高一（人教a版）第二章数学课件：2.2.1对数与对数运算（第2课时对数及运算）

课件43张PPT。2．1.2　指数函数及其性质(第2课时　指数函数及其性质的应用)
1．指数函数是形如 的函数．
2．指数函数的定义域为R，值域为 且过 点．
3．当a>1时，指数函数在R上为 ；当底数0an(a>0，且a≠1)，如果m>n，则a的取值范围是 ；如果m2．复合函数y＝af(x)单调性的确定：
当a>1时，单调区间与f(x)的单调区间 ；
当010【提示】　复合函数y＝af(x)单调性的判定需注意：
(1)函数定义域；
(2)底数a的大小．
2．解含参数的指数不等式应注意哪些问题？
【提示】　解含参数的指数不等式应注意底数的分类讨论．(3)考察函数y＝2x.
∵2>1，∴函数y＝2x在R上是增函数．
∵－0.01<0，∴2－0.01<20＝1.
(4)由指数函数的性质，知
2．3－0.28<2.30＝1,0.67－3.1>0.670＝1，
∴2.3－0.28<0.67－3.1.指数式的大小比较问题，主要有以下几种：
①同底数幂大小的比较：构造指数函数，利用单调性比较大小．
②指数幂ax与1的比较：当x<0,00，a>1时，ax>1；当x<0，a>1或x>0,0③比较不同底数幂的大小，利用中间量法，常借助中间值0或1进行比较．
④对于底数不同，指数相同的指数幂，利用图象来比较大小．对于形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)一类的函数，有以下结论：
①函数y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同，如y＝21/x与y＝1/x的定义域都是{x|x≠0}；
②先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的单调性确定y＝af(x)的值域；
③当a>1时，函数y＝af(x)与函数f(x)的单调性相同；当0【解析】　由题意得，函数的定义域是R，
令u＝2x－x2，则y＝2u，
∵u＝2x－x2＝－(x－1)2＋1在(－∞，1]上是增函数，
y＝2u在定义域上是增函数，
∴函数y＝22x－x2在(－∞，1]上是增函数；
又u＝－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数，
y＝2u在定义域上是增函数，
∴y＝22x－x2在[1，＋∞)上是减函数，
∴函数y＝22x－x2的单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[1，＋∞)．如果a2x＋3≥ax－1(a>0且a≠1)，求x的取值范围．
【思路点拨】　讨论a的取值―→得关于x的不等式―→解不等式求x范围．
【解析】　(1)当0∴2x＋3≤x－1，解得x≤－4，
(2)当a>1时，∵a2x＋3≥ax－1，
∴2x＋3≥x－1，∴x≥－4.
综上所述，
当0当a>1时，x的取值范围是{x|x≥－4}．解af(x)>ag(x)(a>0且a≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤为1．使用指数函数的单调性时，如何讨论底数的取值范围？
使用指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性时，要首先讨论底数a与1的关系．(1)a>1时，y＝ax在R上单调递增：①x>0时ax>1；②x＝0时，ax＝1；③x<0时，00时，01.课时作业
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2.2.1　对数与对数运算(第2课时　对数及运算)
1．如果ab＝N，a>0且a≠1，我们把b叫做以a为底N的 ．记作b＝logaN.a叫做 ，N 叫做 ．
2．以10为底N的对数称 ，记作lg N；
以e为底N的对数称 ，记作lnN.底数对数真数常用对数自然对数1．对数的运算性质
如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么，
logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM1．若M、N同号，则式子loga(M·N)＝logaM＋logaN成立吗？
【提示】　不一定，当M>0，N>0时成立；当M<0，N<0时不成立．
2．对数运算需注意什么？
【提示】　(1)必须注意M>0，N>0，例如loga[(－3)×(－4)]是存在的，但是loga(－3)与loga(－4)均不存在，故不能写成loga[(－3)×(－4)]＝loga(－3)＋loga(－4)．【思路点拨】　由题目可获取以下主要信息：
①(1)题中对数底数不同，(2)是常用对数；
②对数式含有积、幂、根式的形式．
解答本题可利用对数运算性质进行计算．对于同底的对数的化简，常用方法是：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
1.求下列各式的值
(1)lg52＋2/3lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.
(2)ln e－ln e2；
(3)lg 0.001＋3lg 10；
(4)log3(log327)；【解析】　(1)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5·(1＋lg2)＋(lg2)2
＝2(lg5＋lg2)＋lg5＋lg2(lg5＋lg2)
＝2＋lg5＋lg2＝2＋1＝3.
(2)ln e－ln e2＝ln e－2ln e＝－ln e＝－1.
(3)lg 0.001＋3lg 10＝lg 10－3＋lg 103＝lg(10－3×103)＝lg 1＝0.
(4)log3(log327)＝log3(log333)＝log3(3log33)＝log33＝1.【思路点拨】　由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同．
解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值．换底公式即将底数不同的对数转化成底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明．换底公式应用时究竟换成以什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数，或以e为底的自然对数．
2.计算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)．(1)已知lg 2＝a，lg 3＝b，求log36.
(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.
【思路点拨】　由题目可获取以下主要信息：
①已知条件与所求对数的底是不相同的．
②所求对数真数能用已知条件的真数表示．解决本题考虑应用换底公式．(1)本例的解法均利用了换底公式，关于换底公式：
①换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数或自然对数，然后查表求值，解决一般对数求值的问题．
②换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法．解题过程中换什么样的底应结合题目条件，并非一定用常用对数、自然对数．
(2)求条件对数式的值，可从条件入手，从条件中分化出要求的对数式，进行求值；也可从结论入手，转化成能使用条件的形式；还可同时化简条件和结论，直到找到它们之间的联系．3.已知18a＝9,18b＝5，试用a、b表示log365.1．正确运用对数的运算性质
(1)在运算过程中避免出现以下错误：(2)要特别注意它的前提条件：a>0，a≠1，M>0，N>0，尤其是M，N都是正数这一条件，否则M，N中有一个小于或等于0，就导致logaM或logaN无意义，另外还要注意，M>0，N>0与M·N>0并不等价．
2．关于换底公式
(1)对数换底公式的证明
设x＝logab，化为指数式为ax＝b，两边取以c为底的对数，得logcax＝logcb，即xlogca＝logcb.(2)对数换底公式的选用
①在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算；
②在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．
在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择．
(3)关于换底公式的另外两个结论：
①logac·logca＝1；②logab·logbc·logca＝1.设x，y为非零实数，a>0，a≠1，则下列式子中正确的个数为(　　)
(1)logax2＝2logax；(2)logax2＝2loga|x|； 【错解】　D
【错因】　产生错解的主要原因是没有准确掌握对数的运算性质．
(1)logax2＝2logax，不能保证x>0；
(3)(4)虽保证了真数大于零，但是公式应用有误．
正确表达式应该是loga|xy|＝loga|x|＋loga|y|，loga ＝loga|x|－loga|y|.
【正解】　A课时作业
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