《相似三角形的判定》教案
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文档简介
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《相似三角形的判定》教案
教学目标
1．知识与技能
在原来上进一步深化对相似三角形的三个判定方法的理解，并能够运用相似三角形的判定方法解决相似三角形的有关问题．
2．过程与方法
经历教材P48探究3的活动过程，提高学生的动手能力和逻辑推理能力．
3．情感、态度与价值观
在探索活动，培养学生用科学的态度去探求未知世界的理念，激发学生学习数学的热情．
教与学互动设计
(一)创设情境 导入新课
导语一 观察我们手中学习用的三角尺，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的，一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗
导语二 根据三角形全等的判定方法，上节课我们类似地得到三角形相似的两个简便的判定方法，仿此我们还能得到其他的判定方法吗
导语三 观察形状相同的三角形，并探索它们的内角之间有什么关系，由此你能猜想出什么结论
（二）合作交流 解读探究
1．相似三角形的判定方法3
【做一做】1．作△ABC和△A’B’C’，使得∠A=∠A＇，∠B=∠B＇，并思考它们的第三个角∠C与∠C＇的关系怎样
2．度量△ABC与△A’B'C’的三边长，并计算，，.你有什么发现
把你的结果与其他同学进行交流、比较，你们的结论一样吗 △ ABC与△A＇B＇C＇相似吗
【探究结论】如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
2．相似三角形的判定方法3在理论上的证明
证明这个结论吗 (教师引导，学生动手)
如图27—2一10，在△ABC和△A＇B＇C＇中，∠A=∠A＇， ∠ B=∠B＇．求证：△ABC∽△A＇B＇C＇．
证明：在线段A＇B＇（或它的延长线）上截取A＇D=AB，
过点D作DE∥B＇C＇，交A＇C＇于点E，根据前面的结论可得△A＇DE∽△A＇B'C＇．
由DE∥B＇C＇得∠A＇DE=∠B＇．
而∠B=∠B＇，∴∠A＇DE=∠B，又∵∠A=∠A＇．A＇D=AB，
∴△A＇DE≌△ABC
∴△ABC∽△A＇B＇C＇．
例 讲解教材P48例2．
【练一练】教材P49练习．
(三)应用迁移 巩固提高
类型之一 灵活运用相似三角形的判定方法解题
例1 2006年·山东威海 如图27—2—11，在正方形网格上有6个斜三角形．
①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK其中②～⑥中，与三角形①相似的是 （ ）
A. ②③④ B. ③④⑤ C. ④⑤⑥ D. ②③⑥
【解析】根据三角形①的特点去分析、判断与其相似的三角形．
解法一：根据正方形的性质知三角形①有一个内角为135°，即∠BAC=135°，显然三角形③⑤中有一个内角为135°，又根据三角形外角的性质，不难求出△BGF中∠BFG=135°，仿照解法二的方法不难求出夹135°的角的两边对应成比例．故可以判定三角形③④⑤与三角形①相似，应选B．
解法二：设每一个小正方形网格的边长为1，本资料由初中数学资源网1230.org制件则三角形①的三边长分别为1，，。 三角形②的三边长为1，，2．三角形③④⑤⑥的三边长分别为2，2，2；，，5；，2，； HYPERLINK "http://www.1230.org" EMBED Equation.DSMT4 ，，3；其中不难计算出三角形③④⑤的三边与三角形①的三边对应边的比相等．所以三角形③④⑤与三角形①相似
【点评】灵活地运用相似三角形的判定方法解题，要求我们要有很强的洞察力，通过本题的学习我们要仔细地体会．
【答案】B
例2 如图27—2—12，△ ABC中，∠C＝60°，BE⊥AC于E，AD⊥ BC于D，
求证：△ CDE∽△CAB。
【解析】显然△CDE和△CAB有一个公共角，要证它们相似还需证有一个角相等或证夹相等的角的两边的比相等。
解：∵∠C+∠CAD=90°．∠C+∠CBD=90°
∴∠CAD=∠CBD
又∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBE，
∴HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 ，又∠C＝∠C
∴△ CDE∽△CAB
【点评】在寻求不到另一个角相等的情况下，寻求夹相等的角的两边的比相等，是解本类题型的有效方法．
类型之二 运用相似三角形求比值与面积
例3如图27—2－13，四边形ABCD是正方形， △ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点．（1）求证：△ BCF∽△DCE．（2）若BC=5，CF＝3，∠BFC＝90°，求DG：GC的值．
【解析】（1）根据全等三角形的判定方法易证得。
（2）要求，需寻找DG，GC所在的三角形相似，即证△DGE∽△CGF．根据已知条件需证DE∥FC．
（１）证明：∵四边形ABCD是正方形，
（２）∴∠BCF+∠FCD=90°。BC=CD，∵△ECF是等腰直角三角形，CF=CE．
∴∠ECD＋∠FCD＝90°，∴∠BCF＝∠ECD，△ BCF≌△DCE．
（2）解：在△BCF中，BC=5，CF=3，∠BFC=90°，
∴BF=HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 ，∵△BCF∽△DCE，
∴DE=BF=4。∠BFC=∠DEC=∠FCE=90°，∴DE∥FC，
△DGE∽△CGF。∴DG：GC＝DE：CF=4：3．
【点评】求线段的比值一般的方法是寻找两线段所在的三角形相似．
例4 王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米（水渠的宽不计），请你计算这块等腰三角形菜地的面积
【分析】题目中未说明水渠是与另一腰相交还是与底边相交，需分类进行讨论．
解：根据题意，有两种情况．
(1) 当水渠与另一腰相交时(如图27—2—14)，
∵AD＝BD＝20，DE＝15，
∴AE=，
过C点作CF⊥AB于F，
∴DE∥CF．∴△ADE∽△AFC．∴
∴，
∴S△ABC＝（m2）
（2） 当水渠与底边相交时(如图27—2—15)．
过点A作AF⊥BC于F，∵AD＝BD＝20，DE=15，
∴BE＝25，
∵∠BDE=∠BFA＝90°，∠B=∠B’，∴ △BDE∽△BFA，
∴，∴，
∴BC=2×32=64，AF=24，∴S△ABC＝HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 （m2）
【点评】一般的思维习惯只考虑与另一腰相交的情况，而忽略了与底边相交的情况．今后遇到此类问题时，要试一试后面的那种情况是否符合要求．
类型之三 相似与开放
例2 已知：如图27—2—16，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，当BD与a，b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似
【解析】由于这两个三角形是直角三角形，所以只要有夹直角两边的比相等，就有这两个三角形相似。
解：∵∠ABC=∠CDB=90°．
1 当时， △ABC∽△CDB．
此时，即
∴，即当时，
△ABC∽△CDB
2 当时，△ABC∽△CDB，此时，
即．∴，BD＝，∴当BD＝时，△ABC∽△CDB
综上所述，当或BD＝时，这两个三角形相似。
【点评】本题仍是要考虑当两个三角形有一个角相等时，夹这个角的两边的比相等时有两种情形，
（四）总结反思 拓展升华
【总结】本节学习的数学知识：（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
（２）根据题目的具体情况，选择适当的方法证明三角形相似．
【反思】在证明第三个判定方法时，用到一些什么方法 你从中有什么体会
【拓展】2006年·玉林如图27—2—17．在△ABC中，EF∥DC，∠AFE＝∠B，AE＝6，DE＝3，AF＝8，求.
解：∵EF∥DC，∴∠AFE＝∠ACD，
又∠AFE＝∠B，∴∠ACD＝∠B
又∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴。
【点评】先求线段的比，再求它的平方，逐步解决问题．
（五）当堂检测反馈
1．2006年湖北·黄石 下列命题：①所有的等腰三角形都相似；
②所有的等边三角形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似．其中是真命题的序号是②③．
【点评】正确理解相似三角形的概念是解决本题的前提．
2．2006浙江·嘉兴，如图27－2－18，∠C＝∠E＝90°， AC=3，BC=4，AE=2。测AD=_________
【解析】由∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，得AB＝5，
显然△ADE∽△ABC，∴
∴
【点评】运用相似三角形进行计算时，要注意对应边的比相等来求值
3．2005年·广州 如图27—2—19，在ABC中，AB＝3AD，DE∥BC，EF∥AB，若AB＝9，DE＝2，则线段FC的长度是（ C ）
A．6 B. 5
C. 4 D. 3
【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴，又∵AB＝3AD，
∴ ∵DE＝2，∴BC＝6，
∵DE∥BC，EF∥AB，∴BF＝DE＝2，
∴FC＝BC－BF＝6－2＝4。
【点评】判定哪几个三角形相似，要根据题中线段的关系来寻求。
4．2005年·南宁 如图27—2—20，ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有（ ）
A．1个 B. 2个
C．3个 D. 4个
【解析】有△ABF，△ EBC与△DEF相似。
【点评】要防止漏掉某一种情形．
5．2005年·云南昆明 如图27－2－21，在ABC中，AC＞AB，点D在AC边上（点D不与A，C重合）。若再增加一个条件就能使△ABD∽△ACB，则这个条件是什么？
解：由△ABD与△ACB有一个公共角∠A，
只要附加条件∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC
或HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 即可。
【点评】要分析题中已具有什么条件，要使其相似
还差什么条件，这个条件就是我们所要找的条件．
6．如图27—2—22等腰△ABC中．AB＝AC
D为CB延长线上一点，E是BC延长线上一点，
且满足AB2＝DB·CE，
（1） 求证：△ADB∽△EAC
（2） 若∠BAC＝40°，求∠DAE的度数。
（1） 证明：∵AB=AC，
∴∠ABC＝∠ACB，∵D、B、C、E在
同一直线上，∴△ADB∽△EAC。
（2） 解：∵AB=AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°
∴∠CAE+∠E＝∠ACB＝70°，又∵△ADB∽△EAC。
∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝110°
【点评】本题信息较多，图形也比较复杂；如何从众多的信息中找出我们要用的信息，这就要根据题目的具体情境来定，在本题目中就是如何运用AB2=DB·CE这一条件．
资料链接
由田径场上的起跑线想到的标准田径场是由两条直线跑道和两个半圆形的跑道所组成．由于在弯道上比赛，愈外圈的跑道(一般设有六至八条)愈长，若想看运动员在同一终点线冲线的紧张场面，不同的跑道便需要采用不同的起跑线了．田径场上为何有这么多不同的起跑线 而起跑线的差距又有什么数学关系呢
图27—2—23中，设0为圆心，弧长s的半径为r，
孤长s＇的半径为(r+d)。弧长s＇的半径为(r+2d)．
则s＝rθ．
S＇=(r+d) θ =s+2θ×d．
而，s‘＇=（r+2d）θ＝s＋2θ×d，
∴si－s=θ×dis＇＇＝θ×2dis＇＇－s＇=θ×d．
若d=1．S＇－s＝s＇＇－s＇＝ θ
由此得知，乃一个等差级数
(arithmetic progression)，其公差
(common difference)是θ
基于把“公差”应用在不同孤长上的
理解和根据标准田径场的量度费料，便不
难找出起跑线之间的差距．现在就让我们
比较200米和400米起跑线的差距吧，标
准田径场的周长为400米。弯道共长228．08米，
直径共长171.92米，而每条跑道则约宽l米．在图27—2—24中。A为
200米第一条最内圈跑道的起跑点．直段BC=171．92÷2=85.96米，而弯道AB=200—85．96=114．04米．因此，第二条跑道的起跑点与A点应相差θ米．半圆弯遗半径是（114．04÷π），约36．3米，而θ是π（即114．04÷36．3）约3．1米．由此得知。第一条跑道与最外圈的第六条跑道的起跑线相差达“5θ”之距。即5π或15．7米长呢。用类似的方法，400米的跑道之间的起跑线差距，便很容易找出来(参考下表)来比较一下起跑线的差距吧．
比赛项目 相邻跑道的起跑线差距（米） 最外与最内圈的起跑线差距（米）
200米 π＝3.1 15.7
400米 2π＝6.3 31.4
（《田径场上为何有这么多不同的起跑线》，载《生活的数学》，上海远东出版社)
A
图27—2一10
C
B
A’
E
D
B’
C’
A
C
B
D
E
F
G
H
K
⑤
②
①
④
⑥
③
图27－2－11
A
B
C
D
E
图27－2－12
A
B
C
D
E
F
G
图27－2－13
A
B
C
D
E
F
图27－2－14
A
B
C
E
D
F
图27－2－15
A
B
D
C
a
b
图27－2－16
A
B
C
D
E
F
图27－2－17
A
B
C
D
E
4
3
2
图27－2－18
A
图27－2－19
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
图27－2－20
A
B
C
D
图27－2－21
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《相似三角形的判定》教案
教学目标
1．知识与技能
在原来上进一步深化对相似三角形的三个判定方法的理解，并能够运用相似三角形的判定方法解决相似三角形的有关问题．
2．过程与方法
经历教材P48探究3的活动过程，提高学生的动手能力和逻辑推理能力．
3．情感、态度与价值观
在探索活动，培养学生用科学的态度去探求未知世界的理念，激发学生学习数学的热情．
教与学互动设计
(一)创设情境 导入新课
导语一 观察我们手中学习用的三角尺，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的，一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗
导语二 根据三角形全等的判定方法，上节课我们类似地得到三角形相似的两个简便的判定方法，仿此我们还能得到其他的判定方法吗
导语三 观察形状相同的三角形，并探索它们的内角之间有什么关系，由此你能猜想出什么结论
（二）合作交流 解读探究
1．相似三角形的判定方法3
【做一做】1．作△ABC和△A’B’C’，使得∠A=∠A＇，∠B=∠B＇，并思考它们的第三个角∠C与∠C＇的关系怎样
2．度量△ABC与△A’B'C’的三边长，并计算，，.你有什么发现
把你的结果与其他同学进行交流、比较，你们的结论一样吗 △ ABC与△A＇B＇C＇相似吗
【探究结论】如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
2．相似三角形的判定方法3在理论上的证明
证明这个结论吗 (教师引导，学生动手)
如图27—2一10，在△ABC和△A＇B＇C＇中，∠A=∠A＇， ∠ B=∠B＇．求证：△ABC∽△A＇B＇C＇．
证明：在线段A＇B＇（或它的延长线）上截取A＇D=AB，
过点D作DE∥B＇C＇，交A＇C＇于点E，根据前面的结论可得△A＇DE∽△A＇B'C＇．
由DE∥B＇C＇得∠A＇DE=∠B＇．
而∠B=∠B＇，∴∠A＇DE=∠B，又∵∠A=∠A＇．A＇D=AB，
∴△A＇DE≌△ABC
∴△ABC∽△A＇B＇C＇．
例 讲解教材P48例2．
【练一练】教材P49练习．
(三)应用迁移 巩固提高
类型之一 灵活运用相似三角形的判定方法解题
例1 2006年·山东威海 如图27—2—11，在正方形网格上有6个斜三角形．
①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK其中②～⑥中，与三角形①相似的是 （ ）
A. ②③④ B. ③④⑤ C. ④⑤⑥ D. ②③⑥
【解析】根据三角形①的特点去分析、判断与其相似的三角形．
解法一：根据正方形的性质知三角形①有一个内角为135°，即∠BAC=135°，显然三角形③⑤中有一个内角为135°，又根据三角形外角的性质，不难求出△BGF中∠BFG=135°，仿照解法二的方法不难求出夹135°的角的两边对应成比例．故可以判定三角形③④⑤与三角形①相似，应选B．
解法二：设每一个小正方形网格的边长为1，本资料由初中数学资源网1230.org制件则三角形①的三边长分别为1，，。 三角形②的三边长为1，，2．三角形③④⑤⑥的三边长分别为2，2，2；，，5；，2，； HYPERLINK "http://www.1230.org" EMBED Equation.DSMT4 ，，3；其中不难计算出三角形③④⑤的三边与三角形①的三边对应边的比相等．所以三角形③④⑤与三角形①相似
【点评】灵活地运用相似三角形的判定方法解题，要求我们要有很强的洞察力，通过本题的学习我们要仔细地体会．
【答案】B
例2 如图27—2—12，△ ABC中，∠C＝60°，BE⊥AC于E，AD⊥ BC于D，
求证：△ CDE∽△CAB。
【解析】显然△CDE和△CAB有一个公共角，要证它们相似还需证有一个角相等或证夹相等的角的两边的比相等。
解：∵∠C+∠CAD=90°．∠C+∠CBD=90°
∴∠CAD=∠CBD
又∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBE，
∴HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 ，又∠C＝∠C
∴△ CDE∽△CAB
【点评】在寻求不到另一个角相等的情况下，寻求夹相等的角的两边的比相等，是解本类题型的有效方法．
类型之二 运用相似三角形求比值与面积
例3如图27—2－13，四边形ABCD是正方形， △ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点．（1）求证：△ BCF∽△DCE．（2）若BC=5，CF＝3，∠BFC＝90°，求DG：GC的值．
【解析】（1）根据全等三角形的判定方法易证得。
（2）要求，需寻找DG，GC所在的三角形相似，即证△DGE∽△CGF．根据已知条件需证DE∥FC．
（１）证明：∵四边形ABCD是正方形，
（２）∴∠BCF+∠FCD=90°。BC=CD，∵△ECF是等腰直角三角形，CF=CE．
∴∠ECD＋∠FCD＝90°，∴∠BCF＝∠ECD，△ BCF≌△DCE．
（2）解：在△BCF中，BC=5，CF=3，∠BFC=90°，
∴BF=HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 ，∵△BCF∽△DCE，
∴DE=BF=4。∠BFC=∠DEC=∠FCE=90°，∴DE∥FC，
△DGE∽△CGF。∴DG：GC＝DE：CF=4：3．
【点评】求线段的比值一般的方法是寻找两线段所在的三角形相似．
例4 王叔叔家有一块等腰三角形的菜地，腰长为40米，一条笔直的水渠从菜地穿过，这条水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿过菜地部分的长为15米（水渠的宽不计），请你计算这块等腰三角形菜地的面积
【分析】题目中未说明水渠是与另一腰相交还是与底边相交，需分类进行讨论．
解：根据题意，有两种情况．
(1) 当水渠与另一腰相交时(如图27—2—14)，
∵AD＝BD＝20，DE＝15，
∴AE=，
过C点作CF⊥AB于F，
∴DE∥CF．∴△ADE∽△AFC．∴
∴，
∴S△ABC＝（m2）
（2） 当水渠与底边相交时(如图27—2—15)．
过点A作AF⊥BC于F，∵AD＝BD＝20，DE=15，
∴BE＝25，
∵∠BDE=∠BFA＝90°，∠B=∠B’，∴ △BDE∽△BFA，
∴，∴，
∴BC=2×32=64，AF=24，∴S△ABC＝HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 （m2）
【点评】一般的思维习惯只考虑与另一腰相交的情况，而忽略了与底边相交的情况．今后遇到此类问题时，要试一试后面的那种情况是否符合要求．
类型之三 相似与开放
例2 已知：如图27—2—16，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，当BD与a，b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似
【解析】由于这两个三角形是直角三角形，所以只要有夹直角两边的比相等，就有这两个三角形相似。
解：∵∠ABC=∠CDB=90°．
1 当时， △ABC∽△CDB．
此时，即
∴，即当时，
△ABC∽△CDB
2 当时，△ABC∽△CDB，此时，
即．∴，BD＝，∴当BD＝时，△ABC∽△CDB
综上所述，当或BD＝时，这两个三角形相似。
【点评】本题仍是要考虑当两个三角形有一个角相等时，夹这个角的两边的比相等时有两种情形，
（四）总结反思 拓展升华
【总结】本节学习的数学知识：（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
（２）根据题目的具体情况，选择适当的方法证明三角形相似．
【反思】在证明第三个判定方法时，用到一些什么方法 你从中有什么体会
【拓展】2006年·玉林如图27—2—17．在△ABC中，EF∥DC，∠AFE＝∠B，AE＝6，DE＝3，AF＝8，求.
解：∵EF∥DC，∴∠AFE＝∠ACD，
又∠AFE＝∠B，∴∠ACD＝∠B
又∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴。
【点评】先求线段的比，再求它的平方，逐步解决问题．
（五）当堂检测反馈
1．2006年湖北·黄石 下列命题：①所有的等腰三角形都相似；
②所有的等边三角形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似．其中是真命题的序号是②③．
【点评】正确理解相似三角形的概念是解决本题的前提．
2．2006浙江·嘉兴，如图27－2－18，∠C＝∠E＝90°， AC=3，BC=4，AE=2。测AD=_________
【解析】由∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，得AB＝5，
显然△ADE∽△ABC，∴
∴
【点评】运用相似三角形进行计算时，要注意对应边的比相等来求值
3．2005年·广州 如图27—2—19，在ABC中，AB＝3AD，DE∥BC，EF∥AB，若AB＝9，DE＝2，则线段FC的长度是（ C ）
A．6 B. 5
C. 4 D. 3
【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴，又∵AB＝3AD，
∴ ∵DE＝2，∴BC＝6，
∵DE∥BC，EF∥AB，∴BF＝DE＝2，
∴FC＝BC－BF＝6－2＝4。
【点评】判定哪几个三角形相似，要根据题中线段的关系来寻求。
4．2005年·南宁 如图27—2—20，ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有（ ）
A．1个 B. 2个
C．3个 D. 4个
【解析】有△ABF，△ EBC与△DEF相似。
【点评】要防止漏掉某一种情形．
5．2005年·云南昆明 如图27－2－21，在ABC中，AC＞AB，点D在AC边上（点D不与A，C重合）。若再增加一个条件就能使△ABD∽△ACB，则这个条件是什么？
解：由△ABD与△ACB有一个公共角∠A，
只要附加条件∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC
或HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 即可。
【点评】要分析题中已具有什么条件，要使其相似
还差什么条件，这个条件就是我们所要找的条件．
6．如图27—2—22等腰△ABC中．AB＝AC
D为CB延长线上一点，E是BC延长线上一点，
且满足AB2＝DB·CE，
（1） 求证：△ADB∽△EAC
（2） 若∠BAC＝40°，求∠DAE的度数。
（1） 证明：∵AB=AC，
∴∠ABC＝∠ACB，∵D、B、C、E在
同一直线上，∴△ADB∽△EAC。
（2） 解：∵AB=AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°
∴∠CAE+∠E＝∠ACB＝70°，又∵△ADB∽△EAC。
∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝110°
【点评】本题信息较多，图形也比较复杂；如何从众多的信息中找出我们要用的信息，这就要根据题目的具体情境来定，在本题目中就是如何运用AB2=DB·CE这一条件．
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由田径场上的起跑线想到的标准田径场是由两条直线跑道和两个半圆形的跑道所组成．由于在弯道上比赛，愈外圈的跑道(一般设有六至八条)愈长，若想看运动员在同一终点线冲线的紧张场面，不同的跑道便需要采用不同的起跑线了．田径场上为何有这么多不同的起跑线 而起跑线的差距又有什么数学关系呢
图27—2—23中，设0为圆心，弧长s的半径为r，
孤长s＇的半径为(r+d)。弧长s＇的半径为(r+2d)．
则s＝rθ．
S＇=(r+d) θ =s+2θ×d．
而，s‘＇=（r+2d）θ＝s＋2θ×d，
∴si－s=θ×dis＇＇＝θ×2dis＇＇－s＇=θ×d．
若d=1．S＇－s＝s＇＇－s＇＝ θ
由此得知，乃一个等差级数
(arithmetic progression)，其公差
(common difference)是θ
基于把“公差”应用在不同孤长上的
理解和根据标准田径场的量度费料，便不
难找出起跑线之间的差距．现在就让我们
比较200米和400米起跑线的差距吧，标
准田径场的周长为400米。弯道共长228．08米，
直径共长171.92米，而每条跑道则约宽l米．在图27—2—24中。A为
200米第一条最内圈跑道的起跑点．直段BC=171．92÷2=85.96米，而弯道AB=200—85．96=114．04米．因此，第二条跑道的起跑点与A点应相差θ米．半圆弯遗半径是（114．04÷π），约36．3米，而θ是π（即114．04÷36．3）约3．1米．由此得知。第一条跑道与最外圈的第六条跑道的起跑线相差达“5θ”之距。即5π或15．7米长呢。用类似的方法，400米的跑道之间的起跑线差距，便很容易找出来(参考下表)来比较一下起跑线的差距吧．
比赛项目 相邻跑道的起跑线差距（米） 最外与最内圈的起跑线差距（米）
200米 π＝3.1 15.7
400米 2π＝6.3 31.4
（《田径场上为何有这么多不同的起跑线》，载《生活的数学》，上海远东出版社)
A
图27—2一10
C
B
A’
E
D
B’
C’
A
C
B
D
E
F
G
H
K
⑤
②
①
④
⑥
③
图27－2－11
A
B
C
D
E
图27－2－12
A
B
C
D
E
F
G
图27－2－13
A
B
C
D
E
F
图27－2－14
A
B
C
E
D
F
图27－2－15
A
B
D
C
a
b
图27－2－16
A
B
C
D
E
F
图27－2－17
A
B
C
D
E
4
3
2
图27－2－18
A
图27－2－19
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
图27－2－20
A
B
C
D
图27－2－21
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