高一（人教a版）数学课件：1.3.2奇偶性（第1课时函数奇偶性的概念）

课件23张PPT。1.3.2　奇偶性(第1课时　函数奇偶性的概念)
1．若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)是什么？
【提示】　由奇函数定义，f(－x)＝－f(x)，则f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.
2．奇(偶)函数的定义域有什么特点？这种特点是怎样影响函数的奇偶性的？【提示】　(1)偶函数(奇函数)的定义中“对D内任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)(f(－x)＝－f(x))”，这表明f(－x)与f(x)都有意义，即x、－x同时属于定义域．因此偶(奇)函数的定义域是关于坐标原点对称的．也就是说，定义域关于坐标原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
(2)若函数的定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数．(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠－3}；
定义域不关于原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：
①定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．②图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．
另外，还有如下性质可判定函数奇偶性：
偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数，奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用以上结论时要注意各函数的定义域)(3)x∈R，
f(－x)＝|－x＋2|－|－x－2|
＝|x－2|－|x＋2|
＝－(|x＋2|－|x－2|)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．【思路点拨】　由题目可获取以下主要信息：
①已知函数为分段函数；
②判断此函数的奇偶性．
解答本题可依据函数奇偶性的定义加以说明．
【解析】　(1)当x<0时，－x>0
f(－x)＝－(－x)2＋(－x)－1，
＝－x2－x－1＝－(x2＋x＋1)＝－f(x)
(2)当x>0时，－x<0
f(－x)＝(－x)2＋(－x)＋1
＝－(x2＋x－1)＝－f(x)
综上f(－x)＝－f(x)
∴f(x)是奇函数(1)对于分段函数奇偶性的判断，须特别注意x与－x所满足的对应关系，如x>0时，f(x)满足f(x)＝－x2＋x－1，－x<0满足的不再是f(x)＝－x2＋x－1，而是f(x)＝x2＋x＋1；
(2)要对定义域内的自变量都要考察，如本例分为两种情况，如果本例只有(1)就说f(－x)＝－f(x)，从而判断它是奇函数是错误的、不完整的．
(3)分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断．【解析】　①当x>0时，－x<0
f(－x)＝－x－2＝f(x)
②当x<0时，－x>0
f(－x)＝－(－x)－2＝x－2
＝f(x)
③当x＝0时，f(－x)＝0＝f(x)
∴f(x)是偶函数．已知函数f(x)不恒为0，当x、y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
求证：f(x)是奇函数．
【思路点拨】　令x＝y＝0―→求f(0)―→令y＝－x―→
f(－x)＝－f(x)―→结论【证明】　函数定义域为R，其定义域关于原点对称．
∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
∴令y＝－x，
则f(0)＝f(x)＋f(－x)，
再令x＝y＝0，
则f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．抽象函数奇偶性的判定通常用定义法，主要是充分运用所给条件，想法寻找f(x)与f(－x)之间的关系，此类题目常用到f(0)，可通过给式子中变量赋值，构造出0，把f(0)求出来．
3.本例中，若将条件“f(x＋y)＝f(x)＋f(y)”改为f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，其余不变，求证f(x)是偶函数．【证明】　令x＝0，y＝x，
则f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)①
又令x＝x，y＝0得
f(x)＋f(x)＝2f(x)·f(0)②
①②得f(－x)＝f(x)
∴f(x)是偶函数．1．准确理解函数奇偶性定义
(1)①偶函数(奇函数)的定义中“对D内任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)(f(－x)＝－f(x))”，这表明f(－x)与f(x)都有意义，即x、－x同时属于定义域．因此偶(奇)函数的定义域是关于坐标原点对称的．也就是说，定义域关于坐标原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
②存在既是奇函数又是偶函数的函数，即f(x)＝0，x∈D，这里定义域D是关于坐标原点对称的非空数集．
(2)函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数．课时作业
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