七年级下第二章 平行线与相交线

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第二章 平行线与相交线
●课时安排
7课时
第一课时
●课 题
§2.1 余角与补角
●教学目标
(一)教学知识点
1.余角、补角及对顶角的定义.
2.余角、补角及对顶角的性质.
(二)能力训练要求
1.经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.
2.在具体情境中了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题.
(三)情感与价值观要求
通过在具体情境下的讨论，让学生理解基础知识的同时，提高他们理论联系实际的观念.
●教学重点
1.互为余角、互为补角的定义及其性质.
2.对顶角的定义及性质.
●教学难点
互为余角、互为补角、对顶角的定义的理解.
●教学方法
讲练结合法
教师在充分发挥学生的主观能动性的同时，来与学生进行交流、讨论，使之能运用本节内容解决一些实际问题.
●教学过程
Ⅰ.创设现实情景，引入新课
［师］在上册第四章“平面图形及其位置关系”中，我们学习了“平行”与“垂直”，大家想一想：什么是平行线？
［生］在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
［师］很好，在日常生活中，我们随处可见道路、房屋、山川、桥梁……等这些大自然的杰作和人类的创造物.这其中蕴涵着大量的平行线和相交线.
下面大家来看几幅图片：(出示投影片：P49的桥的图片，宫殿、建筑物、门等的图片)
你能从这些图案中找出平行线和相交线吗？
(同学们踊跃发言，都能准确地找出其中的平行线和相交线)
［师］同学们找得都对，说明大家掌握了所学内容.从今天开始，我们将深入学习这方面的内容：第二章 平行线与相交线.
在这一章里，我们将发现平行线和相交线的一些特征，并探索两条直线平行的条件，我们还将利用圆规和没有刻度的直尺，尝试着作一些美丽的图案.
相信大家，一定会学得很好.
图2－1
Ⅱ．讲授新课
［师］我们知道，光的反射是一种常见的物理现象，通过如图的实验装置我们可以验
证光的反谢定律：
活动内容：参照教材p59光的反射实验提出下列问题：
（1） 模拟试验：通过模拟光的反射的试验，为学生提供生动有趣的问题情景，将其抽象为几何图形，为下面的探索做好准备。
（2）利用抽象出的几何图形分三个层次提出问题，进行探究。
i 说出图中各角与∠3的关系。将学生的回答分类总结，从而得到余角、补角的定义。
ii 图中还有哪些角互补？哪些角互余？在巩固刚刚得到的概念的同时，为下一个问题作好铺垫。
iii 图中都有哪些角相等？由此你能够得到什么样的结论？在学生充分探究、交流后，得到余角、补角的性质。
由此，我们得到了一个新的概念：互为余角.即：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角(complementary angle),也就是说其中一个角是另一个角的余角.
只要有∠BDC+∠1=90°，就可知道∠1与∠BDC互为余角，反过来知道∠1与∠BDC是互为余角，就一定知道∠1与∠BDC的和为直角.
再之：∠1与∠BDC是互为余角就是说：∠1是∠BDC的余角，∠BDC也是∠1的余角.
大家看老师手里拿两个三角板(一边演示，一边叙述)：这一个三角板的60°的角与另一个三角板的30°的角加起来正好是90°，那么我们说这两个角是互为余角.
同学们应注意：(强调)
(1)互为余角是对两个角而言的.
(2)互为余角仅仅表明了两个角的数量关系，而没有限制角的位置关系.
［生］老师，我们知道了：两个角的和是直角，则这两个角是互为余角.刚才我们还讨论了：∠1+∠ADF=180°,∠EDB+∠1=180°.
那么这样的两个角又叫什么呢？
［师］这位同学问得好，这就是我们要学习的另一个概念：互为补角.即：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角(supplementary angle).
互为补角的概念的理解与互为余角的理解基本一样.哪些同学能尝试的说一下呢？
［生甲］只要满足∠1+∠ADF=180°，就可知道∠1与∠ADF是互为补角.反之知道∠1与∠ADF是互为补角，就一定可知道∠1与∠ADF的和是平角.
［生乙］∠1与∠ADF是互为补角，就是说：∠1是∠ADF的补角，∠ADF也是∠1的补角.
［生丙］互为补角也是对两个角而言的.与角的大小有关，而与位置无关.
［生丁］∠EDB与∠1也是互为补角.
［师］同学们回答得真棒.互为余角、互为补角都是针对两个角而言的，仅仅表示了两个角之间的数量关系，并没有限制角的位置关系.
好，下面大家来想一想.(出示投影片§2.1 A)
在下图中，CD与EF垂直，∠1=∠2.
(1)哪些角互为余角？哪些角互为补角？
(2)∠ADC与∠BDC有什么关系？为什么？
(3)∠ADF与∠BDE有什么关系？为什么？
图2－2
(同学们分组讨论，得结论)
［生甲］在图中：∠1与∠ADC、∠2与∠ADC、∠BDC与∠1、∠BDC与∠2都是互为余角.
∠1与∠ADF、∠EDB与∠1、∠ADF与∠2、∠EDB与∠2都是互为补角.
［生乙］∠ADC与∠BDC相等，因为：
∠ADC+∠1=90°，∠BDC+∠1=90°
所以：∠ADC=90°－∠1=∠BDC.
［生丙］∠ADC与∠BDC相等的理由还可以这样说：因为∠ADC+∠1=90°，∠BDC+∠2=90°，所以∠ADC=90°－∠1，∠BDC=90°－∠2，又因为∠1=∠2，所以∠ADC=∠BDC.
［生丁］老师，是不是这样：∠ADC是∠1的余角，∠BDC也是∠1的余角，所以∠ADC与∠BDC就相等.因此可以说：同一个角的余角相等.∠ADC是∠1的余角，∠BDC是∠2的余角，而∠1与∠2相等.所以∠ADC与∠BDC相等.因此可以说：相等的角的余角相等.
［师］丁同学总结得很好.大家的意见怎么样？
［生齐声］丁同学总结得对.
［师］很好，这就得出互为余角的性质：
同角或等角的余角相等.
接下来看第三个问题:
(同学们踊跃发言，得出结论)
［生］∠ADF与∠BDE相等.因为∠1+∠ADF=180°，∠1+∠BDE=180°，所以，∠ADF=180°－∠1=∠BDE.还可以这样说：
因为∠1+∠ADF=180°，∠2+∠BDE=180°，所以∠ADF=180°－∠1，∠BDE=180°－∠2，又因为∠1=∠2，所以∠ADF=∠EDB.
因此得出结论：
同角或等角的补角相等.
［师］同学们表现得很好，通过讨论，得出互为余角、互为补角的性质：
同角或等角的余角相等.
同角或等角的补角相等.
接下来，我们议一议.
(可用电脑演示，也可用实物剪刀实际操作，然后提问.)(出示投影片§2.1 B)
(1)用剪刀剪东西时，哪对角同时变大或变小？
(2)如果将剪刀的图形简单表示为下图，请问：∠1与∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？为什么？
图2－3
［生甲］(1)用剪刀剪东西时，相对的角同时变大或变小.
［生乙］图中的∠1与∠2有公共的顶点O，且角的两边互为反向延长线.
∠1与∠2相等，因为∠1是∠BOC的补角，∠2也是∠BOC的补角.由同角的补角相等，可得∠1与∠2相等.
［师］很好，像这样，直线AB与直线CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫对顶角.
如图中的∠AOD与∠BOC也是对顶角.
由对顶角的概念可知,对顶角的本质特征是：两个角有公共顶点，两个角的两边互为反向延长线.
所以要在图形中准确地找出对顶角，需两看：
(1)看是不是两条直线相交所得的角;
(2)看是不是有公共顶点而没有公共边(或不相邻)的两个角.
另外，从对顶角的定义还可知：对顶角总是成对出现的，它们是互为对顶角；一个角的对顶角只有一个.
接下来大家想一想：对顶角有什么性质？
［生齐声］对顶角相等.
［师］好，“对顶角相等”是对顶角的重要性质.
下面大家来议一议(出示投影片§2.1 C)
如图(P52的上图)所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量角是多少度吗？你的根据是什么？
［生甲］根据对顶角相等，可以得出所量角的度数是40°.
［生乙］我利用补角可得出所量角的度数是180°－140°=40°.
［师］同学们能利用学过的有关事实解决实际问题，这很好.
下面我们来做一练习，以巩固所学内容.
Ⅲ.课堂练习
1.下图中有对顶角吗？若有，请指出，若没有，请说明理由.
图2－4
答案：图(1)、(2)、(3)中没有对顶角，因为这三个图形中的∠1、∠2不是两条直线相交所形成的.图(4)中有对顶角，分别是∠1与∠3；∠2与∠4.
2.判断对错
(1)顶点相对的角是对顶角.( )
(2)有公共顶点，并且相等的角是对顶角.( )
(3)两条直线相交，有公共顶点的角是对顶角.( )
(4)两条直线相交，有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角.( )
答案：× × × √
(举反例说明)
Ⅳ.课时小结
这节课我们学习了三个定义、三个性质，现在来总结一下：
定义：
互为余角：如果两个角的和是直角，则这两个角互为余角.
互为补角：如果两个角的和是平角，则这两个角互为补角.
对顶角：像这样直线AB与直线CD相交于O，∠1与∠2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.
注意：
(1)互为余角、互为补角只与角的度数有关，与角的位置无关.
(2)对顶角的判断条件：
性质：
同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.
对顶角相等.
Ⅴ．课后作业
(一)课本P52习题2.1 1、2、3
(二)1.预习内容：P53~54
2.预习提纲
(1)直线平行的条件是什么？
(2)同位角的概念.
(3)会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.
●板书设计
§2.1 台球桌面上的角
一、台球桌面上红球滑过的痕迹
图2－5
∠1+∠ADC=90°
∠1+∠BDC=90°
∠1+∠ADF=180°
∠1+∠BDE=180°
二、互为余角、互为补角的定义
三、互为补角、互为余角的性质
同角或等角的余角相等.
同角或等角的补角相等.
四、对顶角的定义
五、对顶角的性质：
对顶角相等.
六、练习
七、小结
八、作业1．习题2.1数学理解1，2
习题2.1问题解决1，2
第二课时
●课 题
§2.2.1探索直线平行的条件(一)
●教学目标
(一)教学知识点
1.直线平行的条件：同位角相等.
2.会用三角板过已知直线外一点画这条直线的平行线.
(二)能力训练要求
1.经历探索直线平行的条件的过程，掌握直线平行的条件，并能解决一些问题.
2.会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.
3.经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.
(三)情感与价值观要求
1.在探索和交流的活动中，培养学生与人协作的习惯.
2.培养学生理论联系实际的观点.
●教学重点
在操作、观察的基础上总结出直线平行的条件.
●教学难点
同位角的概念.
●教学方法
观察——探索——归纳
教师创设情景，使学生主动地、积极地参与学习活动，进行观察，探究，发现规律，从而找到直线平行的条件.
●教学过程
Ⅰ.创设现实情景，引入新课
［师］在日常生活中，人们经常用到平行线，那什么是平行线呢？
［生］在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
［师］好，在上册书中，我们简单了解了平行线，下面我们来复习回顾一下(出示投影片§2.2.1 A).
判断正误：
1.两条直线不相交，就叫平行线.( )
2.与一条直线平行的直线只有一条. ( )
3.如果直线a、b都和直线c平行，那么a、b就互相平行.( )
［生甲］第1句话是错的.只有在同一平面内的两条不相交的直线才是平行线.
(也可举例：如异面直线.学生只要说清即可).
［生乙］第2句话是错的.因为一条直线的平行线有无数条，只有经过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行.
［生丙］第3句是对的，它是平行线的一个性质.
［师］同学们分析得很好.下面我们来看一个生活中的实例(出示投影片§2.2.1 B)
如P53的上图，装修工人正在向墙上钉木条，如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角为多少度时，才能使木条a与木条b平行
(同学们讨论)
［师］大家可以用课前裁好的线条在桌子上演示.
［生］木条a也与墙壁边缘垂直时，才能使木条a与木条b平行.
［师］大家经过讨论，得到了：若木条b与墙壁边缘垂直时，只有木条a也与墙壁边缘垂直时，才能使木条a与木条b平行.那么在同一平面内，两条直线除不相交外，还可能在什么情况下平行呢？这节课我们就来探索直线平行的条件.
Ⅱ．讲授新课
［师］大家拿出准备好的纸条，按如下方法来做一做(出示投影片§2.2.1 C)
如图(1)所示，三根木条相交成∠1,∠2,固定木条b、c,转动木条a.
图2－11
如图(2)，在木条a的转动过程中，观察∠2的变化以及它与∠1的大小关系，你发现木条a与木条b的位置关系发生了什么变化？木条a何时与木条b平行？
改变图(1)中∠1的大小，按照上面的方式再做一做.∠1与∠2的大小满足什么关系时，木条a与木条b平行？
［师］同学们先独立操作、观察，找出结论，然后前后四人讨论，得出结论.
(学生动手操作，然后交流，教师指导、巡视)
［生甲］在转动木条a的过程中，看到∠1与∠2的大小关系为三种情况：大于、等于、小于；木条a与木条b的位置关系有两种情况：相交与平行；当∠1=∠2时，木条a与木条b平行.
［师］你们同意他的说法吗？
［生齐声］同意.
［师］好，这只是一种情况下得出的结论.如果改变∠1的大小，情况又如何呢？
［生乙］我们观察到的情况与甲同学说的一样.
［生丙］我注意到：只要∠2与∠1的大小相等，那么木条a、b就平行.
［师］是这样的吗？
［生齐声］是.
［师］好.由此可以看到：木条a、b的位置关系与∠1、∠2的大小关系密切相关，当∠1等于∠2时，木条a、b所在的直线就平行.那么∠1、∠2是什么样的角呢？
看图：
图2－12
直线AB、CD与直线l相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线l所截)，构成八个角.∠1与∠2这两个角分别在直线CD、AB的上方，并且都在直线l的右侧，像这样具有位置相同的一对角称为同位角(corresponding angles),∠3与∠4也是同位角.
辨别同位角时要注意位置上的两个“同”字，在第三条直线的同旁，被截两直线的同方向.
下面大家看这个图中，还有没有其他的同位角呢？
［生甲］∠5与∠6是同位角.这两个角在直线l的右侧，又在直线CD、AB的下方.
［生乙］∠7与∠8是同位角.这两个角分别在直线CD、AB的下方，并且在直线l的左侧.
［师］很好，大家了解了同位角后，想一想刚才我们得到的：“当∠1=∠2时，木条a、b所在的直线平行”这个结论应该怎么叙述？
［生］从图中可知：∠1与∠2是同位角.所以可以这样说：同位角相等，两条直线平行.
［师］好，这样我们就得到直线平行的条件：同位角相等.即：平行线的判定：
同位角相等，两直线平行.
用几何符号表示：∠1=∠2→a∥b
在上学期，我们学过了利用移动三角尺的方法来画平行线，那现在大家来分组讨论讨论.(出示投影片§2.2.1 D)
怎样用移动三角尺的方法画两条平行线？你能用这种方法过已知直线外一点画它的平行线吗？请说出其中的道理.
(学生分组操作、讨论)
［生甲］(学生一边操作，一边叙述).先画一条直线，用一个三角尺的一边与这条直线重合，然后把第二个三角尺紧靠第一个三角尺，第二个三角尺不动，移动第一个三角尺，这样就可以画出与已知直线平行的直线.
用这种方法可以作：过已知直线外一点画它的平行线.
(图如下：AB∥CD,点P在CD上.)
图2－13
［生乙］画直线CD与AB平行的过程中，实际上使用了一个三角尺的一边和另一个三角尺的一个角.一个三角尺不动，在另一个三角尺平移的过程中，那个角的大小不变，而且从一个位置平移到另一个位置，两个位置上的那个角构成了同位角关系.“同位角相等，两直线平行.”
［师］同学们分析得很好.在画已知直线的平行线时，实际就用到了“同位角相等，两直线平行”这个直线平行的条件.
好，下面大家动手画一画：过直线外一点画这条直线的平行线.
(学生动手操作，教师指导)
［师］好，同学们画得很好.接下来我们做练习，以巩固本节所学内容.
Ⅲ.课堂练习
课本P55随堂练习
1.找出图2－14点阵中互相平行的线段，并说明理由(点阵中相邻的四个点构成正方形).
图2－14 图2－15
答案：AB∥CD、EF∥GH
因为线段EF、GH与线段AB、CD相交所成的锐角都是45°.
2.如图2－15，∠1=∠2=55°，∠3等于多少度？直线AB、CD平行吗？说明你的理由.
答案：∠3=55°,因为∠3与∠2是对顶角，对顶角相等，所以∠3=55°.
因为∠1=∠2=55°，∠3=55°,所以可得∠1=∠3.又因为∠1与∠3构成的是同位角.由同位角相等，两直线平行可得：AB与CD平行.
Ⅳ.课时小结
本节课我们主要探讨了直线平行的条件：“同位角相等，两直线平行”.还认识了同位角，并且会用三角尺过已知直线外一点作这条直线的平行线.
到现在为止，我们就有了三种判定两直线平行的方法：
(1)定义(不常用)
(2)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.
(3)同位角相等，两直线平行.
Ⅴ.课后作业
一、课本P55习题2.2 1、2
二、1.预习内容：P56~57
2.预习提纲：
(1)内错角、同旁内角的概念.
(2)两直线平行的条件.
●板书设计
§2.2.1 探索直线平行的条件
一、直线平行的条件：
1.同位角的定义.
2.直线平行的条件：
同位角相等，两直线平行
∠1=∠2→AB∥CD
二、议一议
画一画.
三、课堂练习
四、课时小结
五、课后作业
第三课时
●课 题
§2.2.2 探索直线平行的条件(二)
●教学目标
(一)教学知识点
1.会判断内错角、同旁内角.
2.直线平行的条件.
(二)能力训练要求
1.经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.
2.经历探索直线平行的条件的过程，掌握直线平行的条件，并能解决一些实际问题.
(三)情感与价值观要求
创设情境，激发学生积极参与交流、学习，主动解决问题，鼓励其创造精神，并从中使他们受益.
●教学重点
两条直线平行的条件：角相等或互补.
●教学难点
两条直线平行的条件的应用.
●教学方法
探索发现法
教师创设现实情景，让学生积极主动地去探索、发现，使其找到解决问题的方法.
●教学过程
Ⅰ.创设现实情景，引入新课
［师］上节课我们探讨了直线平行的条件.谁来给大家总结一下：判定两条直线平行的方法.
［生］判定两条直线平行的方法到现在为止有以下三种：
①定义：即：在同一平面内不相交的两条直线是平行线.
②如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.
③同位角相等，两直线平行.
［师］这位同学总结得很好.大家要会应用这些方法来判定两直线平行.下面来看一个实际例子.(出示投影片§2.2.2 A)
小明有一块小画板，他想知道它的上下边缘是否平行，于是他在两个边缘之间画了一条线段AB.(如图2－23所示)
图2－23
小明身边只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？
［师］大家分组讨论一下.
［生甲］小明只有量角器，所以想到应该用“同位角相等，两直线平行”来判定.但图中又没有同位角，是不是应该找另外的角呢？
［生乙］我们说：两条线段平行是指这两条线段所在的直线平行.所以我想把这个图形中的上下边缘及线段AB都变成直线，则图形变为图2－24.
图2－24
在图中可以看到：∠1与∠2是同位角，∠3与∠2是对顶角，并且相等，所以只要∠1=∠3，则直线CD∥EF.
［生丙］实际上只需要把线段AB延长即可.
图2－25
［师］同学们讨论得很精彩，知道只要量出如图2－25所示的∠1与∠3的度数，就可知画板的上下边缘是否平行.那这两个角是什么样的角呢？两直线平行还有哪些条件呢？这节课我们来继续探讨：直线平行的条件.
Ⅱ．讲授新课
［师］大家看图2－26.
图2－26
直线AB、CD与EF相交(或者说：两条直线AB、CD被第三条直线所截)，∠1与∠2这两个角都在直线AB、CD之间，并且∠1在直线EF的左侧，∠2在直线EF的右侧.像具有这种位置关系的角称为内错角(alternate interior angles).
注意：辨认内错角时，要看清两个角是否在被截两直线之间，是否在截线的两旁.
图中还有内错角吗？
［生］有，∠3与∠4是内错角.
［师］好，我们再看：∠1与∠3的位置关系如何呢？
［生］∠1与∠3，这两个角也都在直线AB、CD之间，但它们在直线EF的同一旁.
［师］同学们说得很好，我们把具有这种位置关系的角称为同旁内角.
［生甲］老师，我知道了，那么∠2与∠4也是同旁同角，是吧？
［师］对，那谁能说一说：辨认同旁内角要掌握什么呢？
［生乙］要看清两个角是否在截线的同旁，是否在被截两直线之间.
［师］很好，下面同学们看图，从中找出同位角、内错角、同旁内角.辨认时，一定要注意哪两条直线被哪一条直线所截.(出示投影片§2.2.2 B)
在下图中，找出所有的同位角、内错角、同旁内角.
图2－27
［生甲］∠1与∠2、∠3与∠4、∠5与∠6是同位角.∠4与∠6是内错角.∠4与∠2是同旁内角.
［生乙］还有呢：∠7与∠8是同位角，∠2与∠8是内错角，∠6与∠8是同旁内角.
［师］还有吗？
［生齐声］没有了.
［师］好.两条直线被第三条直线所截，形成了八个角，这八个角之间的关系要弄清楚.现在我们再来看那个实例——小明测画板上下边缘是否平行.(再次出示图形)
刚才我们经过讨论得知：当∠1=∠3时画板的上下边缘就平行.那么∠1与∠3是什么角呢？由此可得出什么结论呢？
［生］∠1与∠3是内错角.由此可得出：内错角相等，两条直线就平行.
［师］很好.由此我们又得出了直线平行的条件，或者说是判定两条直线平行的方法：
内错角相等，两直线平行.
同学们来叙述一下为什么.
［生］如图2－28，∠3与∠2是对顶角，相等，又由于∠1=∠3,所以∠2=∠1，因此可以得出AB∥CD.
图2－28
［师］同学们叙述得很好，即：
AB∥CD(内错角相等，两直线平行)
噢，三线八角中，我们能用同位角相等或内错角相等来判定两条直线平行，那同旁内角又如何呢？下面大家来议一议(出示投影片§2.2.2 C)
同旁内角满足什么关系时，两条直线平行？为什么？
(分组讨论、归纳)
［生甲］如图2－29，当∠1=∠2时，AB∥CD，而∠1+∠5=180°.
图2－29
所以猜想∠2+∠5=180°时，AB∥CD.
验证：当∠2+∠5=180°时，又∠1+∠5=180°(平角定义)，所以由“同角的补角相等”，可得：∠1=∠2，因此由“同位角相等，两直线平行”可得：AB∥CD.从而可知：同旁内角互补，两直线平行.
［生乙］还可以这样验证：当∠2+∠5=180°时，又平角定义可知：∠3+∠5=180°,所以可得出：∠3=∠2，∠3与∠2是内错角，因此可由“内错角相等，两直线平行”得出：AB∥CD.
［师］很好.由此我们可得出什么结论？
［生齐声］同旁内角互补，两直线平行.
［师］很好.应用这个判定时可这样书写：∠2+∠5=180°→AB∥CD.
接下来，我们来做一做(出示投影片§2.2.2 D)
如图2－30，三个相同的三角尺拼接成一个图形.请找出图中的一组平行线，并说明你的理由.
图2－30
小华：AC与DE是平行的，因为∠EDC与∠ACB是同位角，而且又相等.
你能看懂她的意思吗？
小明：我是这样想的：∠BCA=∠EAC→BD∥AE.
你知道这一步的理由吗？
(学生动手操作，叙述后，再出示小明、小华的想法.)
［生甲］通过摆放，可知：∠CBA=∠DCE，而这两个角是同位角，所以BA∥CE.
［生乙］通过摆放，可知：∠B+∠BAE=180°，而∠B与∠BAE是同旁内角，所以BD∥AE.
［生丙］因为∠ACE与∠CED是内错角，且相等，所以AC∥DE.
……
(学生用自己的语言来叙述理由，课堂气氛活跃.)
［师］同学们叙述得真好，下面看一看小华与小明的理由，你们能看懂吗？
［生齐声］能.
［师］好，通过做一做，我们熟悉了直线平行的条件.在今后的学习中，要学会〖JP2〗直接应用.接下来同学们做练习以巩固所学内容.
Ⅲ?课堂练习
课本P57随堂练习
1.观察图2－31并填空.
图2－31
(1)∠1与 是同位角.
(2)∠5与 是同旁内角.
(3)∠2与 是内错角.
答案：(1)∠4 (2)∠3 (3)∠1
2.当图2－32中各角分别满足下列条件时，你能指出哪两条直线平行吗？
图2－32
(1)∠1=∠4，(2)∠2=∠4，(3)∠1+∠3=180°
答案：(1)∠1=∠4→a∥b
(2)∠2=∠4→m∥l
(3)∠1+∠3=180°→n∥l
Ⅳ.课时小结
本节课我们又探讨了直线平行的条件.到现在为止，我们学习了以下五种判定两直线平行的方法:
(1)定义(不常用)
(2)如果两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.
(3)同位角相等，两直线平行.
(4)内错角相等，两直线平行.
(5)同旁内角互补，两直线平行.
大家要注意结合已知条件选用适当的判定方法来判定两直线平行.
Ⅴ.课后作业
一、课本P58习题2.3 1、2、3、4.
二、1.预习内容：P59~60
2.预习提纲：
(1)平行线的特征有哪些？
(2)初步了解推理过程.
●板书设计
§2.2.2 探索直线平行的条件
一、内错角、同旁内角的概念.
二、直线平行的条件：
①
②
三、课堂练习
四、课时小结
五、课后作业
第四课时
●课 题
§2.3 平行线的特征
●教学目标
(一)教学知识点
1.平行线的性质
2.运用这些性质进行简单的推理或计算.
(二)能力训练要求
1.经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.
2.经历探索平行线的特征的过程，掌握平行线的特征，并能解决一些问题.
(三)情感与价值观要求
通过学生动手操作、观察，来发展他们的空间观念，培养其主动探索和合作的能力.
●教学重点
由两直线平行得到同位角相等、内错角相等、同旁内角互补.
●教学难点
平行线的特征与直线平行的条件的综合应用.
●教学方法
小组讨论法
学生在教师的指导下，进行以小组为单位讨论，最终得出平行线的特征.
●教学过程
Ⅰ.创设现实情景，引入新课
［师］前面两节课，我们共同探讨了直线平行的条件，哪位同学给大家叙述一下：直线平行的条件呢？
［生］同位角相等，两直线平行.
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.
［师］很好.大家来观察上面的三个直线平行的条件的共同点是什么呢？
［生］都是由已知角相等或角互补，推出两直线平行.
［师］同学们总结得很对，那反过来，如果有两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？
这节课我们来学习直线平行的特征.
Ⅱ.讲授新课
［师］我们来做一做(出示投影片§2.3 A)
如图2－36，直线a与直线b平行.
图2－36
测量同位角∠1和∠5的大小，它们有什么关系？图中还有其他的同位角吗？它们的大小有什么关系？
换另一组平行线试试，你能得到相同的结论吗？
［师］大家先画一组平行线，画平行线时要注意准确性，然后进行测量，最后分组讨论.
［生甲］我用量角器量得∠1的度数与∠5的度数相等，说明同位角相等.
［生乙］我用剪刀剪下∠1(或∠5)，把它贴在∠5(或∠1)的上面，观察到这两个角相等.也能说明同位角相等.
［生丙］图中还有其他的同位角.如：∠2与∠6；∠3与∠7；∠4与∠8.
经过测量，我们知道这些同位角相等.
［生丁］这样，我们能不能说：同位角相等.
［生戊］不行.不是所有的同位角都相等.
如图2－37中的∠1与∠2是同位角，∠1是65°，∠2是50°，它们不相等.
图2－37
［师］同学们讨论得很精彩.那想一想：两条直线在什么情况下，同位角才相等？
［生齐声］两条直线平行时，同位角相等.
［师］是吗？我们再来画一组平行线，来验证一下.
(学生动手画图，测量后，教师动画演示，以帮助学生归纳)
［生］我们经验证，知道：两条直线只要平行，那么同位角就相等.
［师］噢，同位角相等是平行线特有的性质，不是凡同位角都相等，只有在两条直线平行的条件下，才相等.这样我们就得到了平行线的特征：同位角相等.
在两条直线平行的情况下，同位角相等，那此时内错角关系怎样？同旁内角关系怎样？下面我们再来探索:(出示投影片§2.3 B)
如图2－38，直线a与直线b平行.
图2－38
(1)图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？
(2)图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？
(3)换另一组平行线试一试，你能得到相同的结论吗？
(讨论方法同前)
［生甲］图中有2对内错角，分别是：∠3与∠6；∠4与∠5.
我用量角器测量了一下，得知：∠3与∠6相等，∠4与∠5也相等.
［生乙］不用测量也可以，因为直线a与直线b平行，∠3与∠7是同位角，所以∠3=∠7.又因为∠7与∠6是对顶角，相等，因此可知∠3与∠6相等.
∠4与∠5也可以这样得出.
［师］乙同学叙述得很好，学以致用，他找到了内错角与同位角的关系，从而得到：内错角相等.即a∥b→∠3=∠6.推证如下：
接下来，我们来解决第(2)问.
［生丙］图中有2对同旁内角，分别是：
∠3与∠5；∠4与∠6.
它们的关系为互补，即:
∠3+∠5=180°,∠4+∠6=180°.
因为：直线a与直线b平行，∠2与∠6是同位角，所以∠2=∠6.
又因为:∠2+∠4=180°,
所以可得：∠4+∠6=180°.
同理也可推证：∠3+∠5=180°.
［生丁］老师，也可以这样说理由吧：
因为:直线a与直线b平行，∠3与∠6是内错角，所以∠3=∠6,
又因为:∠3+∠4=180°.所以可得:∠6+∠4=180°.因此可知：两条直线平行，同旁内角互补.
［师］同学们讨论.表达得很好.通过找到同旁内角与同位角或内错角的关系，得到了：两直线平行，同旁内角互补.即：
a∥b→∠4+∠6=180°.
推理如下：
或:
好，大家现在换另一组平行线试试，能得到相同的结论吗？
［生齐声］能.
［师］很好.同学们来看大屏幕(动画演示两直线平行，内错角相等或同旁内角互补).
由此我们得到了平行线的特征.(出示投影片§2.3 C)
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.
简记为：
两直线平行，同位角相等.
两直线平行，内错角相等.
两直线平行，同旁内角互补.
如图2－39，
图2－39
a∥b→
大家再想一想：你还能探索出平行线的哪些特征
［生甲］在直线a与直线b平行的情况下，如果直线c与直线a垂直，那么直线c必定与直线b垂直.
如图2－39，a∥b→∠1=∠5,当a⊥c时，即∠1=90°,则∠5也等于90°，因此，b⊥c.
［师］很好.接下来我们做一做
如图2－40，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2,∠3=∠4.
(1)∠1、∠3的大小有什么关系？∠2与∠4呢？
(2)反射光线BC与EF也平行吗？
图2－40
［师］大家要仔细观察，∠1与∠3是什么样的角，∠2与∠4呢？用自己的语言叙述.
［生乙］从图中可以看出：∠1与∠3是同位角，因为AB与DE是平行的，所以∠1=
∠3.又因为∠1=∠2，∠3=∠4，所以可得出∠2=∠4.
［生丙］因为∠2与∠4是同位角，所以BC∥EF.
［师］很好.同学们来看小华的思考(出示投影片§2.3 E)
我是这样想的.
(1)AB∥DE→∠1=∠3→∠2=∠4
(2)∠2=∠4→BC∥EF.
你能说明每一步的理由吗？与同伴交流一下.
［生丁］(1)的第一步的理由：两直线平行，同位角相等.第二步的理由：等量代换.即由：∠1=∠3，∠1=∠2，∠3=∠4，得出∠2=∠4的.
［生戊］(2)的理由：同位角相等，两直线平行.
［师］这个题是平行线的特征与直线平行的条件的综合应用.由两直线平行，得到角的关系用到的是平行线的特征；反过来，由角的关系得到两直线平行，用到的是直线平行的条件.同学们要弄清这两者的区别.
下面我们来做练习以巩固平行线的特征.
Ⅲ.课堂练习
(一)课本P60随堂练习
1.如图2－41所示，AB∥CD，AC∥BD，分别找出与∠1相等或互补的角.
图2－41
解：如图2－42，与∠1相等的角有：∠3，∠5，∠7，∠9，∠11，∠13，∠15.
图2－42
与∠1互补的角有：∠2，∠4，∠6，∠8，∠10，∠12，∠14，∠16.
(二)读一读：“测量地球的周长”
Ⅳ.课时小结
本节课我们主要学行线的特征及其应用，还了解了直线平行的条件与平行线的特征的区别.
平行线的特征：
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.
这些特征要掌握，还有一些特征同学们只需了解即可.如：两条平行线中的一条直线与第三条直线垂直，那么另一条直线也与第三条直线垂直.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P62习题2.4 1、2、3.
(二)1.预习内容：P63~64
2.预习提纲
(1)如何利用直尺和圆规作一条线段等于已知线段.
(2)了解用尺规作图的语言.
●板书设计
§2.3 平行线的特征
一、平行线的特征
两直线平行→
如图：
a∥b→
二、做一做
三、课堂练习
四、课时小结
五、课后作业
第五课时
●课 题
§2.4.1 用尺规作线段和角
●教学目标
(一)教学知识点
1.会用尺规作一条线段等于已知线段.
2.利用尺规作一条线段等于已知线段的应用.
(二)能力训练要求
会用尺规作一条线段等于已知线段；并了解它在尺规作图中的简单应用.
(三)情感与价值观要求
通过教师的讲解、学生的动手实践，培养学生的动手能力及与同学交流的习惯.
●教学重点
会用尺规作一条线段等于已知线段.
●教学难点
学生理解作图步骤中的语言，并会根据画图语言画出图形.
●教学方法
讲练相结合法
●教具准备
师：圆规、直尺.
片§2.4.1 C)
学生：圆规、直尺
●教学过程
Ⅰ.创设现实情景，引入新课
［师］在现实生活中，我们经常见到一些美丽的图案，如下列图案(出示投影片§2.4.1 A)
图案(1)、(2)、(3)是我们曾经画过的.想一想，这些图案是利用哪些作图工具画出的？
［生］是利用直尺、圆规和三角尺等这些工具画出的.
［师］很好，直尺、圆规和三角尺是常用的作图工具，利用这些工具可以作出很多的几何图形.在以后的作图中，我们运用最多的作图工具是没有刻度的直尺和圆规.
我们把只用没有刻度的直尺和圆规的作图称为尺规作图.
在上册中，我们曾介绍了用直尺和圆规作一条线段等于已知线段.大家回忆一下作图的过程和方法.
［生］先画一条射线AB，用圆规量出已知线段的长度(记作a)，再在射线AB上以A为圆心，截取AC=a,这样所求的线段就是AC.
如下图2－51：
图2－51
［师］很好，这只是我们初步的用直尺和圆规来作图的方法.今天我们来继续深入地学习用尺规作一条线段等于已知线段.
Ⅱ．讲授新课
［师］用尺规作图具有以下四个步骤：
(1)已知，即：已知的条件是什么.
(2)求作，即：所要作的最终的结果是什么，满足什么条件.
(3)分析，即：分析如何作出所要求作的图形，一般不用写出来.
(4)作法，这是作图的主要步骤，在这里要写清作图的过程.
在今后的作图中，要注意作图步骤的书写.就现在来说，只要求大家了解尺规作图的步骤.下面我们共同用尺规作一条线段等于已知线段(教师一边叙述，一边书写、画；学生只画图).
已知，线段AB.
图2－52
求作：线段A′B′,使A′B′=AB.
作法：(1)作射线A′C′.
(2)以点A′为圆心，以AB的长为半径画弧，交射线A′C′于点B′.
A′B′就是所求的线段.
图2－53
［师］同学们画得很好,但要注意圆规的用法.接下来大家口述表达一下作法.(教师出示投影片§2.4.1 B)
作法 示范
(1)作射线A′C′
(2)以点A′为圆心，以AB的长为半径画弧，交射线A′C′于点B′.A′B′就是所作的线段.
［师］好，下面我们来做一做，以熟悉用尺规作一条线段等于已知线段.(出示投影片§2.4.1 C)
如图2－54，已知线段a和两条互相垂直的直线AB、CD.
图2－54
(1)利用圆规，在射线OA、OB、OC、OD上作线段OA′、OB′、OC′、OD′，使它们分别与线段a相等.
(2)依次连接A′、C′、B′、D′、A′.
你得到了一个怎样的图形？与同伴进行交流.
［生甲］以O为圆心，以a的长为半径画弧，分别交OA、OB、OC、OD于A′、B′、C′、D′，则OA′、OB′、OC′、OD′就是所求作的线段.如图2－55.
图2－55
［生乙］依次连接A′、C′、B′、D′、A′，这样得到的图形是正方形.
［师］很好，大家要会口头表述作法，在图形上要保留作图痕迹.
接下来，我们做练习以巩固所学内容.
Ⅲ.课堂练习
(一)课本P64随堂练习
1.如图2－56，已知线段a和b，直线AB与CD垂直且相交于点O.
图2－56
利用尺规，按下列要求作图：
(1)在射线OA、OB、OC上作线段OA′、OB′、OC′，使它们分别与线段a相等.
(2)在射线OD上作线段OD′，使OD′等于b.
(3)依次连接A′、C′、B′、D′、A′.
你得到了一个怎样的图形？与同伴进行交流.
解：(1)以O为圆心，以a的长为半径画弧，交射线OA、OB、OC于点A′、B′、C′.
则OA′、OB′、OC′就是所求作的线段.(如图2－57)
(2)以O为圆心，以b的长为半径画弧，交射线OD于点D′.则OD′就是所求作的线段.(如图2－57)
图2－57
(3)依次连接A′、C′、B′、D′、A′，这样得到的图形为筝形(如图2－57).
●板书设计
§2.4.1 用尺规作线段和角
一、尺规作图
已知
求作
作法
二、用尺规作一条线段等于已知线段.
已知：线段AB
求作：线段A′B′使A′B′=AB
作法：1.作射线A′C′.
2.以点A′为圆心，以AB的长为半径画弧，交射线A′C′于点B′.
A′B′就是所求作的线段.
三、做一做
四、课堂练习
五、课时小结
六、课后作业
第六课时
●课 题
§2.4.2 用尺规作线段和角
●教学目标
(一)教学知识点
1.会用尺规作一个角等于已知角.
2.利用尺规作一个角等于已知角的应用.
(二)能力训练要求
会用尺规作一个角等于已知角，并了解它在尺规作图中的简单应用.
(三)情感与价值观要求
通过作图，进一步激发学生的学习兴趣，体验数学在生活中的应用.
●教学重点
用尺规作一个角等于已知角.
●教学难点
理解画图的语言，能根据几何语言画出图形.
●教学方法
讲练结合法
●教具准备
师：直尺、圆规.
)
生：直尺、圆规、量角器
●教学过程
Ⅰ.创设现实情景，引入新课
［师］在上节课我们学习了用直尺和圆规作图，并且引入了规范的尺规作图语言.从而能够用几何语言描述作一条线段等于已知线段.那么如何用尺规作一条线段等于已知线段呢？
［生］已知线段a,求作：线段AB，使AB=a.
作法：(1)作射线AC.
(2)以点A为圆心，以a的长为半径画弧，交AC于点B.则，AB就是所求的线段.
图2－64
［师］很好.同学们已掌握了一些尺规作图的语言.下面大家看一实例，你能解决它吗？(出示投影片§2.4.2 A)
如图2－65，要在长方形木板上截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为AB.
(1)请过C点画出与AB平行的另一条边.
(2)如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，你能解决这个问题吗？
图2－65
［师］大家讨论讨论.
［生甲］要在长方形木板上截一个平行四边形，按上图的方式(平行四边形的一组对边在长方形木板的边缘上).只要保证过点C作出与AB平行的另一条线段即可.所以我用一个三角板的一边与AB重合，用直尺紧靠三角板的另一边，然后移动三角板，使与AB重合的那边过点C，这样过C点画线段CD，则CD就是所求的与AB平行的另一边.如图2－66.
图2－66
［生乙］只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，现在还不能解决这个问题.
［生丙］过直线外一点作这条直线的平行线的原理是：同位角相等，两直线平行.所以，能不能过点C作一个角等于∠BAC，且使这两个角是同位角呢？
［师］同学们讨论得很好，尤其是丙同学提出的问题：作一个角等于已知角.这节课，我们就来利用尺规作一个角等于已知角.
Ⅱ．讲授新课
［师］用尺规作图，它的步骤有哪些呢？
［生］已知、求作、分析、作法.
［师］好，那我们现在先来写已知、求作.
［师生共析］已知：∠AOB,求作:∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB.
图2－67
［师］这个∠A′O′B′如何就能作出呢？它的道理是什么呢？这将在第五章中谈到.现在我们只需按下列作法步骤去画即可.
下面老师在黑板上画、叙述，同学们在下面用尺规作∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB.
作法：(1)作射线O′A′.
(2)以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D.
(3)以点O′为圆心，以OC长为半径画弧，交O′A′于点C′.
(4)以点C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D′.
(5)过点D′作射线O′B′.
∠A′O′B′就是所求作的角.
图2－68
［师］同学们作好了没有？
［生齐声］好了.
［师］那你所作的角一定等于已知角吗？
……
［师］大家来比较一下.
［生甲］我用量角器量了量所作的角与已知角，可以知道这两个角相等.
［生乙］我把所作的角与已知角重叠，看到这两个角的终边与始边重合，说明所作的角与已知角相等.
［师］很好.这样我们就会用尺规作一个角等于已知角.
下面我们两人一组，再作一个角等于已知角，一人叙述作法，一人根据作图.
……
［师］大家基本掌握了用尺规作一个角等于已知角.接下来我们通过练习进一步熟悉掌握这内容.
Ⅲ.课堂练习
(一)课本P67随堂练习
1.已知∠AOB,利用尺规作∠A′O′B′，使∠A′O′B′=2∠AOB.
图2－69 图2－70
作法：(1)以O为圆心，以任意长为半径画弧，与OA交于点A′，与OB交于点C.
(2)以点C为圆心，以A′C长为半径画弧，交前弧于点B′.
(3)过点B′作射线OB′，则∠A′OB′就是所求作的角.
或者：作法：(1)作射线O′A′.
(2)以O点为圆心，以任意长为半径画弧交OA于点C，交OB于点D.
图2－71 图2－72
(3)以点O′为圆心，以OC长为半径画弧，交O′A′于C′点.
(4)以点C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前弧于E点.
(5)以点E为圆心，以CD长为半径画弧，交 于点B′.
(6)过点B′作射线OB′.
则∠A′O′B′就是所求作的角.
2.利用尺规完成本节课开始时提出的问题.
作法：(略)，图如下
图2－73
(二)看书P67“读一读”.
(三)看课本P65~66.
Ⅳ.课时小结
本节课我们主要学习了用尺规作一个角等于已知角.要会用自己的语言来书写作法，并要了解作一个角等于已知角在尺规作图中的简单应用.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P68习题2.6 1.
(二)复习本章的全部内容，并作一小结.
●板书设计
§2.4.2 用尺规作线段和角
一、做一做：
作一个角等于已知角
已知
求作
作法
二、课堂练习
三、读一读
四、课时小结
五、课后作业
C′E
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