《分式方程》教案
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《分式方程》教案
教学内容
本节课主要学习可化为一元一次方程的分式方程以及应用课本P31～P35．
教学目标
1．知识与技能
能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型思想．
2．过程与方法
经历探索分式方程概念的过程，探索“实际问题”建立模型的方法．
3．情感、态度与价值观
培养从实际问题抽象、概括分式方程的数学化思想，体会数学的应用价值．
重难点、关键
1．重点：理解“实际问题”──分式方程模型的过程．
2．难点：建立分式方程的“建模”方法．
3．关键：分析实际问题中的量与量之间的关系，正确把握“建模”思想．
教学准备
教师准备：投影仪，将有关材料（含补充材料）制作成投影片．
学生准备：复习一元一次方程解法，预习本节课内容．
学法解析
1．认知起点：本节课是在学习了整式方程“建模”以及解法的前提下进行学习的，学生对应题已经经历了几次的认识．
2．知识线索：
3．学习方式：采用先回顾已学过的一元一次方程概念、解法、建模，然后利用本章引言中的问题引入，理解分式方程化归成整式方程这一本质思想．
教学过程
一、回顾交流，情境导入
【问题提出】
1．前面我们已经学过了哪些方程？是怎样的方程？如何求解呢？
教师活动：提问，引导学生回忆旧知识．（提问个别学生）
学生活动：
思考后回答：
（1）前面已经学过了一元一次方程．
（2）一元一次方程是整式方程．
（3）一元一次方程解法步骤是：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化一．
2．（显示投影片1）一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
思路点拨：这是一道实际建模型的题目，但是又是我们过去熟悉的模型的演变，在设出江水的流速为v千米/时，可列出顺流航速（20+v）千米/时，逆流航速（20-v）千米/时，抓住“时间相等”建横模型．
【活动方略】
教师活动：操作投影片，分析问题情境，帮助学生回顾原有的方程模型，迁移到现有问题中去．
学生活动：共同参与到老师的分析中去，发现所得到的模型是一种新的方程．
教师引出定义：上面的方程分母含有字母，也就是说左右两边都出现了分式，我们把这样的方程称为分式方程．
教师提问：分式方程与整式方程的区别在哪里？
学生活动：通过观察，容易得到这两种方程的区别在于未知数是否在分母．未知数在分母的方程是分式方程．未知数不在分母的方程是整式方程．
教师活动：叙述提问，前面我们已经学过了一元一次方程的解法，但是分式方程中分母含有未知数，你又该如何解这个方程呢？
学生活动：与同伴交流后，有部分学生会想到将分式方程化归到我们熟悉的整式方程的思路．
师生共识：应用数学化归思想，可以通过“去分母”将分式方程转化成整式方程．
师生实践： ①
去分母：方程两边都乘以最简公分母（20+v）（20-v）
得：100（20-v）=60（20+v） ②
解得：v=5
教师提问：观察方程①、②中的v的取值范围相同吗？
学生活动：①由于是分式方程v≠±20，而②是整式方程v可取任何实数，数的范围在去分母的过程中扩大了．
【适时点评】
教师抓住学生的认知盲区，说明解分式方程可能产生“增根”（解释），因此必需注意检验，检验方程是将求出的根（如v=5），代入方程，左边等于右边，使等式仍然成立的根是方程根否则是增根．介绍简便方法是将根代入分式中使每一个分母不为零则是方程根．只要有一个为零，这个根就是增根．
二、随堂练习，巩固深化
【课堂演练】（教师板书）
解下列分式方程．
【活动方略】
教师活动：板书课堂演练，组织学生演练，引导学生观察根的情况，验证、归纳验根的方法．
学生活动：
课堂演练：
1．解：方程两边都乘以（x+1）（x-1）
得：2（x-1）+3（x+1）=6
解得：x=1
检验：当x=1时（x+1）（x-1）=0所以x=1是增根，原方程无解．
2．解：方程两边都乘以（x+2）（x-2）得
（x+3）（x-2）+（x+1）（x+2）=2（x2-4）
整理得：4x+4=0
解得：x=-1
检验：当x=-1时x2-4≠0，所以，原方程的根是x=-1．
【师生共识】
归纳小结：
（1）解分式方程的关键是如何转化成整式方程来解，转化的方法是在方程两边都乘以最简公分母，从而去掉分母．
（2）由于转化过程中同乘了含有未知数的一个整式，因而可能使未知数的取值范围扩大，容易造成增根，所以解分式方程一定要验根．
（3）验根的方法是把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．
三、阅读理解，以练促思
【指导阅读】
教师指导学生阅读课本P32～P34．思考下列问题．
1．课本P35“练习”解方程的（1）（2）（3）（4）．
2．【探研时空】
有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收取小麦9 000kg和15 000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3 000kg，分别求这两块试验田每公顷的产量．（设第一块试验田每公顷的产量为xkg，列式为）
四、课堂总结，发展潜能
1．解分式方程的基本思路，是把分式方程转化为整式方程来解，即把方程两边同时乘以各分母的最简公分母，从而约去分母，化为整式方程，然后再解整式方程．
2．解分式方程的一般步骤：
（1）在方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根．
3．用一个整式（各分式的最简公分母）去乘分式方程的两边时，有可能产生增根，因此要验根，验根的方法有两种：
（1）代入原分式方程检验，即把约去分母变为整式方程后求得的根，代入原方程中去直接检验；
（2）代入所乘的整式（即最简公分母）检验它的值是否为零，即把求得的整式方程的根，代入变形时所乘整式，如果不使所乘的整式为零，就是原方程的根，否则就是增根．
五、布置作业，专题突破
1．课本P38“习题16．3”第1题中（1）（3）（5）（7）题；第2（1）题．
2．选用课时作业设计．
六、课后反思
第一课时作业设计
【驻足“双基”】
1．要使得分式的值为0，x的值应取_____．
2．当x_____时，分式的值为1．
3．要使得关于x的方程的解为正数，a的取值范围是（ ）．
A．a> B．a< C．a= D．以上答案都不对
4．如果分式的值为零，则x=（ ）．
A．±2 B．-2 C．+2 D．以上结论都不对
5．如果关于x的方程有增根，求a的值．
【聚集“中考”】
6．解方程：=6
7．为适应国民经济持续快速协调地发展，自2004年4月18日起，全国铁路实施第五次提速，提速后，火车由天津到上海的时间缩短了7.42小时，若天津到上海的路程为1 326千米，提速前火车的平均速度为x千米/时，提速后火车的平均速度为y千米/时，则x、y应满足的关系式是（ ）．
答案:
1． 2．x=1 3．B 4．B 5．-2 6．x= 7．C
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《分式方程》教案
教学内容
本节课主要学习可化为一元一次方程的分式方程以及应用课本P31～P35．
教学目标
1．知识与技能
能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型思想．
2．过程与方法
经历探索分式方程概念的过程，探索“实际问题”建立模型的方法．
3．情感、态度与价值观
培养从实际问题抽象、概括分式方程的数学化思想，体会数学的应用价值．
重难点、关键
1．重点：理解“实际问题”──分式方程模型的过程．
2．难点：建立分式方程的“建模”方法．
3．关键：分析实际问题中的量与量之间的关系，正确把握“建模”思想．
教学准备
教师准备：投影仪，将有关材料（含补充材料）制作成投影片．
学生准备：复习一元一次方程解法，预习本节课内容．
学法解析
1．认知起点：本节课是在学习了整式方程“建模”以及解法的前提下进行学习的，学生对应题已经经历了几次的认识．
2．知识线索：
3．学习方式：采用先回顾已学过的一元一次方程概念、解法、建模，然后利用本章引言中的问题引入，理解分式方程化归成整式方程这一本质思想．
教学过程
一、回顾交流，情境导入
【问题提出】
1．前面我们已经学过了哪些方程？是怎样的方程？如何求解呢？
教师活动：提问，引导学生回忆旧知识．（提问个别学生）
学生活动：
思考后回答：
（1）前面已经学过了一元一次方程．
（2）一元一次方程是整式方程．
（3）一元一次方程解法步骤是：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化一．
2．（显示投影片1）一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
思路点拨：这是一道实际建模型的题目，但是又是我们过去熟悉的模型的演变，在设出江水的流速为v千米/时，可列出顺流航速（20+v）千米/时，逆流航速（20-v）千米/时，抓住“时间相等”建横模型．
【活动方略】
教师活动：操作投影片，分析问题情境，帮助学生回顾原有的方程模型，迁移到现有问题中去．
学生活动：共同参与到老师的分析中去，发现所得到的模型是一种新的方程．
教师引出定义：上面的方程分母含有字母，也就是说左右两边都出现了分式，我们把这样的方程称为分式方程．
教师提问：分式方程与整式方程的区别在哪里？
学生活动：通过观察，容易得到这两种方程的区别在于未知数是否在分母．未知数在分母的方程是分式方程．未知数不在分母的方程是整式方程．
教师活动：叙述提问，前面我们已经学过了一元一次方程的解法，但是分式方程中分母含有未知数，你又该如何解这个方程呢？
学生活动：与同伴交流后，有部分学生会想到将分式方程化归到我们熟悉的整式方程的思路．
师生共识：应用数学化归思想，可以通过“去分母”将分式方程转化成整式方程．
师生实践： ①
去分母：方程两边都乘以最简公分母（20+v）（20-v）
得：100（20-v）=60（20+v） ②
解得：v=5
教师提问：观察方程①、②中的v的取值范围相同吗？
学生活动：①由于是分式方程v≠±20，而②是整式方程v可取任何实数，数的范围在去分母的过程中扩大了．
【适时点评】
教师抓住学生的认知盲区，说明解分式方程可能产生“增根”（解释），因此必需注意检验，检验方程是将求出的根（如v=5），代入方程，左边等于右边，使等式仍然成立的根是方程根否则是增根．介绍简便方法是将根代入分式中使每一个分母不为零则是方程根．只要有一个为零，这个根就是增根．
二、随堂练习，巩固深化
【课堂演练】（教师板书）
解下列分式方程．
【活动方略】
教师活动：板书课堂演练，组织学生演练，引导学生观察根的情况，验证、归纳验根的方法．
学生活动：
课堂演练：
1．解：方程两边都乘以（x+1）（x-1）
得：2（x-1）+3（x+1）=6
解得：x=1
检验：当x=1时（x+1）（x-1）=0所以x=1是增根，原方程无解．
2．解：方程两边都乘以（x+2）（x-2）得
（x+3）（x-2）+（x+1）（x+2）=2（x2-4）
整理得：4x+4=0
解得：x=-1
检验：当x=-1时x2-4≠0，所以，原方程的根是x=-1．
【师生共识】
归纳小结：
（1）解分式方程的关键是如何转化成整式方程来解，转化的方法是在方程两边都乘以最简公分母，从而去掉分母．
（2）由于转化过程中同乘了含有未知数的一个整式，因而可能使未知数的取值范围扩大，容易造成增根，所以解分式方程一定要验根．
（3）验根的方法是把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．
三、阅读理解，以练促思
【指导阅读】
教师指导学生阅读课本P32～P34．思考下列问题．
1．课本P35“练习”解方程的（1）（2）（3）（4）．
2．【探研时空】
有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收取小麦9 000kg和15 000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3 000kg，分别求这两块试验田每公顷的产量．（设第一块试验田每公顷的产量为xkg，列式为）
四、课堂总结，发展潜能
1．解分式方程的基本思路，是把分式方程转化为整式方程来解，即把方程两边同时乘以各分母的最简公分母，从而约去分母，化为整式方程，然后再解整式方程．
2．解分式方程的一般步骤：
（1）在方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根．
3．用一个整式（各分式的最简公分母）去乘分式方程的两边时，有可能产生增根，因此要验根，验根的方法有两种：
（1）代入原分式方程检验，即把约去分母变为整式方程后求得的根，代入原方程中去直接检验；
（2）代入所乘的整式（即最简公分母）检验它的值是否为零，即把求得的整式方程的根，代入变形时所乘整式，如果不使所乘的整式为零，就是原方程的根，否则就是增根．
五、布置作业，专题突破
1．课本P38“习题16．3”第1题中（1）（3）（5）（7）题；第2（1）题．
2．选用课时作业设计．
六、课后反思
第一课时作业设计
【驻足“双基”】
1．要使得分式的值为0，x的值应取_____．
2．当x_____时，分式的值为1．
3．要使得关于x的方程的解为正数，a的取值范围是（ ）．
A．a> B．a< C．a= D．以上答案都不对
4．如果分式的值为零，则x=（ ）．
A．±2 B．-2 C．+2 D．以上结论都不对
5．如果关于x的方程有增根，求a的值．
【聚集“中考”】
6．解方程：=6
7．为适应国民经济持续快速协调地发展，自2004年4月18日起，全国铁路实施第五次提速，提速后，火车由天津到上海的时间缩短了7.42小时，若天津到上海的路程为1 326千米，提速前火车的平均速度为x千米/时，提速后火车的平均速度为y千米/时，则x、y应满足的关系式是（ ）．
答案:
1． 2．x=1 3．B 4．B 5．-2 6．x= 7．C
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