第一章勾股定理教案（表格形式，包含课时作业设计）

集体备课教学设计表
集体备课时间 2009年8月19日星期三
出席教师
缺席情况记录 　 中心发言人 　
备课内容 1.1 探索勾股定理（一）
教材分析 勾股定理是平面几何有关量度的最基本定理之一，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，学习勾股定理及其逆定理是进一步认识和理解直角三角形的需要，也是后续有关几何度量运算和代数学习必要基础，在知识体系中有承上启下的作用。本节的学习是建立在学生已有三角形、直角三角形及其有关基础知识的基础上。本节的学习的重点是勾股定理的探索，但侧重于大胆尝试，通过测量、数方格等方法勾股定理，发展学生的推理能力、分析问题和解决问题的能力。
教学目标 知识目标 1.体验勾股定理的探索过程，由特例猜想勾股定理，再由特例验证勾股定理.2.会利用勾股定理解释生活中的简单现象．
能力目标 1.在学生充分观察、归纳、猜想、探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．2.在探索勾股定理的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动过程及结论的能力．
情感目标 1.培养学生积极参与、合作交流的意识．2.在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐，锻炼学生克服困难的勇气．
教学重点 探索和验证勾股定理．
教学难点 在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理．
教学准备 学生每人课前准备若干张方格纸.
教 学 过 程
教 学 内 容 学生活动 补充、 总结
第一课时Ⅰ.创设问题情境，引入新课1、问题情境（一）(1)三角形按角分类，可分为_________、_________、_________.(2) 三角形三边关系是： 、 。(3)对于一般的三角形来说，判断它们全等的条件有哪些？对于直角三角形呢？△(1)三角形按角的大小来分类可分为：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形；（2）三角形三边关系是：两边之和大于第三边、两边之差小于第三边。(3)对于一般三角形来说，我们可以用SAS(边角边)、ASA(角边角)、AAS(角角边)、SSS(边边边)来判断两个三角形全等；而对于直角三角形来说，除以上四种方法外，还可以用HL(即有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等)2、问题情境（二）如图1-1，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高？ Ⅱ.讲述新课做一做（1）、在纸上作出若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看边长的平方之间有什么样的关系？与同伴交流。（2）、如图1-2，直角三角形三边的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？与同伴交流。图1-3中的直角三角形，是否还满足这样的关系吗？（图见课本P3）［师］就问题（1）为学生设计如下表格(设:直角三角形三边的长分别为a.b.c)a2b2c2132425223［生］通过测量与计算可以得到a2 +b2 =c2［师］就问题（2）为学生设计如下表格A的面积(单位面积)B的面积(单位面积)C的面积(单位面积)图1图2图3图4［生］第二小题中可以通过数小方格得出与第一小题一样的结果即：a2 +b2 =c22.议一议［师］我们通过对前面几个直角三角形的讨论，分析，你能归纳出直角三角形三边长度存在的关系吗？用自己的语言表达你的重大发现与同伴交流.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理应用时的两个前提条件:(1)勾股定理是揭示直角三角形三边关系的定理,只适用于直角三角形;如果不是直角三角形,那么三边就不具有这种关系(2)应用勾股定理时,要注意确定哪条边是斜边3、读一读学生阅读课本P4相关内容，进一步了解勾股定理4、例题讲解［例］在△ABC中，∠C=90°(1)若a=8，b=6，则c=_________；(2)若 c=20，b=12，则a=_________；(3)若a∶b=3∶4，c=10，则a=_________，b=_________.［师生共析］分析：在△ABC中，∠C=90°，所以有关系：a2+b2=c2.在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”.5、想一想 在课本图1-1的问题中，折断之前旗杆有多高？Ⅲ、练一练，知识巩固与应用课本P5 随堂练习1、2第1小题，学生可自主完成第2小题，师生交流：Ⅳ课时小结先由学生自己总结，然后师生共同完成.这节课我们主要研究：1.从特例猜想出勾股定理；2.用特例检验了勾股定理；Ⅴ、课后作业1.课本P7，习题1.1.Ⅵ、活动与探究有一根70 cm的木棒，要放在长、宽、高分别是50 cm、40 cm、30 cm的木箱中，能放进去吗？过程：在实际生活中，往往工程设计方案比较多，应用所学的知识进行计算方可解决，而此题正是需要我们大胆实践和创新，用我们学过的勾股定理和丰富的空间想像力来解决.我们可注意到木棒虽比木箱的各边都长，按各边的大小放不进去，但木箱是立体图形，可以利用空间的最长长度.如AC′.结果：由下图可得，AA′=30 cm，A′B′=50 cm，B′C′=40 cm.△A′B′C′， △AA′C′都为直角三角形.由勾股定理，得A′C′2=A′B′2+B′C′2.在Rt△AA′C′中.AC′最长，则AC′2=AA′2+A′B′2+B′C′2=302+402+502=5000＞702.故70 cm的棒能放入长、宽、高分别为50 cm，40 cm，30 cm的大箱中. 学生通过回顾原有知识后回答，在激发学生学习兴趣的同时为学习新知作准备学生通过观察联系生活实际回答学生经过亲自动手测量、计算、填表活动交流归纳结果学生通过数小方格活动交流归纳结果通过立阅读进一步感知勾股定理例题,学生通过自主学习后与同伴交流各自学习结果想一想，学生通过初步应用勾股定理计算解决学生自主完成练一练，与同伴进行交流,积累数学活动经验请学生总结交流本节课学习内容与心得活动与探究供学习有余力的同学用，拓展学习空间
教学反思：
集体备课教学设计表
集体备课时间 2009年8月19日星期三
出席教师
缺席情况记录 　 中心发言人 　
备课内容 1.1 探索勾股定理（二）
教材分析 第1课时，学生通过测量和数格子的方法探索发现了勾股定理，但严格来讲，学生测量的只是一些特殊值，而且计算结果是近似的，数格子的方法中直角边也是一些特殊值，本课则侧重于一般的思考，用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力.同时也注意与第1课时的联系。
教学目标 知识目标 1.掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法.2.运用勾股解决一些实际问题.
能力目标 1.学会用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力.2.在拼图过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识.
情感目标 利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大贡献.借助对学生进行爱国主义教育.并在拼图的过程中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣.
教学重点 勾股定理的证明及其应用.
教学难点 勾股定理的证明.
教学准备 1.每个学生准备一张硬纸板；2.投影片三张：第一张：问题串(记作1.1.2 A)；第二张：议一议(记作1.1.2 B)；第三张：例题 (记作1.1.2 C).
教 学 过 程
教 学 内 容 学生活动 补充、 总结
第二课时Ⅰ.创设问题情景，引入新课［师］我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2；完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2是非常重要的内容.谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？［生］利用多项式乘以多项式的法则从公式的左边就可以推出右边.例如(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2，所以平方差公式是成立的.［生］还可以用拼图的方法来推出.例如：(a+b)2=a2+2ab+b2.我们可以用一个边长为a的正方形，一个边长为b的正方形，两个长和宽分别为a和b的长方形可拼成如下图所示的边长为(a+b)的正方形，那么这个大的正方形的面积可以表示为(a+b)2；又可以表示为a2+2ab+b2.所以(a+b)2=a2+2ab+b2.［师］由此我们可以看出用拼图的方法推证数学中的结论非常直观.上一节课我们已经通过数格子通过一些特例大胆地猜想出了勾股定理.同时又利用一些特例验证了勾股定理，但我们注意到我们不可能拿所有的直角三角形一一验证，靠一些特例归纳、猜想出来的结论不一定正确.因此我们需要用另一种方法说明直角三角形三边的关系.Ⅱ.讲授新课1.拼一拼出示投影片(1.2.2 A) (1)在一张硬纸板上画4个如右图所示全等的直角三角形.并把它们剪下来.(2)用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用它说明勾股定理吗？(对于上面2个问题，教师要引导学生大胆联想，将形与数的问题联系起来.鼓励学生大胆的拼摆，只要符合要求，教师都应予以鼓励，然后在小组内交流，同时提示学生根据自己拼出的图形，联系(a+b)2=a2+2ab+b2的拼图推证方法说明勾股定理).［生］我拼出了如下图所示的图形，中间是一个边长为c的正方形.观察图形我们不难发现，大的正方形的边长是(a+b).要利用这个图说明勾股定理，我们只要用两种方法表示这个大正方形的面积即可.大正方形面积可以表示为：(a+b)2，又可以表示为：ab×4+ c2.对比这两种表示方法，可得出ab×4+c2= （a+b）2.化简、整理得c2=a2+b2.因此我们得到了勾股定理.［生］我拼出了和这个同学不一样的图，如下图所示，大正方形的边长是c，小正方形的边长为b－a，利用这个图形也可以说明勾股定理.因为大正方形的面积也有两种表示方法，既可以表示为c2，又可以表示为ab×4+(b－a)2.对比两种表示方法可得c2=ab×4+(b－a)2.化简得c2=a2+b2.同样得到了勾股定理.［师］真棒！同学们用拼图的方法，大胆地验证了勾股定理.利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的伟大贡献.在后面的课题学习中，我们还要继续研究它.2、读一读读一读(课本P9)古代人就对勾股定理有过深入的研究，几大文明古国都有相应的勾股定理的记载.我国是最早发现勾股定理的国家之一.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角.如果勾(即直角三角形中较短的直角边)等于3，股(即直角三角形中较长的直角边)等于4，那么弦(即直角三角形中的斜边)等于5，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式.因此，我们也把勾股定理称为商高定理，而把商高称为“勾股先师”.在西方，把勾股定理又称为“毕达哥拉斯”定理.相传二千多年，希腊著名数学家毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此他们还举行了一次空前规模的庆祝活动，宰杀了一百头牲畜.但因此也引发了数学的第一次危机——边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或分数来表示.关于勾股定理的记载还有很多，同学们如果有兴趣，可查阅有关这方面的资料。所以说勾股定理有着悠久的历史，它反映了古代人民的聪明才智.［生］老师，我在查资料时，还发现勾股定理的证明还和美国的一个总统有关系，是这样吗？［师］是的.1876年4月1日，美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德，颇有兴趣地在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明.据他说，这是一种思想体操，并且还调皮地声称，他的这个证明是得到两党议员“一致赞同的”.由于1881年加菲尔德当上了美国第二十届总统，这样，他曾提出的那个证明也就成了数学史上的一段佳话.［生］能给我们介绍一下这位总统的证明方法吗？［师］可以.课本P11数学理解之2，就是这位总统用两个全等的直角三角形拼出的图形，和第一个同学用全等的四个直角三角形拼出来的图形对比一下，有没有联系.［生］总统拼出的图形恰好是第一个同学拼出的大正方形的一半.［师］同学们不妨自己从上图中推导出勾股定理.［生］上面的图形整体上拼成一个直角梯形.所以它的面积有两种表示方法.既可以表示为(a+b)·(a+b)，又可以表示为ab×2+c2.对比两种表示方法可得 (a+b)·(a+b)= ab×2+c2.化简，可得a2+b2=c2.［师］很好.同学们如果感兴趣的话，不妨自己也去寻找几种证明勾股定理的方法.3、议一议［师］前面我们讨论了直角三角形三边满足的关系.那么锐角三角形或钝角三角形的三边是否也满足这一关系呢？出示投影片(§1.1.2 B )观察上图，用数格子的方法判断图中两个三角形的三边关系是否满足a2+b2=c2.［师］上图中的△ABC和△A′B′C是什么三角形？［生］△ABC，△A′B′C′在小方格纸上，不难看出△ABC中，∠BCA＞90°； △A′B′C′中，∠A′B′C′，∠B′C′A′，∠B′A′C′都是锐角，所以△ABC是钝角三角形，△A′B′C′是锐角三角形.［师］△ABC的三边上“长”出三个正方形.谁来帮我数一下每个正方形含有几个小格子.［生］以b为边长的正方形含有9个小格子，所以这个正方形的面积b2=9个单位面积；以a为边长的正方形中含有8个小格子，所以这个正方形的面积a2=8个单位面积；以c为边长的正方形中含有29个小格子，所以这个正方形的面积c2=29个单位面积.a2+b2=9+7=16个单位面积，c2=29个单位面积，所以在钝角三角形ABC中a2+b2≠c2.［师］锐角三角形A′B′C′中，如何呢？［生］以a为边长的正方形含5个小格子，所以a2=5个单位面积；以b为边长的正方形含有8个小格子，所以b2=8个单位面积；以c为边长的正方形含9个小格子，所以c2=9个单位面积.由此我们可以算出a2+b2=5+8=13个单位面积.在锐角三角形A′B′C′中，a2+b2≠c2.［师］通过对上面两个图形的讨论可进一步认识到只有在直角三角形中，a，b，c三边才有a2+b2=c2(其中a、b是直角边，c为斜边)这样的关系.［生］老师，我发现在钝角三角形ABC中，虽然a2+b2≠c2，但它们之间也有一种关系a2+b2＜c2；在锐角三角形A′B′C′中，a2+b2＞c2.它们恒成立吗？［师］这位同学很善于思考，的确如此.同学们课后不妨验证一下，你一定会收获不小.4.例题讲解出示投影片(§1.1.2 C)［例1］我方侦察员小王在距离东西向公路400米处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王算出敌方汽车的速度吗？［例2］在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来；水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少？［例1］分析：根据题意，可以画出右图，A点表示小王的位置，C、B点是两个时刻小王的位置，∠C是直角，可以用勾股定理来解决这个问题.解：根据题意，得Rt△ABC中，∠C=90°，AB=500米，AC=400米.由勾股定理，得AB2=AC2+BC2.即5002=BC2+4002，所以BC=300米.汽车速度为：300÷10=30（米／秒）即108千米／时评注：这是一个实际应用问题，经过分析，问题转化为已知两边求直角三角形第三边的问题，这虽是一个一元二次方程的问题，学生可尝试用学过的知识来解决.同时注意，在此题中小王是静止不动的.［例2］分析：在此问题中，要注意水草的长度与水深的关系，还要注意水草站立时和吹到一边，它的长度是不变的.解：根据题意，得到下图，其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB是一阵风吹过水草的位置，CD=3分米，CB=6分米，AD=AB，BC⊥AD.所以在Rt△ACB中，AB2=AC2+BC2，即(AC+3)2=AC2+62，AC2+6AC+9=AC2+36.6AC=27，AC=4.5.所以这里的水深为4.5分米.评注：在几何计算题中，方程的思想十分重要.Ⅲ.课时小结这节课，我们用拼图的方法验证了勾股定理，并运用勾股定理解决了生活中的实际问题.Ⅳ.课后作业1.课本P11，习题1.2.2.收集关于勾股定理的证明方法.Ⅴ.活动与探究如右图，木长二丈，它的一周是3尺，生长在木下的葛藤缠木七周，上端恰好与木齐，问葛藤长多少？过程：从表面上看，这道题与勾股定理无关系.但是如果你用一张直角三角形的纸片约一支圆柱形铅笔上缠绕，就会发现；这里的葛藤之长相当于直角三角形的斜边.结果：根据题意，可得一条直角边(即高)长2丈即20尺，另一条直角边(即底边)长7×3=21(尺)，因此葛藤长设为x尺，则有x2=202+212=841=292，所以x=29尺，即葛藤长为29尺.Ⅵ．板书设计1.2 探索勾股定理(二)一、用拼图法验证勾股定理1.由上图得(a+b)2=ab×4+c2即a2+b2=c2；2.由上图可得c2=ab×4+(b－a)2即a2+b2=c2二、议一议三、例题讲解四、课时小结 学生运用已有知识回答问题，激发学习兴趣学生通过拼图操作、计算、联系(a+b)2=a2+2ab+b2的拼图推证方法等方法说明勾股定理学生在两种不同方案求证勾股定理过程中，学习了角割补法与数形相结合思想学生通过阅读我国古代数学家的一大贡献.借助对学生进行爱国主义教育，提高学习数学的兴趣.学生利用有关梯形知识验证勾股定理，感受不同的验证方法，进一步体会数形结合思想学生先自主学习例题，后进行交流活动与探究供学习有余力的同学用，拓展学习空间与视野
第一章第一节探索勾股定理课时作业
1.填空题
(1)某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取　　　　　米.
(2)有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距　　　　海里.
(3)如图1：隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA=50 m,CB=40 m，那么A、B两点间的距离是_________.
图1
2.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm和10 cm，求这个三角形的面积.
3.在△ABC中，∠C=90°,AC=2.1 cm,BC=2.8 cm
（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长.
（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长.
4.如图2：要修建一个育苗棚，棚高h=1.8 m,棚宽a=2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
5.如图3，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.
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集体备课时间 2009年8月19日星期三
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备课内容 1.2 能得到直角三角形吗
教材分析 本节是建立在第一节探索勾股定理的基础上，虽然是重点是勾股定理逆定理的探索与运用，但其理解与应用是建立在勾股定理的理解与应用的基础上，勾股定理的理解与应用掌握程度是学习本节的关键。
教学目标 知识目标 掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用；
能力目标 进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立数学模型．会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论．
情感目标 敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识．
教学重点 探索并掌握直角三角形的判别条件。
教学难点 运用直角三角形判别条件解题
教学准备 标有单位长度的细绳、三角板、量角器、题篇
教 学 过 程
教 学 内 容 学生活动 补充、 总结
一、创设情境，激发学生兴趣、导入课题展示一根用 13 个等距的结把它分成等长的12 段的绳子 。师：同时握住绳子的第一个结和第十三个结。生：同时握住第四个结和第八个结。 拉紧绳子，用量角器，测出这三角形其中的最大角。问：发现这个角是多少？（直角。）教师道白：这是古埃及人曾经用过这种方法得到直角，这个三角形三边长分别为多少？( 3、4、5 ) ，这三边满足了哪些条件？ ( ），是不是只有三边长为3、4、 5的三角形才可以成为直角三角形呢？ 二、做一做下面的每组数分别是一个三角形的三边a、b、c。 5、12、13 3、4、5 8、15、17 7、24、25 1、每组数都满足吗？2、分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？生：每组数都满足；它们都是直角三角形。师生共同归纳：如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形。这个重要的结论又称为勾股定理的逆定理.且满足的三个正整数，称为勾股数。师：今后我们可以利用“三角形三边a、b、c满足时，三角形为直角形”来判断三角形的形状，同时也可以用来判定两条直线是否垂直的方法。三、讲解例题例1 一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A 与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD = 4，AB = 3, DC = 12 , BC=13，这个零件符合要求吗？分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB和△DBC 是否为直角三角形，这样勾股定理的逆定理即可派上用场了。解：在△ABD中， 所以△ABD为直角三角形 ∠A =90°在△BDC中, 所以△BDC是直角三角形∠CDB =90°因此这个零件符合要求。四、随堂练习：⒈下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由．⑴9，12，15； ⑵15，36，39；⑶12，35，36； ⑷12，18，22．⒉已知 ABC中BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为_______三角形, ______是最大角.⒊四边形ABCD中已知AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，且∠ABC=900，求这个四边形的面积．五、读一读 勾股数组与费马大定理。直角三角形判定定理：如果三角形的三边长a，b，c六、小结：1、满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形．2、满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．七、课后作业课本P20习题1.4 学生结合情境,通过操作,感知课题,以及数学知识源于生活,反过来作用于生活,体验数学的应用价值,激发学习兴趣学生通过实际计算操作进行验证，交流归纳得出新知随堂练习由学生自主完成后，在小组或班级中交流各自学习结果与经验学生通过阅读感受数学研究过程，激发学习兴趣，同时学有余力的同学能探究勾股数组规律，提高探究能力
教学反思：
第一章2.你能得到直角三角形吗课时作业设计
如图：△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，且满足关系：a2+b2=c2.
请作一个三角形A′B′C′,使∠C′=90°,B′C′=a,A′C′=b.
(1)△A′B′C′是否全等于△ABC？为什么？
答：
（2）∠C′是否等于∠C？
答：
（3）由以上你能判定△ABC是直角三角形吗？请你想一想，三角形三条边长满足什么关系，这个三角形一定是直角三角形？
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集体备课时间 2009年8月19日星期三
出席教师
缺席情况记录 　 中心发言人
备课内容 1.3 蚂蚁怎样走最近
教材分析 本节是继学生学习了勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)之后，进一步发展学生运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题和学生的应用意识。
教学目标 知识目标 能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.
能力目标 1.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.2.在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.
情感目标 1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.2.在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学.
教学重点 探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题.
教学难点 利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.
教学准备 　圆柱 剪刀
教 学 过 程
教 学 内 容 学生活动 补充、 总结
1、创设问题情境，引入新课：前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？生：已知直角三角形的两边求第三边。师：回答得很好。请用勾股定理知识解答下面问题：例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？根据题意，(如图)AC是建筑物，则AC=12米，BC=5米，AB是梯子的长度.所以在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13米.所以至少需13米长的梯子.讲授新课：①蚂蚁怎么走最近 出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆行柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(π的值取3)． （1）自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？ （2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B 点的最短路线是什么 你画对了吗 （3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开(如下图).师：我们不难发现，刚才几位同学的走法：(1)A→A′→B； (2)A→B′→B；(3)A→D→B； (4)A—→B.哪条路线是最短呢？你画对了吗？第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.②做一做：（课本P23）李叔叔随身只带卷尺检测AD，BC是否与底边AB垂直，也就是要检测 ∠DAB=90°，∠CBA=90°.连结BD或AC，也就是要检测△DAB和△CBA是否为直角三角形.很显然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题.③随堂练习1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走.1时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进.上午10∶00，甲、乙两人相距多远？2.如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？1.分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型.解：(如图)根据题意，可知A是甲、乙的出发点，10∶00时甲到达B点，则AB=2×6=12(千米)；乙到达C点，则AC=1×5=5(千米).在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132，所以BC=13千米.即甲、乙两人相距13千米.2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时.解：设伸入油桶中的长度为x米，则应求最长时和最短时的值.(1)x2=1.52+22，x2=6.25，x=2.5所以最长是2.5+0.5=3(米).(2)x=1.5，最短是1.5+0.5=2(米).答：这根铁棒的长应在2~3米之间(包含2米、3米).3.试一试 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？我们可以将这个实际问题转化成数学模型.解：如图，设水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺，由勾股定理可求得(x+1)2=x2+52，x2+2x+1=x2+25解得x=12则水池的深度为12尺，芦苇长13尺.4、课堂小结这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题.我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模型.5、课后作业 课本P23习题1.5 让学生经历勾股定理简单应用与回顾，建立知识间的联系学生经历本有趣问题解答，进一步熟悉勾股定理应用，体验图形间的转化与数学的应用价值学生通过自主学习与交流完成做一做通过随堂练习解答，在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学让学生经历我国古代数学著作中记载的有趣问题解答，进一步认识勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智
教学反思：
第一章3蚂蚁怎样走最近课时作业设计
(一)选择题
1.小红要求△ABC最长边上的高，测得AB=8 cm，AC=6 cm，BC=10 cm，则可知最长边上的高是
A.48 cm B.4.8 cm
C.0.48 cm D.5 cm
2.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是
A.b2=c2－a2
B.a∶b∶c=3∶4∶5
C.∠C=∠A－∠B
D.∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15
3.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是
A.5，6，7 B.1，4，9
C.5，12，13 D.5，11，12
4.若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是
A.42 B.52
C.7 D.52或7
5.如果△ABC的三边分别为m2－1，2 m，m2+1(m＞1)那么
A.△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1
B.△ABC是直角三角形，且斜边长2 为m
C.△ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定
D.△ABC不是直角三角形
(二)解答题
1. 已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.
2.阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判定△ABC的形状.
解：∵ a2c2－b2c2=a4－b4 ①
∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2) ②
∴c2=a2+b2 ③
∴△ABC是直角三角形
问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：_________；错误的原因为_________；本题正确的结论是_________.
集体备课教学设计表
集体备课时间 2009年8月19日星期三
出席教师
缺席情况记录 　 中心发言人
备课内容 单元复习与回顾
教材分析 本章的回顾与思考提出了四个问题，希望通过对这几个问题的回答达到梳理本章内容，建立一定知识体系的目的，同时通过练习检查学生自己的学习状况，并适时调整教学
教学目标 知识目标 回顾本章主要的知识,建立合理知识体系结构
能力目标 进一步熟练运用勾股定理及其逆定理
情感目标 让学生在回顾的过程中进一步体会勾股定理及其逆定理的广泛应用,了解勾股定理的历史,并鼓励学生通过阅读书籍等方式更多了解与勾股定理有关的内容
教学重点 勾股定理及其逆定理的应用
教学难点 通过回顾与思考,建立合理知识体系结构
教学准备 　
教 学 过 程
教 学 内 容 学生活动 补充、 总结
回顾与思考（1）、用自己的语言回答下列问题：1、直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？2、举例说明，如何判断一个三角形是否为直角三角形？3、请你举一个生活中的实例，并运用勾股定理解决它？4、你了解勾股定理的历史吗？与同伴进行交流。生：直角三角形的边之间有下列关系： A、满足三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边B、特殊关系：勾股定理： 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 角之间有下列关系： A、满足三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。 B、特殊关系：直角三角形的两个锐角互余2、利用勾股定理的逆定理：如果三角形三边分别为a，b，c，且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形3、略4、略（2）、试一试你能综合本章学习与主要知识，建立合理知识结构吗？二、知识应用课本P26复习题 知识与技能练一练课本P27复习题 数学理解课堂小结本节我们主要通过回顾本章主要知识，建立了合理知识结构，进一步巩固了勾股定理及其逆定理的认识与应用 让学生经历回顾已知知识，通过梳理本章主要知识，从而温故知新学生自主思考后与同伴进行交流与归纳出知识结构学生自主学习后，与同伴进行交流，进一步熟练应用勾股定理及其逆定理
教学反思：
第一章勾股定理复习课时作业设计
1、 填空：
1、 勾股定理：如右图，若直角边BC= a , AC= b , 斜边AB= c ,
则有勾股定理为
即有
2、如右图，在直角三角形中，称较短的直角边为 ，如 ；
较长的边为 ，如 ；斜边为 ，如
3、 直角三角形的判定：如果三角形的三边长a , b , c 满足 ,
那么这个三角形是 直角三角形。
4、勾股数：满足 的三个 数，称为勾股数。
基本的勾股数 2倍 3倍 4倍
3，4，5
5，12，13
8，15，17
7，24，25
5、三个正方形的面积如图（1），正方形A的面积为
6、在Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；
（2）b=8，c=17 ，则=
7、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则AC=
8、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30，BC=40，则三角形的周长是（ ）
A．100 B。110 C。120 D。130
9、等腰直角三角形的斜边为2，则这个三角形的面积为（ ）
A．2 B。1 C。4 D。
10、在Rt△ABC中，a = 5 ,c = 13 , 则=（ ）
A．30 B。65 C。32.5 D. 无法确定
11、如右图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为
12、直角三角形两直角边分别为5cm，12cm，其斜边上的高为
13、在一个长8米，宽6米的长方形的花园里，沿长方形对角线修一条小路，则这条小路长为
14、正方形的面积为，它的对角线长的平方是
15、一轮船从港口A出发向东北方向航行4千米，另一轮船也从港口A出发向东南方向航行了3千米，此时两船相距 千米。
16、若三角形的三边分别为a、b、c，则在下面四种情况中，△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a=2,b=3,c=4 B.a=4,b=5,c=6 C.a=1,b=2,c= D.a=2,b=5,c=3
17、直角三角形的两直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边扩大到原来的 倍
18、李师傅在操场上安装一副单杠，要求单杠与地面平行，杠与两撑脚垂直，如图所示，撑脚长3m，两撑脚间距离BC为2m，则AC= ，就可以符合要求。
19、等边三角形的对角线长为4cm，则它的面积为
20、正方形的面积为9m2 ,则它的对角线长的平方为
21、木工做一个长方形的桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，
对角线长为68cm，这个桌子（填“合格”或“不合格”）
22、如果梯子的底端离建筑物9m，那么15m长的梯子可以到达建筑物的高度是
23、现有两根木棒，它们的长度分别是40cm和50cm，若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，所需最短的木棒长度是
2、 解答题：
1、如图，一根旗杆在离地面9 m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆在折断之前有多高？
2、如图：带阴影部分的半圆的面积是多少？（п取3）
3、 种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，
问吸管要做多长？
4、 一楼房三楼失火，消防队员赶来灭火，了解到每层楼高3m，队员取来6.5m的云梯，如果梯子的底部离墙基2.5m，那么队员能否进入三楼窗户灭火？
5、小明从家出发向正北方向走了150米，接着向正东方向走到离家250米远的地方。小明向正东方向走了多远？
集体备课教案
第一章 勾股定理
朵美中学
备课人：
2010年8月20
12米
9米
想一想，你需要求哪些线段长度，这些长度确定吗？
EMBED MSPhotoEd.3
8
6
12cm
13cm
64
10000
A
图（1）
现实生活中丰富的直角三角形
三边的关系 勾股定理 历史、应用
直角三角形的判别 应用