课件1张PPT。第八章 平面向量(必修4)
第一节 平面向量的基本概念及线性运算
第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
第三节 平面向量的数量积及平面向量应
用举例
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．下列等式不正确的是( )
A．a＋0＝a B．a＋b＝b＋a
C.＋≠0 D.＝＋＋
【解析】 方法一：∵与为相反向量，
∴＋＝0，∴C不正确．
方法二：＋＝(－)＋(－)
＝－－＋＝0.∴C不正确．
【答案】 C
2．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
【解析】 由已知＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2.
∴∥，又与不平行，
∴四边形ABCD是梯形．
【答案】 C
3．(2009年山东卷)设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则( )
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝0 D.＋＋＝0
【解析】 因为＋＝2，所以点P为线段AC的中点，故选B.
【答案】 B
4．设＝x＋y，且A、B、C三点共线(该直线不过端点O)，则x＋y等于( )
A．1 B．－1
C．0 D．不能确定
【解析】 ∵A、B、C三点共线，
∴存在一个实数λ，使＝λ，
即－＝λ(－)．
∴＝(1－λ)＋λ.
又∵＝x＋y，∴x＋y＝(1－λ)＋λ＝1.
【答案】 A
5．已知平面内有一点P及一个△ABC，若＋＋＝，则( )
A．点P在△ABC外部 B．点P在线段AB上
C．点P在线段BC上 D．点P在线段AC上
【解析】 ∵＋＋＝，
∴＋＋－＝0，
即＋＋＋＝0，
∴＋＋＝0，
2＝，∴点P在线段AC上．
【答案】 D
6．已知向量a、b、c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于( )
A．a B．b
C．c D．0
【解析】 ∵a＋b与c共线，
∴a＋b＝λ1c①
又∵b＋c与a共线，
∴b＋c＝λ2a②
由①得：b＝λ1c－a.
∴b＋c＝λ1c－a＋c＝(λ1＋1)c－a＝λ2a，
∴即，∴a＋b＋c＝－c＋c＝0.
【答案】 D
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．已知四边形ABCD中，＝，且||＝||，则四边形ABCD的形状是________．
【解析】 ＝?∥，且||＝||，
∴ABCD为梯形，又||＝||，∴为等腰梯形．
【答案】 等腰梯形
8．已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若－3＋2＝0，则等于________．
【解析】 由已知得：(－)＋2(－)＝＋2＝0?＝2，根据数乘的意义可得：＝2?＝2.
【答案】 2
9．(2009年安徽卷)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.三、解答题(共46分)
10．(15分)设i、j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且＝－2i＋mj，＝ni＋j，＝5i－j，若点A、B、C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m、n的值．
【解析】 ＝－＝(n＋2)i＋(1－m)j，
＝－＝(5－n)i＋(－2)j.
∵点A、B、C在同一条直线上，∴∥，
即＝λ，
∴(n＋2)i＋(1－m)j＝λ[(5－n)i＋(－2)j]，
∴，解得或.
11．(15分)如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，＝，＝a，＝b.
(1)用a、b表示向量、、、、；
(2)求证：B、E、F三点共线．
连接BG、CG，得到?ABGC，
所以＝a＋b，
＝＝(a＋b)，
＝＝(a＋b)．
＝＝b，
＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)．
＝－＝b－a＝(b－2a)．
(2)证明：由(1)可知＝，
所以B、E、F三点共线．
(2)由题意知点P是在以点C为圆心，2为半径的圆周上运动，所以由几何意义即得||的最大值和最小值分别应该为8和4.
课件41张PPT。1.平面向量的实际背景及基本概念
(1)了解向量的实际背景．
(2)理解平面向量的概念及向量相等的含义．
(3)理解向量的几何表示．
2．向量的线性运算
(1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
(2)掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义．
(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义．
3．平面向量的基本定理及坐标表示
(1)了解平面向量的基本定理及其意义．
(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
4．平面向量的数量积
(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义．
(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
(3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
5．向量的应用
(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．第一节 平面向量的基本概念及线性运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有 又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)。
(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0或0.
(3)单位向量：长度等于 的向量．
(4)平行向量：方向___________________向量；平行向量又叫__________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量 ．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．大小方向1个单位相同或相反的非零共线向量平行向量与有向线段的区别与联系：向量与有向线段都是既有大小又有方向的量，向量可以用有向线段来表示，这是二者的联系．向量有两个要素：大小和方向．而有向线段则有三个要素：大小，方向和起点．大小相等，方向相同的两个向量是相等向量，而大小相等，方向相同的两个有向线段不一定相同，即：平移向量，向量不变；平移有向线段，有向线段发生改变；向量与起点无关，有向线段与起点有关．这是二者的区别．(3)加法运算律
a＋b＝b＋a(交换律)；
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(结合律)．
(4)加法的几何意义：从法则可以看出，如图所示．
3．向量的减法及其几何意义
(1)相反向量
与a__________________的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
①规定：零向量的相反向量__________；
②－(－a)＝a；
③a＋(－a)＝0，即互为相反向量的两向量的和是 ．
④若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.长度相等、方向相反仍是零向量零向量(2)向量的减法
①定义a-b=a+(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的 ．相反向量4．向量数乘运算及其几何意义
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ＞0时，λa与a的方向 ；当λ＜0时，λa与a的方向 ；当λ＝0时，λa＝0.
(2)运算律
设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝(λμ)a.(结合律)
②(λ＋μ)a＝λa＋μa.(第一分配律)
③λ(a＋b)＝λa＋λb.(第二分配律)
(3)两个向量共线定理：向量b与a(a≠0)共线的充要条件是b＝λa.相同相反(1)要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”，即第二个向量的起点与第一个向量的终点重合，和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”，即两个向量的起点重合，差向量由减向量的终点指向被减向量的终点；平行四边形法则的要素是“起点重合”，即两个向量的起点相同，和向量的起点也相同．1．如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( )
【答案】 C【答案】 A【答案】 A【答案】 2n－m给出下列命题：【解析】 ①错，向量可用有向线段表示，但并不是有向线段．②错，因为 ，则可能A、B、D、C四点在一条直线上．③正确．④错，若b＝0，则对不共线的向量a与c，也有a∥0，0∥c，但a与c不平行．
【答案】 B如图所示，D、E分别是△ABC中，AB、 在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，即充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用三角形、平行四边形法则，充分利用三角形中的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．设两个非零向量a与b不共线，(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．本节重点考查平面向量的有关概念、线性运算及其几何表示．
多以选择、填空的形式呈现，有时和其他知识相结合，在知识的交汇点处命题．1．(2009年湖南卷)如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则( )【答案】 A2．(2009年北京卷)已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向【答案】 D课时作业
点击进入链接
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．已知下列各式：①|a|2＝a2；②＝；③(a·b)2＝a2·b2；④(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，其中正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 ①④正确．
【答案】 B
2．(2009年重庆卷)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角是( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵a·(b－a)＝a·b－a2＝2，∴a·b＝2＋a2＝3.
∴cos
＝＝＝，∴a与b的夹角为.
【答案】 C
3．已知向量＝(2,2)，＝(cos α，sin α)，则向量的模的最大值是( )
A．3 B．3
C. D．18
【解析】 由已知易得：＝＋＝(2＋cos α，2＋sin α)，故|O|2＝(2＋cos α)2＋(2＋sin α)2＝10＋8sin≤18，即|O|≤3，故选B.
【答案】 B
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为( )
A．30°或150° B．60°或120°
C．120° D．150°
【解析】 对向量a与向量a＋b的夹角为π，可设向量a＋b与向量c的夹角为α，则(a＋b)·c＝|a＋b|·|c|·cos α＝5cos α＝，所以cos α＝，α＝60°，则向量a与向量c所夹的角应为120°.答案为C.
【答案】 C
5．若a与b－c都是非零向量，则“a·b＝a·c”是“a⊥(b－c)”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 由a·b＝a·c得a·(b－c)＝0，
又a与b－c都是非零向量，∴a⊥(b－c)．
又由a⊥(b－c)得a·(b－c)＝0，即a·b＝a·c，
故a·b＝a·c是a⊥(b－c)的充分必要条件．
【答案】 C
6．若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且＋＋＝0，则·＝( )
A. B．0
C．1 D．－
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．
8．(2008年陕西卷)关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：
①若a·b＝a·c，则b＝c.
②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3.
③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.
其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．
【解析】 命题①明显错误．由两向量平行的充要条件得1×6＋2k＝0，k＝－3，故命题②正确．
由|a|＝|b|＝|a－b|，再结合平行四边形法则可得a与a＋b的夹角为30°，命题③错误．
【答案】 ②
9．(2009年天津卷)若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.
【解析】
如图所示．
·=(-)·(-)
=·
＝·
＝·－2－2＋·
＝·－2－2
＝×(2)2×－(2)2－(2)2
＝－2.
【答案】 －2
三、解答题(共46分)
10．(15分)已知|a|＝1，|b|＝，a与b的夹角为θ.
(1)若a∥b，求a·b；
(2)若a－b与a垂直，求θ.
【解析】 (1)∵a∥b，∴θ＝0或π，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝1××cos θ＝±.
(2)∵(a－b)⊥a，∴a·(a－b)＝0，
即a2－a·b＝0，
∴1－1×cos θ＝0，∴cos θ＝.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
11．(15分)(2009年上海卷)已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．
【解析】 (1)证明：∵m∥n，∴asin A＝bsin B，
即a·＝b·，
其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.
∴△ABC为等腰三角形．
(2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0
∴a＋b＝ab.
由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
即(ab)2－3ab－4＝0.
∴ab＝4(舍去ab＝－1)，
∴S＝absin C＝×4×sin ＝.
12．(16分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知m＝，n＝，且满足|m＋n|＝.
(1)求角A的大小；
(2)若|A|＋|A|＝|B|，试判断△ABC的形状．
【解析】 (1)由|m＋n|＝，得m2＋n2＋2m·n＝3，
即1＋1＋2＝3，
∴cos A＝，∵0＜A＜π，∴A＝.
(2)∵|A|＋|A|＝|B|，∴b＋c＝a，
∴sin B＋sin C＝sin A，
∴sin B＋sin＝×，即sin B＋cos B＝，
∴sin＝.∵0＜B＜，∴＜B＋＜，
∴B＋＝或，故B＝或.当B＝时，C＝；当B＝时，C＝.故△ABC是直角三角形．
课件38张PPT。第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例
1．向量的夹角
(1)已知两个非零向量a和b，作=a，
=b，则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角．
(2)向量夹角θ的范围是[0，π]，a与b同向时，夹角θ=0；a与b反向时，夹角θ=π.
(3)如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.规定零向量可与任一向量垂直．常见的向量夹角θ的三种形式：
2．平面向量的数量积
(1)数量积的定义
已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
其中θ是a与b的夹角，|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影．
规定：零向量与任何向量的数量积为0.
(2)数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．3．平面向量数量积的性质
设a，b是两个非零向量，e是单位向量，则有：
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ(θ为a，e的夹角)．
(2)a⊥b?a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，
特别地，a·a＝a2＝|a|2.
(4)|a·b|≤|a||b|.
(5)cos θ＝.4．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
向量的数量积不满足结合律：一般地，(a·b)c≠a(b·c)．
同样，由a·b＝b·c不能得出a＝c，由a·b＝0不能推出a＝0，或b＝0.6．平面向量应用举例
(1)平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此可以用向量方法解决部分几何问题．
(2)物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的加减法相似，故可以用向量的知识来解决某些物理问题．
(3)平面向量作为一种重要的数学工具，经常与函数、不等式、三角函数、解三角形、解析几何等知识相结合进行考查．1．(2009年全国卷Ⅰ)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则＝( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
【解析】 ∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2.
又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2，
即2|a||b|cos＝－|b|2.
∴cos＝－1/2，∴＝120°.
【答案】 B2．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则a·(b·c)等于( )
A．(26，－78) B．(－28，－42)
C．－52 D．－78
【解析】 a·(b·c)＝(1，－3)×(4×2＋6×3)＝(26，－78)．
【答案】 A【答案】 C已知等边三角形ABC的边长为1，求：(2009年江苏卷)设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值；
(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.
【解析】 (1)因为a与b－2c垂直，所以a·(b－2c)
＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β
＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，
因此tan(α＋β)＝2.与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．如图所示，若点D是△ABC内一点，并且满足AB2＋CD2＝AC2＋BD2，
求证：AD⊥BC.
一般情况下，用向量解决平面几何问题，要用不共线的向量表示题目所涉及的所有向量，再通过向量的运算法则和性质解决问题．
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
②通过运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
③把运算结果“翻译”成几何关系．平面向量数量积的运算，模与夹角、平行与垂直问题是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式出现，属中低档题，但灵活多变．与三角函数、解析几何等知识综合命题，是高考的另一个热点．【答案】 D2．(2009年湖南卷)已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2)．
(1)若a∥b，求tan θ的值；
(2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值．
【解析】 (1)因为a∥b，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，
于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝1/4.
(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，
所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5.
从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，课时作业
点击进入链接课时作业
点击进入链接
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．(2008年广东卷)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－4，－8) D．(－5，－10)
【解析】 ∵a∥b?＝?m＝－4,2a＋3b＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．故选C.
【答案】 C
2．已知向量a＝(3，－2)，b＝(－2,1)，c＝(7，－4)，试用a和b来表示c.下面正确的表述是( )
A．c＝5a－3b B．c＝a－2b
C．c＝2a－b D．c＝2a＋b
【解析】 设c＝λa＋μb，则(7，－4)＝λ(3，－2)＋μ(－2,1)，由向量相等得
得
【答案】 B
3．如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是( )
A．若实数λ1、λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1、λ2是实数
C．λ1、λ2为实数，向量λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内
D．对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2有无数对
【解析】 平面向量的基本定理指：如果e1、e2 是同一平面内两个不共线向量，那么对这个平面内任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.注意，基底e1、e2是该平面内一对不共线向量．
【答案】 A
4．已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝2，则实数a等于( )
A．2 B．1
C. D.
【解析】 设C(x，y)，则
＝(x－7，y－1)，＝(1－x,4－y)，
∵＝2，
∴，解得.
∴C(3,3)．
又∵C在直线y＝ax上，
∴3＝a·3，∴a＝2.
【答案】 A
5．设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“”为mn＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1,2)，pq＝(－4，－3)．则q等于( )
A．(2,1) B．(－2,1)
C．(2，－1) D．(－2，－1)
【解析】 设q＝(x，y)，由题设中运算法则得：
pq＝(x－2y，y＋2x)＝(－4，－3)
∴解之得.
故q＝(－2,1)．故应选B.
【答案】 B
6．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件是( )
A．m≠－2 B．m≠
C．m≠1 D．m≠－1
【解析】 若点A、B、C不能构成三角形，则只能共线．
∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，
＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．
假设A、B、C三点共线，
则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.
∴若A、B、C三点能构成三角形，则m≠1.
【答案】 C
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．已知a1＝(1,0)，a2＝(1，－1)，a3＝(2,2)，若a1＋xa2＋ya3＝0，则x＋y的值为________．
【解析】 由条件知得.x＋y＝－.
【答案】 －
8．已知向量a＝(3,1)，b＝(－2，)，直线l过点A(1,2)，且a＋2b是其方向向量，则直线l的一般式方程为________________．
【解析】 ∵a＝(3,1)，b＝，∴a＋2b＝(－1,2)，故直线l的斜率为－2，又l过点A(1,2)，∴l的方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.故填2x＋y－4＝0.
【答案】 2x＋y－4＝0.
9．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{b|b＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R}，则M∩N＝________.
【解析】 由(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，
得，
解得，∴M∩N＝{(－2，－2)}．
【答案】 {(－2，－2)}
三、解答题(共46分)
10．(15分)已知点A(－1,2)，B(2,8)以及＝，＝－，求点C、D的坐标和的坐标．
【解析】 设点C、D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
由题意得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，
＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．
因为＝，＝－，
所以有和
解得和
所以点C、D的坐标分别是(0,4)，(－2,0)，
从而＝(－2，－4)
11．(15分)如图所求，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB的交点P的坐标．
【解析】 方法一：设＝t＝t(4,4)＝(4t,4t)，则
＝－＝(4t,4t)－(4,0)
＝(4t－4,4t)，
＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
由，共线的充要条件知(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，
解得t＝.
∴＝(4t,4t)＝(3,3)．
∴P点坐标为(3,3)．
方法二：设P(x，y)，则＝(x，y)，
＝(4,4)．∵，共线，
∴4x－4y＝0.①
又＝(x－2，y－6)，
＝(2，－6)，
且向量、共线．
∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.②
解①，②组成的方程组，得x＝3，y＝3，
∴点P的坐标为(3,3)．
12．(16分)已知向量u(x，y)与向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．
(1)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)与f(b)的坐标；
(2)求使f(c)＝(p，q)(p、q为常数)的向量c的坐标；
(3)证明：对任意的向量a、b及常数m、n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立．
【解析】 (1)∵a＝(1,1)，
∴f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)．
又∵b＝(1,0)，
∴f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．
(2)设c(x，y)，
则f(c)＝(y,2y－x)
＝(p，q)，
∴∴
c＝(2p－q，p)．
(3)证明：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
则ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，
∴f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)．
∵mf(a)＝m(a2,2a2－a1)，nf(b)＝n(b2,2b2－b1)，
∴mf(a)＋nf(b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，
∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立．
课件34张PPT。第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理及坐标表示
(1)平面向量基本定理
定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．不共线有且只有(1)设e1、e2是同一平面内的一组基底，如果有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，则a、e1、e2共面．
(2)如果e1，e2是同一平面内的一组基底，且λ1e1＋λ2e2＝0(λ1∈R，λ2∈R)，那么λ1＝λ2＝0.
(2)平面向量的坐标表示
①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．2．平面向量的坐标运算
(1)加法、减法、数乘运算
(2)向量坐标的求法
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于_________________
(3)平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a与b共线?a＝λb?x1y2－x2y1＝0.该向量终点的坐标减去始点的坐标．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件能不能写成 ？
【提示】 不能．因为x2，y2有可能为0，故应表示成x1y2－x2y1＝0.【答案】 A2．设向量a＝(1,3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为( )
A．(2,6) B．(－2,6)
C．(2，－6) D．(－2，－6)
【解析】 由题知4a＝(4，－12)，
4b－2c＝(－6,20),2(a－c)＝(4，－2)，
由题意知：4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，
则(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋d＝0，
即(2,6)＋d＝0，故d＝(－2，－6)，选D.
【答案】 D【答案】 B4．下列各组向量：
①e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)；
②e1＝(3,5)，e2＝(6,10)；
③e1＝(2，－3)，e2＝ .
其中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是______(填序号)．【解析】 ②中e2＝2e1，③中e1＝4e2，故②，③中e1，e2共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底．
【答案】 ①【答案】 (2,4) (－3,9) (－5,5)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．已知平面内三个向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
②若a∥b(a≠0)，则b＝λa.2．已知四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次是(3，－1)，(1,2)，(－1,1)，(3，－5)，求证：四边形ABCD是梯形．本节内容是向量的坐标运算及用坐标表示平面向量共线的条件是高考考查的热点，常以选择、填空题的形式出现，为中、低档题．向量的坐标运算常与三角，函数、不等式、解析几何等知识结合，在知识交汇点处命题，多以解答题的形式呈现，属中档题．1．(2009年湖北卷)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝( )
A．3a＋b B．3a－b
C．－a＋3b D．a＋3b【答案】 B2．(2009年辽宁卷)在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．【答案】 (0，－2)课时作业
点击进入链接阶段质量检测(五)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)
1．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b( )
A．垂直 B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
【解析】 已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，a·b＝－30＋30＝0，则a与b垂直，故选A.
【答案】 A
2．给出下列命题：
①若a∥b，则a与b的方向相同或相反；②若a∥b，b∥c，则a∥c；③若两个单位向量互相平行，则有两个单位向量相等；④若a＝b，b＝c，则a＝c.
其中正确命题的个数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 由于零向量的方向是任意的，取a＝0，则对于任意向量b，都有a∥b，知①错；取b＝0，则对于任意向量a，c都有a∥b，b∥c，但得不到a∥c，知②错；两个单位向量互相平相，方向可能相反，知③错；易知④对．可得①②③错，④正确，故选A.
【答案】 A
3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C.所对的边．若A＝，b＝1，△ABC的面积为，则a的值为( )
A．1 B．2
C. D.
【解析】 由已知得：bcsin A＝×1×c×sin 60°＝?c＝2，则由余弦定理可得：a2＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3?a＝.
【答案】 D
4．已知圆O的半径为a，A，B是其圆周上的两个三等分点，则·＝( )
A.a2 B．－a2
C.a2 D．－a2
【解析】 结合图形易知两向量夹角为，且||＝a，||＝a，故·＝||×||×cos＝－.
【答案】 B
5．已知函数y＝2sin2－cos 2x，则它的周期T和图象的一条对称轴方程是( )
A．T＝2π，x＝ B．T＝2π，x＝
C．T＝π，x＝ D．T＝π，x＝
【解析】 ∵y＝2sin2－cos 2x＝1－cos－cos 2x＝1＋sin 2x－cos 2x＝1＋sin，所以其周期T＝π，对称轴方程的表达式可由2x－＝kπ＋(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，故当k＝0时的一条对称轴方程为x＝.
【答案】 D
6．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°【解析】 ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.
又∵g(x)＝sin x在x∈上是增函数，
∴sin 11°【答案】 C
7．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·＝( )
A．－ B．－
C. D.
【解析】 方法一：在△ABC中由余弦定理得，
cos A＝＝＝，
∴·＝||·||cos A＝3×2×＝.故选D.
方法二：∵＝－，
∴2＝2＋2－2··，
∴10＝9＋4－2··，∴·＝，故选D.
【答案】 D
8．设集合M＝{平面内的点(a，b)}，N＝{f(x)＝acos 2x＋bsin 2x，x∈R}，给出从M到N的映射f：(a，b)→f(x)＝acos 2x＋bsin 2x，则点(1，)的象f(x)的最小正周期为( )
A．π B.
C. D.
【解析】 f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，则最小正周期为π.
【答案】 A
9．已知点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)．给出下面的结论：①∥；②⊥；③＋＝；④＝－2.其中正确结论的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【解析】 ①由于＝(－2,1)，＝(2，－1)?＝－?∥，由共线向量基本定理易知命题正确；
②·＝(2,1)·(－2,1)＝－3≠0，故命题错误；
③＋＝(2,1)＋(－2,1)＝(0,2)＝，命题正确；
④＝(－4,0)，－2＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，故命题正确，因此正确结论的个数共有3个，故选D.
【答案】 D
10．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．AC边所在的直线上 B．BC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．△ABC的内部
【解析】 由于＝λ＋?＋＝λ?＝λ，根据共线向量的基本条件，则C、P、A三点共线，故选A
【答案】 A
11．已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是( )
A.∪[6，＋∞)
B.∪
C．(－∞，－2]∪[6，＋∞)
D.∪
【解析】 当ω>0时，－ω≤ωx≤ω，
由题意知－ω≤－，即ω≥，
当ω<0时，ω≤ωx≤－ω，
由题意知－ω≥，即ω≤－，
综上知，ω的取值范围是∪.
【答案】 D
12．设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积：a?b＝(a1，b1)?(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知m＝，n＝，点P(x，y)在y＝sin x的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动，且满足＝m?＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)的最大值A及最小正周期T分别为( )
A．2，π B．2,4π
C.，4π D.，π
【解析】 设P(x0，y0)，Q(x，f(x))，
则由已知得(x，f(x))＝，
即x＝2x0＋，∴x0＝x－.
f(x)＝y0，∴y0＝2f(x)．
又y0＝sin x0，∴2f(x)＝sin，
f(x)＝sin.
∴(f(x))max＝，T＝＝4π.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知向量a＝(1，－3)，b＝(4,2)，若a⊥(b＋λa)，其中λ∈R，则λ＝________.
【解析】 根据题意可得，b＋λa＝(4,2)＋λ(1，－3)＝(4＋λ，2－3λ)，又a⊥(b＋λa)，∴a·(b＋λa)＝(1，－3)·(4＋λ，2－3λ)＝4＋λ－3(2－3λ)＝0，解得λ＝.
【答案】
14．已知角α的终边落在直线y＝－3x(x<0)上，则－＝________.
【解析】 ∵角α的终边落在直线y＝－3x(x<0)上，在角α的终边上取一点P(x0，－3x0)(x0<0)，
∴－3x0>0，∴p在第二象限，
∴－＝－＝1＋1＝2.
【答案】 2
15．已知函数f(x)＝sin(x＋α)＋cos(x－α)(x∈R)的值恒为零，则角α＝________.
【解析】 f(x)＝sin xcos α＋cos xsin α＋cos xcos α＋sin xsin α
＝sin x(cos α＋sin α)＋cos x(sin α＋cos α)
＝(cos α＋sin α)(sin x＋cos x)
＝2sinsin，
∵f(x)的值恒为0，
∴sin＝0，∴α＋＝kπ(k∈Z)．
∴α＝kπ－(k∈Z)．
【答案】 kπ－(k∈Z)
16．下列命题：
①若f(x)是定义在[－1,1]上的偶函数，且在[－1,0]上是增函数，θ∈，则f(sin θ)>f(cos θ)；
②若锐角α，β满足cos α>sin β，则α＋β<；
③若f(x)＝2cos2－1，则f(x＋π)＝f(x)对x∈R恒成立；
④要得到函数y＝sin的图象，只需将y＝sin的图象向右平移个单位，其中真命题是________(把你认为所有正确的命题的序号都填上)．
【解析】 ①由已知可得函数在[0,1]上为减函数，且由于θ∈?1>sin θ>cos θ>0，故有f(sin θ)sin β＝cos?α<－β?α＋β<，故②正确；③错，易知f(x)＝cos x，其周期为2π，故应有f(x)＝f(x＋2π)恒成立，④错，应向右平移个单位得到．
【答案】 ②
三、解答题(本大题共6小题．共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知α∈，β∈且sin(α＋β)＝，cos β＝－.求sin α.
【解析】 ∵β∈，cos β＝－，∴sin β＝.
又∵0<α<，<β<π，
∴<α＋β<，又sin(α＋β)＝，
∴<α＋β<π，
cos(α＋β)＝－
＝－＝－，
∴sin α＝sin[(α＋β)－β]
＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β
＝·－·＝.
18．(12分)设a＝(－1,1)，b＝(4,3)，c＝(5，－2)
(1)求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；
(2)求c在a方向上的投影；
(3)求λ1和λ2，使c＝λ1a＋λ2b.
【解析】 (1)证明：∵a＝(－1,1)，b＝(4,3)，－1×3≠1×4，
∴a与b不共线，
cos＝＝＝－.
(2)cos〈a，c〉＝＝＝－，
∴c在a方向上的投影为
|c|cos〈a，c〉＝－.
(3)∵c＝λ1a＋λ2b，∴，
解得λ1＝－，λ2＝.
19．(12分)在△ABC中，BC＝，AC＝3，sinC＝2sinA.
(1)求AB的值；
(2)求sin的值．
【解析】 (1)在△ABC中，根据正弦定理，＝.
于是AB＝BC＝2BC＝2.
(2)在△ABC中，根据余弦定理，
得cos A＝＝.
于是sin A＝＝.从而sin 2A＝2sin A·cos A＝，cos 2A＝cos2A－sin2A＝
∴sin＝sin 2Acos－cos 2Asin ＝.
20．(12分)已知向量m＝(sin A，cos A)，n＝(cos B，sin B)，m·n＝sin 2C，且A、B、C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角．
(1)求角C的大小；
(2)设sin A，sin C，sin B成等比数列，且·(－)＝18，求c的值．
【解析】 (1)m＝(sin A，cos A)，n＝(cos B，sin B)，
m·n＝sin 2C，
∴sin Acos B＋cos Asin B＝sin 2C，
即sin C＝sin 2C，
∴cos C＝.
又C为三角形的内角，∴C＝.
(2)∵sin A，sin C，sin B成等比数列，∴sin2C＝sin Asin B，
∴c2＝ab.
又·(－)＝18，即·＝18，
∴abcos C＝18，∴ab＝36，即c2＝36，∴c＝6.
21．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0，0<φ<)的周期为π，且图象上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[0，]时，求f(x)的最值．
【解析】 (1)由最低点为M得A＝2.
由T＝π，得ω＝＝＝2.
由点M在图象上得2sin＝－2，
即sin＝－1，
∴＋φ＝2kπ－(k∈Z)，即φ＝2kπ－(k∈Z)．
又φ∈，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.
(2)∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]，
∴当2x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最小值1；当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值，
22．(12分)已知f(x)＝2sincos＋2cos2－.
(1) 化简f(x)的解析式；
(2)若0≤θ≤π，求θ，使f(x)为偶函数；
(3)在(2)的条件下，求满足f(x)＝1，x∈[－π，π]的x的集合．
【解析】 (1)f(x)＝2sincos＋2cos2－
＝sin(2x＋θ)＋[1＋cos(2x＋θ)]－
＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)
＝2sin.
(2)为使函数f(x)为偶函数，当且仅当f(x)＝f(－x)恒成立，
即2sin＝2sin.
∴2x＋θ＋＋＝2kπ＋π，k∈Z.
∵0≤θ≤π，
∴当k＝0时，θ＝，
(3)在(2)的条件下，f(x)＝2cos 2x，
由2cos 2x＝1及x∈[－π，π]得，
x的集合为.
