课件21张PPT。第三节 模拟方法——概率的应用长度面积体积几何概型几何概型具备以下两个特征：
①无限性，即每次试验的结果(基本事件)有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；
②等可能性，即每次试验的各种结果(基本事件)发生的概率都相等． 【答案】 A【答案】 D2．在区间[1,3]上任取一数，则这个数大于等于1.5的概率为( )
A．0.25 B．0.5
C．0.6 D．0.753．已知地铁列车每10 min一班(上一班车开走10分钟后下一班车到)，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )
A.1/10 B1/9.
C1/11. D1/8.
【解析】 试验的所有结果构成的区域长度为11 min，而构成事件A的区域长度为1 min，故P(A)＝1/11.
【答案】 C4．如图，有一杯1 L的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1 L水，则小杯水中含有这个细菌的概率为________．【解析】 根据几何概型知P=0.1/1=0.1.
【答案】 0.15.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在60° 角的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在 ∠xOT内的概率为________． 在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接的等边三角形边长的概率是________．【思路点拨】 解决概率问题先判断属于什么概率模型，本题属几何概型，把问题转化成：直径上到圆心O的距离小于的点构成的线段长与直径长之比．【解析】 记事件A=“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型的概率公式得P(A)=((1/2)*2)/2=1/2.故填1/2.
【答案】 1/2 已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.
(1)若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；
(2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求方程没有实根的概率．解题时，首先要判断所研究的问题是什么类型的概率问题，“几何概型”的难点在于怎样把随机事件的总体和随机事件A都转化为与之对应的区域的测度．1．设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是从0,1,2,3，四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
【解析】 设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”，
当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.
(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．【解析】甲比乙早到4小时内乙需等待， 甲比乙晚到2小时内甲需等待．
以x和y分别表示甲、乙两船到达泊 位的时间，则有一艘船停靠泊位时需等 待一段时间的充要条件为-2≤x-y≤4， 在如图所示的平面直角坐标系内， (x，y)的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A“有一艘船停靠泊位时需等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示．由几何概型公式得： 甲、乙两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．这类实际问题要转化为与面积有关的几何概型问题，利用几何概型的概率公式进行求解，此类问题还可以用随机模拟实验的方法来解决，(x，y)可以看作平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤24,0≤y≤24}，一艘船停靠泊位时必须等待一段时间所对应的区域为{(x，y)|0≤x≤24,0≤y≤24，且－2≤x－y≤4}．2．两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．【解析】 不失一般性，设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定的时间范围内相见．当且仅当|x－y|≤2/3.
两人在约定时间内到达约见地点的所有可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示．两人在约定时间内相见的所有可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)的点来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率，【解析】如图，要使图中点到O的 距离大于1，则该点需取在图中阴影部分， 故概率为【答案】 B课时作业
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(1)任何两个基本事件是_______的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成____________的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)试验中所有可能出现的基本事件______．
(2)每个基本事件出现的可能性______．互斥基本事件有限相等 如何确定一个试验是否为古典概型？
【提示】 在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性．古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．求古典概型的概率要明确两点：①选取适当的集合Ⅰ，使它满足等可能的要求，找出n的值；②把事件A表示为Ⅰ的某个子集，找出m的值．1．下列问题中是古典概型的是( )
A．种下一粒种子，求其发芽的概率
B．掷一枚质地不均匀的骰子，求正面向上出现1点的概率
C．在区间[1,4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率
D．同时掷两个骰子，求向上的点数之和是5的概率
【答案】 D【答案】 C【答案】 B5．一个口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，从中摸出1黑球、1白球事件的概率是________．
【解析】 黑球号码记为a、b、c，摸出2个球，基本事件的总数是6.其中1个黑球，1个白球所含事件的个数是3.
所求事件的概率是P＝3/6＝1/2.
【答案】 1/2
做抛掷两颗骰子的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数，写出
(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于8”；(3)事件“出现点数相等”；(4)事件“出现点数之和大于10”．
【思路点拨】 抛掷两颗骰子的试验，每次只有一种结果；且每种结果出现的可能性是相同的，所以该试验是古典概型，当试验结果较少时可用列举法将所有结果一一列出．【解析】 (1)这个试验的基本事件为
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
(3)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．
(4)“出现点数之和大于10”包含以下3个基本事件：(5,6)， (6,5)，(6,6)． 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．
(1)共有多少个基本事件？
(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？【解析】 (1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下基本事件(摸到1,2号球用(1,2)表示)：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)， (2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．
对于古典概型，一定要验证所构造的基本事件是否满足古典概型的第二个条件(每个结果的出现是等可能的)，否则计算出的概率将是错误的．将所有基本事件全部列出是避免重复和遗漏的有效方法．因此，共有10个基本事件．(2)如右图，上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球(记为事件A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P(A)=3/10.
故共有10个基本事件，摸出2只球都是白球的概率为3/10.1．抛掷两颗骰子，求
(1)点数之和出现7点的概率；
(2)出现两个4点的概率．【解析】 从图中容易看出基本事件空间与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤6,1≤y≤6}中的元素一一对应．因为S中点总数是6×6＝36 (个)，所以基本事件总数n＝36.(1)记“点数之和出现7点”的事件为A，从图中可看到事件A包含的基本事件数共6个：(6,1)、(5,2)、(4,3)、(3,4)、(2,5)、(1,6)，所以P(A)=6/36=1/6.
(2)记“出现两个4点”的事件为B，从图中可看到事件B包含的基本事件数只有1个：(4,4)．
所以P(B)=1/36. 某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员从中随机抽出2听，求下列事件的概率：
(1)A：经检测两听都是合格品；
(2)B：经检测两听一听合格，一听不合格；
(3)C：检测出不合格产品． 【解析】设合格的4听分别记作1,2,3,4，不合格的两听分别记作a，b.
方法一：如果看作是一次性抽取2听，没有顺序，那么所有基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1，a)，(1，b)
(2,3)，(2,4)，(2，a)，(2，b)
(3,4)，(3，a)，(3，b)
(4，a)，(4，b)
(a，b) 共15个．产品的抽样检测问题与取球问题都属于同一类型问题，解决此类问题要分清题意，分清是“有放回”还是“无放回”，是“有序”还是“无序”，基本事件是什么，所求的事件包含几种情况，各包含多少个基本事件．若“有序”“无序”都能解决时，用“无序”比较简单．2．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4的四个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出一个小球，每个小球被取出的可能性相等．
(1)求取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率；
(2)求取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率；
(3)求取出的两个小球上的标号之和大于5的概率．
【解析】 由题意可知，从甲、乙两个盒子中各取1个小球的基本事件总数16.
(1)记“取出的两个小球的标号为相邻整数” 为事件A，则事件A的基本事件有：(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)共6个．
∴P(A)＝6/16＝3/8(2)记“取出的两个小球上的标号之和能被3整除”为事件B，则事件B包 含：(1,2)，(2,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)共5个基本事件．
∴P(B)＝5/16
(3)记“取出的两个小球上的标号之和为6”为事件C，则事件C包含：(2,4)，(4,2)，(3,3)共3个基本事件．
∴P(C)＝3/16
记“取出的两个小球上的标号之和为7”为事件D，则事件D包含：(3,4)，(4,3)共2个基本事件．
∴P(D)＝2/16＝1/8
记“取出的两个小球上的标号之和为8”为事件E，则事件E包含(4,4)共1个基本事件．
∴P(E)＝1/16
∴取出的两个小球上的标号之和大于5的概率为：
P(C)＋P(D)＋P(E)＝3/8.古典概型的考查主要是等可能事件的概率的求法，通常要结合互斥事件、对立事件求概率．题型各种形式都有出现，难度较小．
1．(2009年江苏卷)现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________．
【解析】 从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿共有C52＝10种抽取方法，而抽取的两根竹竿长度恰好相差0.3 m的概率为2，P＝2/10＝0.2.
【答案】 0.22．(2009年福建卷)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．
(1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；
(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．
【解析】 (1)一共有8种不同的结果，列举如下，(红，红，红)、(红，红，黑)、(红，黑，红)，(红，黑，黑), (黑，红，红)、(黑，红，黑)、(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)．
(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A.
事件A包含的基本事件为：(红，红，黑)、(红，黑，红)、(黑，红，红)，事件A包含的基本事件数为3.
由(1)可知，基本事件总数为8，所以事件A的概率为P(A)＝3/8.课时作业
点击进入链接课件24张PPT。1．事件与概率
(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．
(2)了解两个互斥事件的概率加法公式．
2．古典概型
(1)理解古典概型及其概率计算公式．
(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
3．随机数与几何概型
(1)了解随机数的意义，能运用模似方法估计概率．
(2)了解几何概型的意义
4．随机变量及其分布
(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．
(2)理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．
(3)了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．
(4)理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．
(5)利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．第一节 随机事件的概率1．频率和概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝___为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的_______fn(A)稳定在某个______上，把这个______记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．频率常数常数频率与概率有本质区别，不可混为一谈，频率随试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当做随机事件的概率．2．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围为：____________；
(2)必然事件的概率为1；
(3)不可能事件的概率为0；
(4)互斥事件概率的加法公式：
如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝__________
特别地，若事件B与事件A互为对立事件，则_____________0≤P(A)≤1P(A)＋P(B)P(A)＝1－P(B)根据对立事件的关系，可运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”等类型的题目，用这样的方法就显得较为简捷．1．甲、乙二人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为( )
A．60% B．30%
C．10% D．50%
【解析】 甲不输即为甲获胜或甲、乙二人下成和棋，90%＝40%＋p，∴p＝50%，故选D
【答案】 D2．一人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
【解析】 射击两次“至少一次中靶”与“两次都不中靶”不可能同时发生．
【答案】 C【答案】 C4．(1)某人投蓝3次，其中投中4次是________事件；
(2)抛掷一枚硬币，其落地时正面朝上是________事件；
(3)三角形的内角和为180°是________事件．
【解析】 (1)共投蓝3次，不可能投中4次；
(2)硬币落地时正面和反面朝上都有可能；
(3)三角形的内角和等于180°.
【答案】 (1)不可能 (2)随机 (3)必然
5．若A，B互斥，P(A)＝0.4，P(A＋B)＝0.7，则P(B)＝________.
【解析】 ∵A，B为互斥事件，
∵P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，
∴P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.
【答案】 0.3 在10件产品中有8件正品、2件次品，从中任取3件：
(1)“三件都是次品”是什么事件？
(2)“三件都是正品”是什么事件？
(3)“至少有一件是正品”是什么事件？
(4)“恰有1件次品”和“恰有2件次品”是互斥事件吗？
(5)“恰有2件次品”和“至多有1件次品”是对立事件吗？
【思路点拨】 根据随机事件、必然事件、不可能事件、互斥事件、对立事件的概念来判断．
【解析】 (1)∵10件产品中只有2件是次品，取出3件次品是不可能发生的，故是不可能事件；(2)取出的3件都是正品，在题设条件下是可能发生也可能不发生的，∴是随机事件；
(3)∵10件产品中只有2件次品，
∴取出3件产品时至少有1件是正品是必然发生的．
∴是必然事件；
(4)“恰有1件次品”和“恰有2件次品”都是随机事件，且不可能同时发生，
∴是互斥事件；
(5)“恰有2件次品”即“2件次品1件正品”，
“至多有1件次品”即“3件正品”或“1件次品2件正品”，
它们不可能同时发生且并起来是必然事件，
∴是对立事件． 一个盒子中有10个完全相同的球，分别标以号码1,2，…，10，从中任取一球，求下列事件的概率．
(1)A＝{球的标号数不大于3}；
(2)B＝{球的标号数是3的倍数}；
(3)C＝{球的标号数为质数}．运用互斥事件的概率加法公式解题时：①先要分清事件间是否是互斥事件；②要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，应注意考虑周全，不重不漏；③当正面思考问题比较复杂时，可从事件的对立面出发．1．将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b.设复数z＝a＋bi.
(1)求事件“z－3i为实数”的概率；
(2)求事件“复数z在复平面内的对应点(a，b)满足(a－2)2＋b2≤9”的概率．
【解析】 (1)z－3i为实数，即a＋bi－3i＝a＋(b－3)i为实数，∴b＝3，
依题意a可取1,2,3,4,5,6 一盒中装有12个球，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．用互斥事件和对立事件的概率公式解题，关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，然后结合互斥事件与对立事件的定义分析出是否是互斥事件与对立事件，再决定用哪一个公式．本题可用多种方法求解，利用互斥事件求概率体现了分类讨论的思想，利用对立事件求概率体现了“正难则反”的策略．本题很好地考查了学生的思维能力和分析问题、解决问题的能力．2．国家射击队的队员为在2009年世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次，命中7～10环的概率如下表所示：
求该射击队员射击一次
(1)射中9环或10环的概率；
(2)至少命中8环的概率；
(3)命中不足8环的概率．【解析】 记事件“射击一次，命中k环”为Ak(k∈N，k≤10)，则事件Ak彼此互斥．
(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得
P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.32＋0.28＝0.60.
(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生．
由互斥事件概率的加法公式得
P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.
(3)由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件， 即 表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得P( )＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.本节主要考查随机事件的概率，考查时多与互斥事件和对立事件结合进行命题，题型各种形式都有出现，但难度较低．
1．(2009年福建卷)已知某运动员每次投蓝命中的概率低于40%.现采用随机摸似的方法估计该运动员三次投蓝恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投蓝的结果．经随机模似产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投蓝恰有两次命中的概率为( )
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15【解析】 由题意知在20组随机数中表示三次投蓝恰有两次命中的有：191、271、932、812、393.共5组随机数，故所求概率为5/20＝1/4＝0.25.
【答案】 B2．(2009年安徽卷)从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是( )
【解析】 从长度为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条共有4种不同的取法，其中可以构成三角形的有(2,3,4)、(2,4,5)、(3,4,5)三种，故所求概率为P＝3/4.
【答案】 3/4课时作业
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥事件但不是对立事件 D．以上答案都不对
【解析】 由互斥事件和对立事件的概念可判断．
【答案】 C
2．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件A＝{点落在x轴上}与事件B＝{点落在y轴上}的概率关系为( )
A．P(A)>P(B) B．P(A)
C．P(A)＝P(B) D．P(A)、P(B)大小不确定
【解析】 横坐标与纵坐标为0的可能性是一样的．
【答案】 C
3．从1,2，…，9中任取两数，其中：
①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．
在上述事件中，是对立事件的是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
【解析】 从1,2，…，9中任取2个数字包括一奇一偶、二奇、二偶共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立的．
【答案】 C
4．福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物，每组福娃都由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成．甲、乙两位好友分别从同一组福姓中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的福娃中，“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 本题分甲选中吉祥物和乙选中吉祥物两种情况．
先甲选后乙选的方法有5×4＝20，
甲选中乙没有选中的方法有2×3＝6，概率为＝，
乙选中甲没有选中的方法有2×3＝6，概率为＝，
∴恰有一个被选中的概率为＋＝
【答案】 C
5．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则log2xY＝1的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由log2XY＝1得Y＝2X，满足条件的X、Y有3对即(1,2)(2,4)(3,6)，而骰子朝上的点数X、Y共有6×6＝36对，
∴概率为＝.
【答案】 C
6．一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 从袋中有放回地取2次，所取号码共有8×8＝64种，其中和不小于15的有3种，分别是(7,8)，(8,7)，(8,8)，故所求概率为P＝，选D.
【答案】 D
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，两人下成和棋的概率为0.5，那么甲不输的概率是________．
【解析】 “甲获胜”记为事件A，“两人下成和棋”记为事件B，则易知A与B互斥，所以甲不输的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.3＋0.5＝0.8.
【答案】 0.8
8．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)＝，P(B)＝，则出现奇数点或2点的概率之和为________．
【解析】 “出现奇数点”的概率是事件A，“出现2点”的概率是事件B，A、B互斥，“出现奇数点或2点”的概率之和为
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
【答案】
9．设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则上述方程有实根的概率为________．
【解析】 设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”，
当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.
基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P(A)＝＝.
【答案】
三、解答题(共46分)
10．(15分)某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4.
(1)求他乘火`车或乘飞机去开会的概率；
(2)求他不乘轮船去开会的概率；
(3)如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去开会的？
【解析】 (1)记“他乘火车去开会”为事件A1“他乘轮船去开会”为事件A2，“他乘汽车去开会”为事件A3，“他乘飞机去开会”为事件A4，这四个事件不可能同时发生，故它们是彼此互斥的．故P(A1＋A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7.
(2)设他不乘轮船去开会的概率为P，则P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8
(3)由于0.3＋0.2＝0.5,0.1＋0.4＝0.5,1－(0.3＋0.2)＝0.5，1－(0.1＋0.4)＝0.5，故他有可能乘火车或轮船去开会，也有可能乘汽车或飞机去开会．
11．(15分)同时掷两颗质地均匀的骰子，两颗骰子向上的点数之和记为ξ.
(1)求ξ＝5的概率；
(2)求ξ<5的概率．
【解析】 (1)掷两颗质地均匀的骰子，两颗骰子向上的点数之和的所有结果如下表所示：
1点
2点
3点
4点
5点
6点
1点
2
3
4
5
6
7
2点
3
4
5
6
7
8
3点
4
5
6
7
8
9
4点
5
6
7
8
9
10
5点
6
7
8
9
10
11
6点
7
8
9
10
11
12
∵点数和为5出现4次，
∴P＝＝.
答：ξ＝5的概率是.
(2)∵点数和为2出现1次，点数和为3出现2次，点数和为4出现3次，
∴P＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝＋＋＝.
答ξ＜5的概率是.
12．(16分)已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－bx＋1，设集合P＝{1,2,3}，Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b.
(1)求函数y＝f(x)有零点的概率；
(2)求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．
【解析】 (a，b)共有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4),15种情况
(1)Δ＝b2－4a≥0.
有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)6种情况，
所以函数y＝f(x)有零点的概率为＝.
(2)对称轴x＝，则≤1
有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共13种情况．
函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为.
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1.
如图，一只转盘，均匀的标有1～8个数，转动转盘，则转盘停止转动时，指针指向偶数的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 根据偶数与奇数所占面积相等，由几何概型公式易得指针指向偶数的概率是.
【答案】 D
2．在区间(10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a，则这个实数a＜13的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵a∈(10,13)，∴P(a＜13)＝＝.
【答案】 C
3．在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2＋y2＝1内的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】
如图点P在可行域内落入圆内的概率等于半圆的面积与三角形ABC的面积之比，即为=.
【答案】 D
4.
如图，矩形长为6，宽为4.在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为70颗，以此实验数据为依据，可以估计出椭圆的面积大约为( )
A．6 B．12
C．18 D．20
【解析】 由几何概型知＝，又S矩形＝24.
∴S椭圆＝×24＝18.4≈18.
【答案】 C
5．在平面直角坐标系xOy中，设M是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于4的点构成的区域，N是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向M中随机投一点，则落入N中的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 根据题意可得点M(x，y)满足|x|≤4且|y|≤4，其构成的区域是以原点为中心边长为8的正方形，面积为S1＝64，N点所表示的平面区域是以原点为圆心，以1为半径的圆及其内部，面积为S2＝π，故向M中投一点，落入N中的概率为P＝＝.
【答案】 A
6．(2009年山东卷)在区间[－1,1]上随机取一个数x，cos的值介于0到之间的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 在区间[－1,1]上随机取一个数x，即x∈[－1,1]时，其长度为2.又x∈[－1,1]时，－≤≤.此时满足cos∈的x的取值范围为x∈[0,1]，即＜＜，
∴＜x＜1.故x∈[0,1]满足0＜cos＜的长度为1－＝.由对称性，当x∈[－1,0]时，满足0＜cos＜的区间长度也为.故所求概率为p＝＝.
【答案】 A
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是________、________、________.
(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．
【解析】 在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型．
(1)P＝＝＝；
(2)P＝＝＝；
(3)P＝＝＝＝.
【答案】 、、.
8．两根相距9 m的电线杆扯一根电线，并在电线上挂一盏灯，则灯与两端距离大于3 m的概率为________．
【解析】 灯挂在电线上的每一个位置都是一个基本事件，即整个区域的几何度量为μΩ＝9 m，记“灯与两端距离都大于3 m”为事件A，则把电线三等分，当灯挂在中间一段上时，事件A发生，即μA＝3 m.
∴P(A)＝＝＝.
【答案】
9．已知函数f(x)＝2ax2－bx＋1，若a是从区间[0,2]上任取的一个数，b是从区间[0,2]上任取的一个数，则此函数在[1，＋∞)递增的概率为________．
【解析】
令t=ax2-bx+1，函数f(x)在[1，+∞)上递增，根据复合函数单调性的判断方法，则t=ax2-bx+1须在[1，+∞)上递增，∴-≤1，即2a≥b.
由题意得，画出图示得阴影部分面积．
∴概率为P＝＝.
【答案】
三、解答题(共46分)
10．(15分)已知棱长为2的正方体的内切球O.若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为多少？
【解析】 球的直径就是正方体的棱长2.
∴球O的体积V球＝π，
正方体的体积为V＝23＝8.
由于在正方体内任取一点时，点的位置是等可能的，在正方体内每个位置上，由几何概型公式，这点不在球O内(事件A)的概率为
P(A)＝＝＝1－.
∴所求概率为1－.
11．(15分)已知关于x的一次函数y＝mx＋x.
(1)设集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y＝mx＋n是增函数的概率；
(2)实数m，n满足条件求函数y＝mx＋n的图象经过一、二、三象限的概率．
【解析】 (1)抽取的全部结果所构成的基本事件空间为：
Ω＝{(－2，－2)，(－2,3)(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)}共10个基本事件
设使函数为增函数的事件空间为A：
则A＝{(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)}共6个基本条件
所以，P(A)＝＝.
(2)m、n满足条件的区域如图所示：
使函数图象过一、二、三象限的(m、n)为区域为第一限象的阴影部分
∴所求事件的概率为P==.
12．(16分)已知集合A＝{x|－1≤x≤0}，集合B＝{x|ax＋b·2x－1＜0，0≤a≤2，1≤b≤3}．
(1)若a，b∈N，求A∩B≠?的概率；
(2)若a，b∈R，求A∩B＝?的概率．
【解析】 (1)因为a，b∈N，(a，b)可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共9组．
令函数f(x)＝ax＋b·2x－1，x∈[－1,0]，
则f′(x)＝a＋bln2·2x.
因为a∈[0,2]，b∈[1,3]，所以f′(x)＞0，
即f(x)在[－1,0]上是单调递增函数．
f(x)在[－1,0]上的最小值为－a＋－1.
要使A∩B≠?，只需－a＋－1＜0，即2a－b＋2＞0.
所以(a，b)只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共7组．
所以A∩B≠?的概率为.
(2)
因为a∈[0,2]，b∈[1,3]，所以(a，b)对应的区域为边长为2的正方形(如图)面积为4.
由(1)可知，要使A∩B=?，
只需f(x)min=-a+-1≥0?2a-b+2≤0，所以满足A∩B=?的(a，b)对应的区域是图中的阴影部分，
所以S阴影=×1×=，
所以A∩B=?的概率为P==
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 甲站在中间的情况有两种，而基本事件为6种，所以P＝.
【答案】 C
2．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y＝5下方的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 连续掷两次骰子的点数m、n共有36个基本事件，点P(m，n)在直线x＋y＝5下方，
即x＋y＜5，共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,2)，(2,1)，(3,1)．
所以所求的概率为P＝＝.
【答案】 C
3．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为10，其中抽到合格铁钉(记为事件A)包含8个基本事件，所以，所求概率为P(A)＝＝.
【答案】 C
4．有4条线段，长度分别为1、3、5、7，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 从四条线段中任取三条，基本事件有(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)，共4个，能构成三角形的只有(3,5,7)这一个基本事件，故由概率公式，得P(A)＝.
【答案】 A
5．从标有1号到100号的100张卡片中任意抽取1张，取出的卡片号是7的倍数的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 根据等差数列的性质1≤7＋7(m－1)≤100，得所求事件的基本事件数为m＝14，故取出的卡片号是7的倍数的概率为P＝＝.
【答案】 C
6．若连续投掷两枚骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标(m、n)，则点P落在圆x2＋y2＝16内的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 总共有36种情况，当x＝1时，符合题意的y有3种情况；
当x＝2时，符合题意的y有3种情况；当x＝3时，符合题意的y有2种情况．
所以P＝＝.
【答案】 D
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为________．
【解析】 基本事件为甲乙、甲丙、乙丙，甲被选中有甲乙、甲丙，故P＝.
【答案】
8．将一枚骰子拋掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为________．
【解析】 一枚骰子掷两次，其基本事件总数为36，方程有实根的充要条件为b2≥4c，
b
1
2
3
4
5
6
满足使b2≥4c的
基本事件个数
0
1
2
4
5
6
由此可见，使方程有实根的基本事件个数为1＋2＋4＋6＋6＝19，于是方程有实根的概率为P＝.
【答案】
9．集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，则所取两数m＞n的概率是________．
【解析】 基本事件总数为5×5＝25个．m＝2时，n＝1；m＝4时，n＝1,3；m＝6时，n＝1,3,5；m＝8时，n＝1,3,5,7；m＝10时，n＝1,3,5,7,9；共15个．故P＝＝0.6.
【答案】 0.6
三、解答题(共46分)
10．(15分)甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所以情况；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．
【解析】 (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4’表示，其他用相应的数字表示)为(2,3)，(2,4)，(2,4’)，(3,2)，(3,4)，(3,4’)，(4,2)，(4,3)，(4,4’)，(4’，2)，(4’，3)，(4’，4)，共12种不同情况．
(2)甲抽到红桃3，乙抽到牌的牌面数字只能是2,4,4’，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为.
(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4’，2)，(4’，3)，共5种，故甲胜的概率P1＝，同样乙胜的概率P2＝.因为P1＝P2，所以此游戏公平．
11．(15分)某校要从艺术节活动中所产生的4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中选出2名志愿者，参加2009年在济南市举行的“第11届全国运动会”志愿服务工作．
(1)求选出的两名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学的概率；
(2)求选出的两名志愿者中一名是获得书法比赛一等奖，另一名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率．
【解析】 把4名获书法比赛一等奖的同学编号为1,2,3,4,2名获绘画比赛一等奖的同学编号为5,6.从6名同学中任选两名的所有可能结果如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个．
(1)从6名同学中任选两名，都是书法比赛一等奖的所有可能是：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个．
∴选出的两名志愿者都是书法比赛一等奖的概率p1＝＝.
(2)从6名同学中任选两名，一名是书法比赛一等奖，另一名是绘画比赛一等奖的所有可能是：(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8个．
∴选出的两名志愿者一名是书法比赛一等奖，另一名是绘画比赛一等奖的概率是p2＝.
12．(16分)(2009山东卷)汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
(1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4、8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
【解析】 (1)设该厂这个月共生产轿车n辆．
由题意得＝，所以n＝2 000.
则z＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，
由题意＝，得a＝2.
因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，
则基本事件空间包含的基本事件有：
(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个．事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个．
故P(E)＝，即所求概率为.
(3)样本平均数＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.
设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包括的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，所以P(D)＝＝，即所求概率为
.
阶段质量检测(四)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某学校有高一学生720人，现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样的方法，抽取180人进行英语水平测试，已知抽取的高一学生数是抽取的高二学生数、高三学生数的等差中项，且高二年级抽取40人，则该校高三学生人数是( )
A．480 B．640 C．800 D．960
【解析】 设抽取的高三学生人数为x，
则高一的学生人数为，∴＋40＋x＝180，
解得x＝80(人)，
抽取高一学生人数为60(人)，
全校总人数为720×180÷60＝2 160(人)，
高三的学生人数为2 160×80÷180＝960(人)．
【答案】 D
2．在一底面半径和高都是2 m的圆柱形容器中盛满小麦种子，但有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出2 m3的种子，则取出带麦锈病的种子的概率是( )
A. B. C. D．1－
【解析】 可用体积作为几何度量，易知取出带有麦锈病的种子的概率为P＝＝.
【答案】 C
3．袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个(每个小球被摸到是等可能的)，则至少摸出1个黑球的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】 把球编号，则试验会出现(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)，共有6种等可能的结果．所以是古典概型．事件“至少摸出1个黑球”，所含的基本事件是(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)，(黑1，黑2)共有5种．根据古典概型概率公式得事件“至少摸出1个黑球”的概率是.
【答案】 B
4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】 当k＝0，S＝0时，执行S＝S＋2S后S变为S＝1.此时执行k＝k＋1后k＝1.当k＝1，S＝1时，执行S＝S＋2S后，S＝1＋21＝3，此时执行k＝k＋1后k＝2.当k＝2，S＝3时，执行S＝S＋2S后，S＝3＋23＝11，此时执行k＝k＋1后，k＝3.当k＝3，S＝11时，继续执行S＝S＋2S＝11＋211，执行k＝k＋1后k＝4，此时11＋211>100，故输出k＝4.
【答案】 A
5．程序：
S＝1
i＝1
WHILE i＜＝10
S＝3?S
i＝i＋1
WEND
PRINT“＝”；S
END
以上程序用来( )
A．计算3×10的值 B．计算39的值
C．计算310的值 D．计算1×2×3×…×10的值
【解析】 由循环语句的运行过程可知．
【答案】 C
6．如图，四边形ABCD是一个边长为1的正方形，△MPN是正方形的一个内接正三角形，且MN∥AB，若向正方形内部随机投入一个质点，则质点恰好落在△MPN的概率为( )
A． B. C. D.
【解析】 易知质点落在三角形MNP内的概率P＝＝＝.
【答案】 D
7.
某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )
A．90 B．75 C．60 D．45
【解析】 产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n，则＝0.300，所以n＝120.净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90，故选A.
【答案】 A
8．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“?”，其中S＝a?b的运算原理如图所示，则集合{y|y＝(1?x)·x－(2?x)，x∈[－2,2]}(注：“·”和“－”仍为通常的乘法和减法)的最大元素是( )
A．－1 B．1 C．6 D．12
【答案】 C
9.
某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(单位：kg)数据进行整理后分成五组，并绘制频率分布直方图(如图所示)．根据一般标准，高三男生的体重超过65 kg属于偏胖，低于55 kg属于偏瘦，已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.25,0.20,0.10,0.05，第二小组的频率数为400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为( )
A．1 000,0.50 B．800,0.50
C．1 000,0.60 D．800,0.60
【解析】 由已知可得第二组的频率为1－(0.25＋0.2＋0.1＋0.05)＝0.4，由于其相应的频数为400，故总体容量为＝1 000，体重正常的频率即为第二小组和第三小组频率之和，
即：0.4＋0.2＝0.6.
【答案】 C
10．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )
A．甲地：总体均值为3，中位数为4
B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3
D．丁地：总体均值为2，总体方差为3
【解析】 由于甲地总体均值为3，中位数为4，即中间两个数(第5、6天)人数的平均数为4，因此后面的人数可以大于7，故甲地不符合．乙地中总体均值为1，因此这10天的感染人数总和为10，又由于方差大于0，故这10天中不可能每天都是1，可以有一天大于7，故乙地不符合．丙地中中位数为2，众数为3,3出现的最多，并且可以出现8，故丙地不符合．故丁地符合．
【答案】 D
11．如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．84,4.84 B．84,1.6
C．85,4 D．85,1.6
【解析】 根据茎叶图可得这7个数据分别为：79,84,84,86,84,87,93，则去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为＝×(84×3＋86＋87)＝85，方差为s2＝[(84－85)2×3＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.
【答案】 D
12．图1是某市参加2008年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10(如A2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数)．
图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180 cm(含160 cm，不含180 cm)的学生人数，那么在流程图中的“？”所代表的数与判断框内应填写的条件分别是( )
A．4，i<9 B．4，i<8 C．3，i<9 D．3，i<8
【解析】 据题意当s＝0时，i＝4且判断框中为i<8时，第一次得s＝A4，第二次得s＝A4＋A5，…，一直到i≥8时终止，解答此类题目可先试着让程序运行几次找到规律，再推广到一般．
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．阅读如图所示的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S的值是________．
【解析】 由所给的程序框图可知是求
S=100+99+98+…+2=5 049.
【答案】 5 049
14．若a∈{1,2}，b∈{－2，－1,0,1,2}，方程x2＋ax＋b＝0的两根均为实数的概率为________
【解析】 若方程有两实根需a2－4b≥0?a2≥4b，则满足条件的(a，b)的基本事件有：(1，－2)，(1，－1)，(1,0)，(2，－2)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)，共有7种情况，而整个基本事件空间共有2×5＝10种情况，故方程有实根的概率为.
【答案】
15.
已知米粒等可能地落入如图所示的四边形ABCD内，如果通过大量的实验发现米粒落入△BCD内的频率稳定在附近，那么点A和点C到直线BD的距离之比约为 .
【解析】 由题意知米粒落入三角形BCD内的概率等于其面积与四边形ABCD面积之比，即三角形BCD的面积与三角形ABD面积之比为4∶5，故点A到直线BD的距离与点C到直线BD的距离之比即为两三角形面积之比即为5∶4.
16．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：
则可判断约有________的把握认为“主修统计专业与性别之间有关系”．
【解析】 因为?2＝≈4.84>3.841，
所以有95%的把握认为主修统计专业和性别有关．
【答案】 95%
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＝an－2＋an－1(n≥3，n∈N＋)，画出计算第n项的程序框图．
【解析】 程序框图如下：
18．(11分)某高级中学高三1班有男生33人，女生22人，用分层抽样的方法找出5人组成一个课外活动小组．求：
(1)某同学被选到的概率是多少，该活动小组有几个男生几个女生；
(2)从中选出正副组长各一人，则正组长为男生的概率是多少；
(3)组长中至少有一个女生的概率是多少．
【解析】 (1)概率为：＝，5人中有男生3人，女生2人
(2)设3男生用1、2、3表示，两女生用a、b表示，从5人中取2人担任正副组长的基本事件空间为：
Ω＝{(1,2)，(2,1)，(1,3)，(3,1)，(1，a)，(a,1)，(1，b)，(b,1)，(2,3)，(3,2)，(2，a)，(a,2)，(2，b)，(b,2)，(3，a)，(a,3)，(3，b)，(b,3)，(a，b)，(b，a)}，有20个基本事件
设从5人中取2人，正组长为男生的基本事件为A，A＝{(1,2)，(2,1)，(1,3)，(3,1)，(1，a)，(1，b)，(2,3)，(3,2)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)}共有12个基本事件
所以P(A)＝＝
(3)设从5人中取2人，组长至少有一个女生的基本事件为B，B＝{(1，a)，(a,1)，(1，b)，(b,1)，(2，a)，(a,2)，(2，b)，(b,2)，(3，a)，(a,3)，(3，b)，(b,3)，(a，b)，(b，a)}共有14个基本事件所以P(B)＝＝
19．(12分)将一颗骰子先后抛掷两次，得到的点数分别记为a，b.
(1)求点P(a；b)落在区域内的概率；
(2)求直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1不相切的概率．
【解析】 (1)先后两次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记a，b，则事件总数为6×6＝36.
∵表示的平面区域如图所示：
当a＝1时，b＝1,2,3,4
a＝2时，b＝1,2,3
a＝3时，b＝1,2a＝4时，b＝1
共有(1,1)(1,2)…(4,1)10种情况．
∴P＝＝.
(2)∵直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的充要条件是＝1，即a2＋b2＝25，
∴a、b∈{1,2,3,4,5,6}
满足条件的情况只有：a＝3，b＝4或a＝4，b＝3两种情况，
∴直线与圆相切的概率P＝＝.
∴直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1不相切的概率P＝1－＝.
20．(本小题满分13分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
(2)计算甲班的样本方差；
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率
【解析】 (1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160～179之间，而乙班身高集中于170～180之间．因此乙班平均身高高于甲班；
(2)＝＝170.
甲班的样本方差s2＝[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.
(3)设身高为176 cm的同学被抽中的事件为A，从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173 cm的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，
∴P(A)＝＝
21．(12分)为了了解某地区高二年级男生的身高情况，从该地区的一所高级中学里抽取一个容量为60的样本(60名男生的身高，单位：cm)，分组情况如下：
(1)求出表中a和m的值；
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图．
【解析】 (1)因为＝0.1，所以m＝6，
所以a＝＝＝0.45.
(2)频率分布表如下：
频率分布直方图和折线图如图：
22．(12分)某班有学生56名，其中男生32名，女生24名，现决定从该班学生中抽取7名学生的研究性学习综合评价等级得分(成绩分为1～5分的五个档次)作为样本．
(1)如果按性别比例分层抽样，则男、女生分别抽取多少人？
(2)若这7位同学的研究性学习综合评价等级得分如下表：
等级得分
1
2
3
4
5
人数
0
1
1
2
3
(1)求样本的平均数及方差；
(2)用简单随机抽样方法从这7名学生中抽取2名，他们的得分分别为x，y，求|y－x|＝2的概率．
【解析】 (1)男生人数：女生人数＝32∶24＝4∶3
则抽取男生人数为：7×＝4人
则抽取女生人数为：7×＝3人
(2)(1)样本的平均数＝＝4
样本的方差＝[(2－4)2＋(3－4)2＋2×(4－4)2＋3×(5－4)2]＝
(2)由于样本中有2个4分，3个5分，不妨将2个4分编号为41,42，将3个5分编号为51,52,53，则基本事件有(2,3)，(2,41)，(2,42)，(2,51)(2,52)，(2,53)，(3,41)，(3,42)，(3,51)，(3,52)，(3,53)，(41,42)，(41,51)，(41,52)，(41,53)，(42,51)，(42,52)，(42,53)，(51,52)，(51,53)，(52,53)共21个，满足条件|y－x|＝2的基本事件有(2,41)，(2,42)，(3,51)，(3,52)，(3,53)共5个故满足条件的概率为：.
(若基本事件写为42个，满足条件|y－x|＝2的基本事件写为10个，则解答也正确)
