新课标A版必修4三角函数求最值一

[求解三角函数最值有“型”可循（一）]
三角函数的最值问题是三角函数中的一个基本内容，它不仅与三角变换直接相关，而且和二次函数、不等式、导数、几何等知识紧密结合在一起。由于其涉及到的知识点多，题型又灵活多样，解法也多变。所以成为高中阶段各类考试（如会考、高考、竞赛等）的一个重要考查点。如何能使解题过程简捷明快，方法“活”而“巧”呢？笔者认为，首先观察函数的特点，找准函数的“型”（下文要概括的十三种“型”），然后再选择相应的解题方法。本文拟从三角函数“型”的角度对求解三角函数的最值的方法作一系统的概括。
1、 一函数一次型 （如）
[解题策略]：利用函数的单调性、图象法
例1 求的最值
解:因为: 所以
所以: 从而,
[易错点]： 忽视对定义域的考虑
如: 求的最大值和最小值分别是2和-1,并不是2和-2.
2、 一函数二次型 （如）
[解题策略]：换元配方法
例2、求的最值
解：设 则=
当时， 当时，
[易错点]： 忽视对定义域的考虑
如：（）的最大值不是6，而是4，由函数定义域的限定，取不到1.
3、 一函数一次分式型 （如）
[解题策略]：分离常数法 反函数法
例3、求的最值.
解法一: (分离常数法)
=
因为 所以
所以
解法二: (反函数法)
原函数可变形为：
因为 所以 即
[易错点]： 1、忽视对定义域的考虑 2、利用反函数法时，忽视对和的考虑
4、 一函数二次分式型 （如）
[解题策略]：叛别式法、均值不等式法
例4、求的最值
解：原函数可变形为：
所以
例5、求的最值
解：设 （） 则：
当 时，; 当 时， 因为
当且仅当 时，即 时
所以
[易错点]： 1、忽视对定义域的考虑 2、应用叛别式法时忽视二次项的系数 3、应用均值不等式时，忽视“一正、二定、三相等”这三个条件
5、 一函数互为倒数型
[解题策略]：均值不等式法、 待定系数法
例6．求（）的最值
解：因为 所以
[易错点]： 应用均值不等式时，忽视“一正、二定、三相等”三个条件
如下例
错解：
这里 所以取不到最小值
正确解法：（待定系数法）
因为 所以
所以
当且仅当 且 时 即 时