北师大版高中数学必修1第三章《指数函数与对数函数》全部教案

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北师大版高中数学必修1第三章指数函数与对数函数
扶风县法门高中 姚连省
第一课时§3.1正整数指数函数
一、教学目标：1、知识与技能： (1) 结合实例,了解正整数指数函数的概念． (2)能够求出正整数指数函数的解析式,进一步研究其性质．2、 过程与方法： (1)让学生借助实例,了解正整数指数函数,体会从具体到一般,从个别到整体的研究过程和研究方法． (2)从图像上观察体会正整数指数函数的性质,为这一章的学习作好铺垫．3、情感．态度与价值观：使学生通过学习正整数指数函数体会学习指数函数的重要意义,增强学习研究函数的积极性和自信心．
二、教学重点: 正整数指数函数的定义．教学难点：正整数指数函数的解析式的确定．
三、学法指导：学生观察、思考、探究．教学方法：探究交流，讲练结合。
四、教学过程
（一）新课导入
[互动过程1]：（1）请你用列表表示1个细胞分裂次数分别
为1,2,3,4,5,6,7,8时,得到的细胞个数;
（2）请你用图像表示1个细胞分裂的次数n()与得到的细
胞个数y之间的关系;
（3）请你写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式,试用
科学计算器计算细胞分裂15次、20次得到的细胞个数．
解:（1）利用正整数指数幂的运算法则,可以算出1个细胞分裂1,2,3,
4,5,6,7,8次后,得到的细胞个数
分裂次数 1 2 3 4 5 6 7 8
细胞个数 2 4 8 16 32 64 128 256
（2）1个细胞分裂的次数与得到的细胞个数之间的关系可以用图像表示,它的图像是由一些孤立的点组成
（3）细胞个数与分裂次数之间的关系式为,用科学计算器算得,
所以细胞分裂15次、20次得到的细胞个数分别为32768和1048576．
探究:从本题中得到的函数来看,自变量和函数值分别是什么 此函数是什么类型的函数 细胞个数随着分裂次数发生怎样变化 你从哪里看出
小结：从本题中可以看出我们得到的细胞分裂个数都是底数为2的指数,而且指数是变量,取值为正整数． 细胞个数与分裂次数之间的关系式为．细胞个数随着分裂次数的增多而逐渐增多．
[互动过程2]：问题2．电冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层,臭氧含量Q近似满足关系式Q=Q00．9975 t,其中Q0是臭氧的初始量,t是时间(年),这里设Q0=1．
（1）计算经过20,40,60,80,100年,臭氧含量Q；
（2）用图像表示每隔20年臭氧含量Q的变化；
（3）试分析随着时间的增加,臭氧含量Q是增加还是减少．
解:（1）使用科学计算器可算得,经过20,40,60,80,100年,臭氧含量Q的值分别为0．997520=0．9512, 0．997540=0．9047, 0．997560=0．8605, 0．997580=0．8185, 0．9975100=0．7786;
（2）用图像表示每隔20年臭氧含量Q的变化如图所
示,它的图像是由一些孤立的点组成．
（3）通过计算和观察图形可以知道, 随着时间的增加,
臭氧含量Q在逐渐减少．
探究:从本题中得到的函数来看,自变量和函数值分别
又是什么 此函数是什么类型的函数 ,臭氧含量Q随着
时间的增加发生怎样变化 你从哪里看出
小结：从本题中可以看出我们得到的臭氧含量Q都是底数为0．9975的指数,而且指数是变量,取值为正整数． 臭氧含量Q近似满足关系式Q=0．9975 t,随着时间的增加,臭氧含量Q在逐渐减少．
[互动过程3]：上面两个问题所得的函数有没有共同点 你能统一吗 自变量的取值范围又是什么 这样的函数图像又是什么样的 为什么
正整数指数函数的定义:一般地,函数叫作正整数指数函数,其中是自变量,定义域是正整数集．
说明: 1．正整数指数函数的图像是一些孤立的点,这是因为函数的定义域是正整数集．2．在研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数．
（二）、例题：某地现有森林面积为1000,每年增长5%,经过年,森林面积为．写出,间的函数关系式,并求出经过5年,森林的面积．
分析:要得到,间的函数关系式,可以先一年一年的增长变化,找出规律,再写出,间的函数关系式．
解: 根据题意,经过一年, 森林面积为1000(1+5%);经过两年, 森林面积为1000(1+5%)2;经过三年, 森林面积为1000(1+5%)3;所以与之间的函数关系式为,经过5年,森林的面积为1000（1+5%）5=1276．28(hm2)．
练习:课本练习1,2
补充例题:高一某学生家长去年年底到银行存入2000元,银行月利率为2．38%,那么如果他第n个月后从银行全部取回,他应取回钱数为y,请写出n与y之间的关系,一年后他全部取回,他能取回多少
解：一个月后他应取回的钱数为y=2000(1+2．38%),二个月后他应取回的钱数为y=2000(1+2．38%)2;,三个月后他应取回的钱数为y=2000(1+2．38%)3,…, n个月后他应取回的钱数为y=2000(1+2．38%)n; 所以n与y之间的关系为y=2000(1+2．38%)n (n∈N+),一年后他全部取回,他能取回的钱数为y=2000(1+2．38%)12．
补充练习:某工厂年产值逐年按8%的速度递增,今年的年产值为200万元,那么第n年后该厂的年产值为多少
（三）、小结：1．正整数指数函数的图像是一些孤立的点,这是因为函数的定义域是正整数集．2．在研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数．
（四）、作业:课本习题3-1 1,2,3
五、教学反思：
§3.2指数概念的扩充 ( http: / / www. )
第二课时§3.2.1整数指数幂
一、教学目标：1、知识与技能：（1） 在复习初中正整数指数幂的运算的基础上引入了负整数指数的概念及运算．（2） 能够利用整数指数幂的运算性质进行运算化简． 2、 过程与方法（1）让学生了解整数指数幂的扩展,进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．（2）随着数的扩展,相应的运算性质也要判断能否延用和拓展． 3、情感．态度与价值观：使学生通过学习整数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义,增强学习数学的积极性和自信心．
二、教学重点: 整数指数幂的运算性质。教学难点：整数指数的运算与化简．
三、学法指导：学生思考、探究．教学方法：探究交流，讲练结合。
四、教学过程
（一）新课导入
[互动过程1]请同学们回顾复习整数指数幂的定义,并填写下面结果：
1（a≠0）
（a≠0,n∈N+）
[互动过程2]
你知道有哪些正整数指数幂的运算性质？请填出下列结果：
（1）． ； （2）． ；
（3）． ； （4）．当时,有
（5）．
(二)、例题探析与巩固训练
例1．（1）求值 （2）化简
解：（1）
（2）
练习1：化简（1） （2）
[互动过程3] 探究：负整数指数幂是否也满足上述运算性质？
例2．计算：和,并判断两者之间的关系
解：由此看出=
练习2．（1）计算： 和 （2）化简
看来正整数指数幂的运算性质可以推广到整数,即有（）
,这样就可以把（5）就可以统一到性质（1）（）了,（4）中的三种情况也可以统一为与（1）合并．
这样我们就可以把整数指数幂的运算性质归纳为：
（1）． （2）． （3）．
[互动过程4] 探究：1．整数指数幂满足不等性质：若,那么 0 ．
2．正整数指数幂还满足下面两个不等性质：（1）若,则 1；
（2）若,则的范围为 ．
3．在的情况下,（1）如果,那么成立吗？
（2）如果,那么成立吗？
练习3．（1）比较与1的大小．（2）比较与0的大小（其中）
例3．计算：（1）；（2）；（3）
解：（1）；（2）；（3）
例4．计算下列各式,并把结果化为只含正整数指数的形式均不为零）：
（1）；（2）；（3）
解：（1）；
（2）；
（3）
练习4：（1）化简（2）．求（3）．化简：
解：（1）
（2）
（3）
（三）、小结:本课在复习初中正整数指数幂的运算的基础上引入了负整数指数的概念及运算，要求：（1）理解和掌握负整数指数的概念及运算；（2）能够利用整数指数幂的运算性质进行运算化简．
（四）、作业：练习1,2
五、教学反思：
第三课时 §3.2.2分数指数幂
一、教学目标： 1、知识与技能（1） 在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数指数的概念及运算．（2） 能够利用分数指数幂的运算性质进行运算化简．2、 过程与方法（1）让学生了解分数指数幂的扩展,进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．（2）随着数的扩展,相应的运算性质也要判断能否延用和拓展．3、情感．态度与价值观：使学生通过学习分数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义,增强学习数学的积极性和自信心．
二、教学重点、: 分数指数幂的运算性质．教学难点：分数指数的运算与化简．
三、学法指导：学生思考、探究．教学方法：探究交流，讲练结合。
四、教学过程
（一）、新课导入
前面我们已经把正整数指数幂扩充到整数指数幂,还要进一步扩充到分数指数幂．有许多问题都不是整数指数．例如,若已知,你能表示出吗？怎样表示？我们引入分数指数幂表示为．
（二）新知探究
（Ⅰ）分数指数幂
1．的次幂:一般地,给定正实数,对于给定的正整数,存在唯一的正实数,使得,我们把叫做的次幂,记作．例如：,则；,则．
由于,我们也可以记作
2．正分数指数幂:一般地,给定正实数,对于任意给定的正整数,存在唯一的正实数,使得,我们把叫做的次幂,记作,它就是正分数指数幂．例如：,则；,则等．
说明: 有时我们把正分数指数幂写成根式的形式,即,例如：；
例1．把下列各式中的写成正分数指数幂的形式：
解：（1）；（2）；（3）
练习1：把下列各式中的写成正分数指数幂的形式：（1）；（2）
例2：计算：（1）；（2）
解：（1）因为,所以=3；（2）因为,所以=8
练习：计算（1）；（2）
请同学们回顾负整数指数幂的定义,能否类似地引入负分数指数幂呢
正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,我们规定
;
说明:（1）．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
（2）规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数推广到有理指数．当我们把正整数指数幂推广到有理指数幂或时,对底数应有所限制,即．
（3）对于每一个有理数我们都定义了一个有理指数与它对应,这样就可以把整数指数函数扩展到有理指数函数,一个定义在有理数集上的指数函数．
例3．把下列各式中的写为负分数指数幂的形式：
解：（1）；（2）；（3）
例4．计算：（1）；（2）
解：（1）因为,所以；（2）因为,所以．
练习: 1,2,
（Ⅱ）、有理指数幂的运算
请同学们探讨一下整数指数幂的运算性质对于有理指数幂是否适用
结论:整数指数幂的运算性质对于有理指数幂同样适用,即有以下运算性质：
（1）． （2）． （3）．其中为有理数．
例5．求值：（1）；（2）；（3）
解：（1）；（2）；
（3）
例6．计算下列各式（式子中字母都是正数）,并把结果化为只含正有理指数的形式：
（1）；（2）
解：（1）；
（2）
练习： 3,4
（三）、小结:1．正整数指数幂→负分数指数幂→整数指数幂→正分数指数幂→负分数指数幂→分数指数幂；2．正整数指数函数→整数指数函数→有理数指数函数；3．有理数指数的运算法则．
（四）、作业:习题3-2 A组3,4,5
五、教学反思：
第四课时§3.2.3实数指数幂
一、教学目标：
1、知识与技能：（1） 在前面学习有理指数幂的运算的基础上引入了实数指数的概念及运算．（2） 能够利用实数指数幂的运算性质进行运算、化简．
2、 过程与方法：（1）让学生了解指数幂的扩展,进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．（2）随着数的扩展,相应的运算性质也要延用和拓展,引入指数函数．
3、情感．态度与价值观：使学生通过学习无理指数幂的确定,了解数学中的无限逼近的思想,体会学习指数扩展的重要意义,增强学习数学的积极性和自信心．
二、教学重点: 无理指数幂的确定以及运算．
教学难点：无限逼近的思想．
三、学法指导：学生思考、探究．
教学方法：探究交流，讲练结合。
四 、教学过程
（一）、新课导入
复习:分数指数幂以及分数指数幂的运算．
练习:1．计算:; ;
2．
3．．计算:（1） （2）
4．已知,求下列各式的值（1） （2）
若是一个无理数,表示一个确定的实数,这样就可以将有理指数幂扩充到实数指数幂．
（二）新知探究
请同学们阅读课本,无理数=1．414 213 562 373 095 048 801 688 724 210…的不足近似值和过剩近似值,从两边逼近
得到的近似值,
应该是个确定的实数．
类似地,等都是确定的实数,对于任意的实数,都有
根据无理数的逼近过程,可以看出无理指数幂也是一个确定的实数,请你举出几个实数指数幂的例子．
说明:（1）0的正无理指数幂等于0,0的负无理数指数幂没有意义．
（2）实数指数幂同样适用以下运算性质：
; ; （其中为实数）．
（3）实数指数幂满足性质：若是实数,则>0．
（4）在这里我们只讨论底数大于0的实数指数幂．
（5）对于每一个实数,我们都定义了一个实数指数幂与它对应,这样可以把有理指数函数扩展到实数指数函数,称为指数函数．
（三）、例题探析
例1、化简（式子中的字母都是正实数）（1）;（2）
解: （1）;
（2）
例2、已知,求,,,
解:因为,所以;
;;．
练习:课本1,2,3
（四）小结: 1．正整数指数幂→负分数指数幂→整数指数幂→正分数指数幂→负分数指数幂→分数指数幂→实数指数幂；
2．正整数指数函数→整数指数函数→有理数指数函数→指数函数；
3．实数指数幂的运算法则．
（五）、作业:习题3-2 A组1,7,8 B组1-5
五、教学反思：
第五课时§3.3.1指数函数及其性质（一）
一. 教学目标：1．知识与技能：①通过实际问题了解指数函数的实际背景；②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想。2．情感、态度、价值观：①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理；②培养学生观察问题，分析问题的能力.3．过程与方法：展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质.
二．重、难点:重点：指数函数的概念和性质及应用.难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用.
三、学法与教法：①学法：观察法、讲授法及讨论法；②教法: 探究交流，讲练结合。
四、教学过程：
（一）、情境设置
①在本章的开头，问题（1）中时间与GDP值中的
，请问这两个函数有什么共同特征.
②这两个函数有什么共同特征:，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用（＞0且≠1来表示）.
（二）、新课探析
指数函数的定义：一般地，函数（＞0且≠1）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R.
提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
（7） （8） （＞1，且）
小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为＞0，是任意一个实数时，是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.
若＜0，如在实数范围内的函数值不存在.
若=1, 是一个常量，没有研究的意义，只有满足的形式才能称为指数函数，不符合.
我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 下面我们通过先来研究＞1的情况,用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数的图象
1 2 4
再研究，0＜＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数的图象.
1 2 4
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
从图中我们看出通过图象看出实质是上的
讨论：的图象关于轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？
②利用电脑软件画出的函数图象.
问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.
从图上看（＞1）与（0＜＜1）两函数图象的特征.
问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.
问题3：指数函数（＞0且≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.
图象特征 函数性质
＞1 0＜＜1 ＞1 0＜＜1
向轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R
图象关于原点和轴不对称 非奇非偶函数
函数图象都在轴上方 函数的值域为R+
函数图象都过定点（0，1） =1
自左向右，图象逐渐上升 自左向右，图象逐渐下降 增函数 减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 ＞0，＞1 ＞0，＜1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 ＜0，＜1 ＜0，＞1
5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在（＞0且≠1）值域是（2）若（3）对于指数函数（＞0且≠1），总有（4）当＞1时，若＜，则＜。
（三）、例题：例1：（P66 例6）已知指数函数（＞0且≠1）的图象过点（3，π），求分析：要求再把0，1，3分别代入，即可求得
提问：要求出指数函数，需要几个条件？课堂练习：P68 练习：第1，2，3题
补充练习：1、函数
2、当解（1）（2）（－，１）
例2：求下列函数的定义域：（1） （2）
分析：类为的定义域是R，所以，要使（1），（2）题的定义域，保要使其指数部分有意义就得 .
（四）、归纳小结：1、理解指数函数2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想 .
（五）、作业：P69 习题2.1 A组第5、6题
五、教后反思：
第六课时§3.3.2指数函数及其性质（二）
一. 教学目标：1．知识与技能：①通过实际问题了解指数函数的实际背景；②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想。2．情感、态度、价值观：①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理；②培养学生观察问题，分析问题的能力.3．过程与方法：展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质.
二．重难点:重点：指数函数的概念和性质及应用.难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用.
三、学法与教法：①学法：观察法、讲授法及讨论法；②教法: 探究交流，讲练结合。
四、教学过程：
（一）、复习指数函数的图象和性质
（二）、例题
例1：（P66例7）比较下列各题中的个值的大小
（1）1.72.5 与 1.73
( 2 )与
( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1
解法1：用数形结合的方法，如第（1）小题，用图形计算器或计算机画出的图象，在图象上找出横坐标分别为2.5, 3的点，显然，图象上横坐标就为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以 .
解法2：用计算器直接计算：
所以，
解法3：由函数的单调性考虑
因为指数函数在R上是增函数，且2.5＜3，所以，
仿照以上方法可以解决第（2）小题 .
注：在第（3）小题中，可以用解法1，解法2解决，但解法3不适合 .
由于1.70.3=0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小 .
思考：
1、已知按大小顺序排列.
2. 比较（＞0且≠0）.
指数函数不仅能比较与它有关的值的大小，在现实生活中，也有很多实际的应用.
例2（P67例8）截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？
分析：可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：
1999年底 人口约为13亿
经过1年 人口约为13（1+1%）亿
经过2年 人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2亿
经过3年 人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿
经过年 人口约为13(1+1%)亿
经过20年 人口约为13(1+1%)20亿
解：设今后人口年平均增长率为1%，经过年后，我国人口数为亿，则
当=20时，
答：经过20年后，我国人口数最多为16亿.
小结：类似上面此题，设原值为N，平均增长率为P，则对于经过时间后总量，＞0且≠1）的函数称为指数型函数 .
思考：P68探究：
（1）如果人口年均增长率提高1个平分点，利用计算器分别计算20年后，33年后的我国人口数 .
（2）如果年平均增长率保持在2%，利用计算器2020~2100年，每隔5年相应的人口数 .
（3）你看到我国人口数的增长呈现什么趋势？
（4）如何看待计划生育政策？
（三）、课堂练习
（1）右图是指数函数① ② ③ ④的图象，判断与1的大小关系；
（2）设其中＞0，≠1，确定为何值时，有：
① ②＞
（3）用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，写出存留污垢与漂洗次数的函数关系式，若要使存留的污垢，不超过原有的1%，则少要漂洗几次（此题为人教社B版101页第6题）.
（四）、归纳小结：本节课研究了指数函数性质的应用，关键是要记住＞1或0＜＜时的图象，在此基础上研究其性质 .本节课还涉及到指数型函数的应用，形如（a＞0且≠1）.
（五）、作业：P69 A组第 7 ，8 题　　　　P70 B组 第 1，4题
六、教后反思：
第七课时§3.4.1对数（一）
一．教学目标：
1．知识技能：
①理解对数的概念，了解对数与指数的关系；
②理解和掌握对数的性质；
③掌握对数式与指数式的关系 .
2. 过程与方法：
通过与指数式的比较，引出对数定义与性质 .
3．情感、态度、价值观
（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力.
（2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质 .
（3）在学习过程中培养学生探究的意识.
（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.
二．重点与难点：
（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质
（2）难点：推导对数性质的
三．学法与教法：
（1）学法：讲授法、讨论法、类比分析与发现
（2）教法：探究交流，讲练结合。
四．教学过程
（一）、提出问题
思考：（P72思考题）中，哪一年的人口数要达到10亿、20亿、30亿……，该如何解决？
即：在个式子中，分别等于多少？
象上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概念）.
（二）、新课探析
1、对数的概念
一般地，若，那么数叫做以a为底N的对数，记作
叫做对数的底数，N叫做真数.
举例：如：，读作2是以4为底，16的对数.
，则，读作是以4为底2的对数.
提问：你们还能找到那些对数的例子
2、对数式与指数式的互化
在对数的概念中，要注意：
（1）底数的限制＞0，且≠1
（2）
指数式对数式
幂底数←→对数底数
指 数←→对数
幂 ←N→真数
说明：对数式可看作一记号，表示底为（＞0，且≠1），幂为N的指数工表示方程（＞0，且≠1）的解. 也可以看作一种运算，即已知底为（＞0，且≠1）幂为N，求幂指数的运算. 因此，对数式又可看幂运算的逆运算.
例题：
例1（P73例1）
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
（1）54=645 （2） （3）
（4） （5） （6）
注：（5）、（6）写法不规范，等到讲到常用对数和自然对数后，再向学生说明.
（让学生自己完成，教师巡视指导）
巩固练习：P74 练习 1、2
3．对数的性质：
①提问：因为＞0，≠1时，
则 由１、0=1 ２、1= 如何转化为对数式
②负数和零有没有对数？
③根据对数的定义，=？
（以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答）
由以上的问题得到
① （＞0，且≠1）
② ∵＞0，且≠1对任意的力，常记为.
恒等式：=N
4、两类对数
① 以10为底的对数称为常用对数，常记为.
2 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，常记为.
以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即.
说明：在例1中，.
例2：求下列各式中x的值
（1） （2） （3） （4）
分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.
解：（1）
（2）
（3）
（4）
所以
（三）、课堂练习：P74 练习3、4
补充练习：1. 将下列指数式与对数式互化，有的求出的值 .
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
2．求且不等于1，N＞0）.
3．计算的值.
（四）、归纳小结：对数的定义
＞0且≠1） 　
　　　　　　　1的对数是零，负数和零没有对数
对数的性质　　 ＞0且≠1
　　　　　　
（五）、作业：P86 习题 2.2 A组 1、2 P88 B组 1
五、教后反思：
第八课时§3.4.2对数（第二课时）
一．教学目标：
1．知识与技能
①通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能.
②运用对数运算性质解决有关问题.
③培养学生分析、综合解决问题的能力.培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.
2. 过程与方法
①让学生经历并推理出对数的运算性质.
②让学生归纳整理本节所学的知识.
3. 情感、态度、和价值观：让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性.
二．教学重点、难点
重点：对数运算的性质与对数知识的应用
难点：正确使用对数的运算性质
三．学法和教法
学法：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.
教法：探究交流，讲练结合。
四．教学过程
（一）、设置情境
复习：对数的定义及对数恒等式
（＞0，且≠1，N＞0），
指数的运算性质.
（二）、讲授新课
探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道，那如何表示，能用对数式运算吗？
如：于是 由对数的定义得到
即：同底对数相加，底数不变，真数相乘
提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？
（让学生探究，讨论）
如果＞0且≠1，M＞0，N＞0，那么：
（1）；（2）
（3）
证明：（1）令，则：
又由即：
（3），
，即当=0时，显然成立.
提问：1. 在上面的式子中，为什么要规定＞0，且≠1，M＞0，N＞0？
1． 你能用自己的语言分别表述出以上三个等式吗？
例题：例1. 判断下列式子是否正确，＞0且≠1，＞0且≠1，＞0，＞，则有
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）
例2：用，，表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）小题的值.
（1） （2） （3） （4）
分析：利用对数运算性质直接计算：
（1）
（2）
=
（3）
（4）
点评：此题关键是要记住对数运算性质的形式，要求学生不要记住公式.
让学生完成P79练习的第1，2，3题
提出问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？
＞0，且≠1，＞0，且≠1，＞0，
先让学生自己探究讨论，教师巡视，最后投影出证明过程.
设且
即： 所以：
小结：以上这个式子换底公式，换的底C只要满足C＞0且C≠1就行了，除此之外，对C再也没有什么特定的要求.
提问：你能用自己的话概括出换底公式吗？
说明：我们使用的计算器中，“”通常是常用对数. 因此，要使用计算器对数，一定要先用换底公式转化为常用对数. 如：
即计算的值的按键顺序为：“”→“3”→“÷”→“”→“２” →“=”
再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算
所以
=
练习：P79 练习4 让学生自己阅读思考P77~P78的例5，例的题目，教师点拨.
（三）、归纳小结：（1）学习归纳本节；（2）你认为学习对数有什么意义？大家议论。
（四）、作业1、书面作业：Ｐ８６　习题２.２　　第3、4题 P87　　第11、12题
2、思考：（1）证明和应用对数运算性质时，应注意哪些问题？
（2）
五、教后反思：
第九课时3.5.1对数函数（一）
一．教学目标：1．知识技能：①对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律.②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题.2．过程与方法：让学生通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质.3．情感、态度与价值观：①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力；②培养学生严谨的科学态度.
二．学法与教法
1．学法：通过让学生观察、思考、交流、发现函数的性质；2．教法：探究交流，讲练结合。
三．教学重难点：1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.2、难点：底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.
四．教学过程
（一）、设置情境：在3．2．1的例6中，考古学家利用估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个C14含量P，通过关系式，都有唯一确定的年代与之对应．同理，对于每一个对数式中的，任取一个正的实数值，均有唯一的值与之对应，所以的函数．
（二）、探索新知
一般地，我们把函数（＞0且≠1）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
提问：（1）．在函数的定义中，为什么要限定＞0且≠1．
（2）．为什么对数函数（＞0且≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.
答：①根据对数与指数式的关系，知可化为，由指数的概念，要使有意义，必须规定＞0且≠1．②因为可化为，不管取什么值，由指数函数的性质，＞0，所以．
分析对数函数的定义探究对数函数的图象、性质.
函 数 y = loga x （a>1） y = loga x (0图 像
定义域 R+ R+
值 域 R R
单调性 增函数 减函数
过定点 （1，0） （1，0）
取值范围 01时，y>0 00；x>1时，y<0
探究：选取底数＞0，且≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象．观察图象，你能发现它们有哪些特征吗？
作法：用多媒体再画出，，和
提问：通过函数的图象，你能说出底数与函数图象的关系吗？函数的图象有何特征，性质又如何？
（三）、例题探析
例1 求下列函数的定义域：(其中a>0,a≠1)（1）y=logax2 (2)y=loga(4-x)
分析：由对数函数的定义知：＞0；＞0，解出不等式就可求出定义域．
解：（1）因为＞0，即≠0，所以函数的定义域为.
（2）因为＞0，即＜4，所以函数的定义域为＜.
练习1 求函数y=loga(9-x2)的定义域
例2 比较下列各组数中两个值的大小：（1） （2）（3） （＞0，且≠1）
分析：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成：（1）解法1：用图形计算器或多媒体画出对数函数的图象.在图象上，横坐标为3、4的点在横坐标为8.5的点的下方：所以，
解法2：由函数+上是单调增函数，且3.4＜8.5，所以.
（3）注：底数是常数，但要分类讨论的范围，再由函数单调性判断大小.
解法1：当＞1时，在（0，＋∞）上是增函数，且5.1＜5.9.所以，
当1时，在（0，＋∞）上是减函数，且5.1＜5.9.所以，
解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调判断大小不一，
令 令 则
当＞1时，在R上是增函数，且5.1＜5.9所以，＜，即＜
当0＜＜1时，在R上是减函数，且5.1＞5.9所以，＜，即＞
练习2: 比较下列各题中两个值的大小:⑴ log106 log108 　　 ⑵ log0.56 log0.54 ⑶ log0.10.5 log0.10.6 ⑷ log1.50.6 log1.50.4
练习3：已知下列不等式，比较正数m，n 的大小：
(1) log 3 m < log 3 n (2) log 0.3 m > log 0.3 n (3) log a m < loga n (0(4) log a m > log a n (a>1)
（四）、小结：本节课学习了对数函数的定义、图象和性质①对数函数的概念必要性与重要性;②对数函数的性质，列表展现.
（五）、课后作业：习题3—2A,4，5，6，8，10
五、教后反思：
第十课时3.5.2对数函数（二）
一．教学目标：
1．知识技能：①对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律.②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题.
2．过程与方法：让学生通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质.3．情感、态度与价值观：①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力；②培养学生严谨的科学态度.
二．学法与教法
1．学法：通过让学生观察、思考、交流、发现函数的性质；
2．教法：探究交流，讲练结合。
三．教学重难点：1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.
2、难点：底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.
四．教学过程
（一）、复习对数函数的概念、图象与性质
图象的特征 函数的性质
（1）图象都在轴的右边 （1）定义域是（0，+∞）
（2）函数图象都经过（1，0）点 （2）1的对数是0
（3）从左往右看，当＞1时，图象逐渐上升，当0＜＜1时，图象逐渐下降 . （3）当＞1时，是增函数，当0＜＜1时，是减函数.
（4）当＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0. 当0＜＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 . （4）当＞1时 ＞1，则＞0 0＜＜1，＜0当0＜＜1时 ＞1，则＜0 0＜＜1，＜0
＞1 0＜＜1
图象
性质 （1）定义域（0，+∞）；（2）值域R；（3）过点（1，0），即当=1，=0；
（4）在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）是上减函数
（二）例题探析
（Ⅰ）求函数的定义域
1、已知函数的定义域是F,函数的定义域是N,
确定集合F、N的关系？
2、求下列函数的定义域：（1）
（2）
（Ⅱ）求函数的值域
1、求下列函数的值域
1.；
2、；
3、
4、求函数（1） （2）的值域
（Ⅲ）函数图象的应用
1．在同一坐标系中，三个函数 的图象如图所示，那么a,b,c的大小关系是
2.已知，m,n为不等于1的正数，则下列关系中正确的是（ ）
（A）12．画出下列函数的图象：（1） （2）
（Ⅳ）函数的单调性
1、 求函数的单调递增区间。
2、 求函数的单调递减区间
（Ⅴ）函数的奇偶性
1、函数的奇偶性为[ ]
A．奇函数而非偶函数 B．偶函数而非奇函数
C．非奇非偶函数 D．既奇且偶函数
（Ⅵ）综合
1．若定义在区间（－1，0）内的函数满足，
则a的取值范围 （ ）
（三）、小结：本节课进一步复习了对数函数的定义、图象和性质
（四）、课后作业：Ｐ８５练习　第２，３题
补充作业：1．已知函数的定义域为[-1，1]，则函数的定义域为 。
2．求函数的值域.3．已知＜＜0，按大小顺序排列m, n, 0, 1
4．已知0＜＜1, b＞1, ab＞1. 比较
五、教后反思：
第十一课时3.5.3对数函数（三）
一．教学目标：
1．知识与技能：了解反函数的概念，加深对函数思想的理解.
2．过程与方法：学生通过观察和类比函数图象，体会两种函数的单调性差异.
3. 情感、态度、价值观：（1）体会指数函数与指数；（2）进一步领悟数形结合的思想.
二．重点、难点：
重点：指数函数与对数函数内在联系
难点：反函数概念的理解
三．学法与教法：
学法：通过图象，理解对数函数与指数函数的关系.
教法：探究交流，讲练结合。
四．教学过程：
（一）、复习
1、函数的概念
2、用列表描点法在同一个直角坐标点中画出的函数图象.`
（二）、新知探究
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
… 1 2 4 8 …
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
… 1 2 4 8 …
图象如下：
探究：在指数函数中，为自变量，为因变量，如果把当成自变量，当成因变量，那么是的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由.
引导学生通过观察、类比、思考与交流，得出结论.
在指数函数中，是自变量， 是的函数（），而且其在R上是单调递增函数. 过轴正半轴上任意一点作轴的平行线，与的图象有且只有一个交点.由指数式与对数式关系，，即对于每一个，在关系式的作用之下，都有唯一的确定的值和它对应，所以，可以把作为自变量，作为的函数，我们说.
从我们的列表中知道，是同一个函数图象.
（三）、引出反函数的概念（只让学生理解，加宽学生视野）
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数为反函数.
由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数.
如的反函数，但习惯上，通常以表示自变量，表示函数，对调中的，这样是指数函数的反函数.
以后，我们所说的反函数是对调后的函数，如的反函数是.
同理，＞1）的反函数是＞0且.
（四）、课堂练习：求下列函数的反函数
（1） （2）
（五）、归纳小结：1. 今天我们主要学习了什么？ 2．你怎样理解反函数？
（六）、课后思考：（供学有余力的学生练习）
我们知道＞0与对数函数＞0且互为反函数，探索下列问题.
1．在同一平面直角坐标系中，画出的图象，你能发现这两个函数有什么样的对称性吗？
2．取图象上的几个点，写出它们关于直线的对称点坐标，并判断它们
是否在的图象上吗？为什么？
3．由上述探究你能得出什么结论，此结论对于＞0成立吗？
五、教后反思：
第十二课时§3.3几类不同增长的函数模型
一、教学目标：
1、知识与技能： 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．
2、过程与方法： 能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用．
3、情感、态度、价值观： 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．
二、教学重点：
重点 将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
难点 怎样选择数学模型分析解决实际问题．
三、教学程序与环节设计
1、创设情境——实际问题引入，激发学生兴趣．
2、组织探究——选择变量、建立模型，利用数据表格、函数图象讨论模型，体会不同函数模型增长的含义及其差异．
3、探索研究——总结例题的探究方法，并进一步探索研究幂函数、指数函数、对数函数的增长差异，形成结论性报告．
4、巩固反思——师生交流共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤．
5、作业回馈——强化基本方法，规范基本格式．
6、课外活动——收集一些社会生活中普遍使用的函数模型，了解函数模型的广泛应用．
四、教学过程与操作设计
（一）、创设情境
材料：澳大利亚兔子数“爆炸”
在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
师：指出：一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的。
（二）、组织探究
例1．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
探究：
1）在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？
2）分析解答（略）
3）根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？
4）你能借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点吗？
5）根据以上分析，你认为就作出如何选择？
师：创设问题情境，以问题引入能激起学生的热情，使课堂里的有效思维增强．
生：阅读题目，理解题意，思考探究问题．
师：引导学生分析本例中的数量关系，并思考应当选择怎样的函数模型来描述．
生：观察表格，获取信息，体会三种函数的增长差异，特别是指数爆炸，说出自己的发现，并进行交流．
师：引导学生观察表格中三种方案的数量变化情况，对于“增加量”进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等．
师：引导学生利用函数图象分析三种方案的不同变化趋势．
生：对三种方案的不同变化趋势作出描述，并为方案选择提供依据．
师：引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益．
生：通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本全的完整解答，然后全班进行交流．
例2．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：
．
问：其中哪个模型能符合公司的要求？
探究：
1）本例涉及了哪几类函数模型？本例的实质是什么？
2）你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？
3）通过对三个函数模型增长差异的比较，写出例2的解答．
师：引导学生分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况．
生：进一步体会三种基本函数模型在实际中的广泛应用，体会它们的增长差异．
师：引导学生分析问题使学生得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择．
生：分析数据特点与作用判定每一个奖励模型是否符合要求．
师：引导学生利用解析式，结合图象，对三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解答过程．
生：进一步认识三个函数模型的增长差异，对问题作出具体解答．
（三）、探究与发现
幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析：
你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幂函数、指数函数、对数函数在区间上的增长差异，并进行交流、讨论、概括总结，形成较为准确、详尽的结论性报告．
师：引导学生仿照前面例题的探究方法，选用具体函数进行比较分析．
生：仿照例题的探究方法，选用具体函数进行研究、论证，并进行交流总结，形成结论性报告．
师：对学生的结论进行评析，借助信息技术手段进行验证演示．
（四）、巩固与反思
1、尝试练习：
1） 教材P116练习1、2；
2） 教材P119练习．
2、小结与反思：
通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学的价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美．
生：通过尝试练习进一步体会三种不同增长的函数模型的增长差异及其实际应用．
师：培养学生对数学学科的深刻认识，体会数学的应用美．
（五）、作业与回馈
教材P127习题32（A组）第1~5题；（B组）第1题
（六）、课外活动
收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用；
有时同一个实际问题可以建立多个函数模型．具体应用函数模型时，你认为应该怎样选用合理的函数模型？
五、教后反思：
第十三课时 小结与复习
一.教学目标：1.知识与技能：（1）理解指数与对数,指数函数与对数函数的联系；（2）能更加熟练地解决与指数函数,对数函数有关的问题。
2.过程与方法：通过提问,分析点评,让学生更能熟悉指数函数,对数函数的性质.
3.情感、态度、价值观：（1）提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构；（2）培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力.
二.重点、难点
重点：指数函数与对数函数的性质。难点：灵活运用函数性质解决有关问题。
三、学法与教法1、学法：讲授法、讨论法。2、教法：探析归纳，讲练结合。
四、教学过程
（一）、回顾本章的知识结构
（二）、知识整合与例题探析
1、指数与对数：指数式与对数式的互化
幂值 真数
＝ N＝ b
底数
指数←→对数值
提问：在对数式中，a，N，b的取值范围是什么？
例1：已知＝，54b＝3，用的值
解法1：由＝3得＝b
∴＝＝
解法2：由
设
所以
即：
所以
因此得：
法1是通过指数化成对数，再由对数的运算性质和换底公式计算结果.
法2是通过对数化成指数，再由指数的运算性质计算出结果，但法2运算的技巧性较大。
2．指数函数与对数函数
问题1：函数分别必须满足什么条件.
问题2：在同一直角坐标系中画出函数的图象，并说明两者之间的关系.
问题3：根据图象说出指数函数与对数函数的性质.
例2：已知函数的图象沿轴方向向左平移1个单位后与的图象关于直线对称，且，则函数的值域为 .
分析：函数关于直线对称的函数为
∴
∴
∵
小结：底数相同的指数函数与对数函数关于对称，它们之间还有一个关系式子：
例3：已知
（1）求的定义域；（2）求使的的取值范围
分析：（1）要求的定义域，
则应有
（2）注意考虑不等号右边的0化为，则（2）小题变为两种情况分别求出.
建议：通过提问由学生作答
(三)、课堂小结：
1．指数与对数实质上只是同一数量关系的两种不同的形式，它们之间可以互化，这种等价互化也是指数运算和对数运算的常用方法.
2．底数相同的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图象关于对称，它们在各自的定义域内增减性是一致的，通过函数图象，利用数形结合，记作指数函数与对数函数的性质.
(四)、作业：P90 A组 3 7 P91 B组 3 4
五、教后反思：
个
当
时
当
时
当
时
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
x
y
0
y=2x
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
x
y
0
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
x
y
0
0
0
0
0
EMBED Equation.DSMT4
y
0
x
整数指数幂
定义
对数
指数
有理数指数幂
运算性质
无理数指数幂
定义
定义
指数函数
对数函数
图象与性质
图象与性质
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