《与圆有关的位置关系》教案（共4课时）

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
《与圆有关的位置关系》教案（共4课时）
1．理解并掌握设oo的半径为r，点P到圆心的距离OP—d，则有：点P在圆外管d>r；点P在圆上固d—r；点P在圆内甘d2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．
3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．
4．了解反证法的证明思想．
复习圆的两种定义和形成过程，并经历探究一个点、两个点、三个点能作圆的结论及作图方法，给出不在同一直线上的三个点确定一个圆．接下去从这三点到圆心的距离逐渐引入点P到圆心距离与点和圆位置关系的结论并运用它们解决一些实际问题．
1．重点：点和圆的位置关系的结论；不在同一直线上的三个点确定一个圆其它们的运用．
2．难点：讲授反证法的证明思路．
3．关键：由一点、二点、三点、四点作圆开始导出不在同一直线上的三个点确定一个圆．
一、复习引入
(学生活动)请同学们口答下面的问题．
1．圆的两种定义是什∠
2．你能至少举例两个说明圆是如何形成的
3．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何
4．如果在圆外有一点呢 圆内呢 请你画图想一想．
点评：(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆；圆心为0，半径为r的圆可以看成是所有到定点0的距离等于定长r的点组成的图形．(2)圆规；一个定点，一个定长画圆．(3)都等于半径．(4)经过画图可知，圆外的点到圆心的距离大于半径；圆内的点到圆心的距离小于半径．
二、探索新知
由上面的画图以及所学知识，我们可知：
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP＝d
则有：点P在圆外　　d>r 点P在圆上　　　d—r 点P在圆内　　　d反过来，也十分明显.
这个结论的出现，对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内提供了依据．
下面，我们接下去研究确定圆的条件：
(学生活动)经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那∠，经过一点能作几个圆 经过二点、三点呢 请同学们按下面要求作圆．
(1)作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆
(2)作圆，使该圆经过已知点A、B，你是如何做的 你能作出几个这样的圆 其圆心的分布有什么特点 与线段AB有什∠关系 为什么
(3)作圆，使该圆经过已知点A、B、C三点(其中 A、B、C三点不在同一直线上)，你是如何做的 你能作出几个这样的圆
在上面的作图过程中，因为直线DE与FG只有一个交点 O，并且点。到A、B、C三个点的距离相等(中垂线上的任一点到两边的距离相等)，所以经过A、B、C三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．
即：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．
外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．
下面我们来证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆．
证明：略．
所以，过同一直线上的三点不能作圆．
上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立(即假设过同一直线上的三点可以作一个圆)，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．这种证明方法叫做反证法．
在某些情形下，反证法是很有效的证明方法．
例1．某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．
分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心．
三、巩固练习　　教材P．100 练习l、2、3、4．
四、应用拓展
例2．如图，已知梯形ABCD中，AB∥ CD，AD＝BC，AB＝48cm， CD＝30cm，高27cm，求作一个圆经过A、B、C、D四点，写出作法并求出这圆的半径(比例尺1：10)
分析：要求作一个圆经过A、B、C、D四个点，应该先选三个点确定一个圆，然后证明第四点也在圆上即可．要求半径就是求OC或OA或OB，因此，要在直角三角形中进行，不妨设在Rt△EOC中，设OF＝x，则OE=27-x,由OC=OB便可列出，这种方法是几何代数解．
五、归纳总结(学生总结，点评)
本节课应掌握：
1．点和圆的位置关系：设00的半径为r，点P到圆心的距离为d，若点P在圆外则有d>r；则<点P在圆上则d＝r；若点P在圆内，则有d2．不在同一直线上的三个点确定一个圆． 3．三角形外接圆和三角形外心的概念．
4．反证法的证明思想． 5．以上内容的应用．
六、布置作业：教材Pll0 复习巩固 1、2、3．
4.2 与圆有关的位置关系(2)
1．了解直线和圆的位置关系的有关概念．
2．理解设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，则有：直线与⊙O的位置关系跟d、r的密切关系．
3．理解切线的判定定理；理解切线的性质定理并熟练掌握以上内容解决一些实际问题．
通过复习点和圆的位置关系，引入直线和圆的位置关系，以直线和圆的位置关系中的d＝r得出直线和圆相切，讲授切线的判定定理和性质定理．
1．重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．
2．难点与关键：由上节课点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系的三个对应等价．
一、复习引入
(口问，学生口答，并在黑板上板书)
点和圆的位置关系，如何用数量关系描述？
二、探索新知
前面我们讲了点和圆有这样的位置关系，如果这个点P改为直线l呢 它是否和圆还有这三种的关系呢
(学生活动)固定一个圆，把三角尺的边缘运动，如果把这个边缘看成一条直线，那∠这条直线和圆有几种位置关系
(提问，学生口答并板书)直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离．
直线l和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．
我们知道，点到直线l的距离是这点向直线作垂线，这点到垂足D的距离，按照这个定义，作出圆心。到z的距离的三种情况
(学生分组活动)：设00的半径为r，圆心到直线l的距离为d，请模仿点和圆的位置关系，总结出什么结论
因为d＝r；直线l和⊙O相切，这里的d是圆心。到直线l的距离，即垂直，并由d=r就可得到l经过半径r的外端，即半径OA的A点，因此，很明显的，我们可以得到切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线l是圆的切线． I
(学生分组讨论)：根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是④0的切线，你应该如何证明
(点评)：应分为两步：(1)说明这个点是圆上的点，(2)过这点的半径垂直于直线．
例1．如图，已知 Rt△ABC的斜边AB=8cm， AC=4cm．
(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与oC相切 为什么
(2)以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系
分析：(1)根据切线的判定定理可知，要使直线 AB与oC相切，那∠这条半径应垂直于直线AB，并且C点到垂足的长就是半径，所以只要求出如图所示的CD即可．
(2)用d和r的关系进行判定，或借助图形进行判定．
反之，如果知道这条直线是切线呢 有什∠性质定理呢
实际上，如图，CD是切线，A是切点，连结AO交00于B，那∠AB是对称轴，所以沿 AB对折图形时，AC与AD重合，因此，∠BAC＝∠BAD＝90°．
因此，我们有切线的性质定理：……
三、巩固练习　　教材P102 练习，Pl03 练习．
四、应用拓展
例2．如图24—56，AB为⊙O的直径，C是00上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB＝∠A．
(1)CD与00相切吗 如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．
(2)若CD与⊙O相切，且∠D＝30°，BD＝10，求⊙O的半径．
分析：(1)要说明CD是否是⊙O的切线，只要说明 OC是否垂直于CD，垂足为C，因为C点已在圆上．由已知易得：∠A＝30°，又由∠DCB＝∠A＝30°得：BC＝BD＝10
五、归纳小结(学生归纳，总结发言点评)
本节课应掌握：
1．直线和圆相交、割线、直线和圆相切，切线、切点、直线和圆相离等概念．
2．直线和圆的三种位置关系如何判断？有何数量关系？
3．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
4．切线的性质定理，圆的切线垂直于过切点的半径．
5．应用上面的知识解决实际问题．
六、布置作业：　　教材P110 复习巩固4、5．
24.2 与圆有关的位置关系(3)
了解切线长的概念．
理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用．
复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题．
1．重点：切线长定理及其运用．
2．难点与关键：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．
一、复习引入
1．已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质 I
2．点和圆有几种位置关系 你能说说在这一节中应掌握几个方面的知识
3．直线和圆有什么位置关系 切线的判定定理和性质定理，它们如何
二、探索新知
从上面的复习，我们可以知道，过⊙O上任一点 A都可以作一条切线，并且只有一条，根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题．
问题：在你手中的纸上画出⊙O，并画出过A点的唯一切线PA，连结PO，沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是00的一条半径吗 PB是④O的切线吗 利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系
学生分组讨论，抽取3～4位同学回答这个问题．
我们把PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
从上面的操作几何我们可以得到：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
下面，我们给予逻辑证明．
I 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
我们刚才已经复习，三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等．
(同刚才画的图)设交点为I，那么I到AB、AC、BC的距离相等，如图所示，因此以
点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则 ⊙I与△ABC的三条边都相切．
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．
例2．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、 E、F，如果AE＝1，CD＝2，BF＝3，且△ABC的面积为6．求内切圆的半径r．
分析：直接求内切圆的半径有困难，由于面积是已知的，因此要转化为面积法来求．就需添加辅助线，如果连结 AO、BO、CO，就可把三角形ABC分为三块，那∠就可解决．
三、巩固练习　　教材P106 练习．
四、应用拓展
例3．如图24—67，⊙O的直径AB＝12cm，AM、BN是两条切线，DC切⊙O于E，交AM于D，交BN于C，设AD＝z， BC＝y．
(1)求y与z的函数关系式，并说明是什么函数
(2)若-x、y是方程2x2—30x＋m＝O的两根，求 x，y的值；
(3)求△COD的面积．
分析：(1)要求y与x的函数关系，就是求BC与 AD的关系，其实，根据切线长定理：DE=AD=x，CE=CB=y，即DC=x+y，又因为AB=12，所以只要作 DF⊥BC，垂足为F，根据勾股定理，便可求得．
五、归纳小结(学生归纳，点评)
本节课应掌握：1．圆的切线长概念；2．切线长定理；3．三角形的内切圆及内心的概念．
六、布置作业　　　教材P117　综合运用5、6、7、8．
24.2 与圆有关的位置关系(4)
了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交、圆心距等概念．
理解两圆的互解关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题．
通知复习直线和圆的位置关系和结合操作几何，迁移到圆与圆之间的五种关系并运用它们解决一些具体的题目．
1．重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用.
2．难点与关键：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题．
一、复习引入
请同学们独立完成下题．在你的随堂练习本上，画出直线l和圆的三种
位置关系，并写出等价关系．
点评：直线l和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离，如图(a)～(c)所示．
(其中d表示圆心到直线f的距离，r是⊙O的半径)
二、探索新知
请每位同学完成下面一段话的操作几何，四人一组讨论你能得到什么结论．
(1)在一张透明纸上作一个⊙O1，再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2，把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系
(2)设两圆的半径分别为r1和r2(r1用两圆在黑板上运动并点评：可以发现，可以会出现以下五种情况：
两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离；
两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．
两个圆有两个公共点，那么就说两个圆相交．
两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．（外切、内切）．
两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离．（外离、做内含）．
内含的一种特殊情况——圆心相同，我们把它称为同心圆．
问题(分组讨论)如果两圆的半径分别为r1，和r2(rl找出：两圆的位置关系跟d与r1和r2之间的关系
例1：两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图所示，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．
三、巩固练习： 教材P109 练习．
四、应用拓展
例3．如图，半径不等的⊙O1、⊙O2外离，线段O1O2分别交⊙O1、⊙O2，于点A、B，MN为两圆的内公切线，分别切⊙O1、⊙O2于点M、N，连结 MA、NB．
(1)试判断∠AMN与∠BNM的数量关系 并证明你的结论．
(2)若将“MN为两圆的内公切线”改为“MN为两圆的外公切线”，其余条件不变，∠AMN与∠BNM是否一定满足某种等量关系 完成下图并写出你的结论．
五、归纳小结(学生归纳，点评)
本节课应掌握：
1．圆和圆位置关系的概念：两个圆相离(外离、内含)，相切(外切、内切)，相交．
2．圆和圆位置关系的数量关系
六、布置作业　　教材Pll0 复习巩固6、7 P111 综合运用11、13．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网