一、选择题(每小题6分，共36分)
1．已知直线l1的方向向量为a＝(1,3)，直线l2的方向向量b＝(－1，k)．若直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2，则直线l2的方程为( )
A．x＋3y－5＝0 B．x＋3y－15＝0
C．x－3y＋5＝0 D．x－3y＋15＝0
【解析】 ∵l2经过(0,5)且方向向量b＝(－1，k)，
∴l2的方程为y－5＝－kx，又∵l1的方向向量a＝(1,3)，l1⊥l2，
∴－k·3＝－1?k＝，即l2为y－5＝－x，
∴x＋3y－15＝0.
【答案】 B
2．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为( )
A．4 B．－4
C．2 D．－2
【解析】 利用kAB＝kAC，即＝，得a＝4.
【答案】 A
3．已知△ABC三顶点坐标A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为( )
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0
C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0
【解析】 由中点坐标公式可得M(2,4)，N(3,2)，再由两点式可得直线MN的方程为＝，即2x＋y－8＝0.
【答案】 A
4．直线x＋a2y－a＝0(a>0，a是常数)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，a的值是( )
A．1 B．2
C. D．0
【解析】 方程可化为＋＝1，因为a>0，所以截距之和t＝a＋≥2，当且仅当a＝，即a＝1时取等号．
【答案】 A
5．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m是( )
A．1 B．2
C．－ D．2或－
【解析】 当2m2＋m－3≠0时，
在x轴上截距为＝1，即2m2－3m－2＝0，
∴m＝2或m＝－.
【答案】 D
6．过点(1,3)作直线l，若经过点(a,0)和(0，b)，且a∈N＋，b∈N＋，则可作出的l的条数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 方法一：由题意＋＝1?(a－1)(b－3)＝3.
∵a∈N＋，b∈N＋，
有两个解或.
方法二：利用斜率相等知＝?(a－1)(b－3)＝3.
以下同方法1.
【答案】 B
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．直线l1：3x－y＋1＝0，直线l2过点(1,0)，且它的倾斜角是l1的倾斜角的2倍，则直线l2的方程为________．
【解析】 由tan α＝3可求出直线l2的斜率
k＝tan 2α＝＝－，
再由l2过点(1,0)即可求得直线方程．
【答案】 y＝－(x－1)
8．直线x－2y＋2k＝0与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么k的范围是__________．
【解析】 令x＝0，得y＝k；令y＝0，得x＝－2k.
∴三角形面积S＝|xy|＝k2，又S≤1，即k2≤1.
∴－1≤k≤1，又k＝0时不合题意．
∴－1≤k<0或0【答案】 [－1,0)∪(0,1]
9．与直线3x＋4y＋12＝0平行，且与坐标轴构成的三角形的面积是24的直线l的方程是__________．
【解析】 设直线l的方程为3x＋4y＝a(a≠0)，
则直线l与两坐标轴的交点分别为(，0)，(0，)，
∴×||·||＝24，解得a＝±24.
∴直线l的方程为3x＋4y＝±24.
【答案】 3x＋4y＋24＝0或3x＋4y－24＝0
三、解答题(共46分)
10．(15分)已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3,4)；(2)斜率为.
【解析】 (1)设直线l的方程是y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，
由已知，得(3k＋4)＝±6，
解得k1＝－或k2＝－.
直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是
y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
11．(15分)已知M(1，－1)，N(2,2)，P(3,0)．
(1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ.
(2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ.
求直线MQ的倾斜角．
【解析】 (1)设Q(x，y)，则kPQ＝(x≠3)，
kMN＝3，kPN＝－2，kMQ＝(x≠1)，
∵PQ⊥MN，PN∥MQ，∴，
解得：x＝0，y＝1.∴Q(0,1)．
(2)设Q(x,0)，
∵∠NQP＝∠NPQ，∴kNQ＝－kNP.又kNQ＝，kNP＝－2，
∴＝2，解得x＝1.∴Q(1,0)．
又M(1，－1)，∴MQ⊥x轴，
故MQ的倾斜角为90°.
12．(16分)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，
△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．
【解析】 (1)证明：直线l的方程是：k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解之得，
∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．
(2)由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，
在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，
则必须有，解之得k＞0；
当k＝0时，直线为y＝1，合题意，故k≥0.
(3)由l的方程，得A，B(0,1＋2k)．
依题意得，解得k＞0.
∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|
＝·＝≥(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k＞0且4k＝，即k＝，
∴Smin＝4，此时l：x－2y＋4＝0.
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1．直线与方程．
(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线的几何要素．
(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
(4)掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．
(5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
2．圆与方程
(1)掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．
(2)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系
(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想．第一节 直线的方程1．直线的倾斜角和斜率
(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按 绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫做直线l的倾斜角，当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为 .通常倾斜角用α表示，倾斜角的取值范围为 .逆时针方向0°0°≤α＜180° (2)当倾斜角0°≤α＜90°时，斜率是 ，倾斜角越大，直线的斜率就 ；当倾斜角90°＜α＜180°时，斜率是 ，倾斜角越大，直线的斜率就越大．越大负的非负的(1)倾斜角α不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率．当直线的倾斜角是90°时，它的斜率不存在．
(2)过两点的斜率公式与两点的顺序无关，当倾斜角α＝90°时，斜率的坐标公式不再适合．2．直线方程的几种形式
求直线方程的方法主要有以下两种：
①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程．
②待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．
截距和距离的区别：截距可为一切实数，纵截距是直线与y轴交点的纵坐标，横截距是直线与x轴交点的横坐标，距离是一个非负数．【答案】 A【答案】 B3．过点P(－1,2)且方向向量为a＝(－1,2)的直线方程为( )
A．2x＋y＝0 B．x－2y＋5＝0
C．x－2y＝0 D．x＋2y－5＝0
【解析】 因为方向向量a＝(－1,2)，所以直线的斜率k＝－2，又过点P(－1,2)，所以由点斜式求得直线方程为2x＋y＝0.
【答案】 A如图，直线l1，l2，l3，l4都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3，l4分别经过点Q1(-2，-1)，Q2(4，－2)Q3(－3,2)，Q4(3，－2)，试计算直线l1，l2，l3，l4的斜率，并判断这些直线的倾斜角是0°角、锐角、直角、还是钝角．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①四条直线所过两点坐标均已知；
②点P与点Q4的横坐标相同．解答本题可先检验其横坐标是否相等．若相等，则斜率不存在；若不相等，可用公式求之． 求下列直线l的方程
(1)过点A(2,1)和直线x－2y－3＝0与2x－3y－2＝0的交点．
(2)经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍． 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．1．△ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边上的中线AD所在直线的方程；
(3)BC边上的垂直平分线DE的方程． 如图，过点P(2,1)作直线l，分别交x、y正半轴于A、B两点．
(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；
(2)当|PA|·|PB|取最小值时，求直线l的方程．
2．直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正方向和y轴的正方向于A、B两点．
(1)当|PA|·|PB|最小时，求l的方程；
(2)当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程．本节内容主要考查直线的斜率，直线方程的求法，在高考中，本节内容单独命题并不多见，主要考查直线与圆，直线与圆锥曲线的问题，其试题难度为中高档题．
1．(2009年安徽卷)直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂线，则l的方程是( )
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0【答案】 A【答案】 A课时作业
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )
A．－＜a＜1 B．a＞1或a＜－
C．－≤a＜1 D．a≥1或a≤－
【解析】 由，得P(a,3a)，
∴(a－1)2＋(3a－1)2＜4，∴－＜a＜1.
【答案】 A
2．(2008年广东卷)经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是( )
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
【解析】 圆x2＋2x＋y2＝0的圆心(－1,0)且与直线x＋y＝0垂直．
所求直线的斜率k＝1，所求直线方程y＝1(x＋1)，
∴y＝x＋1.故选A.
【答案】 A
3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0
【解析】 将已知直线化为y－2＝(a－1)(x＋1)，可知直线恒过定点(－1,2)，故所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＝0.
【答案】 C
4．方程|x|－1＝所表示的曲线是( )
A．一个圆 B．两个圆
C．半个圆 D．两个半圆
【解析】 原方程即
即或
故原方程表示两个半圆．
【答案】 D
5．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】 将圆的方程配方得：(x＋1)2＋(y－2)2＝4，若圆关于已知直线对称，即圆心在直线上代入整理得：a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－2＋≤，故选A.
【答案】 A
6．(2008年山东卷)已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．10 B．20
C．30 D．40
【解析】 圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝52，
由题意得|AC|＝2×5＝10，|BD|＝2·＝4，
且AC⊥BD，四边形ABCD的面积S＝|AC|·|BD|＝×10×4＝20.故选B.
【答案】 B
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．以直线3x－4y＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为______________．
【解析】 方法一：直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点分别为A(－4,0)、B(0,3)，
所以线段AB的中点为C，|AB|＝5.
故所求圆的方程为(x＋2)2＋2＝2.
方法二：易得圆的直径的两端点为A(－4,0)、B(0,3)，
设P(x，y)为圆上任一点，则PA⊥PB.
∴kPA·kPB＝－1，即·＝－1(x≠－4，x≠0)，
亦即x(x＋4)＋y(y－3)＝0.
化简得(x＋2)2＋2＝2.
【答案】 (x＋2)2＋2＝
8．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为______________．
【解析】 ∵AB的中垂线y＝－3必过圆心，故解得圆心坐标为C(2，－3)，|CA|＝，
∴所求圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
【答案】 (x－2)2＋(y＋3)2＝5
9．圆心在原点且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程为________________．
【解析】 如图，因为圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB＝120°.而圆心到直线3x＋4y＋15＝0的距离d＝＝3，在△AOB中，可求得OA＝6.所以所求圆的方程为x2＋y2＝36.
【答案】 x2＋y2＝36
三、解答题(共46分)
10．(15分)根据下列条件，求圆的方程：
(1)经过A(6,5)、B(0,1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上；
(2)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6.
【解析】 (1)∵AB的中垂线方程为3x＋2y－15＝0，
由解得
∴圆心为C(7，－3)．
又|CB|＝，
故所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.
(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P、Q点的坐标分别代入得
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0 ③
由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36. ④
由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8
或D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0，
或x2＋y2－6x－8y＝0.
11．(15分)已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．
【解析】 (1)证明：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＝0，
由于圆心C，∴D＝－2t，E＝－，
令y＝0得x＝0或x＝－D＝2t，∴A(2t,0)，
令x＝0得y＝0或y＝－E＝，∴B，
∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝·|2t|·
＝4(定值)
(2)∵OM＝ON，
∴O在MN的垂直平分线上，而MN的垂直平分线过圆心C，
∴kOC＝，
∴＝，解得t＝2或t＝－2，
而当t＝－2时，直线与圆C不相交，∴t＝2，
∴D＝－4，E＝－2，
∴圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0.
12．(16分)已知圆满足①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y＝0的距离为.求该圆的方程．
【解析】 设所求圆心为P(a，b)，半径为r，则圆心到x轴，y轴的距离分别为|b|、|a|，因圆P截y轴得弦长为2，由勾股定理得r2＝a2＋1，又圆被x轴分成两段圆弧弧长的比为3∶1，
∴劣弧所对圆心角90°，
故r＝b，即r2＝2b2
∴2b2－a2＝1①
又∵P(a，b)到直线x－2y＝0的距离为，
得＝，
即a－2b＝±1.②
解①②组成的方程组得或
于是r2＝2b2＝2，
所以，所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或
(x－1)2＋(y－1)2＝2.
课件30张PPT。第三节 圆的方程1．圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，方程表示圆心为 ，半径为 的圆．(a，b)r2．圆的一般方程
对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(1)圆的一般方程突出了圆的代数形式上的特点，其特点是：
①x2，y2的系数相同且均为1(不为1的可化为1)；
②不含xy项．
(2)求圆的一般方程需三个条件，以便确定D、E、F三个变量．确定圆的方程的方法
(1)确定圆的方程的主要方法是待定系数法．如果选择标准方程，一般步骤为：
①根据题意，设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
②根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；
③解方程组，并把它们代入所设的方程中，整理后，就得到所求方程．
求圆的标准方程时，尽量利用圆的几何性质，可以大大地减少计算量．(2)如果已知条件中圆心的位置不能确定，可考虑选择圆的一般方程，圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法．设所求圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由三个条件得到D、E、F的一个三元一次方程组，解方程组，求出参数D、E、F的值即可．3．点与圆的位置关系
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，，b)，半径r，若点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2 r2；
若点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2 r2；
若点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2 r2.＝＞＜1．(2009年重庆卷)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y－2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1【答案】 A【答案】 B3．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
【解析】 设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.
∵圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a.
∵|CA|2＝|CB |2，
∴(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，
∴a＝1，b＝1.∴r＝2，∴方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
【答案】 C4．(2009年广东卷)以点(2，－1)为圆心且与直线x＋y＝6相切的圆的方程是________．5．圆心在y轴上，半径为5且过点A(3，－4)的圆的方程为________________________．【答案】 x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25 根据下列条件求圆的方程：
(1)经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上；
(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；
(3)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．
【思路点拨】 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．①通过研究圆的性质而求出圆的基本量；②设出圆的方程，用待定系数法求解． 设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
本题求轨迹方程的方法叫相关点法．用相关点法求轨迹方程的基本步骤：①设所求点的坐标为P(x，y)(若x、y与题中已知的字母有冲突，则将这些已知字母全部替换成其他字母)，与P相应的符合某已知曲线的点的坐标设为Q(x0，y0)；②建立二者之间的等量关系，从而求得x0＝f(x，y)，y0＝g(x，y)；③将Q(x0，y0)的坐标代入点Q满足的方程进行求解，等价化简得所求轨迹方程．1．已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求PQ中点的轨迹方程．
【解析】 (1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
∵P点在圆x2＋y2＝4上，
∴(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连结ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故PQ中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.【解析】 (1)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t的纵截距，所以x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距．2．已知△AOB中，|OB|＝3，|OA|＝4，|AB|＝5，点P是△AOB内切圆上一点，求以|PA|、|PB|、|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值．
【解析】 如图建立直角坐标系，使A、B、O三点的坐标分别为A(4,0)、B(0,3)，O(0,0)．设内切圆半径为r，则有2r+|AB|=|OA|+|OB|.
得r=1.
故内切圆的方程为
(x－1)2＋(y－1)2＝1，
化简为x2＋y2－2x－2y＋1＝0.在内容上主要考查利用待定系数法确定圆的标准方程及一般方程，利用三角换元或数形结合求最值问题．
高考题型以选择题、解答题为主，主观题形式不多，属容易、中低档题．
1．(2009年江苏卷)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2【答案】 B2．(2009年宁夏、海南卷)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1
D．(x－2)2＋(y－2)2＝1【答案】 B课时作业
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．已知直线l1：y＝xsin α和直线l2：y＝2x＋c，则直线l1与l2( )
A．通过平移可以重合
B．不可能垂直
C．可能与x轴围成等腰直角三角形
D．通过绕l1上某一点旋转可以重合
【解析】 l1的斜率sin α∈[－1,1]，l2的斜率为2，不可能相等，即两直线不可能平行，必相交，l1绕交点旋转可与l2重合．
【答案】 D
2．直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )
A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
【解析】 对于对称轴是x轴，y轴，直线y＝±x时的对称问题常用代换法．如本题中因为点(x，－y)关于x轴对称点为(x，y)，所以所求直线方程为3x－4(－y)＋5＝0即3x＋4y＋5＝0，故选A.
【答案】 A
3．点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则P点坐标为( )
A．(1,2) B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－2,1)
【解析】 设P点坐标为(a,5－3a)，
由题意知：＝.
解之得a＝1或a＝2，
∴P点坐标为(1,2)或(2，－1)．故应选C.
【答案】 C
4．已知0＜k＜，直线l1：kx－y－k＋1＝0，l2：x－ky＋2k＝0的交点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 由又∵0＜k＜，
得，
∴x＜0，y＞0，因此交点在第二象限．
【答案】 B
5．已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为( )
A．2x＋3y－18＝0
B．2x－y－2＝0
C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0
D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0
【解析】 设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，
即kx－y＋4－3k＝0，
由已知得，＝，
∴k＝2或k＝－.
∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.
【答案】 D
6．三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是( )
A．k∈R
B．k∈R且k≠±1，k≠0
C．k∈R且k≠±5，k≠－10
D．k∈R且k≠±5，k≠1
【解析】 由l1∥l3得k＝5，由l2∥l3得k＝－5，
由得，若(1,1)在l3上，则k＝－10.
故若l1，l2，l3能构成一个三角形，
则k≠±5，且k≠－10.
【答案】 C
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．已知直线：l1：x＋ysin θ－1＝0，l2：2xsin θ＋y＋1＝0，若l1∥l2，则θ＝________.
【解析】 ∵l1∥l2，∴1×1＝2sin θ×sin θ，
∴sin2θ＝.∴sin θ＝±，
∴θ＝kπ±(k∈Z)．
【答案】 kπ±(k∈Z)
8．设直线l经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为________．
【解析】 设A(－1,1)，B(2，－1)，当AB⊥l时，点B与l距离最远，此时l的方程为：y－1＝－(x＋1)，即为：
3x－2y＋5＝0.
【答案】 3x－2y＋5＝0
9．点P(0,1)在直线ax＋y－b＝0上的射影是点Q(1,0)，则直线ax－y＋b＝0关于直线x＋y－1＝0对称的直线方程为________．
【解析】 由已知，有
解得
即ax＋y－b＝0为x－y－1＝0，
设x－y－1＝0关于x＋y－1＝0对称的直线上任一点(x，y)，
点(x，y)关于x＋y－1＝0的对称点(x0，y0)必在x－y－1＝0上，且，
则代入x－y－1＝0，得x－y－1＝0.
【答案】 x－y－1＝0
三、解答题(共46分)
10．(15分)求过直线l1：3x＋2y－7＝0与l2：x－y＋1＝0的交点，且平行于直线5x－y＋3＝0的直线方程．
【解析】 方法一：由，
得两直线交点为(1,2)，
又5x－y＋3＝0的斜率为5，
∴所求直线为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.
方法二：设所求直线方程为：
3x＋2y－7＋λ(x－y＋1)＝0，
即(λ＋3)x＋(2－λ)y－7＋λ＝0，
因此直线与5x－y＋3＝0平行，
∴－(λ＋3)＝5(2－λ)，解得λ＝，
∴所求直线为3x＋2y－7＋(x－y＋1)＝0，
即5x－y－3＝0.
11．(15分)已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程．
(1)l′与l平行且过点(－1,3)；
(2)l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4；
(3)l′与l绕原点旋转180°而得到的直线．
【解析】 (1)直线l：3x＋4y－12＝0，k1＝－，
又∵l′∥l，∴kl′＝kl＝－.
∴直线l′：y＝－(x＋1)＋3，
即3x＋4y－9＝0.
(2)∵l′⊥l，∴kl′＝.
设l′与x轴截距为b，则l′与y轴截距为b，
由题意可知，S＝|b|·＝4，∴b＝±.
∴直线l′：y＝x＋或y＝x－.
(3)∵l′是l绕原点旋转180°而得到的直线，
∴l′与l关于原点对称．
任取点在l上(x0，y0)，则在l′上对称点为(x，y)．
x＝－x0，y＝－y0，则－3x－4y－12＝0.
∴l′为3x＋4y＋12＝0.
12．(16分)已知点A(－2,2)及点B(－3，－1)，试在直线l：2x－y－1＝0上，求出符合下列条件的点P：
(1)使|PA|－|PB|为最大；
(2)使|PA|＋|PB|为最小；
(3)使|PA|2＋|PB|2为最小．
【解析】 (1)因A，B在直线l的同侧，所以直线AB与直线l的交点即为所求．
AB的方程为3x-y+8=0，与直线l的方程2x-y-1=0联立解得P(-9，-19)即为所求．
(2)设点B关于直线l的对称点为B′(m，n)，
课件29张PPT。第二节 两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2? 特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为 ．
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2?k1·k2＝－1.k1＝k2平行两条直线l1、l2垂直的充要条件是斜率之积为－1，这句话正确吗？
【提示】 不正确．由两直线的斜率之积为－1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为－1.如果l1、l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2互相垂直．
若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)．
直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，
则l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0
(或B1C2－B2C1≠0)．
l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0，
l1与l2重合?A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0
(或B1C2－B2C1＝0)．用直线方程的“系数关系”来判断直线的位置关系，包含了其中所有可能的情况，避免了讨论斜率是否存在的情况，在解决问题时比较方便，应学会应用．过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中该直线系不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0.3．几种距离在应用点到直线的距离公式与两条平行线间的距离公式时应注意什么问题？
【提示】 (1)求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；
(2)求两条平行线间的距离时，必须将两条直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算．【答案】 B【答案】 B【答案】 C4．点P为x轴上一点，P点到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则P点坐标为________．【答案】 (－12,0)或(8,0)5．与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是________．【答案】 2x＋3y＋8＝0 已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0.试确定m、n的值，使
(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；
(2)l1∥l2；
(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
【思路点拨】 两直线的位置关系如何用直线方程的系数来反映是解题的切入点． 直线l经过点P(2，－5)，且与点A(3，－2)和B(－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l的方程．求点到直线距离，直线与直线距离，应首先把直线方程化为一般方程，再利用公式求解．1．已知点P(2，－1)．
(1)求过P点与原点距离为2的直线l的方程；
(2)求过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
(3)是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，－1)，可见，过P(2，－1)垂直于x轴的直线满足条件．
此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.
若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0. 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．又∵m′经过点N(4,3)，
∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0.
(3)设P(x，y)为l′上任意一点，
则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为
P′(－2－x，－4－y)，
∵P′在直线l上，
∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.(1)在对称问题中，点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称，处理这种问题要抓住两点：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上．
(2)处理直线关于直线的对称问题可以转化为点关于直线的对称问题来解决．
(3)直线关于点的对称都可以转化为点关于点的对称来处理．2．一条光线经过P(2,3)点，射在直线l：x＋y＋1＝0上，反射后穿过点Q(1,1)．
(1)求入射光线的方程；
(2)求这条光线从P到Q的长度．
【解析】 (1)设点O′(x′，y′)为Q关于直线l的对称点且QQ′交l于M点．
∵k1＝－1，∴kQQ′＝1，
∴QQ′所在直线方程为y－1＝1·(x－1)，
即x－y＝0.本节主要考查两直线平行、垂直的判定、点到直线的距离、两平行直线间的距离．高考题型以填空题为主，解答题较少．难度为中低档题．
1．(2009年上海卷)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )
A．1或3 B．1或5
C．3或5 D．1或2
【解析】 ∵l1∥l2，
∴－2×(k－3)－2(k－3)(4－k)＝0，(k－3)(5－k)＝0，
∴k＝3或5.
【答案】 C【答案】 ①⑤课时作业
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．以棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面AA1B1B对角线交点的坐标为( )
A. B.
C. D.
【解析】 可以直接求解，可以借助中点坐标公式求解．
【答案】 B
2．设点B是点A(2，－3,5)关于xOy面的对称点，则A、B两点距离为( )
A．10 B.
C. D．38
【解析】 由于A、B关于xOy对称，则A，B的横，纵坐标相等，z坐标互为相反数，故B点坐标为(2，－3，－5)，
|AB|＝＝10，选A.
【答案】 A
3.
如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO-A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为( )
A.a B.a
C．a D.a
【解析】 由图易知A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A′(a,0，a)．
∴F，E.
∴|EF|＝
＝＝a.
【答案】 B
4．一束光线自点P(1,1,1)发出，遇到xOy平面被反射，到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光所走的路程是( )
A. B.
C. D.
【解析】 选D.设Q点关于平面xOy的对称点为Q′，则所求路程为PQ′的长．由题意知Q′(3,3，－6)．
∴|PQ′|＝＝.
【答案】 D
5．点P(x，y，z)满足＝2，则点P在( )
A．以点(1,1，－1)为圆心，以2为半径的圆上
B．以点(1,1，－1)为中心，以2为棱长的正方体上
C．以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面上
D．无法确定
【解析】 式子＝2的几何意义是动点P(x，y，z)到定点(1,1，－1)的距离为2的点的集合．故选C.
【答案】 C
6．若A、B两点的坐标是A(3cosα，3sinα，1)B(2cosθ，2sinθ，1)则|AB|的取值范围是( )
A．[0,5] B．[1,5]
C．(1,5) D．[1,25]
【解析】 |AB|＝
＝
＝∈[1,5]．
∴|AB|∈[1,5]．
【答案】 B
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．点P(1,2,3)关于y轴的对称点为P1，P关于坐标平面xOz的对称点为P2，则|P1P2|＝__________.
【解析】 ∵P1(－1,2，－3)，P2(1，－2,3)．
∴|P1P2|＝
＝2.
【答案】 2.
8．已知三角形的三个顶点为A(2，－1,4)，B(3,2，－6)，C(5,0,2)，则BC边上的中线长为__________．
【解析】 设BC的中点为D，则D，
即D(4,1，－2)．
∴BC边上的中线
|AD|＝＝2.
【答案】 2.
9．已知x，y，z满足(x－3)2＋(y－4)2＋z2＝2，那么x2＋y2＋z2的最小值是__________．
【解析】 由已知得点P(x，y，z)在以M(3,4,0)为球心，为半径的球面上，x2＋y2＋z2表示原点O与点P的距离的平方，显然当O，P，M共线且P在O与M之间时，|OP|最小，此时|OP|＝|OM|－＝－＝5－.
∴|OP|2＝27－10.
【答案】 27－10
三、解答题(共46分)
10．(15分)
如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP=2，连接AP、BP、CP、DP，M、N分别是AB、BC的中点，以O为原点，射线OM、ON、OP分别为Ox轴、Oy轴、Oz轴的正方向建立空间直角坐标系．若E、F分别为PA、PB的中点，求A、B、C、D、E、F的坐标．
【解析】 如上图所示，B点坐标为B(1,1,0)，
∵A点与B点关于x轴对称，得A(1，-1,0)，C点与B点关于y轴对称，得C(-1,1,0)，D与C点关于x轴对称，得D(-1，-1,0)，
又P(0,0,2)，由中点公式可得
E，F.
11．(15分)在空间直角坐标系中，解答下列各题：
(1)在x轴上求一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为；
(2)在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．
【解析】 (1)设点P(x,0,0)，
由题意得|P0P|＝＝.
解得x＝9或x＝－1.
所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．
(2)由已知，可设M(x,1－x,0)，
则|MN|＝＝.
所以，当x＝1时，|MN|min＝51，此时点M的坐标为(1,0,0)．
12．(16分)已知空间直角坐标系O—xyz中的点A(1,1,1)，平面α过点A且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点．
(1)求点P的坐标满足的条件；
(2)求平面α与坐标平面围成的几何体的体积．
【解析】 (1)因为OA⊥α，所以OA⊥AP，
由勾股定理得：|OA|2＋|AP|2＝|OP|2，
即3＋(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＝x2＋y2＋z2，
化简得：x＋y＋z＝3.
(2)设平面α与x轴、y轴、z轴的点分别为M，N，H，则M(3,0,0)，N(0,3,0)，H(0,0,3)，
所以|MN|＝|NH|＝|MH|＝3，
所以等边三角形MNH的面积为×(3)2＝，
又|OA|＝，故三棱锥O—MNH的体积为
××＝.
课件19张PPT。第五节 空间直角坐标系1．空间直角坐标系
以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做 ，x轴，y轴，z轴统称 ，由坐标轴确定的平面叫做 ．坐标原点坐标轴坐标平面在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)：
①关于原点的对称点是(－x，－y，－z)．
②关于x轴的对称点是(x，－y，－z)．
③关于y轴的对称点是(－x，y，－z)．④关于z轴的对称点是(－x，－y，z)．
⑤关于xOy坐标面的对称点是(x，y，－z)．
⑥关于yOz坐标面的对称点是(－x，y，z)．
⑦关于zOx坐标面的对称点是(x，－y，z)．【答案】 C2．已知点A(－3,1，－4)，则点A关于原点的对称点为( )
A．(1，－3，－4) B．(－4,1，－3)
C．(3，－1,4) D．(4，－1,3)
【解析】 两个点关于原点对称，则各个坐标互为相反数．
【答案】 C【答案】 B4．已知A(3,5，－7)和点B(－2,4,3)，则线段AB在坐标平面yOz上的射影的长度为________．5．已知点A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，点P的坐标为________．【答案】 (0,0,3)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是AB、BB1、B1C1、A1C1的中点，且正方体的棱长为2.建立适当的坐标系写出点E、F、G、H的坐标．
【思路点拨】 不同的建系方法，点的坐标不同，适当的建系，可使所求点的坐标简单．【解析】 以D为坐标原点，以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴、建立空间直角坐标系，如下图所示则A(2,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，A1(2,0,2)，
所以，由中点坐标公式可得E(2,1,0)，F(2,2,1)，G(1,2,2)，H(1,1,2)．已知矩形ABCD中，A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，求顶点D的坐标．(1)关于原点对称，三个坐标变为原坐标的相反数；
(2)关于哪条轴对称，对应坐标不变，另两个坐标变为原来的相反数，如M(1,3，－2)关于x轴的对称点坐标为M′(1，－3,2)；
(3)关于坐标平面的对称点，由x，y，z，O中的三个字母表示的坐标平面，缺少哪个字母的对应坐标变为原来的相反数，其它不变．如N(1,3，－2)关于坐标平面xOz的对称点N′(1，－3，－2)．1．已知A(a,2,3)与B(4,5,6)关于直线x－y＋2z＝0对称，求a.如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，|C1C|=|CB|=|CA|=2，AC⊥CB，D、E分别是棱AB、B1C1的中点，F是AC的中点，求DE、EF的长度．【解析】 以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系∵|C1C|=|CB|=|CA|=2，
∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，
由中点坐标公式可得，
D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，一个点的横坐标，就是这个点在x轴上投影的横坐标；
一个点的纵坐标，就是这个点在y轴上投影的纵坐标．
一个点的竖坐标，就是这个点在z轴上投影的竖坐标．
例如，点(a，b，c)在坐标平面xOy上的投影点的坐标为(a，b,0)，在x轴上的投影点的坐标为(a,0,0)．2．已知在空间中有三角形ABC，其中A(1，－2，－3)，B(－1，－1，－1)，C(0,0，－5)，则三角形ABC的面积等于________．空间直角坐标系是平面直角坐标系知识的推广，高考主要考查空间直角坐标系的建立及距离的计算，题型多以选择题、填空题形式，难度较小．
1．(2009年安徽卷)在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是__________．
【解析】 设M的坐标为(0，y,0)，由|MA|＝|MB|得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，
整理得6y＋6＝0.∴y＝－1，即点M的坐标为(0，－1,0)．
【答案】 (0，－1,0)2．设y∈R，则点P(1，y,2)的集合为( )
A．垂直于xOz平面的一条直线
B．平行于xOz平面的一条直线
C．垂直于y轴的一个平面
D．平行于y轴的一个平面【答案】 A【解析】 y变化时，点P的x坐标为1，z坐标为2保持不变，点P在xOz平面上射影P′(1,0,2)，∴P点的集合为直线PP′，它垂直于xOz平面．故选A课时作业
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课件28张PPT。第四节 直线、圆的位置关系1．直线与圆的位置关系
直线与圆相交时弦长的求法
(1)若求出直线与圆的两交点A、B的坐标，则L=|AB|.2．圆与圆的位置关系两圆相交时，公共弦所在直线的方程的求解：
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
①－②得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③
③即为表示过两圆C1与C2的交点的直线，即公共弦所在直线的方程．【答案】 C【答案】 D5．(2008年四川卷)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则C上各点到l距离的最小值为________．已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
【思路点拨】 利用直线与圆的位置关系解题．【解析】 (1)圆心C(1,2)，半径为r＝2，
当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.
由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，(1)求过某点的切线问题，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程，若点在圆上，则过该点的切线只有1条；若点在圆外，则过该点的切线有2条，此时应注意斜率不存在的情况．
(2)求切线的方程一般有三种方法：①设切点，利用切线公式，如方法三；②设切线斜率，利用判别式，如方法一；③设切线斜率，利用圆心到切线的距离等于圆的半径，如方法二．1．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)从圆C外一点P(x，y)向圆引一条切线，切点M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程． 已知圆M：x2＋y2－2mx－2ny＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心的轨迹方程，并求其中半径最小时圆M的方程．又AB平分圆N的圆周，
∴圆N的圆心N(－1，－1)在直线AB上．
∴2(m＋1)(－1)＋2(n＋1)(－1)－m2－1＝0.
∴m2＋2m＋2n＋5＝0，
即(m＋1)2＝－2(n＋2)．(?)
∴(x＋1)2＝－2(y＋2)即为点M的轨迹方程．
又由题意可知当圆M的半径最小时，点M到AB的距离最小，此时|MN|也最小．由(?)可知n≤－2，∴d≥1，
即最小值为1.此时m＝－1，n＝－2，
故此时圆M的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝5.
利用待定系数法求圆M的方程，关键是用好“半径最小”这一条件．本题是利用两圆相交的关系和性质转化为求|MN|的值，使问题得以解决的．圆与直线的位置关系，主要考查相交与相切的情况，由于圆锥曲线的切线不作重点要求，因此圆的切线问题也就显得突出．
本部分内容多以选择题或填空题的形式出现，此类题一般难度不大．
1．(2009年全国卷Ⅱ)已知圆O：x2＋y2＝5，和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于______．2．(2009年湖北卷)过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．
【解析】 圆x2+y2-6x-8y+20=0可化为(x-3)2+(y-4)2=5.圆心(3,4)到原点的距离为5.【答案】 4课时作业
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一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sinα＋cosα＝0，则a，b满足( )
A．a＋b＝1 B．a－b＝1
C．a＋b＝0 D．a－b＝0
【解析】 由sinα＋cosα＝0，得tanα＝－1.
∴α＝135°，即a＝b，a－b＝0.
【答案】 D
2．直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点逆时针旋转所得的直线方程是( )
A．－x＋2y－4＝0 B．x＋2y－4＝0
C．－x＋2y＋4＝0 D．x＋2y＋4＝0
【解析】 由题意知所求直线与2x－y－2＝0垂直．
又2x－y－2＝0与y轴交点为(0，－2)．
故所求直线方程为y＋2＝－(x－0)，
即x＋2y＋4＝0.
【答案】 D
3．已知A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)(a∈R)，则|AB|的最小值( )
A．3 B．3
C．2 D．2
【解析】 |AB|＝＝≥3.
【答案】 B
4．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是(1,2)，则直线PQ的方程是( )
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0
C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0
【解析】 结合圆的几何性质易知直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，故其方程为：y－2＝－(x－1)，整理得x＋2y－5＝0.
【答案】 B
5．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点( )
A．(1，－2) B．(1,2)
C．(－1,2) D．(－1，－2)
【解析】 ∵k，－1，b成等差数列，
∴k＋b＝－2.
∴当x＝1时，y＝k＋b＝－2.
即直线过定点(1，－2)．
【答案】 A
6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( )
A. B．2
C. D．2
【解析】 过原点且倾斜角为60°的直线方程为x－y＝0，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心(0,2)到直线的距离为d＝＝1.因此弦长为2＝2＝2.
【答案】 D
7．两圆相交于点A(1,3)，B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为( )
A．－1 B．2
C．3 D．0
【解析】 依题意有kAB＝－1，即＝－1，所以m＝5，又因为直线x－y＋c＝0过AB的中点(3,1)，所以得c＝－2，于是m＋c＝3.
【答案】 C
8．已知直线方程为Ax＋By＋C＝0，直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，直线的斜率为k，坐标原点到直线的距离为p，则有( )
A．k＝ B.＋＝1
C．a＝－kb D．b2＝p2(1＋k2)
【解析】 若直线不过原点，则k＝－①
又p＝，即p2(a2＋b2)＝a2b2②
由①②得，b2＝p2(1＋k2)．
当a＝0，b＝0时，代入b2＝p2(1＋k2)也成立．
【答案】 D
9．过点(0,1)的直线与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．2 B．2
C．3 D．2
【解析】 据由弦长一半及圆的半径和圆心到直线的距离所组成的直角三角形可知，当圆心到直线距离最大时，弦长最短，易知当圆心与定点G(0,1)的连线与直线AB垂直时，圆心到直线AB的距离取得最大值，即d≤|OG|＝1，此时弦长最短，即≥＝?|AB|≥2，故选B.
【答案】 B
10．已知A(－3,8)和B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|AM|＋|BM|为最短，那么点M的坐标为( )
A．(－1,0) B．(1,0)
C. D.
【解析】 点B(2,2)关于x轴的对称点为B′(2，－2)，连接AB′，易求得直线AB′的方程为2x＋y－2＝0，它与x轴交点M(1,0)即为所求．
【答案】 B
11．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足|＋|＝|－|，则C点的轨迹方程是( )
A．x＋2y－5＝0 B．2x－y＝0
C．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D．3x－2y－11＝0
【解析】 由|＋|＝|－|知⊥，所以C点的轨迹是以两个端点A、B为直径的圆，圆心坐标为线段AB的中点(1,2)，半径等于，所以C点的轨迹方程是(x－1)2＋(y－2)2＝5.
【答案】 C
12．过点M(1,2)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l的方程是( )
A．x＝1 B．y＝1
C．x－y＋1＝0 D．x－2y＋3＝0
【解析】 由条件知M点在圆内，故当劣弧最短时，l应与圆心与M点的连线垂直，
设圆心为O，则O(2,0)，
∴KOM＝＝－2.
∴直线l的斜率k＝，
∴l的方程为y－2＝(x－1)．即x－2y＋3＝0.
【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．在坐标平面内，与点A(1,3)的距离为，且与点B(3,1)的距离为3的直线共有__________条．
【解析】 以A(1,3)为圆心，以为半径作圆A，以B(3,1)为圆心，以3为半径作圆B.
∵|AB|＝＝2＝3－，
∴两圆内切，公切线只有一条．
【答案】 1
14．已知圆C的圆心与点P(－2,1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为__________．
【解析】 先求出圆心C(x0，y0)坐标．
解得
令圆半径为R，(0，－1)到3x＋4y－11＝0的距离d＝3，
∴R2＝32＋32＝18，∴x2＋(y＋1)2＝18.
【答案】 x2＋(y＋1)2＝18
16．已知△ABC的两个顶点坐标为B(1,4)、C(6,2)，顶点A在直线x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为21.则顶点A的坐标为__________．
【解析】 点C(6,2)到直线x－y＋3＝0的距离为d＝＝，因为点A在直线x－y＋3＝0上，可以验证点B(1,4)也在直线x－y＋3＝0上，所以设A(x，y)．又因为直线x－y＋3＝0的倾斜角为45°，所以|AB|＝＝|1－x|，所以三角形面积S＝|AB|d＝×|1－x|·＝21.
所以x＝7或x＝－5.故A点坐标为(7,10)或(－5，－2)．
【答案】 (7,10)或(－5，－2)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知集合A＝{(x，y)|(3＋m)x＋y＝2m}，B＝{(x，y)|7x＋(5－m)y＝8}，若A∩B＝?，求直线(3＋m)x＋y＝3m＋4与两坐标轴所围成的三角形的面积．
【解析】 由A∩B＝?可知两直线平行，
所以
解得m＝－2.
将m＝－2代入(3＋m)x＋y＝3m＋4得x＋y＝－2，其在两坐标轴上的截距均为－2，故所围成的三角形的面积
S＝×2×2＝2.
19．(12分)已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0.AC边上的高BH所在直线为x－2y－5＝0.
求：(1)顶点C的坐标；
(2)直线BC的方程．
【解析】 (1)直线AC的方程为：y－1＝－2(x－5)，
即2x＋y－11＝0，
，
整理得，
解得
则B点坐标为(－1，－3)
直线BC的方程为y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0.
20．(12分)在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－y＝4相切．
(1)求圆O的方程；
(2)圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求·的取值范围．
【解析】 (1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－y＝4的距离，即r＝＝2.
所以圆O的方程为x2＋y2＝4.
(2)不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，且x1得A(－2,0)，B(2,0)．
设P(x，y)，由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，
得·＝x2＋y2，
即x2－y2＝2.
所以·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)
＝x2－4＋y2＝2(y2－1)．
由于点P在圆O内，故
由此得0≤y2<1.
所以·的取值范围为[－2,0)．
21．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.
(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；
(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
【解析】 (1)由于直线x=4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y=k(x-4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C1截得的弦长为2，
所以d＝＝1.
由点到直线的距离公式得d＝，
从而k(24k＋7)＝0.
即k＝0或k＝－，所以直线l的方程为y＝0
或7x＋24y－28＝0.
(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，k≠0，则直线l2的方程为y－b＝－(x－a)．
因为圆C1和圆C2的半径相等，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，
即＝，
整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，
从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或
1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，
即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，
因为k的取值范围有无穷多个，
所以或
解得或.
这样点P只可能是点P1或点P2.经检验点P1和P2满足题目条件．
22．(12分)已知圆C：x2＋y2＝r2(r>0)经过点(1，)．
(1)求圆C的方程；
(2)是否存在经过点(－1,1)的直线l，它与圆C相交于A，B两个不同点，且满足＝＋(O为坐标原点)关系的点M也在圆C上，如果存在，求出直线l的方程；
如果不存在，请说明理由．
【解析】 (1)由圆C：x2＋y2＝r2，再由点(1，)在圆C上，得r2＝12＋()2＝4
所以圆C的方程为x2＋y2＝4；
(2)假设直线l存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)
①若直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y－1＝k(x＋1)，
联立 消去y得，
(1＋k2)x2＋2k(k＋1)x＋k2＋2k－3＝0，
由韦达定理得x1＋x2＝－＝－2＋，
x1x2＝＝1＋，
y1y2＝k2x1x2＋k(k＋1)(x1＋x2)＋(k＋1)2＝－3，
因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在圆C上，
因此，得x12＋y12＝4，x22＋y22＝4，
由＝＋得x0＝，y0＝，
由于点M也在圆C上，则2＋2＝4，
整理得，＋3＋x1x2＋y1y2＝4，
即x1x2＋y1y2＝0，所以1＋＋(－3)＝0，
从而得，k2－2k＋1＝0，即k＝1，因此，直线l的方程为
y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0，
②若直线l的斜率不存在，
则A(－1，)，B(－1，－)，M
2＋2＝4－≠4，
故点M不在圆上与题设矛盾．
综上所知：k＝1，直线方程为x－y＋2＝0.
