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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．②④
【解析】 根据圆柱、圆锥、圆台的定义和性质可知，只有②④两个命题是正确的，所以选D
【答案】 D
2．用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如图所示：
根据三视图回答此立体模型的体积( )
A．4 B．5
C．6 D．7
【解析】 由三视图可知，该几何体由5个正方体如图放置，其中数字为该处正方体的个数．
【答案】 B
3．设计一个杯子，其三视图如图所示，现在向杯中匀速注水，杯中水面的高度h随时间t变化的图象是( )
【解析】 由三视图可知杯子是圆柱形的，由于圆柱形的杯子上下大小相同，所以当向杯中匀速注水时，其高度随时间的变化是相同的，反映在图象上，选项B符合题意．
【答案】 B
4.
如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是( )
A. B.
C. D.
【解析】 如图据条件可得几何体为底面边长为2的正方形，侧面是等边三角形高为2的正四棱锥，故其体积V＝×4×＝.
【答案】 C
5．有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记3的对面的数字为m,4的对面的数字为n，那么m＋n的值为( )
A．8 B．7
C．6 D．5
【解析】 经观察分析知，题图(1)、(2)中顶点A、B是同一条斜对交线的两个端点，结合题图(3)得3的对面为6,4的对面为2，
∴m＋n＝8.
【答案】 A
6．已知△ABC的直观图是边长为a的等边△A1B1C1(如图)，那么原三角形的面积为( )
A．a2 B.a2
C.a2 D.a2
【解析】 在原图与直观图中有OB＝O1B1，BC＝B1C1.
在直观图中，过A1作A1D1⊥B1C1，因为△A1B1C1是等边三角形，
所以A1D1＝a，在Rt△A1O1D1中，
∵∠A1O1D1＝45°，∴O1A1＝a，
根据直观图画法规则知：
OA＝2O1A1＝2×a＝a，
∴△ABC的面积为×a×a＝a2，故选C.
【答案】 C
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．底面半径为2的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，则截面圆的面积为________．
【解析】 由题意知截面圆的半径为1，所以截面圆的面积为π.
【答案】 π
8．下列命题中：
①用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；
②棱台的各侧棱延长后一定相交于一点；
③圆台可以看做直角梯形以其垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面围成的几何体；
④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．
其中所有正确命题的序号是________．
【解析】 ①符合棱台的定义；②棱台是由棱锥被平行于底面的平面所截而得，各侧棱延长后一定相交于一点；③是圆台的另一种定义形式；④中形成的是球面而不是球．
【答案】 ①②③
9．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的内接圆柱侧面积的最大值为________．
【解析】 直观图为底面半径为2，高为4的圆锥，设内接圆柱的底面半径为r，母线长为l，
S侧＝2π×rl，如图得＝，即2r＋l＝4，
由均值不等式
S侧＝π×2r×l≤π2＝4π.
【答案】 4π
三、解答题(共46分)
10．(15分)一个正方体内接于高为40 cm，底面半径为30 cm的圆锥中，求正方体的棱长．
【解析】
如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x，
11．(15分)根据图中物体的三视图，画出物体的直观图．
【解析】 由主视图可以判断这个几何体由两部分构成，由左视图可以判断上下两部分的宽度是相等的，再由俯视图可以判断，这个几何体的上部分是一个圆柱，下部分是长方体．因此，它的大致形状是长方体上放一个圆柱．如右图所示．
12．(16分)已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝2AB＝4.
(1)根据已经给出的此四棱锥的主视图，画出其俯视图和左视图；
(2)证明：平面PAD⊥平面PCD.
【解析】 (1)三视图如图所示
(2)证明：∵PA⊥平面ABCD，PA平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABCD.
又平面PAD∩平面ABCD=AD，
CD平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD.
又CD平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.
课件30张PPT。1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．
3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
4．会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)．
5．了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)．考纲导航6．理解空间直线、平面位置关系，掌握四个公理．
7．掌握空间中线面平行，垂直判定和性质定理．
8．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．
9．空间向量及其运算
(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．
(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断微量的共线与垂直问题．10．空间向量的应用
(1)理解直线的方向向量和平面的法向量．
(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直关系．
(3)能用向量方法证明有关直线与平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)
(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究力学问题、几何问题中的作用．第一节 简单几何体、
三视图和直观图1．旋转体
(1)圆柱：以 的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．
(2)圆锥：以 所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆锥．
(3)圆台：用一个 圆锥底面的平面去截 ，底面与截面之间的部分，叫做圆台．
(4)球：以 所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体．矩形直角三角形的一条直角边平行圆锥半圆(1)圆柱的所有母线平行、相等且垂直于底面，圆锥的母线相交于一点，圆台的母线延长后相交于一点．
(2)圆柱的轴截面是全等的矩形，圆锥的轴截面是全等的等腰三角形，圆台的轴截面是全等的等腰梯形．
(3)球的截面的性质：①球心和截面圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间的关系是r＝ .2．多面体
(1)棱柱：有两个面 ，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 ，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．
(2)棱锥：有一个面是 ，而其余各面都是有一个公共顶点的 ，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．
(3)棱台：用一个 棱锥的底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台． 互相平行互相平行多边形三角形平行(1)棱柱的性质：①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形．
(2)正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．
(3)正棱锥的性质：①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形．各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高．
②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形．3．直观图
水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法
(1)在已知图形中，取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的 ，两轴相交于O′，且使 ，用它们确定的平面表示 ．
(2)已知图形中平行于x轴和y轴的线段，在直观图中，分别画成平行于 的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中 原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中 ．x′轴和y′轴∠x′O′y′＝45°(或135°)水平面x′轴和y′轴保持长度变为原来的一半斜二测画法有两个关键点，一是坐标轴夹角的变化，二是与y轴平行或在y轴上的线段，水平放置时，长度变为原来的一半，其中第二条是解题时最易遗漏的．4．三视图
(1)三视图就是从一个几何体的 、 、 三个不同的方向看这个几何体，描绘出的三视图，分别称为主视图、 、 ．
(2)三视图的排列顺序：先画 ，俯视图放在主视图的下方，左视图放在主视图的 ．右方主视图正前方正左方正上方左视图俯视图(1)球的三视图均为圆，长方体的三视图均为矩形，
(2)三视图的主视图、左视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．
(3)画几何体三视图的要求是：主视图与俯视图长对正；主视图与左视图高平齐；左视图与俯视图宽相等．
(4)三视图的安排规则是：主视图与左视图分别在左右两边，俯视图画在主视图的下方，同时注意“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”的要求．
(5)对于简单几何体的组合体，在画其三视图时，首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，然后再画出其三视图．1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．球体 D．圆柱，圆锥，球体的组合体
【解析】 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．
【答案】 C2．下列说法可以判定是正四棱柱是( )
A．底面是正方形，有两个侧面是矩形
B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直
D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱
【解析】 根据正四棱柱的结构特征加以判断．
【答案】 C3．下列几何体各自的三视图中，至少有两个视图相同的是( )
A．①②③ B．①④
C．②④ D．①②④
【解析】 易知①正方体的三个视图均相同；②圆锥的主视图和左视图相等均为等腰三角形；③三棱台的主视图为一等腰梯形，左视图是一直角梯形，俯视图是一三角形内套着一个三角形；④正四棱锥的主视图和左视图均为一等腰三角形，两腰均为侧面三角形斜高，底边为底面正方形边长，故有①②④符合条件．
【答案】 D4．如图所示为长方体木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成．
【解析】 该几何体底层有3块木块，上层1块木块．
【答案】 45．如图，一个正方体内接于高为40 cm，底面半径为30 cm的圆锥，则正方体的棱长是________cm.【解析】 作轴截面，PO＝40 cm，OA＝30 cm，【答案】 下列命题中，成立的是( )
A．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥
B．四面体一定是三棱锥
C．棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定是正棱锥
D．底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱锥一定是正棱锥【思路点拨】 结合棱锥、正棱锥的概念逐一进行考查．
【答案】 B【解析】 A是错误的，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥；
B是正确的，三个面共顶点，另有三边围成三角形是四面体也必定是个三棱锥；对于C，如图所示，棱锥的侧面是全等的等腰三角形，但该棱锥不是正三棱锥；
D也是错误的，底面多边形既有内切圆又有外接圆，如果不同心，则不是正多边形，因此不是正棱锥．如图所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视图，则甲、乙、丙对应的标号正确的是( )
①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱
A．④③② B．①③②
C．①②③ D．④②③【解析】 甲图中，主视图和左视图都是矩形，俯视图是一个圆，因此该几何体是一个圆柱；乙图中，主视图和左视图都是三角形，俯视图是一个三角形以及内部的三条线段，因此该几何体是一个三棱锥；丙图中，主视图和左视图都是三角形，俯视图是一个圆以及内部的一个点，因此该几何体是一个圆锥．故甲、乙、丙对应的标号应为④③②，选A.
【答案】 A高考对三视图的考查重点是常见简单几何体及其组合体的三视图的理解及画法，例如：正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等的三视图分别是什么图形，数量关系有什么特点等都应该熟练掌握．1．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角后所得多面体的直观图，它的主视图的左视图在下面画出(单位：cm)．
在主视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图．
【解析】 如图
一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于( )【答案】 B【解析】2.
2.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′=6 cm，O′C′=2 cm，则原图形是( )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．一般的平行四边形
【答案】 C【解析】从内容上看，柱、锥、台、球的定义和相关性质是基础，以它们为载体考查线面的关系是重点．三视图的还原在各地的试题中频频出现．
其题型以选择题和填空题为主，有时也会作为解答题的命题背景出现．
1．(2009年湖南卷)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【解析】 如图，与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条
【答案】 C【解析】当俯视图为A中正方形时，几何体为边长为1的正方 【答案】 C课时作业
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．已知α∥β，aα，B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
【解析】 B点与a确定一平面γ与β相交，设交线为b，则a∥b.
【答案】 D
2．若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8、12，过AB的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的周长为( )
A．10 B．20
C．8 D．4
【解析】 设截面四边形为EFGH，F、G、H分别是BC、CD、DA的中点，∴EF＝GH＝4，FG＝HE＝6，
∴周长为2×(4＋6)＝20.
【答案】 B
3．下列说法正确的是( )
A．直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∩b＝?，直线bα，则a∥α
D．若直线a∥b，bα，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线
【解析】 ∵直线l虽与平面α内的无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，从而排除A.
∵直线a在平面α外，包括两种情况：a∥α，或a与α相交，
∴a和α不一定平行，从而排除B.
∵直线a∩b＝?，bα，则只能说a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，从而排除C.
∵a∥b，bα，那么aα，或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行．
【答案】 D
4．下列命题中正确的个数是( )
①若直线a不在α内，则a∥α；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；
④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；
⑥平行于同一平面的两直线可以相交．
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 a∩α=A时，a不在α内，
∴①错；
直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；
l∥α时，α内的直线与l平行或异面，故③错；
a∥b，b∥α时a∥α或aα，故④错；
l∥α，则l与α无公共点，∴l与α内任何一条直线都无公共点，∴⑤正确；
如图长方体中，A1C1与B1D1都与平面ABCD平行，
∴⑥正确．故选B.
【答案】 B
5．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：
①若l与m为异面直线，lα，mβ，则α∥β；
②若α∥β，lα，mβ，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
【解析】 ①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l、m.
②中l与m也可能异面．
③中l?l∥m，
同理l∥n，则m∥n，正确．
【答案】 C
6．已知平面α∥平面β，P是α 、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为( )
A．16 B．24或
C．14 D．20
【解析】 根据题意可出现以下如图两种情况
可求出BD 的长分别为或24.
【答案】 B
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l，m为不同的直线，α、β为不重合的平面)，则此条件为________．
①?l∥α
②?l∥α
③?l∥α
【解析】 ①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l为平面α外的直线”，即“l?α”．它同样适合②③，故填l?α.
【答案】 l?α
8．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
【解析】 如图，连结AC，易知MN∥平面ABCD，
∴MN∥PQ.
又∵MN∥AC，∴PQ∥AC.
9．已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，给出下列命题：
①若m∥α，则m平行于平面α内的无数条直线
②若α∥β，mα，nβ，则m∥n
③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
④若α∥β，mα，则m∥β
上面命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．
【解析】 ①正确，注意体会无数与任意的区别；②错，两平行平面内的两直线可以平行也可以异面；③正确，易知此时两平面垂直于同一直线，故两平面互相平行；④正确，两平行平面内的任一平面内的一直线与平行于另一平面，简记为面面平行则线面平行．
【答案】 ①③④
三、解答题(共46分)
10．(15分)已知如图：
E、F、G、H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点．
(1)求证：EG∥平面BB1D1D；
(2)求证：平面BDF∥平面B1D1H.
【证明】 (1)取B1D1的中点O，连结GO，OB，
易证四边形BEGO为平行四边形，故OB∥GE，
由线面平行的判定定理即可证EG∥平面BB1D1D.
(2)由正方体得BD∥B1D1.如图，连结HB、D1F，易证四边形HBFD1是平行四边形，故HD1∥BF.
又B1D1∩HD1=D1，BD∩BF=B，
所以平面BDF∥平面B1D1H.
11．(15分)在空间四边形ABCD中，如右下图所示．
(1)若E、F分别为AB、AD上的点且能推出EF∥平面BCD吗？为什么？
(2)若E、F分别是AB、AD上的任一点，在何条件下能使EF∥平面BCD呢？
【解析】 (1)能．
12．(16分)
如图平面内两正方形ABCD与ABEF，点M、N分别在对角线AC、FB上，且AM∶MC=FN∶NB，沿AB折成直二面角．
(1)证明：折叠后MN∥平面CBE；
(2)若AM∶MC=2∶3，在线段AB上是否存在一点G，使平面MGN∥平面CBE？若存在试确定点G的位置．
【解析】
(1)证明：如图，设直线AN与BE交于点H，
连接CH，
∵△ANF∽△HNB，
∴＝，
∴MN∥CH.
又MN?平面CBE，CH平面CBE，
∴MN∥平面CBE.
(2)存在，过M作MG⊥AB，垂足为G，
则MG∥BC，∴MG∥平面CBE，
又MN∥平面CBE，MG∩MN＝M，
∴平面MGN∥平面CBE.
即：G在AB线上，
且AG∶GB＝AM∶MC＝2∶3.
课件28张PPT。第三节 平行关系1．直线与平面平行的判定定理
一条直线与 的一条直线平行，则该直线与此平面平行，用符号表示为 .a?α，b?α，且a∥b?a∥α平面外此平面内(1)运用直线与平面平行的判定定理时，必须具备三个条件：①平面外一条直线；②平面内一条直线；③两条直线相互平行．
(2)直线与平面平行的判定定理的关键是证明两直线平行，证两直线平行是平面几何的问题，所以该判定定理体现了空间问题平面化的思想．
(3)判定直线与平面平行有以下方法：一是判定定理；二是线面平行定义；三是面面平行的性质定理．2．平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条 与另一个平面 ，则这两个平面平行．用符号表示为 ，b∥α?β∥α.(1)运用判定定理证明平面与平面平行时，两直线是相交直线这一条件是关键，缺少这一条件则定理不一定成立．
(2)证明面与面平行常转化为证明线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，逐步由空间转化到平面．
(3)证明平面与平面平行的方法有：判定定理、线面垂直的性质定理．
(4)平面与平面的平行也具有传递性．相交直线平行a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α3．直线与平面平行的性质定理
一条 与一个 ，则过这条直线的任一平面与此平面的 与该 ．
用图形表示为：
用符号表示为 ?a∥b.
(1)线面平行的性质定理是证线线平行的一个途径．
(2)证线线平行的途径还有：三角形的中位线、梯形的中位线、线面垂直的性质定理、平面内平行线的判定定理、平行公理、平面与平面平行的性质定理等．直线平面平行交线直线平行a∥α，a?β，α∩β＝b4．平面与平面平行的性质定理
如果两个 同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
用图形表示为：
用符号表示为 ?a∥b.
由两个平面平行来推证两条直线平行，则这两条直线必须是这两个平行平面与第三个平面的交线．平行平面α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b1．两条直线a、b满足a∥b，b?α，则a与平面α的关系是( )
A．a∥α B．a与α相交
C．a与α不相交 D．a?α
【答案】 C2．已知直线a、b和平面α、β，则在下列命题中，真命题为( )
A．若a∥β，α∥β，则a∥α
B．若α∥β，a?α，则a∥β
C．若α∥β，a?α，b?β，则a∥b
D．若a∥β，b∥α，α∥β，则a∥b
【答案】 B【解析】 A中a可能在α内，C中a、b可能异面，D中a、b可能异面，B中α∥β，a?α则a与β无公共点，∴a∥β.3．已知α∥β，a?α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
【解析】 因为a与B确定一个平面，该平面与β的交线即为符合条件的直线．
【答案】 D4．过三棱柱ABC—A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．
【解析】 各中点连线如图，只有面EFGH与面ABB1A1平行，在四边形EFGH中有6条符合题意．
【答案】 6如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l.
(1)判断BC与l的位置关系，并证明你的结论．
(2)判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论．
【解析】 (1)BC∥l.证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD.又BC?平面PAD，AD?平面PAD，
∴BC∥平面PAD，又BC?平面PBC，平面PBC∩平面PAD=l，∴BC∥l.【思路点拨】 联想线面平行、面面平行的判定与性质定理．(2)MN∥平面PAD.
证明：取CD的中点E，连结ME、NE，
∵M、N分别为AB、PC的中点，∴ME∥AD，NE∥PD.
又ME?平面PAD，NE?平面PAD，
∴ME∥平面PAD，NE∥平面PAD.
又ME∩NE=E，
∴平面MNE∥平面PAD.
而MN?平面MNE，
∴MN∥平面PAD.如图所示，三棱柱ABC—A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
【证明】 连结A1C交AC1于点E，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴E是A1C的中点，连结ED，
∵A1B∥平面AC1D，
平面A1BC∩平面AC1D=ED，∴A1B∥ED，
∵E是A1C的中点，
∴D是BC的中点．
又∵D1是B1C1的中点，
∴BD1∥C1D，A1D1∥AD，
又A1D1∩BD1=D1，
∴平面A1BD1∥平面AC1D.平面平行的判定定理，是利用了线面平行来推证的，即需要找到或证出两条相交直线平行另一平面．本题的证明就是运用了这一判定定理．1.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点．求证：
(1)BF∥HD1；
(2)EG∥平面BB1D1D；
(3)平面BDF∥平面B1D1H.【证明】 (1)如图所示，取BB1的中点M，易证四边形HMC1D1是平行四边形，
∴HD1∥MC1.
又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1. 如图，在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED=2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论？
【解析】 当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.探究性问题，一般采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．【解析】 (1)如图所示，取D1为线段A1C1的中点，
此时 ，连结A1B交AB1于点O，连结OD1.
由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O、D1分别为A1B、A1C1的中点，
∴OD1∥BC1.
又∵OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1本节主要考查线线、线面、面面平行的判定与性质，题型多以选择题形式出现，属容易题，解答题中多以几何体为载体；试题中主要考查对定义、定理的深刻理解，对符号语言、图形语言、文字语言进行顺利的转换，既考查空间想象能力，又考查逻辑思维能力．
1．(2009年福建卷)设m、n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )
A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2
C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l2【解析】 如图：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥面A1B1CD，CD∥面A1B1BA，但面A1B1CD与面A1B1BA相交，故A不正确；取AD中点为E，BC中点为F，则EF∥面ABB1A，C1D1∥面ABB1A1，但面ABB1A1与面EFC1D1不平行，故C不对；虽然EF∥AB且C1D1∥面A1B1BA，但是面EFC1D1与面A1B1BA不平行，故D不正确．
对于选项B，当l1∥m，l2∥n且m?α，
n?α时，有l1∥α，l2∥α.
又l1与l2相交且都在β内，∴α∥β时，无法推出m∥l1且n∥l2.∴l1∥m且l2∥n是α∥β的充分不必要条件．
【答案】 B2．(2009年江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
【证明】
(1)因为E、F分别是A1B、A1C的中点，所以EF∥BC，EF?面ABC，BC?面ABC.所以EF∥平面ABC.
(2)因为直三棱柱ABC－A1B1C1，所以BB1⊥面A1B1C1，BB1⊥A1D，又A1D⊥B1C，所以A1D⊥面BB1C1C，又A1D?面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.课时作业
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．已知α、β是两个不同的平面，直线aα，直线bβ，命题p∶a与b没有公共点，命题q∶α∥β，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 当a，b都平行于α与β的交线时，a与b无公共点，
但α与β相交．当α∥β时，a与b一定无公共点，
∴q?p，但p q
【答案】 B
2.
如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，则平面ABC与平面β的交线是( )
A．直线AC B．直线AB
C．直线CD D．直线BC
【解析】 由题意知，D∈l，lβ，∴D∈β.
又D∈AB，∴D∈平面ABC，
即D在平面ABC与平面β的交线上．
又C∈平面ABC，C∈β，
∴点C在平面β与平面ABC的交线上．
从而有平面ABC∩平面β＝CD.
【答案】 C
3．正方体AC1中，E、F分别是线段C1D、BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系
是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
【解析】 直线AB与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交，选A.
【答案】 A
4．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )
A．若AC与BD共面，则AD与BC共面
B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线
C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC
D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC
【解析】
注意审题是选不正确的选项，分别判断易知D选项中当四点构成空间四面体时，只能推出AD⊥BC，二者不一定相等，如图易证得直线BC⊥平面ADE，从而AD⊥BC.
【答案】 D
5. 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是( )
A．EF与BB1垂直
B．EF与BD垂直
C．EF与CD异面
D．EF与A1C1异面
【解析】 连接A1B，∵E是AB1中点，∴E∈A1B，
∴EF是△A1BC1的中位线，∴EF∥A1C1，故D不成立．
【答案】 D
6．以下四个命题中，正确命题的个数
是( )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 ①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．
【答案】 B
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．三条直线可以确定三个平面，这三条直线的公共点个数是________．
【解析】 因三条直线可以确定三个平面，所以这三条直线有两种情况：一是两两相交，有1个交点；二是互相平行，没有交点．
【答案】 0或1
8．在空间中，
①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；
②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．
以上两个命题中，逆命题为真命题的是________(把符合要求的命题序号都填上)．
【解析】 对于①可举反例，如AB∥CD，A、B、C、D没有三点共线，但ABCD共面，对于②由异面直线定义知正确，故填②.
【答案】 ②
9.
如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为 (注：把你认为正确的结论的序号都填上)．
【解析】 AM与CC1是异面直线，
AM与BN是异面直线，所以①②错误．③④正确．
【答案】 ③④
三、解答题(共46分)
10．(15分)
如图，立体图形A-BCD的四个面分别为△ABC、△ACD、△ADB和△BCD，E、F、G分别是线段AB、AC、AD上的点，且满足AE∶AB=AF∶AC=AG∶AD.
求证：△EFG∽△BCD.
【证明】 在△ABD中，
∵AE∶AB=AG∶AD，
∴EG∥BD.同理，GF∥DC，EF∥BC.
又∠GEF与∠DBC方向相同，
∴∠GEF=∠DBC.
同理，∠EGF=∠BDC.
∴△EFG∽△BCD.
11．(15分)
如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AA1，C1D1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.
(1)画出直线l；
(2)设l∩A1B1=P，求线段PB1的长．
【解析】
(1)延长DM交D1A1的延长线于点E，
连接NE交A1B1于点P，
直线NE即为所求的直线l.
(2)∵点M为AA1的中点，且AD∥ED1，
∴AD＝A1E＝A1D1＝a，
又∵A1P∥D1N，且D1N＝a，
∴A1P＝D1N＝a，
∴PB1＝A1B1－A1P＝a－a＝a.
12．(16分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，
求证：(1)E、C、D1、F四点共面；
(2)CE、D1F、DA三线共点．
【证明】 (1)分别连接EF、A1B、D1C.
∵E、F分别是AB和AA1的中点，
∴EF A1B.又A1D1 B1C1 BC，
∴四边形A1D1CB为平行四边形．
∴A1B∥CD1，从而EF∥CD1.
∴EF与CD1确定一个平面．∴E、F、D1、C四点共面．
(2)∵EF CD1，
∴直线D1F和CE必相交，设D1F∩CE＝P.
∵P∈D1F且D1F平面AA1D1D，
∴P∈平面AA1D1D.又P∈EC且CE平面ABCD，
∴P∈平面ABCD，
即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点，而平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD，
∴P∈AD.
∴CE、D1F、DA三线共点．
课件23张PPT。
空间图形的基本关系与公理第二节1．公理、定理的有关内容两点不在2.空间中点、线、面之间关系(1)过一条直线和直线外一点有且只有一个平面．
(2)经过两条相交直线有且只有一个平面．
(3)经过两条平行直线有且只有一个平面．
(4)公理4的结论与平面几何中的相关结论相同，是平面几何中结论的推广．1．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．以上都有可能
如图，a∥b，c与d相交，a与d异面．【答案】 D【解析】2．直线a，b，c两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面的个数为( )
A．1 B．3
C．6 D．0
【解析】 以三棱柱为例，三条侧棱两两平行，但不共面，显然经过其中的两条直线的平面有3个．
【答案】 B3．在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与HG交于点M，那么( )
A．M一定在直线AC上
B．M一定在直线BD上
C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上
D．M既不在直线AC上，也不在直线BD上
【解析】 平面ABC∩平面ACD＝AC，M∈平面ABC，
M∈平面ACD，从而M∈AC.
【答案】 A4．已知A、B、C表示不同的点，l表示直线，α、β表示不同的平面，则下列推理正确的是________．
(1)A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α
(2)A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB
(3)l?α，A∈l?A?α
(4)A∈α，A∈l，l?α?l∩α＝A
【答案】 (1)、(2)、(4)5．不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定________个平面；若相交于两点，最多能确定________个平面；若相交于三点，最多能确定________个平面．
【解析】 三条直线相交于一点，最多可确定3个平面，如图(1)；三条直线相交于两点，最多可确定2个平面，如图(2)；三条直线相交于三点，最多可确定1个平面，如图(3)．
如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并请说明理由．
(1)直线AC1在平面CC1B1B内；
(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的
中心分别为O、O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；
(3)由点A、O、C可以确定一个平面；
(4)由A、C1、B1确定的平面是ADC1B1；
(5)若直线l是平面AC内的直线，直线m是平面D1C上的直线，若l与m相交 ，则交点一定在直线CD上．
【解析】 (1)错误．若AC1?平面CC1B1B，又BC?平面CC1B1B，∴AB?平面CC1B1B，与AB?平面CC1B1B矛盾；
(2)正确．O、O1是两平面的两个公共点；
(3)错误．因为A、O、C共线；
(4)正确．A、C1、B1不共线，∴确定平面α，又AB1C1D为平行四边形，AC1、B1D相交于O2点，而O2∈α，B1∈α，
∴B1O2?α，而D∈B1O2，∴D∈α；
(5)正确．若l与m相交，则交点是两平面的公共点，而直线CD为两平面的交线，所以交点一定在直线CD上．【思路点拨】 利用平面的基本性质进行判断如图所示，O1是正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A的交点．
求证：O1、M、A三点共线．【证明】 ∵A1C1∩B1D1＝O1.
又B1D1?平面B1D1A，A1C1?平面AA1C1C，
∴O1∈平面B1D1A，O1∈平面AA1C1C.
∵A1C∩平面B1D1A＝M，A1C?平面AA1C1C，
∴M∈平面B1D1A，M∈平面AA1C1C.
又A∈平面B1D1A，A∈平面AA1C1C.
∴O1、M、A在平面B1D1A和平面AA1C1C的交线上，由公理3可知O1、M、A三点共线．证明共线问题：①可由两点连一条直线，再验证其他各点均在这条直线上；②可直接验证这些点都在同一条特定的直线上——相交两平面的唯一交线，其关键是通过绘出图形，作出两个适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的公共点．1．已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB、BC、CD、AD(或延长线)分别与平面α相交于点E、F、G、H，求证：E、F、G、H在同一条直线上．
【证明】 连接AC，
∵AB∩α＝E，∴E∈α，E∈面ABC，
∴E在平面α与面ABC的交线上．
同理：可证F、G也在面α与面ABC的交线上．
∴E、F、G三点共线，①
同理：可证F、G、H三点共线，②
由①②可得E、F、G、H四点共线．如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且
求证：三条直线EF、GH、AC交于一点．证明三线交于一点的常见方法：一是证其中两线的交点在第三条直线上，二是证直线a与b的交点和b与c的交点重合．2．如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．【证明】 ∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AB，CD是梯形ABCD的两腰，
∴AB，CD必定相交于一点．
如图，设AB∩CD=M.
又∵AB?α，CD?β，
∴M∈α，且M∈β，
∴M∈α∩β.
又∵α∩β=l，∴M∈l，
即AB，CD，l共点．本节内容主要考查平面的基本性质，空间两直线的位置关系，题型多为选择题和解答题，难度不大．
1．已知平面外一点P和平面内不共线三点A、B、C，A′、B′、C′分别在PA、PB、PC上，若延长A′B′、B′C′、A′C′与平面分别交于D、E、F三点，则D、E、F三点( )
A．成钝角三角形 B．成锐角三角形
C．成直角三角形 D．在一条直线上
【解析】 D、E、F为已知平面与平面A′B′C′的公共点，由公理2知，D、E、F共线．
【答案】 D(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？课时作业
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．正棱锥的高缩小为原来的，底面外接圆半径扩大为原来的3倍，则它的体积是原来体积的( )
A.倍 B.倍
C.倍 D.倍
【解析】 设原棱锥高为h，底面面积为S，
则V＝Sh，
新棱锥的高为h，底面面积为9S.
∴V′＝·9S·h＝Sh·，
∴＝.
【答案】 B
2．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为( )
A．32π B．16π
C．12π D．8π
【解析】 由三视图可知几何体是半径为2的半球，故其表面积应为半球的表面积与底面圆的面积之和，即S＝2πR2＋πR2＝3πR2＝12π.
【答案】 C
3．当圆锥的侧面积和底面积的比值是时，圆锥轴截面的顶角等于( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
【解析】 设圆锥的母线长为l，底面半径为r，
则＝，∴＝，
设轴截面顶角的一半为α，
则sin α＝＝，∴α＝45°，2α＝90°.
【答案】 C
4．在三棱锥A—BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则该三棱锥的体积为( )
A. B.
C．6 D．2
【解析】 AB·AC＝，AD·AC＝，AB·AD＝，
∴AB＝，AC＝1，AD＝.
∴V＝··1··＝.
【答案】 B
5．把由曲线y＝|x|和y＝2围成的图形绕x轴旋转360°，所得旋转体的体积为( )
A. B.
C. D.
【解析】 由题意，y=|x|和y=2围成图中阴影部分的图形，旋转体为一个圆柱挖去两个相同的共顶点的圆锥．
【答案】 D
6．不共面的三条定直线l1，l2，l3互相平行，点A在l1上，点B在l2上，C、D两点在l3上，若CD＝a(定值)，则三棱锥A－BCD的体积( )
A．由A点的变化而变化
B．由B点的变化而变化
C．有最大值，无最小值
D．为定值
【解析】
如图，把△BCD当作三棱锥的底面，AO⊥平面BCD于O，
∵l2∥l3，∴B点在l2上什么位置，△BCD的面积不变．
又∵l2∥l3，∴l2、l3确定一个平面α，
∵l1∥l2，且点A不在l2、l3确定的平面α上，
∴l1平行于l2、l3确定的平面α，从而不论A在l1的什么位置，高AO的长总不变．
又V=×高×底面积，故无论A、B在什么位置时，其体积的值恒定．
【答案】 D
二、填空题(每小题6分，共18分)
7. 如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是直径为1的圆，那么这个几何体的侧面积为 .
【解析】 由三视图的知识，它是底面直径与高均为1的圆柱，所以侧面积S=π.
【答案】 π
8．正三棱台高为12 cm，上、下底面面积之比为1∶4，它的体积为28 cm3，则下底面面积为________．
【解析】 设下底面面积为S cm2，
则上底面面积为S cm2，
∴×12＝28，
∴S＝4.
【答案】 4 cm2
9．(2009年全国卷Ⅰ)直三棱柱ABC－A1B1C1的各顶点都在同一球面上．若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于________．
【解析】 在△ABC中，由余弦定理知BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝4＋4－2×2×2×＝12，
∴BC＝2.
由正弦定理知△ABC的外接圆半径r满足＝2r，
∴r＝2，由题意知球心到平面ABC的距离为1，设球的半径为R，则R＝＝，
∴S球＝4πR2＝20π.
【答案】 20π
三、解答题(共46分)
10．(15分)如果我们把体积和表面积数值相等的几何体叫做标准几何体，那么在正方体、等边圆柱(母线长等于底面圆直径的圆柱)、球三种几何体中有无这样的标准几何体？
【解析】 设正方体的棱长为a，则其体积V＝a3，表面积S＝6a2.由a3＝6a2，解得a＝6.
所以当正方体的棱长为6时，它是标准几何体，
设等边圆柱的底面半径为r，则其母线长为2r，它的体积V＝πr2×2r＝2πr3，表面积S＝2πr×2r＋2πr2＝6πr2.
11．(15分)如图，已知几何体的三视图(单位：cm)．
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积及体积．
【解析】 (1)这个几何体的直观图如图所示．
(2)这个几何体可看成是由正方体AC1及直三棱柱B1C1Q-A1D1P的组合体．
12. (16分)如图所示，以AB＝4 cm，BC＝3 cm的长方形ABCD为底面的长方体被平面斜着截断的几何体，EFGH是它的截面．当AE＝5 cm，BF＝8 cm，CG＝12 cm时，试回答下列问题：
(1)求DH的长；
(2)求这个几何体的体积；
(3)截面四边形EFGH是什么图形？
证明你的结论．
【解析】 (1)过E作EB1⊥BF，垂足为B1，则BB1=AE=5(cm)，
所以B1F=8-5=3(cm)．
因为平面ABFE∥平面DCGH，EF和HG是它们分别与截面的交线，所以EF∥HG.
过H作HC1⊥CG，垂足为C1，
则GC1=FB1=3(cm)，
DH=12-3=9(cm)．
(2)作ED1⊥DH，垂足为D1，B1P⊥CG，垂足为P，连结D1P，B1C1，则几何体被分割成一个长方体ABCD-EB1PD1，一个斜三棱柱EFB1-HGC1，一个直三棱柱EHD1-B1C1P.从而几何体的体积为
(3)是菱形．
证明：由(1)知EF∥HG，同理EH∥FG.
于是EFGH是平行四边形．
所以EF=EH.
故EFGH是菱形．
课件26张PPT。
简单几何体的表面积与体积第五节柱、锥、台和球的侧面积和体积：(1)直棱柱的侧面展开图是一些矩形，正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形．
(2)圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的两条边分别是圆柱的母线长和圆柱的底面圆的周长；圆锥的侧面展开图是扇形，扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长；圆台的侧面展开图是扇环． 【答案】 D【答案】 B【答案】 B【答案】 25．(2009年上海卷)若等腰直三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是________． 已知一个几何体的三视图如图所示，它的表面积是( )
【思路点拨】 由三视图可知该几何体为直三棱柱．【答案】 C【答案】 D(1)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系，可表示为图所示：
(2)解决不规则几何体的问题应注意应用以下方法：
①几何体的“分割”
依据已知几何体的特征，将其分割成若干个易于求体积的几何体，进而求解．
②几何体的“补形”
有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．1.如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成三棱锥的外接球的体积．【解析】 由已知条件知，平面图形中
AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.
∴折叠后得到一个正四面体．
方法一：作AF⊥面DEC，垂足为F，F即为△DEC的中心．
取EC中点G，连结DG、AG，
过球心O作OH⊥面AEC.则垂足H为△AEC的中心．
∴外接球半径可利用△OHA∽△GFA求得．
如图，在三角形ABC中，若AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积． 在转化与化归的思想指导下，把组合体看作两个有公共底面的圆锥，采用分割的方法，使问题得以解决． 2．(2009年山东卷)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
【答案】 C本节知识考查的重点是柱、锥、台、球的表面积和体积公式，难度不大；从考查形式上看，多数问题以三视图为载体在小题中考查，解答题中可能以一小问的形式出现，但独立命题的可能不大．2．(2009年全国卷Ⅰ)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于________．
【答案】 16π课时作业
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一、选择题(每小题6分，共36分)
1．(2009年山东卷)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，m⊥β，则α⊥β，反过来则不一定．所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．
【答案】 B
2．(2009年广东卷)给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是( )
A．①和② B．②和③
C．③和④ D．②和④
【解析】 当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；
由平面与平面垂直的判定可知②正确；
空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；
若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．
【答案】 D
3．(2008年宁夏卷)已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D．AC⊥β
【解析】 如下图所示
AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l?AC⊥m；AB∥l?AB∥β，故选D.
【答案】 D
4．如右图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上 B．直线BC上
C．直线CA上 D．△ABC内部
【解析】 ?CA⊥面ABC1
?面ABC⊥面ABC1，
∴过C1作垂直于平面ABC的线在面ABC1内，
∴H∈AB.
【答案】 A
5．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题中，错误命题的个数是( )
①α∥β，mα，nβ，则m∥n；
②若mα，nα，且m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α⊥β，mα，则m⊥β；
④若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α.
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 ①错，两平行平面内任意两直线可平行或异面；
②错，只有两个平面内的两条相交直线互相平行，两个平面才平行；
③由面面垂直的性质定理可知当且仅当直线m垂直两平面交线时，命题才成立；
④空间想象易知命题成立，综上可知只有④是正确的，其他三个命题均错误，故选C.
【答案】 C
6．如图在长方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥A1－ABC的面是直角三角形的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 据题意由AA1⊥平面ABCD，
可得三角形AA1B，AA1C为直角三角形，
又易推出BC⊥平面AA1B，
故三角形A1BC和ABC为直角三角形，即此四面体各个面均为直角三角形．
【答案】 D
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．已知直线a和两个平面α，β，给出下列四个命题：
①若a∥α，则α内的任何直线都与a平行；
②若a⊥α，则α内的任何直线都与a垂直；
③若α∥β，则β内的任何直线都与α平行；
④若α⊥β，则β内的任何直线都与α垂直．
则其中________是真命题．
【解析】 若a∥α，则α内的无数直线都与a平行，但不是任意一条，即①不正确；若a⊥α，则α内的任何直线都与a垂直，即②正确；若α∥β，则β内的任何直线都与α平行，即③正确；若α⊥β，则β内有无数条直线都与α垂直，但不是任意一条，即④不正确．综上可得②、③为真．
【答案】 ②、③
8．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
【解析】 由定理可知，BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，
而PC平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
【答案】 DM⊥PC(或BM⊥PC等)
9．正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为________．
【解析】 由题意知：点P的轨迹为如图所示的三角形EFG，其中G、F为中点，
三、解答题(共46分)
10．(15分)如图所示，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.
求证：(1)BC⊥平面PAB；
(2)AE⊥平面PBC；
(3)PC⊥EF.
【证明】 (1)∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴PA⊥BC.∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.
(2)∵BC⊥平面PAB，AE平面PAB，∴BC⊥AE.
∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.
(3)∵AE⊥平面PBC，PC平面PBC，∴AE⊥PC，
∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，
∴PC⊥平面AEF.
而EF面AEF，
∴PC⊥EF.
11．(15分)如图1，矩形ABCD中，AB＝ 2AD＝2a，E为DC的中点，现将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，如图2.
(1)求四棱锥D－ABCE的体积；
(2)求证：AD⊥平面BDE.
【解析】
(1)取AE中点O，连接DO，由题意知：
AB=2AD=2a，ED=EC，
∴AD=DE，∴DO⊥AE，
又∵平面ADE⊥平面ABCE，
∴DO⊥平面ABCE.
在等腰Rt△ADE中，AD=DE=a，
(2)证明：在题图1中，连接BE，
∴AE⊥EB，
由(1)知DO⊥平面ABCE，
∴DO⊥BE，又DO∩AE=O，
∴BE⊥平面ADE
∴BE⊥AD
又∵AD⊥DE，
∴AD⊥平面BDE.
12．(16分)(2009年山东卷)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．
(1)设F是棱AB的中点，
证明：直线EE1∥平面FCC1；
(2)证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.
【证明】 (1)方法一：取A1B1的中点为F1.
连结FF1，C1F1.
由于FF1∥BB1∥CC1，所以F1∈平面FCC1，
因此平面FCC1即为平面C1CFF1.
连结A1D，F1C，
由于A1F1D1C1CD，
所以四边形A1DCF1为平行四边形，
因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D，
得EE1∥F1C.
而EE1?平面FCC1，F1C平面FCC1，
故EE1∥平面FCC1.
方法二：因为F为AB的中点，CD=2，
AB=4，AB∥CD，
所以CD AF，
因此四边形AFCD为平行四边形，
所以AD∥FC.
又CC1∥DD1，FC∩CC1=C，FC 平面FCC1，CC1?平面FCC1，AD∩DD1=D，AD 平面ADD1A1，DD1?平面ADD1A1，
所以平面ADD1A1∥平面FCC1.
又EE1 平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.
(2)连结AC，在△FBC中，FC=BC=FB，
又F为AB的中点，所以AF=FC=FB.
因此∠ACB=90°，即AC⊥BC.
又AC⊥CC1，且CC1∩BC=C，
所以AC⊥平面BB1C1C.
而AC 平面D1AC，故平面D1AC⊥平面BB1C1C.
课件30张PPT。第四节 垂直关系1．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果一条直线l和一个平面α内的 都垂直，我们就说直线l和平面α互相 ，记作 ，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的 ．
两个结论：①设α是任一平面，点P是空间任意一点，则过点P有且只有一条直线l是α的垂线；②设l是任一直线，点P是空间任意一点，则过点P有且只有一个平面α是l的垂面．任意一条直线垂直l⊥α垂面(2)直线和平面垂直的有关定理
①直线和平面垂直的判定
a．直线和平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的 都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表示为：a?α，b?α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b?l⊥α.两条相交直线(1)判定定理可以简单地记为“线线垂直?线面垂直”，定理中的关键词语是“平面内两条相交直线”和“都垂直”．
(2)证明线面垂直的方法：①线面垂直的定义，在用定义时注意，“平面内任意一条直线”与“平面内无数条直线”是两个不同的概念，直线与平面内无数条直线垂直时，直线与平面不一定垂直；②线面垂直的判定定理；③两条互相平行的直线的性质．②直线和平面垂直的性质
a．直线和平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．
b．如果一条直线与两个平面都垂直，那么 ．
直线和平面垂直的性质定理可以作为直线与直线平行，平面与平面平行的判定，实现平行与垂直的相互转化．这两个平面平行2．平面与平面垂直
(1)两个平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直．
(2)两个平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
符号表示为：α⊥β，a?α?α⊥β.
证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现．这种思想方法，与空间中的平行关系的证明非常类似，学习时注意类化．直二面角(3)平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于 的直线与另一个平面垂直．
用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，b?α，b⊥l?b⊥β.
(1)平面与平面垂直的性质定理可用来证明直线与平面垂直．
(2)两个平面垂直时，过第一个平面内任意一点作第二个平面的垂线，则该垂线必在第一个平面内．交线1．设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 当l⊥α时，l⊥m且l⊥n.但当l⊥m，l⊥n时，若m、n不是相交直线，则得不到l⊥α.
【答案】 A2．已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则( )
A．n⊥β B．n∥β或n?β
C．n⊥α D．n∥α或n?α【解析】 如图所示
图①中n与β相交，②中n?β，③中n∥β，n∥α，
∴排除A、B、C，故选D.【答案】 D3．如图所示，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．AD⊥CB1
【解析】 D中若AD⊥CB1，又∵AD∥BC
∴BC⊥B1C
显然错误
【答案】 D4．已知平面α、β和直线m，给出条件：
①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α⊥β；⑤α∥β.
(1)当满足条件________时，有m∥β；
(2)当满足条件________时，有m⊥β.
(填所选条件的序号)
【答案】 ③⑤ ②⑤【解析】 先画出①②③④⑤的图形．5．△ABC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，则图中直角三角形的个数是________．
【解析】 BC⊥平面PAB，故△PBC是直角三角形，从而图中直角三角形的个数共有4个．
【答案】 4 如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
【思路点拨】 取PD的中点E，连结AE，则有MN∥AE，考虑证明AE⊥平面PCD. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
AC＝BC，点D是AB的中点．
(1)求证：BC1∥平面CA1D；
(2)求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B.
【证明】 (1)连结AC1交A1C于E，
连结DE，
∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点．
又D是AB的中点
∴在△ABC1中，DE∥BC1.又DE?平面CA1D，BC1?平面CA1D，
∴BC1∥平面CA1D.
(2)∵AC＝BC，D为AB的中点，
∴在△ABC中，AB⊥CD.
又AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴AA1⊥CD.又AA1∩AB＝A，
∴CD⊥平面AA1B1B.
又CD?平面CA1D，
∴平面CA1D⊥平面AA1B1B.证明面面垂直，关键是寻找一个平面内的直线与第二个平面垂直，即将证明面面垂直转化为证明线面垂直，利用判定定理证明．也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角．利用定义证明．1．如图所示，已知PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC于点E，AF⊥PB于点F.
求证：(1)AE⊥平面PBC；
(2)面PAC⊥面PBC；
(3)PB⊥EF.【证明】 (1)因为AB是⊙O的直径，
所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC.
又因为PA⊥⊙O所在平面，即PA⊥平面ABC.
又BC?平面ABC，所以BC⊥PA.又因为AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC.
因为AE?平面PAC，所以BC⊥AE.
又已知AE⊥PC，PC∩BC＝C，
所以AE⊥平面PBC.
(2)因为AE⊥平面PBC，且AE?平面PAC，
所以平面PAC⊥平面PBC.
(3)因为AE⊥平面PBC，且PB?平面PBC，
所以AE⊥PB.
又AF⊥PB于点F，且AF∩AE＝A，
所以PB⊥平面AEF.
又因为EF?平面AEF，所以PB⊥EF. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．【解析】 如右图．(1)证明：取AD的中点G，连接PG，BG，BD.
∵△PAD为等边三角形，∴PG⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PG⊥平面ABCD.
在△ABD中，∠A=60°，AD=AB，
∴△ABD为等边三角形，∴BG⊥AD，
∴AD⊥平面PBG，
∴AD⊥PB.(2)当F为PC中点时，平面DEF⊥平面ABCD.
证明：连结CG，DE，且CG与DE相交于H点，
在△PGC中作HF∥PG，交PC于F点，连结DF，
∴FH⊥平面ABCD，
∴平面DHF⊥平面ABCD.
∵H是CG的中点，∴F是PC的中点，
∴在PC上存在一点F，即为PC的中点，使得平面DEF⊥平面ABCD.近年来开放型问题不断在高考试题中出现，这说明高考对学生的能力要求越来越高，这也符合新课标的理念，因而在复习过程中要善于对问题进行探究．立体几何中结合垂直关系，设计开放型试题将是新课标高考命题的一个动向．高考本节内容主要考查线面、面面垂直的判定和性质，其中线面的垂直是考查的重点，难度以中等为主，高考多以解答题出现，且有多问．从能力上看，主要考查学生将空间问题转化为平面几何问题的能力．
1．(2009年浙江卷)设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )
A．若l⊥α，α⊥β，则l?β
B．若l∥α，α∥β，则l?β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【解析】 当l⊥α，α⊥β时不一定有l?β，还有可能l∥β，
故A不对．当l∥α，α∥β时，l?β或l∥β，故B不对．
若α∥β，α内必有两条相交直线m、n与平面β内的两条相交直线m′，n′平行，又l⊥α，则l⊥m，l⊥n，即l⊥m′，l⊥n′，故l⊥β，
因此C正确．若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β或l?β.故D不对．
【答案】 C2．2010年南京模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
(1)若PA=PD，
求证：平面PQB⊥平面PAD；
(2)点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB.【解析】 (1)证明：连结BD，四边形ABCD为菱形．
∵AD=AB，∠BAD=60°，
∴△ABD为正三角形，Q为AD的中点，
∴AD⊥BQ.
∵PA=PD，Q为AD的中点，AD⊥PQ，
又BQ∩PQ=Q，
∴AD⊥平面PQB，AD?平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD. 课时作业
点击进入链接数学：北师大版必修五 31不等关系（课件） [编号：1302162]
