高一（人教a版）数学课件：1.3.1单调性与最大（小）值（第2课时函数的最大值、最小值）
文档属性
| 名称 | 高一（人教a版）数学课件：1.3.1单调性与最大（小）值（第2课时函数的最大值、最小值） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 793.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-10-01 16:56:00 | ||
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文档简介
课件22张PPT。1．3.1 单调性与最大(小)值(第2课时 函数的最大值、最小值)
1．函数的最大值
(1)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于 ，都有f(x)≤M，
②存在 ，使f(x0)＝M.
那么称M是函数y＝f(x)的最大值．
2．函数的最小值
(1)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于 ，都有f(x)≥M，
②存在 ，使f(x0)＝M.
(1)那么称M是函数y＝f(x)的最小值．任意x∈I任意x∈Ix0∈Ix0∈I1．函数最大值、最小值的几何意义是什么？
【提示】 函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标．2．求函数的最大(小)值应注意的问题是什么？
【提示】 (1)对于任意的x属于给定区间，都有f(x)≤M成立，“任意”是说对给定区间的每一个值都必须满足不等式．
(2)最大值M必须是一个函数值，即它是值域中的一个元素．
例如函数f(x)＝－x2对任意的x∈R，都有f(x)≤1，但f(x)的最大值不是1，因为1不属于f(x)的值域．如图为函数y＝f(x)，x∈[－3,8]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①所给函数解析式未知；
②函数图象已知．
解答本题可根据函数最值定义和最值的几何意义求解．
【解析】 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(2,3)，最低的点是(－1，－3)，所以函数y＝f(x)当x＝2时，取得最大值，最大值是3，当x＝－1.5时，取得最小值，最小值是－3.函数的单调增区间为[－1,2]，[5,7]．
单调减区间为[－3，－1]，[2,5]，[7,8]．由函数图象找出函数的单调区间是求函数单调区间和最值的常用方法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对较为简单且图象易作出的函数求最值较常用．其图象如下图所示，显然函数值y≥3，所以函数有最小值3，无最大值．(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．
(2)函数的最值与单调性的关系
①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；
②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．2.本例中，函数定义域“x∈[2,3]”改为x∈[－1,1)∪(1,3]，求函数值域．求二次函数f(x)＝x2－6x＋4在区间[－2,2]上的最大值和最小值．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①所给函数为二次函数；
②在区间[－2,2]上求最值．
解答本题可先确定函数在区间[－2,2]上的单调性，再求最值．【解析】 f(x)＝x2－6x＋4＝(x－3)2－5，
其对称轴为x＝3，开口向上，
∴f(x)在[－2,2]上为减函数，
∴f(x)min＝f(2)＝－4，f(x)max＝f(－2)＝20.
在求二次函数的最值时，要注意定义域．定义域若是区间[m，n]，则最大(小)值不一定在顶点处取得，而应看对称轴是在区间[m，n]内还是在区间左边或右边，在区间的某一边时应该利用函数单调性求解．3.本例中函数解析式改为“y＝x2－2ax＋1”(a>0)，求函数的最值．
【解析】 (1)当0当x＝a时，函数取得最小值f(a)＝1－a2，
当x＝－2时，函数取得最大值f(－2)＝5＋4a，
(2)当a≥2时，结合图象知
函数在[－2,2]上是减函数，
当x＝2时，函数取得最小值f(2)＝5－4a，
当x＝－2时，函数取得最大值f(－2)＝5＋4a.1．准确理解函数最大值的概念
(1)定义中M首先是一个函数值，它是值域的一个元素，如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0，注意对②中“存在”一词的理解．
(2)对于定义域内全部元素，都有f(x)≤M成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式．
(3)这两条缺一不可，若只有①，M不一定是最大值，如f(x)＝－x2(x∈R)，对任意x∈R，都有f(x)≤1成立，但1不是最大值，否则大于零的任意实数都是最大值了．最大值的核心就是不等式f(x)≤M成立，即①一定成立，所以不能只有②.求函数y＝x2－2x－1在[2,4)上的最值、值域．
【错解】 y＝x2－2x＝(x－1)2－2，
∴对称轴为x＝1，
∴ymin＝－2，ymax＝8，
值域为y∈[－2,8]．
【错因】 上述解法忽略了二次函数的对称轴与区间[2,4)的位置关系，以及区间的端点．
【正解】 y＝(x－1)2－2，对称轴为x＝1.
∴函数在[2,4)上是增函数，
∴当x＝2时，ymin＝－1，无最大值，
∴值域为y∈[－1,8)．课时作业
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1．函数的最大值
(1)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于 ，都有f(x)≤M，
②存在 ，使f(x0)＝M.
那么称M是函数y＝f(x)的最大值．
2．函数的最小值
(1)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于 ，都有f(x)≥M，
②存在 ，使f(x0)＝M.
(1)那么称M是函数y＝f(x)的最小值．任意x∈I任意x∈Ix0∈Ix0∈I1．函数最大值、最小值的几何意义是什么？
【提示】 函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标．2．求函数的最大(小)值应注意的问题是什么？
【提示】 (1)对于任意的x属于给定区间，都有f(x)≤M成立，“任意”是说对给定区间的每一个值都必须满足不等式．
(2)最大值M必须是一个函数值，即它是值域中的一个元素．
例如函数f(x)＝－x2对任意的x∈R，都有f(x)≤1，但f(x)的最大值不是1，因为1不属于f(x)的值域．如图为函数y＝f(x)，x∈[－3,8]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①所给函数解析式未知；
②函数图象已知．
解答本题可根据函数最值定义和最值的几何意义求解．
【解析】 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(2,3)，最低的点是(－1，－3)，所以函数y＝f(x)当x＝2时，取得最大值，最大值是3，当x＝－1.5时，取得最小值，最小值是－3.函数的单调增区间为[－1,2]，[5,7]．
单调减区间为[－3，－1]，[2,5]，[7,8]．由函数图象找出函数的单调区间是求函数单调区间和最值的常用方法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对较为简单且图象易作出的函数求最值较常用．其图象如下图所示，显然函数值y≥3，所以函数有最小值3，无最大值．(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．
(2)函数的最值与单调性的关系
①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；
②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．2.本例中，函数定义域“x∈[2,3]”改为x∈[－1,1)∪(1,3]，求函数值域．求二次函数f(x)＝x2－6x＋4在区间[－2,2]上的最大值和最小值．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①所给函数为二次函数；
②在区间[－2,2]上求最值．
解答本题可先确定函数在区间[－2,2]上的单调性，再求最值．【解析】 f(x)＝x2－6x＋4＝(x－3)2－5，
其对称轴为x＝3，开口向上，
∴f(x)在[－2,2]上为减函数，
∴f(x)min＝f(2)＝－4，f(x)max＝f(－2)＝20.
在求二次函数的最值时，要注意定义域．定义域若是区间[m，n]，则最大(小)值不一定在顶点处取得，而应看对称轴是在区间[m，n]内还是在区间左边或右边，在区间的某一边时应该利用函数单调性求解．3.本例中函数解析式改为“y＝x2－2ax＋1”(a>0)，求函数的最值．
【解析】 (1)当0
当x＝－2时，函数取得最大值f(－2)＝5＋4a，
(2)当a≥2时，结合图象知
函数在[－2,2]上是减函数，
当x＝2时，函数取得最小值f(2)＝5－4a，
当x＝－2时，函数取得最大值f(－2)＝5＋4a.1．准确理解函数最大值的概念
(1)定义中M首先是一个函数值，它是值域的一个元素，如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0，注意对②中“存在”一词的理解．
(2)对于定义域内全部元素，都有f(x)≤M成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式．
(3)这两条缺一不可，若只有①，M不一定是最大值，如f(x)＝－x2(x∈R)，对任意x∈R，都有f(x)≤1成立，但1不是最大值，否则大于零的任意实数都是最大值了．最大值的核心就是不等式f(x)≤M成立，即①一定成立，所以不能只有②.求函数y＝x2－2x－1在[2,4)上的最值、值域．
【错解】 y＝x2－2x＝(x－1)2－2，
∴对称轴为x＝1，
∴ymin＝－2，ymax＝8，
值域为y∈[－2,8]．
【错因】 上述解法忽略了二次函数的对称轴与区间[2,4)的位置关系，以及区间的端点．
【正解】 y＝(x－1)2－2，对称轴为x＝1.
∴函数在[2,4)上是增函数，
∴当x＝2时，ymin＝－1，无最大值，
∴值域为y∈[－1,8)．课时作业
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