高一（人教a版）第二章数学课件：2.3幂函数

课件22张PPT。2.3　幂函数
1．形如 是指数函数，定义域R，值域 ．
2．形如y＝logax是对数函数，定义域 ，值域R.(0，＋∞)y＝ax(0，＋∞)1．幂函数的概念
函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数．
2．幂函数的图象
在同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x1/2，y＝x－1的图象如图．y＝xαxα3．幂函数的图象与性质
1．幂函数的图象能过第四象限吗？
【提示】　对幂函数y＝xα而言，当x>0时，必有y>0，故幂函数图象不过第四象限．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x2m－1为增函数，求实数m的值．
【思路点拨】　由题目可获取以下主要信息：
①f(x)＝(m2－m－1)x2m－1是幂函数；
②当x>0时，f(x)是增函数．
解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m，再由单调性确定m.
【解析】　∵函数y＝(m2－m－1)x2m－1为幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
又∵函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴2m－1>0，即m>1/2，
故m＝－1，舍去，∴m＝2.幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．1.本例中将条件“增函数”改为“减函数”，求m的值．
【解析】　若函数f(x)为(0，＋∞)上的减函数
则2m－1<0，∴m<1/2，
故m＝2，舍去，∴m＝－1. (1)求定义域；
(2)判断奇偶性；
(3)已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间．
【思路点拨】　由题目可以获取以下信息：
函数解析式―→函数有意义(1)在研究幂函数的定义域时，通常将分数指数幂化为根式形式，负整数指数幂化为分式形式，然后由根式、分式有意义求定义域；
(2)画幂函数图象可先画出第一象限的部分，再由定义域、单调性、奇偶性得出其他象限的图象．2.已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(4,2)，试求函数的解析式，并说明函数的单调性．
【解析】　由幂函数的概念设f(x)＝xα，则由4α＝2得α＝1/2，故函数解析式为f(x)＝x1/2 (x≥0)，在[0，＋∞)上是增函数．若(3－2m)1/2 >(m＋1)1/2，求实数m的取值范围．
【思路点拨】　由题目可以获取以下主要信息：
①所给不等式两边幂指数相同；
②可以确定幂函数的单调性．
解答本题可以利用已知条件列出不等式组求出字母m的取值范围．利用函数的单调性时一定要注意函数的定义域．本题若没有注意到幂函数y＝x1/2的定义域为[0，＋∞)，求解时就会得出m<2/3这一错误结果．1．幂函数的性质
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都通过点(1,1)，幂函数图象不过第四象限．
(2)α>0时，①幂函数的图象都通过点(0,0)(1,1)；②并且在[0，＋∞)上都是增函数．
(3)α<0时，①幂函数的图象都通过点(1,1)；
②在[0，＋∞)上都是减函数；
③在第一象限内，函数图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近．
幂函数在第一象限内指数变化规律：
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．已知x2>x1/3，求x的取值范围．
【错解】　由于x2≥0，x1/3∈R，则由x2>x1/3，可得x∈R.
【错因】　上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y=xα在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布．
【正解】　作出函数y=x2和y=x1/3的图象(如图所示)，易得x<0或x>1.课时作业
点击进入链接