12.1.2 轴对称
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课件41张PPT。12.1.2轴对称12.1.2轴对称南门学校 八年（3。5)班给我最大快乐的，不是已懂的知识，
而是不断的学习.----高斯1、什么叫轴对称图形?什么叫对称轴?如果一个图形沿着一条线折叠，两侧的图形能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形。折痕所在的直线就是轴对称图形的对称轴。2、什么叫两个图形成轴对称?如果把一个图形沿着某一直线折叠,能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,也称为这两个图形成轴对称,这条直线也叫作对称轴,互相重合的两个点,其中一点叫作另一个点关于这条直线的对称点如图，△ABC和△ A‘ B’ C‘ 关于直线MN对称, 点A’ 、 B‘ 、 C’ 分别是 A、B、C的对称点，线段 AA‘ 、B B’ 、C C' 与直线MN有何关系?
知识探究PQS
对于其他的对应点也有类似情况。 因此，对称轴所在的直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段。也就是MN垂直平分AA’。A与A′重合, AP=A′P，∠APM=∠A′PM=90°
对称轴是过对称点所连线段的中点的垂线。 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也称中垂线）。 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。线段的垂直平分线的定义图形轴对称的性质ＡＢＮＭAA/BB/CC/轴对称图形的性质PCPA=PBP1A=P1B……由此你能得到什么规律？命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。AB命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 已知：如图， 直线MN⊥AB,垂足为C,
且AC=CB.点P在MN上.
求证： PA=PB
CPA=PB点P在线段AB的垂直平分线上性质定理有何作用？可证明线段相等定理应用格式：
∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点距离相等).线段垂直平分线性质CPA=PB点P在线段AB的垂直平分线上 （利用全等,仿照性质定理自己证明）反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB
的垂直平分线上?判定定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。判定定理有何作用？用途：判定一条直线是线段的中垂线性质定理和判定定理存在什么关系？题设和结论正好相反，是互逆关系线段垂直平分线性质 已知： 两点A、B，和点A、B的距离相等的点应在什么位置？ AB用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一 个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出去的方向与木棒垂直呢？只要AC=BC就可以了结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上为什么？
（1）线段AB的垂直平分线上的所有点都满 足“和点A、B的距离相等”这一条件吗？
线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有的点的集合（2）满足“和A、B的距离相等”的所有点都
在线段AB的垂直平分线上吗？
1、如图直线MN垂直平分线段AB，则AE=AF。
判断题2、如图线段MN被直线AB垂直平分，则ME=NE。√3、如图PA=PB，则直线MN是线段AB的垂直平分线。二、逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条
线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线一、性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端
点的距离相等。三、 线段的垂直平分线的集合定义：
线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合小结定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理2 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 14.1 线段的垂直平分线定 理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合ABMNP点的集合是一条射线点的集合是一条直线拓展：如图所示，在△ABC中，AB=AC＝32，MN是AB的垂直平分线，且有BC=21，求△BCN的周长。1、 如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC 、CE 的长度有什么关系？AB+BD 与DE有什么关系？P34练习AC=CEAB+BD=DE2、如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？已知： △ABC中，边AB、 BC的垂直平分线交于点P。 求证：PA=PB=PC.结论：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等。证明：∵MN⊥AB，P在MN上
∴PA=PB（线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等）
同理：PB=PC
∴PA=PB=PCMFEN 如图，八（5）班与八（6）班两个班的学生分别在M、N两处参加植树劳动，现要在道路AO、BO的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且PM=PN，请你找出P点。?MNABO做一做如图,已知:?AOB,点M、N.
求作:一点P,使点P到?AOB两边的距离相等,并且满足PM=PN.点P为所求
作的茶水供应点P问题（一）如何作轴对称图形的对称轴？作出对应点所连线段的垂直平分线1.如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条对称轴吗？问题（二）如何作出线段的垂直平分线？（经过线段中点并且垂直于这条线段的直线）根据线段的垂直平分线的定义：
（１）找出线段中点．
（２）过中点作这条线段的垂线．如何用尺规作图法作出线段的垂直平分线？思考：提示：由两点确定一条直线和线段的垂直平分线的性质，只要作出到线段两端点距离相等的两个点即可．1.如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条对称轴吗？AB⑴分别以点A、B为圆心，以大于于 AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；
⑵作直线CD
CD即为所求的直线。CD作法：ABCA′B′C′P2.△ABC与△A′B′C′关于某条直线对称，请你作出它的对称轴。MN就是它们的对称轴。如何作出五角星的对称轴?思考分析：只要找到任意一组对应点，作出这对对应点连线的垂直平分线，就可以得到此图形的对称轴． ＡＡ1Ａ２作法：1.找出五角星的一对对应点
Ａ、Ａ１ , 连接ＡＡ１２.作出线段ＡＡ１的垂直平分线 Ａ3Ａ２Ａ3就是一条对称轴。五角星共有几条条对称轴？1.有时我们感觉两个图形是轴对称，如何验证？
2.如图，△ABC与△DEF关于某条直线成轴对称吗？归纳：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。用这种方法可以判定两个图形是否关于某条直线对称。思考：1.作出下列图形的对称轴试一试ＭＮ2.与图Ａ成轴对称的是哪个图形？画出它的对称轴。B谈谈你的收获１、用尺规作图作已知线段的垂直平分线；
２、用作垂直平分线的方法作轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴；
３、验证图形是否是轴对称图形或是否成轴对称。 线段是轴对称图形．它有两条对称轴，分别为:线段的中垂线,线段本身所在的直线.线段是不是轴对称图形？OAB 角是轴对称图形，对称轴是角平线所在的直线.角是不是轴对称图形？两相交直线是不是轴对称图形？ 如图甲，△ABC和△A′B′C′关于直线L对称，延长对应线
段AC和A′C′，两条延长线相交吗？交点与对称轴L有什么
关系？延长其他对应线段呢？在图乙中，AC与A′C′又如何
呢？再找几个成轴对称的图形观察一下，能发现什么规律吗？ 结论：成轴对称的两个图形，对应线段的延长线如果相
交，交点一定在对称轴上；对应线段的延长线如果不相交，也就是对应线段所在的直线平行，那么它们也与对称轴平行．寄语 如果你智慧的双眼善于观察，善于发现，那你一定会觉得数学就在我们的身边。
老师相信：你辛勤的汗水一定会浇灌出智慧的花朵！
而是不断的学习.----高斯1、什么叫轴对称图形?什么叫对称轴?如果一个图形沿着一条线折叠，两侧的图形能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形。折痕所在的直线就是轴对称图形的对称轴。2、什么叫两个图形成轴对称?如果把一个图形沿着某一直线折叠,能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,也称为这两个图形成轴对称,这条直线也叫作对称轴,互相重合的两个点,其中一点叫作另一个点关于这条直线的对称点如图，△ABC和△ A‘ B’ C‘ 关于直线MN对称, 点A’ 、 B‘ 、 C’ 分别是 A、B、C的对称点，线段 AA‘ 、B B’ 、C C' 与直线MN有何关系?
知识探究PQS
对于其他的对应点也有类似情况。 因此，对称轴所在的直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段。也就是MN垂直平分AA’。A与A′重合, AP=A′P，∠APM=∠A′PM=90°
对称轴是过对称点所连线段的中点的垂线。 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也称中垂线）。 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。线段的垂直平分线的定义图形轴对称的性质ＡＢＮＭAA/BB/CC/轴对称图形的性质PCPA=PBP1A=P1B……由此你能得到什么规律？命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。AB命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 已知：如图， 直线MN⊥AB,垂足为C,
且AC=CB.点P在MN上.
求证： PA=PB
CPA=PB点P在线段AB的垂直平分线上性质定理有何作用？可证明线段相等定理应用格式：
∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点距离相等).线段垂直平分线性质CPA=PB点P在线段AB的垂直平分线上 （利用全等,仿照性质定理自己证明）反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB
的垂直平分线上?判定定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。判定定理有何作用？用途：判定一条直线是线段的中垂线性质定理和判定定理存在什么关系？题设和结论正好相反，是互逆关系线段垂直平分线性质 已知： 两点A、B，和点A、B的距离相等的点应在什么位置？ AB用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一 个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出去的方向与木棒垂直呢？只要AC=BC就可以了结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上为什么？
（1）线段AB的垂直平分线上的所有点都满 足“和点A、B的距离相等”这一条件吗？
线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有的点的集合（2）满足“和A、B的距离相等”的所有点都
在线段AB的垂直平分线上吗？
1、如图直线MN垂直平分线段AB，则AE=AF。
判断题2、如图线段MN被直线AB垂直平分，则ME=NE。√3、如图PA=PB，则直线MN是线段AB的垂直平分线。二、逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条
线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线一、性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端
点的距离相等。三、 线段的垂直平分线的集合定义：
线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合小结定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理2 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 14.1 线段的垂直平分线定 理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合ABMNP点的集合是一条射线点的集合是一条直线拓展：如图所示，在△ABC中，AB=AC＝32，MN是AB的垂直平分线，且有BC=21，求△BCN的周长。1、 如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC 、CE 的长度有什么关系？AB+BD 与DE有什么关系？P34练习AC=CEAB+BD=DE2、如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？已知： △ABC中，边AB、 BC的垂直平分线交于点P。 求证：PA=PB=PC.结论：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等。证明：∵MN⊥AB，P在MN上
∴PA=PB（线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等）
同理：PB=PC
∴PA=PB=PCMFEN 如图，八（5）班与八（6）班两个班的学生分别在M、N两处参加植树劳动，现要在道路AO、BO的交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且PM=PN，请你找出P点。?MNABO做一做如图,已知:?AOB,点M、N.
求作:一点P,使点P到?AOB两边的距离相等,并且满足PM=PN.点P为所求
作的茶水供应点P问题（一）如何作轴对称图形的对称轴？作出对应点所连线段的垂直平分线1.如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条对称轴吗？问题（二）如何作出线段的垂直平分线？（经过线段中点并且垂直于这条线段的直线）根据线段的垂直平分线的定义：
（１）找出线段中点．
（２）过中点作这条线段的垂线．如何用尺规作图法作出线段的垂直平分线？思考：提示：由两点确定一条直线和线段的垂直平分线的性质，只要作出到线段两端点距离相等的两个点即可．1.如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条对称轴吗？AB⑴分别以点A、B为圆心，以大于于 AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；
⑵作直线CD
CD即为所求的直线。CD作法：ABCA′B′C′P2.△ABC与△A′B′C′关于某条直线对称，请你作出它的对称轴。MN就是它们的对称轴。如何作出五角星的对称轴?思考分析：只要找到任意一组对应点，作出这对对应点连线的垂直平分线，就可以得到此图形的对称轴． ＡＡ1Ａ２作法：1.找出五角星的一对对应点
Ａ、Ａ１ , 连接ＡＡ１２.作出线段ＡＡ１的垂直平分线 Ａ3Ａ２Ａ3就是一条对称轴。五角星共有几条条对称轴？1.有时我们感觉两个图形是轴对称，如何验证？
2.如图，△ABC与△DEF关于某条直线成轴对称吗？归纳：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。用这种方法可以判定两个图形是否关于某条直线对称。思考：1.作出下列图形的对称轴试一试ＭＮ2.与图Ａ成轴对称的是哪个图形？画出它的对称轴。B谈谈你的收获１、用尺规作图作已知线段的垂直平分线；
２、用作垂直平分线的方法作轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴；
３、验证图形是否是轴对称图形或是否成轴对称。 线段是轴对称图形．它有两条对称轴，分别为:线段的中垂线,线段本身所在的直线.线段是不是轴对称图形？OAB 角是轴对称图形，对称轴是角平线所在的直线.角是不是轴对称图形？两相交直线是不是轴对称图形？ 如图甲，△ABC和△A′B′C′关于直线L对称，延长对应线
段AC和A′C′，两条延长线相交吗？交点与对称轴L有什么
关系？延长其他对应线段呢？在图乙中，AC与A′C′又如何
呢？再找几个成轴对称的图形观察一下，能发现什么规律吗？ 结论：成轴对称的两个图形，对应线段的延长线如果相
交，交点一定在对称轴上；对应线段的延长线如果不相交，也就是对应线段所在的直线平行，那么它们也与对称轴平行．寄语 如果你智慧的双眼善于观察，善于发现，那你一定会觉得数学就在我们的身边。
老师相信：你辛勤的汗水一定会浇灌出智慧的花朵！