一元二次方程根的判别式（１）

一元二次方程根的判别式（１）
学习目的：
1、 理解一元二次方程的判别式的意义的作用
2、 利用△求字母的取值范围
学习重点、难点：
重点：利用△解决一些相关问题
难点：注意隐含条件的应用
学习过程：
一、新课引入
1、一元二次方程的一般形式是_______________________
2、上述方程求根公式是_____________________________
3、一元二次方程的根的情况是由b2-4ac的符号来决定的习惯上，记作：4=b2-4ac，其中△称为一元二次方程根的判别式
4、一元二次方程的根与判别式b2-4ac的关系：△=b2-4ac
（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根
（2）△＝0时，方程有两个相等的实数根
（3）△＜0时，方程没有实数根
有时候常常将（1）（2）两个结论结合，即
（4）△≥0时，方程有实数根
根据△的符号可以不解方程，判别一元二次方程根的情况。
二、讲解例题
例子1：不解方程，判别下列一元二次方程根的情况
（1）2x2+3x-4=0 （2）3x2+2=x
（3）x2+1=x （4）x2+2kx+k2=0
EX：不解方程，判别下列一元二次方程根的情况
（1）3x2+4x-2=0 （2）2y2+5=6y
（3）x2+5=2x （3）x2-4mx+m2=0
反之，知道方程根的情况，可以判别△的符号，从而进一步确定字母的取值范围。
例2：m为何值时，关于x的一元二次方程(m-2)x2－2(m-1)x+m+1=0
（1） 有两个不相等的实数根
（2） 有两个相等的实数根
（3） 没有实数根
（4） 有实数根
变式：m为何值时，关于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0有实数根
例3：已知，关于x的方程kx2+kx+5=k有两个相等的实数根
求：k的值及此时方程的根。
EX：1、k是什么数时，关于x的一元二次方程kx2-(2k+1)x+k=0
（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根 （3）没有实数根
２、若关于x的方程kx2-(2k+1)x+k=0有实数根。求：k的取值范围
３、关于x的一元二次方程，mx2-(3m-1)x+2m-1=0。其根的判别式的值为1，求m的值　　　　　　　　及方程的根
三、课堂作业：
1、 不解方程判别方程根的情况
（１）x2+3x=1 　　　　　　　　　　　　（2）x2+9=6x
（3）2y2-3y+4=0 　　　　　　　　　　　（4）x2+5=2x
2、 k为何值时，关于x的方程x2-(2k-1)x=-k2+2k+3有两个不相等的实数根
3、若关于x的一元二次方程kx2-2(k-1)x+k+3=0有实数根。求：k的取值范围
4、关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根。求：a的取值范围
5、关于x的方程(1-2k)x2-2 x-1=0有两个不相等的实数根。求：k的取值范围
四、课堂小结：
1、根的判别式只适用于一元二次方程，若无法准确确定是否为一元二次方程，则应分类讨论。
2、注意二次项系数不为0的条件。
一元二次方程根的判别式（２）
学习目的：
1、 理解一元二次方程根的判别式能用根的判别式判定根的情况
2、运用判别式求符合题意的字母的取值范围进而进行有关证明
学习重点、难点：
重点：利用根的判别式解决两大类问题
难点：利用根的判别式解决两大类问题
学习过程：
一、要点聚集
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），根的判别式△=b2-4ac
（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根
（2）△＝0时，方程有两个相等的实数根
（3）△＜0时，方程没有实数根
Ｅx：
1．x2－2x+k=0没有实数根，则k的取值范围是_______________。
2．2x2+kx+1=0有两个相等的实数根，则k=____________。
3．关于x的一元二次方程kx2-6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________。
4．关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+1=0有实数根，则m的取值范围是____________。
二、例题讲解
例1、求证：不论k为何值，关于x的方程2x2-（2k-1）x+k+1=0都没有实数根。
Ex：
1． 求证：x2-（m-3）x-+1=0必有两个不相等的实数根。
2． 求证：k2（x2+1）-2kx+x2+4=0一定没有实数根。
例2、已知关于x的方程x2+2x=m+9没有实数根，求证：x2+mx-2m=-5有两个不相等的实数根。
Ex：已知：a，b，c为△ABC三边长，那么方程c2x2+（a+b）x+=0的根的情况如何？
三、课堂作业
1．求证：关于x的方程x2-（a+2）x+2（a-1）=0一定有两个不相等的实数根。
2．求证：方程x2-（2k+1）（x-2）-4=0总有两个实数根。
3．关于x的方程kx2+（k+2）x+=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
4． 在关于x的方程a（1-x2）-bx+c（1+x2）=0中，a、b、c为Rt△ABC三边，∠C=
90°，求证：此方程必有两个不相等的实数根。
5． 已知关于x的方程（k-3）x2+kx+1=0，求证：不论k取何值，方程总有实数根。
四、课后作业
1．若关于x的一元二次方程kx2+2（k-2）x+k-3=0 有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
2． 求证：不论k取什么数，关于x的方程2x2-（k+1）x=6+k都有两个不相等的实数根。
3．求证：关于x的方程x2+2（2-m）x+3-6m=0，无论m取什么实数，方程总有实根
4、已知Rt△ABC三边为a，b，c。∠B=90°，判别关于x的方程a（x2-1）-2cx+b（x2+1）=0的根的情况。
5、已知：a，b，c为△ABC三边，方程（b+c）x2+（a-c）x-（a-c）=0，有两个相等的实数根，△ABC是什么三角形？
6、a为何值时，方程（a+1）x2+（2a-5）x+a-1=0有两个实数根。
7、如果关于x的一元二次方程mx2-2（m+2）x+m+5=0，没有实数根。试判断关于x的方程
（m-5）x2-2（m+2）x+m=0的根的情况。