高一（人教a版）数学练习：第一章1.3.1单调性与最大（小）值（第2课时函数的最大值、最小值）

1．函数f(x)(－2≤x≤2)的图象如下图所示，则函数的最大值、最小值分别为(　　)
A．f(2)，f(-2)　　　　　　　B．f()，f(－1)
C．f()，f(－) D．f()，f(0)
【解析】　根据函数最值定义，结合函数图象知，当x＝－时，有最小值f(－)；当x＝时，有最大值f()．
【答案】　C
2．y＝在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是(　　)
A．1， B.，1
C.， D.，
【解析】　因为y＝在[2,4]上单调递减，
所以ymax＝＝1，ymin＝＝.
【答案】　A
3．函数y＝ax＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a＝________.
【解析】　若a<0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是减函数，则在区间左端点处取得最大值，即a＋1＝4，a＝3不满足a<0；
若a>0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是增函数，则在区间右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，a＝1，满足a>0，所以a＝1.
【答案】　1
4．已知函数y＝－x2＋4x－2，x∈[0,5]．
(1)写出函数的单调区间；
(2)若x∈[0,3]，求函数的最大值和最小值．
【解析】　y＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2，x∈[0,5]．所以
(1)此函数的单调区间为[0,2)，[2,5]；
(2)此函数在区间[0,2)上是增函数，在区间[2,3]上是减函数，结合函数的图象知：
当x＝2时，函数取得最大值，最大值为2；
又x＝3时，y＝1，x＝0时，y＝－2，所以函数的最小值为－2.
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.
函数y=|x-1|在[-2,2]上的最大值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】　函数y＝|x－1|的图象，如右图所示可知ymax＝3.
【答案】　D
2．函数f(x)＝，则f(x)的最大值、最小值为(　　)
A．10,7 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
【解析】　本题为分段函数最值问题，其最大值为各段上最大值中的最大值，最小值为各段上最小值中的最小值．
当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，
当－1≤x≤1时，7≤x＋8≤9.
∴f(x)min＝f(－1)＝7，
f(x)max＝f(2)＝10.
【答案】　A
3．函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5,5)上的最大值、最小值分别为(　　)
A．42,12 B．42，－
C．12，－ D．无最大值，最小值－
【解析】　f(x)＝x2＋3x＋2
＝(x＋)2－，
∵－5＜－＜5，
∴无最大值f(x)min＝f(－)＝－.
【答案】　D
4．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a(x∈[0,1])，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(　　)
A．－1　　　　　　 　　　　　B．0
C．1 D．2
【解析】　函数f(x)＝－x2＋4x＋a的图象开口向下，对称轴为直线x＝2，于是函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，从而f(0)＝－2，即a＝－2，于是最大值为f(1)＝－1＋4－2＝1，故选C.
【答案】　C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．函数y＝－，x∈(－∞，－3]∪[3，＋∞)的值域为________．
【解析】　y＝－在(－∞，－3]及[3，＋∞)上单调递增，所以值域为(0,1]∪[－1,0)．
【答案】　(0,1]∪[－1,0)
6．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a的值为________．
【解析】　f(x)＝ax2＋2ax＋1＝a(x＋1)2＋1－a，
对称轴x＝－1，
当a＞0时，图象开口向上，在[－2,3]上的最大值为
f(3)＝9a＋6a＋1＝6，所以a＝，
当a＜0时，图象开口向下，在[－2,3]上的最大值为
f(－1)＝a－2a＋1＝6，所以a＝－5.
【答案】　或－5
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求函数y＝在区间[2,6]上的最大值和最小值．
【解析】　
设x1、x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1＜x2，则
f(x1)-f(x2)
=-
=
=.
由2≤x1＜x2≤6，得x2-x1＞0，(x1-1)(x2-1)＞0，f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
所以，函数y=是区间[2,6]上的减函数．如上图．
因此，函数y=在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x=2时取得最大值，最大值是2，在x=6时取得最小值，最小值是0.4.
8．求f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．
【解析】　f(x)＝(x－a)2＋2－a2，
当a≤2时，f(x)min＝f(2)＝6－4a；
当2f(x)min＝f(a)＝2－a2；
当a≥4时，
f(x)min＝f(4)＝18－8a.
综上可知，
f(x)min＝
9．(10分)某市一家报刊摊点，从该市报社买进该市的晚报价格是每份0.40元，卖出价格是每份0.60元，卖不掉的报纸以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(按30天计算)里，有18天每天可卖出400份，其余12天每天只能卖出180份．摊主每天从报社买进多少份，才能使每月获得最大利润(设摊主每天从报社买进的份数是相同的)?
【解析】　若设每天从报社买进x(180≤x≤400，x∈N)份，则每月(按30天计算)可销售(18x＋12×180)份，每份获利0.20元，退回报社12(x－180)份，每份亏损0.35元，建立月纯利润函数，再求它的最大值．
设每天从报社买进x份报纸，每月获利为y元，则有
y＝0.20(18x＋12×180)－0.35×12(x－180)＝－0.6x＋1 188,180≤x≤400，x∈N.
函数y＝－0.6x＋1 188在区间[180,400]上是减函数，所以x＝180时函数取最大值，最大值为y＝－0.6×180＋1 188＝1 080.
即摊主每天从报社买进180份时，每月获得的利润最大，最大利润为1 080元.