七年级下第六章 变量之间的关系

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第六章 变量之间的关系
●课时安排
5课时
第一课时
●课 题
§6.1 小车下滑的时间
●教学目标
（一）教学知识点
1.经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，进一步发展符号感.
2.在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子.
3.能从表格中获得变量之间关系的信息，能用表格表示变量之间的关系，并根据表格中的数据尝试对变化趋势进行初步的预测.
（二）能力训练要求
1.使学生学会从表格中获取信息，发展学生通过数据分析进行预测和解决问题的能力.
2.发展学生的符号感和抽象思维能力.
（三）情感与价值观要求
在探索现实世界变化规律的过程中，从运动变化的角度认识数学对象.提高学生的数学素养.
●教学重点
借助表格，表示因变量随自变量变化的情况.
●教学难点
将具体问题抽象成数学问题，由数据进行推断.
●教学方法
活动——交流——探索相结合
学生通过探讨小车下滑时间与支撑物高度关系的活动，运用自己的语言描述从表格中获取的信息，并与同伴交流，探索、预测变化的趋势.
●教具准备
一块木板，一辆小车，一根1米长的刻度尺，一块秒表.
●教学过程
Ⅰ.创设情景，引入新课
［师］今天早上一起床，我就到厨房烧上了一壶水，10分钟后，水烧开了.在这一过程中，谁知道，什么在发生变化？
［生］时间在发生变化.
［生］水的温度也在发生变化.
［师］很好！你能从生活中找到一些发生变化的例子吗？
［生］一天的气温在发生变化.
［师］你能大概描述一下是怎样变化的吗？
［生］一般情况下，早晨3时，温度最低；然后温度就渐渐地升高；到了下午2或3时温度升到最高；最后温度就逐渐的下降.
［师］这位同学描述得很好.我们就生活在这样一个变化的世界中.从今天开始，我们就从数学的角度研究这些变化的过程，将有助于我们更好地认识我们这个世界.
首先，我们来做一个试验：小车下滑的时间.
（板书课题：第六章 变量之间的关系 §6.1 小车下滑的时间）
Ⅱ.讲授新课
［师］我们把全班分成5个小组，每个小组利用同一块木板，测量小车从不同高度下滑的时间.然后将得到的数据填入下表：
支撑物高度/厘米 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
小车下滑时间/秒
每个小组实验时组员的分工，以及实验的步骤由组长负责，咱们赛一赛看哪一个组合作的最好，试验得到的数据最准确.
（在此过程中，老师针对不同的组给以适当的指导，关注一下是否每个学生都积极地进行活动，并很好地与同学合作）
［师］现在，我们每一组都得到了一组数据，并且我注意到大部分组分工合理，团结合作，使实验顺利地完成.表现最突出的是王波学习小组.我们祝贺他们小组.其他组的同学再接再励，争取在后面活动中有更为突出的表现.
下面是王波学习小组得到的数据：
支撑物高度/厘米 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
小车下滑时间/秒 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50 1.41 1.35
根据上表来试着回答下列问题串：（出示投影片§6.1 A）
（1）支撑物高度为70厘米时，小车下滑时间是多少？
（2）如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，t变化趋势如何？
（3）h每增加10厘米，t的变化情况相同吗？
（4）估计当h=110厘米时，t的值是多少？你是怎样估计的？
同学们先独立思考，然后用自己的语言阐述思考过程及理由.
［生］读表可知：当支撑物高度为70厘米时，小车下滑的时间是1.59秒.
［生］从表中可以看出：第一行是支撑物高度h的值，从左往右逐渐增大；第二行是小车下滑的时间t的值，从左往右逐渐减小.由此可知，支撑物h越高，小车下滑时间t越短.
［师］从表格中我们得出上述结论，根据我们做的实验和经验，谁来解释为什么会有支撑物h越高，小车下滑时间t越短呢？这儿我给大家提供演示课件.
图6－1
［生］从演示课件不难发现：小车是从同一块木板上滑下的，也就是说，小车滑行的长度就是木板的长度.当木板支撑得越高，它形成的坡度越陡，下滑的速度越快，所用的时间自然就会随着坡度的升高而逐渐减小.
［师］很好.我们接着来分析表格中的数量关系.通过观察和计算，h每增加10厘米，t的变化情况相同吗？
［生］不相同.当支撑物高度从10厘米变化到20厘米，小车下滑的时间缩短了4.23－3.00=1.23秒；当支撑物高度从20厘米变化到30厘米时，小车下滑的时间缩短了3.00－2.45=0.55秒；……当支撑的高度从90厘米变化到100厘米时，小车下滑的时间缩短了1.41－1.35=0.06秒.
［师］看第（4）个问题，根据（3）你能估计当h=110厘米时，t的值是多少？你是如何估计的.
［生］由（3）可知，h从10厘米开始增加时，所用的时间t变化较快；当h从60厘米开始增加时，每增加10厘米，所用时间t每次减少约0.09秒、0.09秒、0.06秒.因此当h=110厘米时，t的值可以是1.35秒到1.29秒中任意一个值.
［师］由以上问题串可知，h和t是两个变化的数量，而h的每一次变化，都会引起t的变化，下滑时间和支撑物高度之间存在着相依关系.
接下来，我们再来看生活中的一个变化关系（出示投影片§6.1 B）
议一议
我国从1949年到1999年的人口统计数据如下（精确到0.01亿）：
时间/年 1949 1959 1969 1979 1989 1999
人口/亿 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59
（1）如果用x表示时间，y表示我国人口总数，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？
（2）从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样变化的？
［生］从表格的数据可知：随着x的增加，y也增加.
［生］从1949年起，1949~1959年，我国人口增加1.30亿；1959~1969年，我国人口增加1.35亿；1969~1979年，我国人口增加1.68亿;；1979~1989年，我国人口增加1.32亿；1989~1999年，我国人口增加1.52亿.
［生］也可以说，从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口增加1.5亿左右.
［师］在前一个问题中，支撑物高度h和小车下滑的时间t都在变化，它们都是变量.其中t随h的变化而变化，h是自变量，t是因变量.
在第二个问题中，我国人口总数y随时间x 的变化而变化，x是自变量，y是因变量.
在此处，变量用字母表示，更显示了数学符号的简捷.
而因变量随自变量的变化而变化的情况，借助于表格就可以表示出来.
生活中有哪些例子也反映了变量之间的关系？并指出哪一个是自变量？哪一个是因变量？
［生］气温随时间的变化的过程中，时间是自变量，气温是因变量.
［生］脉搏随运动强度的变化过程中，运动强度是自变量，脉搏是因变量.
［生］燃烧的蜡烛，高度随燃烧时间而变化，其中燃烧时间是自变量，蜡烛的高度是因变量.
［师］同学们要举的例子很多很多，说给你的同伴听听.（让学生充分交流，教师深入到学生中，尽可能多地启发学生发现生活中的变量之间关系的例子.）
Ⅲ.随堂练习
研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮服的施用量有如下关系：
氮肥施用量/（千克/公顷） 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
土豆产量/（吨/公顷） 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是多少？如果不施氮肥呢？
（3）根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由.
（4）粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响.
解答：（由学生口答完成）
（1）氮肥的施用量和土豆产量之间的关系；氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量；
（2）当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是32.29吨/公顷；如果不施氮肥，即氮肥施用量为0千克/公顷，由表格可知，土豆的产量是15.18吨/公顷；
（3）（学生的答案只要合理即可）可以回答氮肥施用量为336千克/公顷时比较适宜，因为此时土豆的产量最高；还可以回答氮肥的施用量为259千克/公顷比较适宜，因为此时土豆的产量与施用量为336千克/公顷时差不多，而又可以节约肥料；
（4）这里主要关注的是对变化过程的大致刻画，学生的答案只要合理都应鼓励.例如可以这样说，氮肥施用量小于336千克/公顷时，氮肥的施用量增加，土豆的产量随之增加；但大于336千克/公顷时，施用量越多，土豆的产量越少.
Ⅳ.课时小结
［师］通过今天的学习，同学们有何收获和体会.
［生］今天的学习，使我认识到我们生活在一个变化的世界中，从数学的角度用表格表示两个变量之间的关系，并且能从表格中获得变量之间的信息，并根据表格中的数据尝试对变化趋势进行初步的预测.
［生］在具体的情境中理解了什么是自变量、因变量，并能反映变量之间关系的例子.
［师］在我们的生活中反映变量之间关系的例子很多.例如2003年春季的“非典”疫情，从4月中旬始，随着时间的变化，“非典”病人人数呈上升趋势，但在白衣天使的舍小家，为大家，无私奉献，勇于牺牲的精神感化下，全国人民在共产党的领导下，万众一心，众志成城，战胜了非典，到七月底，抗击“非典”已取得了阶段性胜利，“非典”病人已全部出院.又一次证明了中华民族是团结一心，勇敢坚强的民族.
我相信，同学们争分夺秒，锻炼、学习真本领，将来随着时间的推移，个个会成为祖国栋梁！
Ⅴ.课后作业
1.课本P165、习题6.1 第1、2、3题；
2.收集生活中反映变量关系的例子.
月.
●板书设计
第六章 变量之间的关系
§6.1 小车下滑的时间
1.①支撑物h越高，小车下滑时间t越短；
②随着时间x的增加，我国人口总数y增加.
其中h和t，x和y都是变量.①中h是自变量，t是因变量；②中x是自变量，y是因变量.
2.借助表格，可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.
第二课时
●课 题
§6.2 变化中的三角形
●教学目标
（一）教学知识点
1.经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体验一个变量的变化对另一个变量的影响，发展符号感.
2.能根据具体情况，用关系式表示某些变量之间的关系.
3.能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系.
（二）能力训练要求
1.发展符号感和抽象思维能力.
2.发展有条理的思考和表达能力，用变化的思想研究自变量和因变量的关系.
（三）情感与价值观要求
继续体验从运动变化的角度认识数学对象的过程，发展对数学的认识.
●教学重点
1.列关系式表示两个变量的关系.
2.根据图形的面积公式或体积公式来求两个变量之间的关系式，会利用关系式根据任何一个自变量的值，求出相应因变量的值.
●教学难点
将具体问题抽象成数学问题并将它用关系式表示出来.
●教学方法
启发——自主探究相结合
在教师的启发和学生已有基础知识下，鼓励他们实践、探索变化过程中的变量关系、数量关系，体会自变量和因变量的依存关系，借助关系式表示变量之间的关系.
●教具准备
课件演示一：三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动；
课件演示二：圆锥的底面半径由小到大的变化；
课件演示三：圆锥的高由小到大的变化.
●教学过程
Ⅰ.创设情景，引入新课
［师］我们先来看下面的问题：
1.（1）如果正方形的边长为a，则正方形的周长C=________;面积S=________；
（2）圆的半径为r,则圆的面积S=________;
（3）三角形的一边为a，这边上的高为h，则三角形的面积S=________；
（4）梯形的上底、下底分别为a、b,高为h，则梯形的面积S=________;
（5）圆锥的底面的半径为r,高为h，则圆锥的体积V=________;
（6）圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的体积V=________.
2.填写下表并回答问题：
n 1 2 3 4 5 6 7
m 4 5 6 7 8 9 10
（1）表格反映的是哪两个变量的关系？谁是自变量？谁是因变量？
（2）根据表格中的数据，说一说m是怎样随n而变化的？
［生］1.（1）C=4a,S=a2;（2）S=πr2;（3）S=ah;（4）S=（a+b）h;（5）V=πr2·h;（6）V=πr2·h.
2.（1）表格中反映的是m和n这两个变量的关系，其中n是自变量，m是因变量.
（2）m随n的增大而逐渐增大.
［师］在第2题中，我们借助于表格，反映了两个变量的关系.我们还能不能借助于其他的形式来反映两个变量m和n的关系呢？
［生］从表格中我发现有一个规律，每一个m的值都比对应的n的值大3.因此用等式m=n+3可以反映两个变量m,n的关系.
［师］真棒！以前我们学习过的一元一次方程是含有未知数的等式，如今我们又要用等式来表示两个变量的关系，你们认同吗？
［生］认同！
［师］很好.我们在这里就把m=n+3这个等式叫做m随n变化的关系式.
Ⅱ.讲授新课
——根据具体情况，用关系式表示某些变量之间的关系.
1.变化中的三角形
看一看：课件演示一
看图回答下列问题：
图6－2中的三角形ABC底边BC上的高是6厘米，当三角形的顶点C沿着底边所在直线向B点运动时，三角形的面积发生了变化.
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量分别是什么？
（2）如果三角形的底边长为x（厘米），那么三角形的面积y（厘米2）可以表示为________.
（3）当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角形的面积从________厘米2变化到________厘米2.
图6－2
［师］从上面的课件演示过程来回答上面的问题.
［生］（1）自变量是△ABC的底边BC的长，因变量是△ABC的面积.
［生］（1）中的自变量也可以是∠ACB.
（2）y=3x
（3）当底边长是12厘米时，y=×12×6=36（平方厘米）；当底边长是3厘米时，y=×3×6=9（平方厘米）.因此当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角形的面积从36厘米2变化到9厘米2.
［师］从同学们的回答中可以看到y=3x表示了三角形的底边长x和面积y之间的关系，它是变量y随变量x变化的关系式.因此，关系式是我们表示变量之间关系的又一种方法.大家可以比较一下这两种表示变量关系的方法——表格法和关系式法.
（让同学们与同伴交流，教师可倾听一下同学们在下面的说法）.
［生］用表格法表示变量之间的关系，只有自变量和因变量对应的的有限个值，但较直观.而关系式表示变量之间的关系，根据自变量的任何一个值，便可求出相应的因变量的值.
［师］同学的分析很精彩.同学们还记得上学期见过的“数值转换机”吗？看图6－3：直观地表示了自变量和因变量的数值对应关系，即“输入”一个x的值就可以“输出”一个y的值.例如：输入x=2,则就可输出y=3×2=6.
图6－3
2.变化中的圆锥
做一做：课件演示二
如图6－4，圆锥的高是4厘米，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化.
（1）在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？
（2）如果圆锥底面半径为r（厘米），那么圆锥的体积V（厘米3）与r的关系式为________.
（3）当底面半径由1厘米变化到10厘米时，圆锥的体积由________厘米3变化到________厘米3.
图6－4
［师］根据课件演示回答上述问题.
［生］（1）自变量是圆锥的底面半径，因变量是圆锥的体积；
（2）V=πr2;
（3）当底面半径r由1厘米→10厘米时，圆锥的体积V由π厘米3→π厘米3.
做一做：课件演示三
看图回答下列问题:
如图6－5，圆锥的底面半径是2厘米，当圆锥的高由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化.
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果圆锥的高为h（厘米），那么圆锥的体积V（厘米3）与h的关系式为________.
（3）当高由1厘米变化到10厘米时，圆锥的体积由_______厘米3变化到_______厘米3.
图6－5
［生］（1）自变量是圆锥的高，因变量是圆锥的体积；
（2）V=πh;
（3）当h由1厘米→10厘米时，圆锥的体积是由厘米3→厘米3.
［师］在课件演示二中，我们知道当底面半径即自变量r由1厘米→10厘米时，因变量V由π厘米3→π厘米3；而在课件演示三中，当自变量h也是由1厘米→10厘米时，因变量V却是由π厘米3→π厘米3.为什么呢？
［生］这是由于它们的关系式不同.r与V的关系式是V=πr2;而h与V的关系式是V=πh.
Ⅲ.课堂练习
1.随堂练习（课本P169第1题）
在地球某地，温度T（℃）与高度d（m）的关系可以近似地用T=10－来表示.根据这个关系式，当d的值分别是0，200，400，600，800，1000时，计算相应的T值，并用表格表示所得结果.
图6－6
［分析］本题的目的是学生进一步认识现实生活中存在的变量之间的关系，体会自变量和因变量数值之间的对应关系.在解决问题的过程中，学生可利用计算器，并保留两位小数.
解：计算出相应的T的值填入下表：
高度d/m 0 200 400 600 800 1000
温度T/℃ 10.00 8.67 7.33 6.00 4.67 3.33
2.补充练习
圆柱的高是10厘米，圆柱的底面半径为R厘米，圆柱的侧面展开图的面积为S平方厘米.
（1）写出圆柱的侧面展开图的面积S与圆柱底面半径R之间的关系式.
（2）用表格表示R从1厘米到10厘米（每一次增加1厘米）时，S相应的值.
（3）R每增加1厘米，S如何变化？
解：（1）S=20πR;
（2）表格如下
底面半径R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
侧面积S 20π 40π 60π 80π 100π 120π 140π 160π 180π 200π
（3）R每增加1厘米，S增加20π厘米2.
Ⅳ.课时小结
［师］这节课，同学们有何体会和收获呢？
［生］这节课，我们研究了某些图形中变量之间的关系，进一步体验一个变量的变化对另一个变量的影响.
［生］我们知道了变量之间的关系除了可以用表格表示外，还可以用关系式，并且初步体会了自变量和因变量的数值对应关系.
［生］课件演示使我们感受到学习数学的兴趣.
［生］用数学符号能表示现实世界中的一些规律，能用数学的角度去看世界.
［师］看来，同学们的收获还真不小！祝你们生活的快乐！
Ⅴ.课后作业
1.课本P169,读一读，去体会变量与变量之间的相互依赖关系在生活中广泛存在.在这个问题中，告诉我们随着地球内部厚度的增加，温度也在发生着变化.
2.课本P170 1、2.
Ⅵ.活动与探究
我省是水资源比较贫乏的省份之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的.某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6立方米时，水费按每立方米a元收费；超过6立方米时，不超过的部分每立方米仍按a元收费，超过的部分每立方米按c元收费.该市某户今年3、4月份的用水量和水费如下表所示：
月份 用水量（m3） 水费（元）
3 5 7.5
4 9 27
设某户该月用水量为x（立方米），应交水费y（元）.
（1）求a、c的值，并写出用水不超过6立方米和超过6立方米时，y与x之间的关系式；
（2）若该户5月份的用水量为8立方米，求该户5月份的水费是多少元？
［过程］该题结合生活实际，立意新颖，可以培养学生节约用水的社会意识.
在已知自变量和因变量的数值对应关系及根据题意，由表格读取信息得到的用水量和水费的关系式，求a、c的值，只需利用方程的思想.同时还要有分类讨论的思想去解决该问题.
［结果］（1）依照题意，有
当x≤6时，y=ax;
当x＞6时，y=6a+c（x－6）.
由已知，得7.5=5a ① 27=6a+3c ②
由①得a=1.5 把a=1.5代入②得c=6，
所以y=1.5x（x≤6）;y=9+6（x－6）=6x－27（x＞6）.
（2）将x=8代入y=6x－27（x＞6）得
y=6×8－27=21（元）
所以，该户5月份的水费是21元.
●板书设计
§6.2 变化中的三角形
一、看一看
课件演示一：变化中的三角形
①关系式表示变量之间关系的又一种方法.
②根据任何一个自变量的值，利用关系式，便可求出相应的因变量的值.
二、做一做
课件演示二：高为4厘米时，圆锥的体积与底面半径R的关系:V=πr2.
课件演示三：V=πh.
三、练习（由学生板演）
四、小结
第三课时
●课 题
§6.3 温度的变化
●教学目标
（一）教学知识点
1.经历从图象中分析变量之间的关系的过程，进一步体会变量之间的关系.
2.结合具体情境理解图象上的点所表示的意义.
3.能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述.
（二）能力训练要求
1.培养学生从图象中获取信息的广泛性和准确性.
2.在具体情境中锻炼学生对变量之间关系的敏感和语言描述的合理.
（三）情感与价值观要求
从解决大量实际问题和学生感兴趣的问题中提高学生用数学的意识，体验数学所蕴含的数学美.
●教学重点
1.用图象表示两个变量之间的关系.
2.从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言合理地表示，并能结合具体情境理解图象上的点所表示的数学意义.
●教学难点
根据图象得出事物变化的规律.
●教学方法
自主探索法
本节课的重点是使学生获得对图象反映变量之间关系的体验，学生可借助于以前读统计图的经验发现两个变量的关系，并尽可能多地从图象中获取信息.
●教具准备
●教学过程
Ⅰ.创设情景，引入新课
［师］我们都知道，人的正常体温是36.5 ℃左右，这是一个很粗略的说法.
你知道人的体温是随时间变化的吗？一天之中，在凌晨2时到6时之间，人的体温最低；在下午5时到8时之间，人的体温最高.在正常情况下，人体温度变化的幅度大约是0.6 ℃.如果变化幅度超过1 ℃，特别是在“非典”时期，那就要被“隔离”观察.
在了解人体体温随时间变化的情况之前，我们不妨先来看一下一天天气温度变化的情况.（板书§6.3 温度的变化）
Ⅱ.讲授新课
——由学生根据读统计图的经验来自主探索图象中变量之间的关系
1.气温变化的情况
出示投影片（§6.3 A）
请你根据图象，与同伴讨论某地某天温度变化情况.
（1）上午9时的温度是多少？12时呢？
（2）这一天的最高温度是多少？是几时到达的？最低温度呢？
（3）这一天的温差是多少？从最低温度到最高温度经过了多长时间？
（4）在什么时间范围内温度在上升？在什么时间范围内温度在下降？
（5）图中的A点表示的是什么？B点呢？
（6）你能预测次日凌晨1时的温度吗？说说你的理由.
图6－7
［师］上述问题反映的是哪两个变量的关系？
［生］是时间和温度这两个变量的关系，其中时间是自变量，温度是因变量.
［师］根据图6－7，同学们可先自己获取上述六个问题的答，并与同伴交流.
［生］（1）上午9时的温度是27 ℃，12时是31 ℃.
［师］你是如何从图中读出的？
［生］在水平的数轴上找到9，它是表示时间的，过9的一条竖直的线与曲线交于一点，过这一点又有一条水平的线与竖直方向的数轴交于一点，此点表示的正是27 ℃.
［师］很好.
［生］（2）这一天最高的温度是37 ℃,是在15时达到的.因为最高温度应在曲线的最高点处达到，即C点是最高点，过这个点的水平方向就找到最高温度是37 ℃，竖直方向就找到了达到这温度的时间.同样，最低点D,就表示在3时，这天的气温达到最低温度23 ℃.
［生］（3）这天的温差应为最高温度－最低温度=37 ℃－23 ℃=14 ℃.而经过的时间应为3时至15时.
（4）温度上升，从图中反映的是曲线上升，观察可得3时到15时温度在上升；温度下降，从图中反映的是曲线下降，观察同样可以得出0时到3时、15时到24时温度在下降.
［生］（5）图中A点表示的是21时的温度为31 ℃，B点表示的是0时的温度是26 ℃.
（6）次日凌晨的温度应和前一日凌晨的温度相差不多，所以根据今天的凌晨1时的温度便可预测明日凌晨1时的温度约为24 ℃.
［师］同学们观察图6－7，可知曲线上的点所表示的意义，谁能用自己的语言描述一下呢？
［生］曲线上的点表示的是某一时刻这天的温度.
［师］而这样的点我们用一条光滑的曲线按时间顺序把它们连起来，就表示了温度随时间变化而变化的情况，它就是温度与时间关系的图象.因此我们又得到了表示变量之间关系的又一种方法——图象法.
用这种方法表示变量之间的关系，有何优点.同学们不妨交流一下.
［师生共析］用这种方法表示，很直观，一眼就可看出什么时间，一天温度达到最高；什么时间，一天温度达到最低.同时，还能观察出在什么时段内温度在上升，什么时段温度在下降.直观、形象、生动.
2.骆驼的体温
［师］骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间变化而发生较大的变化，下面是骆驼的体温随时间变化的图象，我们根据它来分析变量之间的关系.（出示投影片§6.3 B）
（图中25时表示次日凌晨1时）
图6－8
（1）一天中，骆驼体温变化范围是什么？它的体温从最低上升到最高需要多少时间？
（2）从16时到24时，骆驼的体温下降了多少？
（3）在什么时间范围内骆驼的体温在上升？在什么时间范围内骆驼的体温在下降？
（4）你能看出第二天8时骆驼的体温与第一天8时有什么关系吗？其他时刻呢？
（5）A点表示的是什么？还有几时的温度与A点所表示的温度相同？
（6）你还知道哪些关于骆驼的趣事？与同伴交流.
［师］在回答上述六个问题之前，我们先来看一下在这个问题中，哪是自变量，哪是因变量？
［生］时间是自变量，骆驼的体温是因变量.
［师］联系某天气温变化的图象，我们可以注意在用图象表示变量之间关系时，一般用水平方向上的数轴（即横轴）上的点表示________，用竖直方向的数轴（即纵轴）上的点表示________.
［生］用横轴上的点表示自变量，用纵轴上的点表示因变量.
［师］下面我就根据图象分析骆驼体温的变化.
［生］（1）一天中骆驼体温变化的范围是35 ℃到40 ℃.它的体温从最低上升到最高需要16时－4时.即需要12个小时（或40－28=12时）.
（2）16时的温度最高是40 ℃，24时骆驼的体温下降到了37 ℃，共下降了3 ℃.
（3）每天4时到16时体温在上升，0时到4时、16时到24时，体温在下降.
（4）从图象中可以看出第二天8时的体温与第一天8时的体温是相同的，其他时刻也是如此.也就是说骆驼在每天的体温变化规律是相同的.因为图象从24时开始复制了0时到24时的图象.
（5）A点表示的是12时的温度，与A点表示的温度相同的时刻还有20时的温度及次日12时和20时的温度.
（6）一提起骆驼，就想到了沙漠.骆驼之所以称为“沙漠之舟”，是由于骆驼耐饥、耐渴、耐劳又耐风沙，这些特殊的能力而使它成为人类的好朋友.
［生］骆驼最明显的特征是长有两个驼峰，一次进食后可以维持较长时间，它的脚掌很大，适宜沙漠行走.骆驼在沙漠上行走总是不紧不慢，踏着很稳健的步伐，但从不停留，靠着一种坚强的意志，到达目的地，我们应学习骆驼这种吃苦耐劳，锲而不舍的精神.
……
［师］同学们讲了很多关于骆驼的趣事，我们也都知道骆驼是人类的好朋友，人类应该和它们友好相处.在我国的珍稀野生动物中，生命力最强的就是在大漠戈壁深处独来独往，靠喝盐水生存的野骆驼.有关骆驼方面的有关资料同学们可到网上查找.
我们研究了体温随时间变化的情况，还记得刚上课时，老师提到的，人的体温也是随时间变化的.同学们可打开课本阅读P174的读一读，你会更好地了解人体正常体温的变化情况.阅读后，和同伴交流你从中获取的信息.
Ⅲ.随堂练习
出示投影片（§6.3 C）
1.海水受日月的引力而产生潮汐现象，早晨海水上涨叫做潮，黄昏海水上涨叫做汐，合称潮汐.潮汐与人类的生活有着密切的联系.下面是某港口从0时到12时的水深情况.
图6－9
（1）大约什么时刻港口的水最深？深度约是多少？
（2）大约什么时刻港口的水最浅？深度约是多少？
（3）在什么时间范围内，港口水深在增加？
（4）在什么时间范围内，港口水深在减少？
（5）A，B两点分别表示什么？还有几时水的深度与A点所表示的深度相同？
（6）说一说这个港口从0时到12时的水深是怎样变化的.
解：（1）在凌晨3时港口水最深，深度约为7.5米；
（2）上午9时港口水最低，深度约为2.4米；
（3）在凌晨0时到3时，上午9时到12时，港口的水深在增加；
（4）凌晨3时到上午9时，港口的水深在减少.
（5）A点表示上午6时港口的水深为5米，B点表示中午12时港口的水深为4.3米，0时水的深度与A点所表示的深度相同.
（6）（只要描述的是变化过程合理即可）凌晨0时到3时水深在增加；凌晨3时到上午9时水深在降低；上午9时到12时水深又开始增加.
2.如图6－10，向高为H的圆柱形空水杯中注水，表示注水量y与水深x的关系的图象是下面的哪一个？
图6－10
解：根据题意可知，x是自变量，y是因变量，当水深x为0时，注水量y也为0；同时，y随x的增大而增大，因此，应选A.
Ⅳ.课时小结
这节课从图象中分析了两个变量之间的关系，结合温度的变化直观而形象地从图象中获得了变量之间的有关信息.用图象来直观地反映变量之间的关系是表格法、关系式法所无法代替的.
Ⅴ.课后作业
1.课本习题6.3 第1题;
2.观察章头图《青春期男女孩身高曲线》并回答相应的问题;
3.收集生活中用图象法表示的两个变量之间的关系，并从中获取更多的信息.
.
●板书设计
§6.3 温度的变化
一、图象是表示变量之间关系的又一种方法.
1.直观、形象.
2.通常用水平方向的数轴上的点表示自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量.
二、随堂练习
（由学生板演）
第四课时
●课 题
§6.4 速度的变化
●教学目标
（一）教学知识点
1.通过速度随时间变化的实际情境，进一步经历从图象中分析变量之间关系的过程，加深对图象表示的理解.
2.给出实际情境，能大致描绘出它的关系图.
（二）能力训练要求
1.进一步发展从图象中获得信息的能力及有条理地进行语言表达的能力.
2.用变化的观点去观察和解释身边发生的数学现象.
（三）情感与价值观要求
1.鼓励学生大胆、合理地解释实际情境，为学习数学树立信心，提高兴趣.
2.发展学生应用数学的意识.
●教学重点
1.进一步通过图象获取信息，分析变量之间的关系.
2.用有条理的、合理的语言刻画现实情境.
●教学难点
由图象描述变量关系和由实际情境描述大致图象.
●教学方法
师生共同讨论法
●教具准备
●教学过程
Ⅰ.提出问题，引入新课
［师］表示变量之间关系的方法有几种？
［生］三种.分别是表格法，关系式和图象法.
［师］我们知道图象表示变量之间的关系，以其直观性有着其他表示形式所不能替代的作用.因此，我们这节课特别又对图象所表示的变量之间的关系进行讨论.
Ⅱ.讲授新课
师生通过图象，共同讨论变量之间的关系.
1.出示投影片（§6.4 A）
根据下列情境的描述，你能用图象大致刻画变量之间的关系吗？
（1）小明今天休息，上午9时骑自行车到新华书店买书.去时以某一速度匀速行进，用了20分钟到了书店；在书店买书用了30分钟；随后为了早点赶回家，加快了速度，但仍保持匀速行进，结果15分钟就赶回家.回家后，小明想画出自己骑自行车离开家的距离s千米与所用时间t分钟的关系的图象.你能帮他画出吗？
（2）下课铃声刚响，小明就加速向家跑，跑了5分钟后，他又匀速跑了一段，用了2分钟，快到家的时候，他开始减速，用了3分钟到家停下，你能画出小明放学回家途中的速度v与时间t之间关系的图象吗？
［师］就上面两个问题，同学们可自己先思考，然后和同伴交流讨论.
（这两个问题有一定的难度，教师应深入学生中给予指导或听一下学生的想法.）
［师］我刚才看了同学们在下面画的图象，对于第（1）小题，有这么几种画法，同学们来判断一下哪一种能较好地反映题中所描述的情境.
首先我们看同学A画的图象：
图6－13
［生］我认为这个图象不能反映题中所描述的情境.因为这个问题中的自变量是离开家的时间t，而因变量是小明离开家的距离s，前20分钟，小明匀速行驶，随着t的增大，距离s也在增大；然后20分钟到50分钟是小明在书店里买书，时间t在增大，而距离s是不变的；这两部分表示的都对.而50分钟到65分钟，小明在从书店往家里返，所以随着时间t的增大，距离家应越来越近，即s应越来越小以至于变成0，而这个图象在这一部分是上升的，明显的与题意不符.
［师］那么出现这种错误的原因是什么呢？
［生］原因是没有弄明白在这个变化过程中，因变量是离家的距离s，而不是小明行驶的总路程.
［师］我们再来看下一位同学画的.
图6－14
［生］我认为这个图象能更好地反映题中所描述的情境：前20分钟，随着时间t的增大，距离s也在增大；中间30分钟，小明在书店买书，t在逐渐增大，而距离s不变；而后15分钟，小明从书店往家里返，t在逐渐增大，距离s在逐渐减小直至回家s变成0.
［师］因此，我们用图象来表示两个变量之间关系时，一定要明白自变量、因变量分别是什么？因变量是如何随着自变量的变化而变化的？下面我们看第（2）个问题情境.把握上面两点，我相信大家一定会画得很好.
［生］老师，我画出来了.
［师］你能展示给大家吗？并说明你这样画的理由.
［生］可以，我是这样画的.
图6－15
根据题意，我首先搞清楚了自变量是时间t，因变量是速度v.在这个变化过程中，它告诉我们的是v是随t如何变化的.在前5分钟，小明加速向家跑，说明在这段时间里，v随着t的增大而增大，应用“上升的线”表示小明的速度在增加；在中间2分钟，小明匀速向家跑即随着时间t的增大，v不变，应用“水平线”表示小明在这段时间内速度不变；最后3分钟，小明减速向家跑，到家停下，说明随着时间t的增大，v在减小，应用“下降的线”表示小明在这段时间内速度v逐渐减小，直到停下，速度v变成0.
［师］大家有不同见解吗？
［生］没有.
［师］这位同学分析得很到位.
大家知道，每辆汽车上都有一个时速表来指示汽车当时的速度.下面我们再来研究一个问题.
2.速度的变化（出示投影片§6.4 B）
汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的.下面的图象表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况.
根据图象，回答问题：
图6－16
（1）汽车从出发到最后停止共经过了多少时间？它的最高时速是多少？
（2）汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？
（3）出发后8分到10分之间可能发生了什么情况？
（4）用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况.
［师］同样，我们先来注意一下横轴、纵轴所代表的变量是什么？
［生］横轴是自变量时间，纵轴是因变量速度.
［师］同学们可认真观察图象，可以看出图象中有“水平线”“上升的线”“下降的线”，它们分别代表什么？
［生］“水平线”表示在相应的时间段汽车的行驶速度不变即汽车匀速行驶或静止；“上升的线”表示在相应的时段，汽车的速度在增加；“下降的线”表示在相应的时段，汽车的速度在减小.
［师］看来，同学们基本能读懂图象.下面我们来共同讨论上面提出的问题.
［师生共析］（1）汽车从出发到最后停止共经过24分钟，汽车的最高时速是90千米/时.
（2）大约在2分到6分，18分到22分之间汽车匀速行驶，速度分别是30千米/时和90千米/时；
（3）出发后8分到10分速度为0，所以汽车是静止的，可能是遇到了红灯；也可能是遇到了朋友；也可能停下来加油.只要所说的情况合理即可.
（4）可以这样描述这辆汽车的行驶情况：汽车一出发就加速行驶2分钟.2分钟后又以30千米/时的速度匀速行驶4分钟，快到一加油站，然后减速行驶2分钟到加油站加油，过了2分钟，加满油.出了加油站，又开始加速行驶8分钟，时速达到90千米/时，然后以90千米/时的速度匀速行驶4分钟后，快到目的地，开始减速行驶，2分钟后到达目的地，停下休息.
（这里主要是关注对变化过程的大致刻画，学生的答案合理即可）
Ⅲ.随堂练习
1.（出示投影片§6.4 C）
柿子熟了，从树上落下来.下面哪一幅图可以大致刻画出柿子下落过程中（即落地前）的速度变化情况？
图6－17
［师］根据生活的经验，想象柿子从树上落下来的过程或利用手中的东西当柿子试验一下，你发现了什么？
［生］柿子下降的速度越来越快.
［师］我们不妨先来分析一下这四个图象所表示的变量之间的关系.
［生］这四个图象反映的都是速度随时间变化的情况，其中（1）的图象是“下降的线”，说明速度随时间而减小，即速度随时间的增大而越来越慢，显然不正确.
（2）图象是一条“水平线”，说明时间在逐渐增大而速度没变，即柿子在做匀速直线运动，显然也不正确.
（3）图象是一条“上升线”，而且起点是从零速度开始，说明柿子是从停止随着时间的增大速度在逐渐加快.显然是正确的.
（4）显然也不正确.图象是“下降的曲线”，说明速度在随着时间的增大在逐渐减慢.
2.（出示投影片§6.4 D）
一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶.过了一段时间，汽车到达下一个车站.乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶.下面的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况？
图6－18
（同学们根据题中的描述，首先明确自变量、因变量分别是什么，是怎样的一个变化过程.）
［生］图（1）说明汽车先是匀速行驶，然后再减速，到达车站，接上客人，又开始加速，然后匀速行驶.显然不合题意;
图（2）说明汽车先加速度行驶，然后匀速行驶一段时间后减速行驶，到达车站，乘客上下车后开始加速，一段时间后又匀速行驶，显然符合题意是正确的.
（3）（4）略.
Ⅳ.课时小结
［师］同学们可以谈一下这节课的收获和体会.
［生］通过速度随时间变化的情境，经历从图象中分析变量之间的关系的过程.加深了对图象表示的理解.
［生］我觉得这节课不仅要读懂文字语言，而且还要读懂图形语言.例如在速度随时间变化的图象中“水平线”表示什么？“上升的线”“下降的线”又代表什么？
［生］我觉得最关键的是搞清楚自变量、因变量，并且搞明白它们的变化关系.
［师］看来同学们收获还真不小.
Ⅴ.课后作业
1.习题6.4 1、2.
2.P179试一试.
●板书设计
§6.4 速度的变化
一、读图：
①自变量、因变量是什么？
②“上升线”——表示因变量随自变量的增大而增大.
“水平线”——表示因变量随自变量的增大不变或为0.
“下降线”——表示因变量随自变量增大而减小.
二、课堂练习
第五课时
●课 题
§6.5 回顾与思考
●教学目标
（一）教学知识点
1.回顾总结表示变量之间关系的方法.
2.学会用变量之间关系的各种形式分析变量之间的关系，并作出预测.
（二）能力训练要求
1.从常量的世界走入变量的世界，开始接触一种新的思维方式——用运动变化的观点去认识数学对象，发展符号感和抽象思维.
2.发展有条理的思考和进行表达的能力.
（三）情感与价值观要求
能从运动变化的角度解释生活中的数学现象，体验成就感，获得学习的快乐，发展对数学更高层次的认识.
●教学重点
1.进一步体会变量与变量之间关系的实例，并且试着用表格、图象和关系式来表示它们之间的关系.
2.根据各种表示变量之间关系的方法，对变量之间的关系进行分析，从而作出预测.
●教学难点
能读懂表格、关系式、图象所表示的信息，还能用表格、关系式、图象刻画一些具体情境中变量之间的关系.
●教学方法
讨论交流法
使学生在充分思考和交流讨论的基础上，逐渐建立本章的知识体系.
●教学过程
Ⅰ.提出问题，开拓思维
［师］首先我们看上节课留的作业，课本P179试一试：
分析反映变量之间关系的图6－22，想象一个适合它的实际情境.
图6－22
我想，同学们一定想好了一个合情合理的情境.
［生］我是这样想的：如果横轴和纵轴分别代表时间和离家的距离，那么这个图可表示为：小明从学校回家，行走了一段后，停下来在街心公园看了一会儿爷爷们下棋，然后又开始往家走，直到回家.
［师］这位同学的描述是不是合情合理呢？
［生］是的.老师我是这样描述的：如果横轴和纵轴分别代表时间和汽车的速度，那么这个图可以表示为一辆汽车从高速公路下来，先逐渐降低速度后，匀速行驶了一段时间，然后逐渐减速，到了目的地停下来.
［生］老师，我是把横轴和纵轴分别代表时间和汽车油箱里油量，那么这个图可以表示为一辆汽车装满油后，行驶在公路上，行驶一段后，司机到路边的饭店吃饭，休息，随后，开车向省城开去，快到省城的时候，油箱里的油用完.
［生］如果把横轴和纵轴分别代表时间和飞机行驶的高度，那么这个图就可以表示为：南方航空公司的一架飞机从一定的飞行高度慢慢下降一个高度，然后在这一高度飞行了一段时间后，快到机场时，开始降落，最后降落在机场.
……
［师］同学们的想象很丰富.看来，我们已经进入一个变量的世界.今天，我们就在这个五彩缤纷的世界里把第六章的内容回顾一下，通过思考、讨论、交流生活中的问题，构建本章的结构图.
Ⅱ.回顾与思考，构建本章的框架图
［师］大家请看课本P180的回顾与思考中的三个问题，我们先独立思考，然后在小组内交流、讨论，最后我们以组为单位在全班交流.
（学生在交流、讨论时，教师可参与到同学们中间去，和同学们以朋友的身份交流.同学们回答问题时，关注学生运用自己的语言解释答案的过程）.
［生］在烧水的过程中，水的温度随时间的变化而变化.
［生］家里的电表上的数字，随时间的变化而变化.
［生］燃烧的蜡烛的高度，随燃烧时间的变化而变化.
［生］一杯开水的温度，随放凉时间的增大，水变得越来越凉.
［生］铅球运动员掷出铅球的球的高度随掷出去的时间的变化而变化.
［生］我们星期一早上升旗，上升的国旗的高度随时间的变化而变化.
……
［师］大家举的例子都很好，能和生活紧密相联，能用变化的眼光欣赏我们眼前所发生的一切.我们可以用什么方法表示变量之间的关系呢？举例说明.
［生］表示变量之间的关系可用表格、图象、关系式来表示.例如:
一棵小树苗，刚栽下去时树高为2.1米，我想看一下树高是如何随每年时间的变化而变化的，我用表格的方法表示它每年来高度的变化.列表如下：
时间（年） 1年后 2年后 3年后 4年后 5年后
小树高度（米） 2.1+0.3 2.1+0.6 2.1+0.9 2.1+1.2 2.1+1.5
也可用关系式来表示小树的高h（米）与x年后时间的关系，根据表格我们可以发现:h=2.1+0.3x.
用图象更能直观地表示出小树的高度h随时间x变化的情况.如图6－23.
图6－23
［生］从这个同学举的例子及其表示变量之间关系的方法分析、预测10年后树高的情况.
例如：从表格中，我们可以读出小树每年长高0.3米，所以10年后小树的高度就是2.1+0.3×10=5.1（米）.
从关系式h=2.1+0.3x求 10年后的树高只需把x=10输入到关系式中，就可输出h的值，即h=2.1+0.3×10=5.1（米）
从图象中，我们可以读出h随x增大，而呈逐渐上升的趋势，我们把这种趋势延长下去，然后过横轴上表示10的点作垂线交图象于一个点，过此点作横轴的平行线，交纵轴于一点，这点的读数，便是10年后小树的树高.
［师］我相信同学们还有很多的例子要讲给大家，下面还请同学们在小组内交流、讨论，同时试着建立本章的结构框架图.
［师生共析］本章的框架图如下：
Ⅲ.深化，应用
［例1］某书店将一周的售书情况记录如下：
星期 一 二 三 四 五 六 日
收入/元 750 800 850 900 950 1000 1050
（1）上表反映的是哪两个变量之间的关系？
（2）画折线图表示两个变量之间的关系.
［分析］读懂表格，并用图象表示变量之间的关系.
解：（1）上表反映的是收入和星期数之间的关系.
（2）用折线图表示两个变量之间的关系如下：
图6－24
出示投影片（§6.5 B）
［例2］海拔高度每增加1000米，温度下降6 ℃，已知某地地面温度为32 ℃.计算海拔高度分别为1000米、2000米、3000米、4000米时相应的温度值.
分析：根据题意，先找到变量之间的关系式，特别注意单位.
解：某地地面温度为32 ℃，每增加1000米，即1千米，温度下降6 ℃,设海拔高度为h千米时相应温度为t ℃,根据题意可知t=32－6h.
当h=1000米=1千米时，t=32－6×1=26 ℃;
当h=2000米=2千米时，t=32－6×2=20 ℃;
当h=3000米=3千米时，t=32－6×3=14 ℃;
当h=4000米=4千米时，t=32－6×4=8 ℃.
出示投影片（§6.5 C）
［例3］图6－25是某厂一年的收入变化的图象，根据图象回答：在这一年中，
图6－25
（1）什么时候收入最高？什么时候收入最低？最高收入和最低收入各为多少？
（2）6月份收入是多少？
（3）哪个月的收入为4百万元？
（4）哪段时间的收入不断增加？
（5）哪段时间的收入不断减少？
［分析］此题要求同学能读懂图象所反映出来的信息.
解：（1）由图象可知，12月份的收入最高；为5百万；8月份的收入最低，为1百万；
（2）6月份的收入为2百万元；
（3）1月份收入为4百万元；
（4）从8月份到12月份收入不断增加；
（5）从1月份到7月份收入不断减少.
出示投影片（§6.5 D）
［例4］某贮水池开始贮水，每时进水20米3，设贮水量为V（米3），贮水时间为t（时）
（1）V与t之间的关系式是什么？
（2）用表格表示当t从2变化到8时（每次增加1），相应的V值？
（3）若贮水池最大贮水量为1000米3，则需多长时间能贮满水？
（4）当t逐渐增加时，V怎样变化？说说你的理由.
［分析］考查关系式和表格表示变量之间关系的方法，以及从关系式中，已知一个变量的值，可以求出另一个变量的值.
解：（1）V=20t;
（2）
时间/时 2 3 4 5 6 7 8
水量/米3 40 60 80 100 120 140 160
（3）把V=1000米3输入关系式，得1000=20t,解，得t=50时.
（4）当t逐渐增加时，V也在逐渐增加，因为V是t的正整数倍.
Ⅳ.课时小结
回顾一章的内容，主要包括：
1.通过丰富的现实情境引入变量与变量之间的关系的讨论，并通过对变量之间关系的分析解决问题，进行预测.
2.在探索和经历表示变量之间关系的过程中，获得对表格、关系式、图象等表示方法的体验.并能读懂它们所表示的信息，并能用它们刻画一些具体情境中变量之间的关系.
3.能用语言大致描述表格、关系式和图象所表示的关系.
也就是说，我们学习了这一章后，从常量的世界进入了变量的世界，开始接触一种新的思维方式.
Ⅴ.课后作业
1.课本复习题A、B、C组.
●板书设计
§6.5 回顾与思考
一、
二、例题讲解
三、课时小结
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网