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第 12 课时：§3.4.2 基本不等式的应用（1）
【三维目标】：
一、知识与技能
会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；
二、过程与方法
本节课是基本不等式应用举例。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。
三、情感、态度与价值观
1.引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
2.进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性
【教学重点与难点】：
重点：化实际问题为数学问题；
难点：会恰当地运用基本不等式求几何中的最值．
【学法与教学用具】：
1. 学法：列出函数关系式是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一。对例题的处理可让学生思考，然后师生共同对解题思路进行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤。
2. 教学用具：直尺和投影仪
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
已知都是正数，①如果是定值，那么当时，和有最小值；
②如果和是定值，那么当时，积有最大值
二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 （教材例1） 用长为的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？
解：设矩形的长为，则宽为，矩形面积，且．
由．（当且近当，即时取等号），
由此可知，当时，有最大值．答：将铁丝围成正方形时，才能有最大面积．
例2（教材例2）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。
解：设水池底面一边的长度为，水池的总造价为元，根据题意，得
当
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元
评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。
变题：某工厂要制造一批无盖的圆柱形桶，它的容积是立方分米，用来做底的金属每平方分米价值3元，做侧面的金属每平方米价值2元，按着怎样的尺寸制造，才能使圆桶的成本最低。
解：设圆桶的底半径为分米，高为分米，圆桶的成本为元，则3
求桶成本最低，即是求在、取什么值时最小。将代入的解析式，得
=[来源:21世纪教育网]
当且仅当时，取“=”号。
∴当1（分米），（分米）时，圆桶的成本最低为9（元）。
例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？[来源:21世纪教育网]
解：设该厂天购买一次面粉，平均每天所支付的总费用为元．
∴购买面粉的费用为元，保管等其它费用为，21世纪教育网
∴，
当，即时，有最小值，
答：该厂天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．
例4 ①在面积为定值的扇形中，半径是多少时扇形周长最小？
②在周长为定值的扇形中，半径是多少时扇形面积最大？
例5 如图为定角，分别在的两边上，长为定长，当处在什么位置时，的面积最大？
解：设，，，，其中为定值，
∴．
∵，∴，
．当且仅当，即时，的面积最大．
三、巩固深化，反馈矫正
1．已知，求的最小值，并求相应的值．
2．一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时菜园的面积最大，最大面积是多少？
3．在直径为的圆的内接矩形中，问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大，最大面积是多少？[来源:21世纪教育网]
4.一个由辆汽车组成的车队，每辆车车长为米。当车队以速度（千米/小时）行驶时，相邻两辆车的车距至少为米，现车队要通过一座长为米的大桥，问车速为多少时，车队通过大桥所用的时间最少？最少需要多少分钟？
5．某工厂拟建一座平面图为矩形，面积为的三段污水处理池，由于受地形限制，其长、宽都不能超过，如果池的外壁的建造单价为元，池中两道隔墙的厚度不计，其面积只计一面，建造费单价为元，池底的建造费单价为元，则水池的长、宽分别为多少时，污水池的造价最低？最低造价为多少？
6.建造一个容积为8平方米，深为2米的长方体无盖水池，如果池底和池壁的每平方米造价分别为120元和80元，那么水池的总造价最低是多少？（1760元）
解：令长方体的长为米，宽为米，水池的总造价为元 ，=4，=320（+）+480
（当且仅当=时取等号） +4（当=2，=2时取“=”）
元 所以水池的总造价为本1760元
补充：某单位建造一间地面面积为的背面靠墙的长方题小房，房屋正面的造价为元，房屋侧面的造价为元，屋顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元．
四、归纳整理，整体认识
1．解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性质等）解决问题．
2.利用基本不等式来解题时，要学会审题及根据题意列出函数表达式,要懂得利用基本不等式来求最值
五、承上启下，留下悬念
六、板书设计[来源:21世纪教育网]
七、课后记：
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第 1 课时： §3.1 不等关系
【三维目标】：
一、知识与技能
1.通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；
2.掌握作差比较法判断两实数或代数式大小；
二、过程与方法[来源:21世纪教育网]
1.经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法
2.以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；
3.通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
三、情感、态度与价值观
1.通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。
2.通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。
【教学重点与难点】：
重点：(1)通过具体情景，建立不等式模型；
(2) 掌握作差比较法判断两实数或代数式大小．
（3）掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；
难点：用不等式（组）正确表示出不等关系；利用不等式的性质证明简单的不等式。
【学法与教学用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况，例如：
(1) 某博物馆的门票每位10元，20人以上(含20人)的团体票8折优惠．那么不足20人时，应该选择怎样的购票策略
(2)某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册．要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？
(3)下表给出了三种食物,,的维生素含量及成本：
维生素 (单位/kg) 维生素 (单位/kg) 成本(元/kg)
21世纪教育网 300 700 5
500 100 4
300 300 3
某人欲将这三种食物混合成100kg的食品，要使混合食物中至少含35000单位的维生素及40000单位的维生素，设,这两种食物各取kg，kg，那么,应满足怎样的关系？
问题：用怎样的数学模型刻画上述问题？
二、研探新知
在问题(1)中,设人()买20人的团体票不比普通票贵,则有．21世纪教育网
在问题(2)中,设每本杂志价格提高元,则发行量减少万册,杂志社的销售收入为万元．根据题意，得，化简，得．
在问题(3)中,因为食物,分别为kg，kg，故食物为kg，则有 即
上面的例子表明，我们可以用不等式(组)来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式,常用()表示不等关系.
总结：建立不等式模型：通过具体情景，对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分析，找出其中的不等关系，并由此建立不等式．问题(1)中的数学模型为一元一次不等式, 问题(1)中的数学模型为一元二次不等式, 问题(1)中的数学模型为线形规划问题．
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种．按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
解：假设截得的500mm钢管根，截得的600mm钢管根．
根据题意，应有如下的不等关系：
（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；
（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。
由以上不等关系，可得不等式组：：
说明：关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出不等关系．
例2 某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位．某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉．设每盒快餐需面食百克、米饭百克，试写出满足的条件．
解：满足的条件为．[来源:21世纪教育网]
文字语言与数学符号之间的转换.
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于 > 至多 ≤
小于 < 至少 ≥
大于等于 ≥ 不少于 ≥
小于等于 ≤ 不多于 ≤
例3 比较大小：
（1）与；（2）与（其中，）．
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小．
解：（1）
∴．
（2），∵，，∴，所以．
说明：不等式（，）在生活中可以找到原型：克糖水中有克糖（），若再添加克糖（），则糖水便甜了．（浓度＝）
例4 已知比较与的大小．
解：
=…………………（*）
①当时，（*）式，所以 ；
②当时，（*）式，所以 ；
③当时，（*）式，所以
说明：1．比较大小的步骤：作差－变形－定号－结论；
2．实数比较大小的问题一般可用作差比较法，其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号．
四、巩固深化，反馈矫正
1．（1）比较 的大小；
（2）如果,比较 的大小．
（3）比较和的大小
（4）当、都为正数且时，试比较代数式与的大小
注意：（3）、（4）是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差——变形——判断符号这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要
（5）比较与的大小
（6）比较的大小，其中.[来源:21世纪教育网]
（7）比较当时，的大小.
（8）设实数满足的大小关系是_________.
（9）配制两种药剂需要甲、乙两种原料，已知配一剂种药需甲料3毫克，乙料5毫克，配一剂药需甲料5毫克，乙料4毫克。今有甲料20毫克，乙料25毫克，若两种药至少各配一剂，则两种药在配制时应满足怎样的不等关系呢？用不等式表示出来.
五、归纳整理，整体认识
1．现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；通过具体情景，建立不等式模型；
2．比较两实数大小的方法——求差比较法．
六、承上启下，留下悬念
1．比较与的大小；
2．已知且，比较与的大小．
七、板书设计（略）
八、课后记：
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第 4 课时：§2.2 等差数列（2）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，掌握等差数列的特殊性质及应用；掌握证明等差数列的方法；
2.明确等差中项的概念和性质；会求两个数的等差中项；
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；
4.能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，体会等差数列与一次函数的关系；能用图像与通项公式的关系解决某些问题。
二、过程与方法
通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。
三、情感、态度与价值观
通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。
【教学重点与难点】：
重点：等差中项的概念及等差数列性质的应用。
难点：等差中项的概念及等差数列性质的应用。
【学法与教学用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1．复习等差数列的定义、通项公式 ；
（1）等差数列定义
（2）等差数列的通项公式： (或(是常数))
（3）公差的求法：① - ② ③
2．等差数列的性质：
（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是21世纪教育网
如：，，，，……；，，，，……；
（3）在等差数列中，对任意，，，；
（4）在等差数列中，若，，，且，则
3．问题：（1）已知是公差为的等差数列。
①也成等差数列吗？如果是，公差是多少？
②也成等差数列吗？如果是，公差是多少？
（2）已知等差数列的首项为，公差为。
①将数列中的每一项都乘以常数，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？
②由数列中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？
（3）已知数列是等差数列，当时，是否一定有？
（4）如果在与中间插入一个数，使得，，成等差数列，那么应满足什么条件？
二、研探新知
1.等差中项的概念：
如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中
，，成等差数列．
2.一个有用的公式：
（1）已知数列{}是等差数列
①是否成立？呢？为什么？
②是否成立？据此你能得到什么结论？
③是否成立？？你又能得到什么结论？
（2）在等差数列中，为公差，若且
求证：① ②
证明：①设首项为，则21世纪教育网
∵ ∴
② ∵
∴ [来源:21世纪教育网]
探究：等差数列与一次函数的关系
注意：（1）由此可以证明一个结论：设成AP，则与首末两项距离相等的两项和相等，即：，
同样：若 则
（2）表示等差数列的各个点在一条直线上，这条直线的斜率是公差d
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1（教材例3）已知等差数列的通项公式是，求首项
和公差。
解：，∴或
，等差数列的通项公式是，是关于的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点均在直线上（如图）
例2 ①在等差数列中，，求．
②在等差数列中，，求的值。
解：①由条件：；
②由条件：∵ ∴ ∴．
例3若 求
解：∵ 6+6=11+1, 7+7=12+2…… ∴ , ……从而
+2
∴=2=2×8030=130
一般的：若成等差数列那么、、、…也成等差数列
例4 如图，三个正方形的边的长组成等差数列，且，这三个正方形的面积之和是。（1）求的长；（2）以的长为等差
数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？
解：（1）设公差为，则
由题意得： 解得： 或（舍去）
∴
（2）正方形的边长组成已3为首项，公差为4的等差数列，
∴，∴ 所求正方形的面积是。
四、巩固深化，反馈矫正
1.教材练习
2.在等差数列中, 若 求
解： 即 ∴ 从而
变题：在等差数列中，（1）若， 求；（2）若 求
解：（1） 即 ∴ ；（2）=
五、归纳整理，整体认识
本节课学习了以下内容：
1．成等差数列，等差中项的有关性质意义
2．在等差数列中， （，，，）
3．等差数列性质的应用；掌握证明等差数列的方法。
六、承上启下，留下悬念
1.在等差数列{}中, 已知＋＋＋＋＝450, 求＋及前9项和.
解：由等差中项公式：＋＝2， ＋＝2由条件＋＋＋＋＝450, 得5＝450, ＝90, ∴＋＝2＝180.
＝＋＋＋＋＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)＋＝9＝810.
七、板书设计（略）
八、课后记：[来源:21世纪教育网]
判断一个数列是否成等差数列的常用方法
1．定义法：即证明
例：已知数列的前项和，求证数列成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。
解： 当时
时 亦满足 ∴ 首项
∴成且公差为6
2．中项法： 即利用中项公式，若 则成。
例：已知，，成，求证 ，，也成。
证明： ∵，，成 ∴ 化简得：
21世纪教育网
= ∴，，也成AP
3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于的一次函数这一性质。
例：设数列其前项和，问这个数列成AP吗？
解：时 时 ,不满足
∴ ∴ 数列不成 但从第2项起成。
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正弦定理 学案
【预习达标】
在ΔABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，
1.在RtΔABC中，∠C=900, csinA= ,csinB= ，即 = 。
2. 在锐角ΔABC中，过C做CD⊥AB于D，则|CD|= = ，即 ，同理得 ，故有 。
3. 在钝角ΔABC中，∠B为钝角，过C做CD⊥AB交AB的延长线D，则|CD|= = ，即 ，故有 。
【典例解析】21世纪教育网
例1 已知ΔABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小：
（1）A=600，B=450，a=10；（2）a=3,b=4,A=300；（3）a=5,b=2,B=1200；（4）b=,c=6,B=1200.
例2 如图，在ΔABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证： [来源:21世纪教育网][来源:21世纪教育网]
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【达标练习】
1. 已知ΔABC，根据下列条件，解三角形:
(1)A=600，B=300，a=3；（2）A=450，B=750，b=8；（3）a=3，b=，A=600；
2.求证：在ΔABC中，
3.应用正弦定理证明：在ΔABC中,大角对大边，大边对大角.
4．在ΔABC中，sin2A+sin2B=sin2C,求证：ΔABC是直角三角形。
参考答案
【预习达标】
1．a,b,. 2.bsinA asinB ,, ,=.
3. .bsinA asinB ,, =.
【典例解析】
例1(1)C=750，b=,c=(2)B≈41.80,C≈108.80,c≈5.7或B≈138.20，C≈11.80，c≈1.2(3)无解（4）C=450，A=150，a≈2.2
例2证明：如图在ΔABD和ΔCAD中，由正弦定理，
得，，
两式相除得
【双基达标】
1．（1）C=900，b=,c=2(2)C=1200,a=88 ,c=
(3)B=600,C=900,c=2
2．证明：设，则
3．(1)设A>B，若A≤900,由正弦函数的单调性得sinA≥sinB,又由正弦定理得a≥b；若A>900，有A+B<1800,即900>1800-A>B, 由正弦函数的单调性得sin(1800-A)>sinB,即sinA>sinB, 又由正弦定理得a>b.(2)设a>b, 由正弦定理得sinA>sinB,若B≥900,则在ΔABC中A<900,
有sinA>sin（1800-B）由正弦函数的单调性得A>1800-B,即A+B>1800,与三角形的内角和为1800相矛盾；若A≥900,则A>B；若A<900,B<900, 由正弦函数的单调性得A>B.综上得，在ΔABC中,大角对大边，大边对大角.
4．略
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
A
B
C
D
A
B
C
D
β
β
α
1800 α
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第 2 课时：§3.2 一元二次不等式（1）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；
2.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图；
3.掌握利用因式分解和讨论来求解一元二次不等式的方法及这种方法的推广运用；
4.培养数形结合、分类讨论、等价转化的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；通过看图象找解集，培养学生从“从形到数”的转化力，“由具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力。
二、过程与方法
经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；
三、情感、态度与价值观
1.激发学生学习数学的热情，培养勇于探索的精神，培养学生的合作意识和创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想；通过等与不等的对立统一关系的认识，对学生进行辨证唯物主义教育.
2.创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用。
【教学重点与难点】：
重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。
难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
【学法与教学用具】：
1. 学法：
2. 教学方法：诱思引探教学法
3. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
观察函数的图象，可以看出，一元二次不等式的解集就是二次函数的图象（抛物线）位于轴下方的点所对应的值的集合．
因此，求解一元二次不等式可以先解相应的一元二次方程，确定抛物线与轴交点的横坐标，再根据图象写出不等式的解集．
第一步：解方程，得；
第二步：画出抛物线的草图；
第三步：根据抛物线的图象，可知的解集为．
二、研探新知
求解一元二次不等式的过程，可用下图所示和流程图来描述：[21世纪教育网21世纪教育网
一元二次不等式与相应的函数、相应的方程之间的关系：
判别式 21世纪教育网
二次函数（）的图象
一元二次方程21世纪教育网 有两相异实根 有两相等实根 无实根
R
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 解下列不等式：
（1）； （2）；（3）； （4）．
解：（1）方程的解为．根据的图象，可得原不等式的解集是．
（2）不等式两边同乘以，原不等式可化为．方程的解为．根据的图象，可得原不等式的解集是．
（3）方程有两个相同的解．根据的图象，可得原不等式的解集为．
（4）因为，所以方程无实数解，根据的图象，可得原不等式的解集为．
思考 ：（1）求解一元二次不等式的过程，怎样用流程图来描述？
（2）求解一元二次不等式的过程，怎样用流程图来描述？
（3）不等式和的解法？
结论：
1.一元二次不等式的解集：
（1）不等式的解集为
（2）不等式的解集为或（其中）
2.归纳解一元二次不等式的步骤：
（1）二次项系数化为正数； （2）解对应的一元二次方程；
（3）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；（4）写出不等式的解集．
即：一化正→二算Δ→三求根→四写解集
例2 已知关于的不等式的解集是，求实数之值．
解：不等式的解集是，是的两个实数根，由韦达定理知：．
例3 已知不等式的解集为求不等式的解集．
解：由题意 ， 即．代入不等式得：．
即，所求不等式的解集为．
例4 已知一元二次不等式的解集为，求的取值范围．
解：为二次函数，
二次函数的值恒大于零，即的解集为．
， 即，解得：
的取值范围为（适合）．[来源:21世纪教育网]
拓展：1．已知二次函数的值恒大于零，求的取值范围．
2．已知一元二次不等式的解集为,求的取值范围．
3．若不等式的解集为,求的取值范围．
结论：一元二次不等式恒成立的情况：
（1）恒成立；（2）恒成立
例5 若不等式对满足的所有都成立，求实数的取值范围
解：已知不等式可化为．
设，这是一个关于的一次函数（或常数函数），从图象上看，要使在时恒成立，其等价条件是：
即 解得．
所以，实数的取值范围是．
四、巩固深化，反馈矫正
1.选择题：下列不等式中，解集为实数集Ｒ的是（ ）
(A) （Ｂ） (C) （Ｄ）
2.下列命题中正确的有 ①若是方程的两个实数根，且，那么不等式的解集是；②当时，二次不等式的解集是；③与的解集相同．
3.解下列不等式：①； ②； ③
五、归纳整理，整体认识
1．一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系，掌握一元二次不等式的解法；
2．掌握利用因式分解和讨论来求解一元二次不等式的方法及这种方法的推广运用；
3．掌握将分式不等式转化为一元二次不等式求解．
4.解一元二次不等式的步骤：概括为：一化正→二算Δ→三求根→四写解集
六、承上启下，留下悬念
七、板书设计（略）
八、课后记：
开始
输入
输出“解集”
输出“解集为Φ”
结束
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第 5 课时：§3.3.1 二元一次不等式表示的平面区域（1）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.从实际情境中抽象出二元一次不等式组；
2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；
3.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，掌握简单的二元线性规划问题的解法，培养学生的数学应用意识和解决实际问题的能力；
4.会用“选点法”确定二元一次不等式表示的平面区域．[21世纪教育网
二、过程与方法
1.本节课首先借助一个实例提出二元一次不等式组的相关概念，通过例子说明如何用二元一次不等式（组）来表示的平面区域。始终渗透“直线定界，特殊点定域”的思想，帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述结合图形的问题，使问题更清晰和准确。教学中也特别提醒学生注意(或)表示区域时不包括边界，而则包括边界
2.经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；
三、情感、态度与价值观
1. 通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。
2. 培养学生数形结合、化归、集合的数学思想
【教学重点与难点】：
重点：用二元一次不等式表示平面区域；
难点：二元一次不等式表示的平面区域的确定，即如何确定不等式(或)表示的哪一侧区域
【学法与教学用具】：
1. 学法：启发学生观察图象，循序渐进地理解掌握相关概念。以学生探究为主，老师点拨为辅。学生之间分组讨论，交流心得，分享成果，进行思维碰撞。同时可借助计算机等媒体工具来进行演示。21世纪教育网
2. 教学用具：直角板、投影仪（多媒体教室）
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题21世纪教育网
1.情境：下表给出了三种食物的维生素含量及成本：
维生素A（单位/kg） 维生素B
（单位/kg） 成 本（元）
X 300 700 5
Y 500 100 4
Z 300 300 3
某人欲将这三种食物混合成100kg的食品，要使混合食品中至少含35000单位的维生素及40000单位的维生素，设X、Y这两种食物各取kg、kg，那么应满足怎样的关系？
解答：∵X、Y这两种食物分别为kg、kg，∴食物为kg，则有
，即，
又∵，∴（介绍二元一次不等式的概念），
如果进一步要求如何取值时总成本最小呢？如何解决该问题．
问题转化为在以上不等式组约束下，求（介绍目标函数概念）的最大值问题．
要解决以上问题，我们首先要来了解二元一次不等式的几何意义．
2.问题：
坐标满足二元一次方程的点组成的图形是一条直线．怎样才能快速准确地画出直线呢？（学生答：描两点连成线．例如：该直线经过点和，画出经过两点的直线即为所求）．教师问：怎样判断点在不在直线上呢？
结论：点的坐标满足直线的方程，则点在直线上；点的坐标不满足直线方程，则点不在直线上．
坐标满足不等式的点是否在直线上呢？这些点在哪儿呢？与直线的位置有什么关系呢？
二、研探新知
通过代特殊点的方法检验满足不等式的点的位置，并猜
想出结论：坐标满足不等式的点在直线的上方．
如图，在直线上方任取一点，过作平行于
轴的直线交直线于点，∵点在直线上方，
∴点在点上方，∴，即，∵点为直线上方的任意一点，所以，直线上方任意点，都有，即；同理，对于直线左下方任意点，都有，即．又∵平面上任意一点不在直线上即在直线上方或直线下方．因此，满足不等式的点在直线的上方，我们称不等式表示的是直线上方的平面区域；同样，不等式表示的是直线下方的平面区域．
学生练习：判断不等式表示的是直线上方还是下方的平面区域？（下方）
结论：①一般地, 在直角坐标系中,二元一次不等式表示某侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线,表示区域不包括边界.而不等式表示区域时则包括边界,把边界画成实线.
②一般地，直线把平面分成两个区域（如图）：
表示直线上方的平面区域；
表示直线下方的平面区域．21世纪教育网
说明：（1）表示直线及直线上方的平面区域；表示直线及直线下方的平面区域．
（2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1（教材例1）画出下列不等式所表示的平面区域：（1）；（2）．
解：（1）（2）两个不等式所表示的平面区域如下图所示：[来源:21世纪教育网]
例2 判断下列不等式所表示的平面区域在相应直线的哪个区域？（用“上方”或“下方”填空）
（1）不等式表示直线 的平面区域；
（2）不等式表示直线 的平面区域；
（3）不等式表示直线 的平面区域；
（4）不等式表示直线 的平面区域．
说明：二元一次不等式在平面直角坐标系中表示某一侧所有点组成的平面区域．可以用“选点法”确定具体区域：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式．若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．
例3（1）若点在直线下方区域，则实数的取值范围为 ．
（2）若点在直线的上方区域，则点在此直线的下方还是上方区域？
解：（1）∵直线下方的点的坐标满足，∴．
（2）∵直线的上方区域的点的坐标满足，∵点在直线的上方区域，∴，∴．又∵，∴点在此直线的上方区域．
例4（教材例2） 将下列各图中的平面区域（阴影部分）用不等式表示出来（其中图（1）中区域不包括轴）：
解：（1）；（2）；（3）．
例5 原点和点在直线的两侧，则实数的取值范围是 ．
提示：将点和的坐标代入的符号相反，即，∴．
例6 用平面区域表示.不等式组的解集。
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
解：不等式表示直线右下方的区域，表示直线右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。
结论：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
变式1：画出不等式表示的平面区域。
变式2：画出不等式表示的平面区域
变式3：由直线，和围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 。
四、巩固深化，反馈矫正
五、归纳整理，整体认识
1．二元一次不等式的几何意义；二元一次不等式表示的平面区域．
2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法（二元一次不等式表示的平面区域的确定）
3．二元一次不等式组表示的平面区域．
4．懂得画出二元一次不等式在平面区域中表示的图形
5．注意如何表示边界
六、承上启下，留下悬念
1．由直线围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为__
七、板书设计（略）
八、课后记：
下半平面
上半平面
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第 5 课时：§1.3 正弦定理、余弦定理的应用（1）
【三维目标】：
一、知识与技能21世纪教育网
1.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；
2.体会数学建摸的基本思想，应用解三角形知识解决实际问题的解题一般步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案。
3.了解常用的测量相关术语（如：仰角、俯角、方位角、视角及坡度、经纬度等有关名词和术语的确切含义）；综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；
4．能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力
5．规范学生的演算过程：逻辑严谨，表述准确，算法简练，书写工整，示意图清晰。
二、过程与方法
通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，熟练运用。
三、情感、态度与价值观
激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力
【教学重点与难点】：
重点：（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；
（2）掌握求解实际问题的一般步骤．
难点：根据题意建立数学模型，画出示意图
【学法与教学用具】：
1. 学法：让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生尝试绘制知识纲目图。生活中错综复杂的问题本源仍然是我们学过的定理，因此系统掌握前一节内容是学好本节课的基础。解有关三角形的应用题有固定的解题思路，引导学生寻求实际问题的本质和规律，从一般规律到生活的具体运用，这方面需要多琢磨和多体会。
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：21世纪教育网
一、创设情景，揭示课题
总结解斜三角形的要求和常用方法
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：
①已知两角和任一边，求其它两边和一角；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角
（2）应用余弦定理解以下两类三角形问题：
①已知三边求三内角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角
二、研探新知,质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 （教材例1）如图1-3-1，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边取点，测得，，，，.设在同一平面内，试求之间的距离（精确到）.
解：在中，，，则.又，由正弦定理，得
.[来源:21世纪教育网]
在中，，，
则.又，由正弦定理，得
.
在中，由余弦定理，得
21世纪教育网
，所以 答两点之间的距离约为.
本例中看成或的一边，为此需求出，或，，所以可考察和，根据已知条件和正弦定理来求，，再由余弦定理求.
例2 （教材例2）如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为的处，并测得渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到，时间精确到）.
解：设舰艇收到信号后在处靠拢渔轮，则，，又，.
由余弦定理，得，
即.
化简，得，解得（负值舍去）.
由正弦定理，得，所以，方位角为. 答：舰艇应沿着方向角的方向航行，经过就可靠近渔轮.
本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从到与渔轮从到的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出和；再根据正弦定理求出.
例3 如图，要测底部不能到达的烟囱的高，从与烟囱底部在同一水平直线上的两处，测得烟囱的仰角分别为和，间的距离是，已知测角仪高，求烟囱的高。
四、巩固深化，反馈矫正
1．在四边形中，已知,，求的长
2.在四边形中，,求的长
3.四边形中，，且，求
4.我炮兵阵地位于处，两观察所分别设于、，已知为边长等于的正三角形。当目标出现于，测得（、在两侧），试求炮击目标的距离。
5.把一根长为的木条锯成两段，分别作钝角三角形的两边和，且，如何锯断木条，才能使第三边最短？
五、归纳整理，整体认识
1.解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图[来源:21世纪教育网]
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
2．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.
3．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.
六、承上启下，留下悬念
七、板书设计（略）
八、课后记：
图1-3-11-3-1
图1-3-2
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第 6 课时：§3.3.2 二元一次不等式表示的平面区域
【三维目标】：
一、知识与技能
1.巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；
2.能用平面区域表示二元一次不等式组；
3.能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件；
二、过程与方法
1.本节课是在学习了相关内容后的第二节课，学生已经学会了如何画出一元二次不等式(组)所表示的平面区域.这节课主要是通过实际生活中的例子提供给学生应用数学的实践机会。教师要善于引导学生思维,调动学习兴趣,让他们乐学并巧学,真切体会到数学在生活中的妙用.针对本堂课的特点,采用多媒体教学可更好地促进教学双赢
2.经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；
三、情感、态度与价值观
1.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。
2.培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力，加强学生之间的合作互助精神,并从数形结合中得到辨证唯物主义的思想教育
【教学重点与难点】：
重点：理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来；
难点：把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。
【学法与教学用具】：
1. 学法：通过分组讨论,让学生在活动中学会沟通和合作,提高分析和处理信息的能力.充分尊重学生的自主性,以学生探究为主,教师点拨为辅,重在培养创新
2. 教学用具：直角板、投影仪（多媒体教室）
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
通过前一课的学习，我们已经知道了二元一次不等式的几何意义．那么，二元一次不等式组的几何意义又如何呢？
二、研探新知
根据前面的讨论，不等式（1）表示直线及其下方的平面区域；不等式（2）表示直线及其下方的平面区域．因此，同时满足这两个不等式的点的集合就是这两个平面区域的公共部分（如下图①所示）．
如果再加上约束条件，那么，它们的公共区域为图②中的阴影部分．[来源:21世纪教育网]
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三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 画出下列不等式组所表示的平面区域：
（1） （2）
解：（1）不等式表示直线及其下方的平面区域；不等式表示直线上方的平面区域；因此，这两个平面区域的公共部分就是原不等式组所表示的平面区域．
（2）原不等式组所表示的平面区域即为不等式所表示的平面区域位于第一象限内的部分．
思考：如何寻找满足（2）中不等式组的整数解？（要确定不等式组的整数解，可以画网格，然后按顺序找出在不等式组表示的平面区域内的格点，其坐标即为不等式组的整数解）
例2 三个顶点坐标为，求内任一点所满足的条件．
解：三边所在的直线方程：：；：；：．
内任意一点都在直线下方，且在直线的上方，故满足的条件为．
例3 满足约束条件的平面区域内有哪些整点？
解：画图可得：共有、、、四个点．
例4 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：
学段21世纪教育网 班级学生人数 配备教师数 硬件建设/万元 教师年薪/万元
初中 45 2 26/班 2/人
高中 40 3 54/班 2/人
分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。
解：设开设初中班个，开设高中班个，根据题意，总共招生班数应限制在之间，所,考虑到所投资金的限制，得到,即
另外，开设的班数不能为负，则,把上面的四个不等式合在一起，得到：
用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域（阴影部分）
四、巩固深化，反馈矫正
1．（1）； （2）．； （3）．21世纪教育网
2．画出不等式组表示的平面区域
3.画出下列不等式表示的区域：(1) ； (2)
分析：(1)转化为等价的不等式组； (2)注意到不等式的传递性，由，得，又用代，不等式仍成立，区域关于轴对称。
解：(1)或矛盾无解，故点在一带形区域内（含边界）。
(2) 由，得；当时，有点在一条形区域内(边界)；当，由对称性得出。
指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解
4.利用区域求不等式组的整数解
分析：不等式组的实数解集为三条直线，，所围成的三角形区域内部(不含边界)。设，，，求得区域内点横坐标范围，取出的所有整数值，再代回原不等式组转化为的一元不等式组得出相应的的整数值。
解：设，，，，，，∴，，。于是看出区域内点的横坐标在内，取＝1，2，3，当＝1时，代入原不等式组有 ，得＝－2，∴区域内有整点(1,-2)。同理可求得另外三个整点(2,0)，(2,-1)，(3,-1)。
注意：求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫。常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是本题解答中所采用的，先确定区域内点的横坐标的范围，确定的所有整数值，再代回原不等式组，得出的一元一次不等式组，再确定的所有整数值，即先固定，再用制约。
五、归纳整理，整体认识
1. 进一步熟悉用不等式（组）的解集表示的平面区域。
2．用平面区域表示二元一次不等式组；
3．平面区域中整点的寻求方法．
六、承上启下，留下悬念
七、板书设计（略）
八、课后记：
图①
图②
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基本不等式
一、知识回顾
1.几个重要不等式
（1）
（2）（当仅当a=b时取等号）
（3）如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）
最值定理：若则：
如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； 如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.
注意：
前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；
“和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值；
均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。
（当仅当a=b=c时取等号）
（当仅当a=b时取等号）
2.几个著名不等式
（1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）
（2）柯西不等式：
（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点有
则称f(x)为凸（或凹）函数.
二、基本练习
1、（05福建卷）下列结论正确的是 （ ）21世纪教育网
A．当 B．
C．的最小值为2 D．当无最大值
2、下列函数中，最小值为2的是 （ ）
A． B．
C． D．
3、设，则下列不等式成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
5、若则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6、若实数a、b满足 （ ）
A．8 B．4 C． D．
7、函数的值域为 ．
8、已知x>0，y>0且x+y=5，则lgx+lgy的最大值是 ．
若正数满足，则的取值范围是_____________________.[来源:21世纪教育网]
三、例题分析
例1、已知x>0，y>0且x+2y=1，求xy的最大值，及xy取最大值时的x、y的值．
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例2
例3、已知，求函数的最小值。
例4、设，求证：
（1） ； （2）；
（3）≤ （4）()()≥9
（5）≥
例5、（05江苏卷）设数列｛an｝的前项和为,已知a1=1, a2=6, a3=11,且
,
(Ⅱ)求数列｛an｝的通项公式;
(Ⅲ)证明不等式.
四、同步练习 基本不等式
1、若a、b，，则的最小值是（ ）
A） B） C） D）
2、函数的最小值是（ ）
A）24 B）13 C）25 D）26
3、已知α=lgalgb,β=[lg(ab)] ,γ=[lg(a+b)],其中a>0、b>0、a+b<1且a≠b则α、β、γ的大小顺序为（ ）
A) γ<β<α B) γ<α<β C) α<β<γ D) α<γ<β
4、某公司租地建仓库，每月士地占用费y与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物费y与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这这两项费用y和y分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站
A) 5公里处 B) 4公里处 C) 3公里处 D) 2公里处
5、设，则中最大的一个是（ ）
A.a B. b C. c D. 不能确定
6、一批救灾物资随17列火车以v千米/小时的速度匀速直达400千米处的灾区，为了安全起见，两辆火车的间距不得小于千米，问这批物资全部运到灾区最少需要____小时.
7、 知x、y，则使恒成立的实数的取值范围是____________.
8、已知且，求的最大值________.21世纪教育网
9、设实数,,,满足条件，，求的最大值。
10、若，，是互不相等的正数，求证：
11、已知、、是不全相等的正数，求证：
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12、已知a、b、c∈R,求证
答案 ACBAC 7、8. 8、 9、
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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第 1 课时： §1.1 正弦定理（1）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程；
2.能解决一些简单的三角形度量问题（会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题）；能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；
3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.
4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力．
二、过程与方法
让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
三、情感、态度与价值观
1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；
2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
【教学重点与难点】：
重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
【学法与教学用具】：
1. 学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪、直尺、计算器
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1.在直角三角形中的边角关系是怎样的？
2.这种关系在任意三角形中也成立吗？
3.介绍其它的证明方法
二、研探新知
1.正弦定理的推导
（1）在直角三角形中：,，
即 ，， ∴==
能否推广到斜三角形？
（2）斜三角形中
证明一：（等积法，利用三角形的面积转换）在任意斜△中，先作出三边上的高、、，则，，．所以，每项同除以即得：．
证明二：（外接圆法）如图所示，∠＝∠
∴ 同理，
证明三：（向量法）过作单位向量垂直于，由+，两边同乘以单位向量得 (+ ，则 +
∴|| ||cos90+|| ||cos(90)=| | ||cos(90)
∴ ∴=
同理，若过作垂直于得：= ∴
从上面的研探过程，可得以下定理21世纪教育网
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
2.理解定理
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数使；
（2）==等价于=，=，=，即可得正弦定理的变形形式：
1）；
2）；
3）．
（3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：
1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如；
2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．如。
一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解（见图示）．
21世纪教育网
一解 两解 一解 一解
注意：（1）正弦定理的叙述：在一个三角形中。各边和它所对角的正弦比相等，即：==它适合于任何三角形。
（2）可以证明== （为△外接圆半径）
（3）每个等式可视为一个方程：知三求一
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 已知在
解：∴ 由得
由得
例2 在
解：∵，为锐角，
∴
例3 21世纪教育网
解：
，
例4 试判断下列三角形解的情况：
（1）已知
（2）已知
（3）已知
四、巩固深化，反馈矫正
1.在中，三个内角之比，那么等于____
2.在中，,则此三角形的最大边长为_____
3.在中，已知，如果利用正弦定理解三角形有两解，则的取值范围是_____
4.在中，已知，求的度数
五、归纳整理，整体认识
1．用三种方法证明了正弦定理：[来源:21世纪教育网]
（1）转化为直角三角形中的边角关系；（2）利用向量的数量积．（3）外接圆法
2．理论上正弦定理可解决两类问题： 21世纪教育网
（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；
（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．
3.（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？
（2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断．
六、承上启下，留下悬念
七、板书设计（略）
八、课后记：
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第三章 数列
三 等比数列
【考点阐述】
等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．
【考试要求】
（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。
【考题分类】
（一）选择题（共6题）
1.设｛an｝是公比为正数的等比数列，若n1=7,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为（ ）
A.63 B.64 C.127 D.128
解：由及｛an｝是公比为正数得公比，所以
2.设等比数列的公比，前n项和为，则（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
解：[21世纪教育网
3.已知等比数列满足，则（ ）[来源:21世纪教育网]
A．64 B．81 C．128 D．243
4.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是( )
（Ａ） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
【解1】：∵等比数列中 ∴当公比为1时，， ；
当公比为时，， 从而淘汰（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）故选D；21世纪教育网
【解2】：∵等比数列中 ∴
∴当公比时，；
当公比时，
∴ 故选D；
【考点】：此题重点考察等比数列前项和的意义，等比数列的通项公式，以及均值不等式的应用；
【突破】：特殊数列入手淘汰；重视等比数列的通项公式，前项和，以及均值不等式的应用，特别是均值不等式使用的条件；
5.已知是等比数列，，则=
（A）16（） （B）16（）
（C）（） （D）（）21世纪教育网
解析：本小题主要考查等比数列通项的性质。由，解得
数列仍是等比数列:其首项是公比为所以,
6.已知是等比数列，，则公比=
（A） （B） （C）2 （D）21世纪教育网
答案：D
解析：本小题主要考查等比数列通项的性质。由，解得
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第三章 数列
二 等差数列
【考点阐述】
等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．
【考试要求】
（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。
【考题分类】
（一）选择题（共8题）
1.已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（ ）
A．30 B．45 C．90 D．186
【解析】由,
所以【答案】 C21世纪教育网
2.设|an|是等左数列，若a2=3,a1=13,则数列{an}前8项的和为
A.128 B.80 C.64 D.56
解：因为是等差数列，
3.记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．16 B．24 C．36 D．48
【解析】，，故
4.记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（ ）[来源:21世纪教育网]
A、2 B、3 C、6 D、7
【解析】,选B.
5.已知等差数列满足，，则它的前10项的和（ ）
A．138 B．135 C．95 D．23
【解析】C. 由；
6.已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（ ）
A．64 B．100 C．110 D．120
解：设公差为，则由已知得
7.若等差数列的前5项和，且，则（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
解析：，所以，选B．
8.已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于21世纪教育网
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7
【解析】本小题主要考查等差数列的性质。由得：，故选C。
（二）填空题（共7题）
1.在数列在中，，，,其中为常数，则
解：∵∴从而。
∴a=2，，则
2.已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = ____________
【标准答案】：１５
【试题解析】：由于为等差数列，故∴
【易错点】：对有关性质掌握不到位而出错。
【备考提示】：等差数列及等比数列“足数和定理”是数列中的重点内容，要予以重点掌握并灵活应用。
3.已知函数,等差数列的公差为.若,则 .
解：依题意，所以21世纪教育网
4.设等差数列的前项和为，若，则的最大值为___________。
【解】：∵等差数列的前项和为，且
∴ 即 ∴
∴，，
∴ 故的最大值为，应填
【点评】：此题重点考察等差数列的通项公式，前项和公式，以及不等式的变形求范围；
【突破】：利用等差数列的前项和公式变形不等式，利用消元思想确定或的范围解答本题的关键；
5.设Sn=是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .
解： ，
6.已知数列是公差不为零的等差数列，. 若成等比数列，则 .
解析：原设等差数列的公差为d，由a22=a1a5得(1+d)2=1(1+4d)即d2-2d=0解得d=0（舍）或d=2，于是an=1+(n-1)2=2n-1.
7．设等差数列的前项和为，且。若，则 。
解：，取特殊值
令，所以21世纪教育网
（三）解答题（共1题）
1.已知数列是一个等差数列，且，。
（1）求的通项；
（2）求前n项和的最大值。
解：（Ⅰ）设的公差为，由已知条件，，解出，．
所以．
（Ⅱ）．
所以时，取到最大值．
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第 3 课时： §1.2 余弦定理（1）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.能够运用余弦定理理解解决一些与测量和几何计算有关的实际问题
3.通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.
二、过程与方法
利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题21世纪教育网
三、情感、态度与价值观
1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；
2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
【教学重点与难点】：
重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
难点：向量方法证明余弦定理.
【学法与教学用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1.正弦定理的内容？
2.由正弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？
二、研探新知
1．余弦定理的向量证明：
方法1：如图，在中，、、的长分别为、、．∵，
∴
+，
即 ；
同理可证：， ．
方法2：建立直角坐标系，则．所以
，同理可证，
注意：此法的优点在于不必对是锐角、直角、钝角进行分类讨论．
于是得到以下定理
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
21世纪教育网
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
用符号语言表示：，…等；
2. 理解定理
注意：（1）熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等
（2）余弦定理的应用：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
（3）当夹角为90时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）
（4）变形：
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若中，C=，则，这时，由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。[来源:21世纪教育网]
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 （教材例1）在中，（1）已知，求；（2）已知，求
例2 边长为的三角形中，求最大角与最小角的和
例3 在中，最大角为最小角的2倍，且三边、、为三个连续整数，求、、的值
例4 在中，、是方程的两根，又，求：（1）角的度数；（2）求的长；（3）的面积
四、巩固深化，反馈矫正
1．在中，，那么这个三角形的最大角是_____
2. 在中，，则______
3. 在中，，则角的度数是______
4. 在中，已知，则最大角的余弦值是______
5.已知锐角三角形的边长分别是、、，则的取值范围是_______
6.用余弦定理证明：在中，当为锐角时，；当为钝角时，．
五、归纳整理，整体认识
1.余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
2.余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边。
六、承上启下，留下悬念 21世纪教育网
1．书面作业
七、板书设计（略）[来源:21世纪教育网]
八、课后记：
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第三章 数列
一 数列
【考点阐述】
数列．
【考试要求】
（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
【考题分类】[来源:21世纪教育网]21世纪教育网
（一）选择题（共2题）
1.已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】: C
【试题分析】: 由已知＝+＝ -12，＝+＝－24,=+= -30
【高考考点】: 数列
【易错提醒】: 特殊性的运用
【备考提示】: 加强从一般性中发现特殊性的训练。
2.在数列中，， ，则
A． B． C． D．
解析：. ，，…，
（二）填空题（共2题）
1.某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，，当时，
表示非负实数的整数部分，例如，．
按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ．
【标准答案】: (1,2) (3, 402)
【试题分析】: T组成的数列为1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1……(k=1,2,3,4……)。一一带入计算得：数列为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5……；数列为1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4…….因此，第6棵树种在 (1,2)，第2008棵树种在(3, 402)。
【高考考点】: 数列的通项
【易错提醒】: 前几项的规律找错
【备考提示】: 创新题大家都没有遇到过，仔细认真地从前几项（特殊处、简单处）体会题意，从而找到解题方法。
2.设数列中，，则通项 ___________。
【解】：∵ ∴，，
，，，，
将以上各式相加得：
故应填；
（三）解答题（共1题）
1.已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上.
(Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；
(Ⅱ)若列数｛bn｝满足b1=1,bn+1=bn+，求证：bn ·bn+2＜b2n+1.
本小题考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，推理与运算能力.
解法一：
（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,
所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.
故an=1+(a-1)×1=n.21世纪教育网
(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n.
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+ ···+（b2-b1）+b1
=2n-1+2n-2+···+2+1＝=2n-1.
因为bn·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2
=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)
=-5·2n+4·2n
=-2n＜0,
所以bn·bn+2＜b,
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）因为b2=1,
bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b
=2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1[来源:21世纪教育网]
＝2n（bn+1-2n+1）
=2n（bn+2n-2n+1）
=2n（bn-2n）
=…
=2n（b1-2）
=-2n〈0，
所以bn-bn+2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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第 7 课时：§2.3 等比数列（1）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.通过实例，理解等比数列的概念；能判断一个数列是不是等比数列；21世纪教育网
2.类比等差数列的通项公式，探索发现等比数列的通项公式，掌握求等比数列通项公式的方法。掌握等比数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的实际问题.
二、过程与方法
1.通过丰富实例抽象出等比数列模型，经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳出等比数列的定义；通过与等差数列的通项公式的推导类比，探索等比数列的通项公式．
2.探索并掌握等比数列的性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力，会
等比数列与指数函数的关系。
三、情感、态度与价值观
1.培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力．
2.充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。
【教学重点与难点】：
重点：等比数列的定义和通项公式
难点：等比数列与指数函数的关系；遇到具体问题时，抽象出数列的模型和数列的等比关系，并能用有关知识解决相应问题。
【学法与教学用具】：
1. 学法：首先由几个具体实例抽象出等比数列的模型，从而归纳出等比数列的定义；与等差数列通项公式的推导类比，推导等比数列通项公式。
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题[来源:21世纪教育网]
引入：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”；细胞分裂模型；计算机病毒的传播；印度国王奖赏国际象棋发明者的实例等都是等比数列的实例。再看下面的例子：
①1，2，4，8，16，…
②1，，，，，…
③1，20，，，，…
④，，，，，……
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？
共同特点：（1）“从第二项起”，“每一项”与其“前一项”之比为常数
（2）隐含：任一项
（3）时，为常数
二、研探新知
1．等比数列定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，（注意：等比数列的公比和项都不为零）．[来源:21世纪教育网]
注意：（1）“从第二项起”与“前一项”之比为常数,成等比数列=（,）
（2）隐含：任一项,“≠0”是数列成等比数列的必要非充分条件．
（3）时，为常数。
2．等比数列的通项公式（一）：
由等比数列的定义，前有：
；
；
… … … … … … …
若将上述个等式相乘，便可得：，即：（）
当时，左边，右边，所以等式成立，∴等比数列通项公式为：．[来源:21世纪教育网]
3.等比数列的通项公式（二）:
说明：由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 （教材例1）判断下列数列是否为等比数列：（1）；（2）；（3）
解：（1）所给的数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）因为不能作除数，所以这个数列不是等比数列．
例2 （教材例2）求出下列等比数列中的未知项：（1）； （2）．
解：（1）由题得，∴或．
（2）由题得 ，∴或．
例3 （教材例1）在等比数列中，
（1）已知，，求；（2）已知，，求．
解：（1）由等比数列的通项公式得．
（2）设等比数列的公比为，那么，得，∴ ．
例4一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项。
例5 在等比数列中，，求与
例6（教材例3）（1）在等比数列中，是否有（）？
（2）在数列中，对于任意的正整数（），都有，那么数列一定是等比数列．
解：（1）∵等比数列的定义和等比数列的通项公式数列是等比数列，∴，即（）成立．
（2）不一定．例如对于数列，总有，但这个数列不是等比数列．
四、巩固深化，反馈矫正
1. 教材练习第1，2题
2. 教材习题第1，2题
五、归纳整理，整体认识
本节课主要学习了等比数列的定义，即：；等比数列的通项公式：及推导过程。
六、承上启下，留下悬念 21世纪教育网
七、板书设计（略）
八、课后记：
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§3.1不等关系 第 21 课时
学习目标了解不等关系和不等式，掌握不等式的性质，会用不等式的性质解决一些简单的问题。 二、学法指导１．实数的运算性质与大小顺序关系是不等式这一章的理论基础；是不等式性质的证明、证明不等式和解不等式的主要依据。２．比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a-b的符号。21世纪教育网3．作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用。三、课前预习1．现实世界中存在着相等关系，同时也存在着 关系，因此，我们需要研究下列问题：（１）如何用不等式表示不等关系？（２）不等式有哪些性质？２．实数a与b的大小顺序与实数的运算性质之间的关系：设 ； 。３．常用不等式的性质：（１） ； （２） ；（３） ：（４） ：（５） ；（６） ；（７） 。四、课堂探究书Ｐ６５引例表明，我们可以用不等式(组)来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式,常用()表示不等关系.五、例题分析例1．某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种．按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？21世纪教育网例2．某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位．某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉．设每盒快餐需面食百克、米饭百克，试写出满足的条件．例3．比较大小：(1)与；(2)与（其中，）．分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小．例4．已知比较与的大小．21世纪教育网六、巩固训练（1）比较 的大小；21世纪教育网（2）如果,比较 的大小．七、课堂回顾与作业 21世纪教育网
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第 7 课时：§3.3.3 简单的线性规划问题（1）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；
2.了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；会根据条件建立线性目标函数
3.了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值
4.培养学生观察、联想以及作图的能力；渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力，培养学生应用数学的意识。
二、过程与方法
1.本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决。
2.考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性。同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性
三、情感、态度与价值观
1.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新
2.渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣
【教学重点与难点】：
重点：线性规划的图解法
难点：从实际情景中抽象出一些简单的二元线形规划问题；寻求线性规划问题的最优解
【学法与教学用具】：
1. 学法：通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，调动多感官去体验数学建模的思想；学生要学会用“数形结合”的方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系
2. 教学用具：直角板、投影仪，计算机辅助教材
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1. 在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，本节课就学习此方面的应用
2.问题：在约束条件下，如何求目标函数的最大值？
二、研探新知
1. 基本概念 对于在约束条件下，若，式中变量、满足上面不等式组，则不等式组叫做变量、的约束条件 ，叫做目标函数；又因为这里的是关于变量、的一次解析式，所以又称为线性目标函数。满足线性约束条件的平面区域叫做可行解，如图（1）所示．由所有可行解组成的集合叫做可行域；
将目标函数变形为的形式，它表示一条直线，斜率为，且在轴上的截距为．
平移直线，当它经过两直线与的交点时，直线在轴上的截距最大，如图（2）所示．
因此，当时，目标函数取得最大值，即当甲、乙两种产品分别生产和时，可获得最大利润万元．
这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题．其中使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的最优解．对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．21世纪教育网
说明：平移直线时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点）．
2.求解线性规划的可行解的步骤21世纪教育网
1 指出线性约束条件和线性目标函数
2 画出可行域的图形
3 平移直线，在可行域内找到最优解
提问：由此看出，你能找出最优解和可行域之间的关系吗？
3.初步尝试
若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？设生产甲产品乙产品件时，工厂获得的利润为,则.这样，上述问题就转化为：当、满足不等式并且为非负整数时，的最大值是多少？
①变形——把，这是斜率为；当变化时，可以得到一组互相平行的直线；的平面区域内有公共点时，在区域内找一个点，使直线经点时截距最大
②平移——通过平移找到满足上述条件的直线
③表述——找到给（4，2）后，求出对应的截距及的值
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值．
解：由题意，变量所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．由图知，原点不在公共区域内，当时，，即点在直线：上，作一组平行于的直线：，，
可知：当在的右上方时，直线上的点满足，
即，而且，直线往右平移时，随之增大．[来源:21世纪教育网]
由图象可知，当直线经过点时，对应的最大，
当直线经过点时，对应的最小，
所以，，．
变题：设，式中满足条件，求的最大值和最小值．
解：由引例可知：直线与所在直线平行，则由引例的解题过程知，当与所在直线重合时最大，此时满足条件的最优解有无数多个，当经过点时，对应最小，
∴，．
例2（1）已知，求的取值范围；（2）设，且，，求的取值范围。
解：（1）不等式组表示的平面区域如图所示，作直线：，
作一组平行线：，由图知由向右下方平移时，随之增大，反之减小，
∴当经过点时取最小值，当经过点时取最大值，
由和分别得，，
∴，，所以，．
（2），，，由（1）知，．
例3 已知的三边长满足，，求的取值范围。
解：设，，则，作出平面区域，由图知：，，
∴，即．
四、巩固深化，反馈矫正
1.求的最大值，使式中满足约束条件．
2．已知函数满足，，求的取值范围。
五、归纳整理，整体认识
1.了解线性规划问题的有关概念，掌握线性规划问题的图解法，懂得寻求实际问题的最优解
2.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
表述方法一：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）;
（2）设，画出直线 （3）观察、分析，平移直线，从而找到最优解
（4）最后求得目标函数的最大值及最小值21世纪教育网
表述方法二：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解.
说明：（1）线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；
（2）线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个．
线性规划的意义、最优解的含义[来源:21世纪教育网]
六、承上启下，留下悬念
七、板书设计（略）
八、课后记：
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第 5 课时：§2.2 等差数列（3）
【三维目标】：
一、知识与技能
1. 掌握等差数列前项和的公式以及推导该公式的数学思想方法，并能运用公式解决简单的问题；
2.探索活动中培养学生观察、分析的能力，培养学生由特殊到一般的归纳能力。
二、过程与方法
1.通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第项与倒数第项的和等于首项与末项的和这个规律；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。21世纪教育网
2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.
三、情感、态度与价值观
1.通过公式的推导过程，获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。
2.培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。
【教学重点与难点】：
重点：等差数列项和公式的理解、推导及应用
难点：等差数列前项和公式推导思路的获得，灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题，体会等差数列的前项和与二次函数之间的联系。
【学法与教学用具】：
1.学法：讲练结合
2.教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
“小故事”：著名的数学家高斯（德国 1777-1855）十岁时计算1+2+3+…+100的故事：高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:“1+2+…100= ”
过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050。教师问：“你是如何算出答案的？高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；…50+51=101，所以101×50=5050”
故事结束：归纳为 1．这是求等差数列1，2，3，…，100前100项和
2．高斯的解法是：前100项和，即
二、研探新知
1.等差数列的求和公式
（1）求和公式（一）：（倒序相加法）
思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？
思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。我们用两种方法表示：
证明： ①
②
①+②：
∵
∴ 由此得：
由此得到等差数列的前n项和的公式
注意：用上述公式要求必须具备三个条件：
（2）求和公式（二）：按等差数列定义
当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如：
=
===
这两个公式是可以相互转化的。把代入中，就可以得到
注意：此公式要求必须具备三个条件： （有时比较有用）
公式二又可化成式子：，当，是一个常数项为零的二次式，有关前项和得最值问题可由此公式解决
总之：两个公式都表明要求必须已知中三个
说明：（1）等差数列的前和等于首末两项和的一半的倍；
（2）在等差数列前项和公式及通项公式中有，，，，五个量，已知其中三个可以求出另外两个。
引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第项与倒数第项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道和，不同点是第一个公式还需知道，而第二个公式是要知道，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1（教材例1）在等差数列中，
（1）已知，，，求；（2）已知，，求。
例2（教材例2）（1）在等差数列中，已知，，求及；
（2）在等差数列中，，，，求及[来源:21世纪教育网]
解：（1）由题意，得 由（2）得： 代入（1）得，∴（舍去），∴
（2）由题意，得 解得：
例3（教材例3）在等差数列中，已知第项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和。
解：设等差数列的首项为，公差为，由题意，得
即： 解得：
∴ ，∴
从上例中我们发现：也成等差数列，你能得出更一般的结论吗？
结论：仍成等差数列，公差为（为确定的正整数）。
例4求集合的元素个数，并求这些元素的和。
解：由，得，故集合中的元素共有14个，将它们从小到大列出，得，，，，．这数列是等差数列，共有项，记为，其中，，
所以，，答：集合共有14个元素 ，它们的和等于．
例5 设等差数列的前项和为，已知，（1）求公差的取值范围；（2）指出中哪一个值最大？并说明理由。
解：（1），，则，所以，；21世纪教育网
（2）∵，，∵，∴ ，∴且，所以，最大。 [来源:21世纪教育网]
说明：（1），时，有最大值；，时，有最小值；
（2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；
②若已知，则最值时的值（）可如下确定或
四、巩固深化，反馈矫正
教材练习第1，2，3，4题
五、归纳整理，整体认识
1.等差数列的前项和的两个公式及推导方法 ；
（1）等差数列的前项和公式1（倒序相加法）：
（2）等差数列的前项和公式2：
（3），当，是一个常数项为零的二次式
2.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:21世纪教育网
（1） 利用:
当，前项和有最大值可由，且，求得的值
当，前项和有最小值可由，且，求得的值
（2） 利用：
由利用二次函数配方法求得最值时的值
3. 在等差数列前项和公式中有，，，，五个量，只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.(体现了方程思想)
4．等差数列前项和的性质：在等差数列中前项为，则仍成等差数列，公差为（为确定的正整数）。
六、承上启下，留下悬念
1.预习等差数列的应用
2.补充：今有人与钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？
解：将每次发的钱从小到大排列为等差数列，记为，设公差为，前项和记为，则，，，∴，答：共有人个。
七、板书设计（略）
八、课后记：
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教 案
课题
一元二次不等式解法(二)
教学目标
（1） 教学知识点
1、 会把部分一元二次不等式转化成一次不等式组来求解.
2、 简单分式不等式求解.
（2） 能力训练要求
1、 通过问题求解渗透等价转化的思想，提高运算能力.
2、 通过问题求解渗透分类讨论思想，提高逻辑思维能力.
（3） 德育渗透目标
通过问题求解过程，渗透..
教学重点
一元二次不等式求解.
教学难点
将已知不等式等价转化成合理变形式子.
教学方法
创造教学法
为使问题得到解决，关键在于合理地将已知不等式变形，变形的过程也是一个创造的过程，只有这一过程完成好，本节课的难点也就突破.
教学过程
Ⅰ 课题导入
1、 一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的关系.
2、 一元二次不等式的解法.
3、 数形结合思想运用.
Ⅱ 新课讲授
1.一元二次不等式(x+a)(x+b)<0的解法:[来源:21世纪教育网]
首先我们来观察这个不等式(x+4)(x-1)<0的特点，以不等式两边来观察.
特点：左边是两个x一次因式的积，右边是0.
思考：依据该特点，不等式能否实现转化而又能转化成什么形式的不等式？
不等式(x+4)(x-1)<0可以实现转化，可转化成一次不等式组：
与
21世纪教育网
注意：不等式(x+4)(x-1)<0的解集是上面不等式组解集的并集.
一元二次不等式(x+4)(x-1)<0的解法：21世纪教育网
解：将(x+4)(x-1)<0转化为
与
由 x| ={x|-421世纪教育网
=
得原不等式的解集是{x|-4步骤：从上可看出一般形式(x+a)(x+b)<0解的步骤：
将所解不等式转化为一次不等式组,求其解集的并集，即为所求不等式的解.
通过因式分解，转化为一元一次不等式组的方法,
[例] 求解下列不等式.
1、 x2-3x-4>0
解：将x2-3x-4>0分解为(x-4)(x+1)>0
转化为 与
由 x|x ={x|-4由 x|x =
原不等式的解集为{x|x>4}∪{x|x<-1}={x|x<-1或x>4}
2、x(x-2)>8
解：将x(x-2)>8变形为x2-2x-8>0化成积的形式为(x-4)(x+2)>0
x| ={x|x>4}
x| ={x|x<-2}
原不等式的解集为{x|x>4}∪{x|x<-2} ={x|x<-2或x>4}
说明：问题解决的关键在于通过正确因式分解,将不等号左端化成两个一次因式积的形式.
2.分式不等式 >0的解法
比较 〈0与(x-3)(x+7)<0与的解集
思考： 〈0与(x-3)(x+7)<0的解集，是否相同.
它们都可化为一次不等式组 与
[例5] 解不等式 <0
解析：这个不等式若要正确无误地求出解集，则必须实现转化，而这个转化依据就是 >0 ab>0及 <0 ab<0
解：这个不等式解集是不等式组
与 的解集的并集.
由 x ={x|-7x| =
得原不等式的解集是{x|-7由些得出不等式 >0的解法同(x+a)(x+b)>0的解法相同.
[例] 求不等式3+ <0的解集.
解：3+ <0可变形为 <0.
转化为（3x+2）x<0
x| ∪ x|
={x|- Ⅲ 课堂练习：
Ⅳ 课时小结：
1、(x+a)(x+b)<0型不等式转化方法是 与
2、 >0型不等式转化结果:(x+a)(x+b)>0
3、上述两类不等式解法相同之处及关键、 注意点.
Ⅴ 课后作业：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
x+4>0
x-1<0
x-1<0
x-1<0
x+4<0
x-1>0
x-1<0
x-1<0
x+4>0
x-1<0
x-1<0
x-1<0
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x+4>0
x-1<0
x+4>0
x-1<0
x-4>0
x+2>0
x-4<0
x+2<0
x+a
x+b
x-3
x+7
x-3
x+7
x-3>0
x+7<0
x-3<0
x+7>0
x-3
x+7
a
b
a
b
x-3>0
x+7<0
x-3<0
x+7>0
x-3>0
x+7<0
x-3<0
x+7>0
x+a
x+b
2
x
2
x
3x+2
x
3x+2<0
x>0
3x+2>0
x<0
2
3
2
3
x+a<0
x+b>0
x+a>0
x+b<0
x+a
x+b
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第 2 课时：§ 2.1 数列（2）
【三维目标】：
一、知识与技能
1. 要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列的递推公式的意义，明确递推公式与通项公式的异同；了解数列的递推公式是确定数列的一种方法；
2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项；
3.理解数列的前项和与的关系；掌握根据数列的前项和确定数列的通项公式．
4.提高学生的推理能力，培养学生的应用意识.
二、过程与方法
经历数列知识的感受及理解运用的过程。
三、情感、态度与价值观
通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
【教学重点与难点】：
重点：数列的递推公式的理解与应用；
难点：理解递推公式；理解递推公式与通项公式的关系
【学法与教学用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1.复习数列是一种特殊的函数，故其表示方法有列表法、图象法、通项公式法.
2.提问：已知数列满足，能写出这个数列的前5项吗？
思考：已知在数列中，那么这个数列中的任意一项是否都可以写出来？
二、研探新知
1．递推公式
（1）递推公式的概念：
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：14＝1+3
第2层钢管数为5；即：25＝2+3
第3层钢管数为6；即：36＝3+3
第4层钢管数为7；即：47＝4+3
第5层钢管数为8；即：58＝5+3
第6层钢管数为9；即：69＝6+3
第7层钢管数为10；即：710＝7+3
若用表示钢管数，表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且≤n≤7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即；；21世纪教育网
依此类推：（2≤n≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。
定义：如果已知数列的第一项（或前几项），以及任一项与前面一项（或前几项）之间的关系可用一个公式来表示，则这个公式叫做的递推公式．
说明：递推公式也是给出数列的一种方法。21世纪教育网
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89，递推公式为：
（2）数列的前项的和
数列中，称为数列的前n项和，记为.
表示前1项之和：=
表示前2项之和：=
……
表示前n-1项之和：=
表示前n项之和：=.
∴当n≥1时才有意义；当n-1≥1即n≥2时才有意义.
（3）与之间的关系：
由的定义可知，当n=1时，=；当n≥2时，=-，即注意验证的情况．
证明：显然时 ， 当即时 ，
∴ ∴
注意：（1）此法可作为常用公式；（2）当时 满足时，则
（4）数列的单调性：
设是由连续的正整数构成的集合，若对于中的每一个都有（或），则数列在内单调递增（或单调递减）.
（5）两个重要的变换：
① ②
注意：1．求数列的通项公式与求数列的前项和是数列的两个最基本问题，解决问题时必须特别仔细地计算项数，弄错一项将全题尽毁.
2．数列的单调性是探索数列的特点，特别是求数列的最大、小项的重要方法，若想用高等方法讨论数列的单调性，不能直接对求导，应先对函数求导，然后再分析的单调性.
3．与的关系式是解决数列的问题中使用率非常高的公式，任何时候使用这个公式都必须从“”开始讨论，千万不要错了一项.
4．上面提到了两个重要变换是解决数列问题中经常使用的两个变换.
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1设数列满足写出这个数列的前五项。
解：分析：题中已给出的第1项即，递推公式：
解：据题意可知：，
变题：已知数列的首项，求出这个数列的第5项.（学生口答）
例2已知数列中，≥3），试写出数列的前4项
解：由已知得
变题：若数列中，，，且各项满足，则是该数列的第几项？
例3已知， 写出前5项，并猜想．
法一： ，观察可得
法二：由 ∴ 即 ∴
∴
变题：若数列中，，且各项满足，写出该数列的前四项．
例4已知数列的前n项和为① ；② 。求数列的通项公式。
解：①当时， 当时，,经检验 时 也适合
②当时， 当时，
∴
思考题：已知数列为，试写出这个数列的一个递推公式，再根据递推公式写出它的通项公式.
例5 已知数列的前项和．
（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的通项公式．
解：（1）当时，；
当时，；所以．
（2）因为，且，，所以21世纪教育网
说明：由数列的前项和求时，要注意分和讨论，然后将代入所得的通项公式，看结果是否符合的情况，不是则需要写成分段形式．
四、巩固深化，反馈矫正
1.根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式：
(1) ＝0, ＝＋(2n－1) (n∈N)；(2)＝3, ＝3－2 (n∈N).
(3) ＝1, ＝ (n∈N)；
2.已知数列满足，，写出它的前项，归纳其通项公式，并验证是否满足递推公式．
3.数列的前项和满足，求该数列的通项公式．
4.解答下述问题：（I）数列 ，求数列的通项公式.21世纪教育网
（II）在[1000，2000]内，被4除余数1且被5除余数为2的整数有多少个？说明理由.
五、归纳整理，整体认识
1．递推公式及其用法；递推公式（简单阶差、阶商法）
2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.
3．的定义及与之间的关系，由数列的前项的和求数列的通项公式的过程．
六、承上启下，留下悬念
１．数列中，，，写出该数列的前四项，并归纳其通项公式，并验证是否满足递推公式．[来源:21世纪教育网]
２．数列的前项和，求该数列的通项公式．
3．根据数列=1, =+（n≥2）的首项和递推公式，写出它的前五项
七、板书设计（略）
八、课后记：
1.重视对学生学习数列的概念及表示法的过程的评价关注学生在数列概念与表示法的学习中，对所呈现的问题情境是否充满兴趣；在学习过程中，能否发现数列中的项的规律特点，写出数列的通项公式，或递推公式。
2.正确评价学生的数学基础知识和基础技能能否类比函数的性质，正确理解数列的概念，正确使用通项公式、列表、图象等方法表示数列，了解数列是一种特殊的函数。了解递推公式也是数列的一种表示方法。
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第 6 课时：§1.3 正弦定理、余弦定理的应用（2）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题[来源:21世纪教育网]
2.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；21世纪教育网
二、过程与方法
本节课是解三角形应用举例的延伸，利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的问题
三、情感、态度与价值观
1.让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力
2.培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神
【教学重点与难点】：
重点：利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的问题
难点：利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些几何和物理上的问题21世纪教育网
【学法与教学用具】：
1. 学法：能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维。借助计算机等媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使学生更好地明辨是非、掌握方法。
2. 教学用具：直尺、多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：21世纪教育网
一、创设情景，揭示课题
总结解斜三角形的要求和常用方法：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：
①已知两角和任一边，求其它两边和一角；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角.
（2）应用余弦定理解以下两类三角形问题：
①已知三边求三内角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角.
二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1（教材第7题）如图，有两条相交成角的直线、，交点是，甲、乙分别在、上，起初甲离点千米，乙离点千米，后来两人同时用每小时千米的速度，
甲沿 方向，乙沿方向步行，
（1）起初，两人的距离是多少？
（2）用包含的式子表示小时后两人的距离；
（3）什么时候两人的距离最短？
解：（1）设甲、乙两人起初的位置是、，
则
，∴起初，两人的距离是．
（2）设甲、乙两人小时后的位置分别是，则，，
当时，；
当时，，21世纪教育网
所以，．
（3），∴当时，即在第分钟末，最短。
答：在第分钟末，两人的距离最短。
例2（教材例3）作用在同一点的三个力平衡.已知， ，与之间的夹角是，求的大小与方向（精确到）.
解：应和合力平衡，所以和在同一直线上，并且
大小相等，方向相反.如图1-3-3，在中，由余弦定理，得
.再由正弦定理，得
，所以，从而.
答 为，与之间的夹角是.
本例是正弦定理、余弦定理在力学问题中的应用，教学时可作如下分析：由图根据余弦定理可求出，再根据正弦定理求出.
例3（教材例4）如图1-3-4，半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.问：点在什么位置时，四边形面积最大？
分析：四边形的面积由点的位置唯一确定，而点由唯一确定，因此可设，再用的三角函数来表示四边形的面积.
解：设.在中，由余弦定理，得.
于是，四边形的面积为
.
因为，所以当时，，即时，
四边形的面积最大.
对于本例，教学中可引导学生分析得到四边形的面积随着的变化而变化.这样将四边形的面积表示成的函数，利用三角形的有界性求出四边形面积的最大值.
三、巩固深化，反馈矫正
教材第1，2题
四、归纳整理，整体认识
由学生总结本节课的内容
五、承上启下，留下悬念
六、板书设计（略）
七、课后记：
图1-3-3
图1-3-4
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第 8 课时：§2.3 等比数列（2）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；
2.深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；
3.提高学生的数学素质，增强学生的应用意识.
二、过程与方法
通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。
三、情感、态度与价值观
充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。
【教学重点与难点】：21世纪教育网
重点：等比中项的理解与应用
难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题
【学法与教学用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：（）
2.等比数列的通项公式: ，
3．成等比数列（,q≠0）“≠0”是数列成等比数列的必要非充分条件
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．
二、研探新知
1．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=±（a,b同号）
推导：若在a与b中间插入一个数G，使成等比数列，则，
反之，若G=ab,则，即成等比数列 ∴成等比数列G=ab（）[来源:21世纪教育网]
探究：已知数列是等比数列，（1）是否成立？成立吗？为什么？
（2）是否成立？你据此能得到什么结论？
是否成立？你又能得到什么结论？
结论：若为等比数列，，则．
由等比数列通项公式得：，，
故且，∵，∴．
2．等比数列的性质：
（1）与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。与某一项距离相等的两项之积等于 这一项的平方。
（2）若为等比数列，，则．
（3）若为等比数列，则．
3．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法
4．等比数列的增减性：
5.探究等比数列与指数函数的关系
等比数列的图象：等比数列的通项公式是一个常数与指数式的乘积，表示这个数列的各点均在函数的图象上的一些孤立点（图象略）．
6.数列的单调性
（1）当，时，等比数列是递增数列；[来源:21世纪教育网]
（2）当，，等比数列是递增数列；
（3）当，时，等比数列是递减数列；
（4）当，时，等比数列是递减数列；
（5）当时，等比数列是摆动数列；当时，等比数列是常数列。
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1（1）求等比数列第11项，第30项；
（2）在等比数列中，已知，求；
（3）在2与32之间插入3个数 ，使它们成，求这三个数
例2 在等比数列中，若，求
例3 已知是项数相同的等比数列，求证：是等比数列。
证明：设数列的公比为；数列公比为，则数列的第 项和第项与第项的分别是，，它们的比为是一个与无关的常数，所以，是以为公比的等比数列．[来源:21世纪教育网][21世纪教育网
思考：如果一个数列的通项公式为，那么这个数列为等比数列数列吗？
例4 在和中间插入个数，使这个数成等比数列．
解：设插入的三个数为，由题得组成等比数列，设公比为，则， 得．所求的三数为或．
例5 三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数。
例6 有四个数，前三个成等比数列，且积为27，后三个数成等差数列，且和为18，求些四个数。
例7已知数列满足（1）求证：数列成等比数列；（2）求
例8已知等比列的通项公式为，求首项和公比
解： 所以
在此例中，等比数列的通项公式是一个常数与指数式的乘积，从图象上看，表示这个数列的各点均在函数的图象上。
四、巩固深化，反馈矫正
1. 教材练习第3,4,5题
2. 教材习题第3,4,5,6,7题
五、归纳整理，整体认识
1．若成等比数列，则叫做与的等差中项.
2．若，则
3．判断一个数列是否成等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法
4.若是项数相同的等比数列，则、{}也是等比数列
六、承上启下，留下悬念
七、板书设计（略）
八、课后记：
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第 10 课时：§3.4.1 基本不等式的证明（1）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法；
2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；
3.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
4.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释；21世纪教育网
二、过程与方法
1.通过实例探究抽象基本不等式；
2.本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质
三、情感、态度与价值观
1.通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣
2.培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力
【教学重点与难点】：
重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；
难点：理解基本不等式等号成立条件及 “当且仅当时取等号”的数学内涵21世纪教育网
【学法与教学用具】：
1.学法：先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动地学生的学习热情。定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案
2.教学用具：直角板、圆规、投影仪（多媒体教室）21世纪教育网
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1. 提问：与哪个大？
2.基本不等式的几何背景：
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）。
二、研探新知
重要不等式 ：一般地，对于任意实数 、，我们有，当且仅当时，等号成立。
证明:
所以
注意强调 当且仅当时,
注意：（1）等号成立的条件，“当且仅当”指充要条件；
（2） 公式中的字母和既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的变量式，因此应用范围比较广泛。
基本不等式：对任意正数、，有当且仅当时等号成立。
证法1：可以将基本不等式2看作是基本不等式1的推论。 由基本不等式1，得 当且仅当时等号成立。即当且仅当时等号成立。
证法2：当且仅当即时，取“”。
证法3：要证，只要证，只要证，只要证
因为最后一个不等式成立，所以成立，当且仅当即时，取“”。
证法4：对于正数有，
说明： 把和分别叫做正数的算术平均数和几何平均数，上述不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 上述结论可推广至3个正数。
（1）基本不等式成立的条件是：
（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3）
（3）的几何解释：（如图1）以为直径作圆，在直径上取一点， 过作弦，则，从而，而半径
基本不等式几何意义是：“半径不小于半弦”
（4）当且仅当时，取“”的含义：一方面是当时取等号，即
；另一方面是仅当时取等号，即
。
（5）如果，那么（当且仅当时取“”）．
（6）如果把看作是正数、的等差中项，看作是正数、的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
2.在数学中，我们称为、的算术平均数，称为、的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 （教材例1）设为正数，证明下列不等式成立：（1）；（2）21世纪教育网
证明：（1）∵为正数，∴也为正数，由基本不等式得∴原不等式成立。
（2）∵均为正数，由基本不等式得，∴原不等式成立。
例2 已知为两两不相等的实数，求证：
证明：∵为两两不相等的实数，∴，，，
以上三式相加：，所以，．
例3 已知都是正数，求证．
证明：由都是正数，得： ，，
∴，即．
例4 已知函数，求的范围
例5求证：．
证明：∵， 又， ∴，
∴，即．
四、巩固深化，反馈矫正
1.已知都是正数，求证：
2.已知都是正数，求证：；
3. 思考题：若，求的最大值21世纪教育网
五、归纳整理，整体认识
1．算术平均数与几何平均数的概念；
2．基本不等式及其应用条件；
3．不等式证明的三种常用方法。
小结：正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
六、承上启下，留下悬念
七、板书设计（略）
八、课后记：
（图1）
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第 4 课时： §1.2 余弦定理（2）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.学会利用余弦定理解决有关平几问题及判断三角形的形状，掌握转化与化归的数学思想；
2.能熟练地运用余弦定理解斜三角形；
二、过程与方法
通过对余弦定理的运用，培养学生解三角形的能力及运算的灵活性
三、情感、态度与价值观
培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；[来源:21世纪教育网]
【教学重点与难点】：
重点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形；
难点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形
【学法与教学用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时21世纪教育网
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1.余弦定理的内容？
2.如何利用余弦定理判断锐角、直角、钝角？
2.利用余弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？21世纪教育网
二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 （教材例6）在中，是边上的中线，求证：
例2 （教材例5）在中，已知，试判断三角形的形状
例3 在中，证明：
例4 已知三角形一个内角为，周长为20，面积为，求三角形的三边长。
例5三角形有一个角是，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是，求这个三角形的面积。
四、巩固深化，反馈矫正
1．在中，设,，且||,||, ，则
2. 在中，已知，、、分别为角、、所对的边，则的值等于________21世纪教育网
3.已知边上的中线，,则
4.已知圆内接四边形中，,求四边形的面积
五、归纳整理，整体认识
让学生总结本节课所学的内容及方法
（1）知识总结：[来源:21世纪教育网]
（2）方法总结：
六、承上启下，留下悬念
1．书面作业
七、板书设计（略）
八、课后记：
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第一课时 不等关系
复习目标：
了解二元一次不等式（组）表示平面区域。
典型例题：
1． 某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1kg要用煤9吨，电力4kw，劳力（按工作日计算）3个；制造乙产品1kg要用煤4吨，电力5kw，劳力10个，又知制成甲产品lkg可获利7万元，制成乙产品lkg可获利12万元，现在此工厂只有煤360吨，电力200kw，劳力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少千克，才能获得最大经济效益？
解：设此工厂应生产甲、乙两种产品xkg、ykg，则依题意可得约束条件：
[来源:21世纪教育网]
[21世纪教育网
2．某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌6个。现有两种规格原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个。求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小？
解：设用甲种规格的原料x张，乙种规格的原料y张，则可做文字标牌x＋2y个，绘画标
牌2x＋y个。由题意得：
所用原料总面积为z＝3x＋2y
3．某工厂加工零件，要在长度为400cm的圆钢上截取长度为67cm和51cm的甲、乙两种规格的圆钢，问怎样截取才能使圆钢的余料最少？
解：设截取甲规格的圆钢为x根、截取乙规格圆钢为y根，由此得不等式组：
第一课时 不等关系
1． 某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1kg要用煤9吨，电力4kw，劳力（按工作日计算）3个；制造乙产品1kg要用煤4吨，电力5kw，劳力10个，又知制成甲产品lkg可获利7万元，制成乙产品lkg可获利12万元，现在此工厂只有煤360吨，电力200kw，劳力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少千克，才能获得最大经济效益？
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2．某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌6个。现有两种规格原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个。求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小？
21世纪教育网
[来源:21世纪教育网]
3．某工厂加工零件，要在长度为400cm的圆钢上截取长度为67cm和51cm的甲、乙两种规格的圆钢，问怎样截取才能使圆钢的余料最少？
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第 1 课时：§2.1 数列（1）
【三维目标】：
一、知识与技能
1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数；认识数列是反映自然规律的基本数学模型；
2.了解数列的分类，理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式；
3. 培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.
二、过程与方法
1.通过对具体例子的观察分析得出数列的概念，培养学生由特殊到一般的归纳能力；
2.通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．
3.通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；
三、情感、态度与价值观
1.体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
2.在参与问题讨论并获得解决中，培养观察、归纳的思维品质，养成自主探索的学习习惯；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
【教学重点与难点】：
重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用
难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
【学法与教学用具】：
1. 学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。
2. 教学方法：启发引导式
3. 教学用具：多媒体、实物投影仪、尺等.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
1. 观察下列例子中的6列数有什么特点：
（1）传说中棋盘上的麦粒数按放置的先后排成一列数：1，2，22，23，…，263
（2）某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为个，那么每过分钟，个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，…
（3）π精确到0.01，0.001，0.0001…的不足近似值排成一列数：3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592…
（4）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，则从出现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，…
（5）某剧场有10排座位，第一排有20个座位，后一排都比前一排多2个，则各排的座位数依次为：20，22，24，26，…，38
（6）从1984年到今年，我国体育健儿共参加了6次奥运会，获得的金牌数依次排成一列数：15，5，16，16，28，32
（7）＂一尺之棰，日取其半，万世不竭＂如果将＂一尺之棰＂视为份，那么每日剩下的部分依次为，，，，，．．．
这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？思考问题，并理解顺序变化后对这列数字的影响．
（组织学生观察这六组数据后，启发学生概括其特点，教师总结并给出数列确切定义）
注意：由古印度关于国际象棋的传说、生物学中的细胞分裂问题及实际生活中的某些例子导入课题，既激活了课堂气氛，又让学生体会到数列在实际生活中有着广泛的应用，提高学生学习的兴趣。
二、研探新知
1．数列的概念
（1）数列的定义
按照一定次序排列的一列数称为数列．数列的一般形式可以写成，，，．．．，，．．．，简记为．
（2）数列的项
数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第项，….
说明：数列的概念和记号与集合概念和记号的区别：
①数列中的项是有序的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；而集合中的项是无序的；
②定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现；而集合中的元素不能重复
（3）数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第n项
（4）数列的分类：
1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列
2）根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
（5）数列是特殊的函数21世纪教育网
从映射、函数的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式. 反过来，对于函数，如果（）有意义，那么我们可以得到一个数列，，，．．．，，．．．．（强调有序性）
对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式画出其对应图象，下面同学们练习画数列的图象，并总结其特点.
说明：数列的图象是一些离散的点[来源:21世纪教育网]
（6）通项公式
一般地，如果数列的第项与序号之间的
关系可以用一个公式来表示．那么这个公式叫做这个21世纪教育网
数列的通项公式．
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，21世纪教育网
如上述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是，也可以是.
⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．
2.数列的表示方法
（1）通项公式法
如果数列的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如数列的通项公式为 ；
的通项公式为；
的通项公式为；
（2）图象法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
（3）列表法
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 （教材例1）已知数列的第项为，写出这个数列的首项、第项和第项．
解：首项为；第项为；第项为．
例2 （教材例2）已知数列的通项公式，写出这个数列的前项，并作出它的图象：
（1）；（2）．
解：用列表法分别给出这两个数列的前项．
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它们的图象如下图所示．
例3 （教材例3）写出数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数：
（1），，，，； （2），，，，；
（3），，，； （4），，，，．．．，；
（5），，，．
解：（１）．（２）．（３）．（４）．（５）．
说明：写出数列的通项公式
（1）关键是寻找与的对应关系；
（2）符号用或来调节；
（3）分式的分子，分母可以分别找通项，但要充分借助分子与分母的关系；
（4）并不是每一个数列都有通项公式，即使有通项公式，通项公式也未必是唯一的；
（5）对于形如，，，，．．．，的数列，其通项公式均可写成
四、巩固深化，反馈矫正
1. 写出下列数列的通项公式：
（1），，，，．．．，；（2），，，，．．．，；（3）．，，，．．．，
答案：（１）（２）（３）
2.写出下面数列的一个通项公式，使它的前项分别是下列各数：
（1） 1，0，1，0…；
（2），，，，
五、归纳整理，整体认识
1.数列及其有关概念，了解用列表、图象、通项公式、递推公式等方法表示数列；
2.认识数列是反映自然规律的基本数学模型；了解数列是一种特殊的函数。
3.观察法求数列的通项公式（会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式）
4.本节学习的数学思想：归纳的思想、函数的思想、归纳猜想的思想、数形结合的思想方法等。
六、承上启下，留下悬念
七、板书设计（略）
八、课后记：
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