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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．“等式sin(a＋γ)＝sin 2β成立”是“α、β、γ成等差数列”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．即不充分又不必要条件
【解析】 α、β、γ成等差数列?2β＝α＋γ?sin(α＋γ)＝sin 2β.
【答案】 B
2．若－＜α＜0，则点(tan α，cos α)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 ∵－＜α＜0，∴α为第四象限角
∴tan α＜0，cos α＞0.
∴点(tan α，cos α)位于第二象限．
【答案】 B
3．在△ABC中，sin Acos C＜0，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
【解析】 由△ABC的内角的范围得三角函数值的符号，可得sin A＞0，cos C＜0，从而角C为钝角，△ABC是钝角三角形．
【答案】 C
4．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是( )
A. B.
C．－ D．－
【解析】 将表的分针拨慢应按逆时针方向旋转，分针转过的角为正角
∴C、D不正确．
又∵拨慢10分，∴转过的角度应为圆周的＝，
即为×2π＝.
【答案】 A
5．已知角2α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边过点，2α∈[0,2π)，则tan α＝( )
A．－ B.
C. D．±
【解析】 由角2α的终边在第二象限，知tan α＞0，依题设知tan 2α＝－，所以2α＝120°，得α＝60°，tan α＝.
【答案】 B
6．如右图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
【解析】 ∠AOP＝l，当0≤l≤π，d＝2sin ，
当π
∴d＝2sin ，0≤l≤2π.
【答案】 C
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．设集合M＝，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________.
【解析】 由－π＜－＜π得－＜k＜，∵k∈Z，
∴k＝－1,0,1,2，故M∩N＝.
【答案】
8．设α为第二象限角，其终边上一点为P(m, )，且cos α＝m，则sin α的值为________．
【解析】 设P(m, )点到原点O的距离为r，
则＝cos α＝m，∴r＝2 ，sin α＝＝＝.
【答案】
9．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将点A走过的路程d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．
【解析】 ∠AOB＝×2π＝，d＝×5＝t.
【答案】 t
三、解答题(共46分)
10．(15分)设α为第四象限角，其终边上的一个点是P(x，－)，且cos α＝x，求sin α和tan α.
【解析】 ∵α为第四象限角，
∴x＞0，且r＝，
则cos α＝＝x，解得：x＝，
∴r＝，
故sin α＝－，tan α＝－.
11．(15分)已知α＝.
(1)写出所有与α终边相同的角；
(2)写出在(－4π，2π)内与α终边相同的角；
(3)若角β与α终边相同，则是第几象限的角？
【解析】 (1)所有与α终边相同的角可表示为
.
(2)由(1)令－4π＜2kπ＋＜2π(k∈Z)，则有
－2－＜k＜1－.
又∵k∈Z，∴取k＝－2，－1,0.
故在(－4π，2π)内与α终边相同的角是－、－、.
(3)由(1)有β＝2kπ＋(k∈Z)，则＝kπ＋(k∈Z)．
∴是第一、三象限的角．
12．(16分)在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：
(1)sin α≥；(2)cos α≤－.
【解析】 (1)作直线y＝交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为.
课件32张PPT。 1.任意角的概念、弧度制
(1)了解任意角的概念
(2)了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化．
2．三角函数
(1)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
(2)能利用单位圆中的三角函数线推导出 ±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．(5)了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．
(6)了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．
3．和与差的三角函数公式
(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
(2)能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．
(3)能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．简单的三角恒等变换
能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．
5．正弦定理和余弦定理
(1)掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
(2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量有关的实际问题．第一节 任意角的三角函数
1．任意角
(1)角的概念的推广
①按旋转方向不同分为 、 、 ．
②按终边位置不同分为 和 ．
(2)终边相同的角
终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．正角负角零角象限角轴线角(1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．
(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴的负半轴上的角的集合可以表示为{x|x＝k·360°－90°，k∈Z}，也可以表示为{x|x＝k·360°＋270°，k∈Z}．
2．弧度制
(1)把长度等于 长的圆弧所对的 叫做1弧度的角．以弧度作单位来度量角的单位制叫做 ，它的单位符号是rad，读作弧度．
(2)正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.半径圆心角弧度制在表示角的同一个表达式中，角度制和弧度制两种制度不能混用，如与30°角终边相同的角不能表示为
或{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}．
3．三角函数的定义
(1)在直角坐标系中，利用单位圆可得任意角的三角函数的定义．设α是一任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么①y叫做α的正弦值，记作sin_α，即sin α＝y；
②x叫做α的余弦值，记作cos_α，即cos α＝x；
③y/x叫做α的正切值，记作tan_α，即tan α＝y/x (x≠0)．
(2)已知角α终边上任意一点P(x，y)，它到坐标原点的距离是r(r＞0)，那么任意角三角函数的定义是：(3)三角函数线
图中有向线段MP，OM，AT分别表示正弦线、余弦线和正切线．1．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )
A．x轴上 B．y轴上
C．直线y＝x上 D．直线y＝－x上
【解析】 即|cos α|＝1，则角α的终边在x轴上，故选A.
【答案】 A2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
【解析】 当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．
【答案】 A【答案】 D4．与2 010°终边相同的最小正角为________．
【解析】 设β＝2 010°＋k·360°(k∈Z)，
当k＝－5时，β＝2 010°－1 800°＝210°，
∴与2 010°终边相同的最小正角为210°.
【答案】 210°(1)如果角α是第三象限角，那么－α，π－α，π＋α角的终边落在第几象限；已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定．但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数值有两组要分别求解．
(1)如果点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限【答案】 (1)B (2)＜
本题主要考查三角函数在各个象限中的符号．第(1)小题是给出
判断角θ所在的象限，解决该类问题时，常用的方法是求这个角θ的两个三角函数值，只要其中的两个三角函数值的符号确定了，这个角的范围就确定了．对于第(2)小题，在判断形如“sin(cos θ)”等的三角函数问题时，首先应将函数值sin 2θ，cos θ看成一个整体，即一个用弧度制的形式表示的角，再设法弄清表示角的函数值sin 2θ，cos θ的取值范围，从而进行相关的判断．2．解答下列问题：
(1)若θ在第四象限，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号；
(2)若tan(cos θ)·tan(sin θ)＞0，试指出θ所在象限，并用图形表示出 所取的范围．本节重点考查三角函数定义的理解和运用，三角函数值符号的判断，题型多为选择题或填空题，难度为中低档题
1．(2008年全国Ⅱ)若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】 C【解析】 2．(2008年北京卷)若角α的终边经过点P(1，－2)，则tan 2α的值为________．课时作业
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．(2008年陕西卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝，b＝，B＝120°，则a等于( )
A. B．2
C. D.
【解析】 由正弦定理得＝，
∴sin C＝.
又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°，
△ABC为等腰三角形，a＝c＝.故选D.
【答案】 D
2．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
【解析】 ∵2c2＝2a2＋2b2＋ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，
∴cos C＝＝－＜0.
则△ABC是钝角三角形．故选A.
【答案】 A
3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝，b＝1，△ABC的面积，则a的值为( )
A．1 B．2
C. D.
【解析】 由已知得：bcsin A＝×1×c×sin 60°＝?c＝2，则由余弦定理可得：a2＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3?a＝.
【答案】 D
4．在△ABC中，cos 2B＞cos 2A是A＞B的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 cos 2B＞cos 2A?1－2sin2B＞1－2sin2A?sin2B＜sin2A?sin A＞sin B?A＞B.
【答案】 C
5．满足A＝45°，c＝，a＝2的△ABC的个数记为m，则am的值为( )
A．4 B．2
C．1 D．不确定
【解析】 由正弦定理＝
得sin C＝＝＝.
∵c＞a，∴C＞A＝45°，
∴C＝60°或120°，
∴满足条件的三角形有2个，
即m＝2.∴am＝4.
【答案】 A
6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b2＋c2－bc＝a2，且＝，则角C的值为( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
【解析】 由b2＋c2－bc＝a2得b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝，∴A＝60°.
又＝，∴＝，
∴sin B＝sin A＝×＝，
∴B＝30°，∴C＝180°－A－B＝90°.
【答案】 C
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．在△ABC中，若a＝7，b＝8，cos C＝，则此三角形的最大内角的余弦值为________．
【解析】 c2＝a2＋b2－2abcos C＝9，c＝3，由b>a>c知最大角为B，利用余弦定理求得cosB＝－.
【答案】 －
8．在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是________．
9．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足a＋b＋c＝＋1，sin A＋sin B＝sin C，则c＝________；若C＝，则△ABC的面积S＝________.
【解析】 依题意及正弦定理得a＋b＝c，且a＋b＋c＝＋1，因此c＋c＝＋1，c＝1，当C＝时，
c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝1，∴(a＋b)2－3ab＝1.
又a＋b＝，因此2－3ab＝1，∴ab＝，则△ABC的面积S＝absin C＝×sin＝.
【答案】 1
三、解答题(共46分)
10．(15分)已知△ABC的周长为＋1，且sin A＋sin B＝sin C.
(1)求边AB的长；
(2)若△ABC的面积为sin C．求角C的度数．
【解析】 (1)由题意及正弦定理，得AB＋BC＋AC＝＋1.
BC＋AC＝AB，
两式相减，得AB＝1.
(2)由△ABC的面积＝BC·AC·sin C＝sin C，
得BC·AC＝.
由余弦定理，得cos C＝
＝＝，
∴C＝60°.
11．(15分)△ABC中，角A、B、C对边的边长分别是a、b、c，且a(cos B＋cos C)＝b＋c.
(1)求证：A＝；
(2)若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC周长的取值范围．
【解析】 (1)∵a(cos B＋cos C)＝b＋c，
∴由余弦定理得a·＋a·＝b＋c，
整理得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
∵b＋c＞0，∴a2＝b2＋c2，故A＝.
(2)∵△ABC的外接圆半径为1，A＝，∴a＝2.
∴b＋c＝2(sinB＋cos B)＝2sin.
∵0＜B＜，∴＜B＋＜，∴2＜b＋c≤2.
∴4＜a＋b＋c≤2＋2，
故△ABC周长的取值范围为(4,2＋2]．
12．(16分)已知△ABC ，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，关于x的不等式x2cos C＋4xsin C＋6＜0的解集是空集．
(1)求C的最大值；
(2)若c＝，△ABC的面积S＝，
求当C取得最大值是a＋b的值．
【解析】 (1)显然cos C≤0不合题意，
故有，即，
即，
故cos C≥，∴C的最大值为60°.
(2)当C＝60°时，S＝absin C＝ab＝，∴ab＝6，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C
＝(a＋b)2－2ab－2abcos C，
∴(a＋b)2＝c2＋3ab＝，∴a＋b＝.
课件38张PPT。第七节 正弦定理和余弦定理
1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的什么条件？
【提示】 充要条件．(1)勾股定理是余弦定理的特珠情况．
在余弦定理表达式中分别令A、B、C为90°，则上述关系式分别化为：a2＝b2＋c2，b2＝c2＋a2，c2＝a2＋b2.
(2)在△ABC中，有如下结论：
①a2＜b2＋c2?0°＜A＜90°；
②a2＝b2＋c2?A＝90°；
③a2＞b2＋c2?90°＜A＜180°.2．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB等于( )【答案】 B【解析】 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，
即3＝1＋c2－c，c2－c－2＝0，
解得c＝2或c＝－1(舍去)．
【答案】 B【答案】 无解根据下列条件，解△ABC：
(1)已知b＝4，c＝8，B＝30°，求C、A、a；
(2)已知B＝30°，b＝ ，c＝2，求A、C、a；
(3)已知b＝6，c＝9，B＝45°，求C、a、A.
【思路点拨】 已知三角形的两边及其中一边的对角，可利用正弦定理解三角形，但要注意解的判断．在△ABC中，a、b、c 分别是角A、B、C的对边，余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对应边的关系，是勾股定理的推广，它能解决以下两类问题：
①已知三边，求其他三角，其解是唯一的．
②已知两边及它们的夹角，求第三边及其他两角，此时也只有一解．在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．
【思路点拨】 利用正、余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．【解析】 方法一：由已知(a2＋b2)sin(A－B)
＝(a2－b2)·sin(A＋B)．
得a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]
＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]
∴2a2cos Asin B＝2b2cos Bsin A.
由正弦定理得
sin2 Acos Asin B＝sin2 Bcos Bsin A，
即sin 2A·sin Asin B＝sin 2B·sin Asin B.
∵0＜A＜π，0＜B＜π，
∴sin 2A＝sin 2B
∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝ .
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．判断三角形形状
主要有如下两条途径：
①利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
②利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．2．在△ABC中，a，b，c分别为∠A、∠B、∠C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，则∠A＝________，△ABC为________．【答案】 60° 正三角形( (1)正弦定理和余弦定理并不是弧立的，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用，本例即同时用到了正弦定理和余弦定理；
(2)本题体现了解方程(组)的思想；
(3)解三角形过程中，要注意三角恒等变换公式的应用．3．(2008年全国卷Ⅰ)设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acos B＝3，bsin A＝4，
(1)求边长a；
(2)若△ABC的面积S＝10，求△ABC的周长l.本节内容是利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题，在考查正弦定理、余弦定理和面积公式的同时，考查三角恒等变换，这是高考的热点．三种题型均有可能出现，属中低档题目．1．(2009年江西卷)如图，AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB＝1/2A1B1.若△AOB的外接圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为________．
【解析】 在△AOB中，由正弦定理得=1，sin∠AOB=AB，在△A1OB1中，由正弦定理得2R===2.
【答案】 2课时作业
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．函数y＝cosπx－1的最小正周期为( )
A．4π B．2π
C．4 D．2
【解析】 周期T＝＝4.
【答案】 C
2．函数y＝cos 2x＋sin是( )
A．只有最小值的奇函数
B．只有最大值的偶函数
C．既有最大值，又有最小值的偶函数
D．既有最大值，又有最小值的非奇非偶函数
【解析】 y＝cos 2x＋sin＝2cos2x－1＋cos x
＝22－
∴f(x)为偶函数，且由－1≤cos x≤1知，f(x)有最值．
【答案】 C
3．函数y＝|sin x|的一个单调增区间是( )
A. B.
C. D.
【解析】 由y＝|sin x|图象易得函数单调递增区间，k∈Z，当k＝1时，得为y＝|sin x|的单调递增区间．
【答案】 C
4．设α、β∈，那么“α＜β”是“tan α＜tan β”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 α、β∈，则tan x在此区间上单调递增：当α＜β时，tan α＜tan β，当tan α＜tan β时，α＜β.故选C.
【答案】 C
5．(2008年广东卷)已知函数f(x)＝(1＋cos 2x)sin2 x，x∈R，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
【解析】 f(x)＝(1＋cos 2x)sin2 x＝cos2 x·sin2 x
＝sin2 2x
＝(1－cos 4x)．
周期T＝＝，y＝(1－cos 4x)又是偶函数．故选D.
【答案】 D
6．设函数f(x)＝2sin.若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为( )
A．4 B．2
C．1 D.
【解析】 f(x)的周期T＝4，|x1－x2|min＝＝2，故选B.
【答案】 B
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f的值为________．
【解析】 f＝f＝f＝sin＝.
【答案】
8．已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．
【解析】 (1)由题意知≤，T＝，∴2ω≥3，ω≥，
∴ω的最小值等于.
【答案】
9．已知函数f(x)＝2cos－5的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值是________．
【解析】 函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小周期为T＝，
可知函数f(x)＝2cos－5的最小正周期为，由已知≤2，即k≥4π，
∴k的最小正整数值为13.
【答案】 13
三、解答题(共46分)
10．(15分)已知y＝a－bcos 3x(b>0)的最大值为，最小值为－，求函数y＝－4asin(3bx)的周期、最值及取得最值时的x，并判断其奇偶性．
【解析】 依题意得，∴，
∴y＝－4asin(3bx)＝－2sin 3x，则周期T＝，
当3x＝2kπ＋，
即x＝＋(k∈Z)时，ymin＝－2，
当3x＝2kπ－，
即x＝－(k∈Z)时，ymax＝2，
设f(x)＝－2sin 3x，
∵f(－x)＝－2sin 3(－x)＝－2sin(－3x)
＝2sin 3x＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
11．(15分)设函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x＋a.
(1)写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)当x∈时，函数f(x)的最大值与最小值的和为，求a的值．
【解析】 (1)f(x)＝sin 2x＋＋a＝sin＋a＋，
∴T＝π.
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，得＋kπ≤x≤＋kπ.
故函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．
(2)∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤.
∴－≤sin≤1.
当x∈时，原函数的最大值与最小值的和
＋＝，∴a＝0.
12．(16分)已知a＞0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，
当x∈时，－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)＝f且lg g(x)＞0，求g(x)的单调区间．
【解析】 (1)∵x∈，
∴2x＋∈.
∴sin∈，
∴－2asin∈[－2a，a]．
∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，
因此可得b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得a＝2，b＝－5，
∴f(x)＝－4sin－1，
g(x)＝f＝－4sin－1
＝4sin－1，
又由lgg(x)＞0得g(x)＞1，
∴4sin－1＞1，
∴sin＞，
∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z，
其中2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z，
∴单调增区间为，k∈Z.
又∵2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z，
即kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.
∴单调减区间为，k∈Z.
课件37张PPT。第三节 三角函数的图象与性质
1．周期函数
(1)周期函数的定义
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期．f(x＋T)＝f(x(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ，那么这个 ，就叫做f(x)的最小正周期．
(1)一般地，如果T为函数f(x)的周期，则nT(n∈Z)也是函数f(x)的周期，即有f(x＋nT)＝f(x)．
(2)最小正周期是指使函数值重复出现的自变量x要加上的最小正数，这个正数是相对于x而言的．并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如函数f(x)＝c(c为常数)就没有最小正周期．最小的正数最小的正数2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
【答案】 B【答案】 D求下列函数的定义域【思路点拨】 求定义域即求使式子有意义的自变量x的取值范围，可借助函数图象来求．
【解析】 (1)要使原函数有意义，必须有：写出下列函数的单调区间：(1)判断函数的奇偶性，首先要判断其定义域是否关于原点对称，之后再作进一步判断．
(2)在求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含有一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．(1)若f(x)为偶函数，求θ的值．
(2)若f(x)为奇函数，且θ＞0，求θ的最小值．本节重点考查三角函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性、单调性，试题多与三角函数的图象相结合，题型以选择题、填空题的形式考查，属容易题．【答案】 D课时作业
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．α是第四象限角，tan α＝－，则sin α等于( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 ∵α是第四象限角，且tan α＝－，
∴sin α＝－＝－.
【答案】 D
2．(2009年辽宁卷)已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝( )
A．－ B.
C．－ D.
【解析】 sin2θ＋sin θ·cos θ－2cos2θ
＝＝，
又tan θ＝2，故原式＝＝.
【答案】 D
3．已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是( )
A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}
C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}
【解析】 当k为偶数时，A＝＋＝2，
k为奇数时，A＝－＝－2.
【答案】 C
4．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(2 009)＝3，则f(2010)的值是( )
A．－1 B．－2
C．－3 D．1
【解析】 f(2009)
＝asin(2009π＋α)＋bcos(2009π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－asin α－bcos β＝3.
∴asin α＋bcos β＝－3.
∴f(2 010)＝asin(2 010π＋α)＋bcos(2010π＋β)
＝asin α＋bcos β＝－3.
【答案】 C
5．(2008年天津卷)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数．令a＝f，b＝f，c＝f，则( )
A．b＜a＜c B．c＜b＜a
C．b＜c＜a D．a＜b＜c
【答案】 A
6．已知＝1，则的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．6
【解析】 ∵
＝＝
＝tan θ＝1.
∴
＝
＝＝＝1.
【答案】 A
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．如果cos α＝，且α是第四象限的角，那么cos＝________.
【解析】 α是第四象限的角且cos α＝，
∴sin α＝－＝－，
于是cos＝－sin α＝.
【答案】
8．若tan α＝2，则＋＝________.
【解析】 原式＝＝＝＝＝2(tan2α＋1)＝2(4＋1)＝10.
【答案】 10
9．化简＝________.
【解析】
＝
＝＝＝1.
【答案】 1
三、解答题(共46分)
10．(15分)求值sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＋tan(－1 089°)tan(－540°)
【解析】 原式＝(－sin 1 071°)·sin99°＋sin 171°·sin 261°＋tan 1 089°·tan 540°
＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)sin(270°－9°)＋tan(3×360°＋9°)·tan(360°＋180°)
＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＋tan9°·tan 180°
＝0＋0＝0.
11．(15分)已知sin(3π＋θ)＝ ，求＋
的值．
【解析】 ∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝，
∴sin θ＝－，
∴原式＝＋
＝＋
＝＋
＝
＝＝＝18.
12．(16分)是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝ cos， cos(－α)＝－ cos(π＋β)同时成立，若存在，求出α，β的值，若不存在，请说明理由．
【解析】 将已知条件化为：
①2＋②2得sin2α＋3(1－sin2α)＝2，
即sin2α＝，sin α＝±，
∵－＜α＜，
∴α＝或α＝－.
(1)当α＝时，由②得cos β＝，
∵0＜β＜π，∴β＝；
(2)当α＝－时，由②得cos β＝，β＝.
于是存在α＝，β＝.∵α＝－，β＝不满足①
使两个等式同时成立．
课件31张PPT。第二节 同角三角函数的基本关系式及诱导公式
1．同角三角函数的基本关系(1)“1”在化简、求值、证明中的妙用．
1可以用sin2 α＋cos2 α，tan ，…代换.1的三角代换在三角函数式的恒等变形过程中有着广泛的应用．
(2)对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可以求出．即：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；
(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α；
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.2．三角函数的诱导公式(如下表)
利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：
任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→0°～360°的角的三角函数→锐角三角函数
应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．【答案】 A【答案】 A【答案】 B5．tan 300°＋sin 450°＝________.【思路点拨】 先利用诱导公式将条件和所求式子化简，然后再求值．已知sin α＝2cos α，求(1)由条件可得tan α＝2，所以本题属于“已知角α的一个三角函数值，求其他函数值”的问题，其一般解法是由tan α＝2，通过同角函数关系式，求出sin α，cos α代入求解，但在本题中，考虑到由tan α＝2不能确定角α所在的象限，因此需要分类讨论，比较麻烦．所以可从整体上观察结构．
(2)如果所给分式的分子、分母是关于sin α和cos α的齐次式，则可通过同除以cos α的最高次幂将分式转化成关于tan α的分式，然后代入求值．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝1/5，
(1)求sin A·cos A；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tan A的值．对于这类利用已知α的一个三角函数值或者几种三角函数值之间的关系及α所在的象限，求其他三角函数值的问题，我们可以利用平方关系和商数关系求解．其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，分析出解决问题的突破口．本节重点考查利用同角三角函数的基本关系，诱导公式求角的三角函数值或求三角函数式的值，在三角函数式的化简或证明中，直接或间接考查诱导公式、同角三角函数的关系，多以选择、填空的形式考查【答案】 A课时作业
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．(2008年海南、宁夏卷)＝( )
A. B.
C．2 D.
【解析】 原式＝＝＝2，故选C.
【答案】 C
2．在△ABC中，已知2sin A·cos B＝sin C，那么△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
【解析】 ∵2sin Acos B＝sin(A＋B)，且A，B∈(0，π)
∴sin(A－B)＝0，且－π∴A＝B为等腰三角形．
【答案】 B
3．已知＝－，则cos α＋sin α等于( )
A．－ B.
C. D．－
【解析】 由已知可得＝
＝＝
＝－?sin α＋cos α＝－.
【答案】 D
4．若点P(cos α，sin α)在直线y＝－2x上，则sin 2α＋2cos 2α的值是( )
A．－ B．－
C．－2 D.
【解析】 ∵点P在y＝－2x上，∴sin α＝－2cos α.
∴sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2(2cos2α－1)
＝－4cos2α＋4cos2α－2＝－2.
【答案】 C
5．设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是( )
A．sin(α＋β)＞sin α＋sin β
B．cos(α＋β)＞cos αcos β
C．sin(α＋β)＞sin(α－β)
D．cos(α＋β)＞cos(α－β)
【解析】 ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，
又∵α、β都是锐角，∴cos αsin β＞0，
故sin(α＋β)＞sin(α－β)．
【答案】 C
6．若sin＝，则cos＝( )
A．－ B．－
C. D.
【解析】 ∵sin＝，
∴cos＝1－2sin2＝1－2×2＝.
∴cos＝cos
＝－cos＝－.
【答案】 A
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.·的值为( )
【解析】 原式＝·
＝·＝1.
【答案】 1
8．tan 15°＋tan 30°＋tan 15°·tan 30°的值是________．
【解析】 原式＝tan(15°＋30°)·(1－tan 15°·tan 30°)＋tan 15°·tan 30°
＝tan 45°(1－tan 15°·tan 30°)＋tan 15°·tan 30°＝1.
【答案】 1
9．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，
sin＝，则cos＝________.
【解析】 因为α，β∈，所以α＋β∈，
所以cos(α＋β)＝.
因为β－∈，所以cos＝－.
所以cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－.
【答案】 －
三、解答题(共46分)
10．(15分)已知sin(α＋β)cos α－[sin(2α＋β)－cos β]＝，0＜β＜π，求β的值．
【解析】 因为sin(α＋β)cos α－{sin[(α＋β)＋α]－cos β}＝，
所以sin(α＋β)cos α－[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]＋cos β＝，
所以[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]＋cos β＝，
所以(sin β＋cos β)＝.即sin β＋cos β＝1，
所以 sin＝1，
sin＝，
因为＜β＋＜π，所以β＋＝π，所以β＝.
因为β－∈，所以cos＝－.
所以cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－.
【答案】 －
11．(15分)求值：(1)；
(2)tan＋tan＋tan·tan.
【解析】 (1) 原式＝
＝＝＝.
(2)原式＝tan
＋tantan＝.
12．(16分)已知cos＝，x∈.
(1)求sin x的值；(2)求sin的值．
【解析】 (1)因为x∈，
∴x－∈，
于是sin＝＝.
sin x＝sin＝sincos＋
cossin
＝×＋×＝.
(2)∵x∈，
故cos x＝－＝－＝－.
sin 2x＝2sin xcos x＝－，
cos 2x＝2cos2x－1＝－.
∴sin＝sin 2xcos＋cos 2xsin＝－.
课件33张PPT。第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．两角和与差的三角函数公式
sin(α±β)＝___________________；
cos(α±β)＝_____________________；sin_αcos_β±cos_αsin_βcos_αcos_β?sin_αsin_β(1)要注意公式间的内在联系及特点，做题过程中，要善于观察差异，寻找联系，实现转化；要熟悉公式的正用、逆用和变形用，也应注意公式成立的条件．例如：tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)．【思路点拨】 注意角之间的关系，切化弦，从题设代数式联系与三角函数公式结构的差异，寻找解题思路，同时将非特殊角转化为特殊角或通过约分消掉．三角函数的给值求值问题
解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)解这类问题的一般步骤为：
①求角的某一个三角函数值；
②确定角的范围；
③根据角的范围写出所求的角．两角和与差的正弦、余弦和正切公式是高考考查重点，单独考查时以选择题、填空题的形式出，难度为低档，但更多地是与其他知识相结合在大题中进行考查，多出现在解答题的第一道题的位置上，属中档题．【答案】 C课时作业
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为，设α为坡角，那么cos α等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 因tan α＝∴cos α＝.
【答案】 B
2．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长是( )
A. B.
C. D.
【解析】 由＝，得b＝＝＝，
∵B角最小，∴最小边是b.
【答案】 A
3．某人在C点测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为( )
A．15米 B．5米
C．10米 D．12米
【答案】 C
4．如图，若Rt△ABC的斜边AB＝2，内切圆的半径为r，则r的最大值为( )
A. B．1
C. D.－1
【解析】 ∵r＝＝－1，
∵4＝a2＋b2≥，
∴(a＋b)2≤8.∴a＋b≤2，∴r≤－1.故选D.
【答案】 D
5．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )
A．5海里 B．5海里
C．10海里 D．10海里
【解析】 如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10(海里/小时)．
【答案】 C
6．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为( )
A.海里/时 B．34海里/时
C.海里/时 D．34海里/时
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．在△ABC中，设命题p：＝＝；命题q：△ABC是等边三角形．那么命题p是命题q的________条件．
【解析】 命题p：＝＝.
由正弦定理＝＝，
∴sin A＝sin B＝sin C，
∴A＝B＝C?a＝b＝c.反之，过程亦成立．
【答案】 充分必要
8.
如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°，则BC的长为 .
【解析】 在△ABD中，设BD=x，则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，
即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，
整理得x2－10x－96＝0，
解之得x1＝16，
x2＝－6(舍去)．
由正弦定理：＝，
∴BC＝·sin 30°
＝8.
【答案】 8
9．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.
三、解答题(共46分)
10．(15分)甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船速度是乙船速度的倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船，此时乙船行驶了多少海里？
11．(15分)在2008年北京奥运会垒球比赛前，中国教练布置战术时，要求击球手与连接本垒游击手的直线成15°的方向把球击出．根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍．问按这样的布置，游击手能不能接着球？
【解析】 如图，设游击手能接着球，接球点为B，而游击手从点A跑出，本垒为O点．
设从击出球到接着球的时间为t，球速为v，则∠AOB＝15°，
OB＝vt，AB≤·t.
在△AOB中，由正弦定理，得＝，
sin∠OAB＝≥·＝－，
而(－)2＝8－4＞8－4×1.74＞1，
即sin∠OAB＞1，
∴这样的∠OAB不存在．因此游击手不能接着球．
(1)求出发后3小时两船相距多少海里？
(2)求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？
课件26张PPT。第八节 解三角形应用举例
1．有关概念
(1)仰角与俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平视线上方时叫 ，目标视线在水平视线下方时叫 ．
如图所示．
仰角俯角(2)方位角：从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角叫方位角．
(3)坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角．
(4)坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比叫做坡比．
2．解斜三角形在实际中的应用
解斜三角形在实际中的应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识．解题的一般步骤是：
(1)分析题意，准确理解题意．分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、视角、方位角等．
(2)根据题意画出示意图．
(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答．
(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍．1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是( )
A．α＞β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
【解析】 根据仰角与偏角的含义，画图即可得知．
【答案】 B2．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
【解析】 灯塔A、B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB=80°，
∠CAB=∠CBA=50°，
则α=60°-50°=10°.
【答案】 B3．如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是( )
A．α，a，b B．α，β，a
C．a，b，γ D．α，β，b
【解析】 选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.
选项D同B类似，故选A.
【答案】 A4．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h、15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是________n mile.
【解析】 如图，由题意可得OA=50，
OB=30.
而AB2=OA2+OB2-2OA·OB cos120°
=502+302-2×50×30×(-)
=2 500+900+1 500=4 900，∴AB=70.
【答案】 705．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的距离最小．
【解析】 如图所示
：设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD=80t，BE=50t.
因为AB=200，所以BD=200-80t，
问题就是求DE最小时t的值．
由余弦定理：DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos 60°
=(200-80t)2+2500t2-(200-80t)·50t
=12900t2-42000t+40000.
当t=时DE最小．
【答案】 某炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6 km，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面点B处时，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°，如图，求炮兵阵地到目标的距离．
【思路点拨】 在△ACD中用正弦定理求AD→在△BCD中用正弦定理求BD→在△ABD中用余弦定理求AB【解析】 在△ACD中 ，∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=60°，CD=6，∠ACD=45°，根据正弦定理有AD==CD.同理，在△BCD中，∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135°，CD=6，∠BCD=30°，
根据正弦定理得BD==CD.
又在△ABD中，∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°，
根据勾股定理有AB==CD
=CD=(km)．
所以炮兵阵地到目标的距离为 km.某人在山顶观察地面上相距2 500 m的两个目标A、B，测得目标A在南偏西57°，俯角为30°，同时测得目标B在南偏东78°，俯角是45°，求山高(设A、B与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1 m)．
【解析】 画出示意图(如图所示)：(1)依据题意画图是解决三角形应用题的关键．本例中，既有方向角(它是在水平面上所成的角)，又有仰角(它是铅垂面上所成的角)，因而本例的图形是一个立体图形，因此在画图时，可画立体图形和平面图形两个图，以对比分析求解．
(2)由本例可知，方向角是相对于在某地而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清是哪一点的方向角．从这个意义上来说，方向角是一个动态角，在理解题意时，应把它看活，否则在理解题意时将可能产生偏差．1．某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．
【解析】 设护航舰用t h在D处追上海盗船，则有CD=10t ，BD=10t，
在△ABC中，
∵AB=-1，AC=2，
∠BAC=120°，
∴由余弦定理，得首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．
如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时 ，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？
【解析】 如图所示，本节内容与实际生活紧密相连，是高考命题的热点，应高度重视．
主要考查正、余弦定理及分析问题、解决问题的能力．三种题型均有可能出现，属中、低档题目．
(2009年辽宁卷)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01 km， ≈1.414， ≈2.449)．【解析】 在△ACD中，∠DAC=30°，∠ADC=60°-∠DAC=30°，所以CD=AC=0.1.
又∠BCD=180°-60°-60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA.课时作业
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．如果α∈，且sin α＝，那么sin＋cos＝( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 ∵sin α＝，<α<π，
∴cos α＝－，
∴sin＋cos＝sin
＝cos α＝－.
【答案】 D
2．已知f(x)＝ ，当θ∈时，
f(sin 2θ)－f(－sin 2θ)可化简为( )
A．2sin θ B．－2cos θ
C．－2sin θ D．2cos θ
【解析】 f(sin 2θ)－f(－sin 2θ)＝ － ＝|sin θ－cos θ|－|sin θ＋cos θ|.
∵θ∈，∴－1＜sin θ＜－＜cos θ＜0.
∴cos θ－sin θ＞0，cos θ＋sin θ＜0.
∴原式＝cos θ－sin θ＋cos θ＋sin θ＝2cos θ.
【答案】 D
3．若△ABC中，sin B·sin C＝cos2 ，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【解析】 由sin B·sin C＝cos2 ，可得
2sin B·sin C＝2cos2 ＝1＋cos A，
即2sin B·sin C＝1－cos (B＋C)＝1－cos Bcos C＋sin Bsin C，
∴sin B·sin C＋cos Bcos C＝1，
即cos(B－C)＝1.
又－π∴B－C＝0，即B＝C.
【答案】 C
4．若tan α＋＝，α∈，则sin的值为( )
A．－ B.
C. D.
【解析】 由tan α＋＝?(tan α－3)(3tan α－1)＝0得tan α＝3或tan α＝，由α∈得tan α＞1，
故tan α＝舍去，而sin＝×＝×在将分式分子与分母同除以cos2 α得sin＝×＝－.
【答案】 A
5．定义运算＝ad－bc若cos α＝，＝，0＜β＜α＜，则β等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 依题设得：
sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝.
∵0＜β＜α＜，∴cos(α－β)＝，
又∵cos α＝，∴sin α＝.
sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝，
∴β＝，故选D.
【答案】 D
6．(2009年苏北四市联考)已知α，β∈，＝，且2sin β＝sin(α＋β)，则β的值为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由＝，得tan α＝.
∵α∈，∴α＝.
所以2sin β＝sin＝cos β＋sin β.
∴tan β＝，β＝.故选A.
【答案】 A
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
【解析】 ∵＝＝3，∴tan α＝2.
又tan(α－β)＝2，
∴tan(β－2α)＝tan
＝－tan
＝－＝.
【答案】
8．若锐角α、β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，则α＋β＝________.
【解析】 由(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，
可得＝，即tan(α＋β)＝.
又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
【答案】
9.＝________.
【解析】 原式＝
＝
＝
＝＝＝－4.
【答案】 －4
三、解答题(共46分)
10．(15分)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋cos 2x.
(1)求f的值；
(2)设α∈(0，π)，f＝，求sin α的值．
【解析】 (1)∵f(x)＝sin 2x＋cos 2x，
∴f＝sin＋cos＝1.
(2)∵f＝sin α＋cos α＝.
∴sin＝，cos＝±.
sin α＝sin
＝×－×＝.
∵α∈(0，π)，∴sin α＞0.故sin α＝.
11．(15分)已知α、β都是锐角，且＝cos(α＋β)．
(1)求证：tan β＝；
(2)当tan β取最大值时，求tan(α＋β)的值．
【证明】 ∵tan β＝＝
＝＝sin αcos α－sin2αtan β，
∴(1＋sin2 α)tan β＝sin αcos α，tan β＝＝＝＝.
(2)解：∵tan α＞0，tan β＞0
∴tan β＝≤，
当且仅当＝2tan α，即tan α＝时，
tan βmax＝＝.
∴tan(α＋β)＝＝×＝.
12．(16分)已知f(x)＝sin2 ωx＋sin 2ωx－(x∈R，ω＞0)．若f(x)的最小正周期为2π.
(1)求f(x)的表达式和f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
【解析】 (1)由已知f(x)＝sin2 ωx＋sin 2ωx－(x∈R，ω＞0)
＝(1－cos 2ωx)＋sin 2ωx－＝sin 2ωx－cos 2ωx
＝sin
又由f(x)的周期为2π，2π＝?2ω＝1?ω＝
?f(x)＝sin
2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)
?2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)
即f(x)单调递增区间为(k∈Z)
(2)x∈?－≤x≤?－－
≤x－≤－?－≤x－≤
?sin≤sin≤sin
?－≤sin≤1
f(x)在区间的最大值和最小值分别为1和－.
课件32张PPT。第六节 简单的三角恒等变换
2．三角函数式的化简
化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于某种要求的应用．
(1)化简的基本原则．①能求值的尽量求出值；②使三角函数的种类尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．
(2)化简中“次数”与“角”的关系．“次降角升”、“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．常用公式有：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2；1－sin 2α＝(sin α－cos α)2；1＋cos 2α＝2cos2α；1－cos 2α＝2sin2α.(3)化简中常用技巧：①“1”的代换，1＝sin2α＋cos2α；1＝2cos2α－cos 2α；1＝cos 2α＋2sin2α，1＝tan 等等．
②用“弦化切”，“切化弦”的手法来减少函数的种类．
3．三角函数式的证明
恒等式的证明，包括有条件的恒等式和无条件的恒等式两类．无条件时，常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因)，证明的形式有化繁为简，左右归一，变更论证等．有条件时，常先观察条件及欲证式中左、右两边三角函数式的区别与联系，灵活使用条件，变形得证，无论何种情形，基本原则是从消去等式两端的差异去思考，或“从左证到右”，或“从右证到左”，或“从两边到中间”地具体操作. 【答案】 A【答案】 A【答案】 1【答案】 a＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，
所以sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α＝sin β(?)
将(?)式两边同除以sin α得：证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．本题三角等式左侧较为复杂，可以从等式左侧入手证明，一步一步推证到等式的右侧，中间也可以采用变更论证等技巧．1．求证以下条件恒等式：
(1)已知：2sin β＝sin α＋cos α，sin2γ＝2sin α·cos α，
求证：2cos 2β＝cos2γ；
(2)已知：5sin α＝3sin(α－2β)，
求证：tan(α－β)＋4tan β＝0.
【证明】 (1)由已知4sin2β＝1＋2sin αcos α＝1＋sin2γ，
∴1－sin2γ＝2－4sin2β＝2(1－2sin2β)．
由此得cos2γ＝2cos 2β，∴所证等式成立．(2)把5sin α＝3sin(α－2β)化成
5sin[(α－β)＋ β]＝3sin[(α－β)－β]，
得5sin(α－β)cos β＋5cos(α－β)sin β
＝3sin(α－β)cos β－3cos(α－β)sin β.
移项合并得
2sin(α－β)cos β＋8cos(α－β)sin β＝0.
依题意α≠kπ＋ 且α－β≠kπ＋ ，k∈Z.
上式两边都除以2cos βcos(α－β)，
即得tan(α－β)＋4tan β＝0.已知函数f(x)＝cos4 x－2sin xcosx－sin4 x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)若x∈ ，求f(x)的最大值及最小值．本节内容是灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变换，进而考查三角函数的图象和性质是高考的热点内容，多以解答题的形式呈现，属中、低档题．
1．(2009年安徽卷)已知函数f(x)＝ sin ωx＋cos ωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是( )【答案】 C课时作业
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
【解析】 将(0,1)点代入f(x)得2sin φ＝1即sin φ＝，
又∵|φ|<.
∴φ＝而T＝＝6.
【答案】 A
2．(2009年山东卷)将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝cos 2x B．y＝2cos2x
C．y＝1＋sin D．y＝2sin2x
【解析】 将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到函数y＝sin2，即y＝sin＝cos 2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y＝1＋cos 2x＝2cos2x，故选B.
【答案】 B
3．函数y＝sin在区间上的简图是( )
【答案】 A
4.
如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s=6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A．2π s B．π s
C．0.5 s D．1 s
【解析】 T＝＝1，∴选D.
【答案】 D
5．函数f(x)＝3sin的图象为C，下列结论中正确的是( )
A．图象C关于直线x＝对称
B．图象C关于点对称
C．函数f(x)在区间内是增函数
D．由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C
【解析】 选项A错误，由于f＝0≠±3，故A错．
选项B，由于正弦类函数图象的对称点是图象的平衡点，
因为f＝3sin＝－，
所以不在函数图象上．
此函数图象不关于这点对称，故B错误．
选项C正确，令u＝2x－，当－＜x＜时，－＜u＜，由于y＝3sinu在上是增函数，所以选项C正确．
选项D错误，由于y＝3sin 2x的图象向右平移得y＝3sin2，即y＝3sin的图象而不是图象C.综上，选C.
【答案】 C
6．曲线y＝Msin 2ωx＋N(M＞0，ω＞0)在区间上截直线y＝4与y＝－2所得的弦长相等且不为0，则下列描述中正确的是( )
A．N＝1，M＞3 B．N＝1，M≤3
C．N＝2，M＞ D．N＝2，M≤
【解析】 4与－2的平均数为N＝1，最大值大于4、最小值小于－2，可得M＞3，故选A.
【答案】 A
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象中相邻的两支截直线y＝所得线段长为，则f＝________.
【解析】 ∵T＝＝，∴ω＝4.∴f(x)＝tan 4x，
f＝0.
【答案】 0
8．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.
【解析】 由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可知：＝－＝，∴T＝π.
∵T＝＝π，∴ω＝3.
【答案】 3
9．一半径为10的水轮，水轮的圆心到水面的距离为7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上点P到水面距离y与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋7(A＞0，ω＞0)，则A＝________，ω＝________.
【解析】 由已知P点离水面的距离的最大值为17，
∴A＝10，
又水轮每分钟旋转4圈，
∴T＝＝15，∴ω＝.
【答案】 10
三、解答题(共46分)
10．(15分)已知函数y＝ sin＋cos(x∈R)．
(1)用“五点法”画出它的图象；
(2)求它的振幅，周期及初相；
(3)说明该函数的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到？
【解析】 (1)y＝2sin，
令X＝＋，列表如下：
X
0
π
2π
x
－
y
0
2
0
－2
0
描点连图
11．(15分)(2009年重庆卷)设函数f(x)＝(sin ωx＋cos ωx)2＋2cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为.
(1)求ω的值；
(2)若函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得到，求y＝g(x)的单调增区间．
【解析】 (1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋2sin ωxcos ωx＋1＋cos 2ωx
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋2
＝sin＋2
依题意得＝，故ω＝.
(2)依题意得
g(x)＝sin＋2
＝sin＋2.
由2kπ－≤3x－≤2kπ＋(k∈Z)解得
kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故g(x)的单调增区间为(k∈Z)
12．(16分)据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；该商品每件的售价为g(x)(x为月份)，且满足g(x)＝f(x－2)＋2.
(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f(x)、售价函数g(x)的解析式；
(2)问哪几个月能盈利？
【解析】 (1)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，由题意可得A＝2，B＝6，ω＝，φ＝－，
所以f(x)＝2sin＋6(1≤x≤12，x为正整数)，
g(x)＝2sin＋8(1≤x≤12，x为正整数)．
(2)由g(x)>f(x)，得sinx<.
2kπ＋π<x<2kπ＋π，k∈Z，
∴8k＋3∵1≤x≤12，k∈Z，∴k＝0时，3∴x＝4,5,6,7,8；
k＝1时，11∴x＝4,5,6,7,8,12.
答：其中4,5,6,7,8,12月份能盈利．
课件35张PPT。第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
1．简谐运动的有关概念2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如表所示.在上表的三行中，找五个点时，首先确定哪一行的数据？3．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象变换
三角函数的图象变换包括平移和伸缩两类变换，具体有以下三种变换：
(1)相位变换：y＝sin x的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位得到y＝sin(x＋φ)的图象．(2)周期变换：y＝sin x的图象上所有点的横坐标 (0＜ω＜1)或 (ω＞1)到原来的 倍(纵坐标不变)，得到y＝sin ωx的图象．
(3)振幅变换：y＝sin x图象上所有点的纵坐标 (A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍(横坐标不变)，得到y＝Asin x的图象．
要由y＝sin ωx的图象经过变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象，需将y＝sin ωx的图象向左或向右平移 个单位长度．伸长缩短伸长1．函数y＝1＋cos x的图像( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线x＝ 对称
【解析】 y＝cos x的图像关于y轴对称，而y＝1＋cos x是由y＝cos x向上平移1个单位而得，其对称性不改变．
【答案】 B【答案】 D【答案】 B5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.【思路点拨】 (1)“五点法”作图，关键是找出与x相对应的五个点；(2)一定要看清由谁变到谁，注意横向变换时仅对x变化．依据三角函数的一段图象求函数的解析式，关键是在图象上找到几个确定的点的坐标，由最高点或最低点确定出A的值，再由图象确定出最小正周期，从而求出ω，最后根据特殊点的坐标确定出φ，或根据图象平移的规律，确定φ值．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.
(1)求h与θ间的函数关系式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？【解析】 (1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
面对实际问题时，能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能．这个过程并不神秘，比如本例题，在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程，在高考中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有：求出三角函数的解析式；画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题．2．某昆虫种群数量在1月1日时低至700只，而在当年7月1日时高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线呈规律性变化．
(1)求出种群数量关于时间t的函数解析式(t以月为单位)；
(2)画出种群数量关于时间t的函数图象．(2)其图象为：
本节内容为用“五点作图法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，三角函数图象的变换和对称性．
函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期性、奇偶性、单调性、值域与最值是高考考查的重点．
三种题型都可能出现，以容易题、中档题为主，【答案】 A课时作业
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