高一（人教a版）数学练习：第一章1.3.2奇偶性（第2课时函数奇偶性的应用）

1．下列函数，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上是减函数的是(　　)
A．f(x)＝－ B．f(x)＝－x2
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝x2
【解析】　由偶函数定义，f(－x)＝f(x)知，f(x)＝－x2，f(x)＝x2是偶函数，
又在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x)＝－x2符合条件，故选B.
【答案】　B
2．如果偶函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么f(x)在[－7，－3]上是(　　)
A．增函数且最小值为5 B．减函数且最小值为5
C．增函数且最大值为5 D．减函数且最大值为5
【解析】　根据偶函数在关于y轴对称的区间上的单调性及偶函数图象的特点可得．故选B.
【答案】　B
3．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当x∈(－∞，0]时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝________.
【解析】　当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，则f(－x)＝－x－(－x)4＝－x－x4.由于函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，x∈(0，＋∞)，从而在区间(0，＋∞)上函数的表达式为f(x)＝－x－x4.
【答案】　－x－x4
4．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
【解析】　由f(m)＋f(m－1)>0，
得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数，
∴f(x)在[－2,2]上为减函数．
∴，
即，
解得－1≤m<.
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－3)A．f(－1)C．f(－3)f(1)
【解析】　函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，因此f(x)＝f(－x)，于是f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，则f(3)又f(x)在[0,5]上是单调函数，从而函数f(x)在[0,5]上是减函数，观察四个选项，并注意到f(x)＝f(－x)，易得只有D正确．
【答案】　D
2．若函数f(x)在区间[－5,5]上是奇函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f(3)A．f(－1)f(－1)
C．f(－1)f(－5)
【解析】　函数f(x)在区间[0,5]上是单调函数，又3>1，且f(3)由已知条件及奇函数性质知函数f(x)在区间[－5,5]上是减函数．
在选项A中，－3<－1，故f(－3)>f(－1)，选项A正确．
在选项B中，0>－1，故f(0)同理选项C、D也错．故选A.
【答案】　A
3．函数f(x)＝ax，a＞0，则必有(　　)
A．f(a)＜f(－a) B．f(a)＋f(－a)＝0
C．f(a)＞f(－a) D．f(a)＝f(a＋1)
【解析】　显然f(x)＝ax，a＞0为奇函数，
所以f(－a)＝－f(a)．故选B.
【答案】　B
4．下列说法中错误的个数为(　　)
①图象关于坐标原点对称的函数是奇函数；
②图象关于y轴对称的函数是偶函数；
③奇函数的图象一定过坐标原点；
④偶函数的图象一定与y轴相交．
A．4 B．3
C．2 D．0
【解析】　①、②由奇、偶函数的性质知正确；
对于③，如f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是奇函数，但它的图象不过原点；
对于④，如f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是偶函数，但它的图象不与y轴相交．故选C.
【答案】　C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2＋1，则f(－3)＝________.
【解析】　∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(－3)＝－f(3)＝－(32＋1)＝－10.
【答案】　－10
6．设f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，则函数f(x)的解析式为________．
【解析】　(1)设x<0，则－x>0，因为f(x)为奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－[－2(－x)2＋3(－x)＋1]
＝2x2＋3x－1.
当x＝0时，f(x)＝0.
所以f(x)＝
【答案】　f(x)＝
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知f(x)＝(a－1)x2＋2ax＋3是定义在R上的偶函数，求证：函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递增．
【证明】　由f(x)是定义在R上的偶函数，
可知f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，
所以(a－1)(－x)2＋2a(－x)＋3＝(a－1)x2＋2ax＋3，
即4ax＝0对于x∈R恒成立，
所以a＝0，故f(x)＝－x2＋3.任取x1因为x1所以x2－x1>0，x2＋x1<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递增．
8．已知函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝x2－x＋2，求f(x)，g(x)的解析式．
【解析】　∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数
∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)
又∵f(x)＋g(x)＝x2－x＋2①
∴f(－x)＋g(－x)＝(－x)2－(－x)＋2
∴－f(x)＋g(x)＝x2＋x＋2②
由①②得：f(x)＝－x，g(x)＝x2＋2
9．(10分)已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．
(1)求函数g(x)的定义域；
(2)若f(x)是奇函数且在定义域内单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．
【解析】　(1)由题意可知
所以.解得故函数g(x)的定义域为.
(2)由f(x)是奇函数可得f(－x)＝－f(x)．
因为g(x)≤0，所以f(x－1)＋f(3－2x)≤0，
即f(x－1)≤－f(3－2x)，
所以f(x－1)≤f(2x－3)．
又因为f(x)在定义域内单调递减，
所以x－1≥2x－3，解得x≤2.
由(1)可知函数g(x)的定义域为，
所以不等式g(x)≤0的解集为.