《实际问题与一元二次方程》教案

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《实际问题与一元二次方程》教案
河南 董树卿
教学内容
本节课主要学习建立一元二次方程的数学模型解决匀变速运动问题。
教学目标
知识技能
1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
数学思考
经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
解决问题
　通过解决匀变速问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，发展实践应用意识．
情感态度
通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．
重难点、关键
重点：列一元二次方程解有关匀变速问题的应用题
难点：发现匀变速问题中的等量关系，建立一元二次方程的数学模型
关键：理解匀变速运动中有关物理量的关系，根据匀变速问题中的等量关系列方程。
教学准备
教师准备：制作课件，精选习题
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容
教学过程
1、 复习引入
1． 路程、速度和时间三者的关系是什么？
2． 某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s（m）和时间t（s）之间的关系为：s=10t+3t2，那么行驶200m需要多长时间
【活动方略】
教师演示课件，给出题目．
学生口答，老师点评。
【设计意图】
复习基本的行程问题，掌握其数量关系，为继续学习建立一元二次方程的数学模型解匀变速运动问题作好铺垫．
2、 探索新知
【问题情境】
一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车．
（1）从刹车到停车用了多少时间
（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少
（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）
分析：（1）刚刹车时时速还是20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为0．因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为=10m/s，那么根据：路程=速度×时间，便可求出所求的时间．
（2）很明显，刚要刹车时车速为20m/s，停车车速为0，车速减少值为20-0=20，因为车速减少值20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以20除以从刹车到停车的时间即可．
（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用除以xs．由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到15米的车速，从而可求出刹车到滑行到15m的平均速度，再根据：路程=速度×时间，便可求出x的值．
解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m；从刹车到停车的平均车速是=10（m/s）
那么从刹车到停车所用的时间是=2.5（s）
（2）从刹车到停车车速的减少值是20-0=20
从刹车到停车每秒平均车速减少值是=8（m/s）
（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s
则这段路程内的平均车速为=（20-4x）m/s
所以x（20-4x）=15 整理得：4x2-20x+15=0
解方程：得x=
x1≈4.08（不合，舍去），x2≈0.9（s）
答：刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s．
【思考】
刹车后汽车行驶20ｍ时用多少时间？（精确到0.1秒）
【活动方略】
学生分组、讨论解答。选代表展示解答过程，并讲解解题过程和应注意问题．
教师演示问题，简介匀变速运动各物理量的关系，诱导解答，总结规律。
【设计意图】
使学生通过解题，理解各物理量的关系，掌握解题方法，丰富解题经验．
3、 反馈练习
　一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动20m后小球停下来．
（1）小球滚动了多少时间
（2）平均每秒小球的运动速度减少多少
（3）小球滚动到5m时约用了多少时间（精确到0.1s）
　　【活动方略】
学生独立思考、独立解题．
教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）
【设计意图】
检查学生对所学知识的掌握情况.
4、 应用拓展
例：如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．
（1）小岛D和小岛F相距多少海里
（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里 （结果精确到0.1海里）
分析：（1）因为依题意可知△ABC是等腰直角三角形，△DFC也是等腰直角三角形，AC可求，CD就可求，因此由勾股定理便可求DF的长．
（2）要求补给船航行的距离就是求DE的长度，DF已求，因此，只要在Rt△DEF中，由勾股定理即可求．
解：（1）连结DF，则DF⊥BC
∵AB⊥BC，AB=BC=200海里．
∴AC=AB=200海里，∠C=45°
∴CD=AC=100海里 DF=CF，DF=CD
∴DF=CF=CD=×100=100（海里）
所以，小岛D和小岛F相距100海里．
（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里，
EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2x）海里
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程
x2=1002+（300-2x）2
整理，得3x2-1200x+100000=0
解这个方程，得：x1=200-≈118.4
x2=200+（不合题意，舍去）
所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里．．
【活动方略】
教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．
学生活动：合作交流，讨论解答。
【设计意图】
使学生充分体会行程问题的数量关系，运用路程＝速度×时间，建立一元二次方程的数学模型，进一步提升学生对这类问题的解题能力。
5、 小结作业
1．问题：
通过本课的学习，大家有什么新的收获和体会？
本节课应掌握：
利用匀变速运动各物理量的关系建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它．
2．作业：教材，习题22.3第2、3题
　【活动方略】
教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程．
学生独立完成作业，教师批改、总结．
【设计意图】通过归纳总结，培养学生的归纳总结能力，通过课外作业，使学生进一步理解知识，内化知识。
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B
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A
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C
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E
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D
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F
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