北师大高中数学必修1第二章《函数》全部教案
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| 名称 | 北师大高中数学必修1第二章《函数》全部教案 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 635.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-02-11 23:15:20 | ||
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文档简介
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北师大高中数学必修（Ⅰ）第二章《函数》全部教案
法门高中 姚连省
第一课时 生活中的变量关系
一、教学目标:
1．通过高速公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系．
2．培养广泛联想的能力和热爱数学的态度．
二、教学重点：在于让学生领悟生活中处处有变量，变量之间充满了关系
教学难点：培养广泛联想的能力和热爱数学的态度
三、教学方法：探究交流法
四、教学过程
（一）、知识探索：
阅读课文P25页。实例分析：书上在高速公路情境下的问题。
在高速公路情景下，你能发现哪些函数关系？
2．对问题3，储油量v对油面高度h、油面宽度w都存在依赖关系，两种依赖关系都有函数关系吗？
问题小结：
1．生活中变量及变量之间的依赖关系随处可见，并非有依赖关系的两个变量都有函数关系 ，只有满足对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，才称它们之间有函数关系。
2．构成函数关系的两个变量，必须是对于自变量的每一个值，因变量都有唯一确定的y值与之对应。
3．确定变量的依赖关系，需分清谁是自变量，谁是因变量，如果一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么这个变量是因变量 ，另一个变量是 自变量 。
（二）、新课探究——函数概念
1．初中关于函数的定义：
2．从集合的观点出发，函数定义：
给定两个 非空数集 A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中的任何一个数x，在集合B中都存在 唯一确定的 数f（x）与之对应，那么就把这种对应关系f叫做定义在A上的函数， 记作 或 f：A→B，或y=f(x),x∈A. ；
此时x叫做 自变量 ，集合A叫做函数的 定义域 ，集合 {f(x)︱x∈A}叫作函数的值域。习惯上我们称y是x的函数。
3．函数的三要素：
定义域 ， 值域 ， 对应法则 ；
4．函数值
当x=a时，我们用f（a）表示函数y=f（x）的函数值。
（三）、知识体验（课堂练习及课外作业）
1.某电器商店以2000元一台的价格进了一批电视机，然后以2100元的价格售出，随着售出台数的变化，商店获得的收入是 ,它们之间是______关系.
【函数 y=100x,x∈D 】
2.现实生活中,与时间存在函数关系的量_______________________ .(三个以上)
【路程与时间；炮弹的射高与时间的变化关系问题；用电量与时间的关系。】
3.坐电梯时,电梯距地面的高度与时间之间存在______________关系. 【 函数】
4.在一定量的水中加入蔗糖,糖水的质量浓度与所加蔗糖的质量之间存在怎样的依赖关系 如果是函数关系,指出自变量和因变量.
【是函数关系；自变量是所加蔗糖的质量；因变量是糖水的质量浓度。】
5.日期与星期之间存在怎样的依赖关系 这种依赖关系是函数关系吗 如果是,指出自变量和因变量.
【是函数关系；自变量是日期；因变量是星期。】
6.下列过程中变量之间是否存在依赖关系,其中哪些是函数关系:
(1)地球绕太阳公转的过程中,二者的距离与时间的关系;
(2)在空中作斜抛运动的铅球,铅球距地面的高度与时间的关系;
(3)某水文观测点记录的水位与时间的关系;
(4)某十字路口,通过汽车的数量与时间的关系;
(5)等边三角形的边长与面积之间的关系.
7.下列各式是否表示y是x的函数关系 如果是,写出这个函数的解析式。
(1)5x+2y=1 (xR);
(2)xy=-3 (x0);
(3) (x（-1,0 ）)
（4） （xR）
五、课后反思：
第二课时 函数的概念（一）
一、教学目标
1、知识与技能：
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间
的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．
2、过程与方法：
（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的要素；
（3）会求一些简单函数的定义域和值域；
（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；
3、情态与价值，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性。
二、教学重点与难点：
重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；
难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；
三、学法与教学方法
1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标 .
2、教学方法：探析交流法
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：
（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；
（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；
（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题
3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。
4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；
5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．
（二）研探新知
1、函数的有关概念
（1）函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．
记作： y=f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．
注意：
① “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．
（2）构成函数的三要素是什么？
定义域、对应关系和值域
（3）区间的概念
①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
②无穷区间；
③区间的数轴表示．
（4）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？
通过三个已知的函数：y=ax+b (a≠0)
y=ax2+bx+c (a≠0)
y= (k≠0)
比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会。
师：归纳总结
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维。
1、如何求函数的定义域
例1：已知函数f (x) = +
（1）求函数的定义域；
（2）求f（－3），f ()的值；
（3）当a＞0时，求f（a）,f(a－1)的值.
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
解：（1）得函数的定义域为。
（1） f（－3）=-1，f ()=
（2） 当a＞0时， ，f（a）=。，f(a－1)=
。
例2、设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域.
分析：由题意知，另一边长为，且边长为正数，所以0＜x＜40.
所以s= = （40－x）x （0＜x＜40）
引导学生小结几类函数的定义域：
（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .
（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .
（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）
（5）满足实际问题有意义.
巩固练习：课本P22第1
2、如何判断两个函数是否为同一函数
例3、下列函数中哪个与函数y=x相等？
（1）y = ()2 ; （2）y = () ; （3）y = ; （4）y=
分析：
构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
解：（略）课本P21例2
（四）巩固深化，反馈矫正：
（1）课本P22第2题
（2）判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？
① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 否
② f ( x ) = x； g ( x ) = 否
③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 是
④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 是
（3）求下列函数的定义域
① ② ③ f(x) = +
④ f(x) = ⑤
【①；②；③；④
⑤。】
（五）归纳小结
①从具体实例引入了函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；②初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法，同时引出了区间的概念。
（六）设置问题，留下悬念
1、课本P28 习题1．2（A组） 第1—7题 （B组）第1题
2、举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、值域和对应关系。
五、课后反思：
第三课时 函数的概念（二）
一、课 型：新授课
二、教学目标：
（1）会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；
（2）掌握复合函数定义域的求法；
（3）掌握判别两个函数是否相同的方法。
三、教学重点：会求一些简单函数的定义域与值域。教学难点：复合函数定义域的求法。
四、教学方法:探究交流法
五、教学过程
（一）、复习准备
1. 提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y＝与y＝3x是不是同一个函数？为什么？
2. 用区间表示函数y＝ax＋b（a≠0）、y＝ax＋bx＋c（a≠0）、y＝(k≠0)的定义域与值域。
（二）、新课探究
（Ⅰ）函数定义域的求法
函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。
例1：求下列函数的定义域（用区间表示）
⑴ f(x)=； ⑵ f(x)=； ⑶ f(x)=－；
学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式）
解：⑴由得，∴函数的定义域为。
⑵由得，∴函数的定义域为。
⑶由得，∴函数的定义域为。
反思小结：求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）
*复合函数的定义域求法：
（1）已知f(x)的定义域为（a,b），求f(g(x))的定义域；
求法：由a（2）已知f(g(x))的定义域为（a,b），求f(x)的定义域；
求法：由a例2．已知f(x)的定义域为[0,1]，求f(x＋1)的定义域。
分析：由f(x)的定义域为[0,1]可得x＋1满足，f(x＋1)的定义域为。
反思小结：已知f(x)的定义域为（a,b），求f(g(x))的定义域
求法：由a例3．已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。
分析：由f(x-1)的定义域为[-1,0]得，∴f(x+1) 的定义域为。
反思小结：已知f(g(x))的定义域为（a,b），求f(x)的定义域
求法：由a巩固练习：
1．求下列函数定义域
（1）； （2）
2．（1）已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求的定义域；
（2）已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域。
（Ⅱ）函数相同的判别方法
函数是否相同，看定义域和对应法则。
例5．（课本P18例2）下列函数中哪个与函数y=x相等？
（1）； （2）；
（3）； （4） 。
答案【（2）】
（三）课堂练习
1．课本 P19练习1，3；
2．求函数y＝－x＋4x－1 ，x∈[-1,3) 的值域。
（四）归纳小结
本堂课讲授了函数定义域的求法以及判断函数相等的方法。
（五）作业布置：习题1.2A组，第1，2；
六、课后反思:
第四课时 映射
一．教学目标：1．知识与技能：（1）了解映射的概念及表示方法；（2）结合简单的对应图表，理解一一映射的概念．
2．过程与方法：（1）函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合；（2）通过实例进一步理解映射的概念；（3）会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，一一映射．
3．情态与价值：映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基础．
二．教学重点：映射的概念 教学难点：映射的概念
三．学法与教学方法
1．学法：通过丰富的实例，学生进行交流讨论和概括；从而完成本节课的教学目标；2．教学方法：探究交流法。
四．教学过程
（一）创设情景，揭示课题
复习初中常见的对应关系：1．对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点和它对应；2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对（）和它对应；3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；5．函数的概念．
（二）研探新知
1．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射（板书课题）．
2．先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系：
（1）开平方；（2）求正弦；（3）求平方；（4）乘以2．
归纳引出映射概念：
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则，使对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：A→B为从集合A到集合B的一个映射．记作“：A→B”
说明：
（1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中表示具体的对应法则，可以用多种形式表述．
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1．下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？
（1）A={是数轴上的点}，B=R，对应关系：数轴上的点与它所代表的实数对应；
（2）A={是平面直角坐标中的点}，对应关系：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
（3）A={三角形}，B=：每一个三角形都对应它的内切圆；
（4）A={是新华中学的班级}，对应关系：每一个班级都对应班里的学生．
思考：将（3）中的对应关系改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应：B→A是从集合B到集合A的映射吗？
例2．在下图中，图（1），（2），（3），（4）用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，是不是映射？是不是函数关系？
A 开平方 B A 求正弦 B
（1） （2）
A 求平方 B A 乘以2 B
（3） （4）
（四）巩固深化，反馈矫正
1、画图表示集合A到集合B的对应（集合A，B各取4个元素）
已知：（1），对应法则是“乘以2”；
（2）A=＞，B=R，对应法则是“求算术平方根”；
（3），对应法则是“求倒数”；
（4）＜对应法则是“求余弦”．
2．在下图中的映射中，A中元素600的象是什么？B中元素的原象是什么？
A 求正弦 B
（五）归纳小结
提出问题：怎样判断建立在两个集合上的一个对应关系是否是一个映射，你能归纳出几个“标准”呢？
师生一起归纳：判定是否是映射主要看两条：一条是A集合中的元素都要有象，但B中元素未必要有原象；二条是A中元素与B中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式．
（六）设置问题，留下悬念．
1．由学生举出生活中两个有关映射的实例．
2．已知是集合A上的任一个映射，试问在值域(A)中的任一个元素的原象，是否都是唯一的？为什么？
3．已知集合从集合A到集合B的映射，试问能构造出多少映射？
A B
解：二对一，有3个映射；
一对一时，有3×2=6个映射
所以，共有9个映射
4. 设集合A={a,b,c}，B={0,1} ，试问：从A到B的映射一共有几个？并将它们分别表示出来。
A B
【共有2×2×2=8个映射】
五、课后反思：
第五课时 函数的表示法（一）
一．教学目标：1．知识与技能
（1）明确函数的三种表示方法；
（2）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；
（3）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用．
2．过程与方法：
学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程．
3．情态与价值
让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法。
二．教学重点和难点
教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．
教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．
三．学法及教学方法
1．学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．
2．教学方法：探究交流法
四．教学过程
（一）创设情景，揭示课题．
我们在前两节课中，已经学习了函数的定义，会求函数的值域，那么函数有哪些表示的方法呢？这一节课我们研究这一问题．
（二）研探新知
1．函数有哪些表示方法呢？
（表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种）
2．明确三种方法各自的特点？
（解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域．列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值、图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况）
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．
例1．某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要元，试用三种表示法表示函数．
分析：注意本例的设问，此处“”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．
解：（略）
注意：
①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；
②解析法：必须注明函数的定义域；
③图象法：是否连线；
④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
王 伟 98 87 91 92 88 95
张 城 90 76 88 75 86 80
赵 磊 68 65 73 72 75 82
班平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6
请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？
解：（略）
注意：
①本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点：
②本例能否用解析法？为什么？
例3．画出函数的图象
解：（略）
例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算），已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义，根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．
解：（略）
注意：①本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；②象例3、例4中的函数，称为分段函数．③分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
（四）巩固深化，反馈矫正．
（1）课本P27 练习第1，2，3题
（2）国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过20，付邮资80分，超过20而不超过40付邮资160分，每封（0＜≤100＝的信函应付邮资为（单位：分）
（五）归纳小结
理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法。
（六）设置问题，留下悬念．
（1）课本P28习题（A组）1，2；
（2）如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的边长为，面积为，把表示成的函数．
解析：设矩形的另一边长为a,则有
∴有即
∴
五、课后反思：
第六课时 函数的表示法（二）
一、课 型：新授课
二、教学目标：
掌握求函数解析式的方法：换元法，配凑法，待定系数法，消去法，分段函数的解析式。
三、教学重点：求函数的解析式。教学难点：对函数解析式方法的掌握。
四、教学方法：探究交流法
五、教学过程
（一）、复习准备
1．函数有哪些表示方法呢？ 2．三种方法各自的特点？
3. 函数定义域、值域的求法 4.如何求函数的值及求函数的解析式？
（二）、新课探究
（Ⅰ） 求函数的值
例1．已知函数，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。
解析：f(0)=3；f(1)=2；f(2)=3；f(－1)=6
例2．已知f(x)＝，求f(0)、f[f(-1)]的值
解析：f(0)=2×0+1=1；f(-1)=2×(-1)+3=1，∴f[f(-1)]= f(1)=2×1+1=3
反思小结：求函数的值的方法有代入法。
（Ⅱ）求函数的解析式
常见的求函数解析式的方法有待定系数法，换元法，配凑法，消去法。
例3．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求函数f(x)的解析式。
解析：（待定系数法）设，则，，∴
=
∴解得，∴
例4．已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。
解析：（配凑法或换元法）
方一：配凑法
，∴
方二：换元法
令，则，∴
即
例5．已知函数f(x)满足，求函数f(x)的解析式。
解析：（消去法）用去替换得，解方程组
得
例6．已知，求函数f(x)的解析式。
解析：当即时，；当即时，
故。
（三）课堂练习
1．课本P23练习4；
2．已知 ，求函数f(x)的解析式。
3．已知，求函数f(x)的解析式。
4．已知，求函数f(x)的解析式。
5．已知函数，
（1）求的值；（2）当a>0时，求的值。
（四）归纳小结
本节课系统地归纳了求函数解析式的方法。常见的求函数解析式的方法有待定系数法，换元法，配凑法，消去法。
（五）作业布置：1、课本P24习题1.2B组题3，4； 2、阅读P26 材料。
六、课后反思:
第七课时 函数的表示法（三）
一、课 型：新授课
二、教学目标：
（1）进一步了解分段函数的求法；
（2）掌握函数图象的画法。
三、教学重点：函数图象的画法。教学难点：掌握函数图象的画法。。
四、教学方法：探究交流法
五、教学过程
（一）、复习准备
1．举例初中已经学习过的一些函数的图象，如一次函数，二次函数，反比例函数的图象，并在黑板上演示它们的画法。
2. 讨论：函数图象有什么特点？
（二）、新课探析
例1．画出下列各函数的图象：
（1）
（2）；
Y
Y
解析：
O 1 3 X -2 O 2 X
-2
-3
题（1）图
题（2）图
例2．（课本P21例5）画出函数的图象。
解析：， Y
O X
例3．设，求函数的解析式，并画出它的图象。
解析：
作图如右下图所示
Y
2
-3 -2 O X
-1
变式1：求函数的最大值。
解析：
作图可得的最大值为2
变式2：解不等式。
解析：令， 作图可得不等式的解集为
例4．当m为何值时，方程有4个互不相等的实数根。
解析：令，则，再令
作出两个函数的图象可得 Y
5
1
-2 O 2 X
方程有4个互不相等的实数根时
。
变式：不等式对恒成立，求m的取值范围。
解析：令，不等式对恒成立，
只要的最小值。作出的图象可得的最小值为1，
∴。
（三）课堂练习
1．课本P23练习3；
2．画出函数的图象。
（四）归纳小结
函数图象的画法。1、描点法；
2、化简解析式，借用熟悉的函数图象作图；
函数图象的应用：1、研究方程的解的个数可用图象法；
2、恒成立的不等式，可用最值法；求函数的最值可用图像法。
（五）作业布置：课本P24习题1.2A组题7，B组题2；
六、课后反思:
第八课时 函数及其表示复习课
一、课 型：复习课
二、教学目标：（1）会求一些简单函数的定义域和值域；（2）掌握分段函数、区间、函数的三种表示法；（3）会解决一些函数记号的问题。
三、教学重点：求定义域与值域，解决函数简单应用问题。教学难点：对函数记号的理解。
四、教学方法：探究归纳、讲练结合
五、教学过程
（一）、基础习题练习（口答下列基础题的主要解答过程 → 指出题型解答方法）
1．说出下列函数的定义域与值域： ； ； ；
2．已知，求， ， ；
3．已知，
（1）作出的图象；（2）求的值
（二）、典型例题探析
例1．已知函数=4x+3，g(x)=x, 求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]．
解析：
例2．求下列函数的定义域。
（1）； （2）；
解析：（1）由得，∴函数的定义域为
（2）由得
∴函数的定义域为。
例3．若函数的定义域为Ｒ，求实数a的取值范围． （）
解析：的定义域为Ｒ，则不等式的解集为R，若a=1时成立。若a≠1时，则有
，解得。综上可得。
例4． 中山移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元. 若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为（元）．
（1）．写出与x之间的函数关系式？
（2）．一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？
（3）．若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？
解析：（1），
（2），，∴
（3）令=200解得
令=200解得
∴应选择“神州行”。
（三）、巩固练习
1．已知=xx+3 ，求：f(x+1)， f()的值。 【代入法】
2．若,求函数的解析式。 【换元法】
3．设二次函数满足且=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求的解析式。 【待定系数法】
4．已知函数的定义域为Ｒ，求实数a的取值范围．【】
（四）、归纳小结：本节课是函数及其表示的复习课，系统地归纳了函数的有关概念，表示方法．
（五）、作业布置：1、课本P２４习题1.２ B组题１，３；2、预习函数的基本性质。
六、课后反思:
第九课时 函数的单调性
一、教学目标
1、知识与技能：
（1）建立增（减）函数的概念
通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函
数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。
（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。
2、过程与方法
（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性。
3、情态与价值，使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感。
二、教学重点与难点
重点：函数的单调性及其几何意义．
难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
三、学法与教学方法
1、从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。
2、教学方法：探究交流法
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
随x的增大，y的值有什么变化？
能否看出函数的最大、最小值？
函数图象是否具有某种对称性？
2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律：
（1）f(x) = x
从左至右图象上升还是下降 ______
在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ．
（2）f(x) = -x+2
从左至右图象上升还是下降 ______
在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ．
（3）f(x) = x2
在区间 ____________ 上，
f(x)的值随着x的增大而 ________ ．
在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 ________ ．
3、从上面的观察分析，能得出什么结论？
学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。
（二）研探新知
1、y = x2的图象在y轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？
学生通过观察、思考、讨论，归纳得出：
函数y = x2在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有x12＜x22 . 即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。
2．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x13、从函数图象上可以看到，y= x2的图象在y轴左侧是下降的，类比增函数的定义，你能概括出减函数的定义吗？
注意：
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x14．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
（三）质疑答辩，发展思维
1、根据函数图象说明函数的单调性．
例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解：略
2、证明函数的单调性．
例2 物理学中的玻意耳定律P=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。
分析：按题意，只要证明函数P=在区间（0，+∞）上是减函数即可。
证明：略
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
① 任取x1，x2∈D，且x1④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
巩固练习：
①课本P38练习第1、2、3题；
②证明函数在（1，+∞）上为增函数．
例3．借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．
解：（略）
思考：画出反比例函数的图象．
①这个函数的定义域是什么？
②它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．
（四）归纳小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
（五）设置问题，留下悬念
1、教师提出下列问题让学生思考：
①通过增（减）函数概念的形成过程，你学习到了什么？
②增（减）函数的图象有什么特点？如何根据图象指出单调区间？
③怎样用定义证明函数的单调性？
师生共同就上述问题进行讨论、交流，发表自己的意见。
2、书面作业：课本P45习题1、3题（A组）第1-5题。
五、课后反思:
第十课时 函数的奇偶性
一．教学目标：1．知识与技能：理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性；
2．过程与方法：通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．
3．情态与价值：通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力。
二．教学重点和难点： 教学重点：函数的奇偶性及其几何意义。
教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式
三．学法与教学方法
学法：学生通过自己动手计算，独立地去经历发现，猜想与证明的全过程，从而建立奇偶函数的概念．
教学方法：探究交流法
四．教学思路
（一）创设情景，揭示课题
“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？
观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．
－1 0
-1
通过讨论归纳：函数是定义域为全体实数的抛物线；函数是定义域为全体实数的折线；函数是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于轴对称．观察一对关于轴对称的点的坐标有什么关系？
归纳：若点在函数图象上，则相应的点也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．
（二）研探新知
函数的奇偶性定义：
1．偶函数
一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．
2．奇函数
一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．
注意：
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个，则也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
3．具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．
例1．判断下列函数是否是偶函数．
（1） （2）
解：函数不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称．
函数也不是偶函数，因为它的定义域为，并不关于原点对称．
例2．判断下列函数的奇偶性
（1） （2） （3） （4）
解：（略）
小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定；
③作出相应结论：若；
若．
例3．判断下列函数的奇偶性：
①
②
分析：先验证函数定义域的对称性，再考察．
解：（1）＞0且＞=＜＜，它具有对称性．因为，所以是偶函数，不是奇函数．
（2）当＞0时，－＜0，于是
当＜0时，－＞0，于是
综上可知，在R－∪R+上，是奇函数．
例4．利用函数的奇偶性补全函数的图象．
教材P41思考题：
规律：偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．
例5．已知是奇函数，在（0，+∞）上是增函数．
证明：在（－∞，0）上也是增函数．
证明：（略）
小结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．
（四）巩固深化，反馈矫正．
（1）课本P42 练习1．2 P46 B组题的1．2．3
（2）判断下列函数的奇偶性，并说明理由．
① ②
③ ④
（五）归纳小结，整体认识．
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．
（六）设置问题，留下悬念．
1．书面作业：课本P46习题A组1．3．9．10题
2．设＞0时，
试问：当＜0时，的表达式是什么？
解：当＜0时，－＞0，所以，又因为是奇函数，所以
．
五、课后反思:
§4 二次函数性质的再认识
第十一课时 §4.1 二次函数的图像
一、教学目标：1、理解二次函数中参数a,b,c,h,k对图像的影响。2、领会二次函数图像平移的研究方法，并能迁移到其他函数图象的研究，从而提高识图和用图能力。3、培养学生数形结合的思想意识。
二、教学重点：二次函数的图像的平移变换规律及应用。
教学难点：领会二次函数图像移动的方法，探索平移对函数解析式的影响及如何利用平移变换律求函数解析式，并能把平移变换规律迁移到其它函数。
三、教学方法：逐层推进，问题探究
四、教学过程
（一）、导入新课
1、说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点
(1) y = (x+2)2-1， (2) y = - (x-2)2+2 ， (3) y = a (x+h)2+k
2、在初中，我们已经学习了二次函数，知道其图象为抛物线，并了解其图像的开口方向、对称轴、顶点等特征，本节课将进一步研究一般的二次函数的性质。
（二）．问题探索
探索问题1：和的图像之间有什么关系？
实践探究1：在同一坐标系中做出下列函数的图像; ; ;
观察发现1:１.二次函数y=ax2(a0)的图像可由的y=x2图像各点纵坐标变为原来的a倍得到.
２.a决定了图像的开口方向: a>o开口向上，a<0开口向下.
3. a决定了图像在同一直角坐标系中的开口大小:|a|越小图像开口就越大
巩固性训练一：下列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为 (4),(2),(3),(1).
; ; ;
探索问题2： 和 的图像之间有什么关系？
实践探究2：在同一坐标系中做出下列函数的图像： ； ；
观察发现2： 二次函数y=a(x+h)2+k (a0),a决定了二次函数图像的开口大小及方向； 而且“a正开口向上，a负开口向下”；｜a｜越大开口越小；
h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；
k决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”。
巩固性训练二：１.将二次函数y=3x2的图像平行移动,顶点移到（－３，２），则它的解析式为
Y=3(x+3) 2+2 。
2.二次函数y=f(x)与y=g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，已知函数g(x)=x2+1，f(x)图像的顶点为(3,2)，则f(x)的表达式为 Y=(x-3) 2+2 。
探索问题3：，和的图像之间有什么关系？
观察发现3：一般的，二次函数， 通过配方就可以得到它的恒等形式：。 从而知道，由 的图像经过平移就可以得到。
发展性训练：1. 由y=3(x+2)2+4的图像经过怎样的平移变换，可以得到y=3x2的图像.
右移2单位，下移4单位
2. 把函数y=x2-2x的图像向右平移２个单位，再向下平移３个单位所得图像对应的函数解析式为 ： Y =(x-2)2-2(x-2)-3 = x2- 6x+5 = (x-3)2-4 。
（三）、例题探析
例1、把二次函数的图象向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到二次函数的图象，求b、c的值．
分析 抛物线的顶点为（0，0），只要求出抛物线的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b、c的值．
解 ．向上平移2个单位，得到，再向左平移4个单位，得到，
其顶点坐标是，而抛物线的顶点为（0，0），则
解得
探索 把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，也就意味着把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试．
例2、 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式并说出该函数的图象是由的图象如何得到的？
分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．
解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．
又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴，解得a＝－2．∴二次函数的解析式为，即y＝－2x2＋8x－7．
反思：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．
（四）．课堂小结：１.a,h,k对二次函数y =a(x+h)2+k图像的影响。２. y = x2 与y =a(x+h)2+k 的图像变换规律。
（五）．课后作业：习题2-4 A组中2、3、4
五、教学反思：
第十二课时 §4.2 二次函数的性质
一、教学目标
1、知识与技能： (1) 结合二次函数图象，研究二次函数所具有的性质,从解析式到定义域、值域、单调性,对称性等不同的角度认识二次函数,熟知性质. (2) 通过二次函数的图象和函数的单调性,会求二次函数在某一区间上的最值或值域.
2、 过程与方法： (1)能够借助二次函数的图象，研究二次函数的性质,体会数形结合研究函数的重要性. (2)仔细体会函数的定义域对研究函数性质的影响.
3、情感.态度与价值观：通过学习二次函数的性质体会研究具体函数性质的方法和必要性与重要性，增强研究学习函数性质的积极性和自信心。
二、重难点: 重点：二次函数的性质. 难点：二次函数在区间上的值域．
三、教学方法：观察、思考、探究.
四、教学过程
（一）、新课导入
在初中，我们已经学习了二次函数，知道其图象为抛物线，并了解其图像的开口方向、对称轴、顶点等特征，本节课将进一步研究一般的二次函数的性质。
（二）、新知探究
1．二次函数性质包括图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值、最小值.请画出函数的图像并回答出其性质。
对于二次函数配方为___________________________.当时，它的图像开口向_______，顶点坐标为_________________，对称轴为_____________；在_________上是减少的，在___________上是增加的，当____________时，取得最______-值。当时，它的图像开口向________，顶点坐标为_________________，对称轴为_____________；在_________上是减少的，在___________上是增加的，当____________时，取得最______值。2．请说出二次函数和的性质. ( http: / / www. )
3.感悟归纳: 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
(1).顶点坐标与对称轴；(2).位置与开口方向；(3).增减性与最值
当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当 时，函数y有最小值 。当a ﹤0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。当 时，函数y有最大值
4.探索二次函数与一元二次方程
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
(1).每个图象与x轴有几个交点？(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根 验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗 (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
归纳: (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: ①有两个交点,②有一个交点,③没有交点.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
当b2-4ac﹥0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0=ax2+bx+c的两个根x1与 x2；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b2-4ac﹤0时，抛物线与x轴没有交点。举例: 求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。
结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ x1，0），B（x2,0）
（三）、例题探析
例1、已知函数y= x2 -2x -3 , （１）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图；(2)求图象与坐标轴交点构成的三角形 的面积：（3）求出它的单调区间、最大值或最小值。
例2、你能利用函数单调性的定义证明函数的单调性吗 试试看,请写出证明过程。
分析：设,任取,且,
利用单调性的定义可证。
由函数单调性的定义,在__________上是减少的,同理可证在_________上是增加的。
练习：1、请同学们证明当时, 函数的单调性。
2、对于二次函数来说,你可以通过哪些量说出函数的性质 ,画出函数的图像
（三）.巩固练习: 请完成课本练习：p42. 1,2
（四）.尝试提高:1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，
则a、b、c的符号为__________.
2、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：
⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a其中正确的结论的个数是（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
3、若函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
4、若函数，的值域（ ）．
A． B． C． D．
（五）.学习感想: 1、你能正确地说出二次函数的性质吗？2、你能用“五点法”快速地画出二次函数的图象吗？你能利用函数图象回答有关性质吗？
（六）、作业: 课本习题:A组4-8,B组1-4
五、教学反思：
第十三课时 函数的最大（小）值
一．教学目标
1．知识与技能：
理解函数的最大（小）值及其几何意义．
学会运用函数图象理解和研究函数的性质．
2．过程与方法：
通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识．
3．情态与价值
利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极性．
二．教学重点和难点：教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义
教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
三．学法与教学方法
1．学法：学生通过画图、观察、思考、讨论，从而归纳出求函数的最大（小）值的方法和步骤．2．教学方法：观察、思考、探究.
四．教学过程
（一）创设情景，揭示课题．
画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
① ②
③ ④
（二）研探新知
1．函数最大（小）值定义
最大值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得．那么，称M是函数的最大值．
思考：依照函数最大值的定义，结出函数的最小值的定义．
注意：
①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在，使得；
②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的，都有．
2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．
①配方法 ②换元法 ③数形结合法
（三）质疑答辩，排难解惑．
例1．（教材P36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．
解（略）
例2．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？
解：设利润为元，每个售价为元，则每个涨（－50）元，从而销售量减少
∴＜100）
∴ 答：为了赚取最大利润，售价应定为70元．
例3．求函数在区间[2，6] 上的最大值和最小值。解：（略）
例4．求函数的最大值．
解：令
（四）巩固深化，反馈矫正．
（1）P38练习4 （2）求函数的最大值和最小值．【作图】
（3）如图，把截面半径为25cm的图形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为，面积为，试将表示成的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？
解析：设矩形的另一边长为a,则有
∴有即
∴
当时，即矩形为正方形其边长为cm时截面面积最大。
（五）归纳小结
求函数最值的常用方法有：
（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值．
（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值．
（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值．
（六）设置问题，留下悬念
1．课本P45（A组） 6．7．8
2．求函数的最小值． 【代换法】
3．求函数．
① ② ③
五、课后反思：
第十四课时 函数的基本性质运用
一、课 型：练习课
二、教学目标：掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。
三、教学重点：掌握函数的基本性质。教学难点：应用性质解决问题。
四、教学方法：观察、思考、探究.
五、教学过程：
(一)、复习准备：
1.讨论：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？
2.提问：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义？
(二)、教学典型习例:
1.函数性质综合题型：
①出示例1：作出函数y＝x－2|x|－3的图像，指出单调区间和单调性。
分析作法：利用偶函数性质，先作y轴右边的，再对称作。→学生作 →口答→ 思考：y＝|x－2x－3|的图像的图像如何作？→
②讨论推广：如何由的图象，得到、的图象？
③出示例2：已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数
分析证法 → 教师板演 → 变式训练
④讨论推广：奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系？
（偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致）
2. 教学函数性质的应用：
①出示例 ：求函数f(x)＝x＋ (x>0)的值域。
分析：单调性怎样？值域呢？→小结：应用单调性求值域。 → 探究：计算机作图与结论推广
②出示例：某产品单价是120元，可销售80万件。市场调查后发现规律为降价x元后可多销售2x万件，写出销售金额y(万元)与x的函数关系式，并求当降价多少个元时，销售金额最大？最大是多少？
分析：此题的数量关系是怎样的？函数呢？如何求函数的最大值？
小结：利用函数的单调性（主要是二次函数）解决有关最大值和最大值问题。
3.基本练习题：
（1）、判别下列函数的奇偶性：y＝＋、 y＝
（变式训练：f(x)偶函数，当x>0时，f(x)=….，则x<0时，f(x)= ）
解析： y＝＋的定义域为，∴定义域关于原点对称。
又，∴是偶函数。
y＝的定义域为R，∴定义域关于原点对称。
当时，∴，当时，∴
当时，∴是奇函数。
（2）、求函数y＝x＋的值域。
解析：令，则，，∴=
∴当t=0时，函数y＝x＋的值域为。
3）、判断函数y=单调区间并证明。
（定义法、图象法； 推广： 的单调性）
解析：，作图得
Y
函数y=单调递减区间为
1
-1 O X
证明可用单调性的定义和奇偶性的性质。
（4）、讨论y=在[-1,1]上的单调性。 （思路：先计算差，再讨论符号情况。）
解析：，
=，∴y=在上为减函数。
又y=在[-1,1]上是偶函数，∴y=在为增函数。
(三)、巩固练习
1.求函数y=为奇函数的时，a、b、c所满足的条件。 （c=0）
【利用奇函数的定义】（c=0）
2.已知函数f(x)=ax+bx+3a+b为偶函数，其定义域为[a-1,2a]，求函数值域。
解析：∵函数f(x)=ax+bx+3a+b为偶函数，∴b=0,又其定义域为[a-1,2a]，∴定义域关于原点对称，∴2a=a-1,即a=-1,∴,则函数值域为。
3. f(x)是定义在(-1,1)上的减函数，如果f(2－a)－f(a－3)<0。求a的范围。
解析：f(x)是定义在(-1,1)上的减函数，又f(2－a)－f(a－3)<0，∴
∴解得
4. 求二次函数f(x)=x－2ax＋2在[2,4]上的最大值与最小值。
解析：配方，讨论对称轴与区间的位置关系，结合图象解决。
（四）、小结：
本节课通过讲练结合全面提高对函数单调性和奇偶性的认识，综合运用函数性质解题
（五）、作业布置： P44页A组9、10题 B组6题
五、课后反思：
第十五课时 幂函数
一．教学目标：1．知识技能：（1）理解幂函数的概念；（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.
2．过程与方法：类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.
3．情感、态度、价值观：（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.
二．重点、难点
重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质
难点：从幂函数的图象中概括其性质
三、教法、学法
1、学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质；2、教法：探析交流、讲练结合。
四、教学过程
（一）、引入新知
阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题.
（1）它们的对应法则分别是什么？
（2）以上问题中的函数有什么共同特征？
让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论
答：1、（1）乘以1 （2）求平方 （3）求立方 （4）求算术平方根 （5）求－1次方
2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：，其中是自变量，是常数.
（二）、探究新知
1．幂函数的定义
一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.
如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.
2．研究函数的图像
（1） （2） （3） （4） （5）
提问：如何画出以上五个函数图像
引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.
让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质.
通过观察图像，填P91探究中的表格
定义域 R R R
奇偶性 奇 奇 奇 非奇非偶 奇
在第Ⅰ象限单调增减性 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递减
定点 （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （1，1）
3．幂函数性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：）；
（2）＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.
特别地，当＞1，＞1时，∈（0，1），的图象都在图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）
当∠α＜1时，∈（0，1），的图象都在的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）
（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.
在第一家限内，当向原点靠近时，图象在轴的右方无限逼近轴正半轴，当慢慢地变大时，图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴.
例题：例1．证明幂函数上是增函数
证：任取＜则
= =
因＜0，＞0 所以，即上是增函数.
思考：
我们知道，若得，你能否用这种作比的方法来证明上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？
例2．利用函数的性质 ，判断下列两个值的大小
（1） （2） （3）
分析：利用幂函数的单调性来比较大小.
（三）、课堂练习
画出的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性.
（四）、归纳小结：提问方式
（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？
（2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？
（五）、作业： P92 习题 2.3 第2、3 题
五、课后反思：
第十六课时 第二章《函数》 小结与复习（一）
一、教学目标：1、知识与技能：（1）总结知识,形成网络（2）了解函数的概念和函数的定义域、值域；并会求函数的解析式和函数的定义域、值域；（3）会用函数的三种方法表示函数；了解简单的分段函数及应用；（4）会求函数的解析式。
2、 过程与方法：（1）通过例题讲解让学生回顾掌握函数的有关概念,表示方法．（2）归纳整理本章所学知识使知识形成网络．
3、情感．态度与价值观：学生感受到学习函数后有收获，增强学好数学的信心．
二、教学重难点：重点: 复习函数的解析式,定义域,值域的求法．难点：求函数的定义域值域的方法．
三、教学方法：探析归纳，讲练结合。
四、教学过程
（一）、函数的知识归纳、建构知识网络:
（二）、复习函数的基础知识
1．函数的概念：
2．函数的表示方法常用的有：解析法、列表法、图象法
3．分段函数的表示方法:
4．函数的单调性的定义及其应用
5．函数的奇偶性
6．二次函数的图像与性质
7．幂函数
（三）、应用举例
1．函数的定义域:
例1．已知函数的定义域为,的定义域为,则
（ ）． D
练习1: 函数y=+的定义域为（ ）． D
A．{x|x≥1或x≤-1} B．{x|-1≤x≤1} C．{1} D．{-1,1}
例2．函数的定义域为[-2,1],则的定义域为（ ）． A
练习2:若函数的定义域为[-3,1],则函数的定义域为（ ）．C
A．[-3,3] B．[-3,1] C．[-1,1] D．[-1,3]
反思归纳：求函数的定义域的常见类型及求法。
2．函数的值域
例3．已知集合,集合,则（ ）．C
且
练习3．已知函数的值域是,求实数的取值范围．
【】
例4．函数的值域是（ ）．C
练习4．函数的最大值为，最小值为，则（ ）． C
A． B． C． D．
反思归纳：求函数的值域和求最值的常见类型及求法。
3．求函数值．
例5．已知f(x)= ,求f[f(0)]的值_____________．
练习5．函数对于任意实数满足条件，若，则
= ．【先探究周期，再求值答案： 】
解析：由 知周期为4，令得
反思归纳：求函数值的常见方法。
4．求函数解析式
例6．已知，求及的解析式．【换元代入法】
练习6．已知函数,其中是x的正比例函数,是x的反比例函数,且,,求的表达式．【待定系数法】
（四）、课堂小结：1、本课归纳整理本章所学知识使知识形成网络．2、要求大家理解和掌握函数的概念和函数的定义域、值域；并会求函数的解析式和函数的定义域、值域；会用函数的三种方法表示函数；会求函数的解析式。
（五）、作业:复习参考题A组3,4,5,7
五、教学反思：
第十七课时 第二章《函数》 小结与复习（二）
一、教学目标
1、知识与技能：（1）总结知识,形成网络；
（2）掌握函数单调性的定义和函数奇偶性的定义；
（3）会用定义判断函数的单调性和奇偶性；
（4）掌握二次函数的图像与性质,并学会图像的变换；
（5）了解简单的幂函数。
2、 过程与方法：(1)通过例题讲解让学生回顾掌握函数的两条重要的性质单调性和奇偶性．
(2)让学生归纳整理本章所学知识使知识形成网络．
3、情感．态度与价值：学生感受到学习函数的性质对研究函数的重要性，增强学好函数的信心。
二、教学重点: 复习函数的单调性和奇偶性和二次函数．
教学难点：判断函数的单调性和奇偶性．
三、学法指导：学生通过自主整理、回顾复习．
四、教学过程
（一）、函数的知识导图:
（二）、复习函数的基础知识
1．函数的单调性的定义及其应用
2．函数的奇偶性
3．二次函数的图像与性质
4．幂函数
（三）、应用举例
1．函数的单调性
例1．下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是（ ）．
答案:D
解析:函数f(x)=3-x为减函数, f(x)=x2-3x在上为减函数,在上是增函数,
在(0,+∞)上为减函数,只有函数f(x)=-在(-2,+∞)上是增函数,所以在(0,+∞)上为增函数．故选择D．
练习1．已知 f(x)=x2-2x+8,如果g(x)=f(x+2),则g(x)（ ）．
A．在区间(-,1)上是单调减函数,在区间[1,+]上是单调增函数
B．在区间(-,0)上是单调减函数,在区间[0,+]上是单调增函数
C．在区间(-,-1)上是单调减函数,在区间[-1,+]上是单调增函数
D．在区间(-,3]上是单调减函数,在区间[3,+)上是单调增函数
答案:C
解析:因为f(x)=x2-2x+8,所以g(x)= f(x+2)=(x+2)2-2(x+2)+8=x2+2x+8=(x+1)2+7,所以g(x)在区间(-,-1]上是单调减函数,在区间[-1, +)上是单调增函数．
反思归纳：判断函数单调性的方法有①图象法；②按复合函数的判断方法同向增异项减；③定义法。
2．函数的奇偶性
例2．函数是（ ）．
A．奇函数 B.偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
答案:B．
解析:函数的定义域为[-1,1],
又,所以为偶函数．
练习2: 判断下列函数的奇偶性：
①, ②,③
反思归纳：奇偶性的判断方法先判断定义域是否关于原点对称，再利用奇偶性的定义式或变形定义式验证。
3．二次函数:
例3．已知函数在上递增，则的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
练习3: 已知二次函数的图像开口向上，且，，则实数取值范围是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
反思归纳：要熟练掌握二次函数的性质和图象，会图像的变换。
（四）、课堂小结：本课要求大家理解和掌握函数单调性的定义和函数奇偶性的定义；会用定义判断函数的单调性和奇偶性；掌握二次函数的图像与性质,并学会图像的变换；了解简单的幂函数。
（五）、作业:复习参考题 A组9,10, B组4,5 C组1
五、教学反思：
第十八课时 第二章《函数》 小结与复习（三）
一、教学目标： 1.熟悉并掌握函数的对称语言.2.进一步熟悉二次函数性质及其应用.3.把握数形结合的特征和方法.4.能够应用函数思想解题.5.了解与函数有关的数学模型.
二、教学重点：数形结合的特征与方法。
教学难点：函数思想的应用
三、授课类型：复习课
四、教学方法：探究归纳，讲练结合
五、教学过程
（一）、引入：
通过上一节学习，大家了解了本章内容的整体结构，明确了本章的重难点知识，并熟悉了有关函数的基本概念和基本方法，这一节，我们将通过例题分析重点掌握数形结合的特征与方法，并进一步认清函数的思想实质，进而掌握其应用.
（二）、例题分析：
例1、若函数f(x)=x+bx+c对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x)，那么（ ）
A.f(2)＜f(1)＜f(4) B.f(1)＜f(2)＜f(4)
C.f(2)＜f(4)＜f(1) D.f(4)＜f(2)＜f(1)
分析：此题解决的关键是将函数的对称语言转化为对称轴方程.
解：由f(2+x)=f(2-x)可知：函数f(x)的对称轴为x=2,由二次函数f(x)开口方向向，可得f(2)最小，又f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)在x＜2时，y=f(x)为减函数∵0＜1＜2，∴f(0)＞f(1)＞f(2)
即f(2)＜f(1)＜f(4)答案：A
通过此题可将对称语言推广如下：
（1）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a是函数f(x)的对称轴；
（2）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x=是f(x)的对称轴.
例2求f(x)=x-2ax+2在［2，4］上的最大值和最小值.
解：先求最小值.因为f(x)的对称轴是x=a，可分以下三种情况：
（1）当a＜2时，f(x)在［2，4］上为增函数，所以f(x)min=f(2)=6-4a;(2)当2≤a＜4时，f(a)为最小值，f(x)min=2-a;(3)当a＞4时，f(x)在［2，4］上为减函数，所以f(x)min=f(4)=18-8a
综上所述：f(x)min=最大值为f(2)与f(4)中较大者：f(2)-f(4)=(6-4a)-(18-8a)=12+4a
(1)当a≥3时，f(2)≥f(4),则f(x)max=f(2)=6-4a;
(2)当a＜3时，f(2)＜f(4),则f(x)max=f(4)=18-8a.
故f(x)max=
评述：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x=a与区间［2，4］的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较f(2)与f(4)的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况.
（三）、课堂练习：已知f(x)=x-4x-4,x∈［t,t+1］(t∈R)，求f(x)的最小值φ（t）的解析式.
解：f(x)=(x-2)-8(1)当2∈［t,t+1］时，即1＜t＜2时，φ(t)=f(2)=-8.
(2)当t＞2时，f(x)在［t,t+1］上是增函数，故φ(t)=f(t)=t-4t-4.
(3)当t+1＜2，即t＜1时，f(x)在［t,t+1］上是减函数.故φ(t)=f(t+1)=t-2t-7
综上所述：φ(t)=
（四）、课堂小结：本节学习了二次函数在给定区间上求最值的方法，把握数形结合的特征与方法，逐步掌握函数思想在实际问题中的应用.
（五）、课后作业：1.某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产业的年利润分别是T和Q（万元），这两项生产与投入的奖金a(万元)的关系是P=，该集团今年计划对这两项生产共投入奖金60万元，为获得最大利润，对养殖业与养殖加工生产业投入应各为多少万元？最大利润为多少万元？
解：设投入养殖业为x万元，则投入养殖加工生产业为60-x万元由题意：
P+Q= (0≤x≤60)设t=,
则0≤t≤,x=60-tP+Q=(60-t)+t=-(t-5)+
∴当t=5时，即x=35时，（P+Q）max=.
∴对养殖业投入35万元，对养殖加工生产业投入25万元，可获最大利润万元.
2、设集合,，函数
（1）设不等式的解集为C，当时，求实数的取值范围；
（2）若对任意实数，均有恒成立，求时，的值域；
（3）当时，证明
答案：（1） （2）（3）因为对称轴，
故只需证明，，即可
六、教后反思：
在变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，就有唯一确定的y值与之对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
1
300
450
600
900
3
－3
2
－2
1
－1
3
4
5
6
9
4
1
1
2
3
4
5
6
1
4
9
1
－1
2
－2
3
－3
1
2
3
300
450
600
900
1
-1
0
1
a
b
a
b
c
0
1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
0
0
1
y
x
o
x
-1
1
0
y
25
0
y=x-1
y=x3
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北师大高中数学必修（Ⅰ）第二章《函数》全部教案
法门高中 姚连省
第一课时 生活中的变量关系
一、教学目标:
1．通过高速公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系．
2．培养广泛联想的能力和热爱数学的态度．
二、教学重点：在于让学生领悟生活中处处有变量，变量之间充满了关系
教学难点：培养广泛联想的能力和热爱数学的态度
三、教学方法：探究交流法
四、教学过程
（一）、知识探索：
阅读课文P25页。实例分析：书上在高速公路情境下的问题。
在高速公路情景下，你能发现哪些函数关系？
2．对问题3，储油量v对油面高度h、油面宽度w都存在依赖关系，两种依赖关系都有函数关系吗？
问题小结：
1．生活中变量及变量之间的依赖关系随处可见，并非有依赖关系的两个变量都有函数关系 ，只有满足对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，才称它们之间有函数关系。
2．构成函数关系的两个变量，必须是对于自变量的每一个值，因变量都有唯一确定的y值与之对应。
3．确定变量的依赖关系，需分清谁是自变量，谁是因变量，如果一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么这个变量是因变量 ，另一个变量是 自变量 。
（二）、新课探究——函数概念
1．初中关于函数的定义：
2．从集合的观点出发，函数定义：
给定两个 非空数集 A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中的任何一个数x，在集合B中都存在 唯一确定的 数f（x）与之对应，那么就把这种对应关系f叫做定义在A上的函数， 记作 或 f：A→B，或y=f(x),x∈A. ；
此时x叫做 自变量 ，集合A叫做函数的 定义域 ，集合 {f(x)︱x∈A}叫作函数的值域。习惯上我们称y是x的函数。
3．函数的三要素：
定义域 ， 值域 ， 对应法则 ；
4．函数值
当x=a时，我们用f（a）表示函数y=f（x）的函数值。
（三）、知识体验（课堂练习及课外作业）
1.某电器商店以2000元一台的价格进了一批电视机，然后以2100元的价格售出，随着售出台数的变化，商店获得的收入是 ,它们之间是______关系.
【函数 y=100x,x∈D 】
2.现实生活中,与时间存在函数关系的量_______________________ .(三个以上)
【路程与时间；炮弹的射高与时间的变化关系问题；用电量与时间的关系。】
3.坐电梯时,电梯距地面的高度与时间之间存在______________关系. 【 函数】
4.在一定量的水中加入蔗糖,糖水的质量浓度与所加蔗糖的质量之间存在怎样的依赖关系 如果是函数关系,指出自变量和因变量.
【是函数关系；自变量是所加蔗糖的质量；因变量是糖水的质量浓度。】
5.日期与星期之间存在怎样的依赖关系 这种依赖关系是函数关系吗 如果是,指出自变量和因变量.
【是函数关系；自变量是日期；因变量是星期。】
6.下列过程中变量之间是否存在依赖关系,其中哪些是函数关系:
(1)地球绕太阳公转的过程中,二者的距离与时间的关系;
(2)在空中作斜抛运动的铅球,铅球距地面的高度与时间的关系;
(3)某水文观测点记录的水位与时间的关系;
(4)某十字路口,通过汽车的数量与时间的关系;
(5)等边三角形的边长与面积之间的关系.
7.下列各式是否表示y是x的函数关系 如果是,写出这个函数的解析式。
(1)5x+2y=1 (xR);
(2)xy=-3 (x0);
(3) (x（-1,0 ）)
（4） （xR）
五、课后反思：
第二课时 函数的概念（一）
一、教学目标
1、知识与技能：
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间
的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．
2、过程与方法：
（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的要素；
（3）会求一些简单函数的定义域和值域；
（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；
3、情态与价值，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性。
二、教学重点与难点：
重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；
难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；
三、学法与教学方法
1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标 .
2、教学方法：探析交流法
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：
（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；
（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；
（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题
3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。
4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；
5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．
（二）研探新知
1、函数的有关概念
（1）函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．
记作： y=f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．
注意：
① “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．
（2）构成函数的三要素是什么？
定义域、对应关系和值域
（3）区间的概念
①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
②无穷区间；
③区间的数轴表示．
（4）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？
通过三个已知的函数：y=ax+b (a≠0)
y=ax2+bx+c (a≠0)
y= (k≠0)
比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会。
师：归纳总结
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维。
1、如何求函数的定义域
例1：已知函数f (x) = +
（1）求函数的定义域；
（2）求f（－3），f ()的值；
（3）当a＞0时，求f（a）,f(a－1)的值.
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
解：（1）得函数的定义域为。
（1） f（－3）=-1，f ()=
（2） 当a＞0时， ，f（a）=。，f(a－1)=
。
例2、设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域.
分析：由题意知，另一边长为，且边长为正数，所以0＜x＜40.
所以s= = （40－x）x （0＜x＜40）
引导学生小结几类函数的定义域：
（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .
（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .
（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）
（5）满足实际问题有意义.
巩固练习：课本P22第1
2、如何判断两个函数是否为同一函数
例3、下列函数中哪个与函数y=x相等？
（1）y = ()2 ; （2）y = () ; （3）y = ; （4）y=
分析：
构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
解：（略）课本P21例2
（四）巩固深化，反馈矫正：
（1）课本P22第2题
（2）判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？
① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 否
② f ( x ) = x； g ( x ) = 否
③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 是
④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 是
（3）求下列函数的定义域
① ② ③ f(x) = +
④ f(x) = ⑤
【①；②；③；④
⑤。】
（五）归纳小结
①从具体实例引入了函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；②初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法，同时引出了区间的概念。
（六）设置问题，留下悬念
1、课本P28 习题1．2（A组） 第1—7题 （B组）第1题
2、举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、值域和对应关系。
五、课后反思：
第三课时 函数的概念（二）
一、课 型：新授课
二、教学目标：
（1）会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；
（2）掌握复合函数定义域的求法；
（3）掌握判别两个函数是否相同的方法。
三、教学重点：会求一些简单函数的定义域与值域。教学难点：复合函数定义域的求法。
四、教学方法:探究交流法
五、教学过程
（一）、复习准备
1. 提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y＝与y＝3x是不是同一个函数？为什么？
2. 用区间表示函数y＝ax＋b（a≠0）、y＝ax＋bx＋c（a≠0）、y＝(k≠0)的定义域与值域。
（二）、新课探究
（Ⅰ）函数定义域的求法
函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。
例1：求下列函数的定义域（用区间表示）
⑴ f(x)=； ⑵ f(x)=； ⑶ f(x)=－；
学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式）
解：⑴由得，∴函数的定义域为。
⑵由得，∴函数的定义域为。
⑶由得，∴函数的定义域为。
反思小结：求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）
*复合函数的定义域求法：
（1）已知f(x)的定义域为（a,b），求f(g(x))的定义域；
求法：由a
求法：由a
分析：由f(x)的定义域为[0,1]可得x＋1满足，f(x＋1)的定义域为。
反思小结：已知f(x)的定义域为（a,b），求f(g(x))的定义域
求法：由a
分析：由f(x-1)的定义域为[-1,0]得，∴f(x+1) 的定义域为。
反思小结：已知f(g(x))的定义域为（a,b），求f(x)的定义域
求法：由a
1．求下列函数定义域
（1）； （2）
2．（1）已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求的定义域；
（2）已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域。
（Ⅱ）函数相同的判别方法
函数是否相同，看定义域和对应法则。
例5．（课本P18例2）下列函数中哪个与函数y=x相等？
（1）； （2）；
（3）； （4） 。
答案【（2）】
（三）课堂练习
1．课本 P19练习1，3；
2．求函数y＝－x＋4x－1 ，x∈[-1,3) 的值域。
（四）归纳小结
本堂课讲授了函数定义域的求法以及判断函数相等的方法。
（五）作业布置：习题1.2A组，第1，2；
六、课后反思:
第四课时 映射
一．教学目标：1．知识与技能：（1）了解映射的概念及表示方法；（2）结合简单的对应图表，理解一一映射的概念．
2．过程与方法：（1）函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合；（2）通过实例进一步理解映射的概念；（3）会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，一一映射．
3．情态与价值：映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基础．
二．教学重点：映射的概念 教学难点：映射的概念
三．学法与教学方法
1．学法：通过丰富的实例，学生进行交流讨论和概括；从而完成本节课的教学目标；2．教学方法：探究交流法。
四．教学过程
（一）创设情景，揭示课题
复习初中常见的对应关系：1．对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点和它对应；2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对（）和它对应；3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；5．函数的概念．
（二）研探新知
1．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射（板书课题）．
2．先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系：
（1）开平方；（2）求正弦；（3）求平方；（4）乘以2．
归纳引出映射概念：
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则，使对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：A→B为从集合A到集合B的一个映射．记作“：A→B”
说明：
（1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中表示具体的对应法则，可以用多种形式表述．
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1．下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？
（1）A={是数轴上的点}，B=R，对应关系：数轴上的点与它所代表的实数对应；
（2）A={是平面直角坐标中的点}，对应关系：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
（3）A={三角形}，B=：每一个三角形都对应它的内切圆；
（4）A={是新华中学的班级}，对应关系：每一个班级都对应班里的学生．
思考：将（3）中的对应关系改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应：B→A是从集合B到集合A的映射吗？
例2．在下图中，图（1），（2），（3），（4）用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，是不是映射？是不是函数关系？
A 开平方 B A 求正弦 B
（1） （2）
A 求平方 B A 乘以2 B
（3） （4）
（四）巩固深化，反馈矫正
1、画图表示集合A到集合B的对应（集合A，B各取4个元素）
已知：（1），对应法则是“乘以2”；
（2）A=＞，B=R，对应法则是“求算术平方根”；
（3），对应法则是“求倒数”；
（4）＜对应法则是“求余弦”．
2．在下图中的映射中，A中元素600的象是什么？B中元素的原象是什么？
A 求正弦 B
（五）归纳小结
提出问题：怎样判断建立在两个集合上的一个对应关系是否是一个映射，你能归纳出几个“标准”呢？
师生一起归纳：判定是否是映射主要看两条：一条是A集合中的元素都要有象，但B中元素未必要有原象；二条是A中元素与B中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式．
（六）设置问题，留下悬念．
1．由学生举出生活中两个有关映射的实例．
2．已知是集合A上的任一个映射，试问在值域(A)中的任一个元素的原象，是否都是唯一的？为什么？
3．已知集合从集合A到集合B的映射，试问能构造出多少映射？
A B
解：二对一，有3个映射；
一对一时，有3×2=6个映射
所以，共有9个映射
4. 设集合A={a,b,c}，B={0,1} ，试问：从A到B的映射一共有几个？并将它们分别表示出来。
A B
【共有2×2×2=8个映射】
五、课后反思：
第五课时 函数的表示法（一）
一．教学目标：1．知识与技能
（1）明确函数的三种表示方法；
（2）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；
（3）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用．
2．过程与方法：
学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程．
3．情态与价值
让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法。
二．教学重点和难点
教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．
教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．
三．学法及教学方法
1．学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．
2．教学方法：探究交流法
四．教学过程
（一）创设情景，揭示课题．
我们在前两节课中，已经学习了函数的定义，会求函数的值域，那么函数有哪些表示的方法呢？这一节课我们研究这一问题．
（二）研探新知
1．函数有哪些表示方法呢？
（表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种）
2．明确三种方法各自的特点？
（解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域．列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值、图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况）
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．
例1．某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要元，试用三种表示法表示函数．
分析：注意本例的设问，此处“”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．
解：（略）
注意：
①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；
②解析法：必须注明函数的定义域；
③图象法：是否连线；
④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
王 伟 98 87 91 92 88 95
张 城 90 76 88 75 86 80
赵 磊 68 65 73 72 75 82
班平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6
请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？
解：（略）
注意：
①本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点：
②本例能否用解析法？为什么？
例3．画出函数的图象
解：（略）
例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算），已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义，根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．
解：（略）
注意：①本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；②象例3、例4中的函数，称为分段函数．③分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
（四）巩固深化，反馈矫正．
（1）课本P27 练习第1，2，3题
（2）国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过20，付邮资80分，超过20而不超过40付邮资160分，每封（0＜≤100＝的信函应付邮资为（单位：分）
（五）归纳小结
理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法。
（六）设置问题，留下悬念．
（1）课本P28习题（A组）1，2；
（2）如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的边长为，面积为，把表示成的函数．
解析：设矩形的另一边长为a,则有
∴有即
∴
五、课后反思：
第六课时 函数的表示法（二）
一、课 型：新授课
二、教学目标：
掌握求函数解析式的方法：换元法，配凑法，待定系数法，消去法，分段函数的解析式。
三、教学重点：求函数的解析式。教学难点：对函数解析式方法的掌握。
四、教学方法：探究交流法
五、教学过程
（一）、复习准备
1．函数有哪些表示方法呢？ 2．三种方法各自的特点？
3. 函数定义域、值域的求法 4.如何求函数的值及求函数的解析式？
（二）、新课探究
（Ⅰ） 求函数的值
例1．已知函数，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。
解析：f(0)=3；f(1)=2；f(2)=3；f(－1)=6
例2．已知f(x)＝，求f(0)、f[f(-1)]的值
解析：f(0)=2×0+1=1；f(-1)=2×(-1)+3=1，∴f[f(-1)]= f(1)=2×1+1=3
反思小结：求函数的值的方法有代入法。
（Ⅱ）求函数的解析式
常见的求函数解析式的方法有待定系数法，换元法，配凑法，消去法。
例3．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求函数f(x)的解析式。
解析：（待定系数法）设，则，，∴
=
∴解得，∴
例4．已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。
解析：（配凑法或换元法）
方一：配凑法
，∴
方二：换元法
令，则，∴
即
例5．已知函数f(x)满足，求函数f(x)的解析式。
解析：（消去法）用去替换得，解方程组
得
例6．已知，求函数f(x)的解析式。
解析：当即时，；当即时，
故。
（三）课堂练习
1．课本P23练习4；
2．已知 ，求函数f(x)的解析式。
3．已知，求函数f(x)的解析式。
4．已知，求函数f(x)的解析式。
5．已知函数，
（1）求的值；（2）当a>0时，求的值。
（四）归纳小结
本节课系统地归纳了求函数解析式的方法。常见的求函数解析式的方法有待定系数法，换元法，配凑法，消去法。
（五）作业布置：1、课本P24习题1.2B组题3，4； 2、阅读P26 材料。
六、课后反思:
第七课时 函数的表示法（三）
一、课 型：新授课
二、教学目标：
（1）进一步了解分段函数的求法；
（2）掌握函数图象的画法。
三、教学重点：函数图象的画法。教学难点：掌握函数图象的画法。。
四、教学方法：探究交流法
五、教学过程
（一）、复习准备
1．举例初中已经学习过的一些函数的图象，如一次函数，二次函数，反比例函数的图象，并在黑板上演示它们的画法。
2. 讨论：函数图象有什么特点？
（二）、新课探析
例1．画出下列各函数的图象：
（1）
（2）；
Y
Y
解析：
O 1 3 X -2 O 2 X
-2
-3
题（1）图
题（2）图
例2．（课本P21例5）画出函数的图象。
解析：， Y
O X
例3．设，求函数的解析式，并画出它的图象。
解析：
作图如右下图所示
Y
2
-3 -2 O X
-1
变式1：求函数的最大值。
解析：
作图可得的最大值为2
变式2：解不等式。
解析：令， 作图可得不等式的解集为
例4．当m为何值时，方程有4个互不相等的实数根。
解析：令，则，再令
作出两个函数的图象可得 Y
5
1
-2 O 2 X
方程有4个互不相等的实数根时
。
变式：不等式对恒成立，求m的取值范围。
解析：令，不等式对恒成立，
只要的最小值。作出的图象可得的最小值为1，
∴。
（三）课堂练习
1．课本P23练习3；
2．画出函数的图象。
（四）归纳小结
函数图象的画法。1、描点法；
2、化简解析式，借用熟悉的函数图象作图；
函数图象的应用：1、研究方程的解的个数可用图象法；
2、恒成立的不等式，可用最值法；求函数的最值可用图像法。
（五）作业布置：课本P24习题1.2A组题7，B组题2；
六、课后反思:
第八课时 函数及其表示复习课
一、课 型：复习课
二、教学目标：（1）会求一些简单函数的定义域和值域；（2）掌握分段函数、区间、函数的三种表示法；（3）会解决一些函数记号的问题。
三、教学重点：求定义域与值域，解决函数简单应用问题。教学难点：对函数记号的理解。
四、教学方法：探究归纳、讲练结合
五、教学过程
（一）、基础习题练习（口答下列基础题的主要解答过程 → 指出题型解答方法）
1．说出下列函数的定义域与值域： ； ； ；
2．已知，求， ， ；
3．已知，
（1）作出的图象；（2）求的值
（二）、典型例题探析
例1．已知函数=4x+3，g(x)=x, 求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]．
解析：
例2．求下列函数的定义域。
（1）； （2）；
解析：（1）由得，∴函数的定义域为
（2）由得
∴函数的定义域为。
例3．若函数的定义域为Ｒ，求实数a的取值范围． （）
解析：的定义域为Ｒ，则不等式的解集为R，若a=1时成立。若a≠1时，则有
，解得。综上可得。
例4． 中山移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元. 若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为（元）．
（1）．写出与x之间的函数关系式？
（2）．一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？
（3）．若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？
解析：（1），
（2），，∴
（3）令=200解得
令=200解得
∴应选择“神州行”。
（三）、巩固练习
1．已知=xx+3 ，求：f(x+1)， f()的值。 【代入法】
2．若,求函数的解析式。 【换元法】
3．设二次函数满足且=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求的解析式。 【待定系数法】
4．已知函数的定义域为Ｒ，求实数a的取值范围．【】
（四）、归纳小结：本节课是函数及其表示的复习课，系统地归纳了函数的有关概念，表示方法．
（五）、作业布置：1、课本P２４习题1.２ B组题１，３；2、预习函数的基本性质。
六、课后反思:
第九课时 函数的单调性
一、教学目标
1、知识与技能：
（1）建立增（减）函数的概念
通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函
数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。
（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。
2、过程与方法
（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性。
3、情态与价值，使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感。
二、教学重点与难点
重点：函数的单调性及其几何意义．
难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
三、学法与教学方法
1、从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。
2、教学方法：探究交流法
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
随x的增大，y的值有什么变化？
能否看出函数的最大、最小值？
函数图象是否具有某种对称性？
2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律：
（1）f(x) = x
从左至右图象上升还是下降 ______
在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ．
（2）f(x) = -x+2
从左至右图象上升还是下降 ______
在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ．
（3）f(x) = x2
在区间 ____________ 上，
f(x)的值随着x的增大而 ________ ．
在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 ________ ．
3、从上面的观察分析，能得出什么结论？
学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。
（二）研探新知
1、y = x2的图象在y轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？
学生通过观察、思考、讨论，归纳得出：
函数y = x2在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有x12＜x22 . 即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。
2．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1
注意：
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
（三）质疑答辩，发展思维
1、根据函数图象说明函数的单调性．
例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解：略
2、证明函数的单调性．
例2 物理学中的玻意耳定律P=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。
分析：按题意，只要证明函数P=在区间（0，+∞）上是减函数即可。
证明：略
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
① 任取x1，x2∈D，且x1
巩固练习：
①课本P38练习第1、2、3题；
②证明函数在（1，+∞）上为增函数．
例3．借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．
解：（略）
思考：画出反比例函数的图象．
①这个函数的定义域是什么？
②它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．
（四）归纳小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
（五）设置问题，留下悬念
1、教师提出下列问题让学生思考：
①通过增（减）函数概念的形成过程，你学习到了什么？
②增（减）函数的图象有什么特点？如何根据图象指出单调区间？
③怎样用定义证明函数的单调性？
师生共同就上述问题进行讨论、交流，发表自己的意见。
2、书面作业：课本P45习题1、3题（A组）第1-5题。
五、课后反思:
第十课时 函数的奇偶性
一．教学目标：1．知识与技能：理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性；
2．过程与方法：通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．
3．情态与价值：通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力。
二．教学重点和难点： 教学重点：函数的奇偶性及其几何意义。
教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式
三．学法与教学方法
学法：学生通过自己动手计算，独立地去经历发现，猜想与证明的全过程，从而建立奇偶函数的概念．
教学方法：探究交流法
四．教学思路
（一）创设情景，揭示课题
“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？
观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．
－1 0
-1
通过讨论归纳：函数是定义域为全体实数的抛物线；函数是定义域为全体实数的折线；函数是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于轴对称．观察一对关于轴对称的点的坐标有什么关系？
归纳：若点在函数图象上，则相应的点也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．
（二）研探新知
函数的奇偶性定义：
1．偶函数
一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．
2．奇函数
一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．
注意：
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个，则也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
3．具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．
例1．判断下列函数是否是偶函数．
（1） （2）
解：函数不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称．
函数也不是偶函数，因为它的定义域为，并不关于原点对称．
例2．判断下列函数的奇偶性
（1） （2） （3） （4）
解：（略）
小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定；
③作出相应结论：若；
若．
例3．判断下列函数的奇偶性：
①
②
分析：先验证函数定义域的对称性，再考察．
解：（1）＞0且＞=＜＜，它具有对称性．因为，所以是偶函数，不是奇函数．
（2）当＞0时，－＜0，于是
当＜0时，－＞0，于是
综上可知，在R－∪R+上，是奇函数．
例4．利用函数的奇偶性补全函数的图象．
教材P41思考题：
规律：偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．
例5．已知是奇函数，在（0，+∞）上是增函数．
证明：在（－∞，0）上也是增函数．
证明：（略）
小结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．
（四）巩固深化，反馈矫正．
（1）课本P42 练习1．2 P46 B组题的1．2．3
（2）判断下列函数的奇偶性，并说明理由．
① ②
③ ④
（五）归纳小结，整体认识．
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．
（六）设置问题，留下悬念．
1．书面作业：课本P46习题A组1．3．9．10题
2．设＞0时，
试问：当＜0时，的表达式是什么？
解：当＜0时，－＞0，所以，又因为是奇函数，所以
．
五、课后反思:
§4 二次函数性质的再认识
第十一课时 §4.1 二次函数的图像
一、教学目标：1、理解二次函数中参数a,b,c,h,k对图像的影响。2、领会二次函数图像平移的研究方法，并能迁移到其他函数图象的研究，从而提高识图和用图能力。3、培养学生数形结合的思想意识。
二、教学重点：二次函数的图像的平移变换规律及应用。
教学难点：领会二次函数图像移动的方法，探索平移对函数解析式的影响及如何利用平移变换律求函数解析式，并能把平移变换规律迁移到其它函数。
三、教学方法：逐层推进，问题探究
四、教学过程
（一）、导入新课
1、说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点
(1) y = (x+2)2-1， (2) y = - (x-2)2+2 ， (3) y = a (x+h)2+k
2、在初中，我们已经学习了二次函数，知道其图象为抛物线，并了解其图像的开口方向、对称轴、顶点等特征，本节课将进一步研究一般的二次函数的性质。
（二）．问题探索
探索问题1：和的图像之间有什么关系？
实践探究1：在同一坐标系中做出下列函数的图像; ; ;
观察发现1:１.二次函数y=ax2(a0)的图像可由的y=x2图像各点纵坐标变为原来的a倍得到.
２.a决定了图像的开口方向: a>o开口向上，a<0开口向下.
3. a决定了图像在同一直角坐标系中的开口大小:|a|越小图像开口就越大
巩固性训练一：下列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为 (4),(2),(3),(1).
; ; ;
探索问题2： 和 的图像之间有什么关系？
实践探究2：在同一坐标系中做出下列函数的图像： ； ；
观察发现2： 二次函数y=a(x+h)2+k (a0),a决定了二次函数图像的开口大小及方向； 而且“a正开口向上，a负开口向下”；｜a｜越大开口越小；
h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；
k决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”。
巩固性训练二：１.将二次函数y=3x2的图像平行移动,顶点移到（－３，２），则它的解析式为
Y=3(x+3) 2+2 。
2.二次函数y=f(x)与y=g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，已知函数g(x)=x2+1，f(x)图像的顶点为(3,2)，则f(x)的表达式为 Y=(x-3) 2+2 。
探索问题3：，和的图像之间有什么关系？
观察发现3：一般的，二次函数， 通过配方就可以得到它的恒等形式：。 从而知道，由 的图像经过平移就可以得到。
发展性训练：1. 由y=3(x+2)2+4的图像经过怎样的平移变换，可以得到y=3x2的图像.
右移2单位，下移4单位
2. 把函数y=x2-2x的图像向右平移２个单位，再向下平移３个单位所得图像对应的函数解析式为 ： Y =(x-2)2-2(x-2)-3 = x2- 6x+5 = (x-3)2-4 。
（三）、例题探析
例1、把二次函数的图象向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到二次函数的图象，求b、c的值．
分析 抛物线的顶点为（0，0），只要求出抛物线的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b、c的值．
解 ．向上平移2个单位，得到，再向左平移4个单位，得到，
其顶点坐标是，而抛物线的顶点为（0，0），则
解得
探索 把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，也就意味着把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试．
例2、 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式并说出该函数的图象是由的图象如何得到的？
分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．
解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．
又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴，解得a＝－2．∴二次函数的解析式为，即y＝－2x2＋8x－7．
反思：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．
（四）．课堂小结：１.a,h,k对二次函数y =a(x+h)2+k图像的影响。２. y = x2 与y =a(x+h)2+k 的图像变换规律。
（五）．课后作业：习题2-4 A组中2、3、4
五、教学反思：
第十二课时 §4.2 二次函数的性质
一、教学目标
1、知识与技能： (1) 结合二次函数图象，研究二次函数所具有的性质,从解析式到定义域、值域、单调性,对称性等不同的角度认识二次函数,熟知性质. (2) 通过二次函数的图象和函数的单调性,会求二次函数在某一区间上的最值或值域.
2、 过程与方法： (1)能够借助二次函数的图象，研究二次函数的性质,体会数形结合研究函数的重要性. (2)仔细体会函数的定义域对研究函数性质的影响.
3、情感.态度与价值观：通过学习二次函数的性质体会研究具体函数性质的方法和必要性与重要性，增强研究学习函数性质的积极性和自信心。
二、重难点: 重点：二次函数的性质. 难点：二次函数在区间上的值域．
三、教学方法：观察、思考、探究.
四、教学过程
（一）、新课导入
在初中，我们已经学习了二次函数，知道其图象为抛物线，并了解其图像的开口方向、对称轴、顶点等特征，本节课将进一步研究一般的二次函数的性质。
（二）、新知探究
1．二次函数性质包括图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值、最小值.请画出函数的图像并回答出其性质。
对于二次函数配方为___________________________.当时，它的图像开口向_______，顶点坐标为_________________，对称轴为_____________；在_________上是减少的，在___________上是增加的，当____________时，取得最______-值。当时，它的图像开口向________，顶点坐标为_________________，对称轴为_____________；在_________上是减少的，在___________上是增加的，当____________时，取得最______值。2．请说出二次函数和的性质. ( http: / / www. )
3.感悟归纳: 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
(1).顶点坐标与对称轴；(2).位置与开口方向；(3).增减性与最值
当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当 时，函数y有最小值 。当a ﹤0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。当 时，函数y有最大值
4.探索二次函数与一元二次方程
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
(1).每个图象与x轴有几个交点？(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根 验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗 (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
归纳: (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: ①有两个交点,②有一个交点,③没有交点.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
当b2-4ac﹥0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0=ax2+bx+c的两个根x1与 x2；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b2-4ac﹤0时，抛物线与x轴没有交点。举例: 求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。
结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ x1，0），B（x2,0）
（三）、例题探析
例1、已知函数y= x2 -2x -3 , （１）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图；(2)求图象与坐标轴交点构成的三角形 的面积：（3）求出它的单调区间、最大值或最小值。
例2、你能利用函数单调性的定义证明函数的单调性吗 试试看,请写出证明过程。
分析：设,任取,且,
利用单调性的定义可证。
由函数单调性的定义,在__________上是减少的,同理可证在_________上是增加的。
练习：1、请同学们证明当时, 函数的单调性。
2、对于二次函数来说,你可以通过哪些量说出函数的性质 ,画出函数的图像
（三）.巩固练习: 请完成课本练习：p42. 1,2
（四）.尝试提高:1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，
则a、b、c的符号为__________.
2、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：
⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a其中正确的结论的个数是（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
3、若函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
4、若函数，的值域（ ）．
A． B． C． D．
（五）.学习感想: 1、你能正确地说出二次函数的性质吗？2、你能用“五点法”快速地画出二次函数的图象吗？你能利用函数图象回答有关性质吗？
（六）、作业: 课本习题:A组4-8,B组1-4
五、教学反思：
第十三课时 函数的最大（小）值
一．教学目标
1．知识与技能：
理解函数的最大（小）值及其几何意义．
学会运用函数图象理解和研究函数的性质．
2．过程与方法：
通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识．
3．情态与价值
利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极性．
二．教学重点和难点：教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义
教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
三．学法与教学方法
1．学法：学生通过画图、观察、思考、讨论，从而归纳出求函数的最大（小）值的方法和步骤．2．教学方法：观察、思考、探究.
四．教学过程
（一）创设情景，揭示课题．
画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
① ②
③ ④
（二）研探新知
1．函数最大（小）值定义
最大值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得．那么，称M是函数的最大值．
思考：依照函数最大值的定义，结出函数的最小值的定义．
注意：
①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在，使得；
②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的，都有．
2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．
①配方法 ②换元法 ③数形结合法
（三）质疑答辩，排难解惑．
例1．（教材P36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．
解（略）
例2．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？
解：设利润为元，每个售价为元，则每个涨（－50）元，从而销售量减少
∴＜100）
∴ 答：为了赚取最大利润，售价应定为70元．
例3．求函数在区间[2，6] 上的最大值和最小值。解：（略）
例4．求函数的最大值．
解：令
（四）巩固深化，反馈矫正．
（1）P38练习4 （2）求函数的最大值和最小值．【作图】
（3）如图，把截面半径为25cm的图形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为，面积为，试将表示成的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？
解析：设矩形的另一边长为a,则有
∴有即
∴
当时，即矩形为正方形其边长为cm时截面面积最大。
（五）归纳小结
求函数最值的常用方法有：
（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值．
（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值．
（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值．
（六）设置问题，留下悬念
1．课本P45（A组） 6．7．8
2．求函数的最小值． 【代换法】
3．求函数．
① ② ③
五、课后反思：
第十四课时 函数的基本性质运用
一、课 型：练习课
二、教学目标：掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。
三、教学重点：掌握函数的基本性质。教学难点：应用性质解决问题。
四、教学方法：观察、思考、探究.
五、教学过程：
(一)、复习准备：
1.讨论：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？
2.提问：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义？
(二)、教学典型习例:
1.函数性质综合题型：
①出示例1：作出函数y＝x－2|x|－3的图像，指出单调区间和单调性。
分析作法：利用偶函数性质，先作y轴右边的，再对称作。→学生作 →口答→ 思考：y＝|x－2x－3|的图像的图像如何作？→
②讨论推广：如何由的图象，得到、的图象？
③出示例2：已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数
分析证法 → 教师板演 → 变式训练
④讨论推广：奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系？
（偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致）
2. 教学函数性质的应用：
①出示例 ：求函数f(x)＝x＋ (x>0)的值域。
分析：单调性怎样？值域呢？→小结：应用单调性求值域。 → 探究：计算机作图与结论推广
②出示例：某产品单价是120元，可销售80万件。市场调查后发现规律为降价x元后可多销售2x万件，写出销售金额y(万元)与x的函数关系式，并求当降价多少个元时，销售金额最大？最大是多少？
分析：此题的数量关系是怎样的？函数呢？如何求函数的最大值？
小结：利用函数的单调性（主要是二次函数）解决有关最大值和最大值问题。
3.基本练习题：
（1）、判别下列函数的奇偶性：y＝＋、 y＝
（变式训练：f(x)偶函数，当x>0时，f(x)=….，则x<0时，f(x)= ）
解析： y＝＋的定义域为，∴定义域关于原点对称。
又，∴是偶函数。
y＝的定义域为R，∴定义域关于原点对称。
当时，∴，当时，∴
当时，∴是奇函数。
（2）、求函数y＝x＋的值域。
解析：令，则，，∴=
∴当t=0时，函数y＝x＋的值域为。
3）、判断函数y=单调区间并证明。
（定义法、图象法； 推广： 的单调性）
解析：，作图得
Y
函数y=单调递减区间为
1
-1 O X
证明可用单调性的定义和奇偶性的性质。
（4）、讨论y=在[-1,1]上的单调性。 （思路：先计算差，再讨论符号情况。）
解析：，
=，∴y=在上为减函数。
又y=在[-1,1]上是偶函数，∴y=在为增函数。
(三)、巩固练习
1.求函数y=为奇函数的时，a、b、c所满足的条件。 （c=0）
【利用奇函数的定义】（c=0）
2.已知函数f(x)=ax+bx+3a+b为偶函数，其定义域为[a-1,2a]，求函数值域。
解析：∵函数f(x)=ax+bx+3a+b为偶函数，∴b=0,又其定义域为[a-1,2a]，∴定义域关于原点对称，∴2a=a-1,即a=-1,∴,则函数值域为。
3. f(x)是定义在(-1,1)上的减函数，如果f(2－a)－f(a－3)<0。求a的范围。
解析：f(x)是定义在(-1,1)上的减函数，又f(2－a)－f(a－3)<0，∴
∴解得
4. 求二次函数f(x)=x－2ax＋2在[2,4]上的最大值与最小值。
解析：配方，讨论对称轴与区间的位置关系，结合图象解决。
（四）、小结：
本节课通过讲练结合全面提高对函数单调性和奇偶性的认识，综合运用函数性质解题
（五）、作业布置： P44页A组9、10题 B组6题
五、课后反思：
第十五课时 幂函数
一．教学目标：1．知识技能：（1）理解幂函数的概念；（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.
2．过程与方法：类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.
3．情感、态度、价值观：（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.
二．重点、难点
重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质
难点：从幂函数的图象中概括其性质
三、教法、学法
1、学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质；2、教法：探析交流、讲练结合。
四、教学过程
（一）、引入新知
阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题.
（1）它们的对应法则分别是什么？
（2）以上问题中的函数有什么共同特征？
让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论
答：1、（1）乘以1 （2）求平方 （3）求立方 （4）求算术平方根 （5）求－1次方
2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：，其中是自变量，是常数.
（二）、探究新知
1．幂函数的定义
一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.
如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.
2．研究函数的图像
（1） （2） （3） （4） （5）
提问：如何画出以上五个函数图像
引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.
让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质.
通过观察图像，填P91探究中的表格
定义域 R R R
奇偶性 奇 奇 奇 非奇非偶 奇
在第Ⅰ象限单调增减性 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递减
定点 （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （1，1）
3．幂函数性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：）；
（2）＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.
特别地，当＞1，＞1时，∈（0，1），的图象都在图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）
当∠α＜1时，∈（0，1），的图象都在的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）
（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.
在第一家限内，当向原点靠近时，图象在轴的右方无限逼近轴正半轴，当慢慢地变大时，图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴.
例题：例1．证明幂函数上是增函数
证：任取＜则
= =
因＜0，＞0 所以，即上是增函数.
思考：
我们知道，若得，你能否用这种作比的方法来证明上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？
例2．利用函数的性质 ，判断下列两个值的大小
（1） （2） （3）
分析：利用幂函数的单调性来比较大小.
（三）、课堂练习
画出的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性.
（四）、归纳小结：提问方式
（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？
（2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？
（五）、作业： P92 习题 2.3 第2、3 题
五、课后反思：
第十六课时 第二章《函数》 小结与复习（一）
一、教学目标：1、知识与技能：（1）总结知识,形成网络（2）了解函数的概念和函数的定义域、值域；并会求函数的解析式和函数的定义域、值域；（3）会用函数的三种方法表示函数；了解简单的分段函数及应用；（4）会求函数的解析式。
2、 过程与方法：（1）通过例题讲解让学生回顾掌握函数的有关概念,表示方法．（2）归纳整理本章所学知识使知识形成网络．
3、情感．态度与价值观：学生感受到学习函数后有收获，增强学好数学的信心．
二、教学重难点：重点: 复习函数的解析式,定义域,值域的求法．难点：求函数的定义域值域的方法．
三、教学方法：探析归纳，讲练结合。
四、教学过程
（一）、函数的知识归纳、建构知识网络:
（二）、复习函数的基础知识
1．函数的概念：
2．函数的表示方法常用的有：解析法、列表法、图象法
3．分段函数的表示方法:
4．函数的单调性的定义及其应用
5．函数的奇偶性
6．二次函数的图像与性质
7．幂函数
（三）、应用举例
1．函数的定义域:
例1．已知函数的定义域为,的定义域为,则
（ ）． D
练习1: 函数y=+的定义域为（ ）． D
A．{x|x≥1或x≤-1} B．{x|-1≤x≤1} C．{1} D．{-1,1}
例2．函数的定义域为[-2,1],则的定义域为（ ）． A
练习2:若函数的定义域为[-3,1],则函数的定义域为（ ）．C
A．[-3,3] B．[-3,1] C．[-1,1] D．[-1,3]
反思归纳：求函数的定义域的常见类型及求法。
2．函数的值域
例3．已知集合,集合,则（ ）．C
且
练习3．已知函数的值域是,求实数的取值范围．
【】
例4．函数的值域是（ ）．C
练习4．函数的最大值为，最小值为，则（ ）． C
A． B． C． D．
反思归纳：求函数的值域和求最值的常见类型及求法。
3．求函数值．
例5．已知f(x)= ,求f[f(0)]的值_____________．
练习5．函数对于任意实数满足条件，若，则
= ．【先探究周期，再求值答案： 】
解析：由 知周期为4，令得
反思归纳：求函数值的常见方法。
4．求函数解析式
例6．已知，求及的解析式．【换元代入法】
练习6．已知函数,其中是x的正比例函数,是x的反比例函数,且,,求的表达式．【待定系数法】
（四）、课堂小结：1、本课归纳整理本章所学知识使知识形成网络．2、要求大家理解和掌握函数的概念和函数的定义域、值域；并会求函数的解析式和函数的定义域、值域；会用函数的三种方法表示函数；会求函数的解析式。
（五）、作业:复习参考题A组3,4,5,7
五、教学反思：
第十七课时 第二章《函数》 小结与复习（二）
一、教学目标
1、知识与技能：（1）总结知识,形成网络；
（2）掌握函数单调性的定义和函数奇偶性的定义；
（3）会用定义判断函数的单调性和奇偶性；
（4）掌握二次函数的图像与性质,并学会图像的变换；
（5）了解简单的幂函数。
2、 过程与方法：(1)通过例题讲解让学生回顾掌握函数的两条重要的性质单调性和奇偶性．
(2)让学生归纳整理本章所学知识使知识形成网络．
3、情感．态度与价值：学生感受到学习函数的性质对研究函数的重要性，增强学好函数的信心。
二、教学重点: 复习函数的单调性和奇偶性和二次函数．
教学难点：判断函数的单调性和奇偶性．
三、学法指导：学生通过自主整理、回顾复习．
四、教学过程
（一）、函数的知识导图:
（二）、复习函数的基础知识
1．函数的单调性的定义及其应用
2．函数的奇偶性
3．二次函数的图像与性质
4．幂函数
（三）、应用举例
1．函数的单调性
例1．下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是（ ）．
答案:D
解析:函数f(x)=3-x为减函数, f(x)=x2-3x在上为减函数,在上是增函数,
在(0,+∞)上为减函数,只有函数f(x)=-在(-2,+∞)上是增函数,所以在(0,+∞)上为增函数．故选择D．
练习1．已知 f(x)=x2-2x+8,如果g(x)=f(x+2),则g(x)（ ）．
A．在区间(-,1)上是单调减函数,在区间[1,+]上是单调增函数
B．在区间(-,0)上是单调减函数,在区间[0,+]上是单调增函数
C．在区间(-,-1)上是单调减函数,在区间[-1,+]上是单调增函数
D．在区间(-,3]上是单调减函数,在区间[3,+)上是单调增函数
答案:C
解析:因为f(x)=x2-2x+8,所以g(x)= f(x+2)=(x+2)2-2(x+2)+8=x2+2x+8=(x+1)2+7,所以g(x)在区间(-,-1]上是单调减函数,在区间[-1, +)上是单调增函数．
反思归纳：判断函数单调性的方法有①图象法；②按复合函数的判断方法同向增异项减；③定义法。
2．函数的奇偶性
例2．函数是（ ）．
A．奇函数 B.偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
答案:B．
解析:函数的定义域为[-1,1],
又,所以为偶函数．
练习2: 判断下列函数的奇偶性：
①, ②,③
反思归纳：奇偶性的判断方法先判断定义域是否关于原点对称，再利用奇偶性的定义式或变形定义式验证。
3．二次函数:
例3．已知函数在上递增，则的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
练习3: 已知二次函数的图像开口向上，且，，则实数取值范围是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
反思归纳：要熟练掌握二次函数的性质和图象，会图像的变换。
（四）、课堂小结：本课要求大家理解和掌握函数单调性的定义和函数奇偶性的定义；会用定义判断函数的单调性和奇偶性；掌握二次函数的图像与性质,并学会图像的变换；了解简单的幂函数。
（五）、作业:复习参考题 A组9,10, B组4,5 C组1
五、教学反思：
第十八课时 第二章《函数》 小结与复习（三）
一、教学目标： 1.熟悉并掌握函数的对称语言.2.进一步熟悉二次函数性质及其应用.3.把握数形结合的特征和方法.4.能够应用函数思想解题.5.了解与函数有关的数学模型.
二、教学重点：数形结合的特征与方法。
教学难点：函数思想的应用
三、授课类型：复习课
四、教学方法：探究归纳，讲练结合
五、教学过程
（一）、引入：
通过上一节学习，大家了解了本章内容的整体结构，明确了本章的重难点知识，并熟悉了有关函数的基本概念和基本方法，这一节，我们将通过例题分析重点掌握数形结合的特征与方法，并进一步认清函数的思想实质，进而掌握其应用.
（二）、例题分析：
例1、若函数f(x)=x+bx+c对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x)，那么（ ）
A.f(2)＜f(1)＜f(4) B.f(1)＜f(2)＜f(4)
C.f(2)＜f(4)＜f(1) D.f(4)＜f(2)＜f(1)
分析：此题解决的关键是将函数的对称语言转化为对称轴方程.
解：由f(2+x)=f(2-x)可知：函数f(x)的对称轴为x=2,由二次函数f(x)开口方向向，可得f(2)最小，又f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)在x＜2时，y=f(x)为减函数∵0＜1＜2，∴f(0)＞f(1)＞f(2)
即f(2)＜f(1)＜f(4)答案：A
通过此题可将对称语言推广如下：
（1）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a是函数f(x)的对称轴；
（2）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x=是f(x)的对称轴.
例2求f(x)=x-2ax+2在［2，4］上的最大值和最小值.
解：先求最小值.因为f(x)的对称轴是x=a，可分以下三种情况：
（1）当a＜2时，f(x)在［2，4］上为增函数，所以f(x)min=f(2)=6-4a;(2)当2≤a＜4时，f(a)为最小值，f(x)min=2-a;(3)当a＞4时，f(x)在［2，4］上为减函数，所以f(x)min=f(4)=18-8a
综上所述：f(x)min=最大值为f(2)与f(4)中较大者：f(2)-f(4)=(6-4a)-(18-8a)=12+4a
(1)当a≥3时，f(2)≥f(4),则f(x)max=f(2)=6-4a;
(2)当a＜3时，f(2)＜f(4),则f(x)max=f(4)=18-8a.
故f(x)max=
评述：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x=a与区间［2，4］的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较f(2)与f(4)的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况.
（三）、课堂练习：已知f(x)=x-4x-4,x∈［t,t+1］(t∈R)，求f(x)的最小值φ（t）的解析式.
解：f(x)=(x-2)-8(1)当2∈［t,t+1］时，即1＜t＜2时，φ(t)=f(2)=-8.
(2)当t＞2时，f(x)在［t,t+1］上是增函数，故φ(t)=f(t)=t-4t-4.
(3)当t+1＜2，即t＜1时，f(x)在［t,t+1］上是减函数.故φ(t)=f(t+1)=t-2t-7
综上所述：φ(t)=
（四）、课堂小结：本节学习了二次函数在给定区间上求最值的方法，把握数形结合的特征与方法，逐步掌握函数思想在实际问题中的应用.
（五）、课后作业：1.某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产业的年利润分别是T和Q（万元），这两项生产与投入的奖金a(万元)的关系是P=，该集团今年计划对这两项生产共投入奖金60万元，为获得最大利润，对养殖业与养殖加工生产业投入应各为多少万元？最大利润为多少万元？
解：设投入养殖业为x万元，则投入养殖加工生产业为60-x万元由题意：
P+Q= (0≤x≤60)设t=,
则0≤t≤,x=60-tP+Q=(60-t)+t=-(t-5)+
∴当t=5时，即x=35时，（P+Q）max=.
∴对养殖业投入35万元，对养殖加工生产业投入25万元，可获最大利润万元.
2、设集合,，函数
（1）设不等式的解集为C，当时，求实数的取值范围；
（2）若对任意实数，均有恒成立，求时，的值域；
（3）当时，证明
答案：（1） （2）（3）因为对称轴，
故只需证明，，即可
六、教后反思：
在变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，就有唯一确定的y值与之对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
1
300
450
600
900
3
－3
2
－2
1
－1
3
4
5
6
9
4
1
1
2
3
4
5
6
1
4
9
1
－1
2
－2
3
－3
1
2
3
300
450
600
900
1
-1
0
1
a
b
a
b
c
0
1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
0
0
1
y
x
o
x
-1
1
0
y
25
0
y=x-1
y=x3
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