高一(人教a版)数学课件:1.3.2奇偶性(第1课时函数奇偶性的概念)

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名称 高一(人教a版)数学课件:1.3.2奇偶性(第1课时函数奇偶性的概念)
格式 rar
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资源类型 教案
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2010-10-01 16:56:00

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课件23张PPT。1.3.2 奇偶性(第1课时 函数奇偶性的概念)
1.若奇函数f(x)在x=0处有意义,则f(0)是什么?
【提示】 由奇函数定义,f(-x)=-f(x),则f(-0)=-f(0),∴f(0)=0.
2.奇(偶)函数的定义域有什么特点?这种特点是怎样影响函数的奇偶性的?【提示】 (1)偶函数(奇函数)的定义中“对D内任意一个x,都有-x∈D,且f(-x)=f(x)(f(-x)=-f(x))”,这表明f(-x)与f(x)都有意义,即x、-x同时属于定义域.因此偶(奇)函数的定义域是关于坐标原点对称的.也就是说,定义域关于坐标原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.
(2)若函数的定义域不关于原点对称,则函数既不是奇函数也不是偶函数.(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠-3};
定义域不关于原点对称,
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法:
①定义法:若函数定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数;若函数定义域关于原点对称,则应进一步判断f(-x)是否等于±f(x),或判断f(-x)±f(x)是否等于0,从而确定奇偶性.②图象法:若函数图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数图象关于y轴对称,则函数为偶函数.
另外,还有如下性质可判定函数奇偶性:
偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数,奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用以上结论时要注意各函数的定义域)(3)x∈R,
f(-x)=|-x+2|-|-x-2|
=|x-2|-|x+2|
=-(|x+2|-|x-2|)=-f(x),
∴f(x)是奇函数.【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息:
①已知函数为分段函数;
②判断此函数的奇偶性.
解答本题可依据函数奇偶性的定义加以说明.
【解析】 (1)当x<0时,-x>0
f(-x)=-(-x)2+(-x)-1,
=-x2-x-1=-(x2+x+1)=-f(x)
(2)当x>0时,-x<0
f(-x)=(-x)2+(-x)+1
=-(x2+x-1)=-f(x)
综上f(-x)=-f(x)
∴f(x)是奇函数(1)对于分段函数奇偶性的判断,须特别注意x与-x所满足的对应关系,如x>0时,f(x)满足f(x)=-x2+x-1,-x<0满足的不再是f(x)=-x2+x-1,而是f(x)=x2+x+1;
(2)要对定义域内的自变量都要考察,如本例分为两种情况,如果本例只有(1)就说f(-x)=-f(x),从而判断它是奇函数是错误的、不完整的.
(3)分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断.【解析】 ①当x>0时,-x<0
f(-x)=-x-2=f(x)
②当x<0时,-x>0
f(-x)=-(-x)-2=x-2
=f(x)
③当x=0时,f(-x)=0=f(x)
∴f(x)是偶函数.已知函数f(x)不恒为0,当x、y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
求证:f(x)是奇函数.
【思路点拨】 令x=y=0―→求f(0)―→令y=-x―→
f(-x)=-f(x)―→结论【证明】 函数定义域为R,其定义域关于原点对称.
∵f(x+y)=f(x)+f(y),
∴令y=-x,
则f(0)=f(x)+f(-x),
再令x=y=0,
则f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0,
∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.抽象函数奇偶性的判定通常用定义法,主要是充分运用所给条件,想法寻找f(x)与f(-x)之间的关系,此类题目常用到f(0),可通过给式子中变量赋值,构造出0,把f(0)求出来.
3.本例中,若将条件“f(x+y)=f(x)+f(y)”改为f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y),其余不变,求证f(x)是偶函数.【证明】 令x=0,y=x,
则f(x)+f(-x)=2f(0)·f(x)①
又令x=x,y=0得
f(x)+f(x)=2f(x)·f(0)②
①②得f(-x)=f(x)
∴f(x)是偶函数.1.准确理解函数奇偶性定义
(1)①偶函数(奇函数)的定义中“对D内任意一个x,都有-x∈D,且f(-x)=f(x)(f(-x)=-f(x))”,这表明f(-x)与f(x)都有意义,即x、-x同时属于定义域.因此偶(奇)函数的定义域是关于坐标原点对称的.也就是说,定义域关于坐标原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.
②存在既是奇函数又是偶函数的函数,即f(x)=0,x∈D,这里定义域D是关于坐标原点对称的非空数集.
(2)函数按奇偶性可以分为四类:奇函数,偶函数,既是奇函数又是偶函数,既不是奇函数又不是偶函数.课时作业
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