课件26张PPT。11.3角平分线的性质 如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线。你能说明它的道理吗?探究E你能从上面的探究得出作已知角的
平分线的方法吗?已知: AOB 求作: AOB的平分线作法: (1)以O为圆心,适当长为
半径作弧,交OA于M,交OB于N。
(3)作射线OC。射线OC即为所求。 (2)分别以M、N为圆心,大于1/2
MN的长为半径作弧,两弧在 ∠AOB
的内部交于点C。ABOCMN练习平分平角∠AOB,通过上面的步骤得
到射线OC以后,把它反向延长得到直
线CD,直线CD与直线AB是什么关系? ABOCD如图:将∠AOB对折,再折出一个
直角三角形(使第一条折痕为斜边),
然后展开,观察两次折叠形成的三
条折痕,你能得出什么结论? AOB可以看出,第一条折痕OC是∠AOB
_________第二次形成了____条折痕,
分别为__________,
是角平分线上的一
点到∠AOB两边的_______这两个距离_______平分线2PD、PE距离相等角平分线的性质定理:定理 1 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。定理应用所具备的条件:定理的作用: 证明线段相等。应用定理的书写格式:PD = PE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等。)∵推理的理由有三个,必须写完全,不能少了任何一个。(已知)OABED辨析:如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD吗?为 什么?CPPD,PE没有垂直于OA,OB,它们不是角平分线上任一点到这个角两边的距离,所以不一定相等.已知:OC是∠AOB 的平分线,P在OC上,
PD⊥OA于D, PE⊥OB于E,求证:PD=PE分析:仔细观察图形,思考证明两条线断
相等的方法有哪些?△PDO≌ △PEO吗?练习:
1. 如图,△ABC中,∠C=90°,D 在AC 上,DE⊥AB与E,且 DE=DC,∠CBD=2∠A, 则∠A=_____。2. 如图,在CD上找一点P,使它到OA,OB的距离相等,则P点的位置在哪里?18°P 如图,要在S区建一个集贸市场,
使它到公路,铁路距离相等,离公
路与铁路交叉处500米。这个集贸
市场应建于何处(在图上标出它的
位置,比例尺为1:20000)?思考我们知道,角平分线上的点到
____________相等到角两边的距离相等的点是否在
角的平分线上呢?你能证明吗?角两边的距离已知:P是∠AOB内一点,且PD⊥OA于D,
PE⊥OB于E,PD=PE,求证:OC是∠AOB
的平分线。分析:如果要证OC是∠AOB的平分线,
即要证∠AOC______ ∠COB
△PDO≌ △PEO吗?∠AOC=∠COB吗?
= 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 已知:如图, , , 垂足分别是 D、E,PD=PE,
求证:点P在 的角平分线上。证明:经过点P作射线OC. 在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中,( HL)(全等三角形的对应角相等) OP = OP (公共边)PD = PE ( 已 知 )定理 2C(垂直定义)定理 2的应用书写格式:OP 是 的平分线PD= PE (到角的
两边的距离相等的点在角的平分线上)
∵到角两边的距离相等的点在
角的平分线上根据这个结论,就知道这个集贸
市场应建于何处了,请你计算出来例:如图,△ABC的角平分线BM,
CN相交于点P。
求证:点P到三边AB,BC,
CA的距离相等。BACPMN证明:
过点P作PD,PE,PF分别垂直于AB,BC,
CA,垂足为D、E、F,BACPDEFMN∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,
PD⊥AB, PE⊥BC∴PD=PE同理 PE=PF∴PD=PE=PF即点P到三边AB,BC,CA的距离相等想一想,点P在∠A的平分线上吗?
这说明三角形的三条角平分线有
什么关系?三角形的三条角平分线交于一点,
并且它到三角形三边的距离相等。练习如图,△ABC的∠B的外角的平分线
BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P。
求证:点P到三边AB,BC,CA
所在直线的距离相等。CBAPDE定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理 2 到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。∵PD = PE用途:证线段相等用途:判定一条射线是角平分线练一练 1、如图,为了促进当地旅游发展,某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?
想一想 在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?拓展与延伸2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。D拓展与延伸3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.