
(3)了解简单的分段函数，并能简单应用．
(4)理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
(5)会用函数图象理解和研究函数的性质．3．指数函数
(1)了解指数函数模型的实际背景．
(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
(3)理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点．
(4)知道指数函数是一类重要的函数模型4．对数函数
(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
(2)理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．
(3)知道对数函数是一类重要的函数模型．
(4)了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a＞0，且a≠1)．5．幂函数
(1)了解幂函数的概念
(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝ x 的图象，了解它们的变化情况．
6．函数与方程
(1)结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
(2)根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．7．函数模型及其应用
(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．第一节 集 合1．集合与元素
(1)集合中元素的特性： 、 、 ．(2)集合与元素的关系
确定性互异性无序性∈?(3)常见集合的符号表示
(4)集合的表示法： 、 、 ．NN*或N＋ZQR列举法描述法Venn图法 (1)任何一个对象都能确定它是不是某一集合的元素，这是集合的最基本特征．没有确定性就不能成为集合，例如“很小的数”“个子较高的同学”都不能构成集合．
(2)在同一个集合里，通常不考虑元素之间的顺序，如集合{a，b，c}与集合{b，c，a}是相同集合．
(3)集合中任何两个元素都是不同对象，即在同一集合里不能重复出现相同元素．如方程(x－1)2(x－2)＝0的解集不能写成{1,1,2}，而应写成{1,2}．2．集合间的基本关系
A?B且B?AA?B或B?AA?B或B?A非空集合 (1)子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1.
(2)全集是一个相对概念，一个全集又可以是另一个集合的子集或真子集，它是我们为研究集合间的关系而临时选定的一个集合．3．集合的基本运算
A∪BA∩B?UA{x|x∈A，或x∈B}?UA＝{x|x∈U，且x?A}{x|x∈A，且x∈B} (1)对于交集概念的把握要注意以下三个方面：
①交集仍是一个集合；
②交集中的元素都是两个集合的“公共元素”，即若x∈A∩B，一定有x∈A且x∈B；
③交集中包括了两集合的全体公共元素，即若x∈A且x∈B，一定有x∈A∩B.
(2)对于并集的理解应注意：
若x∈A∪B，则有三种可能：
①x∈A但x?B；②x∈B但x?A；③x∈A且x∈B.(3)子集、全集、补集等概念实质上即是生活中的“部分”、“全体”、“剩余”等概念在数学中的抽象与反映，当A?U时，?UA的含义是：从集合U中去掉集合A的元素后，由所有剩余的元素组成的新集合．集合A的元素补上?UA的元素后可合成集合U.
(4)补集?UA与集合A的区别：两者没有相同的元素；两者的所有元素合在一起就是全集．4．集合的运算性质
(1)若A?B，B?A，则A＝B；若A?B，B?C，则A?C.
(2)??A，若A≠?，则??A.
(3)A∩A＝A，A∩?＝?.
(4)A∪A＝A，A∪B＝B∪A，A∪?＝A.
(5)A∩?UA＝?，A∪?UA＝U.
(6)A∩B?A?A∪B.
(7)若A?B，则A∩B?A∪B，A∩B＝A，A∪B＝B.1．(2009年山东卷)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
【解析】 ∵A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，A∪B ＝{0,1,2,4,16}，
∴ ∴a＝4，故选D.
【答案】 D2．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合?U(A∪B)中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 由已知得A＝{1,2}，B＝{2,4}，
∴?U(A∪B)＝{3,5}．故选B.
【答案】 B3．设全集U＝R，A＝{x|x(－x－3)＞0}，B＝{x|y＝ln(－x－1)}则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{x|x＞0} B．{x|－3＜x＜0}
C．{x|－3＜x＜－1} D．{x|x＜－1}
【解析】 A＝{x|－3＜x＜0}，B＝{x|x＜－1}，阴影部分表示的集合为A∩B＝{x|－3＜x＜－1}．
【答案】 C4．设集合A＝{5，log2(a＋3)}，集合B＝{a，b}．若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.
【解析】 ∵A∩B＝{2}，∴log2(a＋3)＝2.
∴a＝1.∴b＝2.∴A＝{5,2}，B＝{1,2}．
∴A∪B＝{1,2,5}．
【答案】 {1,2,5}5．(2009年江苏卷)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.
【解析】 ∵log2x≤2，∴0＜x≤4.
又∵A?B，∴a＞4.∴c＝4.
【答案】 4集合的基本概念 现有三个实数的集合，既可以表示为，也可表示为{a2，a＋b,0}，则a2010＋b2010＝________.【思路点拨】 由两集合相等，得相应元素对应相等，则只有 ＝0.【解析】 由已知得 ＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2010＋b2010＝(－1)2010＝1.集合间的基本关系设集合A＝{x|x＝a2＋2a＋4}，B＝{y|y＝b2－4b＋7}．
(1)若a∈R，b∈R，试确定集合A与B的关系；
(2)若a∈N，b∈R，试确定集合A与B的的关系．
【解析】 (1)若a∈R.b∈R.
则x＝(a＋1)2＋3≥3，y＝(b－2)2＋3≥3，
此时集合A、B都是大于或等于3的实数的集合，
∴A＝B.
(2)若a∈N、b∈R，则对于任意的x0∈A，有x0＝(a0＋1)2＋3，其中a0∈N，
令b0＝a0＋3，则b0∈N，
且(a0＋1)2＋3＝(b0－2)2＋3∈B.
而当b0＝2时，y0＝3?A，从而可知A?B. (1)判断两个集合之间的子集、真子集关系可以比照两实数间的关系：
①A?B?A?B且A≠B，类比于a＜b?a≤b且a≠b；
②A?B?A?B或A＝B，类比于a≤b?a＜b或a＝b；
③A＝B?A?B且B?A，类比于a＝b?a≤b且a≥b.也可以用韦恩图直观地表示上述各种关系．
(2)注意集合{?}与空集?的区别与联系：??{?}，?∈{?}．1．已知函数f(x)＝x2＋x－1，集合M＝{x|x＝f(x)}，N＝{y|y＝f(x)}，则( )
A．M＝N B．M?N
C．M∩N＝? D．M?N【解析】 由f(x)＝x2＋x－1，x＝f(x)得x2－1＝0，x＝±1，M＝{－1,1}．【答案】 D集合的基本运算 若集合A＝{x|x2－2x－8＜0}，B＝{x|x－m＜0}．
(1)若m＝3，全集U＝A∪B，试求A∩(?UB)；
(2)若A∩B＝?，求实数m的取值范围；
(3)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．【解析】 (1)由x2－2x－8＜0，得－2＜x＜4，
∴A＝{x|－2＜x＜4}．
当m＝3时，由x－m＜0，得x＜3，∴B＝{x|x＜3}，
∴U＝A∪B＝{x|x＜4}，?UB＝{x|3≤x＜4}．
∴A∩(?UB)＝{x|3≤x＜4}．
(2)∵A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x＜m}，
又A∩B＝?，∴m≤－2.
(3)∵A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x＜m}，
由A∩B＝A，得A?B，∴m≥4. 在进行集合运算时要注意：
(1)两个结论
①若A∩B＝A，则A?B，反之也成立；
②若A∪B＝B，则A?B，反之也成立．应用这两个结论时一定要注意不要忘记集合A＝?这一个特例．
(2)可以借助韦恩图或数轴来辅助理解两个集合的交集与并集的特征并用来解题．2．已知A＝{x||x＋a|≥a}，B＝{x|x2＋mx＋n＜0}．
(1)若a＝2，m＝4，n＝－5，求A∩B，A∪B；
(2)若a＞0，A∩B＝{x|－3＜x≤－1}，A∪B＝R，
求a，m，n的值．
【解析】 (1)由a＝2，知A＝{x||x＋2|≥2}＝{x|x≤－4，或x≥0}，
由m＝4，n＝－5知
B＝{x|x2＋4x－5＜0}＝{x|－5＜x＜1}．
∴A∩B＝{x|－5＜x≤－4，或0≤x＜1}，
A∪B＝{x|x≤－4，或x≥0，或－5＜x＜1}＝R.(2)∵a＞0，
∴A＝{x||x＋a|≥a}＝{x|x≤－2a，或x≥0}．
又∵A∩B＝{x|－3＜x≤－1}，A∪B＝R，
∴B＝{x|－3＜x＜0}，且－2a＝－1，
∴a＝ ，且－3,0是方程x2＋mx＋n＝0的两根，
∴m＝3，n＝0，
故a＝ ，m＝3，n＝0.大多数省市对于集合的概念主要考查基础知识和方法，包括集合的表示以及集合与集合之间的关系，一般是低档题，而部分省市也力求改变题目的原有面目，创造新情景，尽可能做到灵活多样甚至是小型综合，对于集合的考察可以和不等式、线性规划、解析几何等诸多内容相联系．1．(2009年江西卷)已知全集U＝A∪B中有m个元素，(?UA)∪(?UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为( )
A．mn B．m＋n
C．n－m D．m－n
【解析】 ∵(?UA)∪(?UB)中有n个元素，如右图所示阴影部分，又∵U=A∪B中有m个元素，故A∩B中有m-n个元素．
【答案】 D2．(2009年湖北卷)已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝( )
A．{[1,1]} B．{(－1,1)}
C．{(1,0)} D．{(0,1)}
【解析】 ∵P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}
＝{a|a＝(1，m)}，Q＝{b|b＝(1－n,1＋n)，n∈R}，
由 得 ∴a＝b＝(1,1)，∴P∩Q＝{(1,1)}．
【答案】 A课时作业
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．当0＜a＜1时，函数①y＝a|x|与函数②y＝loga|x|在区间(－∞，0)上的单调性为( )
A．都是增函数
B．都是减函数
C．①是增函数，②是减函数
D．①是减函数，②是增函数
【解析】 ①②均为偶函数，且0＜a＜1，x＞0时，y＝a|x|为减函数，y＝loga|x|为减函数，当x＜0时，①②均是增函数．
【答案】 A
2．(2009年天津卷)设a＝log2，b＝log，c＝0.3，则( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【解析】 a＝log2＝－log32＜0，b＝log＝log23＞1，c＝0.3,0＜c＜1.
【答案】 B
3．下列命题中不正确的是( )
A．logab·logbc·logca＝1
B．函数f(x)＝ln x满足f(a·b)＝f(a)＋f(b)
C．函数f(x)＝ln x满足f(a＋b)＝f(a)·f(b)
D．若xlog34＝1，则4x＋4－x＝
【解析】 ∵logab·logbc·logca＝··＝1，
∴A选项正确．
又∵f(ab)＝ln(ab)＝lna＋lnb＝f(a)＋f(b)，
∴B选项正确．
又∵xlog34＝1，∴x＝＝log43，
∴4x＋4－x＝4log43＋4－log43＝3＋3－1＝，
∴D选项也正确．
【答案】 C
4．设0＜a＜1，函数f(x)＝loga(a2x－2ax－2)，则使f(x)＜0的x的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，loga3) D．(loga3，＋∞)
【解析】 由f(x)＜0，即a2x－2ax－2＞1
整理得(ax－3)(ax＋1)＞0，则ax＞3.
∴x＜loga3.
【答案】 C
5．(2009年广东卷)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A. B．2x－2
C．logx D．log2x
【解析】 函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2，故f(x)＝log2x，故选D.
【答案】 D
6．(2009年全国卷Ⅱ)函数y＝log2的图象( )
A．关于原点对称
B．关于直线y＝－x对称
C．关于y轴对称
D．关于直线y＝x对称
【解析】 ∵f(x)＝log2，
∴f(－x)＝log2＝－log2.∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．故选A.
【答案】 A
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．函数y＝log3(x2－2x)的单调减区间是________．
【解析】 令u＝x2－2x，则y＝log3u.
∵y＝log3u是增函数，u＝x2－2x＞0的减区间是(－∞，0)，
∴y＝log3(x2－2x)的减区间是(－∞，0)．
【答案】 (－∞，0)
8．(2008年山东卷)已知f(3x)＝4xlog23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值等于________．
【解析】 令3x＝t，∴x＝log3t，∴f(t)＝4log23·log3t＋233，
即f(t)＝4log2t＋233，
∴f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)
＝4(log22＋log24＋log28＋…＋log228)＋8×233
＝4·log22·22·23…28＋8×233
＝4·log2236＋1864
＝4×36＋1864＝2008.
【答案】 2008
9．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成巨大损失．里氏地震等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里克特制定的，它同震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M＝lgE－3.2，其中E(焦耳)为地震时以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．
【解析】 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E2、E1，则8－6＝(lgE2－lgE1)，即lg＝3，∴＝103＝1 000.故汶川大地震所释放的能量相当于1 000颗广岛原子弹．
【答案】 1 000
三、解答题(共46分)
10．(15分)对于正实数a，函数y＝x＋在)上为增函数，求函数f(x)＝loga(3x2－4x)的单调递减区间．
【解析】 ∵y＝x＋在上为增函数．
∴＜x1＜x2时y1＜y2，
即x1＋－x2－＝＜0?x1x2－a＞0?a＜x1x2，∴a≤恒成立，
f(x)＝loga(3x2－4x)的定义域为
(－∞，0)∪，而0＜a≤＜1，
∴f(x)与g(x)＝3x2－4x在(－∞，0)，上的单调性相反，
∴f(x)的单调递减区间为.
11．(15分)若f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，
log2f(a)＝2(a≠1)．
(1)求f(log2x)的最小值及对应的x值．
(2)x取何值时，f(log2x)＞f(1)且log2f(x)＜f(1)．
【解析】 (1)∵f(x)＝x2－x＋b，
∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b.
由已知(log2a)2－log2a＋b＝b，∴log2a(log2a－1)＝0.
∵a≠1，∴log2a＝1，∴a＝2.
又log2f(a)＝2，∴f(a)＝4.
∴a2－a＋b＝4，∴b＝4－a2＋a＝2.
故f(x)＝x2－x＋2.
从而f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2
＝2＋.
∴当log2x＝，即x＝时，f(log2x)有最小值.
(2)由题意
??0＜x＜1.
12．(16分)已知过原点O的一条直线与函数y＝log8x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C、D两点．
(1)证明：点C、D和原点O在同一直线上；
(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标．
【解析】 (1)证明：设点A、B的横坐标分别为x1、x2，
由题设知x1＞1，x2＞1，
则点A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2.
因为A、B在过点O的直线上，
所以＝，
点C、D的坐标分别为(x1，log2x1)、(x2，log2x2)，
由于log2x1＝＝3log8x1，log2x2＝3log8x2，
OC的斜率为k1＝＝，
OD的斜率为k2＝＝，
由此可知k1＝k2，即O、C、D在同一直线上．
(2)由于BC平行于x轴，知log2x1＝log8x2，
即得log2x1＝log2x2，x2＝x13，
代入x2log8x1＝x1log8x2，得x13log8x1＝3x1log8x1，
由于x1＞1，知log8x1≠0，故x13＝3x1，
又因x1＞1，解得x1＝，
于是点A的坐标为(，log8)．
课件21张PPT。第七节 对数函数1．对数的概念
(1)定义：一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做 ，记作 ，其中a叫做对数的 ，N叫做 ．(2)几种常见对数
以a为底N的对数x＝logaN底数真数logaNLn NLg Ne102.对数的恒等式、换底公式及运算性质
(1)恒等式：①alogaN＝ ；
②logaaN＝ (a＞0，且a≠1，N使式子有意义)．
(2)换底公式：logbN＝ (a，b，N的值使式子均有意义)．
(3)对数的运算性质
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么
①loga(MN)＝ ；
②loga ＝ ；
③logaMn＝ (n∈R)；
④logamMn＝ logaM. 利用对数的运算性质时，要注意各个字母的取值范围，只有等式两边的对数都存在时，等式才成立．例如：log2[(－2)×(－5)]存在，但log2(－2)、log2(－5)都不存在．
因而log2[(－2)×(－5)]≠log2(－2)＋log2(－5)．NNlogaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM3．对数函数图象与性质(0，＋∞)R(1,0)y＞0y＜0(0，＋∞)y＜0(0，＋∞)同真数的对数值大小关系如图：当函数单调递增时，在(1,0)右边图象越靠近x轴，底数越大，即1＜a＜b；
当函数单调递减时，在(1,0)右边图象越靠近x轴，底数越小，即0＜c＜d＜1，
也可以看图象在x轴上方的部分自左向右底数逐渐增大，即0＜c＜d＜1＜a＜b.4．反函数
对数函数y=logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y=ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象在同一坐标系中关于直线y=x对称． 函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的定义域是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的值域，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的值域是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的定义域．1．以下等式(其中a＞0，且a≠1；x＞y＞0)：
①loga1＝0；
②logax·logay＝loga(x＋y)；
③loga(x＋y)＝logax＋logay；
④logaa＝1；
⑤loga(x－y)＝ ；
⑥loga ＝loga(x－y)，
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 由对数的性质及运算法则可知①④正确，其他命题错误．
【答案】 B.2．(2009年湖南卷)若log2a＜0， ＞1，则( )
A．a＞1，b＞0 B．a＞1，b＜0
C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0
【解析】 ∵log2a＜log21，∴0＜a＜1.
∴b＜0.
【答案】 D3．(2008年安徽卷)集合A＝{y∈R|y＝lgx，x＞1}，B＝{－2，－1,1,2}，则下列结论中正确的是( )
A．A∩B＝{－2，－1} B．(?RA)∪B＝(－∞，0)
C．A∪B＝(0，＋∞) D．(?RA)∩B＝{－2，－1}
【解析】 A＝{y∈R|y＞0}，B＝{－2，－1,1,2}．
故(?RA)∩B＝{－2，－1}，故选D.
【答案】 D4．2lg ＋log25·lg2＝________.
【解析】 2lg ＋log25·lg2＝2· lg2＋log25·lg2
＝lg2＋lg5＝1.
【答案】 1对数的化简与求值【思路点拨】 观察式子的特征，利用对数的运算性质将式子化简(如去根号、降幂等)，然后求值．对数函数的性质 已知f(x)＝log4(2x＋3－x2)，
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)的最大值，并求取得最大值时的x的值．
【解析】 (1)单调递增区间为(－1,1]，递减区间为[1,3)
(2)因为μ＝－(x－1)2＋4≤4，
所以y＝log4μ≤log44＝1，
所以当x＝1时，f(x)取最大值1. 在研究函数的性质时，要在定义域内研究问题，定义域“优先”在对数函数中体现的更明确．1．设a＞0，a≠1，函数y＝alg(x2－2x＋3)有最大值，求函数f(x)＝loga(3－2x－x2)的单调区间．
【解析】 因x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2
∴lg(x2－2x＋3)≥lg2.
∵y＝alg(x2－2x＋3)有最大值
∴0＜a＜1
∵3－2x－x2＞0，∴－3＜x＜1
∴t(x)＝3－2x－x2在(－3，－1]上递增，在[－1,1)上递减．
∴f(x)＝loga(3－2x－x2)的增区间为[－1,1)，减区间为(－3，－1]．对数函数的综合问题 已知函数f(x)＝loga(3－ax)．
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．【解析】 (1)由题设，3－ax＞0对一切x∈[0,2]恒成立，a＞0且a≠1，
∵a＞0，∴g(x)＝3－ax在[0,2]上为减函数，
从而g(2)＝3－2a＞0，
∴a＜ ，
∴a的取值范围为(0,1)∪ . 这是一道探索性问题，注意函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题的处理，一般是先假设存在，再结合已知条件进行转化求解，如推出矛盾，则不存在，反之，存在性成立．2．是否存在实数a，使f(x)＝loga(ax2－x)(a＞0，且a≠1)在区间[2,4]上是增函数？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．对数函数在高考的考查中，重点是图象、性质及其简单应用，同时考查数学思想方法，以考查分类讨论、数形结合及运算能力为主．以选择、填空的形式考查对数函数的图象、性质；也有可能与其他知识结合，在知识交汇点处命题，以解答形式出现，属中低档题．1．(2009年全国卷Ⅰ)设a＝lg e，b＝(lg e)2，c＝lg ，则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【解析】 ∵0＜lg e＜1，∴lg e＞ lg e＞(lg e)2.
∴a＞c＞b.
【答案】 B2．(2009年山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝
则f(2009)的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2【解析】 当x＞0时，因为f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，
∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)．
∴f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)．
∴f(x＋6)＝f(x)．即当x＞0时，函数f(x)的周期是6.
又∵f(2 009)＝f(334×6＋5)＝f(5)，
∴由已知得f(－1)＝log22＝1，f(0)＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝0，f(4)＝f(3)－f(2)＝0－(－1)＝1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1.【答案】 C课时作业
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．函数f(x)＝－的定义域是( )
A．[－2,2] B．{－2,2}
C．(－2,2) D．{0}
【解析】 由得x2＝4，解得x＝±2.
∴函数的定义域为{－2,2}．
【答案】 B
2．已知函数f(x)的定义域为(0,2]，函数f()的定义域为( )
A．[－1，＋∞) B．(－1,3]
C．[，3) D．(0，)
【解析】 由不等式解，得－1＜x≤3.
【答案】 B
3．函数y＝log2x＋logx(2x)的值域为( )
A．(－∞，－1] B．[3，＋∞)
C．[－1,3] D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
【解析】 y＝log2x＋logx2＋1，
∵log2x＋logx2≥2或log2x＋logx2≤－2，
从而y≥3或y≤－1.
【答案】 D
4．函数f(x)＝＋2lg(1－x)的定义域是( )
A. B.
C. D.
【解析】 由得－＜x＜1，即函数的定义域是，选B.
【答案】 B
5．定义运算：a*b＝如1]( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(0,1] D．[1，＋∞)
【解析】 f(x)＝
∴0＜f(x)≤1，故选C.
【答案】 C
6．若函数f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是( )
A．a＝－1或a＝3 B．a＝－1
C．a＝3 D．a不存在
【解析】 依题意应有，解得a＝－1.
【答案】 B
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．函数y＝＋ 的定义域是________．
【解析】 ??x≤－1.
【答案】 (－∞，－1]
8．函数y＝f(x)的图象如图所示．那么，f(x)的定义域是____；值域是________；
其中只与x的一个值对应的y值的范围是 .
【解析】 由图象知，函数y=f(x)的图象包括两部分，一部分是以点(-3,2)和(0,4)为两个端点的一条曲线段，一部分是以(2,1)为起点到(3,5)结束的曲线段，故其定义域是[-3,0]∪[2,3]，值域为[1,5]，只与x的一个值对应的y值的取值范围是[1,2)∪(4,5]．
【答案】 [-3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]
9．已知函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，那么g(x)＝的定义域是________．
【解析】 由
∴－≤x≤且x≠－1.
【答案】 [－，－1)∪(－1，]
三、解答题(共46分)
10．(15分)求下列函数的定义域：
(1)y＝＋；
(2)已知函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域．
【解析】 (1)要使函数有意义，
应有即有
所以函数的定义域是{x|－1≤x＜1，或1＜x＜2}．
(2)∵f(2x＋1)的定义域为(0,1)，∴1＜2x＋1＜3，
所以f(x)的定义域是(1,3)．
11．(15分)已知函数y＝的定义域为R.
(1)求实数m的取值范围；
(2)当m变化时，若y的最小值为f(m)，求函数f(m)的值域．
【解析】 (1)依题意，当x∈R时，mx2－6mx＋m＋8≥0恒成立．当m＝0时，x∈R；
当m≠0时，
即
解之得0＜m≤1，故0≤m≤1.
(2)当m＝0时，y＝2；
当0＜m≤1，y＝.
∴ymin＝.
因此，f(m)＝(0≤m≤1)．
∴f(m)的值域为[0,2]．
12．(16分)某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数是：
P＝
该商品的日销售量Q(件)与时间t(天 )的函数关系是：
Q＝－t＋40(0＜t≤30，t∈N＋)，求这种商品的日销售金额的最大值．
【解析】 设日销售金额为y元，则y＝P·Q
y＝
当0＜t＜25，t∈N＋时，
y＝－t2＋20t＋800＝－(t－10)2＋900，
∴t＝10时，ymax＝900元．
当25≤t≤30，t∈N＋时，
y＝t2－140t＋4 000＝(t－70)2－900，
∴t＝25时，ymax＝1125元．
综上所述，这种商品日销售额的最大值为1125元.
课件32张PPT。第三节 函数的定义域和值域1．函数的定义域
(1)函数的定义域是指
(2)求定义域的步骤是：
①写出使函数式有意义的不等式(组)；
②解不等式(组)；
③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)使函数有意义的自变量的取值范围．(3)常见基本初等函数的定义域．
①分式函数中分母不等于零．
②偶次根式函数被开方式大于或等于0.
③一次函数、二次函数的定义域均为R.
④y＝ax，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R.
⑤y＝tan x的定义域为
⑥函数f(x)＝x0的定义域为 ．{x|x≠0} (1)求函数定义域之前，尽量不要对函数的解析式变形，以免引起定义域的变化．
(2)抽象函数定义域，即“给定定义域”．
求抽象函数的定义域有以下三种情形：
①已知f(x)的定义域，求f[φ(x)]的定义域，其实质是由φ(x)的取值范围，求出x的取值范围；
②已知f[φ(x)]的定义域，求f(x)的定义域，其实质是由x的取值范围，求φ(x)的取值范围；③已知f[φ(x)]的定义域，求f[h(x)]的定义域，先由x的取值范围，求出φ(x)的取值范围，即f(x)中的x的取值范围，再由此确定h(x)的取值范围，进而根据h(x)的取值范围求出x的取值范围．
(3)由实际问题求定义域，即“实定定义域”．
使实际问题有意义即可，要特别注意题目中的不等关系．另外，常见的情况有线段长度应大于0，时间单位取正整数等．2．函数的值域
(1)在函数y＝f(x)中，与自变量x的值相对应的y值叫做 ，函数值的集合叫做函数的值域．
(2)基本初等函数的值域
①y＝kx＋b(k≠0)的值域是 .
②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a＞0时，值域为 ；
当a＜0时，值域为 .函数值R③y＝ (k≠0)的值域是 ．
④y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是 ．
⑤y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是 .
⑥y＝sin x，y＝cos x的值域是 ．
⑦y＝tan x的值域是 .{y|y≠0}{y|y＞0}{y|－1≤y≤1}RR (1)求函数值域(或最值)的常用方法．
常用方法主要有：利用基本初等函数的图象及性质、单调性、不等式法、导数法、数形结合法、换元法、判别式法、观察法等．其中前五种方法为常用方法，除去导数法之外，其余的方法都有局限性，但一定要掌握各种方法的适用范围．
(2)求函数值域的一般步骤．
求函数定义域→化简(或转化)函数式→观察函数式的结构特征→选择方法并求解．这一过程往往体现化归转化的数学思想，尤其是函数关系式复杂、陌生的情况下往往先通过换元等手段转化为熟悉的函数式．1．函数y＝x2－2x的定义域是{0,1,2}，则该函数的值域为( )
A．{－1,0} B．{0,1,2}
C．{y|－1≤y≤0} D．{y|0≤y≤2}
【解析】 代入求解．
【答案】 A2．已知函数f(x)＝ 的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于( )
A．{x|x>－1} B．{x|x<1}
C．{x|－1
【解析】 则题意知M＝{x|x<1}，N＝{x|x>－1}，故M∩N＝{x|－1【答案】 C3．若函数y＝lg(x2＋1)的定义域为[a，b]，值域为[0,1]，则a＋b的最大值为( )
A．3 B．6
C．9 D．10
【解析】 y＝lg(x2＋1)的值域为[0,1]，由x2＋1＝10，得x＝±3，由x2＋1＝1，得x＝0，a＋b的最大值为0＋3＝3.故选A.
【答案】 A4. 为实数，则函数y＝x2＋3x－5的值域是______________．
【解析】 由已知可得x≥0，则当x＝0时，ymin＝－5，
∴y≥－5.
【答案】 [－5，＋∞)5．若函数f(x)＝ 的定义域为R，则a的取值范围为________．
【解析】 ∵定义域为R，即2x2＋2ax－a－1≥0恒成立．
∴x2＋2ax－a≥0恒成立，∴Δ＝4a2＋4a≤0，
即－1≤a≤0，故填[－1,0]．
【答案】 [－1,0] (1)求函数f(x)＝ 的定义域；
(2)已知f(x)的定义域是[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域．
【思路点拨】 (1)只给出解析式求定义域：只需要使解析式有意义，列不等式组求解．
(2)抽象函数定义域：看清x2－3x与f(x)中的x的含义相同．求函数的定义域【解析】 (1)要使函数有意义，
则只需要：
解得－3＜x＜0或2＜x＜3.
故函数的定义域是(－3,0)∪(2,3)．
(2)令－2≤x2－3x≤4，解得－1≤x≤1或2≤x≤4.
故函数f(x2－3x)的定义域为[－1,1]∪[2,4]．求函数的值域求下列函数的值域．∴当x1＜x2≤－2或2≤x1＜x2时，f(x)递增；
当－2＜x1＜x2＜0或0＜x1＜x2＜2时，f(x)递减．
故x＝－2时，f(x)极大＝f(－2)＝－4；
x＝2时，f(x)极小＝f(2)＝4.
∴所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
函数无最值． 求函数值域要记住各种基本函数的值域；要记住具有什么结构特点的函数用什么样的方法求值域；对各种求函数值域的方法要熟悉，遇到求值域的问题，应注意选择最优解法；求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的约束作用；函数的值域常常化归为求函数的最值问题．含参数的函数值域与最值 已知函数f(x)＝ ，x∈[1，＋∞)，
(1)当a＝ 时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，即 ＞0，
∴x2＋2x＋a＞0对于一切x∈[1，＋∞)恒成立；
又x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1≥3＋a，由3＋a＞0得a＞－3； 本题体现了函数思想在解题中的运用，
(1)中用函数单调性求函数的最小值，(2)中用函数的最值解决恒成立问题．在(2)的解法中，还可以使用分离参数法，要使x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立，只要a>－x2－2x＝－(x＋1)2＋1恒成立，由二次函数的性质得－(x＋1)2＋1≤－3，所以只要a>－3即可．2．若本例的条件不变对任意的a∈[－1,1]，f(x)＞4恒成立，试求x的范围．【解析】 ∵a∈[－1,1]时f(x)＞4恒成立，
即 ＞4(x≥1)恒成立，
∴x2－2x＋a＞0对a∈[－1,1]恒成立，
把g(a)＝a＋(x2－2x)看成a的一次函数．
则使g(a)＞0，对a∈[－1,1]恒成立的条件是
即高考中可能直接考查求函数的定义域问题，但应注意函数的定义域对于函数而言是一个不容忽视的“永恒”话题，在研究函数图象和性质的过程中首先要确定函数的定义域，而在解决实际问题或将其他转化为函数问题，都应注意函数定义域对问题的限制．对函数值域的考查，主要考查函数值域的求法，而更多的可能考查函数的最值问题．而求函数的最值与反函数、重要不等式、导数、解析几何等内容以及数形结合的思想方法联系密切，涉及的知识面宽，技巧性较大．1．(2009年江西卷)函数y＝ 的定义域为( )
A．(－4，－1) B．(－4,1)
C．(－1,1) D．(－1,1]
【解析】 由 解 得－1＜x＜1.
【答案】 C【答案】 B课时作业
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．函数f(x)＝的零点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【解析】 由f(x)＝＝0得：x＝1，
∴f(x)＝只有一个零点，故选B.
【答案】 B
2．若已知f(a)＜0，f(b)＞0，则下列说法中正确的是( )
A．f(x)在(a，b)上必有且只有一个零点
B．f(x)在(a，b)上必有正奇数个零点
C．f(x)在(a，b)上必有正偶数个零点
D．f(x)在(a，b)上可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点，还可能没有零点
【解析】 若f(x)不连续则可能没有零点，若f(x)在该区间有二重零点则可能有正偶数个零点，同样也有可能有正奇数个零点．故应选D.
【答案】 D
3．偶函数f(x)在区间[0，a](a＞0)上是单调函数，且f(0)f(a)＜0，则方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
【解析】 由二分法和函数的单调性可知函数在区间[0，a]上有且只有一个零点，又函数为一偶函数，故其在对称区间[－a,0]上也只有一个零点，即函数在区间[－a，a]上存在两个零点．
【答案】 B
4．若函数f(x)在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1,2)至少二等分( )
A．5次 B．6次
C．7次 D．8次
【解析】 设对区间(1,2)至少二等分n次，此时区间长为1，第1次二等分后区间长为，第2次二等分后区间长为，第3次二等分后区间长为，…，第n次二等分后区间长为，依题意得＜0.01，∴n＞log2100由于6＜log2100＜7，∴n≥7，即n＝7为所求．
【答案】 C
5．函数f(x)＝ln x＋2x－1零点的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
【解析】 在同一坐标系内分别作出函数y＝ln x与y＝1－2x的图象，易知两函数图象有且只有一个交点，即函数y＝ln x－1＋2x只有一个零点．
【答案】 D
6．已知函数f(x)＝log2(a－2x)＋x－2，若f(x)存在零点，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－4]∪[4，＋∞) B．[1，＋∞)
C．[2，＋∞) D．[4，＋∞)
【解析】 据题意令log2(a－2x)＝2－x?22－x＝a－2x，令2x＝t则原方程等价于＝a－t?t2－at＋4＝0有正根即可，根据根与系数的关系t1t2＝4＞0，即若方程有正根，必有两正根，故有?a≥4.
【答案】 D
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两根x1、x2满足m＜x1＜n＜x2＜p，则f(m)·f(n)·f(p)________0(填“＞”、“＝”或“＜”)．
【解析】 ∵a＞0，∴f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向上．
∴f(m)＞0，f(n)＜0，f(p)＞0.
【答案】 ＜
8．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________，这时可判断x0∈________.
【解析】 由二分法知x0∈(0,0.5)，取x1＝0.25，
这时f(0.25)＝0.253＋3×0.25－1＜0，
故x0∈(0.25,0.5)．
【答案】 (0,0.5) f(0.25) (0.25,0.5)
9．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)＞0的解集是________．
【解析】 ∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3.
∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，
由根与系数的关系知，∴，
∴f(x)＝x2－x－6.
∵不等式af(－2x)＞0，即－(4x2＋2x－6)＞0?2x2＋x－3＜0，
解集为.
【答案】
三、解答题(共46分)
10．(15分)已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.
证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0，
【证明】 令g(x)＝f(x)－x.
∵g(0)＝，g＝f－＝－，
∴g(0)·g＜0.
又函数g(x)在上连续，
所以存在x0∈，使g(x0)＝0.
即f(x0)＝x0.
11．(15分)已知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋3的零点为x1，x2，求x12＋x22的最小值．
【解析】 由题意知，方程x2＋2mx＋2m＋3＝0的两个根为x1，x2，则
∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4m2－2(2m＋3)
＝4m2－4m－6
＝42－7.
∵Δ≥0，∴4m2－4(2m＋3)≥0.
∴m2－2m－3≥0，∴m≤－1，或m≥3.
∴当m＝－1时，x12＋x22取最小值2.
12．(16分)函数f(x)＝x3－3x＋2，
(1)求f(x)的零点；
(2)求分别满足f(x)＜0，f(x)＝0，f(x)＞0的x的取值范围；
(3)画出f(x)的大致图象．
【解析】 f(x)＝x3－3x＋2＝x(x－1)(x＋1)－2(x－1)
＝(x－1)(x2＋x－2)＝(x－1)2(x＋2)．
(1)令f(x)＝0，
得函数f(x)的零点为x＝1或x＝－2.
(2)令f(x)＜0，
得x＜－2；
令f(x)＞0，
得－2＜x＜1或x＞1，
所以满足f(x)＜0的x的取值范围是(－∞，－2)；
满足f(x)＝0的x的取值范围是{1，－2}；
满足f(x)＞0的x的取值范围是(－2,1)∪(1，＋∞)．
(3)函数f(x)的大致图象如图所示：
课件26张PPT。第九节 函数与方程1．函数的零点
(1)函数零点的定义
函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的 称为这个函数的零点，f(x)的零点是方程 的解．
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有 ．横坐标f(x)＝0零点 函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？
【提示】 (1)函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数．
(2)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个 也就是f(x)＝0的根．f(a)f(b)＜0f(c)＝0c y ＝f(x)在[a，b]上图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，仅是y＝f(x)在区间(a，b)内有零点的充分条件，不满足这个条件，函数f(x)在区间(a，b)内也可能有零点．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系(x1,0)，(x2,0)3.二分法
(1)二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
第一步，确定区间[a，b]，验证 ，给定精确度ε；
第二步，求区间(a，b)的中点x1；
第三步，计算f(x1)：f(a)f(b)＜0一分为二零点f(a)f(b)＜0①若 ，则x1就是函数的零点；
②若 ，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；
③若 ，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b)；
第四步，判断是否达到精确过度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步．f(x1)＝0f(a)f(x1)＜0f(x1)f(b)＜0 用二分法求一个方程的近似解时，选择的区间可大可小，在同一精确度下，最好在满足|a－b|＜ε的同时，再保证区间(a，b)的两个端点a，b在精确度ε下的近似值相同．这样所选的区间不同，但所得结果相同．1．若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是( )
A．0 B．－1
C．0，－1 D．0,1
【解析】 ∵f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点为3，
∴3a－b＝0,3a＝b.
令g(x)＝0得bx2＋3ax＝0，
即bx2＋bx＝0，bx(x＋1)＝0，
∴x＝0或x＝－1.
∴g(x)的零点为0或－1
【答案】 C2．函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )
【解析】 ∵B中x0左右两边的函数值均大于零，不适合二分法求零点的条件．
【答案】 B3．函数f(x)＝lg x－ 的零点所在的区间是( )
A．(0,1] B．(1,10]
C．(10,100] D．(100，＋∞)
【解析】 由于f(1)f(10)＝(－1)× ＜0根据二分法得函数在区间(1,10]内存在零点．
【答案】 B4．若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，则实数a的值是____________．
【解析】 若a＝0，则f(x)＝－x－1为一次函数，易知函数仅有一个零点；若a≠0，则函数f(x)为二次函数，若其中有一个零点，则方程ax2－x－1＝0仅有一个实数根，故判别式Δ＝1＋4a＝0，得a＝－ .综上可知a＝0或a＝－ .
【答案】 0或－5．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)＜0，给定精确度?＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝ ＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0∈________(填区间)．
【解析】 由f(2)·f(3)＜0可知．
【答案】 (2,3)函数零点的判断 判断下列函数在给定区间是否存在零点．
(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；
(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．【解析】 (1)∵f(1)＝－20＜0, f(8)＝22＞0，
∴f(1)·f(8)＜0，
故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．
(2)∵f(1)＝log2(1＋2)－1＞log22－1＝0，
f(3)＝log2(3＋2)－3＜log28－3＝0，∴f(1)·f(3)＜0，
故f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点．【思路点拨】 第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第(2)问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解．二次函数的零点 关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有零点，求实数m的取值范围．1．m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.
(1)有且仅有一个零点；(2)有两个零点且均比－1大；
【解析】 (1)f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点?方程f(x)＝0有两个相等实根?Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.方式的根与函数的零点 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.
(1)若a＞b＞c且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点；
(2)若对x1、x2∈R且x1＜x2，f(x1)≠f(x2)，方程f(x)＝ 有两个不等实根，证明必有一实根属于(x1，x2)．【证明】 (1)∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0.
又∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，即ac＜0.
又∵Δ＝b2－4ac≥－4ac＞0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，
所以函数f(x)有两个零点． 可将方程根的问题转化成函数零点的问题，借助函数的图象和性质进行解答．2．x1与x2分别是实系数方程ax2＋bx＋c＝0和－ax2＋bx＋c＝0的一个根，且x1≠x2，x1≠0，x2≠0.
求证：方程 x2＋bx＋c＝0有一个根介于x1和x2之间．函数、方程与不等式之间的联系是不可分割的，对函数是否存在零点，有多少个零点的判断自然会涉及到函数的图象和性质，对函数零点问题的考查，涉及的知识面之宽、方法之多、灵活性之大都是可以想像的．1．(2009年山东卷)若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．【解析】 设函数y=ax(a＞0，且a≠1)和函数y=x+a，则函数f(x)=ax-x-a(a＞0，且a≠1)有两个零点，就是函数y=ax(a＞0，且a≠1)与函数y=x+a有两个交点，由图象可知当0＜a＜1时两函数只有一个交点，不符合；如图所示，当a＞1时，因为函数y=ax(a＞1)的图象过点(0,1)，而直线y=x+a所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点，所以实数a的取值范围是a＞1.【答案】 a＞12．(2009年福建卷)若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是( )
A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln【答案】 A课时作业
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．设f：x→x2是从集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，
则A∩B为( )
A．? B．{1}
C．?或{2} D．?或{1}
【解析】 由已知x2＝1或x2＝2，解之得，x＝±1或x＝±.若1∈A，则A∩B＝{1}，若1?A，则A∩B＝?.
故A∩B＝?或{1}．
【答案】 D
2．下列四组函数中，表示同一函数的是( )
A．y＝x－1与y＝
B．y＝与y＝
C．y＝4lg x与y＝2lg x2
D．y＝lg x－2与y＝lg
【解析】 ∵y＝x－1与y＝＝|x－1|的对应法则不同，故不是同一函数；y＝(x≥1)与y＝(x＞1)的定义域不同，∴它们不是同一函数；又y＝4lg x(x＞0)与y＝2lg x2(x≠0)的定义域不同，因此它们也不是同一函数，
而y＝lg x－2(x＞0)与y＝lg＝lg x－2(x＞0)有相同的定义域，值域与对应法则，故它们是同一函数．
【答案】 D
3．已知函数f(x)＝，那么f的值为( )
A．9 B.
C．－9 D．－
【解析】 由于f＝f＝f(－2)＝3－2＝，故选B.
【答案】 B
4．(2009年安徽卷)设a＜b，函数y＝(x－a)2(x－b)的图象可能是( )
【解析】 当x＞b时，y＞0，x＜b时，y≤0.故选C.
【答案】 C
5．已知f：x→－sin x是集合A(A?[0,2π])到集合B＝的一个映射，则集合A中的元素个数最多有( )
A．4个 B．5个
C．6个 D．7个
【解析】 A?[0,2π]，由－sin x＝0得x＝0，π，2π；由－sin x＝得x＝，，∴A中最多有5个元素，故选B.
【答案】 B
6．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……，用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是( )
【解析】 对于乌龟，其运动过程可分为两段，从起点到终点乌龟没有停歇，其路程不断增加，到终点后等待兔子这段时间路程不变，此时图象为水平线段，对于兔子，其运动过程可分为三段：开始跑得快，所以路程增加快；中间睡觉时路程不变；醒来时追赶乌龟路程增加快，分析图象可知，选B.
【答案】 B
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{0,1,2}，给出下列四个对应关系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝2x，④y＝log2|x|，其中能构成从M到N的映射的是________．
【解析】 根据函数与映射的定义知④正确．
【答案】 ④
8．已知f＝－1，则f(x)＝________.
【解析】 设1＋＝t(t≠1)，
则x＝，
∴f(t)＝－1＝t－2(t≠1)．
f(x)＝x－2(x≠1)．
【答案】 x－2(x≠1)
9．如图，函数f(x)的图象是曲线段OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f的值等于________．
【解析】 由图象知f(3)=1，f =f(1)=2.
【答案】 2
三、解答题(共46分)
10．(15分)(1)已知f(x－2)＝3x－5，求f(x)；
(2)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)；
(3)若f{f[f(x)]}＝27x＋26，求一次函数f(x)的解析式．
【解析】 (1)令t＝x－2，则x＝t＋2，t∈R，
由已知有：f(t)＝3(t＋2)－5＝3t＋1，
故f(x)＝3x＋1.
(2)∵f(1－cos x)＝sin2x＝1－cos2x，
令1－cos x＝t，cos x＝1－t，
∵－1≤cos x≤1，
∴0≤1－cos x≤2，∴0≤t≤2，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝－t2＋2t(0≤t≤2)，
故f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)．
(3)设f(x)＝ax＋b，f[f(x)]＝a2x＋ab＋b，
f{f[f(x)]}＝a(a2x＋ab＋b)＋b＝a3x＋a2b＋ab＋b，
∴
解得a＝3，b＝2.
则f(x)＝3x＋2，f[f(x)]＝3(3x＋2)＋2＝9x＋8.
f{f[f(x)]}＝3(9x＋8)＋2＝27x＋26，
∴a＝3，b＝2，f(x)＝3x＋2为所求．
11．(15分)已知f(x)＝x2＋2x－3，用图象法表示函数g(x)＝.
【解析】 当f(x)≤0，即x2＋2x－3≤0，－3≤x≤1，g(x)＝0.
当f(x)＞0，即x＜－3或x＞1，g(x)＝f(x)＝(x＋1)2－4.
∴g(x)＝
图象如下图所示．
12．(16分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；
(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)
【解析】 设一次订购量为m个时，零件的实际出厂单价恰降为51元．
由题意，得60－(m－100)×0.02＝51，得m＝550.
故当一次订购550个时，零件实际出厂单价恰为51元．
(2)由题意，知当0＜x≤100时，f(x)＝60；
当100＜x＜550时，f(x)＝61－(x－100)·0.02＝62－；
当x≥550时，f(x)＝51.
∴函数P＝f(x)的表达式是
f(x)＝
(3)由(2)知当销售一次订购500个零件和1 000个零件时销售单价分别为62－＝52元和51元，故其利润分别是500×52－500×40＝6 000元和1 000×51×40＝1 1000元．
课件29张PPT。第二节 函数的概念及其表示法1．函数的基本概念
(1)函数的概念：设A、B是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有 确定的数f(x)和它对应那么就称 ，记作 .其中，x叫做 ，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做 ，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 ，显然，值域是集合B的 ．数集唯一f：A→B为从集合A到集合B的一个函数y＝f(x)，x∈A自变量定义域函数值值域子集， (1)A、B都是非空数集，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在．
(2)函数关系的判断要注意“每一个”、“都有”、“唯一”等关键词．
(3)注意f(x)与f(a)的区别，f(a)表示当x＝a时的函数值，是一个常量；而f(x)是关于x的函数，一般情况下是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．(2)函数的构成要素为： 、 和 ．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的 相同，并且 完全一致，我们就称这两个函数 ．
(3)函数的表示法有 、 、 ．定义域对应关系值域定义域对应关系相等解析法图象法列表法函数的三种表示法的优、缺点对照表： 若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？
【提示】 不一定．如函数y＝x与y＝x＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y＝sin x与y＝cos x，其定义域都为R，值域都为[－1,1]，显然不是相等函数．因此判断两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系．2．映射
(1)两个集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的 ，B中总有 与它对应，就称这种对应为从A到B的 ，记作： .A中的元素x称为 ，B中的对应元素y称为x的 ，记作 .
(2)设A，B是两个非空 ，f是A到B的一个 ，那么映射f：A→B就叫做A到B的函数．每一个元素x唯一的一个元素y映射f：A→Bf：x→y象映射数集原象 理解映射的概念要注意以下几点：
(1)映射由三要素组成，集合A、B 以及A到B的对应关系f，集合A，B可以是数集，也可以是点集或其他集合．
(2)A中每一个元素都可以在B中找到一个且只有一个元素和它对应．
(3)A中的不同元素允许对应B中的相同元素，即映射允许“多对一”、“一对一”，但不允许“一对多”．
(4)B中的元素可以在A中没有元素和它对应．映射与函数的对比总之，函数是特殊的映射，当A、B是非空数集时，f：A→B的映射即为A到B的函数．1．(2009年福建卷)下列函数中，与函数y＝ 有相同定义域的是(
A．f(x)＝ln x B．f(x)＝
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ex
【解析】 ∵y＝ 定义域为(0，＋∞)，f(x)＝ln x定义域为(0，＋∞)．f(x)＝ 定义域为{x|x≠0}．
f(x)＝|x|定义域为R.f(x)＝ex定义域为R，故选A.)【答案】 A2．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，给出下列四个图形(如图所示)，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【解析】 根据函数定义：对于M中的任意一个x在N中都有唯一确定的y与之对应．因此，②③都表示从M到N的函数关系．
【答案】 C3．若对应关系f：A→B是从集合A到集合B的一个映射，则下面说法错误的是( )
A．A中的每一个元素在集合B中都有对应元素
B．A中两个元素在B中的对应元素必定不同
C．B中两个元素若在A中有对应元素，则它们必定不同
D．B中的元素在A中可能没有对应元素
【解析】 由映射概念可知，A中元素在B中必有惟一元素与它对应，B中元素在A中可以没有对应关系，即从A到B的对应关系可以是一对一，多对一，但不可以是一对多．
【答案】 B4．(2009年北京卷)已知函数f(x)＝ 若f(x)＝2，则x＝ ___.
【解析】 当x≤1时，3x＝2，∴x＝log32；
当x＞1时，－x＝2，∴x＝－2(舍去)．
【答案】 log325．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出则f[g(1)]的值为________；满足f [g(x)]＞g[f(x)]的x的值是________．【解析】 f [g(1)]＝f(3)＝1.故f[g(x)]＞g[f(x)]的解为x＝2，故填2.【答案】 1 2函数的基本概念 下列从M到N的各对应法则fi(i＝1,2,3,4)中，哪些是映射？哪些是函数？哪些不是映射？为什么？
(1)M＝{直线Ax＋By＋C＝0}，N＝R，f1：求直线Ax＋By＋C＝0的斜率；
(2)M＝{直线Ax＋By＋C＝0}，N＝{α|0≤α＜π}，f2：求直线Ax＋By＋C＝0的倾斜角；
(3)M＝N＝{x|x≥0}，f4：求M中每个元素的算术平方根．【思路点拨】 函数是一种特殊的映射，特殊之处在于两个集合M、N都是非空数集．但它们都有共同特点M中元素在N中存在唯一元素与之对应．【解析】 (1)当B＝0时，直线Ax＋C＝0的斜率不存在．此时N中不存在与之对应的元素，故f1不是从M到N的映射，也就不是函数了．
(2)对于M中任一元素Ax＋By＋C＝0，该直线恒有唯一确定的倾斜角α，且α∈[0，π)，故f2是从M到N的映射．但由于M不是数集，从而f2不是从M到N的函数．
(3)对于M中任一非负数，其算术平方根唯一确定，故f4是从M到N的映射．又M、N均为非空数集，所以f4是从M到N上的函数．函数的表示法 已知某人在2005年1月份至6月份的月经济收入如下：1月份为1 000元，从2月份起每月的月经济收入是其上一个月的2倍，用列表、图象、解析式三种不同形式来表示该人1月份至6月份的月经济收入y(元)与月份序号x的函数关系，并指出该函数的定义域、值域和对应法则．【解析】 列表：图象：解析式：y=1 000·2x-1(x∈{1,2,3,4,5,6})．
其中定义域为{1,2,3,4,5,6}，值域为{1000,2000，4000，8000，16000,32000}．
对应法则f：x→y=1 000·2x-1. 列表法、图象法和解析式法是表示函数的三种方法，其实质是一样的，只是形式上的区别，列表和图象更加直观，解析式更适合计算和应用．在对待不同题目时，选择不同的表示方法，因为有的函数根本写不出其解析式．1．如下图①所示是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象．
(1)试说明图①上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；
(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图②③所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？
(3)图①、②中的票价是多少元？图③中的票价是多少元？
(4)此问题中直线斜率的实际意义是什么？【解析】 (1)点A表示无人乘车时收入差额为－20元，点B表示有10人乘车时收入差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利．
(2)图②的建议是降低成本，票价不变，图③的建议是增加票价．
(3)图①②中的票价是2元．图③中的票价是4元．
(4)斜率表示票价．求函数的解析式 给出下列两个条件：(1)f( ＋1)＝x＋2 ；
(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.
试分别求出f(x)的解析式．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∴f(x＋2)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋c，
则f(x＋2)－f(x)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2. 又f(0)＝3?c＝3，∴f(x)＝x2－x＋3.【解析】 (1)令t＝ ＋1，
∴t≥1，x＝(t－1)2.
则f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
即f(x)＝x2－1，x∈[1，＋∞)． 求函数解析式的常用方法有：(1)代入法，用g(x)代入f(x)中的x，即得到f [g(x)]的解析式；(2)拼凑法，对f [g(x)]的解析式进行拼凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有“g(x)”即可；(3)换元法，设t＝g(x)，解出x，代入f [g(x)]，得f(t)的解析式即可；(4)待定系数法，若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值，确定相关的系数即可；(5)赋值法，给变量赋予某些特殊值，从而求出解析式．2．(1)已知f ＝x2－2，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b
＝ax＋5a＋b，
即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立．∴f(x)＝2x＋7.高考考查内容是映射和函数的概念，已知函数解析式求函数值，求函数解析式以及相关的方程和不等式等问题，对分段函数的相关问题要引起足够的重视．其试题难度较小，多以选择、填空题出现．1．(2009年山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝
则f(3)的值为( )
A．－1 B．－2
C．1 D．2
【解析】 ∵f(3)＝f(2)－f(1)，又f(2)＝f(1)－f(0)，
∴f(3)＝－f(0)，∴f(0)＝log24＝2.∴f(3)＝－2.
【答案】 B2．(2008年安徽卷)
图中的图象所表示的函数的解析式为( )【解析】 将x＝0代入选项排除A、C，将x＝1代入选项排除D.故选B.
【答案】 B课时作业
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝x3 B．y＝cos x
C．y＝ D．y＝ln|x|
【解析】 y＝x3是奇函数，排除A选项；y＝cos x在(0，＋∞)不单调，排除B；y＝x－2在(0，＋∞)单调递减，排除C.故选D.
【答案】 D
2．右图所示为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像，则|OA|·|OB|等于( )
A. B．－
C．± D．无法确定
【解析】 |OA|·|OB|＝|OA·OB|＝|x1x2|＝＝－
(∵a＜0，c＞0)．
【答案】 B
3．若函数f(x)是幂函数，且满足＝3，则f的值等于( )
A．－3 B．－
C．3 D.
【解析】 依题意设f(x)＝xα(α∈R)，则有＝3，即2α＝3得α＝log23，则f(x)＝xlog23，于是f＝log23＝2－log23＝2log2＝，选D.
【答案】 D
4．设函数f(x)＝x2－x＋a(a＞0)，若f(m)＜0，则( )
A．f(m－1)＞0
B．f(m－1)＜0
C．f(m－1)＝0
D．f(m－1)与0的大小关系不确定
【解析】 函数f(x)的对称轴x＝，由f(0)＝a＞0和f(m)＜0知＜，∴f(m－1)＞0.
【答案】 A
5．(2010年崇明模拟)函数f(x)＝x2－4x－6的定义域为[0，m]，值域为[－10，－6]，则m的取值范围是( )
A．[0,4] B．[2,4]
C．[2,6] D．[4,6]
【解析】 函数f(x)＝x2－4x－6的图像关于直线x＝2对称．
又∵f(0)＝－6，f(2)＝－10，
且f(4)＝f(0)＝－6.
∴2≤m≤4.
【答案】 B
6．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图像是( )
【解析】 ∵a＞b＞c ，且a+b+c=0，得a＞0，c＜0(用反证法可得)，∴f(0)=c＜0，∴只能是D.
【答案】 D
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．若二次函数的图像经过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值是－1，则它的解析式________．
【解析】 对称轴为x＝2，最小值是－1，可知其顶点为(2，－1)，设二次函数的解析式为y＝a(x－2)2－1，将(0,1)代入得1＝4a－1，∴a＝，∴所求函数解析式为y＝(x－2)2－1.
【答案】 y＝(x－2)2－1
8．求函数f(x)＝的值域为________．
【解析】 作图象如图所示．
∵f(-1)=f(1)=-4，
f(-2)=-3，
f(3)=0，f(0)=-3，
∴函数的最大值、最小值分别为0和-4，即函数的值域为[-4,0]．
【答案】 [-4,0]
9．给出下列命题：
①ambn＝(ab)m＋n；
②若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称；
③a＜0是方程ax2＋2x＋1＝0有一个负实数根的充分不必要条件；
④设有四个函数y＝x－1，y＝x3，y＝x，y＝x－2，其中y随x增大而增大的函数有3个．
其中正确命题的个数为________．
【解析】 ①错误；由奇函数性质知②正确；③正确：由a＜0?ax2＋2x＋1＝0有一个负实根，反推不成立，如a＝0；④不正确，只有y＝x，y＝x3满足条件．
【答案】 2
三、解答题(共46分)
10．(15分)已知函数y＝－x2＋ax－＋在区间[0,1)上的最大值是2，求实数a的值．
【解析】 y＝－2＋(a2－a＋2)，对称轴为x＝.
(1)当0≤≤1即0≤a≤2时，ymax＝(a2－a＋2)，由(a2－a＋2)＝2得a＝3或a＝－2，与0≤a≤2矛盾，不合要求．
(2)当＜0即a＜0时，y在[0,1]上单调减，有ymax＝f(0)，由f(0)＝2?－＋＝2?a＝－6.
(3)当＞1即a＞2时，y在[0,1]上单调增，有ymax＝f(1)，由f(1)＝2?－1＋a－＋＝2?a＝
综上，得a＝－6或a＝.
11．(15分)已知函数f(x)＝－xm，且f(4)＝－.
(1)求m的值；
(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．
【解析】 (1)f(4)＝－，∴－4m＝－，m＝1.
(2)f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减．
现证之：任取x1、x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，则x2－x1＞0，
∴f(x2)－f(x1)＝－
＝(x1－x2).
∵x2－x1＞0，x1x2＞0，∴f(x2)－f(x1)＜0.
∴f(x)＝－x，在(0，＋∞)上单调递减．
12．(16分)已知函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋6(a∈R)．
(1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a的值；
(2)若函数值为非负数，求函数f(a)＝2－a|a＋3|的值域．
【解析】 (1)∵函数的值域为[0，＋∞)，
∴Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0，
即2a2－a－3＝0，得a＝－1或a＝.
(2)∵对一切x∈R函数值均为非负，
∴Δ＝8(2a2－a－3)≤0?－1≤a≤，
∴a＋3＞0，
∴f(a)＝2－a|a＋3|
＝－a2－3a＋2
＝－2＋，
课件24张PPT。第五节 二次函数与简单的幂函数1．二次函数的三种表示形式
(1)一般式：f(x)＝ ．
(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(k，h)，则其解析式为f(x)＝ ．
(3)两根式：若二次函数图像与x轴的交点坐标为(x1,0)，(x2,0)，则其解析式为f(x)＝ ．ax2＋bx＋c(a≠0)a(x－k)2＋h(a≠0)a(x－x1)(x－x2)(a≠0)2．二次函数的图像和性质RR单调增单调减偶函数非奇非偶函数开口方向3.幂函数的定义
形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是 ，α为 ．
幂函数与指数函数有何不同？
【提示】 本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置．自变量常数1．若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)是( )
A．f(x)＝x2－1 B．f(x)＝5x2
C．f(x)＝－x2 D．f(x)＝x2
【解析】 形如f(x)＝xd的函数是幂函数，其中d是常数．
【答案】 D2．设α∈ ，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( )
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
【解析】 ∵y＝x－1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∴α＝－1不合题意．排除B、C、D，故选A.
【答案】 A3．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m2－1)x＋1是偶函数，则在区间(－∞，0]上，f(x)是( )
A．增函数
B．减函数
C．常数函数
D．可能是增函数，也可能是常数函数
【解析】 ∵f(x)为偶函数，∴m2－1＝0，即m＝±1.
当m＝1时，f(x)＝1为常数函数；
当m＝－1时，f(x)＝－2x2＋1，在(－∞，0]上为增函数．
【答案】 D4．拋物线y＝8x2－(m－1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝________.
【解析】 因 ＝0，
∴4×8×(m－7)－(m－1)2＝0.
∴m＝9或25.
【答案】 9或255．设函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，若当x≤1时，y＝x2＋1，则当x＞1时，y＝________.
【解析】 首先作出当x≤1时，y=x2+1的图像，如图所示，则关于x=1与之对称部分仍是拋物线，顶点为(2,1)，于是当x＞1时，y=(x-2)2+1，即y=x2-4x+5.
【答案】 x2-4x+5幂函数的定义 已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)：
(1)是幂函数；
(2)是幂函数，且是(0，＋∞)上的增函数；
(3)是正比例函数；
【思路点拨】 (1)(3)分别利用相应函数的定义确定m的值，(2)中利用幂函数的性质与幂指数之间关系，确定m.【解析】 (1)∵f(x)是幂函数，故
m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
(2)若是幂函数且又是(0，＋∞)上的增函数，
则－5m－3＞0，即m＜－ ，
∴m＝2(舍去)，故m＝－1.
(3)若f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1，
解得m＝－ ，
此时m2－m－1≠0，故m＝－ .二次函数的最值已知f(x)＝x2－ax＋(a＞0)在区间[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值． (1)含有参数的二次函数的最值问题，因其顶点相对于定义域区间的位置不同，其最值状况也不同，所以要根据二者的相关位置进行分类讨论．
(2)本题是“定”二次函数，“动”区间，依照此法也可以讨论“动”二次函数，“定”区间为二次函数问题．1．函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值记为g(t)．
(1)试写出g(t)的函数表达式；
(2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值．
【解析】 (1)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8.
当t＞2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4；
当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8；
当t＋1＜2，即t＜1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.从而g(t)=
(2)g(t)的图象如图所示．
∴g(t)的最小值为-8.二次函数的综合问题 已知函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)满足条件f(－x＋5)＝f(x－3)，且方程f(x)＝x有等根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在实数m、n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别是[m，n]和[3m,3n]？如果存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由．∴f(x)在[m，n]上为增函数，∴f(m)＝3m，且f(n)＝3n，m，n是方程f(x)＝3x的两个不等根，∴－ x2＋x＝3x，则x2＋4x＝0，解得x＝0或－4，∵m＜n
∴m＝－4，n＝0.
本题由f(－x＋5)＝f(x－3)知道f(x)关于x＝1对称，若f(a＋x)＝f(b－x)，则f(x)关于x＝ 对称，
若f(x＋a)＝f(x－b)，则f(a)为周期函数；其周期为a＋b.2．已知函数f(x)＝ax2＋4x＋b(a＜0，a、b∈R)，设关于x的方程f(x)＝0的两实根为x1、x2，方程f(x)＝x的两实根为α、β.
(1)若|α－β|＝1，求a、b的关系式；
(2)若a、b均为负整数，且|α－β|＝1，求f(x)的解析式．二次函数是高考的热点问题，其考查形式多以选择、填空形式出现，其难度为中档题，在考查时易与不等式、集合、结合考查．
1．(2008年辽宁卷)若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【解析】 ∵y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a是偶函数
∴1－a＝0，∴a＝1，故选C.
【答案】 C【解析】 由 得m＝2，
所以函数f(x)＝3x2＋2x＋1，
于是函数f(x)在[－1,1]上的最大值是f(1)＝6.【答案】 C课时作业
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．函数y＝5x与函数y＝－的图象关于( )
A．x轴对称 B．y轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
【解析】 因y＝－＝－5－x，所以关于原点对称．
【答案】 C
2．有一空容器，由悬在它上方的一
根水管均匀地注水，直至把容器注满，在注水过程中水面的高度变化曲线如图所示，其中PQ为一线段，则与此图相对应的容器的形状是( )
【解析】 由函数图象可判断出该容器必定有不规则形状，再由PQ为直线段，容器上端必是直的一段．故可排除ABD，选C.
【答案】 C
3．设曲线y＝x2＋1在其任一点(x，y)处切线斜率为g(x)，则函数y＝g(x)cos x的部分图象可以为( )
【解析】 g(x)=2x，g(x)·cos x=2x·cos x，
g(-x)=-g(x)，cos(-x)=cos x，
∴y=g(x)cos x为奇函数，排除B、D.
令x=，得y＞0.故选A.
【答案】 A
4．把函数y＝f(x)＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是( )
A．y＝(x－3)2＋3 B．y＝(x－3)2＋1
C．y＝(x－1)2＋3 D．y＝(x－1)2＋1
【解析】 把函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位，即把其中x换成x＋1，于是得y＝[(x＋1)－2]2＋2＝(x－1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3.故选C.
【答案】 C
5．函数y＝的图象大致是( )
【解析】 易知y=为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A、B，又f(1)=f(-1)=0，故选D.
【答案】 D
6．已知f(x)＝则关于图
中的函数图象正确的是( )
A．是f(x－1)的图象
B．是f(－x)的图象
C．是f(|x|)或|f(x)|的图象
D．以上答案都不对
【解析】 所给图象与f(x)的图象关于y轴对称，选项中只有f(－x)与f(x)的图象关于y轴对称，故选B.
【答案】 B
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.
设奇函数f(x)的定义域为[-5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图像如图，则不等式f(x)＜0的解集是 .
【解析】 由奇函数图像的特征可得f(x)在[-5,5]上的图象．由图像可解出结果．
【答案】 {x|-2＜x＜0或2＜x≤5}
8．若把函数y＝f(x)的图象作平移，可以使图象上的点P(1,0)变换成点Q(2,2)，则函数y＝f(x)的图象经此变换后所得图象对应的函数为________
【解析】 ∵将点P(1,0)变成点Q(2,2)，即将图象向右平移一个单位，向上平移2个单位，∴用x－1代x，y－2代y得
y＝f(x－1)＋2.
【答案】 y＝f(x－1)＋2
9．对于任意实数a、b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
【解析】 依题意，h(x)＝，结合图象，易知h(x)的最大值为1.
【答案】 1
三、解答题(共46分)
10．(15分)已知函数f(x)＝
(1)在如图给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；,(2)写出f(x)的单调递增区间．
,【解析】 (1)函数f(x)的图象如图所示．,,(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．,,11.(15分)若1＜x＜3，a为何值时，x2－5x＋3＋a＝0有两解、一解、无解？,【解析】 原方程化为：a＝－x2＋5x－3，①,作出函数y＝－x2＋5x－3(1＜x＜3)的图象如图．,
显然该图象与直线y=a的交点的横坐标是方程①的解，由图可知：当3＜a＜时，原方程有两解；
当1＜a≤3或a=时，原方程有一解；
当a＞或a≤1时，原方程无解．
12．(16分)已知函数f(x)＝m的图象与h(x)＝＋2的图象关于点A(0,1)对称．
(1)求m的值；
(2)若g(x)＝f(x)＋在(0,2]上是减函数，求实数a的取值范围．
【解析】 (1)设P(x，y)是h(x)图象上一点，点P关于A(0,1)的对称点为Q(x0，y0)，则x0＝－x，y0＝2－y.
∴2－y＝m，∴y＝m＋2，从而m＝.
(2)g(x)＝＋＝.
设0则g(x1)－g(x2)＝－
＝(x1－x2)＋(a＋1)·
＝(x1－x2)·>0，
并且在x1，x2∈(0,2]上恒成立，
∴x1x2－(a＋1)<0，∴1＋a>x1x2,1＋a≥4，∴a≥3.
课件23张PPT。第八节 函数的图象1．作图
(1)描点法：其步骤是： 、 、 ．
(2)图象变换法：通过基本函数的图象经过 、 、 等变换作出相应的函数图象．
(3)作函数图象的一般步骤
①求出函数的定义域；
②化简函数式；
③讨论函数的性质(如奇偶性、周期性)以及图象上的特殊点、线(如渐近线、对称轴等)；
(4)利用基本函数的图象画出所给函数的图象．列表描点连线对称平移伸缩(1)平移变换(2)伸缩变换：(3)对称变换：2．识图
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势，对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．
3．用图
函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果的重要工具，要重视数形结合解题的思想方法．1．下列图象表示具有奇偶性的函数的是( )【答案】 B2．(2008年全国卷)函数f(x)＝ －x的图象关于( )
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称【解析】 ∵f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f(－x)＝ －(－x)＝－ ＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，它的图象关于原点对称，故选C.【答案】 C3．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点( )
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
【解析】 由y＝2x得到y＝2x－3－1，需用x－3换x，用y＋1换y，即
∴按平移向量(3，－1)平移，即向右平移3个单位，向下平移1个单位．
【答案】 A4．已知下列曲线：以下编号为①②③④的四个方程：
① ＝0；②|x|－|y|＝0；③x－|y|＝0；④|x|－y＝0.
请按曲线A、B、C、D的顺序，依次写出与之对应的方程的编号________．【解析】 按图象逐个分析，注意x、y的取值范围．
【答案】 ④②①③5．一个体积为V的棱锥被平行于底面的平面所截，设截面上部的小棱锥的体积为y，截面下部的几何体的体积为x，则y与x的函数关系可以表示为如下图所示中的________(填入正确图象的序号)．【解析】 ∵x+y=V，所以y=-x+V.故填③.
【答案】 ③识图函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如图．则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是( )【思路点拨】 根据图象可知f(x)和g(x)分别为偶函数和奇函数，结合函数的其他性质，如最值点及其他特殊值即可做出判断．
【解析】 从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)·g(x)是奇函数，排除B.
又∵g(x)的定义域为{x|x≠0}，
故排除C、D.
【答案】 A作图 分别画出下列函数的图象：
(1)y＝|lgx|；
(2)y＝2x＋2；
(3)y＝x2－2|x|－1. 本题先将函数化简，转化为作基本函数的图象的问题．作分段函数的图象时要注意各段间的“触点”．同时也可利用图象变换得出．1．作出下列函数的图象：
(1)y＝|x－2|·(x＋1)；
(2)y＝ ；
(3)y＝|log2(x＋1)|.(3)利用y＝log2x的图象进行平移和翻折变换．(如图(3))．用图 已知函数f(x)＝|x－8|－|x－4|.
(1)作出函数y＝f(x)的图象；
(2)解不等式|x－8|－|x－4|＞2.【解析】
(1)f(x)＝图象如右图所示
(2)不等式|x-8|-|x-4|＞2，即f(x)＞2.
由-2x+12=2得x=5.由函数f(x)图象可知，原不等式的解集为(-∞，5)． 函数的图象是函数的表示方法，可以与数结合起来，所以利用图象可以研究函数的性质、研究不等式、研究方程根的个数等等．而用图象时，一般经历作图和识图两个环节，识图时一般从定义域、单调性、奇偶性、最值、极值、特殊点等方面去认识图象．2．(2008年湖北卷)方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________．【解析】 方程变形为3－x2＝2－x＝ ，
令y＝3－x2，y＝ .由图象可知有2个交点．【答案】 2数学研究的主要对象就是数和形，而数形结合是数学最重要的思想方法．毫无疑问是高考的热点．高考主要考查作函数图象的方法，如何判断函数的图象以及函数图象的应用(如解不等式，判断方程解的个数等问题)．1．(2009年北京卷)为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点( )
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【解析】 ∵y＝lg ＝lg(x＋3)－1，∴将y＝lg x的图象上的点向左平移3个单位长度得到y＝lg(x＋3)的图象，再将y＝lg(x＋3)的图象上的点向下平移1个单位长度得到y＝lg(x＋3)－1的图象．【答案】 C2．(2008年山东卷)设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|的图象关于直线x＝1对称，则a的值为( )
A．3 B．2
C．1 D．－1
【解析】 由题意可得对于x∈R，f(x＋1)＝f(1－x)恒成立，A
|x＋2|＋|x＋1－a|＝|－x＋2|＋|－x＋1－a|，即：
|x＋2|＋|x＋1－a|＝|x－2|＋|x－1＋a|，
∴1－a＝－2，得a＝3.故选A.
【答案】 A课时作业
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．下列函数中值域为正实数的是( )
A．y＝－5x B．y＝1－x
C．y＝ D．y＝
【解析】 ∵y＝x的值域是正实数，而1－x∈R，
∴y＝1－x的值域是正实数．
【答案】 B
2．下列结论中正确的个数是( )
①当a＜0时，(a2)＝a3；
②＝|a|；
③函数y＝(x－2)－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；
④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 ①中当a＜0时，(a2)＞0，a3＜0，所以(a2)≠a3；②中，当n为奇数且a＜0时，＝a；③中，函数的定义域应为∪；④中，由已知可得2a＋b＝lg5＋lg2＝lg10＝1，所以只有④正确，其余均错误．选B.
【答案】 B
3．设函数f(x)＝a－|x|(a>0且a≠1)，f(2)＝4，则( )
A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2)
C．f(1)>f(2) D．f(－2)>f(2)
【解析】 由a－2＝4，a>0得a＝，
∴f(x)＝－|x|＝2|x|.
又∵|－2|>|－1|，∴2|－2|>2|－1|，
即f(－2)>f(－1)．
【答案】 A
4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x，则f(－2)＝( )
A. B．－4
C．－ D．4
【解析】 设x＜0，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f[－(－x)]＝－2－(－x)，∴f(－2)＝－2－(－2)＝－4.故选B.
【答案】 B
5．设y1＝40.9，y2＝80.44，y3＝－1.5，则( )
A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2
【解析】 利用幂的运算性质可得y1＝40.9＝21.8，y2＝80.44＝21.32，y3＝－1.5＝21.5，再由y＝2x是增函数知y1＞y3＞y2.
【答案】 D
6．若函数y＝4x－3·2x＋3的定义域为集合A，值域为[1,7]，集合B＝(－∞，0]∪[1,2]，则集合A与集合B的关系为( )
A．A?B B．A＝B
C．B?A D．无法确定
【解析】 因为y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，
所以1≤(2x)2－3·2x＋3≤7，
所以x≤0或1≤x≤2.即A＝(－∞，0]∪[1,2]＝B.
【答案】 B
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．函数y＝x－3x在区间[－1,1]上的最大值等于________．
【解析】 由y＝x是减函数，y＝3x是增函数，可知y＝x－3x是减函数，故当x＝－1时函数有最大值.
【答案】
8．若x1、x2为方程2x＝－＋1的两个实数解，则x1＋x2＝________.
【解析】 原方程可化为2x＝(2－1)－＋1，即2x＝2－1，
∴x＝－1，即x2＋x－1＝0.
∴x1＋x2＝－1.
【答案】 －1
9．若函数y＝lg(4－a·2x)在(－∞，1]上有意义，则实数a的取值范围是________．
【解析】 依题意有4－a·2x＞0在(－∞，1]上恒成立，即4＞a·2x，a＜，g(x)＝在(－∞，1]上单调递减，所以g(x)＝的最小值等于g(1)＝2，因此实数a的取值范围是a＜2.
【答案】 (－∞，2)
三、解答题(共46分)
10．(15分)求下列函数的定义域、值域及单调性．
(1)y＝6＋x－2x2；
(2)y＝－|x|.
【解析】 (1)函数的定义域为R，
令u＝6＋x－2x2，则y＝u.
∵二次函数u＝6＋x－2x2＝－22＋，
∴函数的值域为.
又∵二次函数u＝6＋x－2x2的对称轴为x＝，
在上u＝6＋x－2x2是减函数，
在上是增函数，又函数y＝u是减函数，
∴y＝6＋x－2x2在上是增函数，
在上是减函数．
(2)定义域为x∈R.
∵|x|≥0，∴y＝－|x|＝|x|≥0＝1.
故y＝－|x|的值域为{y|y≥1}．
又∵y＝－|x|是偶函数，
且y＝－|x|＝
所以函数y＝－|x|在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数．(此题可借助图象求解)
11．(15分)设f(x)＝ax＋b同时满足条件f(0)＝2和对任意x∈R都有f(x＋1)＝2f(x)－1成立．
(1)求f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)的定义域为[－2,2]，且在定义域内g(x)＝f(x)，且函数h(x)的图象与g(x)的图象关于直线y＝x对称，求h(x)；
【解析】 (1)由f(0)＝2，得b＝1，
由f(x＋1)＝2f(x)－1，得ax(a－2)＝0，
由ax＞0得a＝2，
所以f(x)＝2x＋1.
(2)由题意知，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)＝2x＋1.设点P(x，y)是函数h(x)的图象上任意一点，它关于直线y＝x对称的点为P′(y，x)，依题意点P′(y，x)应该在函数g(x)的图象上，即x＝2y＋1，所以y＝log2(x－1)，即h(x)＝log2(x－1)．
12．(16分)(2008年上海卷)已知函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】 (1)当x<0时，f(x)＝0；
当x≥0时，f(x)＝2x－.
由条件可知2x－＝2，即22x－2·2x－1＝0，
解得2x＝1±.
∵2x>0，∴x＝log2(1＋)．
(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)．
∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)．
∵t∈[1,2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]，
故m的取值范围是[－5，＋∞).
课件27张PPT。第六节 指数函数1．根式
(1)根式的概念xn＝a正数负数两个相反数(2)两个重要公式2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念 分数指数幂与根式有何关系？
【提示】 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算．
(2)有理数指数幂的性质
①aras＝ar＋s(a＞0，r、s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象和性质上方(0,1)y＝1y＞10＜y＜10＜y＜1y＞1 指数函数的图象特征：
(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．
(2)指数函数y＝ax与y＝x(a＞0且a≠1)的图象关于y轴对称．【答案】 D2．函数f(x)＝3－x－1的定义域、值域是( )
A．定义域是R，值域是R
B．定义域是R，值域是(0，＋∞)
C．定义域是R，值域是(－1，＋∞)
D．以上都不对【解析】 ∵y＝3－x＝ ，其定义域为R，
值域为(0，＋∞)，
∴f(x)＝3－x－1的定义域为R，值域为(－1，＋∞)．【答案】 C3．设指数函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，则下列等式不正确的是( )
A．f(x＋y)＝f(x)·f(y)
B．f((xy)n)＝fn(x)·fn(y)
C．f(x－y)＝
D．f(nx)＝fn(x)【解析】 ∵f(x＋y)＝ax＋y＝ax·ay＝f(x)·f(y)，
f(x－y)＝ax－y＝ax÷ay＝ ，
f(nx)＝anx＝(ax)n＝fn(x)，∴A、C、D均正确，故选B.【答案】 B4．已知函数f(x)＝a－ .若f(x)为奇函数，则a＝______.
【解析】 ∵定义域为R，且函数为奇函数，
∴f(0)＝0，即a－ ＝0，∴a＝ .
【答案】 【答案】 －23指数幂的化简与求值化简下列各式(其中各字母均为正数)：【思路点拨】 (1)因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂，先化为分数指数幂以便用法则运算；
(2)题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合应再创设条件去求．指数函数的性质求下列函数的定义域、值域及单调区间．(1)y＝ ，(2)y＝2x2－x－6. 涉及复合函数单调性问题，首先应弄清函数是由哪些基本函数复合得到的，求出复合函数的定义域，然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间．利用定义证明时可分层比较，对于内外层函数，注意“同增异减”．1．已知函数f(x)＝
(1)讨论函数的单调性；
(2)求函数的值域．指数函数的综合问题 已知f(x)＝ (ax－a－x)(a＞0且a≠1)．
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立．求b的取值范围．【解析】 (1)函数定义域为R，关于原点对称．
又因为f(－x)＝ (a－x－ax)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．(2)当a＞1时，a2－1＞0，
y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，
从而y＝ax－a－x为增函数，
所以f(x)为增函数．
当0＜a＜1时，a2－1＜0，
y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，
从而y＝ax－a－x为减函数．
所以f(x)为增函数．
故当a＞0，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，
∴在区间[－1,1]上为增函数．
所以f(－1)≤f(x)≤f(1)，∴要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1，
故b的取值范围是(－∞，－1]． (1)函数奇偶性与单调性是高考考查的热点问题，常以指数函数为载体考查函数的性质与恒成立问题．
(2)求参数的范围也是常考内容，难度不大，但极易造成失分，因此对题目进行认真分析，必要的过程不可少，这也是高考阅卷中十分强调的问题．2．已知f(x)＝ (a＞0且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立．
【解析】 (1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，
所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}．(3)当a＞1时，对x＞0，由指数函数的性质知ax＞1，
∴ax－1＞0， ＞0，
又x＞0时，x3＞0，∴x3 ＞0，
即当x＞0时，f(x)＞0.
又由(2)，f(x)为偶函数，知f(－x)＝f(x)，
当x＜0时，－x＞0，有f(－x)＝f(x)＞0成立．
综上知a＞1时，f(x)＞0在定义域上恒成立．
对于0＜a＜1时，f(x)＝
当x＞0时，1＞ax＞0，ax＋1＞0，
ax－1＜0，x3＞0，此时f(x)＜0，不满足题意；
当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝f(x)＜0，也不满足题意．
综上，所求a的范围是a＞1.近几年高考主要考查指数运算和指数函数图象，或由指数函数复合而成的函数．对指数函数考查多是指数函数的综合问题及比较大小、图象等问题．1．(2009年山东卷)函数y＝ 的图象大致为( )【解析】 函数有意义，需使ex-e-x=0，其定义域为{x|x≠0}，排除C，D.又因y= ，所以当x＞0时函数为减函数，故选A.【答案】 A2．(2008年安徽)若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有( )
A．f(2)＜f(3)＜g(0) B．g(0)＜f(3)＜f(2)
C．f(2)＜g(0)＜f(3) D．g(0)＜f(2)＜f(3)【解析】 ∵f(x)－g(x)＝ex且f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，
∴f(－x)－g(－x)＝e－x，即－f(x)－g(x)＝e－x，
解得f(x)＝ ，g(x)＝－ .
∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
∴f(3)＞f(2)＞f(0)＝0且g(0)＝－1，
∴g(0)＜f(2)＜f(3)，故选D.【答案】 D课时作业
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
【解析】 设原有荒漠化土地面积为b，由题意可得
y＝b(1＋10.4%)x.
【答案】 D
2．某文具用品店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每只定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一只羽毛球；②按总价的92%付款．某人计划购买4副球拍，羽毛球30只，两种优惠方法中，更省钱的一种是( )
A．不能确定 B．①②同样省钱
C．②省钱 D．①省钱
【解析】 ①种方法需20×4＋5×(30－4)＝210元，
②种方法需(20×4＋5×30)×92%＝211.6元．
故①种方法省钱，故选D.
【答案】 D
3．在一次数学试验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：
x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝ax2＋b D．y＝a＋f(b,x)
【解析】 由表格数据逐个验证，知模拟函数为y＝a＋bx.
【答案】 B
4．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为( )
A．2 800元 B．3 000元
C．3 800元 D．3 818元
【解析】 设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意，得
如果稿费为4 000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4 000元之间，
∴(x－800)×14%＝420，∴x＝3 800.
【答案】 C
5．如图，点P在边长为1的正方形ABCD上运动，设点M为CD的中点，当点P沿A→B→C→M运动时，点P经过的路程设为x，△APM面积设为y，则函数y＝f(x)的图象只可能是下图中的( )
【解析】 据题意可得
，易知只有A选项符合条件．
【答案】 A
6．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别为a m(0【解析】 先从确定花圃的最大面积入手，注意由于要将树围在里面，则其边长有限制，在此条件下确定花圃的最大面积，可转化为二次函数区间最值，最终整理成关于a的一个分
段函数．据题意设BC＝x，则DC＝16－x，要使树围在花圃内，需，此时花圃的面积f(x)＝x(16－x)
＝－(x－8)2＋64(a≤x≤12)，当8【答案】 C
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．某企业年初有资金100万元，若该企业经过有效经营能使每年资金平均增长50%，但每年年底要扣除消费基金x万元，余下投入再生产，为实现3年后资金达290万元(扣除消费基金后)，则x＝________.
【解析】 第一年后剩余资金为150－x；
第二年剩余资金为(150－x)×1.5－x；
第三年剩余资金为(225－2.5x)×1.5－x＝290?x＝10.
【答案】 10
8．2009年初，南京、杭州两市相继发生严重交通事故，公安部和交通部联合出台一些法规，我们知道一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/ml，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/ml，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时，才能开车？(精确到1小时)
【解析】 设x小时后，血液中的酒精含量不超过0.09 mg/ml，则有≤0.09，即，估算或取对数计算得5小时后，可以开车．
【答案】 5
9.
2009年10月，H1N1病毒，再次传播，为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y= (a为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；
(2)据测定：当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
三、解答题(共46分)
10．(15分)某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
【解析】 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4且5x>4时，
y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.
当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，
y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.
所以甲户用水量为5x＝7.5吨，
付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；
乙户用水量为3x＝4.5吨，
付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．
11．(15分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．
(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？
12．(16分)通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经过试验分析得知：
(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？
【解析】 (1)当0＜t≤10时，
f(t)＝－t2＋24t＋100＝－(t－12)2＋244是增函数，且f(10)＝240.
当20＜t≤40时，f(t)＝－7t＋380是减函数，且f(20)＝240.
所以，讲课开始后10分钟时，学生的注意力最集中，能持续10分钟．
(2)f(5)＝195，f(25)＝205，
所以讲课开始后25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中．
(3)当0＜t≤10时，令f(t)＝－t2＋24t＋100＝180，则t＝4；
当20＜t≤40时，令f(t)＝－7t＋380＝180，则t≈28.57，
则学生注意力在180以上所持续的时间为28.57－4
＝24.57＞24.
所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题目．
课件32张PPT。第十节 函数模型及其应用1．几类函数模型
(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．
(2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(3)指数函数型模型：y＝abx＋c(b>0，且b≠1)．
(4)对数函数型模型：y＝mloga x＋n(a>0，a≠1)．
(5)幂函数型模型：y＝axn＋b(a≠0)．2．三种函数模型的性质增增增快慢平稳y轴平行一样x轴平行一样 (1)指数函数y＝ax和幂函数y＝xn(n>0)在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于y＝ax的增长速度快于y＝xn的增长速度，因此总存在一个x0，当x>x0时有ax>xn.
(2)对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)在区间(0，＋∞)，尽管在x的一定范围内可能会有logax>xn，但由y＝logax的增长速度慢于y＝xn的增长速度，因此在(0，＋∞)上总存在一个实数x0，使x>x0时，logax(3)y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)与y＝xn(n>0)尽管都是增函数，但由于它们增长速度不同，而且不在同一个“档次上”，因此在(0，＋∞)上随x的增大，总会存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn>logax.3．解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
以上过程用框图表示如下：1．(2008年全国卷Ⅰ)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )
【解析】 由v(t)＝s′(t)，即函数曲线上任一点的切线的斜率为此时刻的速度，而加速行驶阶段速度在增大，即切线的斜率在增大，同样减速行驶阶段，切线的斜率在减小，故选A.
【答案】 A2．下列函数中，随x的增大而增大速度最快的是( )
A．y＝ B．y＝100lnx
C．y＝x100 D．y＝100·2x
【解析】 ∵在(0，＋∞)上，总存在一个x0，使x>x0时，有ax>xn>logax.∴排除B、C，
又∵e>2，∴ 的增长速度大于100·2x的增长速度．
【答案】 A3．从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2000年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2001年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元，则该存款人的本金介于( )
A．3万～4万元 B．4万～5万元
C．5万～6万元 D．2万～3万元【解析】 设存入的本金为x，则x·2%·20%＝138.64，
∴x＝ ＝34 660.【答案】 A4．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2003年产生的垃圾量为a吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2008年的垃圾量为________吨．
【解析】 2004年垃圾量为a(1＋b),2008年垃圾量为a(1＋b)5.
【答案】 a(1＋b) a(1＋b)55.有一批材料可以建成200 m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为 .(围墙厚度不计)【答案】 2 500 m2一次函数与二次函数模型 如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b(b【思路点拨】 依据图形建立四边形EFGH的面积S关于自变量x的目标函数，然后利用解决二次函数的最值问题求出S的最大值．分段函数模型 某影院共有1 000个座位，票价不分等次，根据该影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，票可全部售出，当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出．为了获得更好的收益，需给影院定一个比较合理的票价，要求它符合以下三个基本条件：①为方便找零与算账，票价为1元的整数倍；②影院放映一场电影的成本费用支出为5 750元，票房收入必须高于成本支出；③用x(元)表示每张票的票价，用y(元)表示该影院放映一场的净收入(除去成本费用支出后的收入部分)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式和它的定义域；
(2)试问在符合基本条件的前提下，每张票价定为多少时，放映一场的净收入最大？ (1)本题中的总收益满足的函数关系式已经给出，将利润表示为月产量的函数，只需利用“总收益＝总成本＋利润”这一关系直接求出即可．
(2)在函数应用题中，已知等量关系是解题的依据，如本题中“总收益＝总成本＋利润”，再如“销售额＝销售价格×销售量”等．像几何中的面积、体积公式等也常用来构造函数关系．
(3)对于一些较复杂的应用问题，有时仅构造一个数学模型还不能根本解决问题，需先后或同时构造、利用几个函数模型．1．在某服装批发市场，季节性服装当季节即将来临时，价格呈现上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后，当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售．
(1)试建立价格p(元)与周次t之间的函数关系式；
(2)若此服装每周进价q(元)与周次t之间的关系为q＝－0.125(t－8)2＋12，t∈[0,16]，t∈N，试问该服装第几周每件销售利润最大？【解析】 (1)当t∈[0,5]时，p＝10＋2t；
当t∈(5,10]时，p＝20；
当t∈(10,16]时，p＝40－2t.指数、对数函数模型 1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前．
(1)世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？
(2)我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？以下数据供计算时使用：【解析】 (1)设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，则y·(1＋x)n＝60，则当n＝40时，y＝30，
即30(1＋x)40＝60，∴(1＋x)40＝2，
两边取对数，则40lg(1＋x)＝lg2，(2)依题意，y≤12.48(1＋1%)10，
得lgy≤lg12.48＋10×lg1.01＝1.1392，
∴y≤13.78，故人口至多有13.78亿．
答：每年人口平均增长率为1.7%,2008年人口至多有13.78亿． 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．2．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：
(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)；
(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg1.2≈0.079，lg2≈0.3010，lg1.012≈0.005，lg1.009≈0.0039)【解析】 (1)1年后该城市人口总数为：
y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)
2年后该城市人口总数为
y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%
＝100×(1＋1.2%)2.3年后该城市人口总数为
y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%
＝100×(1＋1.2%)3.
x年后该城市人口总数为：
y＝100×(1＋1.2%)x.
(2)10年后人口总数为
100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)．
(3)设x年后该城市人口将达到120万人，
即100×(1＋1.2%)x＝120，
x＝log1.012f(120,100)＝log1.0121.20≈15(年)．数学的重要性在于应用，对解决实际问题的考查是高考的热点，近年来高考中对解决实际问题的考查重心转移到概率和概率统计一章，但利用函数解决实际问题仍不可忽视．
如何选择变量把实际问题转化为函数问题是解决实际问题的关键，而函数问题有可能与方程、不等式以及导数等内容进行综合考查．1．(2009年浙江卷)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．【解析】 高峰时段的电价由两部分组成，前50千瓦时电价为50×0.568元，后150千瓦时为150×0.598元．低谷时段的电价由两部分组成，前50千瓦时电价为50×0.288元，后50千瓦时为50×0.318元，∴电价为50×0.168＋150×0.598＋50×0.288＋50×0.318＝148.4(元)．
【答案】 148.42．(2009年上海卷)有时可用函数f(x)＝
描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N＋)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．
(1)证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降；
(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121](121,127](127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．【解析】 (1)证明：当x≥7时，f(x＋1)－f(x)
＝ ．而当x≥7时，函数y＝(x－3)(x－4)单调递增，且(x－3)(x－4)>0，故f(x＋1)－f(x)单调递减．
∴当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降．
(2)由题意可知0.1＋15ln ＝0.85，
整理得 ＝e0.05，
解得a＝ ·6＝20.50×6＝123.0，
123．0∈(121,127]．由此可知，该学科是乙学科．课时作业
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．下列函数中，在(－∞，0)上为增函数的是( )
A．y＝1－x2 B．y＝x2＋2x
C．y＝ D．y＝
【解析】 ∵y＝1－x2的对称轴为x＝0，且开口向下，
∴(－∞，0)为其单调递增区间．
【答案】 A
2．已知f(x)＝是奇函数，则实数a的值等于( )
A．1 B．－1
C．0 D．±1
【解析】 f(x)的定义域为R且为奇函数
∴f(0)＝0即＝0，∴a＝1.
【答案】 A
3．下列函数中是偶函数的是( )
①f(x)＝lg(1＋x2) ②g(x)＝2－|x| ③h(x)＝tan 2x ④s(x)＝
A．①② B．①④
C．②④ D．①②④
【解析】 f(x)，g(x)，h(x)显然为偶、偶、奇函数．对于s(x)，当x＜－1时，s(x)＝x＋2，s(－x)＝x＋2＝s(x)．
当x＞1时，s(x)＝－x＋2，s(－x)＝－x＋2＝s(x)；
|x|≤1时，s(x)＝0，s(－x)＝0＝s(x)．∴s(x)也为偶函数．
【答案】 D
4．(2008年全国卷Ⅰ)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式＜0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
【解析】 由题设知＜0
?＜0
?x·f(x)＜0.
又由f(x)为奇函数，且在(0，+∞)上为增函数，f(1)=0.
画出f(x)的大致图象，易得答案．故选D.
【答案】 D
5．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )
①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
【解析】 由奇函数的定义验证可知②④正确，选D.
【答案】 D
6．(2009年陕西卷)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0，则( )
A．f(3)＜f(－2)＜f(1)
B．f(1)＜f(－2)＜f(3)
C．f(－2)＜f(1)＜f(3)
D．f(3)＜f(1)＜f(－2)
【解析】 对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，因此函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数．又f(x)在R上是偶函数，故f(－2)＝f(2)，由于3＞2＞1，故有f(3)＜f(－2)＜f(1)．
【答案】 A
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．(2008年湖北卷)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于________．
【解析】 由f(x＋4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)，
又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，
f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝－2.
【答案】 －2
8．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．
【解析】 y=-(x-3)|x|
作出该函数的图象，观察图象知递增区间为.
【答案】
9．f(x)、g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)＝3f(x)＋5g(x)＋2，若F(a)＝b，则F(－a)＝________.
【解析】 令G(x)＝F(x)－2＝3f(x)＋5g(x)，故G(x)是奇函数．
又
解得F(－a)＝－b＋4.
【答案】 －b＋4
三、解答题(共46分)
10．(15分)已知函数f(x)＝－(a＞0.x＞0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．
【解析】 (1)证明：设x2＞x1＞0，则x2－x1＞0，x1x2＞0，
∵f(x2)－f(x1)＝－
＝－＝＞0，
∴f(x2)＞f(x1)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．
(2)∵f(x)在上的值域是，
又f(x)在上单调递增，
∴f＝，f(2)＝2.∴易得a＝.
11．(15分)已知函数f(x)＝a－.
(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)＜2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】 (1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－，
设0＜x1＜x2，则x1x2＞0，x2－x1＞0.
f(x1)－f(x2)＝－＝－
＝＜0.
∴f(x1)＜f(x2)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由题意a－＜2x在(1，＋∞)上恒成立，
设h(x)＝2x＋，则a＜h(x)在(1，＋∞)上恒成立．
可证h(x)在(1，＋∞)上单调递增．
故a≤h(1)即a≤3，∴a的取值范围为(－∞，3]．
12．(16分)函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.
【解析】 (1)依题意得
即?
∴f(x)＝.
(2)任取－1＜x1＜x2＜1，
f(x1)－f(x2)＝－
＝
∵－1＜x1＜x2＜1，
∴x1－x2＜0,1＋x12＞0,1＋x22＞0.
又－1＜x1x2＜1，
∴1－x1x2＞0
∴f(x1)－f(x2)＜0，
∴f(x)在(－1,1)上是增函数．
(3)f(t－1)＜－f(t)＝f(－t)．
∵f(x)在(－1,1)上是增函数，
∴－1＜t－1＜－t＜1，解得0＜t＜.
课件27张PPT。第四节 函数的基本性质1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，
①若 ，则f(x)在 上是增函数．
②若 ，则f(x)在 上是减函数．
(2)单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是 或 ，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性， 叫做f(x)的单调区间．f(x1)＜f(x2)区间Df(x1)＞f(x2)区间D增函数减函数区间D 单调区间与函数定义域有何关系？
【提示】 单调区间是定义域的子区间． (1)用定义证明函数单调性的一般步骤
①取值：即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2.
②作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号：根据给定的区间和x2－x1的符号，确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号．当符号不确定时，可以进行分类讨论．
④判断：根据定义得出结论．
(2)求函数的单调性或单调区间的方法
①利用已知函数的单调性．
②定义法：先求定义域，再利用单调性定义．
③图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．
④导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．2．函数的最值
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有 ．
(2)存在x0∈I，使得 .
那么，我们称M是函数y＝f(x)的 ． 最值与函数的值域有何关系？
【提示】 函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在．f(x)≤M(或f(x)≥M)f(x0)＝M最大值(最小值) (1)求一个函数的最值时，应首先考虑函数的定义域．
(2)函数的最值是函数值域中的一个取值，是自变量x取了某个值时的对应值，故函数取得最值时，一定有相应的x的值．3．函数的奇偶性如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性．任意一个f(－x)＝f(x)任意一个f(－x)＝－f(x)原点y轴 奇偶函数的定义域有何特点？
【提示】 由于定义中对任意一个x都有f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，说明定义域中任意一个x都有一个关于原点对称的－x 在定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称． (1)定义域含零的奇函数有f(0)＝0(可用于求参数)；若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性．
(2)奇函数在对称的两个单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的两个单调区间内有相反的单调性．1．函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则( )【解析】 使y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则2k＋1＜0，即k＜ .【答案】 D2．若函数y＝ax与y＝－ 在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是( )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减 D．先减后增【解析】 ∵y＝ax与y＝－ 在(0，＋∞)上都是减函数，
∴a＜0，b＜0，
∴y＝ax2＋bx的对称轴方程x＝－ ＜0，
∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数．【答案】 B3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )【答案】 B4．如果函数g(x)＝ 是奇函数，则f(x)＝______.
【解析】 令x<0，∴－x>0，g(－x)＝－2x－3，
∴g(x)＝2x＋3，∴f(x)＝2x＋3.
【答案】 2x＋35．设x1，x2为y＝f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：
①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0；
②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0；其中能推出函数y＝f(x)为增函数的命题为________．【解析】 依据增函数的定义可知，对于①③，当自变量增大时，相对应的函数值也增大，所以①③可推出函数y＝f(x)为增函数．
【答案】 ①③函数奇偶性的判定判断下列函数的奇偶性：【思路点拨】 首先判断函数的定义域，若可能具有奇偶性，则在定义域的条件下对函数式进行适当的化简；最后判断f(－x)与f(x)间的关系(相等还是互为相反数)．函数单调性的判定与证明判断函数f(x)＝ (a≠0)在区间(－1,1)上的单调性．方法二：对f(x)求导，有f′(x)＝
∵x∈(－1,1)，∴(x2－1)2>0，x2＋1>0，
∴当a<0时，f′(x)>0，f(x)为增函数．
当a>0时，f′(x)<0，f(x)为减函数． 利用函数单调性的定义证明f(x)的单调性时，比较f(x1)与f(x2)的大小常用作差法，有时可运用作商法、放缩法等；讨论函数的单调性值域问题不可忽视函数的定义域．1．已知函数f(x)＝ (x∈R)，求f(x)的单调区间，并加以证明．∵x12＋1＞0，x22＋1＞0，x2－x1＞0，
而x1，x2∈(0,1)时，x1x2－1＜0；
x1，x2∈[1，＋∞]时，x1x2－1＞0，
∴当x1，x2∈(0,1)时，f(x1)－f(x2)＜0，函数y＝f(x)是增函数；
当x1，x2∈[1，＋∞)时，f(x1)－f(x2)＞0，函数y＝f(x)是减函数．
又f(x)是奇函数，∴f(x)在(－1,0)上是增函数，
在(－∞，－1]上是减函数；
又x∈[0,1)，u∈(－1,0]时，恒有f(x)≥f(u)，等号只在x＝u＝0时取得，故f(x)在(－1,1)上是增函数．
综上可知，函数f(x)在(－1,1)上是增函数，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上是减函数．函数的奇偶性与单调性的综合 函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x＞0时，f(x)＞1.
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)＜3.【解析】 (1)设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＞1.
f(x2)－f(x1)
＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)
＝f(x2－x1)－1＞0.∴f(x2)＞f(x1)，
即f(x)是R上的增函数．(2)∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，
∴f(2)＝3.
∴原不等式可化为
f(3m2－m－2)＜f(2)．
∵f(x)是R上的增函数，
∴3m2－m－2＜2. f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则f(x1)＜f(x2)?f(x1)－f(x2)＜0，若函数是增函数，则f(x1)＜f(x2)?x1＜x2，函数不等式(或函数方程)的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式(或方程)求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行．2．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围．
【解析】 ∵f(x)是偶函数
∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)
∴不等式f(1－m)＜f(m)?f(|1－m|)＜f(|m|)
又当x∈[0,2]时，f(x)是减函数，(1)本节内容高考主要考查求函数的单调区间，也可能是考查函数单调性的应用，如解不等式、比较大小以及求函数最大值和最小值等．
(2)函数的奇偶性和周期性是函数最重要的性质，是高考的热点，它与函数的其他性质有着密不可分的联系，在解决函数的图象和性质等问题过程中起着举足轻重的作用．1．(2009年福建卷)下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex
D．f(x)＝ln(x＋1)【解析】 由题意知函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
在A中，由f′(x)＝－ ＜0得x在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数；
在B中，由f′(x)＝2(x－1)＜0得x＜1，
所以f(x)在(－∞，1)上为减函数；
在C中，由f′(x)＝ex＞0知f(x)在R上为增函数．
在D中，由f′(x)＝ 且x＋1＞0和f′(x)＞0，
所以f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．【答案】 A2．(2009年江西卷)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2008)＋f(2009)的值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【解析】 f(－2008)＋f(2009)＝f(2008)＋f(2009)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log2(1＋1)＝1.
【答案】 C课时作业
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一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是( )
【解析】 由N={x|x2+x=0}，得N={-1,0}．
∵M={-1,0,1}，∴N?M，故选B.
【答案】 B
2．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则方程g(f(x))＝x的解集为( )
A．{1} B．{2}
C．{3} D．{?}
【解析】 当x＝1时，g(f(1))＝g(2)＝2，不合题意．
当x＝2时，g(f(2))＝g(3)＝1，不合题意．
【答案】 C
3．若不等式x2－x≤0的解集为M，函数f(x)＝ln(1－|x|)的定义域为N，则M∩N为( )
A．[0,1) B．(0,1)
C．[0,1] D．(－1,0]
【解析】 不等式x2－x≤0的解集M＝{x|0≤x≤1}，f(x)＝ln(1－|x|)的定义域N＝{x|－1则M∩N＝{x|0≤x<1}．
【答案】 A
4．已知函数f(x)＝若f(a)＝f(1,2)，则a＝( )
【答案】 C
5．幂函数的图象经过点(2，)，则它的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
【解析】 设y＝xn，则2n＝，∴n＝－2.∴幂函数是y＝x－2，故应选C.
【答案】 C
6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)．则f(6)的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
【解析】 ∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0.
又∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(2)＝－f(0)＝0.
∴f(4)＝－f(2)＝0，
∴f(6)＝－f(4)＝0.故应选B.
【答案】 B
7．若函数f(x)＝x2＋2x＋3a没有零点，则实数a的取值范围是( )
【解析】 由题意，函数f(x)＝x2＋2x＋3a没有零点，即方程x2＋2x＋3a＝0无解，即方程的判别式小于零，解不等式Δ＝b2－4ac＝22－4×3a＜0，解得a＞f(1,3)．
【答案】 B
8．设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是( )
A．[0,1] B．[1,2]
C．[－2，－1] D．[－1,0]
【解析】 ∵f(－1)＝3－1－(－1)2＝－1＝<0，f(0)＝30－02＝1>0，
∴f(－1)·f(0)<0，∴有零点的区间是[－1,0]．
【答案】 D
9．定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如右图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是( )
A．y＝x2＋1 B．y＝|x|＋1
【解析】 利用偶函数的对称性知f(x)在(－2,0)上为减函数．又y＝x2＋1在(－2,0)上为减函数；y＝|x|＋1在(－2,0)上为减函数；y＝在(－2,0)上为增函数．
y＝在(－2,0)上为减函数．故选C.
【答案】 C
10．设a＝log0.70.8，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，那么( )
A．aC．b【解析】 a＝log0.70.8>0，且a＝log0.70.8b＝log1.10.9c＝1.10.9>1.
∴c>1>a>0>b.即b【答案】 C
11．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝log0.5f(x)的图象大致是( )
【解析】 由同增异减的单调性原则可得：当x∈(0,1)时
y=log0.5x为增函数，且y<0，当x∈(1,2)时y=log0.5x为减函数，且-1当x=3时，g(f(3))=g(1)=3，符合题意．
【答案】 C
12．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))>0，则当n∈N*时，有( )
A．f(－n)B．f(n－1)C．f(n＋1)D．f(n＋1)【解析】 对任意x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)·(f(x2)－f(x1))>0，因此x2－x1和f(x2)－f(x1)同号，所以f(x)在(－∞，0]上是增函数．由于n∈N*，且n＋1>n>n－1，所以－n－1＜－n<－n＋1＜0，即f(n＋1)＝f(－n－1)【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则?U(A∪B)＝________
【解析】 ∵U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，∴A∪B＝{1,3,5,6,7}，∴?U(A∪B)＝{2,4,8}．
【答案】 {2,4,8}
14．方程lg x2－lg(x＋2)＝0的解集是________．
【解析】
x2－x－2＝0，∴x＝2或x＝－1，
验证知x＝2与x＝－1均为根，
故解集为{－1,2}．
【答案】 {－1,2}
15．设函数f(x)＝，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．
【解析】 依题意有g(x)＝x2f(x－1)＝，
所以g(x)的递减区间是(0,1)．
【答案】 (0,1)
16．2009年12月18日，温家宝总理代表中国政府在哥本哈根气候变化会议上做出庄严承诺：2005年至2020年，中国单位国内生产总值二氧化碳排放强度下降40%，则2005年至2020年二氧化碳排放强度平均每年降低的百分数为________．
【解析】 设从2005年至2020年平均每年降低的百分数为x，则2020年的排放量为(1－x)15，即(1－x)15＝0.4，
解得x＝0.059.
∴2005年至2020年平均每年国内生产总值二氧化碳排放强度平均每年降低5.9%.
【答案】 5.9%
三、解答题(本大题共6小题．共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知集合A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|x2－2x－m<0}．
(1)当m＝3时，求A∩?RB；
(2)若A∩B＝{x|－1≤x<4}，求实数m的值．
【解析】 (1)A＝{x|x2－4x－5≤0}＝{x|－1≤x≤5}，
当m＝3时，B＝{x|－1则?RB＝{x|x≤－1或x≥3}，
∴A∩?RB＝{x|x＝－1或3≤x≤5}．
(2)∵A∩B＝{x|－1≤x<4}，
∴x＝4是方程x2－2x－m＝0的一个根，
∴有42－2×4－m＝0，解得m＝8，
此时B＝{x|－218．(12分)已知函数f(x)＝3x，且f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x的定义域为区间[－1,1]．
(1)求g(x)的解析式；
(2)判断g(x)的单调性．
【解析】 (1)∵f(a＋2)＝18，f(x)＝3x.
∴3a＋2＝18，即3a＝2.
故g(x)＝(3a)x－4x＝2x－4x，x∈[－1,1]．
(2)g(x)＝－(2x)2＋2x＝－．
当x∈[－1,1]时，2x∈．令t＝2x，
∴函数g(x)在[－1,1]上是减函数．
19．(12分)已知函数f(x)＝ax＋ (x≠0，常数a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在x∈[3，＋∞)上为增函数， 求a的取值范围．
【解析】 (1)定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称；
20．(12分)某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)＝5x－f(x2,2)(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)．
(1)把利润表示为年产量的函数；
(2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？
(3)年产量是多少时，工厂才不亏本？
【解析】 (1)当x≤5时，产品能售出x百台；
当x＞5时，只能售出5百台，
故利润函数为L(x)＝R(x)－C(x)
21．(12分)设a>0，f(x)＝在R上满足f(x)＝f(－x)，
(1)求a的值；
(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
22．(12分)已知函数y＝f(x)是定义在区间上的偶函数，且x∈时，f(x)＝－x2－x＋5.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若矩形ABCD的顶点A，B在函数y＝f(x)的图象上，顶点C，D在x轴上，求矩形ABCD面积的最大值．
