11.3角平分线的性质
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课件26张PPT。11.3角平分线的性质 如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC。将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线。你能说明它的道理吗？探究E你能从上面的探究得出作已知角的
平分线的方法吗？已知： AOB 求作： AOB的平分线作法: (1)以O为圆心，适当长为
半径作弧，交OA于M，交OB于N。
(3)作射线OC。射线OC即为所求。 (2)分别以M、N为圆心，大于1/2
MN的长为半径作弧，两弧在 ∠AOB
的内部交于点C。ABOCMN练习平分平角∠AOB，通过上面的步骤得
到射线OC以后，把它反向延长得到直
线CD，直线CD与直线AB是什么关系？ ABOCD如图：将∠AOB对折，再折出一个
直角三角形(使第一条折痕为斜边)，
然后展开，观察两次折叠形成的三
条折痕，你能得出什么结论？ AOB可以看出，第一条折痕OC是∠AOB
_________第二次形成了____条折痕，
分别为__________,
是角平分线上的一
点到∠AOB两边的_______这两个距离_______平分线2PD、PE距离相等角平分线的性质定理：定理 1 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。定理应用所具备的条件：定理的作用： 证明线段相等。应用定理的书写格式：PD = PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等。）∵推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。（已知）OABED辨析：如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD吗?为 什么?CPPD,PE没有垂直于OA,OB,它们不是角平分线上任一点到这个角两边的距离,所以不一定相等.已知：OC是∠AOB 的平分线，P在OC上，
PD⊥OA于D， PE⊥OB于E，求证：PD=PE分析：仔细观察图形，思考证明两条线断
相等的方法有哪些？△PDO≌ △PEO吗？练习：
1. 如图，△ABC中，∠C=90°，D 在AC 上，DE⊥AB与E，且 DE=DC，∠CBD=2∠A， 则∠A=＿＿＿＿＿。2. 如图，在CD上找一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点的位置在哪里？18°P 如图，要在S区建一个集贸市场，
使它到公路，铁路距离相等，离公
路与铁路交叉处500米。这个集贸
市场应建于何处(在图上标出它的
位置，比例尺为1:20000)？思考我们知道，角平分线上的点到
____________相等到角两边的距离相等的点是否在
角的平分线上呢？你能证明吗？角两边的距离已知：P是∠AOB内一点，且PD⊥OA于D，
PE⊥OB于E，PD=PE，求证：OC是∠AOB
的平分线。分析：如果要证OC是∠AOB的平分线，
即要证∠AOC______ ∠COB
△PDO≌ △PEO吗？∠AOC=∠COB吗？
= 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 已知：如图， ， ， 垂足分别是 D、E，PD=PE，
求证：点P在 的角平分线上。证明：经过点P作射线OC. 在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，（ HL）（全等三角形的对应角相等） OP = OP （公共边）PD = PE （ 已 知 ）定理 2C（垂直定义）定理 2的应用书写格式：OP 是 的平分线PD= PE （到角的
两边的距离相等的点在角的平分线上）
∵到角两边的距离相等的点在
角的平分线上根据这个结论，就知道这个集贸
市场应建于何处了，请你计算出来例：如图，△ABC的角平分线BM，
CN相交于点P。
求证：点P到三边AB，BC，
CA的距离相等。BACPMN证明：
过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，
CA，垂足为D、E、F，BACPDEFMN∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
PD⊥AB， PE⊥BC∴PD=PE同理 PE=PF∴PD=PE=PF即点P到三边AB，BC，CA的距离相等想一想，点P在∠A的平分线上吗？
这说明三角形的三条角平分线有
什么关系？三角形的三条角平分线交于一点，
并且它到三角形三边的距离相等。练习如图，△ABC的∠B的外角的平分线
BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P。
求证：点P到三边AB，BC，CA
所在直线的距离相等。CBAPDE定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理 2 到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。∵PD = PE用途：证线段相等用途：判定一条射线是角平分线练一练 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?
想一想 在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?拓展与延伸2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。D拓展与延伸3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
平分线的方法吗？已知： AOB 求作： AOB的平分线作法: (1)以O为圆心，适当长为
半径作弧，交OA于M，交OB于N。
(3)作射线OC。射线OC即为所求。 (2)分别以M、N为圆心，大于1/2
MN的长为半径作弧，两弧在 ∠AOB
的内部交于点C。ABOCMN练习平分平角∠AOB，通过上面的步骤得
到射线OC以后，把它反向延长得到直
线CD，直线CD与直线AB是什么关系？ ABOCD如图：将∠AOB对折，再折出一个
直角三角形(使第一条折痕为斜边)，
然后展开，观察两次折叠形成的三
条折痕，你能得出什么结论？ AOB可以看出，第一条折痕OC是∠AOB
_________第二次形成了____条折痕，
分别为__________,
是角平分线上的一
点到∠AOB两边的_______这两个距离_______平分线2PD、PE距离相等角平分线的性质定理：定理 1 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。定理应用所具备的条件：定理的作用： 证明线段相等。应用定理的书写格式：PD = PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等。）∵推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。（已知）OABED辨析：如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD吗?为 什么?CPPD,PE没有垂直于OA,OB,它们不是角平分线上任一点到这个角两边的距离,所以不一定相等.已知：OC是∠AOB 的平分线，P在OC上，
PD⊥OA于D， PE⊥OB于E，求证：PD=PE分析：仔细观察图形，思考证明两条线断
相等的方法有哪些？△PDO≌ △PEO吗？练习：
1. 如图，△ABC中，∠C=90°，D 在AC 上，DE⊥AB与E，且 DE=DC，∠CBD=2∠A， 则∠A=＿＿＿＿＿。2. 如图，在CD上找一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点的位置在哪里？18°P 如图，要在S区建一个集贸市场，
使它到公路，铁路距离相等，离公
路与铁路交叉处500米。这个集贸
市场应建于何处(在图上标出它的
位置，比例尺为1:20000)？思考我们知道，角平分线上的点到
____________相等到角两边的距离相等的点是否在
角的平分线上呢？你能证明吗？角两边的距离已知：P是∠AOB内一点，且PD⊥OA于D，
PE⊥OB于E，PD=PE，求证：OC是∠AOB
的平分线。分析：如果要证OC是∠AOB的平分线，
即要证∠AOC______ ∠COB
△PDO≌ △PEO吗？∠AOC=∠COB吗？
= 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 已知：如图， ， ， 垂足分别是 D、E，PD=PE，
求证：点P在 的角平分线上。证明：经过点P作射线OC. 在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，（ HL）（全等三角形的对应角相等） OP = OP （公共边）PD = PE （ 已 知 ）定理 2C（垂直定义）定理 2的应用书写格式：OP 是 的平分线PD= PE （到角的
两边的距离相等的点在角的平分线上）
∵到角两边的距离相等的点在
角的平分线上根据这个结论，就知道这个集贸
市场应建于何处了，请你计算出来例：如图，△ABC的角平分线BM，
CN相交于点P。
求证：点P到三边AB，BC，
CA的距离相等。BACPMN证明：
过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，
CA，垂足为D、E、F，BACPDEFMN∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
PD⊥AB， PE⊥BC∴PD=PE同理 PE=PF∴PD=PE=PF即点P到三边AB，BC，CA的距离相等想一想，点P在∠A的平分线上吗？
这说明三角形的三条角平分线有
什么关系？三角形的三条角平分线交于一点，
并且它到三角形三边的距离相等。练习如图，△ABC的∠B的外角的平分线
BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P。
求证：点P到三边AB，BC，CA
所在直线的距离相等。CBAPDE定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理 2 到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。∵PD = PE用途：证线段相等用途：判定一条射线是角平分线练一练 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?
想一想 在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?拓展与延伸2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。D拓展与延伸3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.