图形的旋转
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第六届全国“初中青年数学教师优秀课观摩与评选活动”河南省参赛教案
义务教育课程标准实验教科书人教版九年级上册
《图形的旋转》教案
河南师大附中 张存敬
图形的旋转
教学目标：
1．使学生通过具体实例认识旋转，理解旋转的概念和基本性质，并能按要求作出简单平面图形旋转后的图形.
2．使学生经历对旋转图形的欣赏、分析、画图等过程，掌握有关画图的操作技能；通过多角度地认识旋转图形的形成过程，培养学生的发散思维能力．
3．通过师生互动、合作交流以及多媒体教学软件的使用，使学生发现旋转变换所蕴含的美，激发学生学习数学的兴趣.
教学重点：探究图形旋转的性质，并能根据这些特征绘制旋转后的几何图形．
教学难点：探索旋转变换的基本性质；通过旋转设计图案．
教学方法：实验观察，自主探究，合作交流．
教学过程:
师生活动 设计意图
创设情境，构建概念问题：有三个演员应邀到一个剧场同台演出，他们向剧场经理提出了同样的要求，在同一张宣传海报上把自己的名字排在第一位，否则他们将退出演出．这真是个非常头痛的问题，如果你是经理，你会怎么处理？ 富有挑战性的问题，激发了学生的兴趣，促进了数学思考，问题处理的方式既让学生感到旋转的神奇，又感到数学的形象、生动，学生的注意力迅速转移到本节课的课题．
问题：你能举出生活中与旋转现象有关的例子吗？在学生回答的基础上，教师用计算机演示动画图片.问题：它们是怎样旋转的，你能类比平移的定义概况出旋转的定义吗？（学生互相补充，加以完善，教师给出严格的定义）将一个图形绕一个定点转动一个角度，得到一个新的图形，这样的图形运动称为旋转．问题：你认为在旋转变换的概念中，哪些是关键的字词？（强调旋转三要素）活动一：请学生自学课本62页，重点关注如何确定旋转角、旋转中心、对应点．二．观察猜想，设计方案 问题：这是一个平躺的笑脸，现在把它绕点O顺时针旋转90度，哪一组图形能正确表示这一过程 老师：你能否就刚刚的讨论对旋转的性质作个猜想？活动二：学生在问题的解决过程中，对旋转的性质合理猜想：对应点到旋转中心的距离相等；任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都相等．活动三：学生通过自主探究、合作交流确立验证猜想是否正确的方案，小组展示方案．三．动手实践，验证猜想活动四：学生任意选择一种方案进行动手操作，验证猜想．活动五：老师通过几何画板进行验证，任意转动一个角度或者改变旋转中心的位置，学生都会清楚地发现对应点到旋转中心的距离相等，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都相等． 旋转的定义本身远没有这个定义的形成过程重要，这个过程可以作为一种机会，由具体材料抽象概括的机会，训练逻辑严密性的机会，尝试对空间形式进行描述的机会，欣赏数学语言的机会，强化学生类比方法的机会.
学生由直觉和生活经验就可以正确选出，却说不清为什么，由此来创设问题情境，非常自然过渡到接下来的探究问题中，符合探究的一般过程和学生的认知特点．通过设置数学实验让学生进行独立的探究学习，促使学生主动参与数学知识的“再发现”，培养学生动手实践能力和观察、分析、比较、抽象、概括的思维能力．学生学习旋转需要建立在现有的知识与经验上，是对现有知识和经验的再度抽象和概括的过程，动手操作最直接的目的就是在现场积累学生探究旋转性质所需要的经验，或者是对已经弱化的经验进行强化，增强体验，获得感性认识．
四．实践应用，巩固知识例1．如图1，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置． 图1（1）旋转中心是哪一点 旋转了多少度 （2）如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M旋转到了什么位置 例2．E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把ΔADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形．在学生归纳出图形旋转的特征后，教师提出相关的数学问题．学生独立思考、分析、解答问题．在本次活动中，教师应重点关注：(1) 学生画出图形后，能否准确地运用旋转的基本特征表达出画图的理论依据；(2) 学生画图的不同方法．练习1．如下图，这个图案可以看作是哪个“基本图形”经过怎样旋转组合得到的，你能想到几种“基本图形” 练习2---动手实践1．请利用旋转，设计一个优美的图案，给它取个名字，并说出它的含义．作品名称基本图案表达含义2．在其他学生设计的同时，找一个同学来讲台上利用电脑设计旋转图案． 例1主要是考察学生对旋转中心、旋转角、对应点的理解． 例2要让学生掌握有关画图的操作步骤，认识旋转图形的形成过程，将新知识内化入学生已有的认知结构中．练习1主要让学生经历旋转的过程．图案设计是旋转知识的自然延伸，鼓励学生用数学的思维去创造美，渗透图案设计的美学思想．学生也因此获得巨大的成就感和快乐，享受数学课堂．
五．深刻反思，客观评价1．学生自己总结，并在班上交流本节课——我学会了……使我感触最深的……我感到最困难的是……2．结合学生所述，教师给予指导：① 正确理解旋转的概念及其基本性质，并能按要求作出简单平面图形旋转后的图形．② 生活中处处有数学的影子，只要留心观察身边的事物，开动脑筋，就能用数学知识解决许多生活中的实际问题．六．分层作业，拓展延伸1．（必做题）课本66页第1题、第4题．2．实践题： 下图是方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在坐标纸上将该图形绕原点顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出它在各象限内的图形，你将得到一个美丽的“立体图形”! 课堂中通过学生自评、互评，可以使学生理清知识脉络，形成知识体系；全面地了解自己的学习过程，感受自己的成长与进步，这不仅有利于培养学生的自信心，也为教师全面了解学生的学习状况、改进教学、实施因材施教提供了重要依据．第1题强化基础知识，第2题是实践题，供学有余力的学生完成，让学生在坐标系中尝试画出旋转后的图形，感受图形上点的坐标与图形旋转之间的关系，发展学生的形象思维能力和数形结合意识，为以后的教学埋下伏笔．
教案设计说明
图形变换是空间与图形领域中重要的内容，它包括图形的平移、旋转、轴对称、相似，通过平移、旋转、折叠等活动，使图形运动起来，有助于在运动变化的过程中发现图形的不变的几何性质，因此图形的变换是研究几何问题、发现几何结论的有效工具，图形变换的本质是点到点的映射，在小学阶段，课程标准的要求是让学生认识旋转现象，了解旋转的简单性质，比如风扇的叶片在旋转的过程中位置发生了变化，但叶片形状和大小不变．不要求学生用准确的数学语言进行总结和概括．要让学生抓住旋转的本质特征，同时使学生经历对旋转图形的欣赏、分析、画图等过程，掌握有关画图的操作技能；通过多媒体教学软件的使用，使学生发现旋转变换所蕴含的美，激发学生学习数学的兴趣，但如何确定探究旋转的性质的方案是教学难点，这需要学生在合作交流中突破难点．
图形的旋转是继平移、轴对称之后的又一种图形基本变换，是义务教育阶段数学课程标准中图形变换的一个重要组成部分．根据自然界中的客观规律，以及人们对生活的需要和对美的追求，现实生活中存在着大量的旋转现象，我们生活在这样的环境中，就必然会接触这些现象，去研究这些现象．可以说，图形的旋转就是来源于现实世界中的物体及其运动、变化，是对物体运动、变化的数学抽象，教材中从学生实际接触、观察到的一些现象出发，从具体到抽象，从感性到理性，从实践到理论，再用理论检验实践，循序渐进地指导学生认识自然界和生活中具有旋转特点的事物，进而探索其性质，是培养学生思维能力、树立运动变化观点的良好素材．同时“图形的旋转”是一个重要的基础知识，隐含着重要的变换思想，它不仅为本章后续学习中心对称图形做好准备，而且也为今后学习“圆”的知识内容做好铺垫．
学生在小学已经感知旋转现象，类比平移的定义学生不难得出旋转的定义，但对于单摆转动以及球的转动等在三维空间中的转动是否为旋转学生的理解可能不同，在“笑脸”活动中，学生在表达关于旋转性质的猜想时语言可能不准确，这需要学生之间互相完善，在练习2中旋转图案的设计对学生来说具有挑战性，但学生在美术课上经常做手工、设计艺术图形，从中积累了旋转图案设计的知识，降低了难度，但是我们希望学生充分利用旋转的知识设计蕴含美感饱含哲理的图案．
教学设计体现以下特点：
1．做好与第二学段的衔接工作．
学生在第二学段已初步接触过旋转有关知识和方法，但侧重于感性的认识，并且大多借助于方格纸．在教学中我们应该根据《数学课程标准》的要求，结合本学段学生的特点，充分考虑学生的知识基础和生活经验，组织好学习．
2．注意选取学生身边的、熟悉的材料．
图形与变换是新增加的内容，相对于传统的教学内容它涉及图形的变化，这就对学生认识图形的能力和想像能力提出了更高的要求．教师一方面应充分运用好课本已提供的丰富的素材，另一方面也应该选取一些学生身边的、熟悉的材料，丰富教学内容，以帮助学生对图形变换概念的认识和性质的理解．
3．按照学生认知规律，遵循以“学生为主体，教师为主导，数学活动为主线”的指导思想，采
用以实验观察法为主，直观演示法为辅的教学方法．
根据学法指导自主性和差异性原则，让学生在“观察——猜想——操作——验证——交流——应用”的实践探索中，自主参与知识的产生、发展、形成与应用的过程．通过学生的自主活动、主动探索、合作交流、动手操作等活动来构建与此相关的知识经验，使学生掌握知识，从而达到知识的运用．
4．注重与已学图形变换的联系．
平移、轴对称和旋转都是全等变换，平移、轴对称的学习将对旋转的学习产生正迁移．
5．合理使用《几何画板》．
利用计算机中的画图软件可以方便地作出一个图形绕某一点O旋转一个角度后的图形．可以利用软件的度量功能，发现对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；改变点O的位置或改变这个图形的位置，再对这个图形作旋转变换，仍然可以得出上述结论．利用旋转变换可以进行图案设计，借助计算机则更加方便．有条件的话，可以让学生充分发挥自己的想象力，进行这方面的尝试．
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第六届全国“初中青年数学教师优秀课观摩与评选活动”河南省参赛教案
义务教育课程标准实验教科书人教版九年级上册
《图形的旋转》教案
河南师大附中 张存敬
图形的旋转
教学目标：
1．使学生通过具体实例认识旋转，理解旋转的概念和基本性质，并能按要求作出简单平面图形旋转后的图形.
2．使学生经历对旋转图形的欣赏、分析、画图等过程，掌握有关画图的操作技能；通过多角度地认识旋转图形的形成过程，培养学生的发散思维能力．
3．通过师生互动、合作交流以及多媒体教学软件的使用，使学生发现旋转变换所蕴含的美，激发学生学习数学的兴趣.
教学重点：探究图形旋转的性质，并能根据这些特征绘制旋转后的几何图形．
教学难点：探索旋转变换的基本性质；通过旋转设计图案．
教学方法：实验观察，自主探究，合作交流．
教学过程:
师生活动 设计意图
创设情境，构建概念问题：有三个演员应邀到一个剧场同台演出，他们向剧场经理提出了同样的要求，在同一张宣传海报上把自己的名字排在第一位，否则他们将退出演出．这真是个非常头痛的问题，如果你是经理，你会怎么处理？ 富有挑战性的问题，激发了学生的兴趣，促进了数学思考，问题处理的方式既让学生感到旋转的神奇，又感到数学的形象、生动，学生的注意力迅速转移到本节课的课题．
问题：你能举出生活中与旋转现象有关的例子吗？在学生回答的基础上，教师用计算机演示动画图片.问题：它们是怎样旋转的，你能类比平移的定义概况出旋转的定义吗？（学生互相补充，加以完善，教师给出严格的定义）将一个图形绕一个定点转动一个角度，得到一个新的图形，这样的图形运动称为旋转．问题：你认为在旋转变换的概念中，哪些是关键的字词？（强调旋转三要素）活动一：请学生自学课本62页，重点关注如何确定旋转角、旋转中心、对应点．二．观察猜想，设计方案 问题：这是一个平躺的笑脸，现在把它绕点O顺时针旋转90度，哪一组图形能正确表示这一过程 老师：你能否就刚刚的讨论对旋转的性质作个猜想？活动二：学生在问题的解决过程中，对旋转的性质合理猜想：对应点到旋转中心的距离相等；任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都相等．活动三：学生通过自主探究、合作交流确立验证猜想是否正确的方案，小组展示方案．三．动手实践，验证猜想活动四：学生任意选择一种方案进行动手操作，验证猜想．活动五：老师通过几何画板进行验证，任意转动一个角度或者改变旋转中心的位置，学生都会清楚地发现对应点到旋转中心的距离相等，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都相等． 旋转的定义本身远没有这个定义的形成过程重要，这个过程可以作为一种机会，由具体材料抽象概括的机会，训练逻辑严密性的机会，尝试对空间形式进行描述的机会，欣赏数学语言的机会，强化学生类比方法的机会.
学生由直觉和生活经验就可以正确选出，却说不清为什么，由此来创设问题情境，非常自然过渡到接下来的探究问题中，符合探究的一般过程和学生的认知特点．通过设置数学实验让学生进行独立的探究学习，促使学生主动参与数学知识的“再发现”，培养学生动手实践能力和观察、分析、比较、抽象、概括的思维能力．学生学习旋转需要建立在现有的知识与经验上，是对现有知识和经验的再度抽象和概括的过程，动手操作最直接的目的就是在现场积累学生探究旋转性质所需要的经验，或者是对已经弱化的经验进行强化，增强体验，获得感性认识．
四．实践应用，巩固知识例1．如图1，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置． 图1（1）旋转中心是哪一点 旋转了多少度 （2）如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M旋转到了什么位置 例2．E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把ΔADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形．在学生归纳出图形旋转的特征后，教师提出相关的数学问题．学生独立思考、分析、解答问题．在本次活动中，教师应重点关注：(1) 学生画出图形后，能否准确地运用旋转的基本特征表达出画图的理论依据；(2) 学生画图的不同方法．练习1．如下图，这个图案可以看作是哪个“基本图形”经过怎样旋转组合得到的，你能想到几种“基本图形” 练习2---动手实践1．请利用旋转，设计一个优美的图案，给它取个名字，并说出它的含义．作品名称基本图案表达含义2．在其他学生设计的同时，找一个同学来讲台上利用电脑设计旋转图案． 例1主要是考察学生对旋转中心、旋转角、对应点的理解． 例2要让学生掌握有关画图的操作步骤，认识旋转图形的形成过程，将新知识内化入学生已有的认知结构中．练习1主要让学生经历旋转的过程．图案设计是旋转知识的自然延伸，鼓励学生用数学的思维去创造美，渗透图案设计的美学思想．学生也因此获得巨大的成就感和快乐，享受数学课堂．
五．深刻反思，客观评价1．学生自己总结，并在班上交流本节课——我学会了……使我感触最深的……我感到最困难的是……2．结合学生所述，教师给予指导：① 正确理解旋转的概念及其基本性质，并能按要求作出简单平面图形旋转后的图形．② 生活中处处有数学的影子，只要留心观察身边的事物，开动脑筋，就能用数学知识解决许多生活中的实际问题．六．分层作业，拓展延伸1．（必做题）课本66页第1题、第4题．2．实践题： 下图是方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在坐标纸上将该图形绕原点顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出它在各象限内的图形，你将得到一个美丽的“立体图形”! 课堂中通过学生自评、互评，可以使学生理清知识脉络，形成知识体系；全面地了解自己的学习过程，感受自己的成长与进步，这不仅有利于培养学生的自信心，也为教师全面了解学生的学习状况、改进教学、实施因材施教提供了重要依据．第1题强化基础知识，第2题是实践题，供学有余力的学生完成，让学生在坐标系中尝试画出旋转后的图形，感受图形上点的坐标与图形旋转之间的关系，发展学生的形象思维能力和数形结合意识，为以后的教学埋下伏笔．
教案设计说明
图形变换是空间与图形领域中重要的内容，它包括图形的平移、旋转、轴对称、相似，通过平移、旋转、折叠等活动，使图形运动起来，有助于在运动变化的过程中发现图形的不变的几何性质，因此图形的变换是研究几何问题、发现几何结论的有效工具，图形变换的本质是点到点的映射，在小学阶段，课程标准的要求是让学生认识旋转现象，了解旋转的简单性质，比如风扇的叶片在旋转的过程中位置发生了变化，但叶片形状和大小不变．不要求学生用准确的数学语言进行总结和概括．要让学生抓住旋转的本质特征，同时使学生经历对旋转图形的欣赏、分析、画图等过程，掌握有关画图的操作技能；通过多媒体教学软件的使用，使学生发现旋转变换所蕴含的美，激发学生学习数学的兴趣，但如何确定探究旋转的性质的方案是教学难点，这需要学生在合作交流中突破难点．
图形的旋转是继平移、轴对称之后的又一种图形基本变换，是义务教育阶段数学课程标准中图形变换的一个重要组成部分．根据自然界中的客观规律，以及人们对生活的需要和对美的追求，现实生活中存在着大量的旋转现象，我们生活在这样的环境中，就必然会接触这些现象，去研究这些现象．可以说，图形的旋转就是来源于现实世界中的物体及其运动、变化，是对物体运动、变化的数学抽象，教材中从学生实际接触、观察到的一些现象出发，从具体到抽象，从感性到理性，从实践到理论，再用理论检验实践，循序渐进地指导学生认识自然界和生活中具有旋转特点的事物，进而探索其性质，是培养学生思维能力、树立运动变化观点的良好素材．同时“图形的旋转”是一个重要的基础知识，隐含着重要的变换思想，它不仅为本章后续学习中心对称图形做好准备，而且也为今后学习“圆”的知识内容做好铺垫．
学生在小学已经感知旋转现象，类比平移的定义学生不难得出旋转的定义，但对于单摆转动以及球的转动等在三维空间中的转动是否为旋转学生的理解可能不同，在“笑脸”活动中，学生在表达关于旋转性质的猜想时语言可能不准确，这需要学生之间互相完善，在练习2中旋转图案的设计对学生来说具有挑战性，但学生在美术课上经常做手工、设计艺术图形，从中积累了旋转图案设计的知识，降低了难度，但是我们希望学生充分利用旋转的知识设计蕴含美感饱含哲理的图案．
教学设计体现以下特点：
1．做好与第二学段的衔接工作．
学生在第二学段已初步接触过旋转有关知识和方法，但侧重于感性的认识，并且大多借助于方格纸．在教学中我们应该根据《数学课程标准》的要求，结合本学段学生的特点，充分考虑学生的知识基础和生活经验，组织好学习．
2．注意选取学生身边的、熟悉的材料．
图形与变换是新增加的内容，相对于传统的教学内容它涉及图形的变化，这就对学生认识图形的能力和想像能力提出了更高的要求．教师一方面应充分运用好课本已提供的丰富的素材，另一方面也应该选取一些学生身边的、熟悉的材料，丰富教学内容，以帮助学生对图形变换概念的认识和性质的理解．
3．按照学生认知规律，遵循以“学生为主体，教师为主导，数学活动为主线”的指导思想，采
用以实验观察法为主，直观演示法为辅的教学方法．
根据学法指导自主性和差异性原则，让学生在“观察——猜想——操作——验证——交流——应用”的实践探索中，自主参与知识的产生、发展、形成与应用的过程．通过学生的自主活动、主动探索、合作交流、动手操作等活动来构建与此相关的知识经验，使学生掌握知识，从而达到知识的运用．
4．注重与已学图形变换的联系．
平移、轴对称和旋转都是全等变换，平移、轴对称的学习将对旋转的学习产生正迁移．
5．合理使用《几何画板》．
利用计算机中的画图软件可以方便地作出一个图形绕某一点O旋转一个角度后的图形．可以利用软件的度量功能，发现对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；改变点O的位置或改变这个图形的位置，再对这个图形作旋转变换，仍然可以得出上述结论．利用旋转变换可以进行图案设计，借助计算机则更加方便．有条件的话，可以让学生充分发挥自己的想象力，进行这方面的尝试．
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