《相似三角形应用举例》教案
文档属性
| 名称 | 《相似三角形应用举例》教案 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 53.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-10-11 22:35:00 | ||
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文档简介
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《相似三角形应用举例》教案
教学目标
1．知识与与技能
通过本节相似三角形应用举例，发展学生综合运用相似三角形的判定方法和性质解决问题的能力，提高学生的数学应用意识，加深对相似三角形的理解与认识．
2．过程与方法
经历动手作图的过程，提高学生将实际问题转化为数学问题的方法，以及运用相似三角形的知识解决问题
3．情感、态度与价值观
在活动过程中使学生积累经验与成功体验，激发学生学习数学的热情与兴趣．
教学重点难点
1．重点
在实际问题中，构造相似三角形的模型以及运用相似形的知识解决问题．
2．难点
利用工具构造相似三角形的模型．
教与学互动设计
（一）创设情境 导入新课
导语一 你看过或听说过埃及金字塔解秘的故事吗 神秘的金字塔引来无数游客观光旅游。据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾用相似三角形的原理测量出金字塔的高度，他是怎样求出金字塔的高度的
导语二 阳光不仅孕育着万物生长，而且还能成为数学计算的工具，你能设计出借助太阳的光线来测量金宇塔的方案吗 试与其他同学交流．
导语三 我们曾经利用三角形全等方法测距离，想一想，我们能否利用相似三角形的有关知识来测量物体的高度或物体间的距离呢 试与其他同学交流．
（二）合作交流 解读探究
1．利用阳光下的影子．测量金字塔的高度
操作：在金字塔影子的顶部立一根本杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。如果木杆EF长2m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，画出图形如图27—2—25．
具体解答见教材P49
2．估算河的宽度
选择目标点。测量相关数据．如图27—2—26在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且
直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直
的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q
且垂直PS的直线b的交点R，如果测得QS=45 m。
ST=90 m，QR=60 m，求河的宽度PQ．
让学生思考求解。教师予以辅导，具体解答见
教材P50．
3利用标杆
本例事实上是利用标杆测量物体高度的变式题如图27—2—27（1），设观察者眼睛的位置（视点）为点F，画出观察者的水平视线FG，它交AB、CD于点H，K，视线FA，FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角，类似地，∠ CFK是观察点C时的仰角．由于树的遮挡，区域I和Ⅱ都在观察者看不到的区域（肓区）之内．
对于本例先考虑极端情形，即观察者的眼睛的位置点F与两棵树的顶点A，C恰在一条直线上（图27—2—27（2））．再考虑题中要求的情况．
【练一练】教材P51练习．
（三）应用迁移 巩固提高
类型之一 运用平面镜测量物体高度
例1 2005年·福建南平 小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度．如图27—2—28，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米，当她与镜子的距离CE＝2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，且已知她的眼睛距地面高度DC=1．6米，请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米．(注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角)
【解析】由反射角等于入射角有
∠DEF＝∠BEF，而FE⊥AC，
∴∠DEC＝∠BEA．可得出
△DEC∽△BEA。从而求出AB的高度．
解：根据反射角等于入射角有
∠DEF＝∠BEF．而FE⊥AC
∴∠DEC＝∠BEA，又∠DCE＝∠BAE＝90°．
∴△DEC∽△BEA，∴，
又∵DC＝1.6，EC＝2.5，EA＝21，∴
∴AB＝13.44（m），即建筑物AB的高度为13．44米．
【点评】从实际问题的情景中，找出相似三角形是解决本类题型的关键．
类型之二 停车库的测量与计算
例2 2005年·苏州中考题改编 为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图27—2—29，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算
CE（精确到0．1 m）．
【解析l因车库顶与地面平行，
所以∠BAD=30°．再根据直角
三角形的边与角的关系及勾股定
理可计算出△ABD的三边，然后
运用相似三角形求出CE的长．
解：∠ BAD=30°。设BD=xm．则
AD=2xm。又∵AB＝6m，∴AD2－BD2＝AB2。
即（2x）2－x2＝62，x＝ HYPERLINK "http://www.1230.org" EMBED Equation.3 ，∴BD＝，AD＝
∵BC＝1，∴CD＝BD－BC＝－1。
∵∠CED＝∠ABD＝90°，∠CDE＝∠ADB，∴△CDE∽△ABD
∴，即（m）。
【点拨】解决要注意题目中文字所叙述情形与在题图中的具体表示的位置相统一，再根据图形所提供的信息来解决问题．
类型之三 相似在娱乐场所中的应用
例3 2006年·浙江嘉兴 马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱AB的高度为1．2米．
（1）若吊环高度为2米，支点
A为跷跷板PQ的中点，狮子能否
将公鸡送到吊环上 为什么
（2）若吊环高度为3．6米，
在不改变其他条件的前提
下移动支柱，当支点A移
到跷跷板PQ的什么位置时，
狮子刚好能将公鸡送到吊环上
【解析】（1）将问题转化27—2—3l（a），由A点是PQ的中点，易求出QH的长度，再与吊环的高度进行比较．（2）方法同（a）．
解：（1）狮子能将公鸡送到吊环上．
当狮子将跷跷板P端按到底时可得到Rt△PHQ．
由△PAB∽△PQH得，又∵A为PQ的中点，∴PA＝PQ
∴QH＝2AB，∵AB＝1.2 ∴QH＝2.4＞2。
∴狮子能将公鸡送到吊环上．
（2）支点A移到跷跷板PQ的三分之一处（PA＝PQ），狮子刚好能将公鸡送到吊环上．如图27—2－3l（b），△PAB∽△PQH， ∴QH=3AB=3．6(米)．
【点评】将数学问题置之于游戏的情景之中，增加了数学的趣味性激发学生学习数学的兴趣和热情，这类题目是近年来中考命题中的一个新亮点．
（四）总结反思 拓展升华
【总结】1．本节学习的数学知识：运用相似三角形的性质，解决生活中的实际问题．
2．本节学习的数学方法：构造相似三角形解题
【反思】如何构造相似三角形解决实际问题
【拓展】查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5米．如图27－2—32（1），现因房间两面墙的距离为3米，因此借助于平面镜来解决房间小的问题。若使墙面镜子能呈现出完整的视力表，如图27—2—32（2）．
由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表AB的上下边沿A；B发出的光线经平面镜MM’的上下边沿反射后射人人眼C处．如果视力表的全长为0. 8米，请计算出镜长至少应为多少米
解：∵AB∥MM＇∥A'B＇，CD⊥MM＇∴CE⊥A＇B＇， △ CMM'∽△CAB＇
∴。又∵CD＝5－3＝2，CE＝5，A’B’＝AB＝0.8
∴，MM＇＝0.32（米）
∴镜长至少庄为0．32米．
【点评】解决本题的关键就是将题中的信息转化到数学的图形中．
（五）当堂检潮反馈
1．如图27—2—33所示的一个零件，需计算出它的厚度x和内孔直径d的长（不能直接量出x和d的长），工人师傅用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA：OC=OB：OD=3，且量得CO=3 cm，零件外径a=11 cm，你能帮助工人师傅计算出内径d和厚度x吗 说明理由．
解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD．∴，即，
∴d＝9（cm）
∴d＝9cm，x＝1cm
【点评】根据相似三角形判定方法易求得三角形相似，再根据对应边的相等求解．
2． 2004年·桂林 为防水患，在漓江上游修筑了防洪堤，其截面为一梯形(如图27—2—34所示)．堤的上底宽AD和堤高DF都是6m，其中∠B=∠CDF．
（1）求证：△ABE∽△CDF
（2）如果＝2，求堤的下底BC的长．
解：（1）略．（2）∵=2，AE=6，．
∴BE=AE=3，
又∵△ABE∽△CDF
∴∴。∴BC＝21（m）
【点评】将梯形的底分成三部分来计算．就容易解决．
3．2005年·山东济南 如图27—3—35，在一个长40 m，宽30m的长方形小操场上，王刚从A点出发。沿着A→B→C的路线以3 m／s的速度跑向C地，当他跑出4 s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶，当张华跑到距B地m的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上，此时，A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上
（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米(DE的长)
（2）求张华追赶王刚的速度是多少(精确到0．1 m／s)
解：（1）由阳光与影子的性质可知DE∥AC。
∴∠BDE=∠BAG，∠BED=∠BCA。
∴△BDE∽△BAC，
∴ AC=＝50（m）
BD＝（m）＝（m），AB＝40（m），
∴DE=（m）
（2）BE＝＝2，
王刚到达E点所用时间为＝14（秒），张华到达D点
所用时间为14—4=10（s），张华追赶王刚的速度为
（40－)÷10≈3．7(m／s)．
【点评】张华和王刚影子重叠时，就是他们所处的位置的连线应与对角线平行．明确这一点很重要
资料链接
小错引出大悲剧
1967年8月23日，前苏联著名宇航员费拉迪迷尔·科马洛夫一个人驾驶着“联盟一-号”宇宙飞船返航当飞船返回大气层后，科马洛夫无论怎么操作也无法使降落伞打开以减慢飞船的速度，地面指挥中心采取了一切可能的措施帮助排除故障，但都无济于事．经请示中央，决定将实况向全国人员公布，电视台的播音员以沉重的语调宣布“联盟一号”飞船由于无法排除故障，不能减速，两小时后将在着陆基地附近坠毁，我们将目睹宇航英雄科马洛夫遇难
科马洛夫控制自己的激动，目光泰然，态度从容，他整整花了几十分钟将这次飞行的情况向指挥中心首长汇报，汇报完毕，国家领导人接过话筒宣布：“我代表最高苏维埃向你致以崇高的敬礼，你是苏联的英雄，人民的好儿子…”当问及科马洛夫有什么要求时，科马洛夫眼含热泪“谢谢，谢谢最高苏雏埃授予我这个光荣称号，我是一名宇航员．为祖国的宇航事业献身我无怨无悔!”领导人把话筒递给科6洛夫的母亲，母亲老泪纵横。心如刀绞，泣不成声，把话筒递给科马洛夫的妻子，科马洛夫给妻子送来一个调皮而又深情的飞吻，妻子拿着话筒只说一句话：“亲爱的，我好想你!”就泪如雨下，再也说不出话来，科马洛夫12岁女儿接过话筒，科马洛夫微笑着说：“女儿，你要坚强。不要哭”．“我不哭，爸爸，你是苏联的英雄，我是你的女儿，我一定会坚强地生活”，刚毅的科马洛夫不禁落泪了，他叮嘱孩子“要记住这个日子，以后每年的这个日子要到坟前献一朵花。向爸爸汇报学习成绩”．
永别时刻到了——飞船坠地，电视图象消失，整个苏联一片肃静，人们纷纷走向街头，向着飞船坠毁的地方默默地哀悼．
同学们，读到这里，你是否被这场悲壮的场面感染了!“联盟一号”当时发生的一切．就是因为地面检查时，忽略了一个小数点，让我们记住由一个小数点的小错所酿成的大悲剧吧!让我们以更加严谨的态度时待学习和科学，以更加认真的态度对待工作和生活吧．
让我们严格地对待每一步演算，严格地对待每一步推理，严格地对待每一步数学计算吧!不可粗枝大叶！
A
B
P
Q
H
（a）
A
B
P
Q
H
（b）
图27－2－31
图27－2－33
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《相似三角形应用举例》教案
教学目标
1．知识与与技能
通过本节相似三角形应用举例，发展学生综合运用相似三角形的判定方法和性质解决问题的能力，提高学生的数学应用意识，加深对相似三角形的理解与认识．
2．过程与方法
经历动手作图的过程，提高学生将实际问题转化为数学问题的方法，以及运用相似三角形的知识解决问题
3．情感、态度与价值观
在活动过程中使学生积累经验与成功体验，激发学生学习数学的热情与兴趣．
教学重点难点
1．重点
在实际问题中，构造相似三角形的模型以及运用相似形的知识解决问题．
2．难点
利用工具构造相似三角形的模型．
教与学互动设计
（一）创设情境 导入新课
导语一 你看过或听说过埃及金字塔解秘的故事吗 神秘的金字塔引来无数游客观光旅游。据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾用相似三角形的原理测量出金字塔的高度，他是怎样求出金字塔的高度的
导语二 阳光不仅孕育着万物生长，而且还能成为数学计算的工具，你能设计出借助太阳的光线来测量金宇塔的方案吗 试与其他同学交流．
导语三 我们曾经利用三角形全等方法测距离，想一想，我们能否利用相似三角形的有关知识来测量物体的高度或物体间的距离呢 试与其他同学交流．
（二）合作交流 解读探究
1．利用阳光下的影子．测量金字塔的高度
操作：在金字塔影子的顶部立一根本杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。如果木杆EF长2m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，画出图形如图27—2—25．
具体解答见教材P49
2．估算河的宽度
选择目标点。测量相关数据．如图27—2—26在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且
直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直
的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q
且垂直PS的直线b的交点R，如果测得QS=45 m。
ST=90 m，QR=60 m，求河的宽度PQ．
让学生思考求解。教师予以辅导，具体解答见
教材P50．
3利用标杆
本例事实上是利用标杆测量物体高度的变式题如图27—2—27（1），设观察者眼睛的位置（视点）为点F，画出观察者的水平视线FG，它交AB、CD于点H，K，视线FA，FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角，类似地，∠ CFK是观察点C时的仰角．由于树的遮挡，区域I和Ⅱ都在观察者看不到的区域（肓区）之内．
对于本例先考虑极端情形，即观察者的眼睛的位置点F与两棵树的顶点A，C恰在一条直线上（图27—2—27（2））．再考虑题中要求的情况．
【练一练】教材P51练习．
（三）应用迁移 巩固提高
类型之一 运用平面镜测量物体高度
例1 2005年·福建南平 小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度．如图27—2—28，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米，当她与镜子的距离CE＝2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，且已知她的眼睛距地面高度DC=1．6米，请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米．(注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角)
【解析】由反射角等于入射角有
∠DEF＝∠BEF，而FE⊥AC，
∴∠DEC＝∠BEA．可得出
△DEC∽△BEA。从而求出AB的高度．
解：根据反射角等于入射角有
∠DEF＝∠BEF．而FE⊥AC
∴∠DEC＝∠BEA，又∠DCE＝∠BAE＝90°．
∴△DEC∽△BEA，∴，
又∵DC＝1.6，EC＝2.5，EA＝21，∴
∴AB＝13.44（m），即建筑物AB的高度为13．44米．
【点评】从实际问题的情景中，找出相似三角形是解决本类题型的关键．
类型之二 停车库的测量与计算
例2 2005年·苏州中考题改编 为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图27—2—29，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算
CE（精确到0．1 m）．
【解析l因车库顶与地面平行，
所以∠BAD=30°．再根据直角
三角形的边与角的关系及勾股定
理可计算出△ABD的三边，然后
运用相似三角形求出CE的长．
解：∠ BAD=30°。设BD=xm．则
AD=2xm。又∵AB＝6m，∴AD2－BD2＝AB2。
即（2x）2－x2＝62，x＝ HYPERLINK "http://www.1230.org" EMBED Equation.3 ，∴BD＝，AD＝
∵BC＝1，∴CD＝BD－BC＝－1。
∵∠CED＝∠ABD＝90°，∠CDE＝∠ADB，∴△CDE∽△ABD
∴，即（m）。
【点拨】解决要注意题目中文字所叙述情形与在题图中的具体表示的位置相统一，再根据图形所提供的信息来解决问题．
类型之三 相似在娱乐场所中的应用
例3 2006年·浙江嘉兴 马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱AB的高度为1．2米．
（1）若吊环高度为2米，支点
A为跷跷板PQ的中点，狮子能否
将公鸡送到吊环上 为什么
（2）若吊环高度为3．6米，
在不改变其他条件的前提
下移动支柱，当支点A移
到跷跷板PQ的什么位置时，
狮子刚好能将公鸡送到吊环上
【解析】（1）将问题转化27—2—3l（a），由A点是PQ的中点，易求出QH的长度，再与吊环的高度进行比较．（2）方法同（a）．
解：（1）狮子能将公鸡送到吊环上．
当狮子将跷跷板P端按到底时可得到Rt△PHQ．
由△PAB∽△PQH得，又∵A为PQ的中点，∴PA＝PQ
∴QH＝2AB，∵AB＝1.2 ∴QH＝2.4＞2。
∴狮子能将公鸡送到吊环上．
（2）支点A移到跷跷板PQ的三分之一处（PA＝PQ），狮子刚好能将公鸡送到吊环上．如图27—2－3l（b），△PAB∽△PQH， ∴QH=3AB=3．6(米)．
【点评】将数学问题置之于游戏的情景之中，增加了数学的趣味性激发学生学习数学的兴趣和热情，这类题目是近年来中考命题中的一个新亮点．
（四）总结反思 拓展升华
【总结】1．本节学习的数学知识：运用相似三角形的性质，解决生活中的实际问题．
2．本节学习的数学方法：构造相似三角形解题
【反思】如何构造相似三角形解决实际问题
【拓展】查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5米．如图27－2—32（1），现因房间两面墙的距离为3米，因此借助于平面镜来解决房间小的问题。若使墙面镜子能呈现出完整的视力表，如图27—2—32（2）．
由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表AB的上下边沿A；B发出的光线经平面镜MM’的上下边沿反射后射人人眼C处．如果视力表的全长为0. 8米，请计算出镜长至少应为多少米
解：∵AB∥MM＇∥A'B＇，CD⊥MM＇∴CE⊥A＇B＇， △ CMM'∽△CAB＇
∴。又∵CD＝5－3＝2，CE＝5，A’B’＝AB＝0.8
∴，MM＇＝0.32（米）
∴镜长至少庄为0．32米．
【点评】解决本题的关键就是将题中的信息转化到数学的图形中．
（五）当堂检潮反馈
1．如图27—2—33所示的一个零件，需计算出它的厚度x和内孔直径d的长（不能直接量出x和d的长），工人师傅用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA：OC=OB：OD=3，且量得CO=3 cm，零件外径a=11 cm，你能帮助工人师傅计算出内径d和厚度x吗 说明理由．
解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD．∴，即，
∴d＝9（cm）
∴d＝9cm，x＝1cm
【点评】根据相似三角形判定方法易求得三角形相似，再根据对应边的相等求解．
2． 2004年·桂林 为防水患，在漓江上游修筑了防洪堤，其截面为一梯形(如图27—2—34所示)．堤的上底宽AD和堤高DF都是6m，其中∠B=∠CDF．
（1）求证：△ABE∽△CDF
（2）如果＝2，求堤的下底BC的长．
解：（1）略．（2）∵=2，AE=6，．
∴BE=AE=3，
又∵△ABE∽△CDF
∴∴。∴BC＝21（m）
【点评】将梯形的底分成三部分来计算．就容易解决．
3．2005年·山东济南 如图27—3—35，在一个长40 m，宽30m的长方形小操场上，王刚从A点出发。沿着A→B→C的路线以3 m／s的速度跑向C地，当他跑出4 s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶，当张华跑到距B地m的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上，此时，A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上
（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米(DE的长)
（2）求张华追赶王刚的速度是多少(精确到0．1 m／s)
解：（1）由阳光与影子的性质可知DE∥AC。
∴∠BDE=∠BAG，∠BED=∠BCA。
∴△BDE∽△BAC，
∴ AC=＝50（m）
BD＝（m）＝（m），AB＝40（m），
∴DE=（m）
（2）BE＝＝2，
王刚到达E点所用时间为＝14（秒），张华到达D点
所用时间为14—4=10（s），张华追赶王刚的速度为
（40－)÷10≈3．7(m／s)．
【点评】张华和王刚影子重叠时，就是他们所处的位置的连线应与对角线平行．明确这一点很重要
资料链接
小错引出大悲剧
1967年8月23日，前苏联著名宇航员费拉迪迷尔·科马洛夫一个人驾驶着“联盟一-号”宇宙飞船返航当飞船返回大气层后，科马洛夫无论怎么操作也无法使降落伞打开以减慢飞船的速度，地面指挥中心采取了一切可能的措施帮助排除故障，但都无济于事．经请示中央，决定将实况向全国人员公布，电视台的播音员以沉重的语调宣布“联盟一号”飞船由于无法排除故障，不能减速，两小时后将在着陆基地附近坠毁，我们将目睹宇航英雄科马洛夫遇难
科马洛夫控制自己的激动，目光泰然，态度从容，他整整花了几十分钟将这次飞行的情况向指挥中心首长汇报，汇报完毕，国家领导人接过话筒宣布：“我代表最高苏维埃向你致以崇高的敬礼，你是苏联的英雄，人民的好儿子…”当问及科马洛夫有什么要求时，科马洛夫眼含热泪“谢谢，谢谢最高苏雏埃授予我这个光荣称号，我是一名宇航员．为祖国的宇航事业献身我无怨无悔!”领导人把话筒递给科6洛夫的母亲，母亲老泪纵横。心如刀绞，泣不成声，把话筒递给科马洛夫的妻子，科马洛夫给妻子送来一个调皮而又深情的飞吻，妻子拿着话筒只说一句话：“亲爱的，我好想你!”就泪如雨下，再也说不出话来，科马洛夫12岁女儿接过话筒，科马洛夫微笑着说：“女儿，你要坚强。不要哭”．“我不哭，爸爸，你是苏联的英雄，我是你的女儿，我一定会坚强地生活”，刚毅的科马洛夫不禁落泪了，他叮嘱孩子“要记住这个日子，以后每年的这个日子要到坟前献一朵花。向爸爸汇报学习成绩”．
永别时刻到了——飞船坠地，电视图象消失，整个苏联一片肃静，人们纷纷走向街头，向着飞船坠毁的地方默默地哀悼．
同学们，读到这里，你是否被这场悲壮的场面感染了!“联盟一号”当时发生的一切．就是因为地面检查时，忽略了一个小数点，让我们记住由一个小数点的小错所酿成的大悲剧吧!让我们以更加严谨的态度时待学习和科学，以更加认真的态度对待工作和生活吧．
让我们严格地对待每一步演算，严格地对待每一步推理，严格地对待每一步数学计算吧!不可粗枝大叶！
A
B
P
Q
H
（a）
A
B
P
Q
H
（b）
图27－2－31
图27－2－33
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