课件1张PPT。第九章 数 列(必修5)
第一节 数列的概念与简单表示法
第二节 等差数列及其前n项和
第三节 等比数列及其前n项和
第四节 数列求和
第五节 数列的综合应用
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．数列－1,7，－13,19，…的通项公式an为( )
A．2n－1 B．－6n＋5
C．(－1)n6n－5 D．(－1)n(6n－5)
【解析】 方法一：先看各项的绝对值组成的数列为1,7,13,19…是首项为1、公差为6的等差数列，即有|an|＝|6n－5|，再看符号：奇数项为负，偶数项为正即为(－1)n，
故有an＝(－1)n(6n－5)．
方法二：特殊值代入验证．
【答案】 D
2．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N＋)，则的值是( )
A. B.
C. D.
【解析】 由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，
∴a3·a2＝a2＋(－1)3，∴a3＝，
∴a4＝＋(－1)4，∴a4＝3，
∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝，
∴＝×＝.
【答案】 C
3．已知数列{an}的通项公式是an＝，其中a、b均为正常数，那么an与an＋1的大小关系是( )
A．an＞an＋1 B．an＜an＋1
C．an＝an＋1 D．与n的取值有关
【解析】 ＝÷＝
＝＜1，
∵an＋1＞0，∴an＜an＋1.
【答案】 B
4．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝abn－1，则b5等于( )
A．63 B．33
C．17 D．15
【解析】 由题知：an＝2n－1，且b1＝2，故b2＝ab1＝a2
＝2×2－1＝3；b3＝ab2＝a3＝2×3－1＝5；b4＝ab3＝a5＝2×5－1＝9；b5＝ab4＝a9＝2×9－1＝17, 故选C.
【答案】 C
5．若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＝(n≥3且n∈N＋)，则a47＝( )
A．1 B．2
C. D．2－987
【解析】 由已知递推公式可得a1＝1，a2＝2，a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，…，故{an}是以6为周期的数列，故a47＝a6×7＋5＝a5＝.
【答案】 C
6．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋2，若对于n∈N＋，都有an＋1＞an成立，则实数k的取值范围是( )
A．k＞0 B．k＞－1
C．k＞－2 D．k＞－3
【解析】 an＋1＞an，即(n＋1)2＋k(n＋1)＋2＞n2＋kn＋2，
则k＞－(2n＋1)对于n∈N*都成立，而－(2n＋1)当n＝1时取到最大值－3，所以k＞－3.
【答案】 D
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．3,5,9,17,33…，an＝________.
【解析】 (1)∵a1＝3＝21＋1，a2＝5＝22＋1，
a3＝9＝23＋1，…，
∴an＝2n＋1.
【答案】 2n＋1
8．(2008年四川卷)设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝________.
【解析】 由an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，
∴a2－a1＝2，
a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，
∴累加得an－a1＝2＋3＋…＋n，
an＝a1＋－1，∴an＝＋1.
【答案】 ＋1
9．数列，，，，…中，有序数对(a，b)可以是________．
【解析】 从上面的规律可以看出，
解上式得.
【答案】
三、解答题(共46分)
10．(15分)根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1)，，，，，…
(2)，2，，8，，…
【解析】 (1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式an＝.
(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察：，，，，，…，
可得通项公式an＝.
11．(15分)数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，Sn＝5an＋1.求数列{an}的通项公式．
【解析】 ∵Sn＝5an＋1，
∴an＋1＝Sn.
∴an＋1－an＝Sn－Sn－1＝(Sn－Sn－1)＝an(n≥2)．
∴an＋1＝an(n≥2)．
又∵a1＝1，
∴S1＝1，
∴a2＝S1＝×1＝.
∴an＝×××…××a2
＝××…××＝×n－2(n≥2)．
∴数列的通项公式为an＝
12．(16分)已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N＋，a∈R，且a≠0)．
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立，求a的取值范围．
【解析】 (1)∵an＝1＋(n∈N＋，a∈R，且a≠0)，
∵a＝－7，∴an＝1＋(n∈N＋)．
结合函数f(x)＝1＋的单调性．
可知：1＞a1＞a2＞a3＞a4；
a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N＋)．
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
(2)an＝1＋＝1＋.
∵对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立，
并结合函数f(x)＝1＋的单调性，
∴5＜＜6，∴－10＜a＜－8.
课件34张PPT。 1.数列的概念和简单表示法
(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．
(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数．
2．等差数列、等比数列
(1)理解等差数列、等比数列的概念．
(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式．
(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．
(4)了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．
第一节 数列的概念与简单表示法
1．数列的概念
按照一定 排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 ，数列中的每一项都和它的 有关．排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)．往后各项依次叫做这个数列的第2项，…，第n项，….
数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中 是数列的第n项，我们把上面的数列简记为 ．顺序项序号{an}an数列是一个特殊的函数，定义域是自然数集或者其子集，数列可以看作是定义域为正整数集N＋(或其有限子集{1,2,3,4，…，n})的函数f(n)，当自变量n从小到大依次取值时所对应的一列函数值．3.数列的表示法
从函数的观点看，数列的表示法有如下三种：
(1)解析法：解析法可分为 和__________两种．
(2)列表法：数列可以看作是用 给出的函数关系(定义域为正整数集N＋或它的有限子集{1,2，…，n}，自变量省略，只列出函数值)．
(3)图象法：数列可以用____________________来表示．通项公式法递推公式法列表法图形(一群孤立的点)通项公式和递推公式的共同点是都可以求出数列的任何一项，不同点是由通项公式可以直接写出任何一项，而由递推公式需要写出所求项的前面各项．
4．数列的通项公式
如果数列{an}的__________________________可以用一个公式
_______来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．通项公式可以看成数列的函数 ．第n项与它的序号n之间的关系an＝f(n)解析式数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？1．下列说法正确的是( )
A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列【答案】 C【解析】 易知a2＝2，a3＝10.
【答案】 C【答案】 D4．已知数列{an}的前n项积为Tn＝5n2，n∈N＋，则a2009＝______.【答案】 540175．已知数列{an}对于任意p，q∈N＋，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝1/9，则a36＝________.
【解析】 由ap＋aq＝ap＋q得an＝na1，所以a36＝36a1＝4.
【答案】 4写出下列各数列的一个通项公式：【思路点拨】 由所给数列前几项的特点，归纳出其通项公式，注意项与项数的关系，项与前后项之间的关系，通项公式的形式并不唯一．
【解析】 (1)各项是从4开始的偶数，
所以an＝2n＋2.
(2)每一项分子比分母少1，而分母可写为21,22,23,24,25，…，故所求数列的一个通项公式可写为an＝.根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．(1)已知数列的递推公式求通项，可把每相邻两项的关系列出来，抓住它们的特点进行适当处理，有时借助拆分或取倒数等方法构造等差数列或等比数列，转化为等差数列或等比数列的通项问题；
(2)对于形如an＋1＝an＋f(n)的递推公式求通项公式，只要f(n)可求和，便可利用累加的方法；
(3)对于形如 ＝g(n)的递推公式求通项公式，只要g(n)可求积，便可利用累乘的方法或迭代的方法；
(4)对于形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)型递推关系求通项公式时，可用迭代法或构造等比数列法．1．由下列数列{an}的关系，求数列{an}的通项公式：
(1)a1＝1，an－an－1＝n(n≥2)；
(2)Sn＝2n2－3n＋k.已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋24n(n∈N＋)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，Sn达到最大？最大值是多少？
【解析】 (1)n＝1时，a1＝S1＝23.
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋24n＋(n－1)2－24(n－1)
＝－2n＋25.
经验证，a1＝23符合an＝－2n＋25，
∴an＝－2n＋25(n∈N＋)．(1)由Sn求an的步骤：先求a1和n≥2时an的值，再判定a1与an的从属关系．
(2)求数列前n项和Sn的最大值，一般是由求和式利用函数思想求解，其次是判定数列项的正负分界．2．已知数列的通项公式为an＝.
(1)0.98是不是它的项？
(2)判断此数列的增减性．本节内容在近几年高考试题中出现的频率并不高，但是高考题中的一些概念创新题，大都以本节内容作为背景．数列的前n项和Sn和an的关系考查是命题的重点和热点；题型多以选择、填空形式出现，难度为中档题．【答案】 B2．(2008年江苏卷)将全体正整数排成一个三角形数阵：
根据以上排列规律，数列中第n(n≥3)行的从左向右的第3个数为________．课时作业
点击进入链接数学：北师大版必修五 13等比数列（教案） [编号：1302179]
课件32张PPT。第三节 等比数列及其前n项和
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从_____起，每一项与它的_____的比等于_______常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母q(q≠0)表示．第2项前一项同一个公比等比数列与等差数列的定义从字面上看差不多，就是“比”与“差”的区别，但等比数列隐含着数列的各项不能为零，项与公比的正负号有着密切关系等等．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝___________.a1qn－1b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？
【提示】 b2＝ac是a，b，c成等比的必要不充分条件，
∵当b＝0，a，c至少有一个为零时，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比，反之，若a，b，c成等比，则必有b2＝ac.(1)公式的推导分q＝1和q≠1两种情况分别求解．当q＝1时，数列为常数列，易有Sn＝na1；当q≠1时，采用“错位相减法”进行推导，这种方法具有一定的通性，要注意理解和掌握．
(2)在利用等比数列前n项和公式时，如果等比数列的公比q不确定，需分q＝1和q≠1两种情况进行讨论．等比数列有关性质
①在等比数列中，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq(m，n，p，q∈N＋)．
特别地，当m＋n＝2p时，有am·an＝ap2.
②间隔相同的项，如a1，a3，a5，…仍为等比数列，且公比为q2.
③等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn.【答案】 C2．(2008年全国卷Ⅰ)已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝( )
A．64 B．81
C．128 D．243【答案】 A3．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为2的等比数列，则a6＝( )
A．64 B．160
C．79.5 D．31.5
【解析】 1＋2an＝(1＋2a1)·2n－1，∴a6＝79.5.故选C.
【答案】 C【答案】 155．若等比数列的公比为2，且前4项和为1，则这个等比数列的前8项和为________．
【解析】 由题意可知，S8－S4＝a8＋a7＋a6＋a5＝q4(a1＋a2＋a3＋a4)＝24，所以前8项和等于17.
【答案】 17在公差为d(d≠0)的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，a2＝b1＝3，a5＝b2，a14＝b3，
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)令cn＝ban，求数列{cn}的前n项和Tn.
【思路点拨】 由等差、比数列通项公式解得d和q，再利用求和公式．已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N＋有an＋Sn＝n.
(1)设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列；
(2)设c1＝a1且cn＝an－an－1(n≥2)，求{cn}的通项公式．证明数列{an}是等比数列一般有两种方法：
①定义法：an＋1＝qan(n∈N＋，q是常数)；
②等比中项法：an＋12＝an·an＋2(n∈N＋)．
根据已知条件来确定用哪一种方法．1．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝1/3 (an－1)(n∈N＋)．
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．(1)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，求b5＋b9的值．
(2)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，
求a41a42a43a44.
【解析】 (1)∵a3a11＝a72＝4a7，
∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，
∵{bn}为等差数列，∴b5＋b9＝2b7＝8.方法二：由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p，
设T1＝a1·a2·a3·a4＝1，
T4＝a13·a14·a15·a16＝8，
∴T4＝T1·p3＝1·p3＝8?p＝2.
∴T11＝a41·a42·a43·a44＝T1·p10＝210＝1024.
在等比数列的基本运算问题中，一般是建立a1，q满足的方程组，求解方程组，但如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度，要注意挖掘已知，注意“隐含”条件．2．(1)在等比数列{an}中，a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，求a5＋a6的值；
(2)在等比数列{an}中，已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．
【解析】 (1)由等比数列的性质知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列，则(a3＋a4)2＝(a1＋a2)(a5＋a6)．
∴a5＋a6＝4.
(2)∵a3a5＝a42，∴a3a4a5＝a43＝8，∴a4＝2，
又∵a2a6＝a3a5＝a42，∴a2a3a4a5a6＝a45＝32.本节主要以考查通项公式、前n项和公式为主，同时考查等比数列的判定，题型各种形式都有，难度为中档题．
1．(2009年重庆卷)等比数列{an}的公比q＞0.已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________.课时作业
点击进入链接
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．已知{an}是等差数列，a1＋a2＝4，a7＋a8＝28，则该数列前10项和S10等于( )
A．64 B．100
C．110 D．120
【解析】 设等差数列公差为d，据题意可得
?，故S10＝10×1＋×2＝100.
【答案】 B
2．(2009年安徽卷)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( )
A．－1 B．1
C．3 D．7
【解析】 由已知得a1＋a3＋a5＝3a3＝105，
a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a3＝35，a4＝33，∴d＝－2.
∴a20＝a3＋17d＝35＋(－2)×17＝1.
【答案】 B
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝15，S9＝18，在等比数列{bn}中，b3＝a3，b5＝a5，则b7的值为( )
A．3 B．2
C. D.
【解析】 由题意得：S5＝＝5a3＝15?a3＝3，
又S9＝＝9a5＝18?a5＝2，
故由题意得：b3＝5，b5＝2，故b3b7＝b52?b7＝.
【答案】 D
4．数列{an}中，an＋1＝an＋2(n∈N＋)，则点A1(1，a1)，A2(2，a2)，…，An(n，an)分布在( )
A．直线上，且直线的斜率为－2
B．抛物线上，且抛物线的开口向下
C．直线上，且直线的斜率为2
D．抛物线上，且抛物线的开口向上
【解析】 ∵＝an－an－1＝2(n≥2)，
∴A1，A2，A3，…，An在斜率为2的直线上．
【答案】 C
5．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】 依题可得a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15，①
a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30.②
②－①得5d＝15，d＝3.
【答案】 B
6．在等差数列{an}中，其前n项和是Sn，若S15＞0，S16＜0，则在，，…中最大的是( )
A. B.
C. D.
【解析】 由于S15＝＝15a8＞0，
S16＝＝8(a8＋a9)＜0，
所以可得a8＞0，a9＜0.
这样＞0，＞0，…，＞0，＜0，＜0，…，
＜0，而S1＜S2＜…＜S8，a1＞a2＞…＞a8，
所以在，，…，中最大的是.
【答案】 B
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．数列{an}，{bn}都是等差数列，对任意n∈N＋，都有＝，则等于( )
【解析】 ＝＝＝＝.
【答案】
8．(2008年重庆卷)设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.
【解析】 由S9＝－9，得＝a5＝－1，又a12＝－8，
所以a5＋a12＝a1＋a16＝－9，
故S16＝＝－72.
【答案】 －72
9．(2008年湖北卷)已知函数f(x)＝2x，等差数列{an}的公差为2.若f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，则log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]＝________.
【解析】 由f(x)＝2x得f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝2a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝4＝22，∴a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝2，
∴a6＝，a5＝a6－2＝－.
∴f(a1)·f(a2)·…·f(a10)＝2a1＋a2＋…＋a10＝2＝25(a5＋a6)＝25＝2－6.
【答案】 －6
三、解答题(共46分)
10．(15分)(2009年全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn.
【解析】 设{an}的公差为d，则
即
解得或
因此Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)，或Sn＝8n－n(n－1)
＝－n(n－9)．
11．(15分)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，
且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求通项an；
(2)若bn＝，数列{bn}是等差数列，求非零常数c.
【解析】 (1){an}为等差数列
∴a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3·a4＝117，
解得a3＝9，a4＝13(∵d＞0，a3＝13，a4＝9舍去)．
∴.
∴，∴an＝4n－3.
(2)由(1)知Sn＝·n＝2n2－n，
∴bn＝＝.
∴b1＝，b2＝，b3＝.
∵{bn}是等差数列，2b2＝b1＋b3,2·＝＋，
解得c＝－(c＝0舍去)．
12．(16分)设同时满足条件①≤bn＋1(n∈N＋)；②bn≤M(n∈N＋，M是与n无关的常数)的无究数列{bn}叫“特界”数列．
(1)若数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a3＝4，
S3＝18，求Sn；
(2)判断(1)中的数列{Sn}是否为“特界”数列，并说明理由．
【解析】 (1)设等差数列{an}的公差为d，则
a1＋2d＝4,3a1＋3d＝18
解得a1＝8，d＝－2
∴Sn＝na1＋d＝－n2＋9n
(2)∵－Sn＋1＝
＝＝＝－1＜0
∴＜Sn＋1，∴数列{Sn}适合条件①
又Sn＝－n2＋9n＝－2＋(n∈N＋)
∴当n＝4或5时，Sn取最大值20
即Sn≤20，∴{Sn}适合条件②
综上，数列{Sn}是“特界”数列．
课件32张PPT。第二节 等差数列及其前n项和
1．等差数列的相关问题
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于_________，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ．
(2)等差中项
在一个等差数列中，从第2项起每一项(有穷数列最后一项除外)都是它前一项与后一项的等差中项，即2an＝_______________(n∈N＋且n≥2)．同一个常数公差an－1＋an＋1三数成等差数列时，一般设为a－d，a，a＋d；四数成等差数列呢？
【提示】 设为a－d，a，a＋d，a＋2d或a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
(3)等差数列的单调性
当d＞0时，{an}是 数列．
当d＝0时，{an}是 ．
当d＜0时，{an}是 数列．
2．等差数列的通项公式及其前n项和Sn
(1)等差数列的前n项和Sn是用__________求得的．注意这种思想方法在数列求和中的应用．递增常数列递减倒序相加法等差数列的常用性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．
①通项公式的推广：
an＝am＋(n－m)d (n、m∈N＋)．
②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，
特别：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
③am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.
④数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
⑤S2n－1＝(2n－1)an.1．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于( )
A．1 B.5/3
C．2 D．3【答案】 C2．{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝( )
A．－2 B．－1/2
C.1/2 D．2
【解析】 根据题意得a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－1，
∴a1＝1.又∵a3＝a1＋2d＝0，∴d＝－1/2.
【答案】 B【答案】 B4．设等差数列{am}的前n项和为Sm，若a5＝5a3，则＝______.【答案】 95．数列{an}中，a1＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N＋)，则该数列中乘积是负值的相邻两项为________．【答案】 第23项与第24项在等差数列{an}中，
(1)已知a15＝33，a45＝153，求a61；
(2)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；
(3)已知前3项和为12，前3项积为48，且d＞0，求a1.
【思考点拨】 在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a1和d是两个最基本量，利用通项公式与前n项和公式，先求出a1和d.(1)证明等差数列的方法有定义法、通项公式法、等差中项法、前n项和法(前n项和公式的形式是不含常数项的二次函数)，但最规范的方法为定义法．我们在证明等差数列时，一般就用定义法．
(2)用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义．1．已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn(p、q∈R，且p、q为常数)．
(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列；
(2)求证：对任意实数p和q，数列{an＋1－an}是等差数列．
【解析】 (1)an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，要使{an}是等差数列，则2pn＋p＋q应是一个与n无关的常数，所以只有2p＝0，即p＝0.
故当p＝0时，数列{an}是等差数列．(2)证明：∵an＋1－an＝2pn＋p＋q，
∴an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，
而(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p为一个常数．
∴{an＋1－an}是等差数列．在等差数列{an}中，
(1)若a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn最大，并求出它的最大值；
(2)若a1＜0，S9＝S12，则该数列前多少项的和最小？【解析】 (1)由a1＝20，S10＝S15，
解得公差d＝－5/3.
∵S10＝S15，
∴S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.
∵a11＋a15＝a12＋a14＝2a13，∴a13＝0.
∵公差d＜0，a1＞0，
∴a1，a2，…，a11，a12均为正数，而a14及以后各项均为负数．
∴当n＝12或n＝13时，
Sn有最大值为S12＝S13＝130.2．设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.
(1)若a11＝0，S14＝98，求数列{an}的通项公式；
(2)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列{an}的通项公式．
【解析】 (1)由S14＝98得2a1＋13d＝14，
又a11＝a1＋10d＝0，
故解得d＝－2，a1＝20.
因此，{an}的通项公式是an＝22－2n，本节主要以考查通项公式、前n项和公式为主，同时考查等差数列的性质，在计算中设计一些方程思想，题型各种形式都有出现，其难度为中低档题．
1．(2009年安徽卷)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是( )
A．21 B．20
C．19 D．18【答案】 B2．(2009年全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝______.【答案】 24课时作业
点击进入链接
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．一个三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则三内角所成等差数列的公差等于( )
A．0 B.
C. D.
【解析】 因A、B、C成等差数列，a，b，c成等比数列，则B＝，
b2＝ac，∴cos B＝＝，可推出a＝c＝b.
【答案】 A
2．数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝a7，则( )
A．a3＋a9≤b4＋b10
B．a3＋a9≥b4＋b10
C．a3＋a9≠b4＋b10
D．a3＋a9与b4＋b10的大小不确定
【解析】 由数列的性质易得
a3＋a9≥2＝2a6＝2b7＝b4＋b10.
【答案】 B
3．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书，公元年代之和为13958，则出齐这套书的年份是( )
A．1994 B．1996
C．1998 D．2000
【解析】 设出齐这套书的年份是x，
则(x－12)＋(x－10)＋(x－8)＋…＋x＝13 958，
∴7x－＝13 958，
x＝2 000.
【答案】 D
4．2008年春，我国南方部分地区遭受了罕见的特大冻灾．大雪无情人有情，柳州某中学组织学生在学校开展募捐活动，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一天的2倍，且当天人均捐款数比前一天多5元，则截止第5天(包括第5天)捐款总数将达到( )
A．4 800元 B．8 000元
C．9 600元 D．11 200元
【解析】 由题意知，5天共捐款
10×10＋(10×2)×(10＋5)＋(10×4)×(15＋5)＋(10×8)×(20＋5)＋(10×16)×(25＋5)＝8 000(元)．
【答案】 B
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝10，S5＝55，则过点P(n，an)和Q(n＋2，an＋2)(n∈N＋)的直线的一个方向向量的坐标可以是( )
A．(2,4) B.
C．(－，－1) D．(－1，－1)
【解析】 由S2＝10，S5＝55，得2a1＋d＝10,5a1＋10d＝55，解得a1＝3，d＝4，可知直线PQ的一个方向向量是(1,4)，只有与(1,4)平行．故选B.
【答案】 B
6．`某林厂年初有森林木材存量S m3，木材以每年25%的增长率生长，而每年要砍伐固定的木材量x m3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x的值是( )
A. B.
C. D.
【解析】 一次砍伐后木材的存量为S(1＋25%)－x；
二次砍伐后木材存量为[S(1＋25%)－x](1＋25%)－x.
由题意知2S－x－x＝S(1＋50%)，
解得x＝.
【答案】 C
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．已知三个数a、b、c成等比数列，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴公共点的个数为________．
【解析】 ∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，且b≠0.
又Δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2<0，
∴f(x)的图象与x轴没有公共点．
【答案】 0
8．已知函数f(x)＝a·bx的图象过点A(2，)，B(3,1)，若记an＝log2 f(n)(n∈N＋)，Sn是数列{an}的前n项和，则Sn的最小值是________．
【解析】 将A、B两点坐标代入f(x)得
，解得，
∴f(x)＝·2x，
∴f(n)＝·2n＝2n－3，
∴an＝log2 f(n)＝n－3.
令an≤0，即n－3≤0，n≤3.
∴数列前3项小于或等于零，故S3或S2最小．
S3＝a1＋a2＋a3＝－2＋(－1)＋0＝－3.
【答案】 －3
9．(2008年江苏卷)将全体正整数排成一个三角形数阵：
根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3个数是 .
【解析】 前n-1行共有正整数
1+2+…+(n-1)=个，
即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第+3个，即为.
【答案】
三、解答题(共46分)
10．(15分)为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.
(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；
(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35
【解析】 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9，
∴an＝a·0.9n－1.
(2)10年出口总量
S10＝＝10a(1－0.910)．
∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，
即a≤，∴a≤12.3.
故2010年最多出口12.3吨．
11．(15分)已知曲线C：y＝x2(x>0)，过C上的点A1(1,1)作曲线C的切线l1交x轴于点B1，再过点B1作y轴的平行线交曲线C于点A2，再过点A2作曲线C的切线l2交x轴于点B2，再过点B2作y轴的平行线交曲线C于点A3，…，依次作下去，记点An的横坐标为an(n∈N＋)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求证：anSn≤1；
【解析】 (1)∵曲线C在点An(an，an2)处的切线ln的斜率是2an，∴切线ln的方程是y－an2＝2an(x－an)
由于点Bn的横坐标等于点An＋1的横坐标an＋1，
∴令y＝0，得an＋1＝an，
∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，
∴an＝.
(2)∵Sn＝＝2，
∴anSn＝4×
令t＝，则0∴anSn＝4t(1－t)＝－4(t－)2＋1，
当t＝，即n＝1时，－4(t－)2＋1有最大值1，
即anSn≤1.
12．(16分)有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日存入一笔相同金额，这是零存；到一定的时期到期，可以提出全部本金和利息，这是整取．它的本利和公式如下：
本利和＝每期存入的金额
×.
(1)试解释这个本利和公式；
(2)若每月初存入100元，月利率为5.1%，到第12个月底的本利和是多少？
(3)若每月初存入一笔金额，月利率是5.1%，希望到第12个月底取得本利和2 000元，那么每月初应存入多少？
【解析】 (1)设每期存入的金额为A，每期利率为P，存期为n，则各期的利息之和为
nAP＋(n－1)AP＋…＋2AP＋AP＝，
所以本利和为nA＋＝A元．
(2)到第12个月底的本利和为
100＝1 597.8元．
(3)设每月初应存入x元，则有
x＝2 000，
x≈125.2.
所以每月初应存入125.2元．
课件36张PPT。第五节 数列的综合应用
数列应用问题的常见模型
(1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．其一般形式是：an＋1－an＝d(常数)．
(2)等比模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的百分数时，该模型是等比模型，与变化前的量的比．
(3)混合模型：在一个问题中，同时涉及到等差数列和等比数列的模型．(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长模型．如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等．
(5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an－1(或前n项)间的递推关系式，那么我们可以用递推数列的知识求解问题．(1)认真阅读题干，明确所给条件是组成等差数列还是等比数列或者是组成一个递推关系式，确定出相应的数列模型．
(2)如果是等差数列、等比数列，应明确a1，an，n，d，q，Sn这些基本量，已知哪几个，要求哪几个；如果是递推数列，应明确的是Sn还是an或者是二者综合的，然后再确定要求解的量．(3)现实生活中涉及到银行利率、存款利息、企业股金、产品利润、人口增长、产值产量等问题，常常考虑用数列的知识加以解决．
(4)利息＝本金×利率×存期，当涉及到复利问题时，常用等比数列模型解决问题．当涉及到分期付款问题时，由于一般采用复利计算利息的办法，所以也要借助等比数列模型解决．1．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )
A．1 B．2
C．4 D．6【答案】 B2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌每秒末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )
A．6秒钟 B．7秒钟
C．8秒钟 D．9秒钟【答案】 B【答案】 B4．若A、B、C成等差数列，则直线Ax＋By＋C＝0必过点________．
【解析】 ∵2B＝A＋C，∴A－2B＋C＝0，
∴直线Ax＋By＋C必过点(1，－2)．
【答案】 (1，－2)5．在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n＝________.【答案】 9某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算，若不进行改革，入世后因竞争加剧收入将逐月减少．分析测算得入世第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造300万元，且入世后每月再投入1万元进行员工培训，则测算得自入世后第一个月起累计收入Tn与时间n(以月为单位)的关系为Tn＝an＋b，且入世第一个月时收入为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问入世后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．
【思路点拨】 计算出改革前后的纯收入，从而求得系数a，b.假设某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底，
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2008年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)(2)设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400·(1.08)n－1.
由题意可知an＞0.85bn，
即50n＋200＞400·(1.08)n－1·0.85.
当n＝5时，a5＜0.85b5，
当n＝6时，a6＞0.85b6，
∴满足上述不等式的最小正整数n为6.
∴到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.与等比数列联系较大的是“增长率”、“递减率”的概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题．这都与等比数列有关．1．某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：
(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？
(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的1/3？(lg 657＝2.82，lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)某汽车销售公司为促销采取了较为灵活的付款方式，对购买10万元一辆的轿车在一年内将款全部付清的前提下，可以选择以下两种分期付款的方案购车：
方案一：分3次付清，购买后4个月第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付款．
方案二：分12次付清，购买后1个月第1次付款，再过1个月第2次付款，……，购买后12个月第12次付款．
规定分期付款中每期付款额相同；月利率为0.8%，每月利息按复利计算，即指上月利息要计入下月本金．(1)试比较以上两种方案的哪一种方案付款总额较少？
(2)若汽车销售公司将收回的售车款进行再投资，可获月增长2%的收益，为此对一次性付款给予降价p%的优惠，为保证一次性付款经一年后的本金低于方案一和方案二中较少一种的付款总额，且售车款再投资一年后的本金要高于车价款一年后的本金，试确定p的取值范围．
【解析】 (1)对于方案一，设每次付款额为x1万元，那么一年后，第0次付款的本金为1.0088x1万元，第一次付款的本金为1.0084x1万元，第3次付款的本金为x1万元，则：处理分期付款问题：①准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)．
②明确各期所付的数额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可顺利建立等量关系．2．某个体户，一月初向银行贷款1万元作为开店启动资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需要交纳所得税为该月利润的10%，每月的生活费开支为540元，余额作为资金全部投入下个月的经营，如此不断继续．问到这年年底该个体户还贷款前尚余多少资金？假设银行贷款的年利息为5%，该个体户还清银行贷款后还有多少资金？
(参考数据：1.1810≈5.23,1.1811≈6.18,1.1812≈7.29.结果精确到0.1元)【解析】 方法一：第一个月月底的余款
a1＝10 000×(1＋20%)－10 000×20%×10%－540
＝11 260.
设第n个月月底的余款为an元，
第n＋1个月月底的余款为an＋1元，
则有an＋1＝an×(1＋20%)－an×20%×10%－540＝1.18an－540
令(an＋1－t)＝1.18(an－t)，
由t－1.18t＝－540?0.18t＝540.本节内容主要考查数列的实际应用，数列与函数、不等式、解析几何交汇，考查数列的综合应用，题型多以解答题形式出现，难度较大．【答案】 A2．(2009年安徽卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)设cn＝an2·bn，证明：当且仅当n≥3时，cn＋1＜cn.
【解析】 a1＝S1＝4.
对于n≥2，有an＝Sn－Sn－1＝2n(n＋1)－2(n－1)n＝4n.
综上，{an}的通项公式an＝4n.
将n＝1代入Tn＝2－bn，得b1＝2－b1，故T1＝b1＝1.课时作业
点击进入链接
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．数列9,99,999,9 999…的前n项和等于( )
A．10n－1 B.(10n－1)－n
C.(10n－1) D.(10n－1)＋n
【解析】 an＝10n－1，
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n－1)
＝(10＋102＋…＋10n)－n＝－n.
【答案】 B
2．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列(n∈N?)的前n项和是( )
A. B.
C. D.
【解析】 f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2，
∴f(x)＝x(x＋1)，＝＝－，用裂项相消法求和得
Sn＝，故选A.
【答案】 A
3．设an＝－n2＋17n＋18，则数列{an}从首项到第几项的和最大( )
A．17 B．18
C．17或18 D．19
【解析】 令an≥0，得1≤n≤18.
∵a18＝0，a17＞0，a19＜0，
∴到第18项或17项和最大．
【答案】 C
4．已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若{log2an}是公差为－1的等差数列，且S6＝，那么a1的值是( )
A. B.
C. D.
【解析】 由题知：log2an－log2an－1＝－1，
∴log2＝－1，即＝，
∴{an}是以a1为首项，为公比的等比数列，
∴S6＝＝，∴a1＝.
【答案】 A
5．数列an＝，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为( )
A．－10 B．－9
C．10 D．9
【解析】 数列的前n项和为
＋＋…＋
＝1－＝＝，∴n＝9，
∴直线方程为10x＋y＋9＝0.
令x＝0，得y＝－9，∴在y轴上的截距为－9.
【答案】 B
6．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2009＋a2010＞0，a2009·a2010＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是( )
A．4017 B．4018
C．4019 D．4020
【解析】 ∵a1＞0，a2009＋a2010＞0，a2009·a2010＜0，且{an}为等差数列，
∴{an}表示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，且a2009是绝对值最小的正数，a2010是绝对值最小的负数(第一个负数)，且|a2009|＞|a2010|.
∵在等差数列{an}中，a2009＋a2010＝a1＋a4018＞0，
S4018＝＞0，
∴使Sn＞0成立的最大自然数n是4018.
【答案】 B
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．已知f(n)＝若an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋…＋a2 008＝________.
【解析】 当n为奇数时，an＝f(n)＋f(n＋1)＝n－n－1
＝－1.当n为偶数时， an＝－n＋n＋1＝1.
∴a1＋a2＋…＋a2 008＝0.
【答案】 0
8．若数列{an}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N＋)，则＋＋…＋＝________.
【解析】 令n＝1得＝4，即a1＝16，当n≥2时，
＝(n2＋3n)－[(n－1)2＋3(n－1)]＝2n＋2，
所以an＝4(n＋1)2，当n＝1时，也适合，
所以an＝4(n＋1)2(n∈N＋)．于是＝4(n＋1)，
故＋＋…＋＝2n2＋6n.
【答案】 2n2＋6n
9．(20008年四川卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为______．
【解析】 方法一：
∵?a4≤4.
故a4的最大值为4.
方法二：本题也可利用线性规划知识求解．
由题意得：?
a4＝a1＋3d.
画出可行域，求目标函数a4＝a1＋3d的最大值，即当直线a4＝a1＋3d过可行域内(1,1)点时截距最大，此时a4＝4.
【答案】 4
三、解答题(共46分)
10．(15分)已知等差数列{an}中，Sn是它前n项和，设a6＝2，S10＝10.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按取出的顺序组成一个新数列{bn}，试求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】 (1)设数列{an}首项，公差分别为a1，d.则由已知得a1＋5d＝2 ①，10a1＋d＝10 ②
联立①②解得a1＝－8，d＝2，所以an＝2n－10(n∈N＋)
(2)bn＝a2n＝2·2n－10＝2n＋1－10(n∈N＋)，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝－10n＝2n＋2－10n－4
11．(15分)已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N＋，满足关系式2Sn＝3an－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝，前n项和为Tn，求证：对于任意的正整数n，总有Tn＜1.
【解析】 (1)由已知得
故2(Sn－Sn－1)＝2an＝3an－3an－1
即an＝3an－1(n≥2)
故数列{an}为等比数列，且q＝3
又当n＝1时，2a1＝3a1－3，∴a1＝3
∴an＝3n(n≥2)
而a1＝3亦适合上式
∴an＝3n(n∈N＋)
(2)证明：bn＝＝－
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝＋＋…＋
＝1－＜1
12．(16分)过点P(1,0)作曲线C：y＝x2(x∈(0，＋∞))的切线，切点为M1，设M1在x轴上的投影是点P1.又过点P1作曲线C的切线，切点为M2，设M2在x轴上的投影是点P2，….依此下去，得到一系列点M1，M2…，Mn，…，设它们的横坐标a1，a2，…，an，…，构成数列为{an}．
(1)求证：数列{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
【解析】 (1)证明：对y＝x2求导数，得y′＝2x，切点是Mn(an，an2)的切线方程是y－an2＝2an(x－an)．
当n＝1时，切线过点P(1,0)，即0－a12＝2a1(1－a1)，
得a1＝2；
当n＞1时，切线过点Pn－1(an－1,0)，
即0－an2＝2an(an－1－an)，得＝2
所以数列{an}是首项a1＝2，公比为2的等比数列．
所以数列{an}的通项公式为an＝2n，n∈N?
(2)当k＝2时，an＝2n，bn＝，数列{bn}的前n项和
Sn＝＋＋＋…，
同乘以，得Sn＝＋＋＋…＋，
两式相减，得
Sn＝＋＋＋…＋－
＝－
＝1－－，
所以Sn＝2－.
课件32张PPT。第四节 数列求和
数列求和的常用方法
(1)公式法
①直接用等差、等比数列的求和公式求．
②掌握一些常见的数列的前n项和．
1＋2＋3＋…＋n＝1/2n(n＋1)；
1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.(2)倒序相加法
如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如 数列的前n项和即是用此法推导的．
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如____数列的前n项和就是用此法推导的．
(4)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．等差等比注意对以下求和方式的理解：
①倒序相加法用的时候有局限性，只有与首尾两项等距离的两项之和是个常数时才可以用．
②错位相减法是构造了一个新的等比数列之和，再用公式法求和．
③裂项相消法用得较多，一般是把通项公式分解为两个式子的差，再相加抵消，但是在抵消时，有的是依次抵消，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消时要注意规律性．【答案】 B2．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为( )
A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2【答案】 C3．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N＋)，则S100＝( )
A．2 100 B．2 600
C．2 800 D．3 100【答案】 B4．已知数列{an}的通项an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝______.5．已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝4，a2＋a3＋a4＝－2，则a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝________.已知数列{an}的前几项是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{an}的通项并求其前n项和Sn.
【思路点拨】 先求通项→转化为几个易求和数列形式→分别求和→得结论裂项相消求和法是数列求和中的一种重要方法，它通过对通项公式进行整理变形，然后在相加过程中出现前后项正负抵消或约分的情况，从而求得结果．值得注意的是，利用裂项相消求和方法时，抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，才能使裂开的两项差与原通项公式相等．1．(2008年江西卷)等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用这一思路和方法；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)应用等比数列求和公式时，必须注意公比q≠1这一前提条件．如果不能确定公式q是否为1，应分情况讨论．本节主要考查等差、等比数列的求和公式，对非等差、等比数列的求和，主要考查学生的观察能力、分析问题与解决问题的能力以及计算能力．数列求和常与函数、方程、不等式等诸多知识联系在一起，以它复杂多变、综合性强、解法灵活等特征而成为高考的中档题或压轴题．1．(2009年四川卷)等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是( )
A．90 B．100
C．145 D．190【答案】 B2．(2009年山东卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．课时作业
点击进入链接
