《相似》全章教案
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《相似》全章教案
27．1 图形的相似?
第一课时
一、 教学目标?
(一) 知识目标?
通过对生活中的事物或图形的观察，获得理性认识，从而加以识别相似的图形．?
(二) 能力目标?
通过观察、归纳等数学活动，与他人交流思维的过程和结果，能用所学的知识去解决问题．?
(三) 情感目标?
在获得知识的过程中培养学习的自信心．?
二、 教学重点?
引导学生观察图形，并从中获取信息，培养他们的观察、分析及归纳能力．?
三、 教学难点?
应用获得的数学知识解决生活中的实际问题．?
四、 教学过程?
一、创设情境，导入新课：
观察教材第36页的两组图形，你能发现它们之间有什么关系 ?
二、师生互动，探索新知：
1、观察下列几组几何图形，你能发现它们之间有什么关系 ?
从而得出：具有相同形状的图形叫相似形．（出示课题——图形的相似）
2、对(2)中的3组图形，通过图形的缩小或放大，再利用图形的平移或旋转等变换，使它与另一个图形能够重合，从而加以验证它们是相似的图形。?
3、你还见过哪些相似的图形，请举出一些例子与同学们交流．?
三、试一试：利用课本后面的网格或格点图纸设计出几组相似的图形，并利用幻灯片加以
展示，使学生在学习中获得成功的喜悦．?
四、探究：
1、思考教科书第37页观察中的问题，哈哈镜里看到的不同镜像它们相似吗？
2、 观察下图中的3组图形，它们是不是相似形 为什么 ?
(激发学生的求知欲，为下一节课“相似图形的特征”做好准备)?
五、 课堂练习?
完成课本第37页练习第1、2题。?
六、 课堂小结?
这节课你哪些收获 ?
七、课时作业?
1、根据今天所学的内容，请你收集或设计一些相似的图案．
2、习题27.1第1、2题．
配套课时练习
1.我们把形状 的图形叫做相似图形.
2.下列图形相似的是( )
A.两个圆 B. 两个矩形 C. 两个等腰梯形 D. 两个菱形
3.下列是图形相似的有( )
两辆轿车 两个五角星 两只足球 建筑物的设计图纸与建筑物
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4．下列每组图中的两个图形是相似图形的是 （ ）
A B C D
5.举出相似图形的例子 (至少两个)
6.在方格纸中平移图形,使A平移到A’处,画出放大一倍的图形.
7.下列说法正确的是( )
A.人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像相似.
B.人们从平面镜里看到的像与人的关系是相似图形,但不是全等图形.
C.拍照时,镜头的取景与照片上的画面是相似的
D.放幻灯片时投在屏幕上的画面与幻灯片上的图形是全等的
8.选出与下面左图相似的图（ ）
9.请将下面的直角三角形放大三倍.
10.请指出下列图形中哪几对是相似图形,并说明理由.
正方形 圆 长方形 正六边形 菱形
11．如图，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，交AD于F，图中相似三角形的对数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12.已知图中的每个正方形的边长都是1个单位,在图中画出一个与格点三角形DEF相似但不全等的格点三角形.
参考答案：
1、相同；2、A；3、B；4、A；5、略
6、画图略；7、C；8、B；9、画图略
10、正方形、圆、正六边形
11、D；12、画图略
27．1 图形的相似?
第 二 课 时
一、 教学目标?
(一) 知识与技能?
通过对生活中的事物或图形的观察，获得理性认识，从而加以识别相似的图形．?
(二) 过程与方法?
1、经历对相似图形观察、分析、欣赏以及动手操作、画图、测量等过程，能用所学的知识去解决问题；
2、回顾相似图形的性质、定义，得出相似三角形的定义及其基本性质。
(三) 情感态度与价值观?
通过观察、归纳等数学活动，与他人交流思维的过程和结果，在获得知识的过程中培养学习的自信心．发展审美能力，增强对图形欣赏的意识。
二、教学过程?
1．情境导入
播放多媒体——教材中的图27．1．l-4 （1）（用投影幻灯片或用教学挂图展示）．观察相似三角形的特征，得出：三角相似的对应角相等、对应边成比例以及相似比．
2．课前热身
分组活动：（5分钟）复习相似变换图形，掌握相似形的基本特征：对应角相等，对应
边的比相等．
3．合作深究
（1）整体感知
从回顾旧知“相似多边形性质”入手定义相似三角形，认识符号相似于“∽”，会用数学语言表达两个三角形相似——从课本第41页中“习题27.1第5题”，通过测量得到DE∥BC时， △ADE∽△ABC－一给出三角形相似的定义．
四边互动
互动1
师：教师展示投影1：课本第38页中图27．1．1-4．这两个图形有何共同特征？
生：回答略．
师：这两个图形的不同点在哪里？
生：回答略（教师在学生进行议论、交流、评判形成共识后可由学生进行口头归纳．）
明确 图上所展示的两个相似图形中，∠A=∠A＇，∠Ｂ＝∠Ｂ＇，∠Ｃ＝∠Ｃ＇，．
定义相似比：两个相似三角形对应边的比叫相似比．
注意：相似比是有顺序的，△ABC与△Ａ＇Ｂ＇Ｃ＇的相似比为k，则△A＇B＇C＇与△ＡＢＣ的相似比为．
互动２
师：展示投影2：课本中第39页图27.1-5．△ABC与△ADE的三个角对应相等吗？为什么？
生：略．
师：△ABC与△ADE的三边对应成比例吗？量量看．
生：动手测量得出结论并与同伴交流．
师：△ABC与△ADE相似吗？
生：学生分组进进行讨论．
明确 在同学交流、评判的过程中，老师进一步阐述，平行于三角形一边的直线截其他两边或其延长线所得的三角形与原三角形相似．
4．达标反馈
课本第40页练习第 l－3 题．
注：（１）题中找对应边应考虑长边与长边、中边与中边、短边与短边是否对应成比例及大角与大角、小角与小角、中角与中角是否对应相等．
5．学习小结
（１）内容总结
相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．
两个相似三角形对应边的比称为相似比，相似比是有顺序的．△ABC与△A＇B＇C＇的相似比为k，则△A＇B＇C＇与△ABC的相似比为．
平行于三角形一边的直线截三角形的另两边，所得对应线段成比例．
（2）方法归纳
学会动手画平行线，动手测量、计算、观察、猜想总结规律；重在培养学生的合作、交流与探索的能力．
（三）延伸拓展
1．链接生活
找一些生活中存在的相似变换的实例．
2实践探索
（１）实践活动
画出公路两旁的电线杆（观察远近不同的两根电线杆及其上面的支架和瓷瓶）．
（2）巩固练习
①课本第41页习题27．1第4、7题．
（3）补充作业
①中心对称的两个图形是相似图形．（V）
②所有等边三角形都是相似图形．（V）
③线段既是轴对称图形也是中心对称图形．（V）
④半径不同的两个圆是相似图形．（V）
⑤人的一双眼睛是相似图形．（V）
⑥自己选画一如意图形，然后再确定一个对应顶点，再画出一个与它相似的图形．
⑦（a）所有正方形是不是相似图形？若是，请说明理由．
（b）所有矩形呢 把矩形改为梯形又如何？换成菱形呢？改为等腰梯形或平行四边形？
配套课时练习
1、下列命题中正确的有( )个.
如果两个三角形相似,且相似比为1,那么这两个三角形全等.
如果两个三角形都与第三个三角形相似,那么这两个三角形相似.
如果两个三角形全等,那么这两个三角形一定相似
如果两个三角形相似,那么这两个三角形全等.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、如图,四边形EFGH相似于四边形ABCD,求∠A、∠C、∠H以及x,y,z的值
3、初三体育中考时,一个同学跳远情况如图(比例尺1∶200),l是起跳线,这个同学的实际成绩为 米(结果保留一位小数)
4、如图梯形ABCD中,AD∥BC,EF∥BC,且梯形AEFD∽梯形EBCF,已知AD=2,AB=6,BC=8,求AE的长度.
5、如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子（ ）。
A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变短后变长 D．先变长后变短
6、梯形ABCD中，AB∥DC，CD=8，AB=12，梯形的面积是90，两腰的延长线相交于点M，则△MCD的面积= 。
7、梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，EF将梯形ABCD分成两个相似的梯形，梯形ABEF和梯形EBCF，若AD=3，BC=12，则EF的长为 。
8、在同一块四边形地上有甲、乙两张地图，比例尺分别是1：200和1：500，甲、乙两地图的相似比 和面积比 。
9、如图∠B＝90°, ∠BDE＝∠A,AD＝2BD＝10,EC＝2BE＝8,试判断△BED与△BCA是否相似,请说明理由.
10、如图,矩形ABCD是一个长2米,宽1米的国画,它的四周镶上宽度相等的一条金边.
(1) 金边宽度为10cm时, 矩形ABCD与矩形EFGH是否相似.
(2) 是否存在这样的金边宽度,使的矩形ABCD与矩形EFGH相似 如果存在,求出金边宽度; 如果不存在,请说明理由.
11、已知△ABC,作△A’B’C’,使它与△ABC相似,且△A’B’C’与△ABC的相似比为3.(写出已知,求作,作法,并保留作图痕迹)
12、已知图⑴和图⑵中的每个小正方形的边长都是1个单位.
(1)在图⑴中将△ABC先向右平移2个单位,再向上平移3个单位,
(2)在图⑵画出一个与格点△DEF相似且相似比为 的格点三角形。
13、如图，两个正方形边长之比是1：2，请利用这两个正方形，通过切割，平移，旋转的方法，拼出两个相似比是1：3的三角形；要求（1）借助原图拼图（2）简要说明方法（3）指明相似的两个三角形。
参考答案：
1、C；2、∠A=70°；∠C=120°；x=20；y=15；z=22.5
3、略；4、AE=3；5、A；6、72；7、6；8、5：2；25：4
9、相似；如果两个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似
10、(1)不相似；(2)不存在；
11、作图略；12、画图略；13、略
27．2．1相似三角形的判定
第一课时
教学目标
(一)知识与技能
了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”；
掌握“如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似”的判定定理。
(二)过程与方法
培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
（三）情感态度与价值观
让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕
教学重点：两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1
教学难点：探究判定引例﹑判定方法1的过程
教学过程
新课引入：
复习相似多边形的定义及相似多边形相似比的定义
相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义
回顾全等三角形的概念及判定方法（SSS）
相似三角形的概念及判定相似三角形的思路。
提出问题：
如图27·2-1，在 ABC中，点D是边AB的中点，
DE∥BC，DE交AC于点E ， ADE与 ABC有什么
关系？
分析：观察27·2-1易知AD=，AE=，∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，只需引导学生证得DE=即可，学生不难想到过E作
EF∥AB。 ADE∽ ABC，相似比为。
延伸问题：
改变点D在AB上的位置，先让学生猜想 ADE与 ABC仍相似，然后再用几何画板演示验证。
归纳：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
探究方法：
探究1
在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？
分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的对应角都相等，根据相似三角形的定义，这两个三角形相似。（学生小组交流）
在学生小组交流的基础上引导学生思考证明探究所得结论的途径。
分析：作A1D=AB，过D作DE∥B1C1，交A1C1于点E
A1DE∽ A1B1C1。用几何画板演示 ABC平移至 A1DE的过程
A1D=AB，A1E=AC，DE=BC A1DE≌ ABC
ABC∽ A1B1C1
归纳：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
符号语言：若 ，则 ABC∽ A1B1C1
运用提高：
P47练习题1（2）。
P47练习题2（2）。
课堂小结：说说你在本节课的收获。
布置作业：
必做题：P55习题27·2题2（1），3（1）。
选做题：P55习题27·2题4，5。
备选题：
如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延
长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（ ）
A、1对 B、2对 C、3对 D、4对
设计思想：
本节课主要是探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，因此在教学设计中突出了“探究”的过程，先让学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究，然后教师再应用“几何画板”等计算机软件作动态探究，从而给学生以深刻的实验几何的数学学习体验。此外，本课教学设计在引导学生知识重构的维度上重视应用“比较”“类比”“猜想”的教学法，促使学生尽可能进行“有意义”的而非“机械、孤立”的认知建构，并在这一建构过程中发展合情推理能力。
配套课时练习
1．△ABC与△DEF全等，则其相似比是
2．已知△ABC∽△DEF，写出其对应角及对应边关系是 。
3．平行与三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，△ADE∽ ，∠ADE= ，DE/BC= ，若AE=3，EC=2，则△ADE与△ABC的相似比为
5．如图，CD∥EF∥AB，AC，BD相交于点O，则图中与△OEF相似的三角形为 。
6．已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则△ABC与△DEF相似比是 ；△DEF与△ABC的相似比是
7．如图，△ABC∽△AEF，且相似比3：2，EF=8cm，则BC= cm
8．如图，△ABC中，DE∥BC，MN∥AB，则图中与△ABC相似的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，AD⊥AC，BC⊥AC，AB与CD相交于点E，过E点作EF⊥AC，交AC于F，写出图中所有的相似三角形，并说明理由。
10．求作△DEF使他与已知△ABC相似且相似比3：2。
11．如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，BC=3，AB=6，则AD的长为（ ）
A．1 B．2 C．1．5 D．2．5
12．如图，在△ABC中，AB=3AD，DE∥BC，EF∥AB，若AB=9，DE=2，则线段FC的长度 .
13．如图，已知AE=BF，FH∥EG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G。若点E、F在边AB上，试判断EG+FH=AC是否成立，并说明理由。
参考答案：
1、1：1；2、∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，AB/DE=BC/EF=AC/DF
3、相似；4、△ABC，∠B，AD/AB=AE/BC，3：5
5、△OCD，△OAB；6、1：2，2：1；7、12；8、C
9、△ABC∽△AEF，△CDA∽△CEF，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；△BCE∽△ADE，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似
10、作图略；11、B；12、FC=14；
13、成立，
理由：因为FH∥EG∥AC，所以 BE/AB=EG/AC，BF/AB=FH/AC
所以BE/AB+ BF/AB = EG/AC + FH/AC
即：(BE+BF)/AB=(EG+FH)/AC
又因为AE=BE，所以BE=AF，所以(AF+BF)/AB=1
所以(EG+FH)/AC=1，即EG+FH=AC
27．2．1相似三角形的判定
第二课时
教学目标：
(一)知识与技能
掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似的判定定理；
掌握两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似的判定定理。
(二)过程与方法
会运用“三组对应边的比相等的两个三角形相似”及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的方法进行简单推理。
(三)情感态度与价值观
从认识上培养学生从特殊到一般的方法认识事物，从思维上培养学生用类比的方法展开思维；
通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣。
教学重点：
掌握两个判定定理，会运用两个判定定理判定两个三角形相似
教学难点：
探究两个三角形相似的条件；
运用两个三角形相似的判定定理解决问题。
教学过程
新课引入：
复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系：
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法1）
回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程
探究两个三角形相似判定方法2的途径
提出问题：
利用刻度尺和量角器画 ABC与 A1B1C1，使∠A=∠A1，和都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B1C1的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B1，∠C与∠C1是否相等？
（学生独立操作并判断）
分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边BC和B1C1的比都等于k，另外两组对应角∠B=∠B1，∠C=∠C1。
延伸问题：
改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。）
探究方法：
探究2
改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生学习如何在动态变化中捕捉不变因素。）
归纳：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成）
符号语言：若∠A=∠A1，==k，则 ABC∽ A1B1C1
辨析：对于 ABC与 A1B1C1，如果=，∠B=∠B1，
这两个三角形相似吗？试着画画看。（让学生先独立思考，再进行小组交流，寻找问题的所在，并集中展示反例。）
应用新知：
例1：根据下列条件，判断 ABC与 A1B1C1是否相似，并说明理由：
（1）∠A＝1200，AB=7cm，AC=14cm，
∠A1＝1200，A1B1= 3cm，A1C1=6cm。
（2）∠B＝1200，AB=2cm，AC=6cm，
∠B1＝1200，A1B1= 8cm，A1C1=24cm。
分析: （1）==,∠A=∠A1＝1200
ABC∽ A1B1C1
（2）==,∠B=∠B1＝1200
但∠B与∠B1不是AB ﹑AC﹑ A1B1 ﹑A1C1的夹角，
所以 ABC与 A1B1C1不相似。
运用提高：
1、P47练习题1（1）。
2、P47练习题2（1）。
课堂小结：说说你在本节课的收获。
布置作业：
必做题：P55习题27·2题2（2），3（2）。
选做题：P56习题27·2题8。
备选题：
已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它的
内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）
去量（如图），若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零
件的厚度x。
设计思想：
本节课主要是探究相似三角形的判定方法2，由于上节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，而本节课内容在探究方法上又具有一定的相似性，因此本教学设计注意方法上的“新旧联系”，以帮助学生形成认知上的正迁移。此外，由于判定方法2的条件“相应的夹角相等”在应用中容易让学生忽视，所以教学设计采用了“小组讨论＋集中展示反例”的学习形式来加深学生的印象。
配套课时练习
1．如果两个三角形的三组对应边 ，那么这两个三角形相似。
2．下列命题中正确的有（ ）
⑴△ABC的边长分别是5 cm、6 cm、8 cm，△DEF的边长分别2．5 cm，3 cm，4 cm，则△ABC∽△DEF。
⑵过△ABC的边AB上点D作DE∥BC交AC于E，则△ABC∽△ADE。
⑶△ABC的边长分别是2 cm、4cm、6 cm，△DEF的边长分别1 cm，3 cm，2 cm，则△ABC∽△DEF。
⑷有一个角相等的两个菱形一定相似。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．根据下列条件，判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。
⑴AB=3 cm，BC=4 cm，AC=6 cm；
DE=9 cm，EF=12 cm，FD=16 cm。
⑵
4．如图，要使△ABC∽△AEF，应补充的条件是 或 。
5．根据下列条件，回答问题：
⑴如图，已知△ABC与△DEF，判断两个三角形是否相似，并说明理由。
⑵已知一个三角形的三边长分别是8 cm、10cm、6 cm，要制作一个三角形使其与之相似，且其中一边长是3 cm，求另外两边的长度是多少？判断两三角形的形状，并说明理由。
6．在□ABCD中，E在BC边上，AE交BD于F，若BE∶EC=4∶5，则BF∶FD等于（ ）
A.4∶5 B.5∶4
C.5∶9 D.4∶9
7.如果△ABC∽△A′B′C′，BC=3，B′C′=1.8，则△A′B′C′与△ABC的相似比为( )
A.5∶3 B.3∶2
C.2∶3 D.3∶5
8.若△ABC∽△A′B′C′，AB=2，BC=3，A′B′=1，则B′C′等于( )
A.1.5 B.3
C.2 D.1
9.△ABC的三边长分别为、、2，△A′B′C′的两边长分别为1和，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边的长应等于( )
A. B.2
C. D.2
10．如图O是△ABC内的一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，试猜想△ABC与△DEF的关系，并证明你的结论。
11．下列命题中，真命题是（ ）
A．两个钝角三角形一定相似 B．两个等腰三角形一定相似
C．两个直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似
12、如图，A、B两点被池塘隔开，在 AB外选一点 C，连结 AC和 BC，并分别找出它们的中点 M、N．若测得MN＝15m，求A、B两点的距离。
13．如图在正方形方格中，△ABC与△DEF都是格点三角形：
⑴∠ABC= ，BC=
⑵判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论。
参考答案：
1、的比相等；2、D；
3、(1)不能；(2)能，三边对应成比例的两个三角形相似
4、EF∥BC或AE：AB ＝AF：AC；
5、(1)相似，三边对应成比例的两个三角形相似
(2)4cm，5cm，直角三角形
6、D；7、D；8、A；9、C
10、DE ＝；DF＝0.5AC；EF＝0.5BC；证明略。
11、D；12、AB＝30；13、(1)135°；(2)BC＝；相似
27．2．1相似三角形的判定
第三课时
教学目标
(一)知识与技能
掌握判定两个三角形相似的方法：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
(二)过程与方法
培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法3与全等三角形判定方法（AAS﹑ASA）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
(三)情感态度与价值观
让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕
教学重点：两个三角形相似的判定方法3及其应用
教学难点：探究两个三角形相似判定方法3的过程
教学过程：
新课引入：
复习两个三角形相似的判定方法1﹑2与全等三角形判定方法（SSS﹑SAS）的区别与联系：
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法1）
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法2）
提出问题：
观察两副三角尺，其中同样角度（300与600，或450与450）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。
如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？
延伸问题：
作 ABC与 A1B1C1，使得∠A=∠A1，∠B=∠B1，这时它们的第三角满足∠C=∠C1吗？分别度量这两个三角形的边长，计算﹑﹑，你有什么发现？（学生独立操作并判断）
分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三角满足
∠C=∠C1，==。
分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。）
探究方法：
探究3
分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生观察在动态变化中存在的不变因素。）
归纳：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成）
符号语言：
若∠A=∠A1，∠B=∠B1 ，则 ABC∽ A1B1C1
应用新知：
例2 如图27·2-7，弦AB和CD相交于⊙O
内一点P，
求证：PA·PB=PC·PD。
分析：欲证PA·PB=PC·PD，只需，欲证只需 PAC∽ PDB，欲证 PAC∽ PDB，只需∠A=∠D，∠C=∠B。
运用提高：
P49练习题1。
P49练习题2。
课堂小结：说说你在本节课的收获。
布置作业：
必做题：P55习题27·2题2(3)。
选做题：P57习题27·2题11。
备选题：
如图AD⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F，
则图中相似三角形的对数有 对。
设计思想：
本节课主要是探究相似三角形的判定方法3，由于上两节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1﹑判定方法2，因此本课教学力求使探究途径多元化，把学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究与应用“几何画板”等计算机软件作动态探究有机结合起来，让学生充分感受探究的全面性，丰富探究的内涵。协同式小组合作学习的开展不仅提高了数学实验的效率，而且培养了学生的合作能力。
配套课时练习
选择题：
1.下列判断正确的是（ ）
两个直角三角形相似 B.两个相似三角形一定全等
C.凡等边三角形都相似 D.所有等腰三角形都相似
2.下列各对三角形中一定不相似的是（ ）
△ABC中，∠A=54°，∠B=78°
△A′B′C′中，∠C′=48°，∠B′=78°
B.△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm
△A′B′C′中，∠C′=90°，A′C′=12cm，B′C′=15cm
△ABC中，∠B=90°，AB=5，AC=13
△A′B′C′中，∠B′=90°，A′B′=2.5a，B′C′=6a
D.△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=5
△A′B′C′中，∠A′=45°，A′B′=5
如图，AB∥CD，AC、BD交于O，BO=7，DO=3，AC=25，则AC长为（ ）
A.10 B.12.5 C.15 D.17.5
在△ABC中，MN∥BC，MC、NB交于O，
则图中共有（ ）对相似三角形。
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
如图16，已知△ABC中D为AC中点，AB=5，AC=7，∠AED=∠C，则ED= 。
在梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，DC：AB=1：1.5，
则AD：BC= 。
如图18在Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=6，AD=3.6，则BC= ，BD= 。
已知：图19中AC⊥BD，DE⊥AB，AC、ED交于F，BC=3，FC=1，BD=5，则AC= 。
三、解答题
1.已知：如图20□ABCD中E为AD的中点，AF：AB=1：6，EF与AC交于M。 求：AM：AC。
2.已知：如图21在△ABC中EF是BC的垂直平分线，AF、BE交于一点D，AB=AF。
求证：AD=DF。
已知：E是正方形ABCD的AB边延长线上一点，DE交CB于M，MN∥AE。
求证：MN=MB
已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4
求证：BM·AC=MN·AB
参考答案
一、1.C；2.D；3.D；4.B。
二、1. 0.1；2. 1：1.5；3. 8，6.4；4. 6。
1. 1：8；
2. △DBF∽△ACB，；
3. ；
4.略。
27．2．2相似三角形应用举例
教学目标
(一)知识与技能
让学生学会运用两个三角形相似来解决实际问题。
(二)过程与方法
1、让能学生综合运用相似的知识，加深对相似三角形的理解和认识。
2、让学生经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。
(三)情感态度与价值观
培养学生的观察﹑归纳﹑建模﹑应用能力；发展学生的数学应用意识。
〔教学重点与难点〕
教学重点：运用两个三角形相似解决实际问题
教学难点：在实际问题中建立数学模型
教学过程
新课引入：
复习相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义
回顾相似三角形的概念及判定方法
提出问题：
利用三角形的相似，如何解决一些不能直接测量的物体的长度的问题？（学生小组讨论）
“相似三角形对应边的比相等”四条对应边中若已知三条则可求第四条。
一试牛刀：
例3：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。
如图27．2-8，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO。
分析：BF∥ED∠BAO=∠EDF
又∠AOB=∠DFE=900
ABO∽ DEF
二试牛刀：
例4：如图27．2-9，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R。如果测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，求河的宽度PQ。
分析：∠PQR=∠PST=900，∠P=∠P
PQR∽ PST
，即，，
。解得PQ=90
三试牛刀：
例5：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m，一个身高1．6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？
分析：AB∥CD， AFH∽ CFK。
，即，解得FH=8。
运用提高：
P51练习题1
2．P51练习题2
课堂小结：说说你在本节课的收获。
布置作业：
必做题：P56习题27·2题9，10，11。
选做题：P57习题27·2题15。
备选题：
已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它
的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去
量（如图），若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零件的
厚度x。
设计思想：
本节课主要是让学生学会运用两个三角形相似解决实际问题，在解决实际问题中经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。因此在教学设计中突出了“审题画示意图明确数量关系解决问题”数学建模过程，学生可以从中锻炼把生活中的实际问题转化为数学问题的能力，另外，学生在富有故事性或现实性的数学情景问题中，探究解决问题的方法，这一过程有利于培养学生的数学学习兴趣。
配套课时练习
1、小明的身高是1.6米，他的影长为2米，同一时刻测的古塔的影长是16米，则古塔的高度是 米
2、下图中的三幅图是在我国北方某地某天上午不同时刻的同一位置拍摄的.
(1)在三个不同的时刻，同一棵树的影子长度不同，请将它们按拍摄的先后顺序进行排列，并说明你的理由．
(2)在同一时刻，大树和小树的影子与它们的高度之间有什么关系 与同伴进行交流．
3、如图,一人拿着一支刻有厘米分度的小尺,站在距电线杆约有20m的B处,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上约10个分度恰好遮住电线杆,已知手臂E′D长约50cm,求电线杆EF的高.
4、课间操中的数学
在上午阳光照耀下，同学们整齐地站在操场上做课间操，小凡和小成站在同一列，小凡的影子正好被站在他后面的同学踩在脚下，而小成的影子却没有被他后面的同学踩在脚下，小成和小凡哪个高？为什么？
5、一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为 ( )
A.7.5米 B.8米 C.14.7米 D.15.75米
6、晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影是 （ ）
A.变长 B.变短 C.先变长后变短 D.先变短后变长
7、要测量古塔的高度,下面方法不可取的是 ( )
A.利用同一时刻物体与其影长的比相等来求
B.利用直升飞机进行实物测量
C.利用镜面反射,借助于三角形相似来求
D.利用标杆,借助三角形相似来求
8、夜晚在亮有路灯的路上，若想没有影子，你应该站的位置是 （ ）
A.路灯的左侧 B.路灯的右侧 C.路灯的下方 D.以上都可以
9、下面两图的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的 为什么？
（1） （2）
10、下图中是一球吊在空中，当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球的影子会如何变化？
11、利用镜面反射可以计算旗杆的高度,如图,一名同学(用AB表示),站在阳光下,通过镜子C恰好看到旗杆ED的顶端,已知这名同学的身高是1.60米,他到影子的距离是2米,镜子到旗杆的距离是8米,求旗杆的高.
12、如图,甲楼AB高18米,乙楼坐落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12时,物高与影长的比是1: ,已知两楼相距20米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高
13、为了测量路灯（OS）的高度,把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上,测得竹竿的影子（BC）长为1米,然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB‘）,再把竹竿竖立在地面上, 测得竹竿的影长（B‘C‘）为1.8米,求路灯离地面的高度.
参考答案
1、20；
2、（1）顺序应为(3)(2)(1)．因为在早晨，太阳位于正东方向，此时树的影子较长，影子位于树的正西方向，在上午，随着太阳位置的变化，树影的长度逐渐变短，树影也由正西方向向正北方向移动．
(2)因为大树的影子较长，小树的影子较短，因此应该有大树的高度与其影子的长度之比等于小树高度与其影长之比．（或者大树与小树高度之比等于大树与小树的影长之比）
3、思路点拨：可以根据△ACD∽△AEF,△AE′D∽△ABF得到
,, 即 即,
可以求出EF的长.
4、小凡高；5、A；6、D；7、B；8、C；9、(1)灯光，(2)太阳光；
10、由小变大；11、6.4米；12、18-10；13、9米
27．2．3相似三角形的周长与面积
第一课时
教学目标：
(一)知识与技能
1、理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。
2、探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想。
(二)过程与方法
经历探索相似三角形性质“相似三角形周长的比等于相似比” 、“面积比等于相似比的平方”的过程。
(三)情感态度与价值观
在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体验解决实际问题策略的多样性。
教学重点：
理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。
教学难点：
探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。
教学过程：
新课引入：
1．回顾相似三角形的概念及判定方法。
2．复习相似多边形的定义及相似多边形对应边、对应角的性质。
提出问题：
如果两个三角形相似，它们的周长之间什么关系？两个相似多边形呢？（学生小组讨论）
ABC∽ A1B1C1，相似比为k
AB=kA1B1,BC=kB1C1,CA=kC1A1
进而得到结论：相似三角形周长的比等于相似比
延伸问题：
探究：
如图27．2-11（1）， ABC∽ A1B1C1，相似比为k1 ，它们的面积比是多少？
（1） （2）
图27．2-11
分析：如图27．2-11（1），分别作出 ABC和 A1B1C1的高AD和A1D1。
∠ADB=∠A1D1B1=900又∠B=∠B1
ABD∽ A1B1D1
=k12
进而得到结论：相似三角形面积比等于相似比的平方
（2）如图27．2-11（2），四边形ABCD相似于四边形A1B1C1D1，相似比为k2，它们的面积比是多少？
分析： k22
k22
相似多边形面积比等于相似比的平方
应用新知：
例6：如图27．2-12，在 ABC和 DEF中，
AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D， ABC的周长是
24，面积是48，求 DEF的周长和面积。
图27．2-12
分析： ABC和 DEF中，AB=2DE，AC=2DF
又∠A=∠D
ABC∽ DEF，相似比为
DEF的周长=24=12，面积=248=12。
运用提高：
P54练习题1
P54练习题2
课堂小结：说说你在本节课的收获。
布置作业：
必做题：P54练习题3，4
选做题：P57习题27·2题12，13，14。
3．备选题：如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.
(1)求证：△APE∽△ADQ；
(2)设AP的长为x，试求△PEF的面积
S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何
处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？
(3)当Q在何处时，△ADQ的周长最小？
（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明）
设计思想：
本节课主要是让学生理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，通过探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想，学会应用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解决简单的问题。因此本教学设计突出了“相似比相似三角形周长的比相似多边形周长的比”、“相似比相似三角形面积的比相似多边形面积的比”等一系列从特殊到一般的过程，以让学生深刻体验到有限数学归纳法的魅力。
配套课时练习
1、在△ABC中，∠BAC=，AD⊥BC于D，BD=3，AD=9，则CD= ，
AB：AC= 。
2、若△ABC∽△DEF, △ABC的面积为81cm2,△DEF的面积为36cm2,且AB=12cm,则DE= cm
3、如图,ΔABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,
则S四边形DFGE∶S四边形FBCG=_________.
4、等腰三角形ABC和DEF相似，其相似比为3：4，则它们底边上对应高线的比为（ ）
A、3：4 B、4：3
C、1：2 D、2：1
5、如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图. 已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米. 若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）
A.、0.36平方米 B、0.81平米
C、2平方米 D、3.24平方米
6、如图，分别取等边三角形ABC各边的中点D、E、F，得△DEF.若△ABC的边长为a.
（1）△DEF与△ABC相似吗？如果相似，相似比是多少？
（2）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？
7、如图，在ΔABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x。（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）当，求的值；
8、在△ABC中，AE∶EB=1 ∶2，EF∥BC，AD∥BC交CE的延长线于D，求S△AEF∶S△BCE的值。
9、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm， 高AD=80mm， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，
（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？
（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？
10、如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB，若△ADE、△EFG、△GIC的面积分别为20cm2、45cm2、80cm2，求△ABC的面积。
11、有人猜想三角形内角平分线有这样一个性质:如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,则.如果你认为这个猜想是正确的,请写出一个完整的推理过程(利用图中辅助线：作BE//AD交CA延长线于E)说明这个猜想的正确性; 如果你认为这个猜想不正确,也请说明理由.
参考答案：
1、27；1：9；2、8；3、4：13；4、A；5、D；
6、⑴ 相似，1：4；⑵面积比等于相似比的平方；
7、x=10/3秒，2：9；8、1：6；9⑴48cm，⑵24/7 cm；
10、S△ABC=405cm2；
11、提示：利用“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”和角平分线的定义来证明。证明过程略。
27.3 位 似
第 一 课 时
教学目标：
(一)知识与技能：
1、掌握位似图形的定义；
2、掌握位似图形的性质；
(二)过程与方法：
学生经历将一个图形放大或缩小的方法，并且在学习和运用过程中发展数学应用意识。
(三)情感态度与价值观：
培养学生动手操作的良好习惯，以积极进取的思想探究数学学科知识，体会本节知识的实际应用价值和文化价值。
教学重点：
能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小。
教学难点：
位似图形的画法。
教学过程：
一、创设情境 操作引入
1、展示课件：两组图片，一是万里长城雄伟壮丽的画面，二是神州飞船首飞成功的邮票，演示两组图片的缩放过程。
（回顾相似多边形的有关概念和性质，为新课引入进行铺垫，同时渗透爱国主义教育，激发学生的学习兴趣和爱国热情）
2、操作实验：指导全班同学动手操作、进行实验，每位同学拿出自备的两个相似图形纸片，位置任意摆放，连接对应点，观察对应点的连线是否经过一点。同时请三位同学上黑板前台选取不同类型的相似图形（三角形、四边形、五边形）进行演示，供班级同学参考并猜想。
3、这几副图片表示出了图形之间的什么特殊的关系？
引出课题——位似。教师板书。
二、自主活动 实践感知
1、建构新知：位似图形及其有关概念
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.
2、让学生进一步操作，亲身感受位似图形与相似图形的联系与区别。通过观察、思考、交流、讨论得出如下结论：
位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必都能构成位似关系。
（引导学生动手、动脑，观察、思考，感悟知识的生成和变化）
3、认一认：
见课本P66页图27．3-2（1）、（2）、（3）辨认位似图形，并指认位似中心。
（从正反两个方面强化学生对位似图形的认识）
4、练一练：
例1 下列说法正确的是（ ）
A.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等；
B.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似；
C.两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似；
D.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似。
例2 下列每组图中的两个多边形，是位似图形的是（ ）
例3下列四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A. 点E B. 点F
C.点G D.点D
例4 已知上图中，AE∶ED=3∶2，则四边形ABCD与四边形EFGD的位似比为（ ）
A. 3∶2 B. 2∶3 C. 5∶2 D. 5∶3
（开发学生的思维能力，帮助学生掌握新知）
三、合作探究 明确强化
1、想一想：
本课已学过哪几种放大图形的方法？
（让学生思考、交流，加深对前后知识的理解，感悟知识之间的内在联系）学生归纳：直角坐标系放大图形法；橡皮筋放大图形法。它们都属于位似图形的作法。
2、做一做：
按如下方法可以将△ABC的三边缩小为原来的一半：
如图,任取一点O,连接AO,BO,CO,并取它们的中点D,E,F.△DEF的三边就是△ABC相应三边的一半。
(1)任意画一个三角形,用上面的方法亲自试一试;
(2) 如果在射线AO,BO,CO上分别取点D,E,F,
使DO=2OA,EO=2OB,FO=2OC,那么结果又会怎样
（让学生主动参与，合作探究，调动学生学习积极性）
四、试一试
已知五边形ABCDE，作出一个五边形A’B’C’D’E’，使新五边形 A’B’C’D’E’与原五边形ABCDE对应线段的比为1∶2。
学生作图，可以得出：
⑴位似五边形在位似中心的同侧；
⑵位似五边形在位似中心的两侧；
⑶位似中心在位似五边形的内部；
⑷位似中心在位似五边形的一条边上；
⑸位似中心在位似五边形的一个顶点上；
五、归纳小结
1、畅谈这节课你的收获与感受。
(培养学生分析、归纳、概括能力和语言表述能力)
2、总结：位似图形的概念、性质、应用。
（充分发挥学生的主体作用，锻炼学生归纳、整理、表达的能力）
3、实际应用：位似图形在家庭装潢设计上的运用。
（体现数学来源于生活、服务于生活的新课程理念，培养学生的创新精神）
六、布置作业
27.3 位 似
第 二 课 时
教学目标:
(一)知识与技能
继续了解位似图形及其有关概念，能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小。
(二)过程与方法
学生会在平面直角坐标系中将一个图形放大或缩小，画出其位似图形
(三)情感态度与价值观
培养学生动手操作的良好习惯，以积极进取的思想探究数学学科知识，体会本节知识的实际应用价值和文化价值。
教学重点: 在平面直角坐标系中画一个图形关于原点的位似图形。
教学难点: 在平面直角坐标系中画关于原点的位似图形。
教学过程:
一、复习:
1、我们学习了哪几种变换
2、什么叫位似图形 怎样画一个图形关于某点的位似图形
二、新授:
探究
在平面直角坐标系中,有两点A(6，3),B(6，0)。以原点O为位似中心,相似比为1/3，把线段AB缩小画出缩小后的位似图形EF.观察对应点之间坐标的变化,你有什么发现
引导学生分两种情况进行:
（1）EF与AB都在第一象限时。
（2）EF与AB不在同一象限,在第三象限时。
发现的结论:
第一种情况E（2,1），F(2,0)
第二种情况E(-2，-1)，F（-2，0）。
2、△ABC三个顶点坐标分别为A（2,3）B（2,1）C（6,2）以点O为位似中心,相似比为2,将△ABC放大,观察对应顶点坐标的变化,你有什么发现
请学生把发现的结论写出来
由上面的作图归纳出:
在平面直角坐标系中,如果位似变换以原点为位似中心,相似比为K,那么位似图形对应点的坐标的比等于K或-K.
三、例题
四边形ABCD的坐标为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O为位似中心,相似比为1/2的位似图形.
先确定各个顶点关于点O的对应点的坐标,再画图.
四、练习:
课本第64页 1,2
总结:至此我们学习了四种变换:平移、轴对称、旋转和位似.你能说出它们之间的异同吗
五、布置作业:课本第65页3,4,5,6
配套课时练习
1．若两个多边形不仅相似，且对应点顶的连线相交于一点，这样的图形叫做 ，这个点叫做 。
2．如图，△ABO和△CDO是位似图形，则AB与CD的位置关系为 。
3．求作位似图形的方法，可以把图形放大或缩小，位似中心位置可选在（ ）
A．原图形的外部 B．原图形的内部
C．原图形的边上 D．任意位置
4．观察下列图形，图（1）与图（2）相比发生了一些变化，若图（2）中的P点坐标是（4，2），则图（1）中的P＇的坐标 。
5．将图（1）中的四边形ABCD缩小为原来的一半，图（2）中的四边形EFGH放大原来的2倍。位似中心自己确定。
6．如图△ABC三个顶点坐标A（-2，3），B（-2，1），C（-6，2）。以O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大。
（1）请在直角坐标系中，画出位似变换后的△EDF；
（2）请写位似变换后△EDF的三个顶点的坐标。
7．已知，如图，△AOB的顶点坐标A（3，5），B（5，0），它与△COD相似，且C（-1.5,-2.5）,D(-2.5,0)，则△ABO与△COD的相似比为 。
8．△ABC的顶点坐标分别是A（4，4），B（8，4），C（12，8），以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变化后得到的△DEF与△ABC对应边的比是1：2，这时△DEF的各个顶点的坐标分别是 。
9．如图，将矩形ABCD以点B为位似中心，相似比为2，进行位似变换，画出变换后的图形。
10．（1）如图1，点O是等边三角形△ABC的中心，E、F、G分别是OA、OB、OC的中点，则△ABC与△DEF是位似三角形，△DEF与△ABC的位似比、位似中心分别是 ， 。
（2）如图2，①在△AOB内画等边△CDE，使点C在OA上，点D在OB上；
②连接OE并延长，交AB与点F，过点F作FG∥EC，交OA于点G，作FH∥ED，交OB于H；
③连接GH，则△GFH是△ABC的内接三角形。求证：△GFH是等边三角形。位似定义即可;
11．如图小鱼与大鱼是位似图形，则小鱼上的点（a，b）对应大鱼的点是（ ）
A．（-2a，-2b） B．（-a,-2b） C．（-2b,-2a） D.（-2a,-b）
12．如图，点A的坐标是（3，3），将ABC先向下平移3个单位得△DEF，将所的图形绕O顺时针旋转180°得△MNK。请画出△DEF和△MNK，并写出点K的坐标。
13．如图△ABC与△DEF是关于点O的位似图形，他们都是格点三角形。
（1）画出位似中心O；
（2）求出△ABC与△DEF的位似比；
（3）以点O为位似中心，再画一个△GHM，使它与△ABC的位似比是1：
参考答案：
1、位似图形，位似中心；2、平行；3、D；4、（4，3）
5、画图略；6、(1)画图略；(2)E(4,6),D(4,-2),F(12,-4)
7、2：1；8、D(2,2),E(4,2),F(6,4)；9、画图略；
10、(1)1：2，点O；(2)用位似图形一定是相似图形证明，证明过程略。
11、A；12、画图略，K(-5，2)
13、(1)略；(2)1：2；(3)略。
27．3 位 似
第三课时
教学目标：
(一)知识与技能
1．进一步理解图形的位似概念，掌握位似图形的性质。
2．会利用作位似图形的方法把一个图形进行放大或缩小。
3．掌握直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律。
(二)过程与方法
1、经历位似图形性质的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力、以及动手、动脑、手脑和谐一致的习惯。
2、利用图形的位似解决一些简单的实际问题，并在此过程中培养学生的数学应用意识，进一步培养学生动手操作的良好习惯。
(三)情感态度与价值观
通过动手操作、探究与交流，发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理能力。
教学重点和难点：
本节教学的重点是图形的位似概念、位似图形的性质及利用位似把一个图形放大或缩小。
教学过程：
创设情景，构建新知
1．位似图形的概念
下列两幅图有什么共同特点？
如果两个图形不仅形状相同，而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心.
2、引导学生观察位似图形
下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相似图形.分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？
显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比.
(1)五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′；
(2)在平行四边形ABCD中，△ABO与△CDO
(3)正方形ABCD与正方形A′B′C′D′.
(4）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′
(5)反比例函数y＝(x>0)的图像与y＝(x<0)的图像
(6)曲边三角形ABC与曲边三角形A′B′C′
(7)扇形ABC与扇形A′B′C′，
（B、A 、B′在一条直线上，C、A 、C′在一条直线上）
SHAPE \* MERGEFORMAT
（8）△ABC与△ADE（①DE∥BC； ②∠AED＝∠B）
2．如图P，E，F分别是AC，AB，AD的中点，四边形AEPF与四边形ABCD是位似图形吗？如果是位似图形，说出位似中心和位似比.
适当提高，应用新知
位似图形的性质
一般地，位似图形有以下性质：
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
作位似图形
例：如图，请以坐标原点O为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大3倍.
分析：根据位似图形上任意一对对应
点到位似中心的距离之比等于位似比，
我们只要连结位似中心O和的各顶点，
并把线段延长（或反向延长）到原来
的3倍，就得到所求作图形的各个顶点
直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律
想一想：
1．四边形GCEF与四边形G′C′E′F′具有怎样的对称性？
2．怎样运用像与原像对应点的坐标关系，画出以原点为位似中心的
位似图形？
以坐标原点为位似中心的位似变换有一下性质：
若原图形上点的坐标为（x，y），像与原图形的位似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（―kx，―ky）.
练一练
如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，
求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长
缩小到原来的一半.
如图，在直角坐标系中，△ABC的各个
坐标为A（-1，1），B（2，3），C（0，3）。
现要以坐标原点0为位似中心，位似比为，
作△ABC的位似图形△A/B/C/，则它的顶
点A、B、C的坐标各是多少？
小结内容，自我反馈
今天你学会了什么？
位似图形的定义，位似图形的性质.
作业
1．P65习题27.3 1、2、3
配套课时练习
1. 位似这种变换是将图形的_________改变，而保持图形的________
不变。
2. 如图所示，四边形ACDE∽四边形ABHF，则它们的位似中心是____________。
3. 如图所示，点D、点E分别是AB、AC边中点，则△_________∽△_______，它们的位似中心是___________，相似比是__________。
4. 如图所示中位似的图形是__________（填序号）。
5. 已知四边形ABCD，如图所示。画一个四边形，使四边形与原图形的相似比为2.5。
6. 请用位似的方法把下图放大1倍，要求位似中心在AB边上。
7. 玩一玩挡光板：小明学了“位似变换”以后，周末在家做了一个“位似”小实验（如图所示），为了使家中的墙壁上一幅壁画不受太阳光从点O照射，他在壁画与入射光线O之间设置一个长方形障碍，以拦住壁画不受照射，要求使壁画和障碍物成位似图形，相似比为3：1，请你帮小明画出其位似图形。
8. 如图所示，按要求进行位似变换：（1）将△ABC放大2倍，且位似中心选在△ABC左侧图中黑点处。（2）将正六边形ABCDEF缩小倍，且位似中心选在图形的内部图中黑点处。
9. 一个矩形如图所示，四边形ABCD的坐标分别为A（-3，1），B（-3，-1），C（-1，-1），D（-1，1）。
（1）写出沿CD翻折后的图形坐标。
（2）绕D点逆时针旋转180°后的图形坐标。
（3）关于坐标原点O成中心对称的图形的顶点坐标。
（4）把图形再向下平移2个单位得到图形的点坐标。
10. 将如图所示中的△ABC作如下运动，画出图形，写出三个顶点变化后的坐标；
（1）沿x轴向右平移4个单位；
（2）关于x轴对称；
（3）以C点为位似中心，缩小0.5倍。
11. 如图所示是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图，对我方潜艇来说：
（1）北偏东40°的方向上有哪些目标？要想确定敌舰B的位置，还需要什么数据？
（2）距我方潜艇的图上距离小于1cm的敌舰有几艘？
（3）要确定每艘敌舰的位置，各需要几个数据？并用已学知识加以说明。
参考答案：
1. 大小；形状 2. A
3. ADE；ABC；A；1：2
4. ①③④
5. 图略 6. 图略
7. 图略 8. 图略
9. （1）A（1，1），B（1，-1），C（-1，-1），D（-1，1）
（2）A（1，1），B（1，3），C（-1，3），D（-1，1）
（3）A（3，-1），B（3，1），C（1，1），D（1，-1）
（4）A（-3，-1），B（-3，-3），C（-1，-3），D（-1，-1）
10. （1）图略
A1（7，3），B1（5，-1），C1（9，0）；
（2）A2（3，-3），B2（1，1），C2（5，0）；
（3）A3（4，1.5），B3（3，-0.5），C3（5，0）
11. （1）北偏东40°的方向有敌舰B和小岛两个图标；要想确定敌舰B的位置，还需知道敌舰B距我方潜艇的距离。
（2）距我方潜艇的图上距离为1cm的敌舰有2艘，敌舰A和敌舰C。
（3）要确定每艘敌舰的位置，需知道两个数据，距离和方位角。
即要确定每艘敌舰的位置，可建立方位坐标。用方位坐标标出敌舰位置。
如：敌舰B在我方潜艇北偏东40°，距离为××cm的地方。
相似三角形的小结与复习课
一、教学目标：
知识目标：
1、通过例题的讲解使学生进一步巩固相似三角形的概念、三角形相似的判定及相似三角形的性质等知识。
能力目标：
2、培养学生把课本上所学知识应用到实践中去的认识以及提高学生解决实际问题的能力。
3、培养学生将实际问题抽象成数学问题的思想方法。
情感目标：
4、通过学习，养成严谨科学的学习品质。
二、教学重点与难点：
1、通过例题的分析、研究，揭示应用相似三角形有关知识解题的规律，提高分析问题和解决问题的能力。
2、数学知识的综合运用。
三、教学方法：
启发式。
四、教学过程：
（一）复习提问：请同学口述判定三角形相似的方法及性质，教师用投影加以总结：
1、相似三角形的判定：
1）相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2）相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边（或其延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似。
3）判定定理：两角对应相等，两三角形相似。
4）判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
5）判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
6）直角三角形相似的判定定理：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似。
2、相似形的性质：
相似三角形除具有对应角相等、对应边成比例的性质外，还具有如下性质：
（1） 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
（2）相似三角形周长的比等于相似比。
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
指出判定中第6个定理只适用于直角三角形相似的判定，而第1个相似三角形的定义因用起来较烦，因此平时不使用。在性质中强调前提条件是相似。
（二）：基础训练
1：判断题
1）.所有的等边三角形都相似 ( )
2）.所有的等腰直角三角形都相似 ( )
3）.所有的直角三角形都相似 ( )
4）.所有等腰三角形都相似 ( )
5）.有一个角是100°的两个等腰三角形相似 ( )
6）.有一个角是70°的两个等腰三角形相似 ( )
7）.如果两个三角形周长之比是1∶2，那么它的面积之比为1∶4( )
8）.若两等腰三角形面积之比为9∶25，则它的底边之比为3∶5( )
2：填空
1）.已知两个相似三角形的对应角平分线的比是1∶4，则对应高的比为_____，面积的比为_____。
2）.已知两个相似三角形的面积比是1∶4，对应中线的比为_____，周长的比为______。
3）.一个三角形的面积扩大为原来的100倍，而它的形状不变，则边长应扩大为原来的______倍。
4）.两个相似三角形对应周长的比为2∶3，面积的比为1∶a,则a等于_____.
（三）：例题解析
例1：如图△ABC中，边BC=8cm，高AD=12cm，EF∥BC。
（1）若EF=4,求
（2）若将EF向上平移，使=4，求的高。
（3）若设，试写出与的函数解析式。
（通过此例，学生就比较容易搞清变式的思路．）
变式训练： 如图△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=8cm，高AD=12cm，要把它加工成矩形零件，使矩方形的一边在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上（不与点B、点C重合）。
求：（1）AK为何值时，矩形EFGH是正方形？
（2）AK为何值时，此矩形的邻边之比是1:2？
（3）若设，试写出与的函数解析式。
（4）为何值时，达到最大值。
（比较例题与本题的联系，学生不难寻找解题思路，但教师要向学生讲清将此题抽象为证明三角形相似的数学问题的思想）
（四）归纳与小结：
本节课主要学习了综合利用相似三角形的有关知识解决实际问题，望学生在此方面的能力有所提高，有时我们还会碰到一道题目多种答案的情况。同学们一定要学会认真审题、分析。
（五）课时作业：（略）
配套课时练习
A组
地图上两地间的距离（图上距离）为3厘米，比例尺是1:1 000 000，那么两地间的实际距离是多少米？
在右边网格纸中描出左边图形的放大图形.
（第2题）
所有的直角三角形都相似吗？所有的等腰直角三角形都相似吗？为什么？
所有的正方形都相似吗？所有的菱形都相似吗？为什么？
如果一个4米高的旗杆的影长为6米，同它临近的一个建筑物的影长是24米，那么这个建筑物的高度是多少？
判断下列各组中的两个三角形是否相似，并简单说明理由：
在△ABC中，∠B是直角，∠A＝30°；
在△中，∠是直角，∠＝60°；
△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8；
△中，＝16，＝14，＝10.
下图是小明所在学校的平面示意图，小明可以如何描述他所住的宿舍的位置呢？
（第7题）
（第8题）
如图，在△ABC中，如果DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，说明△ADE∽△ABC求的值以及AC、EC的长度.
B组
平行四边形ABCD与平行四边形相似，已知AB＝5，对应边＝6，平行四边形ABCD的面积为10，求平行四边形的面积.
将下列图形分别分成四小块，使它们的形状、大小完全相同，并且与原图相似，应怎样分？（画出大致图形即可）
（第10题）
在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.请在方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形.再在适当的位置上画上坐标轴，指出这两个相似三角形顶点的坐标.
（第11题）
（第12题）
如图，已知∠ACB＝∠CBD，AC＝a，CB=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，△ACB∽△CBD？
参考答案：
A组
1、3000米；2、画图略；
3、所有的直角三角形不一定都相似；所有的等腰直角三角形都相似；
4、所有的正方形都相似，但所有的菱形不一定都相似；
5、16米；6、(1) △ABC∽△； (2)△ABC∽△；
7、略；8、因为DE∥BC，由“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可知，△ADE∽△ABC ；=3/7；
AC=14/3，EC=8/3。
B组
9、S平行四边形=14.4；10、略；11、画图略；
12、CD=b2/a
A
B
D
E
C
F
A
B
C
A 1
B1
C 1
D
E
A
B
C
A 1
B1
C 1
A
B
C
A 1
B1
C 1
A
B
C
A 1
B1
C 1
B
D
E
F
A
C
A
B
C
Q
M
D
N
P
E
A
B
C
D
E
A
(F)
B
O
E
F B
（E）
A
C
O
B
x
y
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27．1 图形的相似?
第一课时
一、 教学目标?
(一) 知识目标?
通过对生活中的事物或图形的观察，获得理性认识，从而加以识别相似的图形．?
(二) 能力目标?
通过观察、归纳等数学活动，与他人交流思维的过程和结果，能用所学的知识去解决问题．?
(三) 情感目标?
在获得知识的过程中培养学习的自信心．?
二、 教学重点?
引导学生观察图形，并从中获取信息，培养他们的观察、分析及归纳能力．?
三、 教学难点?
应用获得的数学知识解决生活中的实际问题．?
四、 教学过程?
一、创设情境，导入新课：
观察教材第36页的两组图形，你能发现它们之间有什么关系 ?
二、师生互动，探索新知：
1、观察下列几组几何图形，你能发现它们之间有什么关系 ?
从而得出：具有相同形状的图形叫相似形．（出示课题——图形的相似）
2、对(2)中的3组图形，通过图形的缩小或放大，再利用图形的平移或旋转等变换，使它与另一个图形能够重合，从而加以验证它们是相似的图形。?
3、你还见过哪些相似的图形，请举出一些例子与同学们交流．?
三、试一试：利用课本后面的网格或格点图纸设计出几组相似的图形，并利用幻灯片加以
展示，使学生在学习中获得成功的喜悦．?
四、探究：
1、思考教科书第37页观察中的问题，哈哈镜里看到的不同镜像它们相似吗？
2、 观察下图中的3组图形，它们是不是相似形 为什么 ?
(激发学生的求知欲，为下一节课“相似图形的特征”做好准备)?
五、 课堂练习?
完成课本第37页练习第1、2题。?
六、 课堂小结?
这节课你哪些收获 ?
七、课时作业?
1、根据今天所学的内容，请你收集或设计一些相似的图案．
2、习题27.1第1、2题．
配套课时练习
1.我们把形状 的图形叫做相似图形.
2.下列图形相似的是( )
A.两个圆 B. 两个矩形 C. 两个等腰梯形 D. 两个菱形
3.下列是图形相似的有( )
两辆轿车 两个五角星 两只足球 建筑物的设计图纸与建筑物
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4．下列每组图中的两个图形是相似图形的是 （ ）
A B C D
5.举出相似图形的例子 (至少两个)
6.在方格纸中平移图形,使A平移到A’处,画出放大一倍的图形.
7.下列说法正确的是( )
A.人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像相似.
B.人们从平面镜里看到的像与人的关系是相似图形,但不是全等图形.
C.拍照时,镜头的取景与照片上的画面是相似的
D.放幻灯片时投在屏幕上的画面与幻灯片上的图形是全等的
8.选出与下面左图相似的图（ ）
9.请将下面的直角三角形放大三倍.
10.请指出下列图形中哪几对是相似图形,并说明理由.
正方形 圆 长方形 正六边形 菱形
11．如图，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，交AD于F，图中相似三角形的对数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12.已知图中的每个正方形的边长都是1个单位,在图中画出一个与格点三角形DEF相似但不全等的格点三角形.
参考答案：
1、相同；2、A；3、B；4、A；5、略
6、画图略；7、C；8、B；9、画图略
10、正方形、圆、正六边形
11、D；12、画图略
27．1 图形的相似?
第 二 课 时
一、 教学目标?
(一) 知识与技能?
通过对生活中的事物或图形的观察，获得理性认识，从而加以识别相似的图形．?
(二) 过程与方法?
1、经历对相似图形观察、分析、欣赏以及动手操作、画图、测量等过程，能用所学的知识去解决问题；
2、回顾相似图形的性质、定义，得出相似三角形的定义及其基本性质。
(三) 情感态度与价值观?
通过观察、归纳等数学活动，与他人交流思维的过程和结果，在获得知识的过程中培养学习的自信心．发展审美能力，增强对图形欣赏的意识。
二、教学过程?
1．情境导入
播放多媒体——教材中的图27．1．l-4 （1）（用投影幻灯片或用教学挂图展示）．观察相似三角形的特征，得出：三角相似的对应角相等、对应边成比例以及相似比．
2．课前热身
分组活动：（5分钟）复习相似变换图形，掌握相似形的基本特征：对应角相等，对应
边的比相等．
3．合作深究
（1）整体感知
从回顾旧知“相似多边形性质”入手定义相似三角形，认识符号相似于“∽”，会用数学语言表达两个三角形相似——从课本第41页中“习题27.1第5题”，通过测量得到DE∥BC时， △ADE∽△ABC－一给出三角形相似的定义．
四边互动
互动1
师：教师展示投影1：课本第38页中图27．1．1-4．这两个图形有何共同特征？
生：回答略．
师：这两个图形的不同点在哪里？
生：回答略（教师在学生进行议论、交流、评判形成共识后可由学生进行口头归纳．）
明确 图上所展示的两个相似图形中，∠A=∠A＇，∠Ｂ＝∠Ｂ＇，∠Ｃ＝∠Ｃ＇，．
定义相似比：两个相似三角形对应边的比叫相似比．
注意：相似比是有顺序的，△ABC与△Ａ＇Ｂ＇Ｃ＇的相似比为k，则△A＇B＇C＇与△ＡＢＣ的相似比为．
互动２
师：展示投影2：课本中第39页图27.1-5．△ABC与△ADE的三个角对应相等吗？为什么？
生：略．
师：△ABC与△ADE的三边对应成比例吗？量量看．
生：动手测量得出结论并与同伴交流．
师：△ABC与△ADE相似吗？
生：学生分组进进行讨论．
明确 在同学交流、评判的过程中，老师进一步阐述，平行于三角形一边的直线截其他两边或其延长线所得的三角形与原三角形相似．
4．达标反馈
课本第40页练习第 l－3 题．
注：（１）题中找对应边应考虑长边与长边、中边与中边、短边与短边是否对应成比例及大角与大角、小角与小角、中角与中角是否对应相等．
5．学习小结
（１）内容总结
相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．
两个相似三角形对应边的比称为相似比，相似比是有顺序的．△ABC与△A＇B＇C＇的相似比为k，则△A＇B＇C＇与△ABC的相似比为．
平行于三角形一边的直线截三角形的另两边，所得对应线段成比例．
（2）方法归纳
学会动手画平行线，动手测量、计算、观察、猜想总结规律；重在培养学生的合作、交流与探索的能力．
（三）延伸拓展
1．链接生活
找一些生活中存在的相似变换的实例．
2实践探索
（１）实践活动
画出公路两旁的电线杆（观察远近不同的两根电线杆及其上面的支架和瓷瓶）．
（2）巩固练习
①课本第41页习题27．1第4、7题．
（3）补充作业
①中心对称的两个图形是相似图形．（V）
②所有等边三角形都是相似图形．（V）
③线段既是轴对称图形也是中心对称图形．（V）
④半径不同的两个圆是相似图形．（V）
⑤人的一双眼睛是相似图形．（V）
⑥自己选画一如意图形，然后再确定一个对应顶点，再画出一个与它相似的图形．
⑦（a）所有正方形是不是相似图形？若是，请说明理由．
（b）所有矩形呢 把矩形改为梯形又如何？换成菱形呢？改为等腰梯形或平行四边形？
配套课时练习
1、下列命题中正确的有( )个.
如果两个三角形相似,且相似比为1,那么这两个三角形全等.
如果两个三角形都与第三个三角形相似,那么这两个三角形相似.
如果两个三角形全等,那么这两个三角形一定相似
如果两个三角形相似,那么这两个三角形全等.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、如图,四边形EFGH相似于四边形ABCD,求∠A、∠C、∠H以及x,y,z的值
3、初三体育中考时,一个同学跳远情况如图(比例尺1∶200),l是起跳线,这个同学的实际成绩为 米(结果保留一位小数)
4、如图梯形ABCD中,AD∥BC,EF∥BC,且梯形AEFD∽梯形EBCF,已知AD=2,AB=6,BC=8,求AE的长度.
5、如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子（ ）。
A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变短后变长 D．先变长后变短
6、梯形ABCD中，AB∥DC，CD=8，AB=12，梯形的面积是90，两腰的延长线相交于点M，则△MCD的面积= 。
7、梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，EF将梯形ABCD分成两个相似的梯形，梯形ABEF和梯形EBCF，若AD=3，BC=12，则EF的长为 。
8、在同一块四边形地上有甲、乙两张地图，比例尺分别是1：200和1：500，甲、乙两地图的相似比 和面积比 。
9、如图∠B＝90°, ∠BDE＝∠A,AD＝2BD＝10,EC＝2BE＝8,试判断△BED与△BCA是否相似,请说明理由.
10、如图,矩形ABCD是一个长2米,宽1米的国画,它的四周镶上宽度相等的一条金边.
(1) 金边宽度为10cm时, 矩形ABCD与矩形EFGH是否相似.
(2) 是否存在这样的金边宽度,使的矩形ABCD与矩形EFGH相似 如果存在,求出金边宽度; 如果不存在,请说明理由.
11、已知△ABC,作△A’B’C’,使它与△ABC相似,且△A’B’C’与△ABC的相似比为3.(写出已知,求作,作法,并保留作图痕迹)
12、已知图⑴和图⑵中的每个小正方形的边长都是1个单位.
(1)在图⑴中将△ABC先向右平移2个单位,再向上平移3个单位,
(2)在图⑵画出一个与格点△DEF相似且相似比为 的格点三角形。
13、如图，两个正方形边长之比是1：2，请利用这两个正方形，通过切割，平移，旋转的方法，拼出两个相似比是1：3的三角形；要求（1）借助原图拼图（2）简要说明方法（3）指明相似的两个三角形。
参考答案：
1、C；2、∠A=70°；∠C=120°；x=20；y=15；z=22.5
3、略；4、AE=3；5、A；6、72；7、6；8、5：2；25：4
9、相似；如果两个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似
10、(1)不相似；(2)不存在；
11、作图略；12、画图略；13、略
27．2．1相似三角形的判定
第一课时
教学目标
(一)知识与技能
了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”；
掌握“如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似”的判定定理。
(二)过程与方法
培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
（三）情感态度与价值观
让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕
教学重点：两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1
教学难点：探究判定引例﹑判定方法1的过程
教学过程
新课引入：
复习相似多边形的定义及相似多边形相似比的定义
相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义
回顾全等三角形的概念及判定方法（SSS）
相似三角形的概念及判定相似三角形的思路。
提出问题：
如图27·2-1，在 ABC中，点D是边AB的中点，
DE∥BC，DE交AC于点E ， ADE与 ABC有什么
关系？
分析：观察27·2-1易知AD=，AE=，∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，只需引导学生证得DE=即可，学生不难想到过E作
EF∥AB。 ADE∽ ABC，相似比为。
延伸问题：
改变点D在AB上的位置，先让学生猜想 ADE与 ABC仍相似，然后再用几何画板演示验证。
归纳：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
探究方法：
探究1
在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？
分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的对应角都相等，根据相似三角形的定义，这两个三角形相似。（学生小组交流）
在学生小组交流的基础上引导学生思考证明探究所得结论的途径。
分析：作A1D=AB，过D作DE∥B1C1，交A1C1于点E
A1DE∽ A1B1C1。用几何画板演示 ABC平移至 A1DE的过程
A1D=AB，A1E=AC，DE=BC A1DE≌ ABC
ABC∽ A1B1C1
归纳：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
符号语言：若 ，则 ABC∽ A1B1C1
运用提高：
P47练习题1（2）。
P47练习题2（2）。
课堂小结：说说你在本节课的收获。
布置作业：
必做题：P55习题27·2题2（1），3（1）。
选做题：P55习题27·2题4，5。
备选题：
如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延
长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（ ）
A、1对 B、2对 C、3对 D、4对
设计思想：
本节课主要是探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，因此在教学设计中突出了“探究”的过程，先让学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究，然后教师再应用“几何画板”等计算机软件作动态探究，从而给学生以深刻的实验几何的数学学习体验。此外，本课教学设计在引导学生知识重构的维度上重视应用“比较”“类比”“猜想”的教学法，促使学生尽可能进行“有意义”的而非“机械、孤立”的认知建构，并在这一建构过程中发展合情推理能力。
配套课时练习
1．△ABC与△DEF全等，则其相似比是
2．已知△ABC∽△DEF，写出其对应角及对应边关系是 。
3．平行与三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，△ADE∽ ，∠ADE= ，DE/BC= ，若AE=3，EC=2，则△ADE与△ABC的相似比为
5．如图，CD∥EF∥AB，AC，BD相交于点O，则图中与△OEF相似的三角形为 。
6．已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则△ABC与△DEF相似比是 ；△DEF与△ABC的相似比是
7．如图，△ABC∽△AEF，且相似比3：2，EF=8cm，则BC= cm
8．如图，△ABC中，DE∥BC，MN∥AB，则图中与△ABC相似的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，AD⊥AC，BC⊥AC，AB与CD相交于点E，过E点作EF⊥AC，交AC于F，写出图中所有的相似三角形，并说明理由。
10．求作△DEF使他与已知△ABC相似且相似比3：2。
11．如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，BC=3，AB=6，则AD的长为（ ）
A．1 B．2 C．1．5 D．2．5
12．如图，在△ABC中，AB=3AD，DE∥BC，EF∥AB，若AB=9，DE=2，则线段FC的长度 .
13．如图，已知AE=BF，FH∥EG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G。若点E、F在边AB上，试判断EG+FH=AC是否成立，并说明理由。
参考答案：
1、1：1；2、∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，AB/DE=BC/EF=AC/DF
3、相似；4、△ABC，∠B，AD/AB=AE/BC，3：5
5、△OCD，△OAB；6、1：2，2：1；7、12；8、C
9、△ABC∽△AEF，△CDA∽△CEF，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；△BCE∽△ADE，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似
10、作图略；11、B；12、FC=14；
13、成立，
理由：因为FH∥EG∥AC，所以 BE/AB=EG/AC，BF/AB=FH/AC
所以BE/AB+ BF/AB = EG/AC + FH/AC
即：(BE+BF)/AB=(EG+FH)/AC
又因为AE=BE，所以BE=AF，所以(AF+BF)/AB=1
所以(EG+FH)/AC=1，即EG+FH=AC
27．2．1相似三角形的判定
第二课时
教学目标：
(一)知识与技能
掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似的判定定理；
掌握两组对应边的比相等且它们夹角相等的两个三角形相似的判定定理。
(二)过程与方法
会运用“三组对应边的比相等的两个三角形相似”及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的方法进行简单推理。
(三)情感态度与价值观
从认识上培养学生从特殊到一般的方法认识事物，从思维上培养学生用类比的方法展开思维；
通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣。
教学重点：
掌握两个判定定理，会运用两个判定定理判定两个三角形相似
教学难点：
探究两个三角形相似的条件；
运用两个三角形相似的判定定理解决问题。
教学过程
新课引入：
复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系：
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法1）
回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程
探究两个三角形相似判定方法2的途径
提出问题：
利用刻度尺和量角器画 ABC与 A1B1C1，使∠A=∠A1，和都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B1C1的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B1，∠C与∠C1是否相等？
（学生独立操作并判断）
分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边BC和B1C1的比都等于k，另外两组对应角∠B=∠B1，∠C=∠C1。
延伸问题：
改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。）
探究方法：
探究2
改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生学习如何在动态变化中捕捉不变因素。）
归纳：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成）
符号语言：若∠A=∠A1，==k，则 ABC∽ A1B1C1
辨析：对于 ABC与 A1B1C1，如果=，∠B=∠B1，
这两个三角形相似吗？试着画画看。（让学生先独立思考，再进行小组交流，寻找问题的所在，并集中展示反例。）
应用新知：
例1：根据下列条件，判断 ABC与 A1B1C1是否相似，并说明理由：
（1）∠A＝1200，AB=7cm，AC=14cm，
∠A1＝1200，A1B1= 3cm，A1C1=6cm。
（2）∠B＝1200，AB=2cm，AC=6cm，
∠B1＝1200，A1B1= 8cm，A1C1=24cm。
分析: （1）==,∠A=∠A1＝1200
ABC∽ A1B1C1
（2）==,∠B=∠B1＝1200
但∠B与∠B1不是AB ﹑AC﹑ A1B1 ﹑A1C1的夹角，
所以 ABC与 A1B1C1不相似。
运用提高：
1、P47练习题1（1）。
2、P47练习题2（1）。
课堂小结：说说你在本节课的收获。
布置作业：
必做题：P55习题27·2题2（2），3（2）。
选做题：P56习题27·2题8。
备选题：
已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它的
内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）
去量（如图），若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零
件的厚度x。
设计思想：
本节课主要是探究相似三角形的判定方法2，由于上节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，而本节课内容在探究方法上又具有一定的相似性，因此本教学设计注意方法上的“新旧联系”，以帮助学生形成认知上的正迁移。此外，由于判定方法2的条件“相应的夹角相等”在应用中容易让学生忽视，所以教学设计采用了“小组讨论＋集中展示反例”的学习形式来加深学生的印象。
配套课时练习
1．如果两个三角形的三组对应边 ，那么这两个三角形相似。
2．下列命题中正确的有（ ）
⑴△ABC的边长分别是5 cm、6 cm、8 cm，△DEF的边长分别2．5 cm，3 cm，4 cm，则△ABC∽△DEF。
⑵过△ABC的边AB上点D作DE∥BC交AC于E，则△ABC∽△ADE。
⑶△ABC的边长分别是2 cm、4cm、6 cm，△DEF的边长分别1 cm，3 cm，2 cm，则△ABC∽△DEF。
⑷有一个角相等的两个菱形一定相似。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．根据下列条件，判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。
⑴AB=3 cm，BC=4 cm，AC=6 cm；
DE=9 cm，EF=12 cm，FD=16 cm。
⑵
4．如图，要使△ABC∽△AEF，应补充的条件是 或 。
5．根据下列条件，回答问题：
⑴如图，已知△ABC与△DEF，判断两个三角形是否相似，并说明理由。
⑵已知一个三角形的三边长分别是8 cm、10cm、6 cm，要制作一个三角形使其与之相似，且其中一边长是3 cm，求另外两边的长度是多少？判断两三角形的形状，并说明理由。
6．在□ABCD中，E在BC边上，AE交BD于F，若BE∶EC=4∶5，则BF∶FD等于（ ）
A.4∶5 B.5∶4
C.5∶9 D.4∶9
7.如果△ABC∽△A′B′C′，BC=3，B′C′=1.8，则△A′B′C′与△ABC的相似比为( )
A.5∶3 B.3∶2
C.2∶3 D.3∶5
8.若△ABC∽△A′B′C′，AB=2，BC=3，A′B′=1，则B′C′等于( )
A.1.5 B.3
C.2 D.1
9.△ABC的三边长分别为、、2，△A′B′C′的两边长分别为1和，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边的长应等于( )
A. B.2
C. D.2
10．如图O是△ABC内的一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，试猜想△ABC与△DEF的关系，并证明你的结论。
11．下列命题中，真命题是（ ）
A．两个钝角三角形一定相似 B．两个等腰三角形一定相似
C．两个直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似
12、如图，A、B两点被池塘隔开，在 AB外选一点 C，连结 AC和 BC，并分别找出它们的中点 M、N．若测得MN＝15m，求A、B两点的距离。
13．如图在正方形方格中，△ABC与△DEF都是格点三角形：
⑴∠ABC= ，BC=
⑵判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论。
参考答案：
1、的比相等；2、D；
3、(1)不能；(2)能，三边对应成比例的两个三角形相似
4、EF∥BC或AE：AB ＝AF：AC；
5、(1)相似，三边对应成比例的两个三角形相似
(2)4cm，5cm，直角三角形
6、D；7、D；8、A；9、C
10、DE ＝；DF＝0.5AC；EF＝0.5BC；证明略。
11、D；12、AB＝30；13、(1)135°；(2)BC＝；相似
27．2．1相似三角形的判定
第三课时
教学目标
(一)知识与技能
掌握判定两个三角形相似的方法：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
(二)过程与方法
培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法3与全等三角形判定方法（AAS﹑ASA）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
(三)情感态度与价值观
让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕
教学重点：两个三角形相似的判定方法3及其应用
教学难点：探究两个三角形相似判定方法3的过程
教学过程：
新课引入：
复习两个三角形相似的判定方法1﹑2与全等三角形判定方法（SSS﹑SAS）的区别与联系：
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法1）
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法2）
提出问题：
观察两副三角尺，其中同样角度（300与600，或450与450）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。
如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？
延伸问题：
作 ABC与 A1B1C1，使得∠A=∠A1，∠B=∠B1，这时它们的第三角满足∠C=∠C1吗？分别度量这两个三角形的边长，计算﹑﹑，你有什么发现？（学生独立操作并判断）
分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三角满足
∠C=∠C1，==。
分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。）
探究方法：
探究3
分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生观察在动态变化中存在的不变因素。）
归纳：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成）
符号语言：
若∠A=∠A1，∠B=∠B1 ，则 ABC∽ A1B1C1
应用新知：
例2 如图27·2-7，弦AB和CD相交于⊙O
内一点P，
求证：PA·PB=PC·PD。
分析：欲证PA·PB=PC·PD，只需，欲证只需 PAC∽ PDB，欲证 PAC∽ PDB，只需∠A=∠D，∠C=∠B。
运用提高：
P49练习题1。
P49练习题2。
课堂小结：说说你在本节课的收获。
布置作业：
必做题：P55习题27·2题2(3)。
选做题：P57习题27·2题11。
备选题：
如图AD⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F，
则图中相似三角形的对数有 对。
设计思想：
本节课主要是探究相似三角形的判定方法3，由于上两节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1﹑判定方法2，因此本课教学力求使探究途径多元化，把学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究与应用“几何画板”等计算机软件作动态探究有机结合起来，让学生充分感受探究的全面性，丰富探究的内涵。协同式小组合作学习的开展不仅提高了数学实验的效率，而且培养了学生的合作能力。
配套课时练习
选择题：
1.下列判断正确的是（ ）
两个直角三角形相似 B.两个相似三角形一定全等
C.凡等边三角形都相似 D.所有等腰三角形都相似
2.下列各对三角形中一定不相似的是（ ）
△ABC中，∠A=54°，∠B=78°
△A′B′C′中，∠C′=48°，∠B′=78°
B.△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm
△A′B′C′中，∠C′=90°，A′C′=12cm，B′C′=15cm
△ABC中，∠B=90°，AB=5，AC=13
△A′B′C′中，∠B′=90°，A′B′=2.5a，B′C′=6a
D.△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=5
△A′B′C′中，∠A′=45°，A′B′=5
如图，AB∥CD，AC、BD交于O，BO=7，DO=3，AC=25，则AC长为（ ）
A.10 B.12.5 C.15 D.17.5
在△ABC中，MN∥BC，MC、NB交于O，
则图中共有（ ）对相似三角形。
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
如图16，已知△ABC中D为AC中点，AB=5，AC=7，∠AED=∠C，则ED= 。
在梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，DC：AB=1：1.5，
则AD：BC= 。
如图18在Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=6，AD=3.6，则BC= ，BD= 。
已知：图19中AC⊥BD，DE⊥AB，AC、ED交于F，BC=3，FC=1，BD=5，则AC= 。
三、解答题
1.已知：如图20□ABCD中E为AD的中点，AF：AB=1：6，EF与AC交于M。 求：AM：AC。
2.已知：如图21在△ABC中EF是BC的垂直平分线，AF、BE交于一点D，AB=AF。
求证：AD=DF。
已知：E是正方形ABCD的AB边延长线上一点，DE交CB于M，MN∥AE。
求证：MN=MB
已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4
求证：BM·AC=MN·AB
参考答案
一、1.C；2.D；3.D；4.B。
二、1. 0.1；2. 1：1.5；3. 8，6.4；4. 6。
1. 1：8；
2. △DBF∽△ACB，；
3. ；
4.略。
27．2．2相似三角形应用举例
教学目标
(一)知识与技能
让学生学会运用两个三角形相似来解决实际问题。
(二)过程与方法
1、让能学生综合运用相似的知识，加深对相似三角形的理解和认识。
2、让学生经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。
(三)情感态度与价值观
培养学生的观察﹑归纳﹑建模﹑应用能力；发展学生的数学应用意识。
〔教学重点与难点〕
教学重点：运用两个三角形相似解决实际问题
教学难点：在实际问题中建立数学模型
教学过程
新课引入：
复习相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义
回顾相似三角形的概念及判定方法
提出问题：
利用三角形的相似，如何解决一些不能直接测量的物体的长度的问题？（学生小组讨论）
“相似三角形对应边的比相等”四条对应边中若已知三条则可求第四条。
一试牛刀：
例3：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。
如图27．2-8，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO。
分析：BF∥ED∠BAO=∠EDF
又∠AOB=∠DFE=900
ABO∽ DEF
二试牛刀：
例4：如图27．2-9，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R。如果测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，求河的宽度PQ。
分析：∠PQR=∠PST=900，∠P=∠P
PQR∽ PST
，即，，
。解得PQ=90
三试牛刀：
例5：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m，一个身高1．6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？
分析：AB∥CD， AFH∽ CFK。
，即，解得FH=8。
运用提高：
P51练习题1
2．P51练习题2
课堂小结：说说你在本节课的收获。
布置作业：
必做题：P56习题27·2题9，10，11。
选做题：P57习题27·2题15。
备选题：
已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它
的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去
量（如图），若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零件的
厚度x。
设计思想：
本节课主要是让学生学会运用两个三角形相似解决实际问题，在解决实际问题中经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。因此在教学设计中突出了“审题画示意图明确数量关系解决问题”数学建模过程，学生可以从中锻炼把生活中的实际问题转化为数学问题的能力，另外，学生在富有故事性或现实性的数学情景问题中，探究解决问题的方法，这一过程有利于培养学生的数学学习兴趣。
配套课时练习
1、小明的身高是1.6米，他的影长为2米，同一时刻测的古塔的影长是16米，则古塔的高度是 米
2、下图中的三幅图是在我国北方某地某天上午不同时刻的同一位置拍摄的.
(1)在三个不同的时刻，同一棵树的影子长度不同，请将它们按拍摄的先后顺序进行排列，并说明你的理由．
(2)在同一时刻，大树和小树的影子与它们的高度之间有什么关系 与同伴进行交流．
3、如图,一人拿着一支刻有厘米分度的小尺,站在距电线杆约有20m的B处,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上约10个分度恰好遮住电线杆,已知手臂E′D长约50cm,求电线杆EF的高.
4、课间操中的数学
在上午阳光照耀下，同学们整齐地站在操场上做课间操，小凡和小成站在同一列，小凡的影子正好被站在他后面的同学踩在脚下，而小成的影子却没有被他后面的同学踩在脚下，小成和小凡哪个高？为什么？
5、一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为 ( )
A.7.5米 B.8米 C.14.7米 D.15.75米
6、晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影是 （ ）
A.变长 B.变短 C.先变长后变短 D.先变短后变长
7、要测量古塔的高度,下面方法不可取的是 ( )
A.利用同一时刻物体与其影长的比相等来求
B.利用直升飞机进行实物测量
C.利用镜面反射,借助于三角形相似来求
D.利用标杆,借助三角形相似来求
8、夜晚在亮有路灯的路上，若想没有影子，你应该站的位置是 （ ）
A.路灯的左侧 B.路灯的右侧 C.路灯的下方 D.以上都可以
9、下面两图的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的 为什么？
（1） （2）
10、下图中是一球吊在空中，当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球的影子会如何变化？
11、利用镜面反射可以计算旗杆的高度,如图,一名同学(用AB表示),站在阳光下,通过镜子C恰好看到旗杆ED的顶端,已知这名同学的身高是1.60米,他到影子的距离是2米,镜子到旗杆的距离是8米,求旗杆的高.
12、如图,甲楼AB高18米,乙楼坐落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12时,物高与影长的比是1: ,已知两楼相距20米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高
13、为了测量路灯（OS）的高度,把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上,测得竹竿的影子（BC）长为1米,然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB‘）,再把竹竿竖立在地面上, 测得竹竿的影长（B‘C‘）为1.8米,求路灯离地面的高度.
参考答案
1、20；
2、（1）顺序应为(3)(2)(1)．因为在早晨，太阳位于正东方向，此时树的影子较长，影子位于树的正西方向，在上午，随着太阳位置的变化，树影的长度逐渐变短，树影也由正西方向向正北方向移动．
(2)因为大树的影子较长，小树的影子较短，因此应该有大树的高度与其影子的长度之比等于小树高度与其影长之比．（或者大树与小树高度之比等于大树与小树的影长之比）
3、思路点拨：可以根据△ACD∽△AEF,△AE′D∽△ABF得到
,, 即 即,
可以求出EF的长.
4、小凡高；5、A；6、D；7、B；8、C；9、(1)灯光，(2)太阳光；
10、由小变大；11、6.4米；12、18-10；13、9米
27．2．3相似三角形的周长与面积
第一课时
教学目标：
(一)知识与技能
1、理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。
2、探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想。
(二)过程与方法
经历探索相似三角形性质“相似三角形周长的比等于相似比” 、“面积比等于相似比的平方”的过程。
(三)情感态度与价值观
在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体验解决实际问题策略的多样性。
教学重点：
理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。
教学难点：
探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。
教学过程：
新课引入：
1．回顾相似三角形的概念及判定方法。
2．复习相似多边形的定义及相似多边形对应边、对应角的性质。
提出问题：
如果两个三角形相似，它们的周长之间什么关系？两个相似多边形呢？（学生小组讨论）
ABC∽ A1B1C1，相似比为k
AB=kA1B1,BC=kB1C1,CA=kC1A1
进而得到结论：相似三角形周长的比等于相似比
延伸问题：
探究：
如图27．2-11（1）， ABC∽ A1B1C1，相似比为k1 ，它们的面积比是多少？
（1） （2）
图27．2-11
分析：如图27．2-11（1），分别作出 ABC和 A1B1C1的高AD和A1D1。
∠ADB=∠A1D1B1=900又∠B=∠B1
ABD∽ A1B1D1
=k12
进而得到结论：相似三角形面积比等于相似比的平方
（2）如图27．2-11（2），四边形ABCD相似于四边形A1B1C1D1，相似比为k2，它们的面积比是多少？
分析： k22
k22
相似多边形面积比等于相似比的平方
应用新知：
例6：如图27．2-12，在 ABC和 DEF中，
AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D， ABC的周长是
24，面积是48，求 DEF的周长和面积。
图27．2-12
分析： ABC和 DEF中，AB=2DE，AC=2DF
又∠A=∠D
ABC∽ DEF，相似比为
DEF的周长=24=12，面积=248=12。
运用提高：
P54练习题1
P54练习题2
课堂小结：说说你在本节课的收获。
布置作业：
必做题：P54练习题3，4
选做题：P57习题27·2题12，13，14。
3．备选题：如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.
(1)求证：△APE∽△ADQ；
(2)设AP的长为x，试求△PEF的面积
S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何
处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？
(3)当Q在何处时，△ADQ的周长最小？
（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明）
设计思想：
本节课主要是让学生理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，通过探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想，学会应用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解决简单的问题。因此本教学设计突出了“相似比相似三角形周长的比相似多边形周长的比”、“相似比相似三角形面积的比相似多边形面积的比”等一系列从特殊到一般的过程，以让学生深刻体验到有限数学归纳法的魅力。
配套课时练习
1、在△ABC中，∠BAC=，AD⊥BC于D，BD=3，AD=9，则CD= ，
AB：AC= 。
2、若△ABC∽△DEF, △ABC的面积为81cm2,△DEF的面积为36cm2,且AB=12cm,则DE= cm
3、如图,ΔABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,
则S四边形DFGE∶S四边形FBCG=_________.
4、等腰三角形ABC和DEF相似，其相似比为3：4，则它们底边上对应高线的比为（ ）
A、3：4 B、4：3
C、1：2 D、2：1
5、如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图. 已知桌面直径为1.2米，桌面离地面1米. 若灯泡离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）
A.、0.36平方米 B、0.81平米
C、2平方米 D、3.24平方米
6、如图，分别取等边三角形ABC各边的中点D、E、F，得△DEF.若△ABC的边长为a.
（1）△DEF与△ABC相似吗？如果相似，相似比是多少？
（2）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？
7、如图，在ΔABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x。（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）当，求的值；
8、在△ABC中，AE∶EB=1 ∶2，EF∥BC，AD∥BC交CE的延长线于D，求S△AEF∶S△BCE的值。
9、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm， 高AD=80mm， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，
（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？
（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？
10、如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB，若△ADE、△EFG、△GIC的面积分别为20cm2、45cm2、80cm2，求△ABC的面积。
11、有人猜想三角形内角平分线有这样一个性质:如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,则.如果你认为这个猜想是正确的,请写出一个完整的推理过程(利用图中辅助线：作BE//AD交CA延长线于E)说明这个猜想的正确性; 如果你认为这个猜想不正确,也请说明理由.
参考答案：
1、27；1：9；2、8；3、4：13；4、A；5、D；
6、⑴ 相似，1：4；⑵面积比等于相似比的平方；
7、x=10/3秒，2：9；8、1：6；9⑴48cm，⑵24/7 cm；
10、S△ABC=405cm2；
11、提示：利用“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”和角平分线的定义来证明。证明过程略。
27.3 位 似
第 一 课 时
教学目标：
(一)知识与技能：
1、掌握位似图形的定义；
2、掌握位似图形的性质；
(二)过程与方法：
学生经历将一个图形放大或缩小的方法，并且在学习和运用过程中发展数学应用意识。
(三)情感态度与价值观：
培养学生动手操作的良好习惯，以积极进取的思想探究数学学科知识，体会本节知识的实际应用价值和文化价值。
教学重点：
能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小。
教学难点：
位似图形的画法。
教学过程：
一、创设情境 操作引入
1、展示课件：两组图片，一是万里长城雄伟壮丽的画面，二是神州飞船首飞成功的邮票，演示两组图片的缩放过程。
（回顾相似多边形的有关概念和性质，为新课引入进行铺垫，同时渗透爱国主义教育，激发学生的学习兴趣和爱国热情）
2、操作实验：指导全班同学动手操作、进行实验，每位同学拿出自备的两个相似图形纸片，位置任意摆放，连接对应点，观察对应点的连线是否经过一点。同时请三位同学上黑板前台选取不同类型的相似图形（三角形、四边形、五边形）进行演示，供班级同学参考并猜想。
3、这几副图片表示出了图形之间的什么特殊的关系？
引出课题——位似。教师板书。
二、自主活动 实践感知
1、建构新知：位似图形及其有关概念
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.
2、让学生进一步操作，亲身感受位似图形与相似图形的联系与区别。通过观察、思考、交流、讨论得出如下结论：
位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必都能构成位似关系。
（引导学生动手、动脑，观察、思考，感悟知识的生成和变化）
3、认一认：
见课本P66页图27．3-2（1）、（2）、（3）辨认位似图形，并指认位似中心。
（从正反两个方面强化学生对位似图形的认识）
4、练一练：
例1 下列说法正确的是（ ）
A.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等；
B.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似；
C.两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似；
D.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似。
例2 下列每组图中的两个多边形，是位似图形的是（ ）
例3下列四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A. 点E B. 点F
C.点G D.点D
例4 已知上图中，AE∶ED=3∶2，则四边形ABCD与四边形EFGD的位似比为（ ）
A. 3∶2 B. 2∶3 C. 5∶2 D. 5∶3
（开发学生的思维能力，帮助学生掌握新知）
三、合作探究 明确强化
1、想一想：
本课已学过哪几种放大图形的方法？
（让学生思考、交流，加深对前后知识的理解，感悟知识之间的内在联系）学生归纳：直角坐标系放大图形法；橡皮筋放大图形法。它们都属于位似图形的作法。
2、做一做：
按如下方法可以将△ABC的三边缩小为原来的一半：
如图,任取一点O,连接AO,BO,CO,并取它们的中点D,E,F.△DEF的三边就是△ABC相应三边的一半。
(1)任意画一个三角形,用上面的方法亲自试一试;
(2) 如果在射线AO,BO,CO上分别取点D,E,F,
使DO=2OA,EO=2OB,FO=2OC,那么结果又会怎样
（让学生主动参与，合作探究，调动学生学习积极性）
四、试一试
已知五边形ABCDE，作出一个五边形A’B’C’D’E’，使新五边形 A’B’C’D’E’与原五边形ABCDE对应线段的比为1∶2。
学生作图，可以得出：
⑴位似五边形在位似中心的同侧；
⑵位似五边形在位似中心的两侧；
⑶位似中心在位似五边形的内部；
⑷位似中心在位似五边形的一条边上；
⑸位似中心在位似五边形的一个顶点上；
五、归纳小结
1、畅谈这节课你的收获与感受。
(培养学生分析、归纳、概括能力和语言表述能力)
2、总结：位似图形的概念、性质、应用。
（充分发挥学生的主体作用，锻炼学生归纳、整理、表达的能力）
3、实际应用：位似图形在家庭装潢设计上的运用。
（体现数学来源于生活、服务于生活的新课程理念，培养学生的创新精神）
六、布置作业
27.3 位 似
第 二 课 时
教学目标:
(一)知识与技能
继续了解位似图形及其有关概念，能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小。
(二)过程与方法
学生会在平面直角坐标系中将一个图形放大或缩小，画出其位似图形
(三)情感态度与价值观
培养学生动手操作的良好习惯，以积极进取的思想探究数学学科知识，体会本节知识的实际应用价值和文化价值。
教学重点: 在平面直角坐标系中画一个图形关于原点的位似图形。
教学难点: 在平面直角坐标系中画关于原点的位似图形。
教学过程:
一、复习:
1、我们学习了哪几种变换
2、什么叫位似图形 怎样画一个图形关于某点的位似图形
二、新授:
探究
在平面直角坐标系中,有两点A(6，3),B(6，0)。以原点O为位似中心,相似比为1/3，把线段AB缩小画出缩小后的位似图形EF.观察对应点之间坐标的变化,你有什么发现
引导学生分两种情况进行:
（1）EF与AB都在第一象限时。
（2）EF与AB不在同一象限,在第三象限时。
发现的结论:
第一种情况E（2,1），F(2,0)
第二种情况E(-2，-1)，F（-2，0）。
2、△ABC三个顶点坐标分别为A（2,3）B（2,1）C（6,2）以点O为位似中心,相似比为2,将△ABC放大,观察对应顶点坐标的变化,你有什么发现
请学生把发现的结论写出来
由上面的作图归纳出:
在平面直角坐标系中,如果位似变换以原点为位似中心,相似比为K,那么位似图形对应点的坐标的比等于K或-K.
三、例题
四边形ABCD的坐标为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O为位似中心,相似比为1/2的位似图形.
先确定各个顶点关于点O的对应点的坐标,再画图.
四、练习:
课本第64页 1,2
总结:至此我们学习了四种变换:平移、轴对称、旋转和位似.你能说出它们之间的异同吗
五、布置作业:课本第65页3,4,5,6
配套课时练习
1．若两个多边形不仅相似，且对应点顶的连线相交于一点，这样的图形叫做 ，这个点叫做 。
2．如图，△ABO和△CDO是位似图形，则AB与CD的位置关系为 。
3．求作位似图形的方法，可以把图形放大或缩小，位似中心位置可选在（ ）
A．原图形的外部 B．原图形的内部
C．原图形的边上 D．任意位置
4．观察下列图形，图（1）与图（2）相比发生了一些变化，若图（2）中的P点坐标是（4，2），则图（1）中的P＇的坐标 。
5．将图（1）中的四边形ABCD缩小为原来的一半，图（2）中的四边形EFGH放大原来的2倍。位似中心自己确定。
6．如图△ABC三个顶点坐标A（-2，3），B（-2，1），C（-6，2）。以O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大。
（1）请在直角坐标系中，画出位似变换后的△EDF；
（2）请写位似变换后△EDF的三个顶点的坐标。
7．已知，如图，△AOB的顶点坐标A（3，5），B（5，0），它与△COD相似，且C（-1.5,-2.5）,D(-2.5,0)，则△ABO与△COD的相似比为 。
8．△ABC的顶点坐标分别是A（4，4），B（8，4），C（12，8），以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变化后得到的△DEF与△ABC对应边的比是1：2，这时△DEF的各个顶点的坐标分别是 。
9．如图，将矩形ABCD以点B为位似中心，相似比为2，进行位似变换，画出变换后的图形。
10．（1）如图1，点O是等边三角形△ABC的中心，E、F、G分别是OA、OB、OC的中点，则△ABC与△DEF是位似三角形，△DEF与△ABC的位似比、位似中心分别是 ， 。
（2）如图2，①在△AOB内画等边△CDE，使点C在OA上，点D在OB上；
②连接OE并延长，交AB与点F，过点F作FG∥EC，交OA于点G，作FH∥ED，交OB于H；
③连接GH，则△GFH是△ABC的内接三角形。求证：△GFH是等边三角形。位似定义即可;
11．如图小鱼与大鱼是位似图形，则小鱼上的点（a，b）对应大鱼的点是（ ）
A．（-2a，-2b） B．（-a,-2b） C．（-2b,-2a） D.（-2a,-b）
12．如图，点A的坐标是（3，3），将ABC先向下平移3个单位得△DEF，将所的图形绕O顺时针旋转180°得△MNK。请画出△DEF和△MNK，并写出点K的坐标。
13．如图△ABC与△DEF是关于点O的位似图形，他们都是格点三角形。
（1）画出位似中心O；
（2）求出△ABC与△DEF的位似比；
（3）以点O为位似中心，再画一个△GHM，使它与△ABC的位似比是1：
参考答案：
1、位似图形，位似中心；2、平行；3、D；4、（4，3）
5、画图略；6、(1)画图略；(2)E(4,6),D(4,-2),F(12,-4)
7、2：1；8、D(2,2),E(4,2),F(6,4)；9、画图略；
10、(1)1：2，点O；(2)用位似图形一定是相似图形证明，证明过程略。
11、A；12、画图略，K(-5，2)
13、(1)略；(2)1：2；(3)略。
27．3 位 似
第三课时
教学目标：
(一)知识与技能
1．进一步理解图形的位似概念，掌握位似图形的性质。
2．会利用作位似图形的方法把一个图形进行放大或缩小。
3．掌握直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律。
(二)过程与方法
1、经历位似图形性质的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力、以及动手、动脑、手脑和谐一致的习惯。
2、利用图形的位似解决一些简单的实际问题，并在此过程中培养学生的数学应用意识，进一步培养学生动手操作的良好习惯。
(三)情感态度与价值观
通过动手操作、探究与交流，发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理能力。
教学重点和难点：
本节教学的重点是图形的位似概念、位似图形的性质及利用位似把一个图形放大或缩小。
教学过程：
创设情景，构建新知
1．位似图形的概念
下列两幅图有什么共同特点？
如果两个图形不仅形状相同，而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心.
2、引导学生观察位似图形
下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相似图形.分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？
显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比.
(1)五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′；
(2)在平行四边形ABCD中，△ABO与△CDO
(3)正方形ABCD与正方形A′B′C′D′.
(4）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′
(5)反比例函数y＝(x>0)的图像与y＝(x<0)的图像
(6)曲边三角形ABC与曲边三角形A′B′C′
(7)扇形ABC与扇形A′B′C′，
（B、A 、B′在一条直线上，C、A 、C′在一条直线上）
SHAPE \* MERGEFORMAT
（8）△ABC与△ADE（①DE∥BC； ②∠AED＝∠B）
2．如图P，E，F分别是AC，AB，AD的中点，四边形AEPF与四边形ABCD是位似图形吗？如果是位似图形，说出位似中心和位似比.
适当提高，应用新知
位似图形的性质
一般地，位似图形有以下性质：
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
作位似图形
例：如图，请以坐标原点O为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大3倍.
分析：根据位似图形上任意一对对应
点到位似中心的距离之比等于位似比，
我们只要连结位似中心O和的各顶点，
并把线段延长（或反向延长）到原来
的3倍，就得到所求作图形的各个顶点
直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律
想一想：
1．四边形GCEF与四边形G′C′E′F′具有怎样的对称性？
2．怎样运用像与原像对应点的坐标关系，画出以原点为位似中心的
位似图形？
以坐标原点为位似中心的位似变换有一下性质：
若原图形上点的坐标为（x，y），像与原图形的位似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（―kx，―ky）.
练一练
如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，
求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长
缩小到原来的一半.
如图，在直角坐标系中，△ABC的各个
坐标为A（-1，1），B（2，3），C（0，3）。
现要以坐标原点0为位似中心，位似比为，
作△ABC的位似图形△A/B/C/，则它的顶
点A、B、C的坐标各是多少？
小结内容，自我反馈
今天你学会了什么？
位似图形的定义，位似图形的性质.
作业
1．P65习题27.3 1、2、3
配套课时练习
1. 位似这种变换是将图形的_________改变，而保持图形的________
不变。
2. 如图所示，四边形ACDE∽四边形ABHF，则它们的位似中心是____________。
3. 如图所示，点D、点E分别是AB、AC边中点，则△_________∽△_______，它们的位似中心是___________，相似比是__________。
4. 如图所示中位似的图形是__________（填序号）。
5. 已知四边形ABCD，如图所示。画一个四边形，使四边形与原图形的相似比为2.5。
6. 请用位似的方法把下图放大1倍，要求位似中心在AB边上。
7. 玩一玩挡光板：小明学了“位似变换”以后，周末在家做了一个“位似”小实验（如图所示），为了使家中的墙壁上一幅壁画不受太阳光从点O照射，他在壁画与入射光线O之间设置一个长方形障碍，以拦住壁画不受照射，要求使壁画和障碍物成位似图形，相似比为3：1，请你帮小明画出其位似图形。
8. 如图所示，按要求进行位似变换：（1）将△ABC放大2倍，且位似中心选在△ABC左侧图中黑点处。（2）将正六边形ABCDEF缩小倍，且位似中心选在图形的内部图中黑点处。
9. 一个矩形如图所示，四边形ABCD的坐标分别为A（-3，1），B（-3，-1），C（-1，-1），D（-1，1）。
（1）写出沿CD翻折后的图形坐标。
（2）绕D点逆时针旋转180°后的图形坐标。
（3）关于坐标原点O成中心对称的图形的顶点坐标。
（4）把图形再向下平移2个单位得到图形的点坐标。
10. 将如图所示中的△ABC作如下运动，画出图形，写出三个顶点变化后的坐标；
（1）沿x轴向右平移4个单位；
（2）关于x轴对称；
（3）以C点为位似中心，缩小0.5倍。
11. 如图所示是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图，对我方潜艇来说：
（1）北偏东40°的方向上有哪些目标？要想确定敌舰B的位置，还需要什么数据？
（2）距我方潜艇的图上距离小于1cm的敌舰有几艘？
（3）要确定每艘敌舰的位置，各需要几个数据？并用已学知识加以说明。
参考答案：
1. 大小；形状 2. A
3. ADE；ABC；A；1：2
4. ①③④
5. 图略 6. 图略
7. 图略 8. 图略
9. （1）A（1，1），B（1，-1），C（-1，-1），D（-1，1）
（2）A（1，1），B（1，3），C（-1，3），D（-1，1）
（3）A（3，-1），B（3，1），C（1，1），D（1，-1）
（4）A（-3，-1），B（-3，-3），C（-1，-3），D（-1，-1）
10. （1）图略
A1（7，3），B1（5，-1），C1（9，0）；
（2）A2（3，-3），B2（1，1），C2（5，0）；
（3）A3（4，1.5），B3（3，-0.5），C3（5，0）
11. （1）北偏东40°的方向有敌舰B和小岛两个图标；要想确定敌舰B的位置，还需知道敌舰B距我方潜艇的距离。
（2）距我方潜艇的图上距离为1cm的敌舰有2艘，敌舰A和敌舰C。
（3）要确定每艘敌舰的位置，需知道两个数据，距离和方位角。
即要确定每艘敌舰的位置，可建立方位坐标。用方位坐标标出敌舰位置。
如：敌舰B在我方潜艇北偏东40°，距离为××cm的地方。
相似三角形的小结与复习课
一、教学目标：
知识目标：
1、通过例题的讲解使学生进一步巩固相似三角形的概念、三角形相似的判定及相似三角形的性质等知识。
能力目标：
2、培养学生把课本上所学知识应用到实践中去的认识以及提高学生解决实际问题的能力。
3、培养学生将实际问题抽象成数学问题的思想方法。
情感目标：
4、通过学习，养成严谨科学的学习品质。
二、教学重点与难点：
1、通过例题的分析、研究，揭示应用相似三角形有关知识解题的规律，提高分析问题和解决问题的能力。
2、数学知识的综合运用。
三、教学方法：
启发式。
四、教学过程：
（一）复习提问：请同学口述判定三角形相似的方法及性质，教师用投影加以总结：
1、相似三角形的判定：
1）相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2）相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边（或其延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似。
3）判定定理：两角对应相等，两三角形相似。
4）判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
5）判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
6）直角三角形相似的判定定理：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似。
2、相似形的性质：
相似三角形除具有对应角相等、对应边成比例的性质外，还具有如下性质：
（1） 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
（2）相似三角形周长的比等于相似比。
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
指出判定中第6个定理只适用于直角三角形相似的判定，而第1个相似三角形的定义因用起来较烦，因此平时不使用。在性质中强调前提条件是相似。
（二）：基础训练
1：判断题
1）.所有的等边三角形都相似 ( )
2）.所有的等腰直角三角形都相似 ( )
3）.所有的直角三角形都相似 ( )
4）.所有等腰三角形都相似 ( )
5）.有一个角是100°的两个等腰三角形相似 ( )
6）.有一个角是70°的两个等腰三角形相似 ( )
7）.如果两个三角形周长之比是1∶2，那么它的面积之比为1∶4( )
8）.若两等腰三角形面积之比为9∶25，则它的底边之比为3∶5( )
2：填空
1）.已知两个相似三角形的对应角平分线的比是1∶4，则对应高的比为_____，面积的比为_____。
2）.已知两个相似三角形的面积比是1∶4，对应中线的比为_____，周长的比为______。
3）.一个三角形的面积扩大为原来的100倍，而它的形状不变，则边长应扩大为原来的______倍。
4）.两个相似三角形对应周长的比为2∶3，面积的比为1∶a,则a等于_____.
（三）：例题解析
例1：如图△ABC中，边BC=8cm，高AD=12cm，EF∥BC。
（1）若EF=4,求
（2）若将EF向上平移，使=4，求的高。
（3）若设，试写出与的函数解析式。
（通过此例，学生就比较容易搞清变式的思路．）
变式训练： 如图△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=8cm，高AD=12cm，要把它加工成矩形零件，使矩方形的一边在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上（不与点B、点C重合）。
求：（1）AK为何值时，矩形EFGH是正方形？
（2）AK为何值时，此矩形的邻边之比是1:2？
（3）若设，试写出与的函数解析式。
（4）为何值时，达到最大值。
（比较例题与本题的联系，学生不难寻找解题思路，但教师要向学生讲清将此题抽象为证明三角形相似的数学问题的思想）
（四）归纳与小结：
本节课主要学习了综合利用相似三角形的有关知识解决实际问题，望学生在此方面的能力有所提高，有时我们还会碰到一道题目多种答案的情况。同学们一定要学会认真审题、分析。
（五）课时作业：（略）
配套课时练习
A组
地图上两地间的距离（图上距离）为3厘米，比例尺是1:1 000 000，那么两地间的实际距离是多少米？
在右边网格纸中描出左边图形的放大图形.
（第2题）
所有的直角三角形都相似吗？所有的等腰直角三角形都相似吗？为什么？
所有的正方形都相似吗？所有的菱形都相似吗？为什么？
如果一个4米高的旗杆的影长为6米，同它临近的一个建筑物的影长是24米，那么这个建筑物的高度是多少？
判断下列各组中的两个三角形是否相似，并简单说明理由：
在△ABC中，∠B是直角，∠A＝30°；
在△中，∠是直角，∠＝60°；
△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8；
△中，＝16，＝14，＝10.
下图是小明所在学校的平面示意图，小明可以如何描述他所住的宿舍的位置呢？
（第7题）
（第8题）
如图，在△ABC中，如果DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，说明△ADE∽△ABC求的值以及AC、EC的长度.
B组
平行四边形ABCD与平行四边形相似，已知AB＝5，对应边＝6，平行四边形ABCD的面积为10，求平行四边形的面积.
将下列图形分别分成四小块，使它们的形状、大小完全相同，并且与原图相似，应怎样分？（画出大致图形即可）
（第10题）
在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.请在方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形.再在适当的位置上画上坐标轴，指出这两个相似三角形顶点的坐标.
（第11题）
（第12题）
如图，已知∠ACB＝∠CBD，AC＝a，CB=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，△ACB∽△CBD？
参考答案：
A组
1、3000米；2、画图略；
3、所有的直角三角形不一定都相似；所有的等腰直角三角形都相似；
4、所有的正方形都相似，但所有的菱形不一定都相似；
5、16米；6、(1) △ABC∽△； (2)△ABC∽△；
7、略；8、因为DE∥BC，由“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可知，△ADE∽△ABC ；=3/7；
AC=14/3，EC=8/3。
B组
9、S平行四边形=14.4；10、略；11、画图略；
12、CD=b2/a
A
B
D
E
C
F
A
B
C
A 1
B1
C 1
D
E
A
B
C
A 1
B1
C 1
A
B
C
A 1
B1
C 1
A
B
C
A 1
B1
C 1
B
D
E
F
A
C
A
B
C
Q
M
D
N
P
E
A
B
C
D
E
A
(F)
B
O
E
F B
（E）
A
C
O
B
x
y
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