加强试题研究，提升教研层次

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加强试题研究，提升教研层次
翔宇教育集团宝应实验初中 马洪亮
各位老师：
今天我要和大家交流的是《加强试题研究，提升备课组的研究层次》，数学老师天天喝数学题目打交道，但如果不对问题做深入研究，便容易墨守成规，对问题的解决易形成思维定势。下面我们先从一道题谈起：
一道打破常规思维的中考题
例1（09北京）如图，在平面直角坐标系xoy中，△ABC三个机战的坐标分别为A(－6,0)，B(6,0)，C(0,)，延长AC到点D,使CD=AC,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.
（1）求D点的坐标；
（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）设G为y轴上一点，点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）
很多人被这道题难住了，包括一些老师，为什么？其根源是思维定势！我们先来看一下这种思维定势的形成：
题1.在河的同旁有A、B两个村庄，现在要在河边修一个供水站给A、B两村供水，问在那个位置修能使到A、B两村距离最短。
在解决这类问题时，我们常常将题1（也称将军饮马）作为问题原型，近些年各地中考此类题目的变式问题层出不穷，再如下面几题（对问题和方法作必要的描述）：
题2.如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E在BC上，且BE=2,点P在BD上，则PE+PC的最小值为 .
题3.要在两条街道a和b上各设立一个邮筒，M处是邮局，问邮筒设在哪里才能使邮递员从邮局出发，到两个邮筒取完信再回到邮局的路程最短？
题4.如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
由于以上几题在解题的过程中都用到了对称，于是学生就开始总结并形成方法：解决最短问题的方法是找对称点，将问题转化为两点之间距离最短的问题。思维定势就此形成。
当遇到北京市的这条求最短的问题时，头脑中首先跳出来的是对称，却发现无法解决了。那么问题出在哪里？其实根源在于对问题本质的探究上，该问题的本质不是对称，而是转化，通过找等价点将问题转化为两点之间距离最短的情形。（几何画板演示转化的过程）
思维定势能够提高解题速度，我们对问题的方法、规律进行总结，就是为了形成思维定势，但却不能被思维定势所束缚。
在对数学试题进行研究的过程中，我们不仅要探寻问题的本质，很多时候我们还要探寻问题的背景，下面我们看一道中考压轴题的几何背景的探索：
探寻一道压轴题的几何背景
翻看近年来的全国各地的中考压轴题，我们会发现，大多数的几何类问题都有一个很明显的几何背景，而对问题的几何背景的探寻有利于我们对问题就研究的深入。以09年上海市的一条中考题为例：
例2（09上海）已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 （如图6所示）．
⑴ 当，且点与点重合时（如图7所示），求线段的长；
⑵ 在图8中，联结．当，且点在线段上时，设点之间的距离为， HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 ，其中表示的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；
⑶ 当AD我们现在重点研究第（3）个问题，看到这个图形，首先感觉它好像是某个图形的一部分，有似曾相识的感觉。其实这种感觉来自于下面几个背景图形：
背景1. 如图9，点P是正方形ABCD对角线上任意一点.求证：PA=PC.
背景2. 接上题，以P为圆心，PA长为半径画弧交AB（如图10）或AB的延长线（如图11）于点Q.求证：PQ⊥PC.
背景3.反过来，若将一个直角顶点放在正方形的对角线上移动，一条直角边过点C，另一条直角边与正方形的边（或边的延长线）AB交于点Q.求证：PQ=PC.
背景4.若将一个直角顶点放在矩形的对角线上移动，一条直角边过点C，另一条直角边与矩形的边（或边的延长线）AB交于点Q.求证： .
背景5.如图，矩形ABCD的AB=a，AD=b，点P在对角线BD上运动，点Q在射线AB上运动，若，试探索a,b满足什么条件时，会有PQ⊥PC.
背景6. 如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，若将一个直角顶点放在对角线BD上移动，一条直角边过点C，另一条直角边与腰AB（或AB的延长线）交于点Q. 求证： .
背景7. 如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=a，AD=b，AD=x，点P在对角线BD上运动，点Q在射线AB上运动，若，试探索x与a、b之间应满足什么条件时，一定会有PQ⊥PC.
对问题几何背景的探寻与研究，能够使我们从那种就题论题的浅层次做题中跳出来，从表象到本质、从特殊到一般、从静态到动态、从正面到反面等多层次、多角度地研究问题，将数学问题的探究引向纵深。再看下面的问题：
例3（09台州）如图，已知直线交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A、D、C的抛物线与直线另一个交点为E．
⑴ 请直接写出点C、D的坐标；
⑵ 求抛物线的解析式；
⑶ 若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
⑷ 在⑶的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时D落在x轴上时停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积．
对该问题的研究，我们也只看最后一个问题，（打开几何画板，演示动态图形），看该段抛物线所扫过的图形显然是不规则的图形，但如果我们研究这个问题的背景图形，不难看出其解决方案。（呈现下列几个背景图形，作适当说明）
刚才，我在研究上面的几个问题时，都用到了一个基本的几何探究工具——几何画板。下面我要和大家交流的就是几何画板在试题研究的过程中的作用：
善于使用几何探究工具——几何画板
我们从一道中考题说起：
例4.（09北京8）如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时，设AF=x，DE=y，下列中图象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是（ ）
本题尽管只是在考查函数图像的性质与意义，并不是考查函数解析式的求解或图像的画法，学生只需判断出当AF长度逐步增大时，DE长的大致变化情况即可。但如果遇到喜欢刨根究底的学生问你这图像是怎么来的，那么你该怎么去研究呢？尽管你不需要向学生解释它的来源，但如果让你去画图，你该怎么画呢？显然，如果徒手画图是很麻烦的，不仅要求解析式，由于解析式也非常规型的，徒手画图不是那么简单的。这时几何画板就显示出它的优越性了（介绍利用几何画板画该函数图像的过程）：……
我们在研究中考题时，也常常要通过画动态图像研究某变量的特征，如今年扬州市中考最后一题：
例5.（2010扬州28）在中，，，，是斜边 上的高.点在斜边上，过点作直线与的直角边相交于点，设，的面积为.
（1）求线段的长；
（2）若，当点在斜边上移动时，
1 求与的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
2 当取何值时，有最大值？并求其最大值.
（3）若点在直角边上（点与、两点均不重合），点在斜边上移动.试问：是否存在直线将的周长和面积同时平分？若存在直线，求出的值；若不存在直线，请说明理由.
我们以其中的第二题为例，来看看用几何画板画该函数图像的过程（打开几何画板，介绍画图研究的过程）：……
历年的中考试卷中这样的例子还很多，我们不妨再看几例：
例6.（09临沂）如图，抛物线经过三点．
⑴ 求出抛物线的解析式；
⑵ P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
⑶ 在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标．
例7（08武汉）如图1，抛物线y=ax2－3ax+b经过A（－1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B。
⑴求此抛物线的解析式；
⑵若直线y=kx－1(k≠0)将四边形ABCD面积二等分，求的值；
⑶如图2，过点E（1，－1）作EF⊥轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ（点M，N，Q分别与点A，E，F对应），使点M，N在抛物线上，求点M，N的坐标．
实际上，除了利用几何画板进行问题的探究之外，我们也可以利用它来编制数学试题，现举一例：
例8.如图①，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°．动点P、E同时从点A出发，其中点P以cm/s的速度，沿AC向点C运动；点E以2cm/s的速度，沿AB向点B运动;；同时点Q从点C出发，以2cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
⑴ 求AC的长；（20）
⑵ 在点P、E运动过程中，请判断PE与对角线AC的位置关系，并说明理由；(垂直)
⑶ 如图②，过点E且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点F．
①当t为何值时，点E、F、Q在同一直线上？（t=6）
②当点E、F、Q不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△EFQ是以EF为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
（t=10/3或t=10）
⑷ 当t为何值时，△EPQ与△APE相似？(t1=5，t2=6，t3=7.5，t4=10)
注：⑴ 本题利用几何画板设计，拖动几何画板文档中的点E显示动态效果；
⑵ 以上几个问题可选择性使用。
最后我们来看一道试题的完整研究过程：
一道试题的研究过程
例9.（试题的原型）如图：有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm／秒的速度沿直线l按箭头所示的方向匀速运动，求：3秒时正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积。
1、试题的编制过程分析：
⑴、第一次改编：
加条件：PE为△PQR底边QR上的高。等腰△PQR运动时间为t，运动中△PQR与正方形ABCD重合的部分面积为S.
把原题的问改为：求等腰△PQR整个运动过程中面积s与时间t之间的函数关系式。
改编意义与不足：
①加的条件降低了寻找s与t函数关系式的难度。相当于一个小小的提示。
②如果只设此问，大大增加了题目的难度。因为原题没有对运动的时间作限制，那么如此一来，整个运动过程将会有包括分界点在内的8种不同的运动情况，如下图所示：
整个过程需要较为严密的逻辑思维去推理，其中图1、3、4、5、7情况较为复杂。题目如果这样设计，学生的得分率将会很低。
⑵、第二次改编：
加条件：在第一次改编的基础上，题目“当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm／秒的速度沿直线l按箭头所示的方向匀速运动” 的后面加上：“直至Q与B重合时停止。”
保留第一次改编的问。
改编意义与不足：
第二次改编后△PQR整个运动过程中除去下图中间的图是分界点，其实就只剩下两种情况（1、3），题目变得只是对原题探索s与t之间函数关系式步骤的重复，没有意义，也没有梯度。
⑶、第三次改编：
在第二次改编的基础上，改条件：把原正方形的边长5cm改为10cm。
改问题：①、分别求出当t＝4，t＝8时，S的值。
②、分别求出当t＝3，t＝6时，S的值。
③、求t的取值范围及当t=9.5秒时，S的值。
改编意义与不足：
①把原正方形的边长5cm改为10cm使题目增加了新鲜的元素，整个运动过程变成下图所示：
比较第二次改编，由于正方形边长的增大，使得三角形运动过程中出现了如上图⑷、⑸的有意思的情况，增加的这个过程运动的时间在增加，而面积没有改变。
②问题的设计变得有梯度，起到引导学生思维的作用。分散与降低了难点。
③存在问题：问题的方式、形式过于单一，都是已知t的值求S的值。
⑷、第四次改编：
与原题型比较改变的条件：把原正方形的边长5cm改为10cm.
与原题型比较增加的条件或文字：
①PE为△PQR底边QR上的高;
②等腰△PQR运动直至Q与B重合时停止。
③等腰△PQR运动时间为t，运动中△PQR与正方形重合的部分面积为S。
改问为：①、分别求出当t＝4秒，t＝8秒时，S的值。
②、分别求出当重合的部分面积S为cm2、 cm2时，t的值。
③、在△PQR整个运动过程中，面积S与时间t的函数的大致图象的一部分如图2，试一试补全图象，并把横、纵坐标轴括号里的数字填补上。
改编意义：把第二问改变角度已知面积S，求t。
而第三问则以图象的形式考察二次函数大致图象，以及考察运动过程中时间改变，而面积不变的过程。
2、 最终成型的试题：
如图1，有一边长为10cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，PE为△PQR底边QR上的高，点B、C、Q、R、E在同一直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm／秒的速度沿直线l按箭头所示的方向匀速运动，直至Q与B重合时停止。等腰△PQR运动时间为t，运动中△PQR与正方形ABCD重合的部分面积为S.
(1)、分别求出当t＝4秒，t＝8秒时，S的值。
(2)、分别求出当重合的部分面积S为、时，t的值。
(3)、在△PQR整个运动过程中，面积S与时间t的函数的大致图象的一部分如图2，试一试补全图象，并把横、纵坐标轴括号里的数字填补上。
3、试题的拓展与变式：
　1、去掉题目中的直至Q与B重合时停止，增大题目的难度，同时也更加拓宽思维，使得运动过程更加完整。
2、当Q与B重合后，Q沿着与原来相反的方向返回，此时时间与面积的函数关系式又发生了变化。
3、把等腰三角形换成等腰梯形。如下图。
4、类似的，加一些条件，也可以换成平行四边形（已知一个特殊内角和边）、菱形（例如，∠E=120°）
4、试题对教学的指导意义：
数形结合的解题思想方法是数学学习中的重要部分，在平时的教学中，对于一些能够用图形来帮助记忆知识点或定理、公式、规律的内容，要指导并传授给学生。对于可以用图形来帮助解答的题目要鼓励和提倡数形结合方法。
点或图形运动类题目，在平时的教学中要鼓励学生动手画出运动过程中图形的变化情况，并且注意在这个过程当中运用归类分段的思想，把复杂的过程分解为各个简单易懂的环节。
二次函数的图象是抛物线，鼓励学生在解决二次函数的题目时，头脑中始终要有抛物线的影象，能够更好、更快、更准确的解答题目。
各位老师，通过开展试题研究，认真钻研教材内容，可以深入理解新课程理念，准确把握新课程标准和目前考试方向，明确课堂教学的深度和广度，提高课堂教学效率。以上是我对试题研究的点滴浅见，不当之处敬请批评指正，谢谢！
图1
图2
图3
图4
图5
A
D
P
C
B
Q
图6
D
A
P
C
B
（Q）
）
图7
图8
C
A
D
P
B
Q
图9
图10
图11
图12
图13
图14
图15
图16
图18
图17
图19
备用图
(备用图)
O
x
y
A
B
C
4
1
图②
图①
图③
图④
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
图2
图2
图1
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加强试题研究
提升教研层次
翔宇教育集团宝应实验初中 马洪亮
一道打破常规思维的中考题
从一道题说起
例1（09北京）如图，在平面直角坐标系xoy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－6,0)，B(6,0)，C(0, )，延长AC到点D,使CD= AC,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.
（1）求D点的坐标；
（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）设G为y轴上一点，点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）
同类问题
题1.在河的同旁有A、B两个村庄，现在要在河边修一个供水站给A、B两村供水，问在那个位置修能使到A、B两村距离最短。
问题变式
题2.如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E在BC上，且BE=2,点P在BD上，则PE+PC的最小值为 .
图3
同类问题
题3.要在两条街道a和b上各设立一个邮筒，M处是邮局，问邮筒设在哪里才能使邮递员从邮局出发，到两个邮筒取完信再回到邮局的路程最短？
图4
题4.如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
例1（09北京）如图，在平面直角坐标系xoy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－6,0)，B(6,0)，C(0, )，延长AC到点D,使CD= AC,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.
（1）求D点的坐标；
（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）设G为y轴上一点，点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）
探寻一道压轴题的几何背景
例2（09上海）已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足
（如图所示）．
(1)(2)略
（3）当AD探索一条压轴题的几何背景
背景1. 如图9，点P是正方形ABCD对角线上任意一点.求证：PA=PC.
背景2. 接上题，以P为圆心，PA长为半径画弧交AB（如图10）或AB的延长线（如图11）于点Q.求证：PQ⊥PC.
图10
图11
探索一条压轴题的几何背景
背景3.反过来，若将一个直角顶点放在正方形的对角线上移动，一条直角边过点C，另一条直角边与正方形的边（或边的延长线）AB交于点Q.求证：PQ=PC.
背景4.若将一个直角顶点放在矩形的对角线上移动，一条直角边过点C，另一条直角边与矩形的边（或边的延长线）
AB交于点Q.求证：
背景5.如图,矩形ABCD的AB=a，AD=b，点P在对角线BD上运动，点Q在射线AB上运动，若 ，试探索a,b满足什么条件时，会有PQ⊥PC.
背景6. 如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，若将一个直角顶点放在对角线BD上移动，一条直角边过点C，另一条直角边与腰AB（或AB的延长
线）交于点Q. 求证： .
背景7. 如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=a，AD=b，AD=x，点P在对角线BD上运动，点Q在射线
AB上运动，若 ，试探索x与a、b
之间应满足什么条件时，一定会有PQ⊥PC.
例3（09台州）已知直线　　　　　交坐标轴于A、B两点,以线段AB为边向上作正方形ABCD,过点A、D、C的抛物线与直线另一个交点为E．
（1）请直接写出点C、D的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若正方形以每秒 个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时D落在x轴上时停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积．
平移问题的几何背景
善于使用几何探究工具
——几何画板
例4（09北京8）如图，C为⊙O直径AB上一动点,过点C的直线交⊙O于D、E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时,设AF=x，DE=y,下列中图象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是
例5（10扬州）在△ABC中,∠C=90°,AC=3，BC=4，CD是斜边AB上的高.点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F,设AE=x,△AEF的面积为y.
（1）求线段AD的长；
（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；当x取何值时，y有最大值？并求其最大值.
（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C均不重合）,点E在斜边AB上移动.试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由.
例6.（09临沂）如图，抛物线经过A(4,0), B(1,0),C(0,－2)三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
例7(08武汉）如图1，抛物线y=ax2－3ax+b经过A（－1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若直线y=kx－1(k≠0)将四边形ABCD面积二等分，求k的值；
(3)如图2,过点E（1,－1）作EF⊥x轴于点F,将△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ（点M,N,Q分别与点A,E,F对应）,使点M,N在抛物线上,求点M,N的坐标．
利用几何画板编制数学试题
例8.如图①,菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°.动点P、E同时从点A出发，其中点P以 cm/s的速度，沿AC向点C运动；点E以2cm/s的速度,沿AB向点B运动；同时点Q从点C出发，以2 cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
（1）求AC的长；
（2）在点P、E运动过程中，请判断PE与对角线AC的位置关系，并说明理由；
利用几何画板编制数学试题
（3）如图②，过点E且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点F．
①当t为何值时,点E、F、Q在同一直线上？②当点E、F、Q不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△EFQ是以EF为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
利用几何画板编制数学试题
(4)当t为何值时，△EPQ与△APE相似？
利用几何画板编制数学试题
一道试题的研究过程
例9.（试题原型）如图：有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm／秒的速度沿直线l按箭头所示的方向匀速运动，求：3秒时正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积。
第一次改编
加条件：PE为△PQR底边QR上的高。等腰△PQR运动时间为t，运动中△PQR与正方形ABCD重合的部分面积为S.
把原题的问改为：求等腰△PQR整个运动过程中面积s与时间t之间的函数关系式。
改编意义与不足：
①加的条件降低了寻找s与t函数关系式的难度。相当于一个小小的提示。
②如果只设此问，大大增加了题目的难度。因为原题没有对运动的时间作限制，那么如此一来，整个运动过程将会有包括分界点在内的8种不同的运动情况，如下图所示：
第二次改编
加条件：在第一次改编的基础上，题目“当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm／秒的速度沿直线l按箭头所示的方向匀速运动” 的后面加上：“直至Q与B重合时停止。”
保留第一次改编的问题。
改编意义与不足：
第二次改编后△PQR整个运动过程中除去下图中间的图是分界点，其实就只剩下两种情况（1、3），题目变得只是对原题探索s与t之间函数关系式步骤的重复，没有意义，也没有梯度。
第三次改编
在第二次改编的基础上，改条件：把原正方形的边长5cm改为10cm。
改问题：
①分别求出当t＝4，t＝8时，S的值。
②分别求出当t＝3，t＝6时，S的值。
③求t的取值范围及当t=9.5秒时,S的值。
①把原正方形的边长5cm改为10cm使题目增加了新鲜的元素，整个运动过程变成下图所示：
改编意义与不足：
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑷
⑸
改编意义与不足：
比较第二次改编，
由于正方形边长的增
大，使得三角形运动
过程中出现了如上图
⑷、⑸的有意思的情况，增加的这个过程运动的时间在增加，而面积没有改变。
②问题的设计变得有梯度，起到引导学生思维的作用。分散与降低了难点。
③存在问题：问题的方式、形式过于单一，都是已知t的值求S的值。
第四次改编
与原题型比较改变的条件：把原正方形的边长5cm改为10cm.
与原题型比较增加的条件或文字：
①PE为△PQR底边QR上的高;
②等腰△PQR运动直至Q与B重合时停止。
③等腰△PQR运动时间为t，运动中△PQR与正方形重合的部分面积为S。
第四次改编
改问为：①分别求出当t＝4秒，t＝8秒时，S的值。
②分别求出当重合的部分面积S为27/8cm2、 21/2cm2时，t的值。
③在△PQR整个运动过程中，
面积S与时间t的函数大致图
象的一部分如图2，试一试
补全图象，并把横、纵坐标
轴括号里的数字填补上.
图2
改编意义
把第二问改变角度已知面积S，求t。
而第三问则以图象的形式考察二次函数大致图象，以及考察运动过程中时间改变，而面积不变的过程。
最终成型的试题：
如图1，有一边长为10cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，PE为△PQR底边QR上的高，点B、C、Q、R、E在同一直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm／秒的速度沿直线l按箭头所示的方向匀速运动，直至Q与B重合时停止。等腰
△PQR运动时间为t，运动
中△PQR与正方形ABCD重合
的部分面积为S.
图1
图1
①分别求出当t＝4秒，t＝8秒时，S的值。
②分别求出当重合的部分面积S为27/8cm2、 21/2cm2时，t的值。
③在△PQR整个运动过程中，面积S与时间t的函数大致图象的一部分如图2，试一试补全图象，并把横、纵坐标轴括号里的数字填补上.
图2
试题的拓展与变式：
(1)去掉题目中的直至Q与B重合时停止，增大题目的难度，同时也更加拓宽思维，使得运动过程更加完整。
(2)当Q与B重合后，Q沿着与原来相反的方向返回，此时时间与面积的函数关系式又发生了变化。
试题的拓展与变式：
(3)把等腰三角形换成等腰梯形.如下图.
F
C
B
D
A
G
H
E
试题的拓展与变式：
4、类似的，加一些条件，也可以换成平行四边形（已知一个特殊内角和边）、菱形（例如，∠E=120°）
试题对教学的指导意义：
数形结合的解题思想方法是数学学习中的重要部分，在平时的教学中，对于一些能够用图形来帮助记忆知识点或定理、公式、规律的内容，要指导并传授给学生。对于可以用图形来帮助解答的题目要鼓励和提倡数形结合方法。
点或图形运动类题目，在平时的教学中要鼓励学生动手画出运动过程中图形的变化情况，并且注意在这个过程当中运用归类分段的思想，把复杂的过程分解为各个简单易懂的环节。
二次函数的图象是抛物线，鼓励学生在解决二次函数的题目时，头脑中始终要有抛物线的影象，能够更好、更快、更准确的解答题目。
谢谢