湘教版九年级上册全部教案

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名称 湘教版九年级上册全部教案
格式 rar
文件大小 1.4MB
资源类型 教案
版本资源 湘教版
科目 数学
更新时间 2010-10-01 22:29:00

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九年义务教育湘教版九年级数学上册教案
第 1 章 一元二次方程
20 年 月 日 第 1 周星期 总第 1 课时
课题 第1课时 一元二次方程
教学目标 1、整式方程和一元二次方程的定义;能识别一元二次方程;2、知道一元二次方程的一般形式aX2 + bX + c = 0 ( a≠0 ),能熟练的把一元二次方程整理成一般形式;3、在分析、揭示实际问题中的数量关系并把实际问题转化为数学模型。
教学重点 一元二次方程的意义及一般形式。
教学难点 正确识别一般式中的“项”及“系数”
教学用具
执教者
教学内容 共 案 个 案
一、新课引入:提出下面问题,由学生设未知数,并列出方程:(1)一个正方形的面积的2倍等于31,求这个正方形的边长。(2)一个数比另一个数小,且两数之积为0,求这个数。(3)一个数的平方的-倍与-2的和等于2,求这个数。(4)一个矩形的长比宽多5 cm,面积为150 cm2,求这个矩形的宽。设所求的量或数为 x ,可得如下方程:(1) 2x2 = 31 (2) x ( x +) = 0(3) -x2 -2 = 2 (4) x ( x + 5 ) = 150然后将上述方程改写成:(1) 2x2-31 = 0 (2) x2 + x = 0(3) - x2 -4 = 0 (4) x2 + 5x-150 = 0什么叫整式方程?怎样的方程叫一元一次方程?试举例说明。( 方程两边都是未知数的整式,叫整式方程;在整式方程中,只含一个未知数,并且未知数的最高次数是1,这样的方程叫作一元一次方程)二、新课讲解: 问题1、引导性材料1中,所得出的四个方程有哪些共同点? ( 学生分组讨论,然后各组交流 )(1) 都是整式方程 (2) 只含有一个未知数 (3) 未知数的最高次数是2从而教师导出一元二次方程的定义,得出一元二次方程的一般形式: aX2 + bX + c = 0 ( a≠0 )问题2 下列方程都是整式方程吗?其中哪些是一元一次方程?哪些是一元二次方程?(1) 3x + 2 = 5x-3 (2) x2 = 4(3) ( x-1 )( x-2 ) = x2+ 8 (4) ( x + 3 )( 3x-4 ) = (x + 2)2(上列方程都是整式方程。其(1)、(3)是一元一次方程,(2)、(4)是一元二次方程)说明:通过一元二次方程与一元一次方程的比较,既加深学生对整式方程的认识,又可使学生深刻理解一元二次方程的意义。问题3 为什么在一元二次方程的一般形式aX2 + bX + c = 0中,二次项系数不为0呢?说明:方程aX2 + bX + c = 0是一元二次方程,必须具备a≠0的条件。如果所研究的问题中,明确指出方程aX2 + bX + c = 0是一元二次方程,则它隐含了条件a≠0。若没有特别说明,方程aX2 + bX + c = 0既可能是一元二次方程( 当a≠0时) ,也有可能是一元一次方程( 当a = 0且b≠0时)。例题解析:例1 把方程( x + 3 )( 3x-4 ) = (x + 2)2化成一般形式,并指出它的二次项系数、一次项系数及常数项。解: 2x2 + x-16 = 0二次项系数是2,一次项系数是1,常数项是-16。一元二次方程的一般形式aX2 + bX + c = 0 (a≠0)具有两个特征:一是方程的右边为0;二是左边的二次项系数不能为0。此外要使学生意识到:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的,不同的一元二次方程的差异实质上是系数的差异,从而能正确的找出一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。例2 当 a、b、c 满足什么条件时,方程 (a-1)x2 + bx + c = 0 是一元二次方程?这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当a、b、c 满足什么条件时,方程 (a-1)x2 + bx + c = 0 是一元一次方程?本题供学有余力的同学讨论。当a = 1时是一元二次方程;当a=1,b≠0时是一元一次方程;三、课堂练习:教科书第5页练习第1题,第2题四、课堂小结:1、一元二次方程属于“整式方程”,其次它“只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2”,2、一元二次方程的一般形式aX2 + bX + c = 0 (a≠0),一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的,这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。3、在实际问题转化为数学模型( 一元二次方程 ) 的过程中,体会学习一元二次方程的必要性和重要性。五、作业:课本第5页练习第3 题 补充题:一、选择题(40分)将下题中唯一正确答案的序号填在题后的括号内。下列方程是一元二次方程的是( )A、         B、(x+2)(x-3)x=3x2+C、(x+1)(x2-x+1)=x3-x2      D、(2x2-1)2-1=0 二、解答题(每题30分,共60分)1、把下列各题化成一元二次方程的一般形式,再写出它的二次项、一次项及常数项;(1)()()=(y-2)2; (2)(x+a)2+2(x+a)(2x+c)=b22、对于方程x2-mx(2x-m-1)=0,当m为何值时,是一元二次方程?
板书设计 教学反思
一元二次方程一、新课引入二、新课讲解三、课堂练习四、课堂小结五、作业
第 1 章 一元二次方程
20 年 月 日 第 周星期 总第 课时
课题 第2课时 直接开平方法
教学目标 1、知道直接开平方法适用于解形如(x+h) 2=m的方程,它的依据是数的开方;2、会用直接开平方法解形如(x-a) 2=b (b≥0)的方程;3、在把(x-a) 2=b (b≥0)看成x 2=b (b≥0)的过程中,引导学生体会“换元”的数学方法。
教学重点 用直接开平方法解一元二次方程
教学难点 怎样的一元二次方程适用于直接开平方法
教学用具
执教者
教学内容 共 案 个 案
一、新课引入:要求学生复述平方根的意义。(1)文字语言表示:如果一个数的平方的等于a,这个数叫a的平方根。(2)用式子表示:若x 2=a,则x叫做a的平方根。一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。求适合等于x 2=4的x 的值。说明:学生不难看出本题的解(x=2或x=-2),教学中要注意引导学生观察这个方程的特点,探索解这个方程与已学知识(数的开方)的联系。在求出方程 x2-4 = 0 的解以后,引导学生总结:解这样的方程,就是要“求一个数,使它的平方是4”,即求4的平方根,可用开平方的方法。这个过程体现了数学常用的一种重要的数学思想方法——化归。事实上,解决数学问题的过程,就是一系列的转化过程,把未知的转化为已知的,最终使问题解决。 二、新课讲解: 问题1 如果一元二次方程:aX2 + bX + c = 0 (a≠0)的一次项系数b、常数项c中至少有一个为0,那么就能得到那些特殊的一元二次方程? (1) ax2 = 0 (2) ax2 + c = 0 (3) ax2+ bx = 0问题2 怎样解方程ax2 = 0?(可以3x2 = 0为具体例子,学生根据平方根的定义,得到x=0。应指出3x2 = 0有两个相等的实数根,即x=0,x=0 ;这与一元一次方程3x=0有一个根x=0是有区别的,进而指出:方程ax2 = 0有两个相等的实数根x=x=0)问题3 怎样解方程ax2 + c = 0 (a≠0)?可以(1) x2-4 = 0,(2) 2x2-50 = 0,(3) 2x2+50= 0等方程为例,由学生把它们变形为x2=-的形式,用平方根的定义来求解。接着指出:这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法,其中适合方程(3)的实数x不存在,所以原方程无实数解。进而引导学生归纳方程ax2+c = 0的解的情况:当a、c异号时,方程ax2+c = 0有两个不相等的实数根;当a、c同号时,方程ax2+c = 0没有实数根。说明:以上教学设计让学生经历由简单到复杂的研究过程,对于一元二次方程的解有全面了解;通过对方程ax2 + c = 0 (a≠0)解的情况的讨论,体会分类的思想;最后设计的几个过程,让学生判断、求解,体现了“换元”的思想方法。例题解析:课本例2在讲解例1时注意:1、对于形如“(x-a) 2=b (b≥0)”型的方程,教科书给出的例子是解方程(x+3) 2=2 。这时,只要把x+3看作一个整体,就可以转化为x 2=b (b≥0)型的方法去解决,这里渗透了“换元”的方法。2、在对方程(x+3) 2=2 两边同时开平方后,原方程就转化为两个一次方程。要向学生指出,这种变形实质上是将原方程“降次”。“降次”也是一种数学方法例2 不解方程,说出下列方程根的情况:1-3x2 = 2x2; (2) -4x2+1 = 0; (3) -0. 5x2-2 = 0.(通过训练,使学生明确一元二次方程的解有三种情况)解下列方程:(1-x)2 = 1;(2) (1+x)2-2 = 0;(3)(2x+1) 2+3 = 0;(4)x2-2x+1= 4.(渗透换元思想训练)三、课堂练习:教科书第8页练习四、课堂小结:1、直接开平方法可解下列类型的一元二次方程:x 2=b (b≥0);(x-a) 2=b (b≥0)。解法的根据是平方根的定义。要特别注意,由于负数没有平方根,所以上述两式中规定了b≥0。当b﹤0时,方程无解。2、求解形如x 2=b (b≥0)的方程,实质上是“求一个数x,使它的平方是b”,所以用“直接开平方法”;对于形如(x-a) 2=b (b≥0)的方程,只要把x+a看作一个整体X,就可转化为x 2=b (b≥0)的形式,这就是“换元”的方法五、作业:习题1 A组第1题补充题:一、选择题(每题9分,共18分)将下列各题中唯一正确答案的序号填在题后的括号内。1、解是x=的方程是( )A、x2+2=0  B、x2-2=0  C、x-2=0  D、(4x)2=22、若方程(x-4)2=m-6可用直接开平方法解,则m的取值范围是( )A、m>6    B、m≥0   C、m≥6   D、m=6 二、填空题(每题9分,共18分)1、若x=2是方程a2x2-x+1=0的一个解,则a的值是_________.2、方程(x+2)2=8的根是______________.三、用直接开平方法解下列方程(每题8分,共64分)1、3x2-27=0 2、x2- 3、(2x+5)(2x-5)=1444、2(x-2)2=50 5、(3x-1)2= 6、7、3( 8、(a-x)2=a2+1
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第2课时 直接开平方法一、新课引入二、新课讲解三、课堂练习四、课堂小结五、作业
第 1 章 一元二次方程
20 年 月 日 第 周星期 总第 课时
课题 第3课时 因式分解法
教学目标 1、进一步体会因式分解法适用于解一边为0,另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。 2、会用因式分解法解某些一元二次方程。 3、进一步让学生体会“降次”化归的思想。
教学重点 掌握用因式分解法解某些一元二次方程。
教学难点 用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程。
教学用具
执教者
教学内容 共 案 个 案
(一)复习引入 1、提问:(1) 解一元二次方程的基本思路是什么?(2) 现在我们已有了哪几种将一元二次方程“降次”为一元一次方程的方法 2、用两种方法解方程:9(1-3x)2=25 (二)创设情境 说明:可用因式分解法或直接开平方法解此方程。解得x1= ,x2=- 。 1、说一说:因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程。 归纳结论:因式分解法适用于解一边为0,另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。 2、想一想:展示课本1.1节问题二中的方程0.01t2-2t =0,这个方程能用因式分解法解吗 (三)探究新知 引导学生探索用因式分解法解方程0.01t2-2t=0,解答课本1.1节问题二。 把方程左边因式分解,得t(0.01t-2)=0,由此得出t=0或0.01t-2=0 解得 tl=0,t2=200。 t1=0表明小明与小亮第一次相遇;t2=200表明经过200s小明与小亮再次相遇。 (四)讲解例题1、展示课本P.8例3。按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程。2、让学生讨论P.9“说一说”栏目中的问题。要使学生明确:解方程时不能把方程两边都同除以一个含未知数的式子,若方程两边同除以含未知数的式子,可能使方程漏根。3、展示课本P.9例4。让学生自己尝试着解,然后看书上的解答,交换批改,并说一说在解题时应注意什么。(五)应用新知 课本P.10,练习。(六)课堂小结1、用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是:先把一个一元二次方程变形,使它的一边为0,另一边分解成两个一次因式的乘积,然后使每一个一次因式等于0,分别解这两个一元一次方程,得到的两个解就是原一元二次方程的解。2、在解方程时,千万注意两边不能同时除以一个含有未知数的代数式,否则可能丢失方程的一个根。(七)思考与拓展用因式分解法解下列一元二次方程。议一议:对于含括号的守霜露次方程,应怎样适当变形,再用因式分解法解。(1) 2(3x-2)=(2-3x)(x+1); (2) (x-1)(x+3)=12。[解] (1) 原方程可变形为 2(3x-2)+(3x-2)(x+1)=0, (3x-2)(x+3)=0, 3x-2=0,或x+3=0, 所以xl= ,x2=-3 (2) 去括号、整理得 x2+2x-3=12,x2+2x-15=0, (x+5)(x-3)=0, x+5=0或x-3=0, 所以x1=-5,x2=3先让学生动手解方程,然后交流自己的解题经验,教师引导学生归纳:对于含括号的一元二次方程,若能把括号看成一个整体变形,把方程化成一边为0,另一边为两个一次式的积,就不用去括号,如上述(1);否则先去括号,把方程整理成一般形式,再看是否能将左边分解成两个一次式的积,如上述(2)。(八)布置作业 课本习题1.2中A组第2题。
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第3课时 因式分解法 (一)复习引入(二)创设情境(三)探究新知(四)讲解例题(五)应用新知(六)课堂小结(七)思考与拓展(八)布置作业
第 1 章 一元二次方程
20 年 月 日 第 周星期 总第 课时
课题 第4课时 配方法(一)
教学目标 1、理解“配方”是一种常用的数学方法,在用配方法将一元二次方程变形的过程中,让学生进一步体会化归的思想方法。2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
教学重点 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
教学难点 用配方法将一元二次方程变形成可用因式分解法或直接开平方法解的方程。
教学用具
执教者
教学内容 共 案 个 案
(一)复习引入1、a2±2ab+b2= 2、用两种方法解方程(x+3)2-5=0。如何解方程x2+6x+4=0呢 (二)创设情境 如何解方程x2+6x+4=0呢?(三)探究新知1、利用“复习引入”中的内容引导学生思考,得知:反过来把方程x2+6x+4=0化成(x+3)2-5=0的形式,就可用前面所学的因式分解法或直接开平方法解。 2、怎样把方程x2+6x+4=0化成(x+3)2-5=0的形式呢?让学生完成课本P.10的“做一做”并引导学生归纳:当二次项系数为“1”时,只要在二次项和一次项之后加上一次项系数一半的平方,再减去这个数,使得含未知数的项在一个完全平方式里,这种做法叫作配方.将方程一边化为0,另一边配方后就可以用因式分解法或直接开平方法解了,这样解一元二次方程的方法叫作配方法。 (四)讲解例题 例1(课本P.11,例5)[解](1) x2+2x-3 (观察二次项系数是否为“l”) =x2+2x+12-12-3 (在一次项和二次项之后加上一次项系数一半的平方, 再减去这个数,使它与原式相等) =(x+1)2-4。 (使含未知数的项在一个完全平方式里)用同样的方法讲解(2),让学生熟悉上述过程,进一步明确“配方”的意义。例2 引导学生完成P.11~P.12例6的填空。 (五)应用新知 1、课本P.12,练习。 2、学生相互交流解题经验。 (六)课堂小结 1、怎样将二次项系数为“1”的一元二次方程配方? 2、用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么? (七)思考与拓展 解方程:(1) x2-6x+10=0; (2) x2+x+ =0; (3) x2-x-1=0。 说一说一元二次方程解的情况。[解] (1) 将方程的左边配方,得(x-3)2+1=0,移项,得(x-3)2=-1,所以原方程无解。 (2) 用配方法可解得x1=x2=- 。 (3) 用配方法可解得x1= ,x2= 一元二次方程解的情况有三种:无实数解,如方程(1);有两个相等的实数解,如方程(2);有两个不相等的实数解,如方程(3)。(八)课后作业课本习题1.2中A组第4题(1) (2) (3)。
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第4课时 配方法(一)(一)复习引入 (二)创设情境(三)探究新知(四)讲解例题(五)应用新知(六)课堂小结(七)思考与拓展(八)课后作业
第 1 章 一元二次方程
20 年 月 日 第 周星期 总第 课时
课题 第5课时 配方法(二)
教学目标 1、理解用配方法解一元二次方程的基本步骤。2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。3、进一步体会化归的思想方法。
教学重点 会用配方法解一元二次方程.
教学难点 使一元二次方程中含未知数的项在一个完全平方式里。
教学用具
执教者
教学内容 共 案 个 案
(一)复习引入1、用配方法解方程x2+x-1=0,学生练习后再完成课本P.13的“做一做”.2、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤是什么 (二)创设情境 现在我们已经会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程,而对于二次项系数不为1的一元二次方程能不能用配方法解 怎样解这类方程:2x2-4x-6=0 (三)探究新知 让学生议一议解方程2x2-4x-6=0的方法,然后总结得出:对于二次项系数不为1的一元二次方程,可将方程两边同除以二次项的系数,把二次项系数化为1,然后按上一节课所学的方法来解。让学生进一步体会化归的思想。 (四)讲解例题1、展示课本P.14例8,按课本方式讲解。 2、引导学生完成课本P.14例9的填空。 3、归纳用配方法解一元二次方程的基本步骤:首先将方程化为二次项系数是1的一般形式;其次加上一次项系数的一半的平方,再减去这个数,使得含未知数的项在一个完全平方式里;最后将配方后的一元二次方程用因式分解法或直接开平方法来解。 (五)应用新知课本P.15,练习。(六)课堂小结 1、用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么 2、配方法是一种重要的数学方法,它的重要性不仅仅表现在一元二次方程的解法中,在今后学习二次函数,高中学习二次曲线时都要经常用到。 3、配方法是解一元二次方程的通法,但是由于配方的过程要进行较繁琐的运算,在解一元二次方程时,实际运用较少。 4、按图1—l的框图小结前面所学解一元二次方程的算法。 (七)思考与拓展 不解方程,只通过配方判定下列方程解的情况。(1) 4x2+4x+1=0; (2) x2-2x-5=0;(3) –x2+2x-5=0; [解] 把各方程分别配方得(1) (x+ )2=0;(2) (x-1)2=6; (3) (x-1)2=-4 由此可得方程(1)有两个相等的实数根,方程(2)有两个不相等的实数根,方程(3)没有实数根。 (八)布置作业课本习题1.2中A组第3题的(4),选做B组第2,3题。 通过解答这三个问题,使学生能灵活运用“配方法”,并强化学生对一元二次方程解的三种情况的认识。
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第5课时 配方法(二)(一)复习引入(二)创设情境(三)探究新知(四)讲解例题(五)应用新知(六)课堂小结(七)思考与拓展(八)布置作业
第 1 章 一元二次方程
20 年 月 日 第 周星期 总第 课时
课题 第6课时 公式法(一)
教学目标 1、理解求根公式法与配方法的联系。2、会用求根公式法解一元二次方程。3、注意培养学生良好的运算习惯。
教学重点 会运用求根公式法解一元二次方程。
教学难点 由配方法导出一元二次方程的求根公式。
教学用具
执教者
教学内容 共 案 个 案
(一)创设情境 由用配方法解一元二次方程的基本步骤知:对于每个具体的一元二次方程,都使用了相同的一些计算步骤,这启发我们思考,能不能对一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)使用这些步骤,然后求出解x的公式? 这样做了以后,我们可以运用这个公式来求每一个具体的一元二次方程的解,取得一通百通的效果. (二)探究新知 按课本P.16的方式引导学生,用配方法导出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-40c≥0时的求根公式为:x= (b2-4ac≥0)。并让学生知道,运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的解,这种解一元二次方程的方法叫公式法。 (三)讲解例题 1、展示课本P.16~P.17例10(1),(2),按课本方式引导学生用公式法解一元二次方程,并提醒学生注意a,b,c的符号。 2、引导学生完成P.17例10(3)的填空,并提醒学生在确定a,b,c的值时,先要将一元二次方程式化为一般形式。 3、引导学生归纳用公式法解一元二次方程的基本步骤:首先要把原方程化为一般形式,从而正确地确定a,b,c的值;其次要计算b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,再用求根公式求解。 (四)应用新知课本P.18练习,第(1)~(4)题。(五)课堂小结 1、熟记一元二次方程的求根公式,并注意公式成立的条件:a≠0,b2-4ac≥0。 2、熟悉用公式法解一元二次方程的基本步骤。 3、公式法是解一元二次方程的通法,有普遍的适用性,即可以解任何一元二次方程。(六)布置作业课本习题1.2中A组第4,6题。
板书设计 教学反思
第6课时 公式法(一)(一)创设情境(二)探究新知 (三)讲解例题(四)应用新知(五)课堂小结(六)布置作业
第1 章 一元二次方程
20 年 月 日 第 周星期 总第 课时
课题 第7课时 公式法(二)
教学目标 1、会熟练运用求根公式解一元二次方程。2、了解b2-4ac的值与一元二次方程解的情况的关系。3、会用适当的方法解一元二次方程。4、通过训练,提高学生运算的正确率,养成良好的运算习惯。
教学重点 熟练地运用公式法解一元二次方程。
教学难点 选用适当的方法解一元二次方程。
教学用具
执教者
教学内容 共 案 个 案
(一)复习引入 1、一元二次方程的求根公式是什么?其成立的条件是什么? 2、引导学生完成P.17例11填空,并让学生思考:此方程可以直接用因式分解法求解吗?试一试。 (二)探究新知 1、让学生观察课本P.16-P.17例10,例11,并思考问题:b2-4ac的值与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况有什么关系?引导学生归纳:由例10知,当b2-4ac>0时,一元二次方程有两个不相等的实数根;由例11知,当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根。 2、让学生观察方程(x+ )2- =0,当b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数解吗?试讨论方程x2+x+1=0有没有实数解? 通过对此问题的讨论让学生明确:当b2-4ac<0时,一元二次方程没有实数解。所以在运用公式法解一元二次方程时,先要计算b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,可以用公式法求解;当b2-4ac<0时,方程无实数解,就不必再代入公式计算了。 3、谈一谈:我们已学了哪些解一元二次方程的方法?怎样选择适当的方法解一元二次方程? 让学生展开讨论,教师引导学生归纳:我们已学了因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法四种解一元二次方程的方法。在这些解法中,公式法是通法,即能解任何一个一元二次方程,但对某些特殊形式的一元二次方程,用因式分解法或直接开平方法较简便,配方法也是解一元二次方程的通法,但不如公式法简便,在解一元二次方程时,实际上很少用。 (三)应用新知 1、不解方程判定下列方程的根的情况。 (1)4y+2y2-3=0; (2)x2+ =3x; (3) x2-6x+21=0 提醒学生:在运用b2-4ac的值判定一元二次方程根的情况时,先要将一元二次方程化为一般形式,从而才能正确地确定a,b,c的值。 [解] (1) 原方程可化为2y2+4y-3=0, 因为b2-4ac=42-4×2×(-3)=40>0, 所以原方程有两个不相等的实数根。 (2) 原方程可化为x2-3x+ =0, 因为b2-4ac=(-3)2-4×1× =0,所以原方程有两个相等的实数根。(3) 因为b2-4ac=(-6)2-4× ×21=-6<0,所以原方程无实数根。2、课本P.19习题1.2,B组1(1),(3),(5),(7)。注意:选用适当的方法解一元二次方程。(四)课堂小结1、举例证明怎样运用适当的方法解一元二次方程。 2、用公式法解一元二次方程为什么要先算b2-4ac的值?怎样由b2-4ac的值判定一元二次方程根的情况 3、一元二次方程的四种解法各不相同,可用于不同形式的方程;但又相互紧密联系,都体现了“降次”的转化思想,即把一元二次方程转化为一元一次方程求解。 (五)思考与拓展 已知关于x的方程: x2-(m-2)x+m2=0。 (1) 有两个不相等的实数根,求m的范围; (2) 有两个相等的实数根,求m的值; (3) 无实数根,求m的范围. [解] b2-4ac=[-(m-2)]2-4× ×m2=-4m+4, (1) 因为原方程有两个不相等的实数根,所以-4m+4>0,即m<1。 (2) 因为原方程有两个相等的实数根,所以-4m+4=0,即m=1。 (3) 因为原方程无实数根,所以-4m+4<0,即m>1。(六)布置作业课本习题1.2中A组第5题,选做B组第1题的(2)(4)(6)(8),第4题。
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第7课时 公式法(二)(一)复习引入(二)探究新知(三)应用新知(四)课堂小结(五)思考与拓展(六)布置作业
第 1 章 一元二次方程
20 年 月 日 第 周星期 总第 课时
课题 第8课时 一元二次方程的应用(一)
教学目标 1、让学生在经历运用一元二次方程解决一些代数问题的过程中体会一元二次方程的应用价值。2、在应用一元二次方程的过程中,提高学生的分析问题、解决问题的能力。
教学重点 建立一元二次方程模型解决一些代数问题。
教学难点 把一些代数问题化归为解一元二次方程的问题。
教学用具
执教者
教学内容 共 案 个 案
(一)复习引入1、回顾:你已经学过了用什么样的方程解应用题?“列方程解应用题”你有什么经验?让学生自己总结,因人而异,教师可以加以引导归纳。 2、填空: (1)当x= 时,代数式3x-5与3-2x的值互为相反数。 (2)当x= ,y= 时,代数式2x+y的值为6,代数式3x-y的值为9。 (3)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac 0时,方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac 0时,方程有两个相等的实数根;当b2-4ac 0时,方程没有实数根。(二)创设情境前面我们已经体会到方程是刻画现实世界数量关系的工具,现在通过学习一元二次方程的应用能使我们更进一步感受到方程的作用,数学的价值 。(三)讲解例题  1、展示课本P.19~P.20,例1,例2。说明和建议:(1)让学生明确解这尖题的步骤是:首先用方程表示题中的数量关系(即列出方程),然后将方程整理成一般形式并求解,最后作答。 (2)对于基础较好学生可让他们自己探索解题方法,然后看书上的解答,交换批改,并交流解题经验,教师加以适当的总结。 2、展示课本P.21,例3。注意:(1)利用“复习引入”中的内容让学生明确,当b2-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),有两个相等的实数根。(1)解这类题,首先要将方程整理成关于x2的一般形式,从而正确地确定x的二次项系数、一次项系数及常数项a,b,c (此题是用t表示),然后把问题化归为解一个(此题是关于t的)一元二次方程。(四)应用新知课本P.21,练习第1,2题(五)课堂小结 1、用一元二次方程解一些代数问题的基本步骤是什么? 2、在本节课的解题中要注意一些什么问题?(六)思考与拓展将进货单价为40元的商品按50元售出时,能卖出500个,已知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少10个,若这种商品涨价x元,则可赚得y元的利润。 (1)写出x与y之间的关系式; (2)为了赚得8000元利润,售价应定为多少元,这时应进货多少个? [解](1)商品的单价为50+x元,每个的利润是(50+x)-40元,销售量是50-10x个,则依题意得y=[(50+x)-40](500-10x),即y=-10x2+1000x+5000。(2)依题意,得-10x2+400x+5000=8000。 整理,得x2-40x+300=0。解得x1=10, x2=30。 所以商品的单价右定为50+10=60(元)或50+30=80(元) 当商品和单价为60元时,其进货量只能是500-10×10=400(个);当商品每个单价为80元时,其进货量只能是500-10×30=200(个)(七)布置作业课本习题 1.A组第1,2题,选做B组第1题 。
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第8课时 一元二次方程的应用(一)(一)复习引入(二)创设情境(三)讲解例题(四)应用新知(五)课堂小结(六)思考与拓展(七)布置作业
第 1 章 一元二次方程
20 年 月 日 第 周星期 总第 课时
课题 第9课时 一元二次方程的应用(二)
教学目标 1、会建立一元二次方程的模型解决实际问题,并能根据具体问题的实际意义,对方程解的合理性作出解释。2、让学生进一步感受一元二次方程的应用价值,提高学生的数学应用意识。
教学重点 应用一元二次方程解决实际问题。
教学难点 从实际问题中建立一元二次方程的模型
教学用具
执教者
教学内容 共 案 个 案
(一)复习引入1、复习列方程解应用题的一般步骤: (1)审题:仔细阅读题目,分析题意,明确题目要求,弄清已知数、未知数以及它们之间的关系; (2)设未知数:用字母(如x)表示题中的未知数,通常是求什么量,就设这个量为x; (3)列方程:根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程; (4)解方程:求出所给方程的解; (5)检验:既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程,又要检验它是否能使实际问题有意义; (6)作答:根据题意,选择合理的答案。 2、说一说,菱形的面积与它的两条对角线长有什么关系? (二)讲解例题 1、展示课本P.22例4,按下列步骤讲解:(1)引导学生审题,弄清已知数、未知数以及它们之间的关系;(2)确定本题的等量关系是:菱形的面积= ×矩形面积;(3)引导学生根据题意设未知数;(4)引导学生根据等量关系列方程;(5)引导学生求出所列方程的解;(6)检验所求方程的解合理性;(7)根据题意作答;(8)按课本P.22∽P.23格式写出解答过程。注意:设未知数和作答时都不要漏写单位。2、展示课本P.23例5,让学和仿照例4解答此题,然后看书上的解答,交换批改,并交流解题经验。在检验所求方程解的合理性时,教师要特别注意用图形引导学生思考,作出正确判断。(三)应用新知 课本P.24,练习。(四)课堂小结 1、用“(1)审、(2)设、(3)列、(4)解、(5)验、(6)答”六个字概括列方程解应用题的六步,使学和生对方程解应用题的步骤更熟悉。 2、在运用一元二次方程解实际问题时,一定要注意检查求得的方程的解是否符合实际情况。(五)思考与拓展 如图1-2,一个长为10米的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8米,(1)如果子的顶端下滑1米,那么底端也将滑动1米吗?(2)梯子顶端下滑多少距离正好等于底部下端距离。 [解](1)设底端将滑动x米,依题意,得72+(x+6)2=102解得x1=-6- (不合题意,舍去),x2= -6> -6=1(米)-6> -6>1(2)设顶端下滑x米则底端正好滑动x米,依题意,得(8-x)2+(6+x)2=102解得x=2(米)答:(略)布置作业 课本习题1.3中A组第3题,选做B组第3题。
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第9课时 一元二次方程的应用(二)(一)复习引入(二)讲解例题(三)应用新知(四)课堂小结(五)思考与拓展
第 1 章 一元二次方程
20 年 月 日 第 周星期 总第 课时
课题 第10课时 一元二次方程的应用(三)
教学目标 1、会熟练地列出一元二次方程解应用题,并能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理。2、在组织学生自主探索、相互交流、协作学习的过程中,培养学生敢于探索、勇于克服困难的精神和意志,在探索中获得成功的体验。
教学重点 会熟练地列出一元二次方程解应用题。
教学难点 将实际问抽象为一元二次方程的模型
教学用具
执教者
教学内容 共 案 个 案
(一)复习引入提问:1、列方程解应用题的基本步骤是什么?2、利用一元二次方程解决实际问题时,特别要注意什么? (二)探究新知 把学生分成若干个学习小组,让他们以小组为单位按课本P.24~P.26“探究”栏目设计的程序,进行探究学习,然后各组之间相互交流,教师加以适当引导归纳,得出正确结论。 (三)讲解例题 例 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,若每件的售价为a元,则可卖出350-10a件,物价局规定商品的利润不能超过进价的20%,商店计划要赚400元,则每件商品的售价为多少元? [解]依题意得(a-21)(350-10a)=400整理得a2-56a+775=5解得a1=25,a2=31又因为21×(1+20%)=25.2而a1=25<25.2,a2=31>25.2,所以a =25答:每件售价为25元点评:(1)要掌握关系式:利润=销售价-进价,从而得出:“卖出商品的利润=卖出一件商品的利润×卖出的件数”这个等量关系。(2)要注意题目的限制条件。(四)应用新知 课本P.26,练习(五)课堂小结1、列方程解应用题的关键是准确分析题中各种显现和隐含的数量关系和等量关系。2、列方程解应用题的实质是把实际问题转化为数学问题(解一元二次方程)求解。(六)思考与拓展在一个长为50米,宽30米的矩形空地上建造一个花园,要求修筑同样宽的道路,使余下的部分种植花草,且使花草的总面积是整块空地面积的 ,请你画出设计图,并计算路宽。 说明与建议:(1)让学生分成几个小组共同设计,然后每个小组派一人上台演示自己小组所设计的方案,教师给出相应评价。 (2)下面提供两种设计方案: 方案一 如图1-3,阴影部分是宽为x米的两条垂条直的道路,则依题意有(50-x)(30-x)= ×30×50。 整理得x2-80x+375=0 解得x1=5<30,x2=75>30 依题意只能取x1=5(米)方案二 如图1-4阴影部分是宽为x米的道路,则依题意有(50-2x)(30-2x)= ×30×50,整理得4x2-160x+375=0解得x1=2.5<30,x2=37.5>30依题意只能取x1=2.5(米)。布置作业课本习题1.3中A组第4题 ,选做B组第2题。
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第10课时 一元二次方程的应用(三)(一)复习引入(二)探究新知(三)讲解例题(四)应用新知(五)课堂小结(六)思考与拓展
第 1 章 一元二次方程
20 年 月 日 第 周星期 总第 课时
课题 第11课时 小结与复习(一)
教学目标 1、理清本章的知识结构,培养学生归纳能力。2、掌握本章的有关概念,一元二次方程的四种解法——因式分解法、直接开平方法、配方、公式法。3、掌握本章的主要数学思想和方法。
教学重点 一元二次方程解法。
教学难点 选用适当的方法解一元二次方程。
教学用具
执教者
教学内容 共 案 个 案
(一)复习引入1、回顾本章的主要数学思想和方法。 本章主要的数学思想是化归与转化,即把需要解决或较难解决的问题,通过适当的方法,把它化归与转化为已经解决或较容易解决的问题,从而使问题得以解决。如一元二次方程,通过“降次”转化为两个一元二次方程,降次的基本方法是因式分解法或直接开平方法,为了能这么做,往往要抚配方,即要把含未知数的项放在一个完全平方式里,再求解。也可以用一元二次方程的求根公工直接求解。配方法是一种非常重要的方法,由于配方的过程要进行较繁琐的运算,在解一元二次方程时,实际运用较少,但它是推导一元二次方程求根公式的基础,而且在今后学习二次函数等内容时,还将多次用到,是中学数中的重要方法,应熟练掌握这种方法。2、理清本章的知识结构图。请同学们用知识结构图将所学的有关一元二次方程的知识连接起来。整理知识结构图的要求应根据学生具体情况而定,提供下面三种建议,供选用: 方法一 由学和自己设计知识结构图,而后全班行交流,互相补充,逐步完善。 方法二 教师引导学生设计知识结构图,然后全班交流。 方法三 教师给出知识结构图框架,由学生填上具体内容(参考课本P.29的知识结构图)。 说明:在知识结构图和教学过程中,既要注复习知识、方法,又要注意培养学生的归纳总结能力。 (二)讲解例题 例1 选择题: (1)mx2-3x+x2=0是关于x的一元二次方程的条件是       ( ) A m=1 B m≠-1 C m≠0 D m为任意实数 (2)用配方法解方程4 x2+4 x-15=0时将方程配方的结果是 ( ) A(x+2)2=19 B(2 x+1)2=16 C(x+ )2=4 D(x+1)2=4 答案:B C评注:(1)先把方程化成关于x的一元二次方程的一般形式(m+1)x2-3x+2=0然后确定m+1≠0,即m≠-1。(2)配方法虽然在解一元二次方程时很少用,但配方法是一种很重要的数学方法,不可忽视。例2 选择适当的方法解下列方程:(1)(x-1)2+2 x(x-1)=0 (2)9(x-3)2-4(x-2)2=0(3)-2y2+3= y (4)x2+2 x-4=0 [解](1)中主程左边有因式x-1,不能将方程程两边同除以x-1,而应选用因式分解的方法,把方程变形为(x-1)[(x-1)+2 x]=0,所以x1=1,x2= (2)中程左边是平方差形式,既可用平方差公式分解因的方法求解,又可用先移项得9(x-2)2=4(x-2)2,然后直接开平方得3(x-3)=±2(x-2),再求方程的解,解得x1= ,x2=5。 (3)中方程可化为4y2+y-6=0,△=12-4×4(-6)=97>0,解得x1= ,x2= (4)中方程是一元二次方程的一般形式,且左边不易分解因式,因此可用公式法解此方程,解得x1=- + ,x2=- - + 评注:1、公式法是解一元二次方程的一般方法,应掌握这种解一元二次方程的通法。 2、因式分解法、直接开平方法是解一元二次方程的特殊方法,要注意这两种方法适用的方程形式。 3、一般先看方程能否用因式分解法或直接开平方法求解,如不能用这两种方法再考虑用公式法解。(三)巩固练习1填空:(1)(k-1)x2-kx+1=0是关于x的一元二次方程的条件是 。(2)填写下表。一元二次方程一般形式二次项数一次项系数常数项3 x2-5=2 x(x+1)2=4πx 2=0x(x + )=0答案:(1)k≠1。(2)见下表:一元二次方程一般形式二次项系数一次系数常数项3 x2-5=2 x3 x2-2 x-5=03-2-5(x+1)2=4x 2+-3=012-3x 2=0x 2=0π00x(x+ )=0x 2+ x=0102、选做课本复习题一中B组第1,2题。(四)课堂小结1、一元二次方程的一般形式是什么?2、解一元二次方程的四种方法所适用的方程的条件是什么?3、怎么选择适当的法解一无二次方程?(五)思考与拓展1、已知方程mx2+mx+3m-x2+x+2=0,当m 时,为一元二次方程;当m 时,为一元一次方程。答案:m≠1,m=12、选做课本复习题一的C组题。布置作业课本复习题一中A组第1、2、3题。
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第11课时 小结与复习(一)(一)复习引入(二)讲解例题(三)巩固练习(四)课堂小结(五)思考与拓展
第 1 章 一元二次方程
20 年 月 日 第 周星期 总第 课时
课题 第12课时 小结与复习(二)
教学目标 1、熟练运用一元二次方程解实际问题。2、通过将一些实际问题抽象为方程模的过程,让学生形成良好的思维习惯,学会从数学的角度提出问题 ,理解问题,并能运用所学知识解决问题,体会数学的价值。
教学重点 运用一元二次方程解实际问题。
教学难点 找出问题中的等量关系,列出一元二次方程。
教学用具
执教者
教学内容 共 案 个 案
(一)复习引入学生交流讨论下列问题。1、运用一元二次方程解实际问题的一般步骤是什么?2、运用一元二次方程解实际问题关键是什么?3、运用一元二次方程解实际问题要注意什么?(二)讲解例题例1.某工厂生产一种产品,今年产量为200件,计划通过技术改造,使今后两年的产量都比前一年增一个相同的百分数,这样三年的总产量达到1400件,求这个百分数。分析:此题是增长率问题,运用复利公式:Q=a(1+x),通过列方程求出x的值。[解]设这个百分数为x。则今后第一年的产量为200(1+x)件,今后第二年的产量为200(1+x)2件,根据题意,得200+200(1+x)+200(1+x)2=1400化简得x2+3x-4=0,解得x1=1,x2=-4(不合题意,舍去)。所以x1=1=100%答:这个百分数为100%评注:1、题中1400件是三年的总产量,不要误以为是今后第三年的产量。2、运用一元二次方程解实际际问题时要注意检查求出的方程的解是否符合实际情况。3、一般情况,增长率为百分数。例2 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,根据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对这种水产品和销售情况,请解答以下问题:(1)当销售单价为每千克55元时,计算月销售量和月销售利;(2)设销售单价为每千克x元,月销售利润为y元,求y与x之间的关系式;(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润到达8000元,销售单价应定为多少?(4)要使得月销售利润达到9000元销售单价应定为多少?(5)有没有可能获取大于9000元的利润?[解](1)当销售单价定为每千克55元时,月销售利润为:500-(55-50)×10=450(千克)所以月销售利润为:(55-40)×450=6750(元)(2)当销售单价为每千克x元时,月销售量为:500-(x-50)× 10=1000-10 x(千克),而每千克的销售利润是x-40千克,所以月销售利润为y=(x-40)(1000-10 x),即y=-10 x2+1400 x-40000。(3)要使月销利润达到8000元,即y=8000,所以-10 x2+1400 x-40000=8000,即x2+4800=0,解得x1=60,x2=80。当销售单价为每千克x元时,月销售量为:500-(60-50)×10=400(千克),月销售成本为:40×400=16000(元)。当销售单价定为每千克60元时,月销售量为:500-(80-50)×10=200(千克),月销售成本为:40×200=8000(元)。由于8000<10000<16000,而月销售成本不超过10000元,所以销售单价应定为每千克80元。(4)要使月销售利润达到9000元,即y=9000,所以-10x2+1400x-40000=9000,即x2-140x+4900=0,解得x1=x2=70,销售单价应定为每千克70元。(5)要获取大于9000元的利润,则y>9000,所以-10x2+1400 x-40000>9000,即x2-140 x+4900<0,(x-70)2<0无论x取何实数,此不等式都不成立。所以,没有可能获取大于9000元的利润。 评注(3)要注意“成本不超过10000元”这个限制条件,(5)仅供学有余力的同学思考。(三)巩固练习选做课本复习题一中B组第4、5题。(四)课堂小结运用一元二次方程解实问题的关键是:找出问题中的等量关系,以便引出方程,要注意检查求出的方程的解是否符合实际情况。(五)思考拓展一容器盛江满纯酒精63升,第一次倒出若干升后加水充满,第二次倒出同样升数的酒精溶液,再加水充满,这时容器内的纯酒精为28升。求每次倒出酒精容液的升数。分析:浓度问题,关键是利用基本关系式:浓度= [解] 设每次倒出x升,第一次倒出后剩下的纯精为63-x升,加水充满后酒精溶液的浓度是 第二次倒出纯酒精 ·x升,第二次倒出后剩下纯酒精(63-x)- 升。根据题意,得(63-x)- =28即(63-x)(1- ) )=2863(1- )))=28所以1- =±x1=21, x2=105(不合题意,舍去)答;每次倒出酒精溶液21升。评注:本题也可以看作是增长率问题 ,因为每倒出相同体积的酒精溶液后,再用水充满,酒精溶液降低的浓度是相同的,此题 中每一次倒出相同体积的酒精溶液后,每次酒精降低的浓度均为由增长率问题可得出方程(1- ))2= 布置作业课本复习题一中A组第4、5、6题 ,选做B组第3题 。
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第12课时 小结与复习(二)(一)复习引入(二)讲解例题(三)巩固练习(四)课堂小结(五)思考拓展
第 2 章 命题与证明
20 年 月 日 第 周星期 总第 课时
课题 定义
教学目标 1.了解定义的含义. 2.了解命题的含义.3.了解命题的结构,会把一个命题写成“如果……那么……”的形式.
教学重点 命题的概念.
教学难点 象范例中第(3)题,这类命题的条件和结论不十分明显,改写成“如果…那么…” 形式学生会感到困难,是本节课的难点.
教学用具
执教者
教学内容 共 案 个 案
一、创设情景,导入新课 (1)阅读新华社酒泉2005年10月11日这篇报导: 神舟六号载人飞船将于10月12日上午发射,……神舟六号飞船搭乘两名航天员,执行多天飞行任务.按计划,飞船将从中国酒泉卫星发射中心发射升空,运行在轨道倾角42.4°、近地点高度为200千米、远地点高度为347千米的椭圆轨道上,实施变轨后,进入343千米的圆轨道.要读懂这段报导,你认为要知道哪些名称和术语的含义 (2)什么叫做平行线?(在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线).什么叫做物质的密度?(单位体积内所含某一物质的质量叫做密度).二、合作交流,探求新知1.定义概念的教学从以上两个问题中引入定义这个概念:一般地,能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义.象问题(1)中的轨道倾角、近地点高度、远地点高度、变轨的含义必须有明确的规定,即需要给出定义.完成做一做请说出下列名词的定义: (1)无理数;(2)直角三角形;(3)一次函数;(4)频率;(5)压强.2.命题概念的教学教师提出问题: 判断下列语句在表述形式上,哪些对事情作了判断?哪些没有对事情作出判断?(1)对顶角相等; (2)画一个角等于已知角;(3)两直线平行,同位角相等; (4),两条直线平行吗 (5)鸟是动物; (6)若,求的值; (7)若,则.答案:句子(1)(3)(5)(7) 对事情作了判断,句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断.其中 (1)(3)(5)判断是正确的,(7)判断是错误的.在此基础上归纳出命题的概念:一般地,对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题.象句子(1)(3)(5)(7)都是命题;句子(2)(4)(6)都不是命题.说明:讲解定义、命题的含义时,要突出语句的作用.句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别.定义属于陈述句,是对一个名称或术语的意义的规定.而命题属于判断句或陈述句,且都对一件事情作出判断.与判断的正确与否没有关系.3.命题的结构的教学告诉学生现阶段我们在数学上学习的命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.这样的命题可以写成“如果……那么……”的形式,其中以“如果”开始的部分是条件,“那么”后面的部分是结论.如“两直线平行,同位角相等”可以改写成“如果两条直线平行,那么同位角相等”.三、师生互动 运用新知下面通过书本中的范例介绍如何找出一个命题的条件和结论,并改写成“如果……那么……”的形式.例1 指出下列命题的条件和结论,并改写成“如果……那么……”的形式:(1)三条边对应相等的两个三角形全等;(2)在同一个三角形中,等角对等边;(3)对顶角相等;(4)同角的余角相等;(5)三角形的内角和等于180°; (6)角平分线上的点到角的两边距离相等. 分析:找出命题的条件和结论是本节课的难点,因为命题在叙述时要求通顺和简练,把命题中的有些词或句子省略了,在改写是注意把时要把省略的词或句子添加上去.(1)“三条边对应相等”是对两个三角形来说的,因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去,即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”,结论是“这两个三角形全等”.可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等,那么这两个三角形全等”. (2)学生可能会说条件是“在同一个三角形中”,结论是“等角对等边”.教学时可作这样引导:“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等,`然后提问学生,一个三角形满足什么条件时,有两条边相等?这个命题的条件是什么?结论是什么?值得注意的是,命题中包含了一个前提条件:“在一个三角形中”,在改写时不能遗漏.(3)可作如下启发:对顶角指两个角的关系,相等指两个角相等.把“两个角”添补上去,写成“是对顶角的两个角相等”,这样学生不难得出这个命题的条件是“两个角是对顶角”,结论是“两个角相等”.这个命题可以改写成“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”.(4)条件是“两个角是同一个角的余角”,结论是“这两个角相等”.这个命题可以改写成“如果两个角是同一个角的余角,那么这两个角相等”.(5)条件是“三个角是一个三角形的三个内角”,结论是“这三个角的和等于180°”.这个命题可以改写如果“三个角是一个三角形的三个内角,那么这三个角的和等于180°”; (6) 如果“一个点在一个角的平分线上,那么这个点到这个角的两边距离相等”.例2 下列语句中,哪些是命题,哪些不是命题 (1)若aAC,则∠C>∠B吗 (4)两点之间线段最短;(5)解方程;(6)1+2≠3.答案:(1)(2)(4)(6)是命题,(3)(5)不是命题.例3 请给下列图形命名,,并给出名称的定义:① ②答案:略(2)观察下列这些数,找出它们的共同特征,给以名称,并作出定义: -52,-2,0,2,8,14,20,…答案:能被2整除的整数是偶数.四、应用新知 体验成功课内练习:教材中安排了4个课内练习,第1题是为定义这个概念配置的,第2题是为命题这个概念配置的,第3、4题是为命题的结构配置的.第4题可以通过同伴或同桌的合作交流完成.五、总结回顾,反思内化学生自由发言,这节课学了什么?教师做补充.三个内容:六、布置作业 巩固新知
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定义 创设情景,导入新课 二、合作交流,探求新知三、师生互动 运用新知四、应用新知 体验成功五、总结回顾,反思内化六、布置作业 巩固新知
第 2 章 命题与证明
20 年 月 日 第 周星期 总第 课时
课题 课时评价
教学目标 1 通过具体的事例了解定义的含义;2 能正确叙述已学过数学概念的特征;
教学重点 弄清定义的含义,能掌握已学过的数学概念的特征性质。
教学难点 弄清定义的含义,能掌握已学过的数学概念的特征性质。
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执教者
教学内容 共 案 个 案
一 选择题(每小题5分,共25分)1下列语句中属于定义的是( )A 对顶角相等 B 三角形的内角和等于180°C 平行四边形的对角相等 D 连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。2下面对矩形的定义正确的是( )A 矩形的四个角都是直角,B 矩形的对角线相等,C 矩形是中心对称图形, D 有一个角是直角的平行四边形3 下面关于无理数的定义正确的是( )A 没有道理的数叫无理数 B 无限小数叫无理数C 无限不循环小数叫无理数 D 开不尽方的数叫无理数4 小明同学的笔记本上写出他对四个概念的定义,你认为正确的个数有( )(1)如果函数的解析式是自变量的一次式,那么这样的函数称为一次函数;(2)一样大的三角形叫全等三角形;(3)把一组数据从小到大排列,如果数据的个数是奇数,那么位于中间的数称为这组数据的中位数,如果数据的个数是偶数,那么位于中间两个数的平均数称为这组数据的中位数;(4)在一组数据中,把出现次数最多的数据叫作这组数据的众数;A 1个 B 2个 C 3个 D 4个5 下面四个定义中不正确的是( )A 数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值B有一组邻边相等的四边形叫菱形C 有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫正方形 D两腰相等的梯形叫等腰梯形二 填空题(每小题5分,共25分)6 关于“中华人民共和国公民”的定义是这样的:“具有中华人民共和国国籍的人叫中华人民共和国公民”这个定义描述的特征性质是:_________________________________;7等腰三角形的定义是:有____________相等的三角形叫等腰三角形;8 简洁的说,在随机现象中,一个事件发生的_____________叫概率。9有这样一个语句:“印花税就是开启帐簿(记载资金帐和其他帐簿)、书立产权转移书据(办产权、销售房屋等)、签立合同(不论合同是否兑现、不论合同几时兑现)、办理权利许可证照(如工商执照、商标注册证等)时缴纳的税”。_____(填“是 ”或“不是”)印花税的定义;10 填写适当的概念:如果一个图形关于某一条直线做______,能够和另一个图形____,那么就说这两个图形关于这条直线对称。三解答题(每个小题10分 共50分)11叙述下列概念的定义:(1)角平分线 (2)三角形的角平分线12下面语句是那个定义的特征?连接三角形的顶点和对边中点的线段;(2)三角形一边的延长线和另一边组成的角(3)不等式组中各个不等式的解集的公共部分(4)点到直线的垂线段的长度;13 请你写出两个本考卷中没有的定义14 小明同学认为对顶角可以这样定义:顶点公共,而且相的等角叫对顶角,你认为正确吗?如果你认为不正确请举一个反例,并对“对顶角”正确定义。15下面几个定义是否正确,如果不正确,请你正确的定义:三条线段首尾相接组成的图形叫三角形;(2)多边形所有外角的和叫多边形的外角和16 拓展探究题(不计总分)(2007北京)我们知道:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,类似地我们定义:至少有一组对边相等的三角形叫等对边三角形。请写出一个你学过的特除四边形中是等对边三角形的图形的名称;如图在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上设CD、BE相交于点O,若∠A=60°,∠DCB=∠EBC=∠A.请你写出图中一个与∠A相等的角,并猜想图中那个四边形是等对边四边形;在△ABC中,如果∠A是不等于60°的锐角,点D,E分别在AB、AC上且∠DCB=∠EBC=∠A,探究满足上述条件的图形是否存在等对边四边形,并证明你的结论 课时评价答案 1 D 2 D 3 C 4 C 5 B 6 具有中华人民共和国国籍 7 两条边相等 8可能性大小 9 是 10 轴反射,重合 11 从角的顶点出发的一条射线,如果把这个角分成了相等的两部分,那么这条射线就叫这个角的平分线,三角形的一个角的平分线和对边相交,顶点和交点间的线段叫三角形的平分线 12 (1) 三角形的中线 (2)三角形的外角(3)不等式组的解集 (4)点到直线的距离 13 略 14 不正确,图略 ,一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫对顶角。 15(1) 不正确,由不在同一直线上的三条线段首尾相接所组成的图形叫三角形;(2)不正确,在多边形的每个顶点处取一个外角,它们的和叫这个多边形的外角和。 16 (1)平行四边形,等腰梯形, (2)与∠A相等的角是∠BOD(或∠EOC),四边形DBCE是等对边四边形(3)提示:分别过点B、C作CD、BE的垂线段BF、CG,证明△BCF≌△CBG得BF=CG,再证△BDF≌△CGE得BD=CE
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课时评价 一 选择题二 填空题三解答题四拓展探究题
第 2 章 命题与证明
20 年 月 日 第 周星期 总第 课时
课题 命题
教学目标 知识目标:理解真命题、假命题、公理和定义的概念 能力目标:会判断一个命题的真假,会区分定理、公理和命题。 情感目标:通过对真假命题的判断,培养学生树立科学严谨的学习方法。
教学重点 判断一个命题的真假是本节的重点。
教学难点 公理、命题和定义的区别。
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教学内容 共 案 个 案
(一):合作学习:1:复习命题的概念,思考下列命题的条件是什么?结论是什么? 边长为a(a>0)的等边三角形的面积为√3/4a2 .两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.对于任何实数x,x2 <0. 提问:上述命题中,哪些正确?哪些不正确? 2:得出真命题、假命题的概念:正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题。 3:把学生分成两组,一组负责说命题,然后指定第二组中某一个人来回答是真命题还是假命题(二):举例:判断下列命题是真命题还是假命题x=1是方程x2-2x-3=0 的解。x=2是方程 (x2 –4)/(x2 -3x+2)=0的解。如图,若∠1=∠2,则∠3=∠4。一个图形经过旋转变化,像和原图形全等。(三)讲述公理和定义1:公理:人类经过长期实践后公认为正确的命题,作为判断其他命题的依据。这样公认为正确的命题叫做公理。例如:“两点之间线段最短” ,“一条直线截两条平行所得的同位角相等” ,然后提问学生:你所学过的还有那些公理2:定理:用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。3:举例请用学过的公理或定理说明下面这个命题的正确性:“等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线互相重合“(四):课内练习:见书本作业题(五):作业:见作业本
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命题(一):合作学习(二):举例(三)讲述公理和定义(四):课内练习
第 2 章 命题与证明
20 年 月 日 第 周星期 总第 课时
课题 公理与定理
教学目标 1 了解公理与定理到概念,以及他们之间的内在联系;2 了解公理与定理都是真命题,它们都是推理论证的依据;3 掌握教材十条公理和已学过的定理。
教学重点 掌握教材十条公理和已学过的定理。
教学难点 公理与定理到概念公理与定理都是真命题
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一、说一说判断下列命题为真命题是根据什么呢 ? (1) 如果a是有理数,那么a是实数;(2) 如果m是自然数,那么m是整数;(3) 如果a是整数,那么a是有理数;(4) 如果四边形ABCD是正方形,那么它是矩形.二、引入它是分别根据实数、整数、有理数、正方形的定义作出的判断在真假命题的判断上,光用定义是远远不够的,那么除了根据定义以外,还能根据什么来推论,去判断命题的真假呢?三、公理以及定理.是指人们在长期实践中总结出来的,作为证明的原始依据的公认的真命题就是公理.10 条公 理: 1,等量加等量,和相等.2,等量减等量,差相等.3,等量代换(即,如果a=b且c=b,那么a=c).4,整体大于部分.5,通过两点有且只有一条直线.6,连结两点的所有连线中,线段最短.7,经过一条直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.8,平移不改变图形的形状和大小,平移不改变直线的方向.9,轴反射不改变图形的形状和大小.10,旋转不改变图形的形状和大小.四、做一做下列定理有逆定理吗?如果有,把它说出来(1)线段垂直平分线上任意一点到这条线段 两端点的距离相等;(2)等腰三角形的两底角相等;(3)平行四边形的对角线互相平分.五、观察、思考平行线的性质定理Ⅰ:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等. 平行线的判定定理Ⅰ:两条直线被第三条直线所截,若同位角相等,则这两条直线平行. 如果一个定理的逆命题也是定理,那么称它是原来定理的这两个定理称为互逆的定理.思考:还有哪些定理是互逆的定理?六、练一练:1,三角形全等的判定定理有哪些?2,下列定理有逆定理吗?如果有,把它写出来.(1)两条直线被第三条直线所截,如果这两条直线 平行那么内错角相等; (2)角平分线上任意一点到角两边的距离相等;(3)平行四边形的对边相等.
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公理与定理一、说一说二、引入三、公理以及定理.四、做一做五、观察、思考六、练一练:
第 2 章 命题与证明
20 年 月 日 第 周星期 总第 课时
课题 证明
教学目标 1.了解证明的含义。2.体验、理解证明的必要性。3.了解证明的表达格式,会按规定格式证明简单命题。
教学重点 证明的含义和表述格式。
教学难点 按规定格式表述证明的过程。
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新课引入教师借助多媒体设备向学生演示课内节前图:比较线段AB和线段CD的长度。通过简单的观察,并尝试用数学的方法加以验证,体会验证的必要性和重要性新课教学合作学习参考教科书P74: 一组直线a、b、c、d、是否不平行(互相相交),请通过观察、先猜想结论,并动手验证证明的引入(1)命题“等腰直角三角形的斜边是直角边的 倍”是真命题吗?请说明理由分析:根据需要画出图形,用几何语言描述题中的已知条件和要说明的结论。 教师对具体的说理过程予以详细的板书。小结归纳得出证明的含义,让学生体会证明的初步格式。(2)通过例2的教学理解证明的含义,体会证明的格式和要求 例2、 证明命题“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,且方向相同,那么这两个角相等”是真命题。 分析:根据需要画出图形,用几何语言描述题中的已知条件、以及要证明的结论(求证)。 证明过程的具体表述 (略) 小结:证明几何命题的表述格式 (1)按题意画出图形; (2)分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论; (3) 在“证明”中写出推理过程。(3)练习:P76课内练习2例题教学例2、 已知:如图,AC与BD相交于点O,AO=CO,BO=DO。求证: AB∥CD (证明略)练习巩固P76 课内练习3小结证明的含义真命题证明的步骤和格式思考、探索:假命题的判断如何说理、证明?作业布置
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证明 新课引入新课教学例题教学练习巩固小结
第 2 章 命题与证明
20 年 月 日 第 周星期 总第 课时
课题 证明
教学目标 1.进一步体会证明的含义; 2.探索并理解三角形内角和定理的几何证明; 3.进一步熟练证明的方法和表述; 4.让学生体验从实验几何向推理几何的过渡.
教学重点 探索三角形内角和定理的证明,进一步掌握证明的方法和表述.
教学难点 由较复杂的题设条件得出若干结论,用到多个定理,是本节的难点.
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复习证明的一般格式和表述,导入新课.通过一个简单的命题的求证过程,让学生自己回顾证明一个命题的一般格式,并用自己的语言进行表述.(1)求证:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.设问:①如何写出已知、求证,并画出图形②如何进行证明(可由学生口述) (2)根据上述题目结合学生的回答引导学生归纳出证明一个命题的一般格式: ①按题意画出图形; ②分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论; ③在“证明”中写出推理过程.合作交流,探究新知(一)通过一个简单的例子向学生简介把一个由实验得到的几何命题经过推理的方法加以论证,让学生体验实验几何向推理几何的简单过渡。 命题:求证:三角形任何两边之和大于第三边.(1)让学生回顾七年级对此命题的说明过程(2)教师通过“两点之间线段最短”来说明上述命题,并板书论证过程.(二)探究新知问题:三角形内角和定理是什么?出示命题:求证:三角形三内角和等于180°.分析:(1)这个命题的条件和结论是什么?并根据条件和结论画出图形,写出已知,求证.(2)请同学们回顾,在三角形部分,对这个命题是用哪种实验方法加以说明的.(可请成绩较好的同学回答)(3)请同学们思考:如何通过添加辅助线的方法把三个角拼在一起,这些线中哪些线容易产生相等的角?(同学之间相互合作,讨论学习,时间可稍长) 根据学生的回答,添辅助线并引导学生梳理推理的过程(此处可引导学生在不同的顶点处添加辅助线) (4)师生共同完成推理过程.启发学生再思考,除了选三角形顶点作平行线之外,还有没有其他方法,比如选三角形边上一点(此处也可让学生相互讨论并尝试),师生共同探究出证明过程:可在BC边上任意取一点P,作PD∥AB,交AC于点D;作PE∥AC,交AB于点E.证明:∵PD∥AB(已知)∴ ∠DPC=∠B ∠CDP=∠A (两直线平行,同位角相等)又 ∵ PE∥AC∴ ∠EPB=∠C (两直线平行,同位角相等)∴ ∠EPB+∠EPD+∠DPC=∠C+∠A+∠B=180° (等量代换)设问:三角形内角和外角之间有什么关系?(学生讨论,自己试着给出证明过程)运用新知,体验成功如图,比较∠1与∠2+∠3的大小,并证明你的判断(可让学生自行完成,并口述过程,老师作点评)拓展提高,综合运用例1 已知:如图,AD是∠BAC的角平分线,BC⊥AD于点O,AC⊥DC于点C.求证:(1)⊿ABC是等腰三角形;(2)∠D=∠B. (一)启发诱导,形成思路 (1)要证明⊿ABC是等腰三角形,只需证明什么?(AB=AC或∠B=∠ACB) (2)证明两边相等或两角相等常用的方法是什么?(三角形全等) 图中能否找到以AB,AC为对应边的全等三角形?⊿ABO与⊿ACO全等吗?应该满足什么条件? (3)要证明∠D=∠B,你能找到合适的全等三角形吗? 根据已知AC⊥DC,能得到∠D与三角形中哪个角互余? 根据已知BC⊥DA,能得到∠B与三角形中哪个角互余? (二)指导学生完成证明过程; (三)指明此题是由结论出发寻求解题思路,这是常用的一种数学方法――分析法.五、疏理全过程,形成小结 (1)本节课你的最大收获是什么? (可根据学生的回答大概归纳为:三角形内角和定理的证明方法――作平行线法; 常用的几何证明方法:由结论出发寻求使结论成立的条件,进而形成解题思路――分析法.)六、课外作业:见作业本.
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证明复习证明的一般格式和表述,导入新课.合作交流,探究新知运用新知,体验成功四、拓展提高,综合运用五、疏理全过程,形成小结六、课外作业
第 2 章 命题与证明
20 年 月 日 第 周星期 总第 课时
课题 证明
教学目标 1、继续学习证明的方法和表述2、通过探求,让学生归纳和掌握证明的两种思考方法。
教学重点 如何分析证明的途径.
教学难点 要用逆向思维的思考方法的证明.
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教师活动教学内容学生活动一、引例显示引例在RtΔABC中,∠ACB=Rt∠,CD⊥AB于D。和老师一起读题,并要求能根据题意准确画图。二、回顾图形中,有几个锐角4个回答问题提问:通过观察,图形中这4个锐角大小有什么关系?两两分别相等学生思考,然后个别提问提出问题,提问学生时帮助总结证明方法。问题:求证:∠ACD=∠A证明:∵∠ACB=Rt∠∴∠ACD+∠BCD=90°∵CD⊥AB∴∠A+∠ACD=90°∴∠BCD=∠A(其它证法亦可)同学们思考,然后让一学生归纳方法。板书:课题§4.2证明(3)三、新课讲解例51、指导学生,理解题意已知:如图,AD是ΔABC的高,E是AD上一点,若AD=BD,DE=DC,求证:∠1=∠C审题,认真思考并且积极回答老师的提问2、思考:证明两个角相等的方法有哪些?证明两个角的方法较多,如两条直线平行,同位角相等或内错角相等,在本题总结的过程中帮助学生引导∠1和∠C在两个三角形有什么特点。学生讨论,然后提问总结。三、新课讲解例53、教师帮助总结通过证明∠1与∠C所在的三角形全等通过提问学生总结方法4、问:如何证明?在全等的证明过程中,已知两条件:AD=BD,DE=DC通过AD是ΔABC的高,可证出∠ADC=∠BDE=Rt∠学生找已知条件和需证条件5、给出解题步骤证明:∵AD是ΔABC的高∴∠BDE=∠ADC=Rt∠又∵BD=AD(已知)DE=DC(已知)∴ΔBDE≌ΔADC(SAS)∴∠1=∠C(全等三角形的对应角相等)学生口述证题过程四、课堂练习一学生完成练习一后,出示参考证明核对(略)已知:如图,在ΔABC中,D,E分别是AB,AC上的点,∠1=∠2,求证:∠B=∠ADE一学生在黑板上演示,其他学生在课本上完成练习。五、新课讲解例6显示例6(屏幕显示)问:证明两直线平行的方法有哪些?已知:AD是三角形纸片ABC的高,将纸片沿直线EF折叠,使点A与点D重合,求证:EF∥BC审题后思考:证明两直线平行主要有哪些方法。2、通过学生的回答,总结两直线平行的方法平行的证法较多,有时无从着手,但联系本题,需引导学生从结论出发进行思考。分组讨论,前面组回答,后面组补充总结3、问,若在多条交流的河流下游发现河水被污染,该怎么找到污染源?总结出一条可行的方法——逆流而上寻找污染源。发挥学生的发散思维,让学生充分思考,尽情发挥。4、联想本题,发生类比,从结论出发总结证明思路。 联系本题,让学生总结出逆流而上寻找证题思路。5、出示证明过程证明:因为将纸片沿直线EF折叠后,点A与点D重合,所以EF是线段AD的对称轴。∴EF⊥AD(对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段)∵AD是ΔABC的高(已知)∴BC⊥AD(三角形的高的定义)∴EF∥AD(垂直于同一条直线的两直线平行)通过总结,完成证题6、提出问题,让学生课外思考完成后上交。问:审题从结论出发,还有其它的解法让学生解一题多种,学生可以互相讨论。六、课堂练习2出示(屏幕显示)已知:如图,AD∥BC,∠B=∠D,求证,ΔADC≌CBA请写出分析和证明过程 学生仔细审题要求学生用逆向思维的思考方式写出分析过程学生独立完成,互相讨论,总结方法。七、课堂小结问:这节我们学到了什么?1、会正确表述证明的过程2、会判断如何证明角、边相等,两直线平行3、学会用证明的两种思考方法,特别要体验逆向思维的必要性学生自由回答八、作业布置1、完成课本“作业题”2、预习下一节记录
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证明一、引例二、回顾三、新课讲解四、课堂练习一五、新课讲解六、课堂练习2七、课堂小结八、作业布置
第 2 章 命题与证明
20 年 月 日 第 周星期 总第 课时
课题 反例与证明
教学目标 1、理解反例的意义和作用。2、掌握在简单情况下利用反例证明一个命题是错误的
教学重点 用反例证明一个命题是错误的.
教学难点 如何构造一个反例去证明一个命题是错误的.
教学用具
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情景引入判断下列命题的真假素数是奇数黄皮肤、黑头发的人是中国人在不同项点上有两个外角是钝角的三角形是锐角三角形我们对真命题的证明,掌握了一定的方法和技能,那么如何来说明一个命题是假命题呢?今天我们将一起来探讨如何说明一个命题是假命题。从而引出课题——反例与证明新课新授1、讨论(1)学生讨论1:如何去判断一个命题是假命题的方法?学生分小组讨论,教师巡回指导,师生总结:判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可。学生讨论2:怎么样反例才能判断一个命题是假命题?学生分小组讨论,教师巡回指导,师生总结:具备命题条件但不具备命题结论的例子 如:可以举2是素数,但不是奇数,从而证明“素数是奇数”是假命题.(3)、让学生举一个反例去证明“黄皮肤、黑头发的人是中国人”是假命题2、例题讲解例题、判断下列命题的真假,并给出证明若2 x + y = 0,则x = y = 0有一条边、两个角相等的两个三角形全等解(1)是假命题。 取x = -1 , y = 2 ,则2 x + y = 2 ×(-1)+ 2 = 0 但x≠0且y≠0。即x = -1,y = 2 具备2 x + y = 0 的条件,但不具备命题的结论,所以此命题为假命题(2) 假命题。如图:△ABC和△A’B’C’中,∠A=∠B’ ∠B=∠C’ AB=A’B’ 但很明显△ABC和△A’B’C’不全等,所以此命题为假命题例题小结: 如果要证明或判断一个命题是假命题,那么我们只要举出一个符合题设而不符合结论的例子就可以了。这称为举“反例”。3、变式练习: 判断命题“两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”的真假,并给出证明。 分析:这是一个假命题,要证明它是一个假命题,关键是看如何构造反例。本题可以从以下两方面考虑,(1)三角形ABC中,AB=AC,在底边BC延长线上取点D,连DA,这样在△ADB和△ADC中,AD=AD,∠D=∠D,AB=AC,显然观察图形可知△ADB与△ADC不全等,或者,在BC上任取一点E(E不是中点),如图4-4-4(2),则在△ABE和△ACE中,AB=AC,∠B=∠C,AE=AE,显然它们不全等。解 这是一个假命题,证明如下: 如图4 – 4 – 4(1),在△ABC中,AB=AC,延长CB到D,连结AD。 则AB=AC,(已知) AD=AD,(公共边) ∠D=∠D,(公共角)但△ADB与△ADC不全等。评注 能举反例说明一个命题是假命题,反例不在于多,只要能找到一个说明即可。练习 课内练习1、2小结:1、如何去判断一个命题是假命题 2、怎么样的反例才可以证明一个命题是假命题五、作业:见作业本
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反例与证明情景引入新课新授三、练习四、小结五、作业
第 2 章 命题与证明
20 年 月 日 第 周星期 总第 课时
课题 复习
教学目标 对本章知识进行整理巩固
教学重点 理解各概念
教学难点 熟练掌握证明的书写格式、规范要求
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一、知识回顾1.一般的,判断一件事情的句子叫做命题,
命题分为真命题与假命题。2.说明一个命题是假命题,通常只用找出一个反例,但要说明一个命题是真命题,就必须用推理的方法,而不能光凭一个例子。假命题的证明是利用反例来说明.反例必须是具备命题的条件,却不具备命题的结论,从而说明命题错误.说明一个命题是真命题,就必须用推理的方法,而不能光凭一个例子.二、复习练习:(一)判断下列命题的真假.有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形.素数不可能是偶数.黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人.有两个外角(不同顶点)是钝角的三角形是锐角三角形.若y(1-y)=0,则y=0.(二)证明命题的一般步骤:根据题意,画出图形结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;(三)证明题:1、证明:等腰三角形两底角的平分线相等。已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC的角平分线。求证:BD=CE.2、 等腰三角形的底角为15°,腰长为2a,求腰上的高。3、 如图,已知AD是△ABD A 和△ACD的公共边.求证: ∠BDC=∠BAC+∠B+∠C B D C 三、小组合作交流这节课你有何收获,能与大家分享、交流你的感受吗? 四、作业布置课后练习
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复习 一、知识回顾二、复习练习:三、小组合作交流四、作业布置
第 3 章 图形的相似
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课题 相似的图形
教学目标 理解并掌握两个图形相似的概念.了解成比例线段的概念,会确定线段的比.
教学重点 相似图形的概念
教学难点 相似图形的概念理解
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一、课堂引入1.(1)请同学们看黑板正上方的五星红旗,五星红旗上的大五角星与小五角星他们的形状、大小有什么关系?再如下图的两个画面,他们的形状、大小有什么关系.(还可以再举几个例子) (2)教材P61引入.(3)相似图形概念:把形状相同的图形说成是相似图形.(强调:见前面)(4)让学生再举几个相似图形的例子.(5)讲解例1.2.问题:如果把老师手中的教鞭与铅笔,分别看成是两条线段AB和CD,那么这两条线段的长度比是多少?归纳:两条线段的比,就是两条线段长度的比.3.成比例线段:对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等,如(即ad=bc),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.【注意】 (1)两条线段的比与所采用的长度单位没有关系,在计算时要注意统一单位;(2)线段的比是一个没有单位的正数;(3)四条线段a,b,c,d成比例,记作或a:b=c:d;(4)若四条线段满足,则有ad=bc.二、例题讲解例1(补充:选择题)如图,下面右边的四个图形中,与左边的图形相似的是( ) 分析:因为图A是把图拉长了,而图D是把图压扁了,因此它们与左图都不相似;图B是正六边形,与左图的正五边形的边数不同,故图B与左图也不相似;而图C是将左图绕正五边形的中心旋转180 后,再按一定比例缩小得到的,因此图C与左图相似,故此题应选C.例2(补充)一张桌面的长a=1.25m,宽b=0.75m,那么长与宽的比是多少?(1)如果a=125cm,b=75cm,那么长与宽的比是多少?(2)如果a=1250mm,b=750mm,那么长与宽的比是多少?解:略.()小结:上面分别采用m、cm、mm三种不同的长度单位,求得的的值是相等的,所以说,两条线段的比与所采用的长度单位无关,但求比时两条线段的长度单位必须一致.例3(补充)已知:一张地图的比例尺是1:32000000,量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm,求北京到上海的实际距离大约是多少km?分析:根据比例尺=,可求出北京到上海的实际距离.解: 略答:北京到上海的实际距离大约是1120 km.三、课堂练习1.教材P61的观察.2.下列说法正确的是( )A.小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.B.商店新买来的一副三角板是相似的.C.所有的课本都是相似的.D.国旗的五角星都是相似的.3.如图,请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽,(1)(小)长是_______cm,宽是_______cm; (大)长是_______cm,宽是_______cm;(2)(小) ;(大) .(3)你由上述的计算,能得到什么结论吗?(答:相似的长方形的宽与长之比相等)4.在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上,量得福州与上海之间的距离时7.5cm,那么福州与上海之间的实际距离是多少?5.AB两地的实际距离为2500m,在一张平面图上的距离是5cm,那么这张平面地图的比例尺是多少?四、课后练习1.观察下列图形,指出哪些是相似图形:(答:相似图形分别是:(1)和(8);(2)和(6);(3)和(7) )2.教材练习1、2. 3.教材 习题
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相似的图形一、课堂引入二、例题讲解三、课堂练习四、课后练习
第3章 图形的相似
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课题 线段的比
教学目标 1、了解相似形的概念。2、在小学学过的数的比的基础上,理解线段的比的概念。 3、会应用比例线段解决生活中的一些实际问题。
教学重点 相似形的概念,线段的比的概念。
教学难点 线段的比的应用
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一、导入:1、什么样的图形叫全等形?(投影片演示两个重合的三角形)答:能互相重合的两个图形叫全等形。2、请同学们观察投影片上的一个三角形的变化过程及两个三角形的形状和大小?(演示全等的三角形中一个三角形放大后的投影片)答:形状相同,大小不相等。二、新授:1、再请同学们观察投影片上的两个图形形状和大小?(演示不同大小天坛图片、同一字体的“相似形”文字)答:形状相同,大小不相等。(写出课题:第五章 相似形)2、请问:什么样的图形叫相似形?( 板书:“相似形概念:形状相同,大小不一定相等的两个图形称为相似形。”)3、在现实生活中,同学们见过哪些象上面一样形状相同的图形?(红旗上的五角星、学生用和教师用三角板、两条线段、投影片准备如地图、同一底片洗出的照片、商标图等)4、(过渡)前面我们在投影片上见到的都是相似形,这一章我们将学习什么是相似图形,重点研究相似三角形。为了研究相似形,我们必须先学习比例线段,研究线段之间的关系。(注1、两条线段也是相似形。2、板书:“第一课:比例线段”)5、比例线段(1)导入:小学里学过数之比,(板书两数之比)什么叫数之比?并说明哪个是比的前项、比的后项。 今天我们已学过代数,是否可以用两个字母如表示数之比呢?指出哪个是比的前项、比的后项。(2)如果用a、b表示两条线段,a=3cm,b=4cm,如何表示线段的比呢?若a=m,b=n,则如何表示线段的比?(在学生解答问题后,板书:“线段的比:如果选用同一长度单位量得两条线段 a、b的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比是 a:b=m:n 或 = 。和数一样,线段 a叫比的前项,线段 b叫比的后项。)(3)问:当线段如图用两个端点字母表示时,如AB、CD,则如何表示线段的比?AB:CD = m:n 或 = 。6、解答例题:(分小组解,叫4个同学板演)例:一张桌子的长a=1.25m,宽b=0.75m,求长与宽之比。 一张桌子的长a=1.25m,宽b=75cm,求长与宽之比。 一张桌子的长a=125cm,宽b=75cm,求长与宽之比。 一张桌子的长a=1250mm,宽b=750mm,求长与宽之比。7、校对解答,并由例子的结论,归纳求线段之比时需注意的问题。(1)、线段之比就是它们长度之比。(2)、求线段之比时,要选用同一长度单位,如长度单位不同时则先统一单位,再求比。(3)、两条线段的比值总是正数。(为什么?)(4)、线段的比与所采用的长度单位无关。(以后在讨论线段的比时,一般不指明长度单位。)例1、A、B两地的实际距离AB=250m,画在图上的距离A′B′=5cm ,求图上的距离与实际距离的比。解:取m作为同一长度单位,那么AB=250m、A′B′=0.05m∴答:图上距离与实际距离的比是1:5000。注、1、学生口述,教师板书解答,注意实际问题要有答。 2、在生活中的地图和工程图纸上经常标出比例尺,表示图上距离与实际距离之比。 3、(变式)在比例尺为1:200000的地图上找到横林镇和武进市,量出图上的直线距离,试求实际的直线距离。横林镇和常州市的实际直线距离呢?(突出学科之间的渗透和现实生活中的数学问题,培养学生的数学意识及解题能力。)例2、已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,斜边AB=2。求:、。 解:∵ Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°斜边AB=2 ∴ BC=1 ∴ AC= ∴ ,注意这个直角三角形是一个重要图形:1、有一个勾股定理。2、30°角所对的直角边等于斜边的一半。3、三边之比为1∶∶2。4、是有关三角函数的问题,留待今后再学。三、课堂练习:课本1、2、3、4四、课堂总结:今天我们的学习目标是1、了解相似形的概念。2、在小学学过的数的比的基础上,理解线段的比的概念。3、会应用比例线段解决几何问题和生活中的一些简单的实际问题(如地图、工程图纸等)。五、课后作业:课本习题A组2 、3出示课后思考题:1、已知,一个工程模型实际高需5m,画在图纸上的高度为3cm,量得图纸上工程模型图的宽为1.8cm,试问工程模型实际宽为多少?2、如图,CD是RtΔABC斜边AB上的高,BC:AC=3∶4。试求:(1)CD∶AD的值。(2)CD∶DB的值。(3)AD∶DB的值。
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线段的比一、导入二、新授三、课堂练习四、课堂总结五、课后作业
第 3 章 图形的相似
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课题 成比例线段
教学目标 1、理解比例线段的概念,以及比例的内项、外项、第四比例项和比例中项;2、理解比例的基本性质、合分比性质和等比性质。
教学重点 比例的性质
教学难点 比例的性质的应用。
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一、复习引入:⑴、什么是比例?怎样表示比例?⑵、说出比例中各部分的名称,比例的基本性质是什么?二、新授:一、阅读课本 第页 ,思考并回答下列问题:⑴、在四条线段中,如果其中;两条线段的比等于 比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段。⑵、已知线段、、、,若,则、、、叫做组成比例的项,其中、叫做比例外项, 、叫做比例内项,而叫做、、的第四比例项,若有,那么叫做、的比例中项。⑶ 、基本性质:若,则;反之,若,则。⑷、合分比性质:⑸、等比性质:⑹、如何证明以上