《勾股定理的实际应用》教案

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《勾股定理的实际应用》教案
青海油田实验中学
【初中部教案】
课题 勾股定理的应用 科目 八年级数学
课型 新授课
教材使用版本 人教版 备课教师 宋霞
教学目标
知识与能力：能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题。过程与方法：1．让学生经历将实际问题转化为直角三角形的数学模型过程，并能用勾股定理解决此问题，发展学生的应用意识。2．在解决实际问题的过程中，使学生体验解决问题的策略，发展学生的实践能力和创新精神。3．在解决实际问题的过程中，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识。情感态度和价值观：1．在利用勾股定理探索实际问题的过程中使学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。2．在解决实际问题的过程中让学生形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。
重点 将实际问题转化为直角三角形模型。
难点 如何构建直角三角形，利用勾股定理解决实际问题。
教法 通过演示,引导学生观察、联想、分析, 运用各种手段激发学习欲望和兴趣,组织学生活动,让学生主动参与学习全过程。
学法 切实体现学生的主体地位,让学生通过观察、分析、讨论、操作、归纳理解定理,提高学生的分析问题和解决问题的能力。
教具 多媒体课件、实物投影仪 学具 计算器
教 学 过 程
教师活动 学生活动 设计思路
一．创设情境：（3分钟）回顾勾股定理的内容。完成课前练习题：求直角三角形未知边长。引入课题：数学来源于生活，并回归于生活。二．实践探究：（共22分钟）出示问题一（2分钟）：小美妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机，小美量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，她觉得一定是售货员搞错了。你同意她的想法吗？你能解释这是为什么吗？ 师：根据所给的数据，你有什么发现？此问题教师重点关注：a.学生是否将简单的实际问题转化为数学模型；b.能否利用勾股定理给予合理解释；c.参加数学活动是否积极主动。出示问题二（5分钟）：一个门框，长1m，高2m，有一块长3m,宽 2米 2.2米的薄木板能否从门 框内通过？为什么？ 1米引导学生分析、解答问题。师问：①根据所给尺寸，试想木板横着、竖着能否通过？②怎样才有可能通过？由什么尺寸决定？展示规范格式。解：连接AC，在Rt△ABC中, ∠B =90 , 根据勾股定理，得：AC2 = AB2 +BC2 = 12 +22=5 ∴ AC ≈ 2.236(m)因为2. 236m>2.2m,所以该木板可以通过。此问题教师重点关注：a.学生能否发现解决问题的途径；b. .解题的格式是否规范，并利用投影展示学生在书写时出现的典型错误。出示问题三（5分钟）：大风将一根木制旗杆吹裂，随时都可能倒下，十分危急。“110”迅速赶 24米到现场，并决定从断裂处 9米将旗杆折断。现在需要划出一个安全警戒区域，那 ？么你能确定这个安全区域的半径至少是多少米吗？引导学生独立解答。师问：①此问题能否构建出直角三角形？ ②利用勾股定理解决此问题时，各量之间有什么关系？利用实物投影展示学习成果。此问题教师重点关注：a.学生能否独立思考，发现解决问题的途径。b.学生遇到困难时，是否具有克服困难的勇气和坚强的毅力。c.学生的书写格式和计算过程是否有出错，重点对易错的过程用投影展示，进一步规范书写格式。出示问题四（10分钟）：一架长为3m的梯子 AAB斜靠在墙上，梯子的 C顶端距地面的垂直距离为2.5m。如果梯子的顶端下 B D滑0.5m，那么它的底端是否也滑动0.5 m 引导学生分析、解答问题。师问：①底端是否也滑动0.5 m，其实是判断图中哪一段的长？②如何得出这一段的长度？展示成果，并注意捕捉典型错误。此问题教师重点关注：a.学生能否发现解决问题的途径； b.学生用数学知识解决实际问题的意识。c.继续关注学生中出现的典型错误，并展示。三．能力提升：（共11分钟）出示问题五（5分钟）：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面直径为5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面露出5㎝，问吸管要做多长？ 引导学生独立解答。师：看谁做的吸管又快又好？此活动重点关注：a.学生能否积极主动的参与意识；b. 学生用数学知识解决实际问题的意识。出示问题六（6分钟）：小东拿着一根长竹竿进一个宽3米的城门，他先横着拿进不去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端正好顶着城门的对角，问竿长几米？引导学生共同分析，进行解答。师问：①此问题中如何构建直角三角形？②在构建出的直角三角形中知道了几条边？另一边与已知边有什么关系？③怎样利用勾股定理来解决这个问题？在此活动中，教师应重点关注：①学生能否运用勾股定理，借助方程（或方程组）解决问题。②学生克服困难的勇气和坚强的意志力。小结：（1分钟）教师完善，得出结论：实际问题 数学问题 直角三角形五．思维拓展：（3分钟）如图，能否将一根70㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为40㎝、30㎝和50㎝的长方体盒子中？ 学生思考后回答。独立解答。学生讨论，交流，寻找解决问题的途径，并得出正确结论。学生独立思考后，得出解决此问题的关键是要知道门框对角线尺寸。并粗略计算，得出正确结论。进行交流，并仿照例题做出规范解答。学生独立解答，教师深入到学生的数学活动中，关注他们是如何将实际问题转化为数学问题的。学生讨论，交流，寻找解决问题的途径，并做出解答。解：在RtΔAOB中,∠AOB=90 ,根据勾股定理，得:OB2=AB2_AO2=2.75∴BC≈1.658(m)CO=2.5-0.5=2m,CD=AB,在RtΔCOD中， ∠COD=90 ,根据勾股定理，得：OD2=CD2-CO2=32_ 22=5, ∴OD ≈ 2.236(m)∴BD=0.578(m)所以梯子的底端不是滑动0.5m.而是0.578m.学生独立思考，寻找解决问题的途径，并做出解答。引导学生思考，师生合作完成解答过程。解：设竿长x米。则城门高（x-1）米。根据题意，列方程得：(x-1)2+32=x2 x2-2x+1+9=x2 -2x=-10 x=5答：竿高5米。学生讨论、思考。 利用学生已有知识创设问题情境，有针对性地引导学生进行练习，为学习新知做铺垫。初步感受勾股定理与生活的联系，激发学生学习新知识的欲望。初步体会勾股定理在现实生活中的广泛应用，提高解决实际问题的能力。让学生进一步体会勾股定理在现实生活中的应用，提高解决实际问题的能力。进一步熟悉如何将实际问题转化成数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题，发展学生的应用意识和应用能力。考察学生对生活知识的积累，进一步感受勾股定理与生活的联系。进一步提高学生学习数学应用数学知识的能力，使学生更加深刻地认识数学来源于生活，并能服务于生活的本质。将实际问题与数学模型再次形象地联系到一起，以期加深学生的印象。 让学生初步感受从空间图形抽象出数学模型的过程，进一步激发学生学习数学的兴趣，提升学习的能力。
六．作业布置：１．完成习题第１０题．２．预习：勾股定理的应用：在数轴上表示无理数．
七．板书设计：课题：勾股定理的实际应用实际问题 转化 数学问题 利用勾股定理 构　建直角三角形
八．课后记：
《勾股定理的实际应用》
教案说明
青海油田实验中学 宋 霞
教案 《勾股定理的实际应用》 说明
青海油田实验中学 宋霞
本节课是人教版八年级(下)数学第18章勾股定理内容之一。勾股定理按照新课程标准的要求需要3个课时来完成，我提交的是第二个课时的教案——《勾股定理的实际应用》，以下是我对该教案的说明。
一．数学本质
勾股定理作为最古老的数学定理之一，它具有独特的魅力，承载着丰富的文化内涵。勾股定理反映了直角三角形三边之间的数量关系，从边的角度进一步刻画了直角三角形的重要特征。无论是其证明还是应用都完美的体现了数形结合的数学思想，是数形结合的典范。作为初中数学的教学内容，勾股定理具有很强的工具性，初中数学的诸多教学内容，依赖于勾股定理所提供的工具支撑。而且勾股定理为很多数学问题提供了新的解决视角。其证明的多样性和应用的灵活性，也是进一步培养学生推理论证能力重要的题材。由于勾股定理的实用性，使其完美的体现了实践—理论—实践的数学认知规律，对于培训学生解决实际问题的能力具有重要的意义。
二．目标定位
新一轮课程改革明确地指出数学教学要达到三维目标的统一，即知识与技能，过程与方法，情感态度价值观的统一。教学目标的重新定位，不仅是关注知识技能的获得，更注重学生经历体验知识的产生、形成、发展的过程和注重对学生情感态度价值观的培养，从而培养学生发现问题解决问题的能力，以及创新思维。基于如上考虑，我将本节课的教学目标设定为有机联系的三个层次。一、将“知识与技能”中的“能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题” 和“过程与方法”中的“让学生经历将实际问题转化为直角三角形的数学模型过程，并能用勾股定理解决此问题，发展学生的应用意识”定为本节课必须达成的目标；二、将“过程与方法”中的“在解决实际问题的过程中，使学生体验解决问题的策略，发展学生的实践能力和创新精神”和“在解决实际问题的过程中，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识”定为一个中期目标，循序渐进的达成；三、将“情感态度和价值观”中的“在利用勾股定理探索实际问题的过程中使学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心”和“在解决实际问题的过程中让学生形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯”定为一个长期目标持续坚持下去，从而内化成学生自身具备的一种习惯。
三．教材说明：
本节课的主要内容是人教版八年级(下)数学第18章勾股定理第一节第二课时——勾股定理的实际应用。这是继勾股定理的发现过程的探究后，又一个教学的兴奋点。由于勾股定理反映的是最基本的数学规律，与学生的现实生活的联系密切，而很多问题是学生所关心的或易于引发学生好奇心的问题。就解决问题的方法而言，又具有灵活性，充分体现了数学美，对培养学生的数学兴趣十分有益。上一课时学生经历的是从实践到理论的发现过程，本节课又回归到实践，这是在理论指导下的实践，是对勾股定理的再认识，不是简单的重复，这对学生数学能力的培养意义重大。培养学生的数学建模能力和数学应用能力是数学教学的重要任务之一，勾股定理的应用提供了一个重要的素材。从知识体系上说，本节课的内容既是直角三角形性质的拓展，又是后续学习“解直角三角形”等数学知识的基础，因此，本节课不仅是对勾股定理的再认识，也是对后续学习在知识和应用能力上的准备。
四．教法特点
通过对问题的层递和人性化的设计，创设具有探究风格的教学情景，引导学生观察、联想、分析；利用多媒体的直观性和启发性，激发学习欲望和兴趣,点燃学生的思维火花；自主探究和集体合作相结合,让学生主动参与学习全过程。
多种方法相结合，充分调动学生的主动性、积极性。使学生在教师的指导下真正成为学习的主体.有利于学生对知识进行主动建构，也有利于发挥和培养学生的创造性。
五．教学设计及效果预期
整节课运用各种手段来激发学生学习的兴趣和热情,组织学生活动,让学生主动参与学习的全过程。为充分调动学生探索新知识的积极性，保证探究活动的顺利进行，根据教材内容我设计了“回顾旧知、实践探究、能力提升、课堂小结、思维拓展”五个环节。
“回顾旧知”中问题的设计意图有两个，一是利用学生已有知识创设问题情境，有针对性地引导学生进行练习，二是为学习新知做铺垫。
“实践探究”和“能力提升”这两个环节我一共设计了六个探究问题，每个问题都有各自的设计意图。并且在设计问题时，我从学生的实际水平出发，使精选的问题形成梯度，逐级上升，每个问题都力求带给学生一种新奇，一份收获。在具体操作过程中力求体现教师的主导性和学生的主体性，并充分发挥多媒体的直观性对学生进行适时的启发和引导。一开始利用“电视机尺寸”的问题，迅速提升学生学习的兴趣，对本节课的成功与否起到了至关重要的作用。接着，利用“木板进门”、 “旗杆倒下”和“梯子下滑”三个问题让学生体验到勾股定理与我们的生活是息息相关的，已经渗透到各个领域中，进一步揭示了数学来源于生活，服务于生活的本质，并有效地开启学生思维的闸门。通过自主探究和合作探究，顺利解决问题，使学生获取成功的体验，让学生保持一种积极的学习状态，对勾股定理应用的学习保持持久的热情，并在思维上逐渐深入。而后，利用“求吸管长”和“求竹竿长”问题体现勾股定理应用的灵活性，尤其是“求竹竿长”是思维方式的一种较大转变，它将几何知识与代数知识联系起来，部分学生会存在一定困难，此时进行合作探究，让思维的火花碰撞，教师做适当的提示，以集体的力量解决问题。可能部分学生在理解上会遗留一些问题，基于这种预测，课下布置了类似的题型作业，以达到加深理解和及时巩固的效果。在这个教学操作过程中要时刻注意捕捉学生在书写是出现的典型错误，及时展示，共同纠错，避免今后同样的错误出现。
“课堂小结”的设计意图是将实际问题与数学模型再次形象地联系到一起，让学生建立知识网络，以期加深学生的印象，促成知识和能力的进一步内化。
“思维拓展”这个环节中的“木棒进箱”是为了让学有余力的学生进一步提高分析问题的能力而准备的。对图形感觉薄弱的学生来说不能够理解，主要是对两个直角三角形观察和BC边身份的转换存在盲点。所以这道题只是让学生初步感受从空间图形抽象出数学模型的过程。
六、教学诊断分析：
在教学过程中，对于回顾旧知和探究活动1学生很容易解决，探究2、3、5利用多媒体的直观性学生能够做到合作完成，较容易解决；教师不需过多的提示，在教学过程中给学生充分思考的时间，注重学生在书写过程中的错误包括计算错误；对于探究4和6，部分学生在分析时可能会存在一定困难，尤其是探究6，学生可能会存在如下困难：困难①：看到题首先感觉一片茫然，不知从哪下手。这就需要及时给予提示和帮助。可以这样提示：这个实际问题中能否构建出我们所熟悉的数学模型？困难②：在思维转化上存在一定困难。也是此探究问题能否突破的关键。可以这样提示：对直角三角形中只知道一个量的情况下能否利用勾股定理来解决？三边之间有着怎样的联系？所以探究这个问题时，可以先让学生充分展开讨论，再逐步引导学生利用勾股定理的模式建立方程。困难③：计算过程中容易出现完全平方公式运用错误的情况。这就需要教师充分捕捉学生这方面的信息，发现问题及时纠正。
本节课设计的每一个环节都是以学生为主体，努力让学生自己去完成每一个所设计的问题，在本课学习活动中由始至终都力求体现学生是主动的探索者，让我们成为在学生学习过程中真正意义上的引导者，相信通过本节课的教学学生会有一个明显的提高。
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