位似学案
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27.3位似
教学目标
1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．
2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．
3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．
重点、难点
1．重点：位似图形的有关概念、性质与作图．
2．难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．
知识点
1．如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形. 这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.（位似中心可在形上、形外、形内.) 每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．
2．利用位似，可以将一个图形放大或缩小
例1．把图1中的四边形ABCD缩小到原来的．
分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ．
注意：画已知图形的位似图形时，要明确位似的两个因素，即位似中心和位似比。
例2．（1）如图27.3-4(1)，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？
(2)如图27.3-4(2)，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
【归纳】 位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
【同步练习】
1.下列说法中不正确的是（ ）
A．位似图形一定是相似图形； B．相似图形不一定是位似图形；
C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行
2．按如下方法将△ABC的三边缩小来原来的：如图所示，任取一点O，连AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法中正确的个数是（ ）
①△ABC与△DEF是位似图形；
②△ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF是周长的比为2：1；
④△ABC与△DEF面积比为4：1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图2，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换： （请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换）．
4.如图,以BC的三等分点O为位似中心,按比例尺1:2,把矩形ABCD缩小.
5.如图,已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3,-1)、(2,1)．
⑴、以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2) 画出图形;
⑵、分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；
⑶、如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y),写出M的对应点M′的坐标．
6．.如图,在直角坐标系中△ABC的A、B、C三点坐标为A(7,1)、B(8,2)、C(9,0)．请在图中画出△ABC的一个以点P (12,0)为位似中心,相似比为3的位似图形(要求与△ABC同在P点一侧, 放大3倍);
7．如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB、PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮．（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在的位置（用点C标出）；
（2）已知：MN＝20m，MD＝8m，PN＝24m．求（1）中的点C到胜利街口的距离CM
8(选做)在AB＝30m，AD＝20m的矩形ABCD的花坛四周修筑小路．
（1）如果四周的小路的宽均相等，如图（1），那么小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由．
（2）如果相对着的两条小路的宽均相等，如图（2），试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD位似？请说明理由．
图2
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27.3位似
教学目标
1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．
2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．
3．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．
重点、难点
1．重点：位似图形的有关概念、性质与作图．
2．难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．
知识点
1．如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形. 这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.（位似中心可在形上、形外、形内.) 每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．
2．利用位似，可以将一个图形放大或缩小
例1．把图1中的四边形ABCD缩小到原来的．
分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ．
注意：画已知图形的位似图形时，要明确位似的两个因素，即位似中心和位似比。
例2．（1）如图27.3-4(1)，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？
(2)如图27.3-4(2)，△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
【归纳】 位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
【同步练习】
1.下列说法中不正确的是（ ）
A．位似图形一定是相似图形； B．相似图形不一定是位似图形；
C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行
2．按如下方法将△ABC的三边缩小来原来的：如图所示，任取一点O，连AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法中正确的个数是（ ）
①△ABC与△DEF是位似图形；
②△ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF是周长的比为2：1；
④△ABC与△DEF面积比为4：1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图2，用放大镜将图形放大，应属于哪一种变换： （请选填：对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换）．
4.如图,以BC的三等分点O为位似中心,按比例尺1:2,把矩形ABCD缩小.
5.如图,已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3,-1)、(2,1)．
⑴、以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2) 画出图形;
⑵、分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；
⑶、如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y),写出M的对应点M′的坐标．
6．.如图,在直角坐标系中△ABC的A、B、C三点坐标为A(7,1)、B(8,2)、C(9,0)．请在图中画出△ABC的一个以点P (12,0)为位似中心,相似比为3的位似图形(要求与△ABC同在P点一侧, 放大3倍);
7．如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB、PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮．（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在的位置（用点C标出）；
（2）已知：MN＝20m，MD＝8m，PN＝24m．求（1）中的点C到胜利街口的距离CM
8(选做)在AB＝30m，AD＝20m的矩形ABCD的花坛四周修筑小路．
（1）如果四周的小路的宽均相等，如图（1），那么小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由．
（2）如果相对着的两条小路的宽均相等，如图（2），试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD位似？请说明理由．
图2
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