新课标A版必修2直线的倾斜角和斜率

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直线的倾斜角和斜率1
学习目标：了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念；理解直线的倾斜角和斜率的定义；已知直线的倾斜角，会求直线的斜率；已知直线的斜率，会求直线的倾斜角
教学过程
直线和圆都是最常见的简单几何图形，在生产实践和实际生活中有广泛的应用。初中几何对直线和圆的基本性质作了比较系统的研究，初中代数研究了一次函数图象及其性质，高一数学研究了三角函数、平面向量，直线和圆的方程的内容以上述知识为基础，直线和圆的方程是解析几何的基础知识，在解决实际问题中有广泛的应用。本节要研究的是直线的两个基本概念，即直线的倾斜角和斜率。
1、复习回顾
⑴回顾一次函数的图象及性质
　　形如y=kx+b(k≠0)叫做一次函数；它的图象是一条直线；当k＞0时，在R上是增函数，当k＜0时，在R上是减函数。
⑵画出下列一次函数的图象
① y = 2x + 4 ② y = －2x + 2
小结：作一次函数图象的方法－由于两点确定一条直线，故可在直线上任取两点，通常取点(0 , b)与(－b/k , 0)。
　　研究两点（－2,0）、（0,4）与函数式y = 2x + 4的关系是：这两点就是满足函数式的两对x、y的值。
　　由作图知满足函数式y = 2x + 4的每一对x、y的值都是函数y = 2x + 4上的点；这条直线上的点的坐标都满足函数式y = 2x + 4。
小结：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b(k≠0)的每一对x、y的值为坐标的点构成的。
由于函数式y=kx+b(k≠0)也可以看成二元一次方程，所以我们说，这个方程的解和直线上的点存在这样的对应关系。
2、讲授新课
⑴直线方程的概念
以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。
　　在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线和方程的这种关系，建立直线的方程，并通过方程来研究直线的有关问题，为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率。正面请同学们阅读教材P34－35，理解直线的倾斜角和斜率的定义，并注意它们的变化范围。（5分钟）
⑵直线的倾斜角
①定义:
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0 。
②范围：0 ≤α＜180
　y y
l
l
　　　　　α α
o x o x
⑶直线的斜率
定义：倾斜角不是90 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示，即
　　　　　
练习：
⑴下列关于直线的倾斜角和斜率的哪些说法是正确的？
①任一条直线都有倾斜角
②任一条直线都有斜率
③直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
④平行于x轴的直线的倾斜角是0或π
⑤若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等
⑥直线斜率的范围是（－∞，＋∞）
说明：
①当直线和x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0
②倾斜角的范围是0 ≤α＜180
③倾斜角是90 的直线没有斜率
④倾斜角α与斜率k的关系是
　　
练习：
①直线l的斜率为k，倾斜角为α，若－1A、(－π/4, π/4) ) B、[0, π/4)∪(3π/4, π)
C、(0, π/4)∪(π/2, 3π/4) D、[0, π/4)∪(3π/4, π］
②直线l的斜率为k，倾斜角为α，若π/4<α<3π/4，则k的范围是（　）
A、(－1,1) B、(―∞,―1)∪(1,+∞)
C、［－1,1］ D、(―∞,―1］∪［1,+∞)
4、归纳总结
数学思想：数形结合、分类讨论
数学方法：图象法、公式法
知识点：倾斜角、斜率、过两点的斜率的公式
思考题：直线过点A（1，2）,　B（m，3），求直线AB的斜率与倾斜角。
分析：当直线的斜率不存在时，m＝1，此时倾斜角为π/2。
　　　当直线的斜率存在时，设斜率为k，倾斜角为α，此时m≠1,k = tan α= (3－2)/(m－1）=1/(m－1).
（1）当m＞1时，k＞0，倾斜角为锐角，α＝arctan1/(m－1)；
（2）当 m＜1时，k＜0，倾斜角为钝角，α＝π＋arctan1/(m－1)。
直线的倾斜角和斜率2
学习目标：⑴熟记过两点的直线的斜率公式的形式特点及适用范围⑵了解斜率的简单应用⑶进一步了解向量作为数学工具在学习数学中的特殊作用。⑷认识事物之间的普遍联系与一定条件下的相互转化，学会用联系的观点看问题。
教学过程
1、复习回顾
⑴倾斜角的定义与范围
⑵斜率的定义
2、过两点的直线的斜率公式、形式特点
⑴方向向量：
　　
　　　　　　y y
P2 P2
P1 P1
α α α α
　 o x o x
　　直线上的向量及与它平行的向量都称为直线的方向向量。直线P1P2的方向向量的坐标是（x2－x1，y2－y1）,其中P1（x1,y1），P2（x2,y2）；当直线P1P2与x轴不垂直时，x2≠x1，此时也是直线P1P2的方向向量，且它的坐标是，即（1，k），其中k为直线P1P2的斜率。
注：方向向量与x轴所成的最小正角与直线l的倾斜角相等。
⑵斜率公式
　　经过两点P1（x1,y1），P2（x2,y2）的直线的斜率公式是：
　　　　　　　
推导如下：
　　设直线P1P2的倾斜角为α，斜率为k，向量（如下图），向量,则点P（x2－x1 , y2－y1）,而且直线OP的倾斜角也是α，根据21世纪教育网的定义有
，即。
　　　同样，当向量
小结：斜率公式的形式特点
　　⑴斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒。
　　⑵斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需要求出直线的倾斜角。
　　⑶斜率公式中，当x1＝x2时不适用，此时直线和x轴垂直，直线的倾斜角α＝90°。
3、应用举例
例　如图，直线l1的倾斜角为α1＝30°，直线l2⊥l1，求直线l1、l2的斜率。
解：l1的斜率k1=tanα1=tan30°=
l1
　　 ∵l1⊥l2 l2
∴l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°
∴l2的斜率k2＝tan120°＝－ α1 α2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 o 　 x
例1直线过点A（－2，0）,　B（－5，3），求直线AB的斜率。
解：k＝(3－0)/[(－5)－(－2)]＝－1
　　又α∈［0°,180°）　　　　∴α＝135°
　　因此，这条直线的斜率是－1，倾斜角是135°
　变：①直线过点A（sin75°，cos75°）,　B（sin15°，cos15°），求直线AB的斜率。
解：设直线AB的倾斜角为α，则tanα= (cos75°－cos15°)/(sin75°－sin15°)＝－2sin45°sin30°/2cos45°sin30°＝－1
又α∈［0°,180°）　　　　∴α＝135°
因此，这条直线的斜率是－1，倾斜角是135°
②m为何值时，经过两点A（m，0）,　B（－5，1－m）的直线AB的斜率是－1？
分析：
③m为何值时，经过两点A（m，0）,　B（－5，1－m）的直线AB的倾斜角为π/4？
例2　分别在下列条件求直线的倾斜角和斜率
⑴直线l的倾斜角α的正弦值是1/2；
⑵直线l的方向向量。
分析：⑴由已知条件求出直线的倾斜角α，再来求直线的斜率。注意　到α∈[0，π），而sinα= 1/2，因此求角时，要分α为锐角与钝角来求。　　　　　　　⑵抓住直线P1P2的方向向量的坐标是（x2－x1，y2－y1）,其中P1（x1,y1），P2（x2,y2）与过两点P1（x1,y1）、P2（x2,y2）的直线的斜率公式的结构关系来求。
解：⑴∵α∈[0，π），又sinα= 1/2
　　　∴α为锐角时，α＝π/6；α为钝角时，α＝5π/6。
　当α＝π/6时，斜率k＝tanπ/6 ＝；
　当α＝5π/6时，斜率k＝tan5π/6 ＝－。
变：①直线l的倾斜角α的正弦值是3/4，则倾斜角与斜率又是什么？
解：∵α∈[0，π），又sinα= 3/4
　　　∴α为锐角时，α＝arcsin3/4；α为钝角时，α＝π－arcsin3/4。
　当α＝arcsin3/4时，斜率k＝tanα ＝4/5
　当α＝π－arcsin3/4，斜率k＝tanα ＝－4/5。
②直线l的斜率是3/4，直线l1的倾斜角是直线l倾斜角的两倍，则直线l1倾斜角与斜率又是什么？
解：设直线l的倾斜角是α，直线l1的倾斜角是θ，则θ＝2α
由题意知tanα=3/4, ∴tanθ= tan2α= 2tanα/(1－tan2α)= 24/7
∴直线l1倾斜角是arctan24/7,斜率是24/7。
　⑵∵直线l的方向向量
∴直线l的斜率,故倾斜角α＝5π/6。
例3　试证：三点A（－2,3）、B（7,6）、C（4,5）在同一直线上。
分析：当直线的斜率存在时，A、B、C三点共线
解：∵三点A（－2,3）、B（7,6）、C（4,5）
　　∴
∴A、B、C三点共线。
变：①若三点A（－2,3）、B（7,a）、C（4,5）在同一直线上，则a=
分析：(a―3)/[7―(―2)]= (5―3)/[4―(―2)],∴a = 6
②若三点A（－2,b）、B（7,a）、C（4,5）在同一直线上，且直线的斜率是1/3，则a= ,b= 。
例4　如图所示直线l1、l2、l3的　　　　　　　l1　　　　　y
斜率分别为k1、k2、k3，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　l2
　A、k1＜k2＜k3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
B、k3＜k1＜k2
C、k3＜k2＜k1 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　l3
D、k1＜k3＜k2
　
例5　直线l的倾斜角α满足sinα+cosα＝1/5,则l的斜率为
A、4/3 B、3/4 C、－4/3或－3/4 D、－4/3
解：∵sinα+cosα＝1/5　　　∴1＋2 sinαcosα＝1/25
　　即2sinαcosα＝－24/25　
　　又α∈[0，π）　　　　　∴α为钝角
　又（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝49/25
　∴ sinα－cosα＝7/5 ∴ sinα＝4/5，cosα＝－3/5
∴ 直线l的斜率k＝tanα＝sinα/cosα＝－4/3。
例6　已知直线l过点P（－4,7.59），且与A（－11.19，－6.46）、B（9.97,0）为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围。
　　　　　　　　　　　　　Y
P
O B x
A
分析：如图所示，直线l是一簇绕点P旋转而成的直线，直线PA、PB是它的两个极端位置。当l从直线PA的位置逆时针旋转到直线PB的位置时，其倾斜角从锐角α1连续变化到钝角α2，故它的斜率从tanα1逐渐增大到＋∞，又从－∝逐渐增大到tanα2　。
解：∵kPA = 1.95, kPB = －0.54
∴直线l与线段AB有公共点时，斜率k的变化范围是(－∞,－0.54] ∪[1.95,＋∞]
例7：若直线l经过点P（1,2），且斜率为1，求直线l的方程。
分析：直线l的方程也就是直线上任意一点所应满足的方程，设Q(x,y)为直线上的任一点，则kPQ= 1,即(y―1)/(x―1)= 1(x≠1),整理得y―2=x―1
又点（1,2）符合上述方程，且直线l上的点都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以直线l的方程为y=x+1.
4、归纳总结
数学思想：数形结合、分类讨论
数学方法：图象法、公式法
知识点：倾斜角、斜率、过两点的斜率的公式
k = tanα（α≠90 ）
Y
D
D
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