1.1 命题及其关系测试练习
第1题. 已知下列三个方程至少有一个方程有实根，求实数的取值范围.
答案：．
第2题. 若，写出命题“”有两个相异实根的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.
答案：逆命题 ：，假；
否命题：（）没有实数根，假；
逆否命题：，真．
第3题. 在命题的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为 .
答案：3．
第4题. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个钝角”时反设是 .
答案：假设三角形的内角中没有钝角．
第5题. 命题“若，则或”的逆否命题是 .
答案：若且，则．
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第6题. 命题“若则”的逆否命题是( )
(A)若则 (B)若则
(C) 若则 (D)若则
答案：Ｄ
第7题. 命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( )
(A)逆命题 (B)否命题 (C)逆否命题 (D)无关命题
答案：Ａ
第8题. 命题“若则是等边三角形”的否命题是( )
(A)假命题
(B)与原命题同真同假
(C)与原命题的逆否命题同真同假
(D)与原命题的逆命题同真同假21世纪教育网
答案：Ｄ
第9题. 用反证法证明命题“是无理数”时，假设正确的是（ ）
(A)假设是有理数 (B)假设是有理数
(C)假设是有理数 (D)假设是有理数
答案：Ｄ
第10题. 命题“对顶角相等”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题是( )
(A)上述四个命题 (B)原命题与逆命题
(C)原命题与逆否命题 (D)原命题与否命题
答案：Ｃ
第11题. 原命题为“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是( )
(A)原命题是真命题 (B)逆命题是假命题
(C) 否命题是真命题 (D)逆否命题是真命题
答案：Ｃ
第12题. 命题“若”的否定形式是( )
(A) (B)
(C) (D)
答案：Ｂ
第13题. 与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( )
(A)能被3整除的整数，一定能被6整除
(B)不能被3整除的整数，一定不能被6整除
(C)不能被6整除的整数，一定不能被3整除
(D)不能被6整除的整数，不一定能被3整除
答案：Ｂ
第14题. 下列说法中，不正确的是( )
(A)“若”与“若”是互逆的命题
(B)“若非“与“若”是互否的命题
(C)“若非”与“若”是互否的命题
(D)“若非”与“若”是互为逆否的命题
答案：Ｂ
第15题. 以下说法错误的是( )
(A) 如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题
(B)如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题
(C)原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数
(D)一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题
答案：Ｂ
第16题. 下列四个命题:
⑴“若则实数均为0”的逆命题；
⑵ “相似三角形的面积相等“的否命题 ;
⑶ “”逆否命题;
⑷ “末位数不是0的数可被3整除”的逆否命题 ，其中真命题为( )
(A) ⑴ ⑵ (B)⑵ ⑶ (C)⑴ ⑶ (D)⑶ ⑷
答案：Ｃ
第17题. 命题“都是偶数，则是偶数”的逆否命题是 ．
答案：不是偶数则不都是偶数．
第18题. 已知命题；，则下列选项中正确的是（ ）
A．或 为真，且为真，非为假；
B．或 为真，且为假，非为真；
C．或 为假，且为假，非为假；
D．或 为真，且为假，非为假
答案：Ｄ
第19题. 下列句子或式子是命题的有（ ）个．
①语文和数学；②；③；④垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？⑤一个数不是合数就是质数；⑥把门关上．
Ａ．1个 Ｂ．3个 Ｃ．5个 Ｄ．2个
答案：Ａ
第20题. 命题①12是4和3的公倍数；命题②相似三角形的对应边不一定相等；命题③三角形中位线平行且等于底边长的一半；命题④等腰三角形的底角相等．上述4个命题中，是简单命题的只有（ ）．
Ａ．①，②，④ Ｂ．①，④ Ｃ．②，④ Ｄ．④
答案：Ａ
第21题. 若命题是的逆命题是，命题的否命题是，则是的（ ）
Ａ．逆命题 Ｂ．逆否命题 Ｃ．否命题 Ｄ．以上判断都不对
答案：Ｂ
第22题. 如果命题“或”与命题“非”都是真命题，那么为 命题．
答案：真
第23题. 下列命题：①“若，则，互为倒数”的逆命题；②4边相等的四边形是正方形的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“则”的逆命题，其中真命题是 ．
答案：①，②，③
第24题. 命题“若，则或”的逆否命题是 ，是 命题．
答案：若且，则，真
第25题. 已知命题，，由命题，构成的复合命题“或”是 ，是 命题；“且”是 ，是 命题；“非”是 ，是 命题．
答案：或：或，为真；
且且，为假；
非或，为假．
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第26题. 指出下列复合命题构成的形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假．
（1）；（2）；（3）1是质数或合数；（4）菱形对角线互相垂直平分．
答案：（1）这个命题是“或”形式，：，：．
真假，或为真命题．
（2）这个命题是“非”形式，，
为真，非是假命题．
（3）这个命题形式是或的形式，其中是命 数，是质数．
因为假假，所以“或”为假命题．
（4）这个命题是“且”形式，菱形对角线互相垂直；菱形对角线互相平分．
因为真真，所以“且”为真命题．
第27题. 如果，是2个简单命题，试列出下列9个命题的直值表：（1）非；（2）非；（3）或；（4）且；（5）“或”的否定；（6）“且”的否定；（7）“非或非”；（8）“非且非”；（9）“非‘非’”．
答案：
非
非
或
且
“或”的否定
“且”的否定
“非或非”
“非且非”
“非‘非’”
真
真
假
假
真
真
假
假
假
假
真
真
假
假
真
真
假
假
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假
假
假
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假[来源:21世纪教育网]
真
真
真
真
假
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第28题. 设命题为“若，则关于的方程有实数根”，试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．
答案：否命题为“若，则关于的方程没有实数根”；
逆命题为“若关于的方程有实数根，则” ；
逆否命题“若关于的方程没有实数根，则”．
由方程的判别式得，即，方程有实根．
使，方程有实数根，
原命题为真，从而逆否命题为真．
但方程有实根，必须，不能推出，故逆命题为假．
《1.3简单的逻辑联结词》测试题A卷
一．选择题： 1．如果命题“p或q”是真命题，“非p”是假命题，那么（ ） A 命题p一定是假命题 B命题q一定是假命题 C命题q一定是真命题 D命题q是真命题或者是假命题 2．在下列结论中，正确的结论为（ ） ①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件 ②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件 ③“p或q”为真是“ p”为假的必要不充分条件 ④“ p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件 A①② B①③ C②④ D③④ 3．对下列命题的否定说法错误的是（ ） A p：能被3整除的整数是奇数； p：存在一个能被3整除的整数不是奇数 B p：每一个四边形的四个顶点共圆； p：存在一个四边形的四个顶点不共圆 C p：有的三角形为正三角形； p：所有的三角形都不是正三角形 D p： x∈R，x2+2x+2≤0； p：当x2+2x+2>0时，x∈R 4．已知p: 由他们构成的新命题“p且q”，“p或q”, “ ”中，真命题有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 5．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（ ） A存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根 B不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根 C对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根 D至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根 6．若p、q是两个简单命题，且“p或q”的否定是真命题，则必有（ ） A. p真，q真 B. p假，q假 C. p真，q假 D. p假，q真 二．填空题： 7．命题“ x∈R，x2+1<0”的否定是__________________。 8．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是 ， 否命题是__________________________。 9．已知对 ，不等式 恒成立，则 的取值范围是 。 10．下列命题中，真命题是______________________。（把所有正确答案的序号都填上） ① 40能被3或5整除； ②不存在实数x,使 ; ③ 对任意实数x ，均有x+1>x; ④方程 有两个不等的实根； ⑤不等式 的解集为 . 三．解答题： 11.分别写出由下列各组命题构成的“p且q”，“p或q”，“ p”形式的复合命题，并判断它们的真假 （1）p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相平分； （2）p：方程x2-16=0的两根的符号不同；q：方程x2-16=0的两根的绝对值相等。 12．已知命题p:|x2-x|≥6,q:x∈Z，若“p且q” 与“ q”同时为假命题，求x的值。 13．已知p:{x| }; q:{x|1-m≤x≤1+m, m＞0},若 p是 q的必要不充分条件，求实数m的取值范围。 14．已知A={x|x2-2ax+(4a-3)=0},B={x|x2-2 x+a2+a+2=0},是否存在实数a使得 ？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。 《1.3简单的逻辑联结词》测试题B卷
一．选择题： 1．给出命题：p:3>1,q:4∈{2,3},则在下列三个复合命题:“p且q”“p或q”“非p”中,真命题的个数为 A.0 B.3 C.2 D.1 2．下列命题不是全称命题的是（ ） A、对任意实数a, 若b>c,则b+a>c B、对 a, b∈R, |a+1|+|b-1|>0 C、在三角形中，三个内角和大于180 D、 x∈R,使x2-5x+6=0 3．“用反证法证明命题“如果x>y，那么 > ”时，假设的内容应该是（ ） A、 ＝ B、 < C、 ＝ 且 < D、 ＝ 或 > 4．命题① ，使 ； ②对 ， ； ③对 ； ④ ，使 。其中真命题为（ ） Ａ ③ Ｂ ③④ Ｃ ②③④ Ｄ ①②③④ 二．填空题： 5．已知a、b是两个命题,如果a是b的充分条件,那么 a是 b的_______条件。 6．写出下列命题的否定:①有的平行四边形是菱形_________________；②存在质数是偶数 _______________。 7．若把命题“A B”看成一个复合命题，那么这个复合命题的形式是_______________，其中构成它的两个简单命题分别是_______________________________________________。 8．已知命题p:若实数x, y 满足x2+y2=0,则x, y 全为0；命题q:若a>b, 则1a ＜1b ，给出下列四个命题：①p且q，②p或q，③ p，④ q。其中真命题的个数为________个。 三．解答题： 9．写出命题“若 ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。 10．写出下列命题的否定，并判断其真假： （1） （2） 《1.3简单的逻辑联结词》测试题C卷 1．当命题“若p则q”为真时，下列命题中一定正确的是（ ） A、若q则p B、若 则 C、若 则 D、p且q 2．（2004年湖北高考题）设A、B为两个集合，下列四个命题： ①A B 对任意 ②A B ③A B A B ④A B 存在 其中真命题的序号是 （把符合要求的命题序号都填上）。 3．设p： ，q：x2+y2≤r2(r>0) ,若q是? p的充分不必要条件，求r的取值范围。
测试A卷解答
选择题： 1．D 命题p是真命题，命题q是真命题或者是假命题。 2．B ①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件，以及③“p或q”为真是“ p”为假的必要不充分条件是正确的。 3．D 否定说法错误的是D：p： x∈R，x2+2x+2≤0； p：当x2+2x+2>0时，x∈R。应该为：对任意x∈R，x2+2x+2>0。 4．A p正确，q错误。 5．C 否定为：对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根。 6．B “p或q”为假，则p假，q假。 二．填空题： 7． ，x2+1≥0 8．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”；否命题是“如果一个整数末位数字不是0且不是5，那么它不能被5整除”。 9. 由 。 10．真命题是①②⑤。 三．解答题： 11．解：（1）p且q：平行四边形的对角线相等且互相平分；是假命题。 p或q：平行四边形的对角线相等或互相平分；是真命题。 p：平行四边形的对角线不相等；是真命题。 （2）p且q；方程x2-16=0的两根的符号不同且方程x2-16=0的两根的绝对值相等；是真命题。 p或q：方程x2-16=0的两根的符号不同或方程x2-16=0的两根的绝对值相等；是真命题。 p：方程x2-16=0的两根的符号相同；是假命题。 12．解：p假q真，结果为 。 13．解：p: ,q:{x|1-m≤x≤1+m, m＞0}, 依题意，p是q的充分而不必要条件，画数轴可得m≥9。 14．解：存在1
测试B卷解答
选择题： 1．D p为真，q为假。 2．D x∈R,使x2-5x+6=0，不是全称命题。 3．C 假设的内容应该是 ＝ 且 < 。 4．B ③④正确，选（B）。 二．填空题： 5．必要 6．①的否定：任意平行四边形都不是菱形；②的否定：任意质数都不是偶数。 7．复合命题的形式是： 。构成它的两个简单命题是 。 8．2 分析得：p为真，q为假。 三．解答题： 9．解：原命题：若 ，为真； 逆命题：若 ，为真； 否命题：若 ，为真； 逆否命题：若 ，则 ，为真。 10．解：（1）非p：存在实数m使得 （2）非q：对任意实数x，不等式x2+x+1>0恒成立。
测试C卷解答 1．解：“若p则q”等价于若 则 ，选（C）。 2．解：④正确。 3．分析：“q是?p的充分不必要条件”等价于“p是?q的充分不必要条件”。设p、q对应的集合分别为A、B，则可由A CRB出发解题。 解：设p、q对应的集合分别为A、B，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A表示平面区域，点集CRB表示到原点距离大于r的点的集合，也即是圆x2+y2=r2外的点的集合。 ∵A CRB表示区域A内的点到原点的最近距离>r, ∴直线3x+4y-12=0上点到原点最近距离≥r , 因为原点O到直线3x+4y-12=0的距离d= , 所以d的范围为 。
人教新课标版（A）选修1-1 3.1 变化率与导数同步练习题
【基础演练】
题型一：变化率问题与导数概念
一般地，我们称为平均变化率，如果时，存在，称此极限值为函数在处的导数，记作，请根据以上知识解决以下1~5题。
1. 一质点运动的方程为，则在一段时间内相应的平均速度为
A. B. C. D. 21世纪教育网
2. 将半径为R的球加热，若球的半径增加△R，则球的体积增加△y约等于
A. B. C. D.
3. 已知函数的图象上一点（1，2）及邻近一点，则等于
A. 2 B. 2x C. 2+△x D. 2+△
4. 自变量变到时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数
A. 在区间上的平均变化率
B. 在处的变化率
C. 在处的变化量
D. 在区间上的导数
5.若函数在处的导数为A，求。
题型二：导数的物理意义
在物体的运动规律中，如果，那么物体的瞬时速度；如果，那么物体的加速度，请根据以上知识解决以下6~7题。
6. 若一物体运动方程如下：
求物体在或时的速度。
7. 质点M按规律做直线运动，则质点的加速度a=___________。
题型三：导数的几何意义
导数的几何意义：函数在处的导数，即曲线在点P（）处切线的斜率为，相应的切线方程是，请根据以上知识解决以下8~9题。
8. 下面说法正确的是
A. 若不存在，则曲线在点（，）处没有切线
B. 若曲线在点（）处有切线，则必存在
C. 若不存在，则曲线在点（）处的切线斜率不存在
D. 若曲线在点（）处没有切线，则可能存在
9. 已知曲线C：。
（1）求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程
（2）第（1）小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
【互运探究】
［学科内综合］
10. 设，在处可导是在（a，b）内可导的
A. 充分非必要条件
B. 必要而非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
11. 如图3-1-1表示物体运动的路程随时间变化的函数的图象，试根据图象，描述、比较曲线在、、附近的变化情况，并求出时的切线的方程。
［学科间综合］
12. 两工厂经过治理，污水的排放量（W）与时间（t）的关系如图所示，试指出哪一个厂治污效果较好？
［新题型］
13. 柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的，铺路工人铺路时要对沥青加热使之由固体变成粘稠液体状，如果开始加热后第x小时的沥青温度（单位：℃）为
（1）求开始加热后15分钟和30分钟时沥青温度的瞬时变化率；
（2）求开始加热后第4小时和第6小时沥青温度的瞬时变化率。
【经典名题】
14.过点（-1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为
A. B. C. D.
15.若曲线的一条切线l与直线垂直，则的方程为
A. B. C. D.
参考答案：
1. D 提示：∵，
∴。
2. B 提示：∵，
∴
，
∵R是一个很小的量，
∴和（△R）非常小，
∴。
3. C 4. A
5. 解：∵，
∴（令替换），
∴
（当时，）
。
6. 解：当时，，
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，
∴。
当时，，21世纪教育网
，
∴。
∴物体在和时的瞬时速度分别是6和0。
7. 4 提示：。
∴。
8. C
9. 解：（1）将代入曲线C的方程，得，
∴切点的坐标为（1，1）。
∵
，
∴，
∴过点（1，1）的切线的方程为
，
即。
（2）由，得
整理得，
解得或。
从而获得切线与曲线的公共点为（1，1）和（-2，-8）。
说明切线与曲线C的公共点除去切点外，还有一个公共点（-2，-8）
提示：本例回答了一个问题：直线与曲线相切是否一定只有一个公共点。
10. B
11. 解：用曲线在、、处的切线刻画曲线在、、附近的变化情况。
（1）当时，曲线在处的切线平行于x轴，所以在附近曲线比较平坦，几乎没有升降。
（2）当时，曲线在处的切线的斜率，所以在附近曲线下降，即函数在附近单调递减。
（3）当时，曲线在处的切线的斜率，所以在附近曲线下降，即函数在附近也单调递减。由图象可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，说明曲线在附近比在附近下降得缓慢。
（4）当时，。
在是的切线的斜率
。
所以切线的方程为。
即。
提示：导数的几何意义是曲线的切线斜率，反过来，在曲线上取定一点作曲线的切线时，能根据切线判定斜率的符号即导数的符号，进而根据符号确定在该点附近曲线的升降情况（或函数的增减情况），同时可以根据几点处的切线倾斜程度的大小，判断曲线升降的快慢程度。
12. 解：在处，虽然，但，所以说，在单位时间里，企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲比企业乙略好一些。
13. 解：（1）∵时，
，
15分钟=0.25小时，
30分钟=0.5小时，
∴沥青温度在15分钟和30分钟时的瞬时变化率就是函数在处和处的导数和，
∵
，
∴，
∵同理可得
。
（2）当时，
，
当时，[来源:21世纪教育网]
，
∴，同理当时，，
∴。
提示：函数在某一点处的瞬时变化率就是在处的导数，物体在某一时刻处的瞬时的速度就是相应运动方程在处的导数。
14. C
15. A
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3.4生活中的优化问题测试
1．一点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的距离为，那么速度为零的时刻是 （ ）
A．1秒末 B．0秒 C．4秒末 D．0,1,4秒末
2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06－0.15 和L2=2，其中为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 （ ）
A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51
3.路灯距地平面为8 m,一个身高为1.6 m的人以84 m/min
的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直
线离开路灯，则人影长度的变化速率为（ ）
A． B． C． D．21
4.两车在十字路口相遇后，又沿不同方向继续前进，已知A车
向北行驶，速率为30 km/h,B车向东行驶，速率为40 km/h,那么A、B两车间直线距离的增加速率为 ．
A. B.60 km/h C.80 km/h D.65 km/h
5．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大者的边长为 ．
6．用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),当该容器的高为 cm时,容器的容积最大，最大容积是
7．当室内的有毒细菌开始增加时,就要使用杀菌剂.刚开始使用的时候,细菌数量还会继续增加,随着时间的增加,它增加幅度逐渐变小,到一定时间,细菌数量开始减少.如果使用杀菌剂t小时后的细菌数量为b(t)=105+104t-103t2.
(1)求细菌在t=5与t=10时的瞬时速度；(2)细菌在哪段时间增加,在哪段时间减少?为什么?
8．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：,且生产x吨的成本为（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）
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9．一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？
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10．甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3元和5元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
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利用导数解决生活中的优化问题60分钟测试答案
1．D． 2.B. 3.B. 4. 50 km/h．5.和． 6．10，1960．
7．解 (1)b′(t)=-2 000t+10 000,
b′(t)|t=5=-2 000×5+10 000=0, b′(t)|t=10=-2 000×10+10 000=-10 000,
即细菌在t=5与t=10时的瞬时速度分别为0和-10 000.
(2)由-2 000t+10 000>0,得t<5,由-2 000t+10 000<0,得t>5,
即细菌在t∈(0,5)时间段数量增加,在t∈(5,+∞)时间段数量减少.
8．解：每月生产吨时的利润为
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由解得：或（舍去）．因为在内只有一个点使得，故它就是最大值点，且最大值为：
，故它就是最大值点，且最大值为：（元）
答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.
9．解：设每次进书x千册，手续费与库存费之和为y元，
由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即，故有
15
y
极小值
30＋40，，令y′＝0，得x ＝15，列表如右：
所以当x ＝15时，y取得极小值，且极小值唯一，
故当x ＝15时，y取得最小值，此时进货次数为（次）．
即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．
10．解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km, 则 ∵BD=40,AC=50－,∴BC=
又设总的水管费用为y元，依题意有：=3(50－x)+5
y′=－3+,令y′=0,解得=30
在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，
函数在=30(km)处取得最小值，此时AC=50－=20(km)
∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.
解法二：设∠BCD=,则BC=,CD=,
设总的水管费用为f(θ),依题意，有
(θ)=3(50－40·cotθ)+5=150+40·
∴(θ)=40
令(θ)=0,得cosθ=
根据问题的实际意义，当cosθ=时，函数取得最小值，此时sinθ=,∴cotθ=,
∴AC=50－40cotθ=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.
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1.2 充分条件与必要条件 同步测试
第1题. 设原命题“若则”真而逆命题假，则是的（ ）
Ａ．充分不必要条件
Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充要条件
Ｄ．既不充分又不必要条件
答案：Ａ
第2题. 设，则的一个必要不充分条件是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ
第3题. 如果是的必要不充分条件，是的充分必要条件，是的充分不必要条件，那么是的（ ）
Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
答案：Ａ
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第4题. 设集合，，那么“或”是“”的（ ）
Ａ．充分条件但非必要条件 Ｂ．必要条件但非充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．非充分条件，也非必要条件
答案：Ｂ
第5题. 是的___________条件．
答案：必要不充分
第6题. 从“”“”与 “”中选出适当的符号填空（为全集，为的子集）：
（1）___________． （2）___________．
答案：
第7题. 若是的充分不必要条件，则是的（ ）
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
答案：Ｂ
第8题. 设，，那么是的（ ）
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
答案：Ａ
第9题. 条件甲：的两根，，，条件乙：且，则甲是乙的（ ）
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
答案：Ｃ
第10题. 从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：
（1）“有实根”是“”的_____________； （2）“”是“”的_____________．
答案：（1）必要条件 （2）充分条件
第11题. 已知是的充分条件，是的充要条件，是的充分条件，是是必要条件，则是的_____________条件．
答案：必要
第12题. 用多种方法判断“”是“”的什么条件．
答案：必要不充分条件
第13题. 设全集为，在下列条件中，哪些是的充要条件？
（1）； （2）； （3）．
答案：三者都是
第14题. 是否存在实数，使“”是“”的充分条件？如果存在，求出的取值范围．是否存在实数，使“”是“”的必要条件．如果存在，求出的取值范围．
答案：时，“”是“”的充分条件；不存在实数，使“”是“”的必要条件．
第15题. 已知，，若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围．
答案：解：由得．
所以“”：．
由得，所以
“”：．
由是的必要而不充分条件知
故的取值范围为．
第16题. 命题“”的一个必要不充分条件是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
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第17题. 设是非空集合，则是的_________条件．
答案：必要不充分
第18题. 已知，，试判断是的什么条件？
答案：充分不必要条件
第19题. 设，，，，，均为非零实数，不等式和的解集分别为和，那么“”是“”的（ ）
Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．既非充分也非必要条件
答案：Ｄ
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第20题. 已知条件：“”；条件：“，，”，则是的（ ）
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
答案：Ｂ
第21题. 从“充分而不必要条件”，“必要而不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空：
（1）是的 ；
（2）是的 ；
（3）是的 ；
（4）是的 ；
（5）“”是“”的 ；
（6）“”是“”的 ；
（7）“”是“”的 ；
（8）“四边形的对角线互相垂直平分”是“四边形为矩形”的 ；
（9）“四边形内接于圆”是“四边形对角互补”的 ；
（10）设，的半径为，，则“”是“两圆外切”的 ．
答案：（1）充分不必要条件 （2）必要不充分条件 （3）充分不必要条件
（4）必要不充分条件 （5）充分不必要条件 （6）充分不必要条件
（7）必要而不充分条件 （8）既不充分也不必要条件 （9）充要条件
（10）充要条件．
第22题. 设，，
，求使的充要条件．
答案：．
第23题. 求关于的一元二次不等式，对一切都成立的充要条件是什么？
答案：．
第24题. 求方程至少有一个负根的充要条件．
答案：．
第25题. 求三个实数不全为零的充要条件．
答案：中至少有一个不是零．
第26题. 设集合，，写出的一个充分不必要条件．
答案：，，中之一即可．
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第27题. 三个数不全为零的充要条件是（ ）
Ａ．都不是零 Ｂ．中至多一个是零
Ｃ．中只有一个为零 Ｄ．中至少一个不是零
答案：Ｄ
第28题. 设：“中至少有一个等于”“”；：“”“”，那么，的真假是（ ）
Ａ．真真 Ｂ．真假 Ｃ．假真 Ｄ．假假
答案：Ｂ
第29题. 已知为非零实数，为某一实数，有命题：，：，则是的（ ）
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件21世纪教育网
答案：Ｂ
第30题. “且”是“且”的充要条件吗？若是，请说明理由；若不是，请给出“且”的充要条件．
答案：不是充要条件；．
1.2 充分条件与必要条件测试练习
第1题. 设原命题“若则”真而逆命题假，则是的（ ）
Ａ．充分不必要条件
Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充要条件
Ｄ．既不充分又不必要条件
答案：Ａ
第2题. 设，则的一个必要不充分条件是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ
第3题. 如果是的必要不充分条件，是的充分必要条件，是的充分不必要条件，那么是的（ ）21世纪教育网
Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
答案：Ａ
第4题. 设集合，，那么“或”是“”的（ ）
Ａ．充分条件但非必要条件 Ｂ．必要条件但非充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．非充分条件，也非必要条件
答案：Ｂ
第5题. 是的___________条件．
答案：必要不充分
第6题. 从“”“”与 “”中选出适当的符号填空（为全集，为的子集）：
（1）___________． （2）___________．
答案：
第7题. 若是的充分不必要条件，则是的（ ）
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
答案：Ｂ
第8题. 设，，那么是的（ ）
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
答案：Ａ
第9题. 条件甲：的两根，，，条件乙：且，则甲是乙的（ ）
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
答案：Ｃ
第10题. 从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：
（1）“有实根”是“”的_____________； （2）“”是“”的_____________．
答案：（1）必要条件 （2）充分条件
第11题. 已知是的充分条件，是的充要条件，是的充分条件，是是必要条件，则是的_____________条件．
答案：必要
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第12题. 用多种方法判断“”是“”的什么条件．
答案：必要不充分条件
第13题. 设全集为，在下列条件中，哪些是的充要条件？
（1）； （2）； （3）．
答案：三者都是
第14题. 是否存在实数，使“”是“”的充分条件？如果存在，求出的取值范围．是否存在实数，使“”是“”的必要条件．如果存在，求出的取值范围．
答案：时，“”是“”的充分条件；不存在实数，使“”是“”的必要条件．
第15题. 已知，，若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围．
答案：解：由得．
所以“”：．21世纪教育网
由得，所以
“”：．
由是的必要而不充分条件知
故的取值范围为．
第16题. 命题“”的一个必要不充分条件是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
第17题. 设是非空集合，则是的_________条件．
答案：必要不充分
第18题. 已知，，试判断是的什么条件？
答案：充分不必要条件
第19题. 设，，，，，均为非零实数，不等式和的解集分别为和，那么“”是“”的（ ）
Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．既非充分也非必要条件
答案：Ｄ[来源:21世纪教育网]
第20题. 已知条件：“”；条件：“，，”，则是的（ ）
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
答案：Ｂ
第21题. 从“充分而不必要条件”，“必要而不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空：
（1）是的 ；
（2）是的 ；
（3）是的 ；
（4）是的 ；
（5）“”是“”的 ；
（6）“”是“”的 ；
（7）“”是“”的 ；
（8）“四边形的对角线互相垂直平分”是“四边形为矩形”的 ；
（9）“四边形内接于圆”是“四边形对角互补”的 ；
（10）设，的半径为，，则“”是“两圆外切”的 ．
答案：（1）充分不必要条件 （2）必要不充分条件 （3）充分不必要条件
（4）必要不充分条件 （5）充分不必要条件 （6）充分不必要条件
（7）必要而不充分条件 （8）既不充分也不必要条件 （9）充要条件
（10）充要条件．
第22题. 设，，
，求使的充要条件．
答案：．
第23题. 求关于的一元二次不等式，对一切都成立的充要条件是什么？
答案：．
第24题. 求方程至少有一个负根的充要条件．
答案：．
第25题. 求三个实数不全为零的充要条件．
答案：中至少有一个不是零．
第26题. 设集合，，写出的一个充分不必要条件．
答案：，，中之一即可．21世纪教育网
第27题. 三个数不全为零的充要条件是（ ）
Ａ．都不是零 Ｂ．中至多一个是零
Ｃ．中只有一个为零 Ｄ．中至少一个不是零
答案：Ｄ
第28题. 设：“中至少有一个等于”“”；：“”“”，那么，的真假是（ ）
Ａ．真真 Ｂ．真假 Ｃ．假真 Ｄ．假假
答案：Ｂ
第29题. 已知为非零实数，为某一实数，有命题：，：，则是的（ ）
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
答案：Ｂ
第30题. “且”是“且”的充要条件吗？若是，请说明理由；若不是，请给出“且”的充要条件．
答案：不是充要条件；．
高中新课标数学选修（1-1）1.3～1.4测试题
一、选择题
1．若命题是奇数，命题是偶数，则下列说法正确的是（ ）21世纪教育网
Ａ．为真 Ｂ．为真
Ｃ．为真 Ｄ．为假
答案：Ａ21世纪教育网
2．在下列各结论中，正确的是（ ）
①“”为真是“”为真的充分条件但不是必要条件；
②“”为假是“”为假的充分条件但不是必要条件；
③“”为真是“”为假的必要条件但不充分条件；
④“”为真是“”为假的必要条件但不是充分条件．
Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②④ Ｄ．③④
答案：Ｂ
3．由下列命题构成的“”，“”均为真命题的是（ ）
Ａ．菱形是正方形，正方形是菱形
Ｂ．是偶数，不是质数
Ｃ．是质数，是12的约数
Ｄ．，
答案：Ｄ
4．命题若，则是的充分条件但不是必要条件，命题函数的定义域是，则下列命题（ ）
Ａ．假 Ｂ．真 Ｃ．真，假 Ｄ．假，真
答案：Ｄ
5．若命题，是真命题，则实数的取值范围是（ ）21世纪教育网
Ａ．或 Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
6．若，对，是真命题，则的最大取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
二、填空题
7．命题“全等三角形一定相似”的否命题是 ，命题的否定是 ．
答案：两个三角形或不全等，则不一定相似；两个全等三角形不一定相似
8．下列三个特称命题：（1）有一个实数，使成立；（2）存在一个平面与不平行的两条直线都垂直；（3）有些函数既是奇函数又是偶函数．其中真命题的个数为21世纪教育网
．
答案：2
9．命题是真命题是命题是真命题的 （填“充分”、“必要”或“充要”）条件．
答案：充分
10．命题，是 （填“全称命题”或“特称命题”），它是 命题（填“真”或“假”），它的否定命题 ，它是 命题（填“真”或“假”）．
答案：特称命题；假；，；真
11．若，是真命题，则实数的取值范围是 ．
答案：21世纪教育网
12．若，是单调减函数，则的取值范围是 ．
答案：
三、解答题
13．已知命题有两个不相等的负根，命题无实根，若为真，为假，求的取值范围．
解：有两个不相等的负根．
无实根．
由为真，即或得；
为假，
或为真，为真时，，为真时，或．
或为真时，或．
所求取值范围为．
14．若，函数的图象和轴恒有公共点，求实数的取值范围．
解：（1）当时，与轴恒相交；
（2）当时，二次函数的图象和轴恒有公共点的充要条件是恒成立，即恒成立，
又是一个关于的二次不等式，恒成立的充要条件是，解得．
综上，当时，；当，．
15．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“我获奖了”，乙说：“甲未获奖，乙也未获奖”，丙说：“是甲或乙获匀”，丁说：“是乙获奖”，四位歌手的话中有两句是对的，请问哪位歌手获奖．
甲获奖或乙获奖．
解：①乙说的与甲、丙、丁说的相矛盾，故乙的话是错误的；
②若两句正确的话是甲说的和丙说的，则应是甲获奖，正好对应于丁说的错，故此种情况为甲获奖；
③若两句正确的话是甲说的和丁说的，两句话矛盾；
④若两句正确的话是丙说的和丁说的，则为乙获奖，对应甲说的错，故此种情况乙获奖．
由以上分析知可能是甲获奖或乙获奖．
第一章
第四节 基础训练题
一、选择题（每小题５分，共20分）
１．下列说法中，正确的个数是（ ）
①存在一个实数，使；
②所有的质数都是奇数；
③斜率相等的两条直线都平行；
④至少存在一个正整数，能被５和７整除。
Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４
２．下列命题中，是正确的全称命题的是（ ）
Ａ．对任意的，都有；
Ｂ．菱形的两条对角线相等；
Ｃ．；
Ｄ．对数函数在定义域上是单调函数。
３．下列命题的否定不正确的是（ ）
Ａ．存在偶数是７的倍数；
Ｂ．在平面内存在一个三角形的内角和大于；
Ｃ．所有一元二次方程在区间［－1，1］内都有近似解；
Ｄ．存在两个向量的和的模小于这两个向量的模。
4．命题；命题，下列结论正确地为（ ）
Ａ．为真 Ｂ．为真 Ｃ．为假 Ｄ． 为真
二、填空题（每小题4分，共16分）
5．写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定 。
6．全称命题的否定是 。
7．命题“存在实数，使得”，用符号表示为 ；此命题的否定是 （用符号表示），是 命题（添“真”或“假”）。
8．给出下列4个命题：
①；
②矩形都不是梯形；
③；
④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1。其中全称命题是 。
三、解答题：（26分）
9．（10分）已知二次函数，若在区间[0，1]内至少存在一个实数，使，则实数的取值范围是 。
10．（16分）判断下列命题的真假，并说明理由：
（1），都有；
（2），使；
（3），都有；
（4），使。
四、一题多解题：（10分）
11．写出命题“所有等比数列的前项和是（是公比）”的否定，并判断原命题否定的真假。
五、学科综合题：（16分）
12．写出下列各命题的否命题和命题的否定：
（1），若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则是等比数列。
六、推理论述题：（12分）
13．设Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ四人分比获得１——４等奖，已知：21世纪教育网
（１）若Ｐ得一等奖，则Ｑ得四等奖；
（２）若Ｑ得三等奖，则Ｐ得四等奖；
（３）Ｐ所得奖的等级高于Ｒ；
（４）若Ｓ未得一等奖，则Ｐ得二等奖；
（５）若Ｑ得二等奖，则Ｒ不是四等奖；[来源:21世纪教育网]
（６）若Ｑ得一等奖，则Ｒ得二等奖。
问Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ分别获得几等奖？21世纪教育网
第一章 第四节 基础训练题答案
一、选择题
１．Ｃ 点拨：①方程无实根；②２时质数，但不是奇数；③④正确。
２．Ｄ 点拨：Ａ中含有全称量词“任意”，因为
；是假命题，Ｂ，Ｄ在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”，菱形的对角线不相等；Ｃ是特称命题。
3．A 点拨：写出原命题的否定，注意对所含量词的否定。
4．A 点拨：原命题中都含有全称量词，即对所有的实数都有……。由此可以看出命题为假，命题为真，所以为真，为假。
二、填空题
5．有些函数没有奇偶性。点拨：命题的量词是“每个”，对此否定是“有些、有德、存在一个、至少有一个”的等，再否定结论。
6． 点拨：课本知识点的考查，注意用数学符号表示。
7．，；，，假。 点拨：注意练习符号 等。原命题为真，所以它的否定是假。也可以有线性规划的知识判断。
8．①②④21世纪教育网
点拨：注意命题中有和没有的全称量词。
三、解答题
9． 点拨：考虑原命题的否定：在区间[0，1]内的所有的实数，使，所以有，即，所以或，其补集为
10．（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题；（4）真命题 点拨：（1）因为，所以恒成立；（2）例如，符合题意；（3）例如，
；（4）例如，符合题意。
四、一题多解题
11．“有些等比数列的前项和不是（是公比）”。是真命题。
解法一：当等比数列的公比时，等比数列的前项和公式是，这个公式是有条件的，而不是对于所有的等比数列都适用。所以原命题为假，它的否定为真命题。21世纪教育网
解法二、寻找出一个等比数列其前项和不是，观察分母，时无意义，例如数列，，而不能用公式
点拨：命题真假的判断有两种；一种是判断原命题是否正确，另一种是判断原命题的否定是否正确，可以用证明的方法，也可以寻找反例。
五、学科综合题
12．解：（1）否命题：，若，则；命题的否定：，若，则
（2）否命题：若，则；命题的否定：若，则；
（3）否命题：若，则；命题的否定：，若，则；
（4）否命题：若，则不是等比数列。命题的否定：，若，则不是等比数列。
点拨：注意区别命题的否定和否命题。进一步可以判断所写的否命题和命题否定的真假。
六、推理论述题
13．分析：本题有6个命题，推理的前提是命题的真假之间不能产生矛盾。假设任何一个命题为真都可以推出结论。
解：S，P，R，Q分别获得一等奖，二等奖，三等奖，四等奖。
点拨：用到的知识点是单称命题之间（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）的真假关系。
由命题（3）知，得一等奖的只有P，Q，S之一（即R不可能是一等奖）；若P得一等奖，则S未得一等奖，与命题（4）矛盾；若Q得一等奖，由（6）知，R得二等奖，P只能得三等奖或四等奖，与命题（3）矛盾；所以只有S得一等奖，若P是二等奖，由（2）Q不得三等奖只能是四等奖，所以R是三等奖；若P是三等奖，则R是四等奖，Q得三等奖与（2）矛盾。
一等奖
二等奖
三等奖
四等奖
S
P
R
Q
本题用如下列表的方式最容易判断了：
《椭圆的几何性质》测试题
班级 ________ 姓名 ___________
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
设定点，，动点满足条件＞，
则动点的轨迹是 （ ）
A. 椭圆 B. 线段 C. 椭圆或线段或不存在 D. 不存在
2. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为
A. 或 B. （ ）
C. 或 D. 或
过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于、两点，则、
与椭圆的另一焦点构成，那么的周长是
A. B. 2 C. D. 1 （ ）
若椭圆的短轴为，它的一个焦点为，则满足为等边三角形的椭
圆的离心率是 A. B. C. D. （ ）
若椭圆上有一点，它到左准线的距离为，那么点到右焦
点的距离与到左焦点的距离之比是 （ ）
A. 4∶1 B. 9∶1 C. 12∶1 D. 5∶1
6. ，方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取
值范围是 A. B. C. D. （ ）
7. 参数方程 （为参数）表示的曲线是 （ ）
A. 以为焦点的椭圆 B. 以为焦点的椭圆
C. 离心率为的椭圆 D. 离心率为的椭圆
8. 已知＜4，则曲线和有 （ ）
A. 相同的准线 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴
9. 点在椭圆的内部，则的取值范围是 （ ）
A. ＜＜ B. ＜或＞
C. ＜＜ D. ＜＜
10. 若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，
则的面积是 A. 2 B. 1 C. D. （ ）
11. 椭圆的一个焦点为，点在椭圆上。如果线段的中点
在轴上，那么点的纵坐标是 （ ）
A. B. C. D.
12. 椭圆内有两点，，为椭圆上一点，若使
最小，则最小值为 A. B. C. 4 D. （ ）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13. 已知椭圆的离心率为，则此椭圆的长轴长为 。
14. 是椭圆上的点，则到直线：的距离的最小
值为 。
15. 若点是椭圆上的点，则它到左焦点的距离为 。
16. 直线与椭圆相交于不同的两点、，若的中
点横坐标为2，则直线的斜率等于 。21世纪教育网
三、解答题：本大题共6小题，满分74分。
17. （12分）已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程。
18. （12分）已知点和圆：，点在圆上运动，点在半径上，且，求动点的轨迹方程。21世纪教育网
19. （12分）已知、是椭圆的两个焦点，在椭圆
上，，且当时，面积最大，求椭圆的方程。
[来源:21世纪教育网]
20. （12分）点位于椭圆内，过点的直线与椭圆交于两点、
，且点为线段的中点，求直线的方程及的值。
21. （12分）已知椭圆，能否在轴左侧的椭圆上找到一点，使
点到左准线的距离为点到两焦点的距离的等比中项？若存在，求
出它的坐标，若不存在，请说明理由。
[来源:21世纪教育网]
22. （14分）椭圆＞＞与直线交于、两点，且
，其中为坐标原点。
（1）求的值；
（2）若椭圆的离心率满足≤≤，求椭圆长轴的取值范围。
参考答案
选择题：21世纪教育网
CCADA DABAB CD
填空题
13． 4 或 4 14. 15. 16.
解答题
17. 或
18. 利用定义法 ∴
19. = 3|y P|≤ 3b ∴
20. 点差法或联立方程组法
AB：x + 2y －3 = 0 | AB | =
21. 设 M ( x o , y o ) ( －2≤ xo＜0 )
利用 这与－2≤ xo＜0 不合
∴ 不存在点M满足题意
22. (1) 利用联立方程组法 注：OP ⊥ OQ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0
∴
(2) 长轴 2a ∈ []
练习：椭圆内有两点，，为椭圆上一点，若使
最小，求此最小值。
B为右焦点，F为左焦点，则 |PA| + |PB| = |PA| + 2a－|PF| = 10 + |PA|－|PF|
≥ 10－| AF | = 10 －
椭圆 同步测试
选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的.）
1．椭圆的焦距是 （ ）
A．2 B． C． D．
2．F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是 （ ）21世纪教育网
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆
3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是 （ ）
A． B． C． D．
4．方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是 （ ）
A． B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）
5. 过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于、两点，则、与椭圆的另一焦点构成，那么的周长是（ ）
A. B. 2 C. D. 1
6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
7. 已知＜4，则曲线和有（ ）
A. 相同的准线 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴
8．已知是椭圆上的一点，若到椭圆右准线的距离是，则点到左焦点的距离是 （ ）
A． B． C． D．
9．若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
10．椭圆内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为 （ ）
A． B．
C． D．
11．椭圆上的点到直线的最大距离是 （ ）
A．3 B． C． D．
12．在椭圆内有一点P（1，－1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是 （ ）21世纪教育网
A． B． C．3 D．4
填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.）
13．椭圆的离心率为，则 。
14．设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则的最大值为 ；最小值为 。
15．直线y=x－被椭圆x2+4y2=4截得的弦长为 。
16．已知圆为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为 。
三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知三角形的两顶点为，它的周长为,求顶点轨迹方程．
18、椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
19、中心在原点，一焦点为F1（0，5）的椭圆被直线y=3x－2截得的弦的中点横坐标是，求此椭圆的方程。
20、设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0，）到椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程。
21、椭圆 上不同三点 与焦点
F（4，0）的距离成等差数列．
（1）求证 ；
（2）若线段 的垂直平分线与 轴的交点为 ，求直线 的斜率 ．
22、椭圆＞＞与直线交于、两点，且，其中为坐标原点.
（1）求的值；
（2）若椭圆的离心率满足≤≤，求椭圆长轴的取值范围.
21世纪教育网
椭圆 参考答案
选择题：
ACDD ADBD BBDC
填空题
13、3或 14、 4 ， 1 15、 16、
解答题
17、
18、解：（1）当 为长轴端点时， ， ，
椭圆的标准方程为： ；
（2）当 为短轴端点时， ， ，
椭圆的标准方程为： ；
19、设椭圆：（a＞b＞0），则a2＋b2=50…①
又设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点（x0，y0）
∵x0=，∴y0=－2=－
由…②
解①，②得：a2=75，b2=25，椭圆为：=1
20、 ∵e2==
∴椭圆方程可设为：
设A（x，y）是椭圆上任一点，则：│PA│2=x2+（y－）2=－3y2－3y+4b2+
f（y）（－b≤y≤b）
讨论：1°、－b＞－0＜b＜时，│PA│= f（－b）=（b＋）2
=
但b＞，矛盾。不合条件。
2°、－b≤－ b≥时，│PA│= f（－）=4b2+3=7 b2=1
∴所求椭圆为：
21、证明：（1）由椭圆方程知 ， ， ．
由圆锥曲线的统一定义知： ，
∴?? ．
同理?? ．
∵?? ，且 ，
?? ∴? ，
即?? ．21世纪教育网
（2）因为线段 的中点为 ，所以它的垂直平分线方程为
又∵点 在 轴上，设其坐标为 ，代入上式，得
又∵点 ， 都在椭圆上，
∴? 21世纪教育网
∴? ．
将此式代入①，并利用 的结论得
22、[解析]：设，由OP ⊥ OQ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0
又将
，
代入①化简得 .
(2) 又由（1）知
，∴长轴 2a ∈ [].
双曲线几何性质测试
班级____________姓名______________
1．动点与点与点满足，则点的轨迹方程为______________
2．如果双曲线的渐近线方程为，则离心率为____________
3．过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率的取值范围为_____________
4．已知双曲线的离心率为，则的范围为____________________
5．已知椭圆和双曲线有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为_____
6．已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上且，且的面积为1，则双曲线的方程为__________________
7．若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其离心率为 ．21世纪教育网
8．双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ．
9．设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则的值为 ．
10．若双曲线的两个焦点分别为，且经过点，则双曲线的标准方程为 ．
11．若椭圆和双曲线有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，则的值为 ．
12．是双曲线左支上的一点，为其左、右焦点，且焦距为，则的内切圆圆心的横坐标为 ．
13.过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线-=1的通径的长是_______________
14.双曲线16x2-9y2=144上一点P(x0,y0)(x0＜0)到左焦点距离为4，则x0= .
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上一点，若且，求双曲线的方程．
21世纪教育网
16．如图，某农场在处有一堆肥料沿道路或送到大田中去，已知，，且，，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧沿送肥料较近？若能，请建立适当坐标系求出这条界线方程．
21世纪教育网
17.试求以椭圆+=1的右焦点为圆心，且与双曲线-=1的渐近线相切的圆方程.
1. 2. 或 3. 4.
5. 6. 7. 8. 9. 7 10.
11. 12. 13. 14.
15。解? 设|PF1|=r1，|PF2|=r2，半焦距为c．由题设知，双曲线实半轴长a=2，且c2=4+b2，于是|r1-r2|=4，但r2＜4，故r1＞r2．所以
因为|PF1|·|PF2|=|F1F2|2，故
因为0＜r2＜4，则0＜(4+r2)r2＜32，所以
又b∈N，所以b=1．
16．解题思路：大田ABCD中的点分成三类：第一类沿MA送肥较近，第二类沿PB送肥较近，第三类沿PA和PB送肥一 样远近，第三类构成第一类、第二类点的界线，即我们所要求的轨迹，设以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，设P为界线所在曲线上的 一点，则满足｜PA｜+｜AM｜=｜PB｜+｜BM｜,于是｜PA｜-｜PB｜=｜MB｜-｜MA｜=2.可知M点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线一支 其方程可求得为在矩形中的一段.
17. 解：由椭圆+=1的右焦点为(5，0)，∴圆心为(5，0)，又圆与双曲线-=1的渐近线相切，即圆心到直线y=±x的距离为圆的半径.∴r==4 于是圆的方程为(x-5)2+y2=16.
[来源:21世纪教育网]
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双曲线及其标准方程练习
一、选择题（每小题四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知点和，曲线上的动点P到、的距离之差为6，则曲线方程为（ ）
A．
B．
C．或
D．
2．“ab<0”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3．动圆与两圆和都相切，则动圆圆心的轨迹为（ ）
A．抛物线[来源:21世纪教育网]
B．圆
C．双曲线的一支
D．椭圆
4．P为双曲线上的一点，F为一个焦点，以PF为直径的圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切
B．内切或外切
C．外切
D．相离或相交
5．双曲线的左焦点为F，点P为左支的下半支上任一点（非顶点），则直线PF的斜率的范围是（ ）
A．（-∞，0]∪[1，+∞）
B．（-∞，0）∪（1，+∞）
C．（-∞，-1）∪[1，+∞）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）
6．若椭圆和双曲线有相同的焦点、，P是两曲线的一个公共点，则的值是（ ）
A．m-a B．
C． D．
[来源:21世纪教育网]
二、填空题
7．双曲线的一个焦点是，则m的值是_________。
8．过双曲线的焦点且垂直于x轴的弦的长度为_______。
三、解答题
9．已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是，求它的另一个焦点的轨迹方程。
10．已知直线y=ax+1与双曲线相交于A、B两点，是否存在这样的实数a，使得A、B关于直线y=2x对称？如果存在，求出a的值，如果不存在，说明理由。
11．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东相距6km，C在B的北偏西30°相距4km，P为敌炮兵阵地，某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，4秒种后，B、C才同时发现这一信号，该信号的传播速度为每秒1km，A若炮击P地，求炮击的方位角。
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21世纪教育网
答案与提示
一、1．D
2．A
3．C
4．B
5．B
6．A
二、7．-221世纪教育网
8．
三、9．提示：易知
由双曲线定义知
即
① 即
此时点的轨迹为线段AB的中垂线，其方程为x=1(y≠0)
② 即
此时点的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为10的椭圆，其方程为 （y≠0）
10．不存在
11．提示：以AB的中点为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A（3，0），B（-3，0），，依题意|PB|-|PA|=4
∴ P点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，其中c=3，2a=4，则，方程为
又|PB|=|PC| ∴P在线段BC的垂直平分线上
联立解得 ∴
又 ∴α=60°
∴P点在A点东偏北60°处，即A炮击P地时，炮击的方位角为北偏东30°
习题精选
一、选择题
1．过抛物线焦点 的直线与抛物线相交于 ， 两点，若 ， 在抛物线准线上的射影分别是 ， ，则 为（ ）．21世纪教育网
A．45° B．60° C．90° D．120°
2．过已知点 且与抛物线 只有一个公共点的直线有（ ）．
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．已知 ， 是抛物线 上两点， 为坐标原点，若 ，且 的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线 的方程是（ ）．
A． B． C． D．
4．若抛物线 （ ）的弦PQ中点为 （ ），则弦 的斜率为（）
A． B． C． D．
5．已知 是抛物线 的焦点弦，其坐标 ， 满足 ，则直线 的斜率是（）
A． B． C． D． 21世纪教育网
6．已知抛物线 （ ）的焦点弦 的两端点坐标分别为 ， ，则 的值一定等于（ ）
A．4 B．－4 C． D．
7．已知⊙ 的圆心在抛物线 上，且⊙ 与 轴及 的准线相切，则⊙ 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．当 时，关于 的方程 的实根的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．将直线 左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线 仅有一个公共点，则实数 的值等于（ ）
A．－1????? B．1??????? C．7??????? D．9
10．以抛物线 （ ）的焦半径 为直径的圆与 轴位置关系为（ ）
A．相交???? B．相离???? C．相切???? D．不确定
11．过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 ， 两点，如果 ，那么 长是（ ）
A．10?????? B．8??????? C．6??????? D．4
12．过抛物线 （ ）的焦点且垂直于 轴的弦为 ， 为抛物线顶点，则 大小（ ）
A．小于 B．等于 C．大于 D．不能确定
13．抛物线 关于直线 对称的曲线的顶点坐标是（ ）
A．（0，0） B．（－2，－2） C．（2，2） D．（2，0）
14．已知抛物线 （ ）上有一点 ，它到焦点 的距离为5，则 的面积（ 为原点）为（ ）
A．1 B． C．2 D．
15．记定点 与抛物线 上的点 之间的距离为 ， 到此抛物线准线 的距离为 ，则当 取最小值时 点的坐标为（ ）
A．（0，0） B． C．（2，2） D．
16．方程 表示（ ）21世纪教育网
A．椭圆???? B．双曲线?????? C．抛物线?????? D．圆
17．在 上有一点 ，它到 的距离与它到焦点的距离之和最小，则 的坐标为（）
A．（－2，8） B．（2，8） C．（－2，－8） D．（－2，8）
18．设 为 过焦点的弦，则以 为直径的圆与准线交点的个数为（）
A．0??????? B．1??????? C．2??????? D．0或1或2
19．设 ， 为抛物线 上两点，则 是 过焦点的（）
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．不充分不必要
20．抛物线垂点为（1，1），准线为 ，则顶点为（）
A． B． C． D．
21．与 关于 对称的抛物线是（）
A． B． C． D．
二、填空题
1.顶点在原点，焦点在 轴上且通径（过焦点和对称轴垂直的弦）长为6的抛物线方程是_________．
2.抛物线顶点在原点，焦点在 轴上，其通径的两端点与顶点连成的三角形面积为4，则此抛物线方程为_________．
3．过点（0，－4）且与直线 相切的圆的圆心的轨迹方程是_________．
4．抛物线 被点 所平分的弦的直线方程为_________．
5．已知抛物线 的弦 过定点（－2，0），则弦 中点的轨迹方程是________．
6．顶点在原点、焦点在 轴上、截直线 所得弦长为 的抛物线方程为____________．
7．已知直线 与抛物线 交于 、 两点，那么线段 的中点坐标是__?????????? _．
8．一条直线 经过抛物线 （ ）的焦点 与抛物线交于 、 两点，过 、 点分别向准线引垂线 、 ，垂足为 、 ，如果 ， ， 为 的中点，则 =__________．
9． 是抛物线的一条焦点弦，若抛物线 ， ，则 的中点 到直线 的距离为_________．
10．抛物线 上到直线 的距离最近的点的坐标是____________．
11．抛物线 上到直线 距离最短的点的坐标为__________．
12．已知圆 与抛物线 （ ）的准线相切，则 =________．
13．过 （ ）的焦点 的弦为 ， 为坐标原点，则 =________．
14．抛物线 上一点 到焦点的距离为3，则点 的纵坐标为__________．
15．已知抛物线 （ ），它的顶点在直线 上，则 的值为__________．
16．过抛物线 的焦点作一条倾斜角为 的弦，若弦长不超过8，则 的范围是________．
17．已知抛物线 与椭圆 有四个交点，这四个交点共圆，则该圆的方程为__________．[来源:21世纪教育网]
18．抛物线 的焦点为 ，准线 交 轴于 ，过抛物线上一点 作 于 ，则梯形 的面积为_______________．
19．探照灯的反射镜的纵断面是抛物线的一部分，安装灯源的位置在抛物线的焦点 处，如果 到灯口平面的距离恰好等于灯口的半径，已知灯口的半径为30cm，那么灯深为_________．
三、解答题
1．知抛物线 截直线 所得的弦长 ，试在 轴上求一点 ，使 的面积为39
2．若 的焦点弦长为5，求焦点弦所在直线方程
3．已知 是以原点 为直角顶点的抛物线 （ ）的内接直角三角形，求 面积的最小值．
4．若 ， 为抛物线 的焦点， 为抛物线上任意一点，求 的最小值及取得最小值时的 的坐标．
5．一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上一宽4米，高6米的大木箱，问能否安全通过．
6．抛物线以 轴为准线，且过点 ，（ ）求证不论点 的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹是椭圆，且离心率为定值．
7．已知抛物线 （ ）的焦点为 ，以 为圆心， 为半径，在 轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同的两点 、 ， 为线段 的中点．①求 的值；②是否存在这样的 ，使 、 、 成等差数列，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
8．求抛物线 和圆 上最近两点之间的距离．
9．正方形 中，一条边 在直线 上，另外两顶点 、 在抛物线 上，求正方形的面积．
10．已知抛物线 的一条过焦点的弦被焦点分为 ， 两个部分，求证 ．
11．一抛物线型拱桥的跨度为 ，顶点距水面 ．江中一竹排装有宽 、高 的货箱，问能否安全通过．
12．已知抛物线 上两点 ， （ 在第二象限）， 为原点，且 ，求当 点距 轴最近时， 的面积 ．
13． 是抛物线 上的动点，连接原点 与 ，以 为边作正方形 ，求动点 的轨迹方程．
参考答案：
一、1．C；2．C；3．D；4．B；5．C；6．B；7．B；8．D；9．C
10．C；11．B；12．C；13．C；14．C；15．C；16．C；17．B；18．B；19．C；20．A；21．D
二、1．；2．；3．；4．
5．；6． （在已知抛物线内的部分）
7． 或；8．（4，2）；9．
10．；11．；12．2；13．－4
14．2；15．0， ， ，；16．
17．；18．3．14；19．36.2cm
三、1．先求得 ，再求得 或
2．
3．设 ， ，则由 得 ，
， ，于是
当 ，即 ， 时，
4．抛物线 的准线方程为 ，过 作 垂直准线于 点，由抛物线定义得 ， ，要使 最小， 、 、 三点必共线，即 垂直于准线， 与抛物线交点为 点，从而 的最小值为 ，此时 点坐标为（2，2）．
5．建立坐标系，设抛物线方程为 ，则点（26，－6.5）在抛物线上， ? ?? 抛物线方程为 ，当 时， ，则有 ，所以木箱能安全通过．
6．设抛物线的焦点为 ，由抛物线定义得 ，设顶点为 ，则 ，所以 ，即 为椭圆，离心率 为定值．
7．①设 、 、 在抛物线的准线上射影分别为 、 、 ，则由抛物线定义得，
又圆的方程为 ，将 代入得
②假设存在这样的 ，使得
，由定义知点 必在抛物线上，这与点 是弦 的中点矛盾，所以这样的 不存在
8．设 、 分别是抛物线和圆上的点，圆心 ，半径为1，若 最小，则
也最小，因此 、 、 共线，问题转化为在抛物线上求一点 ，使它到点 的距离最小.为此设 ，则 ， 的最小值是
9．设 所在直线方程为 ， 消去 得???
又直线 与 间距离为
?? 或
从而边长为 或 ，面积 ，
10．焦点为 ，设焦点弦 端点 ， ，当 垂直于 轴，则 ，结论显然成立；当 与 轴不垂直时，设 所在直线方程为 ，代入抛物线方程整理得 ，这时 ，于是 ，命题也成立．
11．取抛物线型拱桥的顶点为原点、对称轴为 轴建立直角坐标系，则桥墩的两端坐标分别为（－26，－6.5），（26，－6.5），设抛物线型拱桥的方程为 ，则 ，所以 ，抛物线方程为 ．当 时， ，而 ，故可安全通过．
12．设 ，则 ，因为 ，所以 ，直线 的方程为 ，将 代入，得点 的横坐标为 （当且仅当 时取等号），此时 ， ， ， ，所以 ．
13．设 ， ，过 ， 分别作为 轴的垂线，垂足分别为 ， ，而证得 ≌ ，则有 ， ，即 、 ，而 ，因此 ，即 为所求轨迹方程．
?
21世纪教育网
抛物线及其标准方程同步试题
一、选择题
1．若 是定直线 外的一定点，则过 与 相切圆的圆心轨迹是（ ）
A．圆?????? B．椭圆???? C．双曲线一支?????? D．抛物线
2．抛物线 的焦点到准线的距离是（ ）
A．2.5????? B．5??????? C．7.5????? D．10
3．已知原点为顶点， 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线 上，则此抛物线的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．．抛物线 的焦点坐标是（ ）．
A． B． C． D．
5．抛物线 （ ）的焦点坐标为（ ）
A． ?????? B．
C． ????? D． 时为 ， 时为
6．抛物线 的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
7．若点 到点 的距离比它到直线 的距离小1，则 点的轨迹方程是（ ）
A． ?????? B．
C． ??????? D．
8．抛物线 的焦点位于（ ）
A． 轴的负半轴上?????? B． 轴的正半轴上
C． 轴的负半轴上?????? D． 轴的正半轴上
9．抛物线 的焦点坐标是（ ）
A． ?????? B．
C． ???? D．
10．与椭圆 有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（ ）
A． B． C． D．
11．过（0，1）作直线，使它与抛物线 仅有一个公共点，这样的直线有（ ）条
A．1??????? B．2??????? C．3??????? D．4
12．设抛物线 （ ）与直线 （ ）有两个公共点，其横坐标分别是 、 ，而 是直线与 轴交点的横坐标，则 、 、 关系是（ ）
A． B．
C． D． [来源:21世纪教育网]
13．已知点 ， 是抛物线 的焦点，点 在抛物线上移动时， 取得最小值时 点的坐标为（ ）．
A．（0，0） B． C． D．（2，2）
14．设 ， 是抛物线 上的不同两点，则 是弦 过焦点的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分不必要条件
二、填空题
1．过点（－2，3）的抛物线的标准方程为__________．
2．点M与 的距离比它到直线 的距离小1，则点 的轨迹方程为___________．
3．已知椭圆以抛物线 的顶点为中心，以此抛物线的焦点为右焦点，又椭圆的短轴长为2，则此椭圆方程为___________．
4．在抛物线 上有一点 ，它到焦点的距离是20，则 点的坐标是_________．
5．已知抛物线 （ ）上一点 到焦点 的距离等于 ，则 =_______， =________．
6．抛物线 的焦点弦的端点为 ， ，且 ，则 =_______．
7．若正三角形的一个顶点在原点，另两个顶点在抛物线 （ ）上，则这个三角形的面积为__________．
8．抛物线 上的一点 到 轴的距离为12，则 与焦点 间的距离 =______．
9．若以曲线 的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于 、 两点，若 点的纵坐标为 ，则 点的纵坐标为__________．
10．过抛物线 的对称轴上一点 作一条直线与抛物线交于 、 两点，若 点的纵坐标为 ，则 点的纵坐标为__________．
11．在抛物线 内，通过点（2，1）且在此点被平分的弦所在直线的方程是________．
12．已知点（－2，3）与抛物线 （ ）的焦点的距离是5，则 =_________．
13．焦点在直线 的抛物线的标准方程是________________．
三、解答题
1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 轴，抛物线上的点 到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和 的值．
2．已知点 和抛物线 上的动点 ，点 分线段 为 ，求点 的轨迹方程．
3．求顶点在原点，以 轴为对称轴，其上各点与直线 的最短距离为1的抛物线方程．
4．抛物线的顶点在原点 ，焦点在 轴上， 、 为抛物线上两点，且 ， 方程为 ， ，求抛物线方程．
5．若直线 交抛物线 于 、 两点，且 中点的横坐标是2，求 ．
6．过抛物线 的焦点引一直线，已知直线被抛物线截得的弦被焦点分成2：1，求这条直线的方程．
7．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱长．21世纪教育网
8．已知抛物线 ，过焦点 的直线 交抛物线交于 ， 两点，直线 的倾斜角为 ，求证： ．
9．是否存在同时满足下列两个条件的直线 ：①与抛物线 有两个不同的交点 ， ；②线段 被直线 垂直平分．若不存在，说明理由；若存在，求出 的方程．
10．如果抛物线 和圆 相交，它们在 轴上方的交点为 、 ，那么当 为何值时，线段 中点 在直线 ？
参考答案：
一、1．D 2．B 3．D 4．B 5．C 6．D 7．C 8．C 9．B
10．B 11．C 12．C 13．D 14．C
二、1． 或；2．；3．
4．（18，12）或（18，－12）；5． ，；6．421世纪教育网
7．；8．13；9．；10． [来源:21世纪教育网]
11．；12．4；13． 或
三、1．据题意可知，抛物线方程应设为 （ ），则焦点是
点 在抛物线上，且 ，故 ，
解得 ? 或
抛物线方程 ，
2．设 ， ，
，
即 ， ，而点 在抛物线 上，
，即所求点 的轨迹方程为
3．依题设可设抛物线方程为 （ ）
此抛物线上各点与直线 的最短距离为1，此抛物线在直线 下方而且距离为1的直线 相切．
由 有
?
所求抛物线方程为：
4．设方程为 （ ）
， 方程为 ?? 方程为
由 ??? ，由
，又
又 ??? ， 所求方程为
由对称性可知开口向左的方程为
5．
6．由 得焦点 ，设所求弦两端点为 ， ，直线
①
②
又 过焦点 ，且 ，故 ?? ③
由②③解得 或
把 、 代入①式得
故所求的直线方程为
7．3.84米．?
8．分 、 两种情况证明．
9．若存在直线 ，则 垂直平分 ，所以 ．设 的方程为 ，代入
整理得 ，则 中点为 ，代入 的方程得 ，故 ．经检验满足 ，故符合条件的直线 存在，其方程为 ．
10．设 ， ， ，由 及 可得 ．因为 ，
．
所以 ， ．又 在直线 上，所以 ，解得 ，又由 得 或 ．所以当 时，线段 的中点 在直线 上．
21世纪教育网
3.2.2 导数的运算法则
1、下列四组函数中导数相等的是（ ）
[来源:21世纪教育网]
2、下列运算中正确的是（ ）
3、设则等于（ ）[来源:21世纪教育网]
4、对任意的，有则此函数解析式可以为（ ）
5、函数在点处的切线方程为（ ）
6、函数的导数 ，
.
7、已知函数且则 .
8、一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为，那么速度为零的时刻是 ________
9．过点（0，－4）与曲线y＝x3＋x－2相切的直线方程是 ______. ．
10、求下列函数的导数
①
②
11、如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程．
12． 已知函数的图象过点P（0，2），且在点
M（－1，f（－1））处的切线方程为．求函数y=f(x)的解析式；
1. D 2. A 3. D 4.B 5.B
6. , 67 7. 8.1，2，4秒末； 9.y＝4x－4；
10.解：①法一：
∴
法二：
=+
②
∴
11.解：切线与直线平行， 斜率为4
又切线在点的斜率为
21世纪教育网
∵ ∴
或[来源:21世纪教育网]
∴切点为（1，-8）或（-1，-12）
切线方程为或
即或
12 解：由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2，21世纪教育网
所以
由在M(-1,f(-1))处的切线方程是，知
故所求的解析式是
一、选择题
1．在曲线y=x2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx,2+Δy）,则为（ ）
A.Δx++2 B.Δx－－2 C.Δx+2 D.2+Δx－
2.若（ ）
A．0 B． C．3 D．
3．已知函数的切线的斜率等于1，则切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．不确定
4．下列结论不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
5．曲线在处的导数为12，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．曲线在点P处的切线斜率为1，则点P的坐标为______________________
7．曲线在点Q（16，8）处的切线斜率是 _____________________
8．曲线在点处的切线方程为_________________
三、解答题
9．利用导数定义求函数（a、b为常数）的导数．
[来源:21世纪教育网]
10．已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线y=上的两点，求与直线PQ平行的曲线y=的切线方程。
21世纪教育网
[来源:21世纪教育网]
参考答案：
C 2. D 3. B 4 . B 5. C 6. 7 . 8. x+y-6=0
9.解：y’==
==2x+a[来源:21世纪教育网]
10.解：先根据定义求得y’=2x, =1, 故切点，最后求得切线方程为4x-4y-1＝0[来源:21世纪教育网]
3.3.3 函数的最大值与最小值练习题
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1.下列说法正确的是
A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x)
A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能
3.函数y=，在［－1，1］上的最小值为
A.0 B.－2 C.－1 D.
4.下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5.设y=|x|3,那么y在区间［－3，－1］上的最小值是
A.27 B.－3 C.－1 D.1
6.设f(x)=ax3－6ax2+b在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a>b,则
A.a=2,b=29 B.a=2,b=3 C.a=3,b=2 D.a=－2,b=－3
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
7.函数y=2x3－3x2－12x+5在［0，3］上的最小值是___________.
8.已知函数f(x)=2-x2,g(x)=x．若f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)}，那么f(x)*g(x)的最大值是 ．
9.将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成____和____.
10.使内接椭圆=1的矩形面积最大，矩形的长为_____，宽为______
11.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为______时，它的面积最大.
三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
12.有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？
13.已知：f(x)=log3,x∈(0,+∞).是否存在实数a、b,使f(x)同时满足下列两个条件：（1）f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）f(x)的最小值是1，若存在，求出a,b，若不存在，说明理由.
14.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.
21世纪教育网
函数的最大值与最小值
一、1.D 2.A 3.A 4.B 5.D 6.B
二、7. －15 8. 1 9.
10.a b 11.R
三、12.解：（1）正方形边长为x,则V=（8－2x)·(5－2x)x=2(2x3－13x2+20x)(0V′=4(3x2－13x+10)(0V′=0得x=121世纪教育网
根据实际情况，小盒容积最大是存在的，
∴当x=1时，容积V取最大值为18.
13.解：设g(x)=
∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数
∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.
∴
∴
解得
经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件.
14.解：由梯形面积公式，得S= (AD+BC)h
其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b
∴AD=h+b
∴S= ①
∵CD=,AB=CD.
∴l=×2+b ②
由①得b=h,代入②
∴l=
l′==0,∴h=
当h<时，l′<0,h>时，l′>0.
∴h=时，l取最小值，此时b=.
21世纪教育网
[来源:21世纪教育网]
[来源:21世纪教育网]
导数在研究函数中的应用 单元测试
一、选择题
1．下列函数在内为单调函数的是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
2．函数在区间上是（ ）
Ａ．单调增函数
Ｂ．单调减函数
Ｃ．在上是单调减函数，在上是单调增函数
Ｄ．在上是单调增函数，在上是单调减函数
答案：Ｃ
3．函数的极大值点是（ ）[21世纪教育网
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
4．已知函数的图象与轴相切于极大值为，极小值为（ ）
Ａ．极大值为，极小值为0
Ｂ．极大值为0，极小值为
Ｃ．极大值为0，极小值为
Ｄ．极大值为，极小值为0
答案：Ａ
5．函数在上取最大值时，的值为（ ）21世纪教育网
Ａ．0 Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
6．设函数在定义域内可导，的图象如图1所示，则导函数的图象可能为（ ）
答案：Ｂ
二、填空题
7．函数的单调增区间为 ．
答案：
8．函数的极值点为，，则 ， ．
答案：
9．函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
答案：421世纪教育网
10．函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
答案：
11．函数在上的值域为 ．
答案：
12．在一块正三角形的铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一个正三棱柱，尺寸如图2所示．当为 时，正三棱柱的体积最大，最大值是 ．
21世纪教育网
答案：
三、解答题
13．已知，证明不等式．
证明：原不等式等价于证明．
设，则．
，．
在上是单调增函数．
又，
即，亦即．
14．已知函数在处有极小值，试求的值，并求出的单调区间．
解：由已知，可得，
又， ①
， ②
由①，②，解得．
故函数的解析式为．
由此得，根据二次函数的性质，当或时，；
当，．
因此函数的单调增区间为和，函数的单调减区间为．
15．已知某工厂生产件产品的成本为（元），问：（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
解：（1）设平均成本为元，则，[来源:21世纪教育网]
，令得．
当在附近左侧时；
在附近右侧时，故当时，取极小值，而函数只有一个点使，故函数在该点处取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1000件产品．
（2）利润函数为，，
令，得，当在附近左侧时；在附近右侧时，故当时，取极大值，而函数只有一个点使，故函数在该点处取得最大值，因此，要使利润最大，应生产6000件产品．
第一章 常用逻辑用语 单元测试
[提高训练C组]
一、选择题
1. 有下列命题：①年月日是国庆节，又是中秋节；②的倍数一定是的倍数；
③梯形不是矩形；④方程的解. 其中使用逻辑联结词的命题有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2. 设原命题：若，则 中至少有一个不小于，则原命题与其逆命题
的真假情况是（ ）
A. 原命题真，逆命题假 B. 原命题假，逆命题真21世纪教育网
C. 原命题与逆命题均为真命题 D. 原命题与逆命题均为假命题
3. 在△中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
5. 设集合,那么“,或”是“”的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 命题若，则是的充分而不必要条件；
命题函数的定义域是，则（ ）
A. “或”为假 B. “且”为真
C. 真假 D. 假真
二、填空题
1. 命题“若△不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题 是 ；
2. 用充分、必要条件填空：①是的
②是的
3. 下列四个命题中
①“”是“函数的最小正周期为”的充要条件；
②“”是“直线与直线相互垂直”的充要条件；
③ 函数的最小值为
其中假命题的为 （将你认为是假命题的序号都填上）
4. 已知，则是的__________条件.
5. 若关于的方程. 有一正一负两实数根，
则实数的取值范围________________.
三、解答题
1. 写出下列命题的“”命题：
（1）正方形的四边相等.
（2）平方和为的两个实数都为.
（3）若是锐角三角形， 则的任何一个内角是锐角.
（4）若，则中至少有一个为.
（5）若.
2. 已知； 若是的必要非充分条件，求实数的取值范围.
3. 设，
求证：不同时大于.
4. 命题方程有两个不等的正实数根，
命题方程无实数根. 若“或”为真命题，求的取值范围.
第一章 常用逻辑用语
参考答案21世纪教育网
[提高训练C组]
一、选择题
1. C ①中有“且”；②中没有；③中有“非”；④ 中有“或”
2. A 因为原命题若，则 中至少有一个不小于的逆否命题为，若都小于，则显然为真，所以原命题为真；原命题若，则 中至少有一个不小于的逆命题为，若 中至少有一个不小于，则，是假命题，反例为
3. B 当时，，所以“过不去”；但是在△中，21世纪教育网
，即“回得来”
4. B 一次函数的图象同时经过第一、三、四象限
，但是不能推导回来
5. A “,或”不能推出“”，反之可以
6. D 当时，从不能推出，所以假，显然为真
二、填空题
1. 若△的两个内角相等，则它是等腰三角形21世纪教育网
2. 既不充分也不必要，必要 ①若，
②不能推出的反例为若，
的证明可以通过证明其逆否命题
3. ①，②，③ ①“”可以推出“函数的最小正周期为”
但是函数的最小正周期为，即
② “”不能推出“直线与直线相互垂直”
反之垂直推出；③ 函数的最小值为
令
4. 充要
5.
三、解答题
1. 解（1）存在一个正方形的四边不相等；（2）平方和为的两个实数不都为；
（3）若是锐角三角形， 则的某个内角不是锐角.
（4）若，则中都不为；
（5）若.
2. 解：
是的必要非充分条件，，即.
3. 证明：假设都大于，即
，而
得
即，属于自相矛盾，所以假设不成立，原命题成立.
4. 解：“或”为真命题，则为真命题，或为真命题，或和都是真命题
当为真命题时，则，得； 21世纪教育网
当为真命题时，则
当和都是真命题时，得
常用逻辑用语检测题（A卷）
一、选择题（每道题只有一个答案，每道题3分，共30分）
1．命题“梯形的两对角线互相不平分”的形式为
A．p或q B．p且q C．非p D．简单命题
2．若命题p：2n－1是奇数，q：2n＋1是偶数，则下列说法中正确的是 （ ）
A．p或q为真 B．p且q为真 C． 非p为真 D． 非p为假
3．对命题p：A∩＝，命题q：A∪＝A，下列说法正确的是 （ ）
A．p且q为假 B．p或q为假? C．非p为真 D．非p为假
4．“至多四个”的否定为 （ ）
A．至少有四个 B．至少有五个 C．有四个 D．有五个
5．下列存在性命题中，假命题是
A．x∈Z，x2-2x-3=0 B．至少有一个x∈Z，x能被2和3整除
C．存在两个相交平面垂直于同一条直线 D．x∈｛x是无理数｝，x2是有理数
6．A、B、C三个命题，如果A是B的充要条件，C是B的充分不必要条件，则C是A的
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．下列命题：
①至少有一个x使x2+2x+1＝0成立； ②对任意的x都有x2+2x+1＝0成立；
③对任意的x都有x2+2x+1＝0不成立； ④存在x使x2+2x+1＝0成立；
其中是全称命题的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0
8．全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定（ ）[来源:21世纪教育网]
A．所有被5整除的整数都不是奇数
B．所有奇数都不能被5整除
C．存在一个被5整除的整数不是奇数
D．存在一个奇数，不能被5整除
9．使四边形为菱形的充分条件是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．对角线垂直平分
10．给出命题：
①x∈R，使x3<1； ②(x∈Q，使x2=2； ③(x∈N，有x3>x2； ④(x∈R，有x2+1>0．
其中的真命题是：（ ）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
二、填空题（每道题4分，共16分）
11．由命题p：“矩形有外接圆”，q：“矩形有内切圆”组成的复合命题“p或q”“p且q”“非p”形式的命题中真命题是__________．
12．命题“不等式x2+x-6>0的解x<-3或x>2”的逆否命题是
13．已知：对，恒成立，则实数的取值范围是
14．命题“(x∈R，x2-x+3>0”的否定是
三、解答题（共54分）
15．把命题“平行于同一直线的两条直线互相平行”写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，再判断这四个命题的真假．
16．写出下列命题的非命题
（1）p：方程x2-x-6=0的解是x=3；
（2）q：四边相等的四边形是正方形；
（3）r：不论m取何实数，方程x2+x+m=0必有实数根；
（4）s：存在一个实数x，使得x2+x+1≤0；21世纪教育网
17．为使命题p(x)：为真，求x的取值范围。
18．已知p:方程x2＋mx＋1=0有两个不等的负根；q:方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．
19．已知条件p：x>1或x<-3，条件q：5x-6>x2，则(p是(q的什么条件？
20．设函数f(x)的定义域为R，若存在常数m>0，使|f(x)|≤m|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为F函数。给出下列函数：
①f(x)=0；②f(x)=2x；③f(x)=； ④；
你认为上述四个函数中，哪几个是函数，请说明理由。
21世纪教育网
常用逻辑用语测试题（A）参考答案
1．C 2．A 3．D 4．B 5．C 6．A 7．B 8．C 9．D 10．A
11．p或q 12．若x,则x2+x-6 13． 14．(x∈R，x2-x+3≤0
15．若两直线平行于同一条线，则它们相互平行．
逆命题：若两条直线互相平行，则它们平行于同一条直线．（真命题）
否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则它们不相互平行．（真命题）
逆否命题：若两直线互相不平行，则它们不平行于同一条直线．（真命题）
16．（1）(p：方程x2-x-6=0的解不是x=3；
（2）(q：四边相等的四边形不是正方形；
（3）(r：存在实数m，使得方程x2+x+m=0没有实数根；
（4）(s：对所有实数x，都有x2+x+1>0；
17． 命题p等价于：，即
18．若方程x2＋mx＋1=0有两不等的负根，则解得m＞2
即p：m＞2?[来源:21世纪教育网]
若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根
则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0
解得：1＜m＜3.即q：1＜m＜3.
因“p或q”为真，所以p、q至少有一为真，又“p且q”为假，所以p、q至少有一为假，
因此，p、q两命题应一真一假，即p为真，q为假或p为假，q为真.?
∴
解得：m≥3或1＜m≤2.?[来源:21世纪教育网]
19．(p：-3显然AB，故(p是(q的充分不必要条件
20． 对于①，显然m是任意正数时都有０≤m|x|，f(x)=0是F函数；
对于②，显然m≥2时，都有|2x |≤m|x|，f(x)= 2x是F函数；
对于③，当x＝０时，|f(０)|＝，不可能有|f(０)| ≤m|０|＝０
故f(x)= 不是F函数；
对于④，要使|f(x)|≤m|x|成立，即
当x＝０时，m可取任意正数；当x≠０时，只须m≥的最大值；
因为x2＋x＋１＝，所以m≥
因此，当m≥时，是F函数；
第一章 常用逻辑用语 单元测试
一、选择题
1. 下列语句中是命题的是（ ）
A. 周期函数的和是周期函数吗？ B. 21世纪教育网
C. D. 梯形是不是平面图形呢？
2. 在命题“若抛物线的开口向下，则”的
逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）
A. 都真 B. 都假 C. 否命题真 D. 逆否命题真21世纪教育网
3. 有下述说法：①是的充要条件. ②是的充要条件.
③是的充要条件. 则其中正确的说法有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4. 下列说法中正确的是（ ）
A. 一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B. “”与“ ”不等价
C. “,则全为”的逆否命题是“若全不为, 则”
D. 一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
5. 若, 的二次方程的一个根大于零,
另一根小于零,则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知条件，条件，则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、填空题
1. 命题：“若不为零，则都不为零”的逆否命题是 .
2. 是方程的两实数根；,
则是的 条件.
3. 用“充分、必要、充要”填空：
①为真命题是为真命题的_____________________条件；
②为假命题是为真命题的_____________________条件；
③, , 则是的___________条件.
4. 命题“不成立”是真命题，则实数的取值范围是_______.
5. “”是“有且仅有整数解”的__________条件.
三、解答题
1. 对于下述命题，写出“”形式的命题，并判断“”与“”的真假：
（其中全集，，）.
有一个素数是偶数；.
任意正整数都是质数或合数；
三角形有且仅有一个外接圆.
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2. 已知命题若非是的充分不必要条件，求的取值范围.
3. 若，求证：不可能都是奇数.
4. 求证：关于的一元二次不等式对于一切实数都成立的充要条件是
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第一章 常用逻辑用语
参考答案
一、选择题
1. B 可以判断真假的陈述句
2. D 原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题
3. A ①，仅仅是充分条件
② ，仅仅是充分条件；③，仅仅是充分条件
4. D 否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性
5. A ，充分，反之不行
6. A ，
，充分不必要条件
二、填空题
1. 若至少有一个为零，则为零
2. 充分条件
3. 必要条件；充分条件；充分条件，
4. 恒成立，当时，成立；当时，
得；
5. 必要条件 左到右来看：“过不去”，但是“回得来”
三、解答题
1. 解：（1） ；真，假；[来源:21世纪教育网]
（2） 每一个素数都不是偶数；真，假；
（3） 存在一个正整数不是质数且不是合数；假，真；
（4） 存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆.
2. 解：
而，即.
3. 证明：假设都是奇数，则都是奇数
得为偶数，而为奇数，即，与矛盾
所以假设不成立，原命题成立
4. 证明：恒成立
常用逻辑用语检测题（B卷）
一、选择题（每小题只有一个答案，每道题3分，共30分）
1．下列语句中的简单命题是（ ）
A．不是有理数 B．ABC是等腰直角三角形
C．3x+2<0 D．负数的平方是正数
2．命题：“方程x2-2=0的解是x=”中使用逻辑联系词的情况是（ ）
A．没有使用逻辑联结词 B．使用了逻辑联结词“且”[21世纪教育网
C．使用了逻辑联结词“或” D．使用了逻辑联结词“非”
3．“a２＋b２≠０”的含义是 （ ）
A．a，b不全为0 B．a，b全不为0
C．a，b中至少有一个为０ D．a，b中没有０
4．如果命题“非p为真”，命题“p且q”为假，那么则有（ ）
A．q为真 B．q为假 C．p或q为真 D．p或q不一定为真
5．＞1的一个充分不必要条件是 ( )
A．x＞y B．x＞y＞0 C．x＜y D．y＜x＜0
6．下列全称命题
①末位是０的整数，可以被2整除；②不相交的两条直线是平行直线；③偶函数的图像关于y轴对称；④正四面体中两侧面的夹角相等；
其中真命题的个数为( )
A．l B．2 C．3 D．0
7．已知集合A、B，全集∪，给出下列四个命题（ ）
①若，则； ②若，则；
③若，则; ④若，则
则上述正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．给出命题：
①若，则x=1或x=2； ②若，则；
③若x=y=0，则； ④若，x＋y是奇数，则x，y中一奇，一偶．
那么（ ）
A．①的逆命题为真 B．②的否命题为真 C．③的逆否命题为假D．④的逆命题为假
9．下列命题中，真命题的个数为
①对所有正数x， ②不存在实数x，使x<4且x2+5x=24
③存在实数x，使得|x+1|≤1且x2>4 ④3≥321世纪教育网
A．1 B．2 C．3 D．4
10．给出下列四个命题：
①有理数是实数； ②有些平行四边形不是菱形；
③(x∈R，x2-2x>0； ④(x∈R，2x+1为奇数；
以上命题的否定为真命题的序号依次是（ ）
A．①④ B．①②④ C．①②③④ D．③
二、填空题（每道题4分，共16分）
11．分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：
命题“非空集A中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是 的形式；命题“非空集AB中的元素是A中元素或B中的元素”是 的形式；命题“非空集CUA的元素是U中的元素但不是A中的元素”是 的形式。
12．命题“若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是
13．命题“(x∈R，x≤1或x2>4”的否定为 ．
14．设A={x|x2+x－6=0}，B={x|mx+1=0}，写出BA的一个充分不必要条件__________．
三、解答题（共54分）
15．命题：已知a、b为实数，若x2＋ax＋b≤0 有非空解集，则a2－ 4b≥0.写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
16．写出下列命题的非，并判断其真假
（１）p：如果a，b，c成等差数列，则2b=a+c；
（２）q：等圆的面积相等，周长相等；
（３）r：任何三角形的外角都至少有两个钝角；
（４）s：(x∈Z，x２<1
17．给出下列表格，判断p是q的何种条件，请在下列结论中选择一项填在最后一列中。
①充分不必要条件 ②必要不充分条件 ③充要条件 ④既不充分也不必要条件
p
q
P是 q的
ab<0(a,b∈R)21世纪教育网
∣a∣+∣b∣=∣a-b∣(a,b∈R)
四边形ABCD是平行四边形
四边形ABCD是矩形
a2-b2<0
a-b<0
A∩B=(,A∪B=U
A=,B=
18．已知； 若是的充分非必要条件，求实数的取值范围．
19．下列各题中变量的取值范围都是整数集，确定下列命题的真假
①(n，n2≥n；
②(n，n2③(n，(m，m2④(n，(m，nm=m；
20．已知二次函数f(x)=ax+x. 对于(x∈［0,1］，|f(x)| ≤1成立，试求实数a的取值范围.
常用逻辑用语测试题（B）参考答案
1．D 2．C 3．A 4．D 5．B 6．C 7．B 8．A 9．A 10．D
11．p且q,p或q，非p 12．若△ABC有两个内角相等，则它是等腰三角形．21世纪教育网
13．(x∈R，x>1且x2≤4 14．m=0
15．逆命题：已知a、b为实数，若有非空解集.
否命题：已知a、b为实数，若没有非空解集，则
逆否命题：已知a、b为实数，若则没有非空解集．
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.
16．（１）(p：如果a，b，c成等差数列，则2b≠a+c；假
（２）(q：存在一对等圆，它们的面积不相等，或周长不相等；假
（３）(r：存在一个三角形，其外角最多有一个是钝角；假
（４）(s：(x∈Z，x２≥1；假
17．①②④③
18．由，得． ：．
由，得．21世纪教育网
：B={}．
∵是的充分非必要条件，且， AB．
即
19．①真②假③假④真
20．|f(x)| ≤1(-1≤f(x) ≤1(-1≤ax+x≤1，x∈[0,1] ……①
当x=0时，a≠0，①式显然成立;
当x∈（0，1]时，①式化为--≤a≤-在x∈(0,1] 上恒成立.
设t=，则t∈[1,+∞),则有－t－t≤a≤t-t,所以只须
-2≤a≤0,又a≠0,故-2≤a＜0
综上，所求实数a的取值范围是[-2,0)
课件27张PPT。3.5《导数及其应用-小结》教学 目标【知能目标】
1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。
2、熟记基本导数公式：xm(m为有理数)、sinx、cosx、ex、ax、lnx、logax的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。[教学方法]
1.采用“学案导学”方式进行教学。
2.讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教学方法的综合运用。
[教学流程]：独立完成基础回顾，合作交流纠错,老师点评；然后通过题目落实双基，根据学生出现的问题有针对性的讲评.
[教学重点和难点]
教学重点：导数的概念、四则运算、常用函数的导数，导数的应用理解运动和物质的关系、
教学难点：导数的定义，导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用第三章 导数及其应用 微积分主要与四类问题的处理相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。3.5.1变化率问题问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?我们来分析一下:气球的体积V(单位:L)与半径r
(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么当V从0增加到1时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为当V从1增加到2时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为显然0.62>0.16
思考?当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
请计算请计算平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。 平均变化率定义:
若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2
同样Δf=Δy==f(x2)-f(x1)上述问题中的变化率可用式子 表示
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率 思考?观察函数f(x)的图象
平均变化率
表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)直线AB的斜率做两个题吧!1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( )
A 3 B 3Δx-(Δx)2
C 3-(Δx)2 D 3-Δx D2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。
2x0+Δx 小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
练习：过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
K=3Δx+(Δx)2=3+3×0.1+(0.1)2=3.31
3.5.2 导数的概念在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 又如何求
瞬时速度呢?
如何求（比如， t=2时的）瞬时速度？ 通过列表看出平均速度的变化趋势?： 当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?瞬时速度?我们用
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?导数的定义:从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
应用：例1 物体作自由落体运动,运动方程为： 其中位 移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：
(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；
(2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度；
(3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度. 解:(1)将 Δt=0.1代入上式，得: (2)将 Δt=0.01代入上式，得: 即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s).
当时间间隔Δt 逐渐变小时,平均速度就越接近t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).应用：例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原由进行冷却和加热。如果第 x(h)时，原由的温度（单位：0C）为 f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).计算第2（h) 和第6（h）时，原由温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。关键是求出：它说明在第2（h)附近，原油温度大约以3 0C/H的速度下降；在第6（h)附近，原油温度大约以5 0C/H的速度上升。应用：例3．质量为１０kg的物体，按照s(t)=3t2+t+4的规律做直线运动，
（１）求运动开始后４s时物体的瞬时速度；
（２）求运动开始后４s时物体的动能。练习:求函数y=3x2在x=1处的导数.
分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)
=6Δx+(Δx)2
再求
再求
小结：1求物体运动的瞬时速度：
（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)
(2)求平均速度
（3）求极限1由导数的定义可得求导数的一般步骤：
（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)
(2)求平均变化率
（3）求极限再见导数及其应用复习
【知能目标】
1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。
2、熟记基本导数公式：xm(m为有理数)、sinx、cosx、ex、ax、lnx、logax的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。
[教学方法]21世纪教育网21世纪教育网
1.采用“学案导学”方式进行教学。
2.讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教学方法的综合运用。
[教学流程]：独立完成基础回顾，合作交流纠错,老师点评；然后通过题目落实双基，根据学生出现的问题有针对性的讲评.
[教学重点和难点]
教学重点：导数的概念、四则运算、常用函数的导数，导数的应用理解运动和物质的关系、教学难点：导数的定义，导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用
【综合脉络】
1.知识网络
2.考点综述
有关导数的内容，在2000年开始的新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明。本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考察力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法，这类问题用传统教材是无法解决的。
[教学过程]
一、目标导航：1.复习巩固导数的概念、四则运算、常用函数的导数
2.利用导数求函数的单调区间、极值、最值
二、基础回顾
第一步：自主复习，学生用6分钟时间利用《学案》将以下基础知识填完
1、导数的概念：对于函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量△x,那么函数y相应的有增量 = ；比值 叫做函数y=f(x)在x0到x0+△x之间的 ,
当△x→0时，有极限，就说y=f(x)在点x0处 ，并把这个极限叫做f(x) 在点x0的导数（瞬时变化率），记作 或 ，
当x变化时，f ( (x)便是x的一个函数，称之为f(x)的导函数（简称导数），记
f ( (x)=y (=
2、用定义求导数的一般步骤：（1）求函数的增量△y= (2) 求平均变化率
（3）取极限，得导数f ( (x)=
3、导数的几何意义：f ( (x0)是曲线y=f(x)在点P（x0，f (x0)）处的切线的 即
4、几种常见函数的导数C(= (xn) (= (sinx) (= (cosx) (=
(ex) (= (ax) (= (lnx) (= (logax) (=
5、导数的四则运算 若y=f(x),y=g(x) 的导数存在，则
[f(x) ± g(x)] (= [f(x) g(x)] (= [](=
6、复合函数y=f(g(x))（其中u= g(x)）的导数yx(=
7、函数的单调性与其导函数的正负如下关系：在开区间（a,b）内，如果 ，那么函数在这个区间内 ，如果 ，那么函数在这个区间内 ，反之？
求可导函数y=f(x) 的单调区间的步骤：（1）求f ( (x) (2)解不等式f ( (x)>0(或f ( (x)<0)
(3)确认并写出单调区间
8、极值: 设函数f(x)在附近有定义，如果对x0附近所有的x都有 ，则称f (x0)是f(x)的一个极大值；如果对x0附近所有的x都有 ，则称f (x0)是f(x)的一个极小值。
可导函数点x0处的导数为0是f(x)在x0处取得极值的 条件
9、求函数y=f(x) 极值的步骤：
（1）确定函数的定义域 (2) 求方程f ( (x)=0
（3）解不等式f ( (x)>0(或f ( (x)<0)顺次将函数的定义域分成若干小开区间
(4)判断 f ( (x)=0的根的两侧f ( (x)的符号，确定是否为极大值、极小值。
10、在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)必有 和
求在闭区间 [a,b]上的连续函数y=f(x)最值的步骤：（1）
（2）
第二步：合作学习，分组交流，解决知识漏洞及疑难点（老师注意发现学生的问题）
第三步：老师点评：老师根据情况有重点的进行知识讲评（大屏幕显示）
三、巩固练习
函数f(x)可导，则= [来源:21世纪教育网]
已知f(x)=x2+2x f ( (0),则f ( (2) =
函数f(x)=x3－2x2+x－6的单调区间为
求导① (－)(= ② (3x) (= ③ (tanx) (=
④ [sin3(x+) ](= ⑤[cos(1－2x)lnx](=
5、函数f(x)=ax3+x－2在（－∞，+∞）上为单调函数，则a∈
四、探究提高：（两个学生上黑板板书，其他同学做在学案上）
1、当常数k为何值时，直线y=x才能与函数y=x2+k相切？并求出切点。
已知x>1,求证：x>ln(1+x)
针对学生出现问题老师讲评（大屏幕给出答案）21世纪教育网
五、归纳总结，引导学生给出本节知识总结
六、应用拓展（课后完成）
1、已知函数((x)=2ax―x3,x((0,1], a>0
若f(x)在x((0,1] 上是增函数,求a的取值范围;
求f(x)在区间(0,1]上的最大值[来源:21世纪教育网]
2、已知f(x)=x3＋ax2＋bx＋c在x=1与x=－时，都取得极值.
(1) 求 a,b的值； (2) 如对x∈[－1,2],都有f(x)<恒成立，求c的取值范围
思考：已知a>0,求函数f(x)= 在x∈[0,＋ ∞)上的值域.
第三章 导数及其应用 单元测试
一、选择题
1. 函数有（ ）
A. 极大值，极小值
B. 极大值，极小值
C. 极大值，无极小值
D. 极小值，无极大值
2. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）21世纪教育网
A. B.
C. 和 D. 和
4. 与是定义在R上的两个可导函数，若,满足,则
与满足（ ）
A. B. 为常数函数
C. D. 为常数函数
5. 函数单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
1. 函数在区间上的最大值是 .
2. 函数的图像在处的切线在x轴上的截距为________________.
3. 函数的单调增区间为 ，单调减区间为___________________.
4. 若在增函数，则的关系式为是 .
5. 函数在时有极值，那么的值分别为________.
三、解答题
已知曲线与在处的切线互相垂直，求的值.
2. 如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去
四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长
为多少时，盒子容积最大？
21世纪教育网
3. 已知的图象经过点，且在处的切线方程是
（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间.
4. 平面向量，若存在不同时为的实数和，使21世纪教育网
且，试确定函数的单调区间.
参考答案
[综合训练B组]
一、选择题
1. C ，当时，；当时，
当时，；取不到，无极小值
2. D
3. C 设切点为，，
把，代入到得；把，代入到得，所以和
4. B ,的常数项可以任意
5. C 令
6. A 令，当时，；当时，，，在定义域内只有一个极值，所以
二、填空题
1. ，比较处的函数值，得
2.
3.
4. 恒成立，
则
5.
，当时，不是极值点
三、解答题
1. 解：
.
2. 解：设小正方形的边长为厘米，则盒子底面长为，宽为
，（舍去）
，在定义域内仅有一个极大值，
[21世纪教育网]
3. 解：（1）的图象经过点，则，
切点为，则的图象经过点
得
（2）
单调递增区间为21世纪教育网
4. 解：由得
所以增区间为；减区间为.
第三章 导数及其应用 单元测试
一、选择题
1. 若,则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（ ）
3. 已知函数在上是单调函数,则实数的
取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
4. 对于上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）
A. B.
C. D. 21世纪教育网
5. 若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，
则函数在开区间内有极小值点（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题
1. 若函数在处有极大值，则常数的值为_________；
2. 函数的单调增区间为 .
3. 设函数，若为奇函数，则=__________
4. 设，当时，恒成立，则实数的
取值范围为 .
5. 对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则
数列的前项和的公式是
三、解答题
1. 求函数的导数.
2. 求函数的值域.
21世纪教育网
3. 已知函数在与时都取得极值
(1)求的值与函数的单调区间
(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围.
4. 已知,，是否存在实数,使同时满足下列两个条件：（1）在上是减函数，在上是增函数；（2）的最小值是，若存在，求出，若不存在，说明理由.
[来源:21世纪教育网]
参考答案
一、选择题
1. A
2. A 对称轴，直线过第一、三、四象限
3. B 在恒成立，
4. C 当时，，函数在上是增函数；当时，，在上是减函数，故当时取得最小值，即有
得
5. A 与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为，而，所以在处导数为，此点的切线为
6. A 极小值点应有先减后增的特点，即
二、填空题
1. ，时取极小值
2. 对于任何实数都成立
3.
要使为奇函数，需且仅需，
即：. 又，所以只能取，从而.
4. 时，
5. ，
令，求出切线与轴交点的纵坐标为，所以，则数列的前项和
三、解答题
1. 解：
.
2. 解：函数的定义域为，
当时，，即是函数的递增区间，当时，
所以值域为.
3. 解：（1）
由，得
，函数的单调区间如下表：
21世纪教育网
21世纪教育网
(
极大值
(
极小值
(
所以函数的递增区间是与,递减区间是；
（2），当时，
为极大值，而，则为最大值，要使
恒成立，则只需要，得.
4. 解：设
∵在上是减函数，在上是增函数
∴在上是减函数，在上是增函数.
∴ ∴ 解得
经检验，时，满足题设的两个条件.
课件16张PPT。2.4《圆锥曲线 与方程全章小结》复习目标(１) 求长轴与短轴之和为20，焦距为 的椭圆的标准方程_________________和
(2)求与双曲线 有共同渐近线，且过点（-3， ）的双曲线方程；
(3)一动圆Ｍ和直线l:x=-2相切，并且经过点F(2,0)，则圆心Ｍ的轨迹方程是 ．课前热身一、知识回顾 圆 锥 曲 线椭圆双曲线抛物线标准方程几何性质标准方程几何性质标准方程几何性质第二定义第二定义统一定义综合应用椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质例1.求双曲线9y – 16x =144的实半轴与虚半轴长,焦点坐标,离心率及渐进线方程.22
故 渐进线方程为:y=±－x
解:把方程化成标准方程: －- －=1 y
16 x
2522故 实半轴长a=4,虚半轴长b=3∴ c=√16+9 =5.________∴ e=－5
43
4二、应用举例 例2.直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B 求证：OA⊥OB。 证法1：将y=x-2代入y2=2x中，得 (x-2)2=2x化简得 x2-6x+4=0解得：则： ∴OA⊥OB证法2：同证法1得方程 x2-6x+4=0由一元二次方程根与系数的关系，可知 x1+x2=6, x1·x2=4 ∴OA⊥OB∵y1=x1-2 , y2=x2-2;∴y1·y2=(x1-2)(x2-2)=x1·x2-2(x1+x2)+4
=4-12+4=-4 例3.一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线解法1：如图：设动圆圆心为P（x,y),半径为R，两已知圆圆心为O1、O2。分别将两已知圆的方程
x2+y2+6x+5=0 x2+y2-6x-91=0
配方，得 （x+3)2+y2=4 (x-3)2+y2=100当⊙P与⊙O1: (x+3)2+y2=4外切时，有 |O1P|=R+2 ①
当⊙P与⊙O2: (x-3)2+y2=100内切时，有 |O2P|=10-R ②①、②式两边分别相加，得 |O1P|+|O2P|=12即化简并整理，得 3x2+4y2-108=0即可得所以，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴、短轴分别为解法2：同解法1得方程即，动圆圆心P(x,y)到点O1（-3，0）和点O2(3,0)距离的和是常数12，所以点P的轨迹是焦点为（-3，0）、（3，0），长轴长等于12的椭圆。于是可求出它的标准方程。∵2c=6 ,2a=12 , ∴ c=3 , a=6 ∴b2=36-9=27于是得动圆圆心的轨迹方程为这个动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴、短轴分别为三、课堂练习 1. 动点P 到直线 x+4=0 的距离减去它到点M（2，0）的距离之差等于2，则点P 的轨迹是 （ ）
A．直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线D2.P是双曲线 x2/4-y2=1 上任意一点，O为原点，则OP线段中点Q的轨迹方程是（ ） 3．和圆x2+y2=1外切，且和x轴相切的动圆圆心O的轨迹方程是 。 x2=2|y|+1B做练习 3．过点P（ 0 ， 4 ）与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线有 条。4、直线 y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆 x2/5+y2/m=1 总有公共点，则m的取值范围是 。 5、过点M（-2，0）的直线l与椭圆 x2+2y2=2 交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线 l 的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则 k1k2 的值为 ( ) 3[1,5） 已知椭圆 中，F1、F2 分
别为其 左、右焦点和点A ，试在椭圆上找一点 P,使
（1） 取得最小值;
（2） 取得最小值.AF1F2xyoPP思考题 四、小结：
1、本节课的重点是掌握圆锥曲线的定义及性质在解题中的应用，要注意两个定义的区别和联系。
2、利用圆锥曲线的定义和性质解题时，要注意曲线之间的共性和个性。
3、利用圆锥曲线的定义和性质解题时，要加强数形结合、化归思想的训练，以得到解题的最佳途径。
再见圆锥曲线与方程
课 题：小结与复习
教学目的：
椭圆的定义、标准方程、焦点、焦距，椭圆的几何性质，椭圆的画法； 双曲线的定义、标准方程、焦点、焦距，双曲线的几何性质，双曲线的画法，等轴双曲线；抛物线的定义、标准方程、焦点、焦距，抛物线的几何性质，抛物线的画法，
结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育
教学重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和几何性质；坐标法的应用.
教学难点：椭圆、双曲线的标准方程的推导过程；利用定义、方程和几何性质求有关焦点、焦距、准线等.
授课类型：复习课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、课前预习
椭 圆
双曲线
抛物线
定义
标准方程
图形
顶点坐标
对称轴
焦点坐标
渐近线方程
21世纪教育网
二、复习引入：
名 称
椭 圆
双 曲 线
图 象
定 义
平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆即
当2﹥2时，轨迹是椭圆，
当2=2时，轨迹是一条线段
当2﹤2时，轨迹不存在
平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即
当2﹤2时，轨迹是双曲线
当2=2时，轨迹是两条射线
当2﹥2时，轨迹不存在
标准方 程
焦点在轴上时：
焦点在轴上时：
注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上
焦点在轴上时：
焦点在轴上时：
常数的关 系
，，
最大，
，
最大，可以
渐近线
焦点在轴上时：
焦点在轴上时：
抛物线：
图形
方程
焦点
三、章节知识点回顾：[来源:21世纪教育网]
椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质
1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹
2．椭圆的标准方程：， （）
3．椭圆的性质：由椭圆方程()
(1)范围: ,，椭圆落在组成的矩形中．
(2)对称性:图象关于轴对称．图象关于轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．轴、轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距
（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
椭圆共有四个顶点： ，加两焦点共有六个特殊点叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴．长分别为 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点
(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比
椭圆形状与的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例
4．双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线 即 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距
在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线）两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线）双曲线的形状与两定点间距离、定差有关
5．双曲线的标准方程及特点：
（1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：
焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)；
焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)
6.有关系式成立，且[来源:21世纪教育网]
其中a与b的大小关系:可以为
7焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上
8．双曲线的几何性质：
（1）范围、对称性
由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心
（2）顶点
顶点：，特殊点：
实轴：长为2a, a叫做半实轴长虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长
双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异
（3）渐近线
过双曲线的渐近线（）
（4）离心率
双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率范围：
双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔
9．等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率
10．共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成
11．共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1
12．双曲线的焦点弦：
定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦
焦点弦公式：
当双曲线焦点在x轴上时，
过左焦点与左支交于两点时：
过右焦点与右支交于两点时：
当双曲线焦点在y轴上时，
过左焦点与左支交于两点时：
过右焦点与右支交于两点时：
13．双曲线的通径：
定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦
14 抛物线定义：
平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线
15．抛物线的准线方程：
(1), 焦点:，准线：
(2), 焦点:，准线：
(3), 焦点:，准线：
(4) , 焦点:，准线：
相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即
不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为，左端为 （2）开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号
16．抛物线的几何性质
（1）范围
因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
（2）对称性
以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
（3）顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点．
（4）离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．
17抛物线的焦半径公式：
抛物线，
抛物线，
抛物线，
抛物线，
18．直线与抛物线：
（1）位置关系：
相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）
将代入，消去y，得到
关于x的二次方程 （*）
若，相交；，相切；，相离
综上，得：
联立，得关于x的方程
当（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）
当，则
若，两个公共点（交点）
，一个公共点（切点）
，无公共点 （相离）
（2）相交弦长：
弦长公式：，
（3）焦点弦公式：
抛物线，
抛物线，
抛物线，
抛物线，
（4）通径：
定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：
（5）若已知过焦点的直线倾斜角
则
（6）常用结论：
和
和
四、【例题】
1.动点A到定点F1(0, －2)和F2(0, 2)的距离的和为4，则动点A的轨迹为 ( B )
A. 椭圆 B. 线段 C. 无图形 D. 两条射线；
2.动点P到定点F1(1, 0)的距离比它到定点F2(3, 0)的距离小2，则点P的轨迹是 ( C )
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．两条射线
3．人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆．设地球半径为R，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为 r1、r2 ，求卫星轨道的离心率．21世纪教育网
4．两定点的坐标分别为A(－1, 0)，B(2, 0)，动点M满足∠MBA＝2∠MAB，求动点M的轨迹方程．
五【课后作业】
六、板书设计（略）
七、课后记：
圆锥曲线与方程 单元测试
A组题（共100分）
一．选择题（每题7分）
1.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（ ）
A. B. C. D.
2. 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
3. 动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（ ）
A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线
4. 中心在原点，焦点在x轴上，焦距等于6，离心率等于，则椭圆的方程是（ ）
A. B. C. D.
5. 抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A. B. C. D.
二．填空（每题6分）
6. 抛物线的准线方程为＿＿＿＿＿.
7.双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_______________.
8. 若曲线表示椭圆，则的取值范围是 .
9.若椭圆的离心率为，则它的半长轴长为_______________.
三．解答题（13+14+14）
10.为何值时，直线和曲线有两个公共点？有一个公共点？
没有公共点？
11. 已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线与直线交于P、Q两点，|PQ|=，求抛物线的方程.
12.椭圆的焦点为，点是椭圆上的一个点，求椭圆的方程.
B组题（共100分）
一．选择题（每题7分）
1. 以椭圆的焦点为顶点，离心率为的双曲线的方程（ ）
A. B.
C. 或 D. 以上都不对
2. 过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线于P、Q，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于（ ）
A. B. C. D.
3. 、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且∠，则
Δ的面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是（ ）
A. 或 B. 21世纪教育网
C. 或 D. 或
5. 过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
二．填空：（每题6分）
6．椭圆的一个焦点坐标是，那么 ________.
7．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．
8.若直线与抛物线交于、两点，则线段的中点坐标是_______.
9. 椭圆上一点与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直，则△的面积为________________________.
三．解答题（13+14+14）
10．已知点在曲线上，求的最大值.
21世纪教育网
11. 双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求双曲线的方程.
12. 代表实数，讨论方程所表示的曲线.
C组题（共50分）
1．已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且， 则有（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
2． 抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是________________.
3. 已知定点，是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点，
使取得最小值时M点的坐标.
4． 设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得.
（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；
（2）过点作直线交双曲线的右支于两点，试确定的范围，使，其中点为坐标原点.
圆锥曲线与方程
A组题（共100分）
一．选择题：
1．D 2．B 3．D 4．C 5．B
二．填空：
6． 7． 8． 9．
三．解答题：
10. 解：由，得，即
当，即时，直线和曲线有两个公共点；
当，即时，直线和曲线有一个公共点；
当，即时，直线和曲线没有公共点.
11. 解：设抛物线的方程为，则消去得
，
则
12. 解：焦点为，可设椭圆方程为；
点在椭圆上，，所以椭圆方程为.
B组题（共100分）
一．选择题：
1．B 2．C 3．C 4．D 5．C
二．填空：
6．1 7．3 8． (4, 2) 9．24
三．解答题：
10.
解：法一：设点，
令，，对称轴
当时，；当时，
法二：由得令代入得即（1）当（2）
11.解：，可设双曲线方程为,
点在曲线上，代入得
12.解：当时，曲线为焦点在轴的双曲线；
当时，曲线为两条平行于轴的直线；
当时，曲线为焦点在轴的椭圆；
当时，曲线为一个圆；
当时，曲线为焦点在轴的椭圆.
C组题（共50分）
1．C [来源:21世纪教育网]
2．
3．显然椭圆的，记点到右准线的距离为
则，即
当同时在垂直于右准线的一条直线上时，取得最小值，
此时，代入到得
而点在第一象限，
4．解：（1）在中，，即，
，即（常数），
点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线.
方程为：. 21世纪教育网
（2）设，
①当垂直于轴时，的方程为，，在双曲线上. 21世纪教育网
即，因为，所以.
②当不垂直于轴时，设的方程为.
由得：，
由题意知：，
所以，.
于是：.
因为，且在双曲线右支上，所以
.
由①②知，.
圆锥曲线与方程 单元测试
时间：90分钟 分数：120分
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
2．过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则等于（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
3．若直线y＝kx＋2与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．（理）已知抛物线上两个动点B、C和点A（1，2）且∠BAC＝90°，则动直线BC必过定点（ ）
A．（2，5） B．（-2，5） C．（5，-2） D．（5，2）
（文）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，、，两点，若，则等于（ ）
A．4p B．5p C．6p D．8p
5.已知两点,给出下列曲线方程：①;②;③;④.在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ）
（A）①③ （B）②④ （C）①②③ （D）②③④
6．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为、，点A在双曲线第一象限的图象上，若△的面积为1，且，，则双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．双曲线的虚轴长为4，离心率，、分别是它的左、右焦点，若过的直线与双曲线的右支交于A、B两点，且是的等差中项，则等于（ ）
A． B． C． D．8．
9．（理）已知椭圆（a＞0）与A（2，1），B（4，3）为端点的线段没有公共点，则a的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
（文）抛物线的焦点在x轴上，则实数m的值为（ ）
A．0 B． C．2 D．3
10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为,直线与其相交于两点, 中点横坐标为,则此双曲线的方程是( )
(A) (B) (C) (D)
11.将抛物线绕其顶点顺时针旋转，则抛物线方程为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
12．若直线和⊙O∶没有交点，则过的直线与椭圆的交点个数（ ）
A．至多一个 B．2个 C．1个 D．0个
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．椭圆的离心率为，则a＝________．
14．已知直线与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标等于，则双曲线的两条渐近线的夹角的正切值等于________．
15．长为l0＜l＜1的线段AB的两个端点在抛物线上滑动，则线段AB中点M到x轴距离的最小值是________． 21世纪教育网
16．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆，测得近地点A距离地面，远地点B距离地面，地球半径为，关于这个椭圆有以下四种说法：
①焦距长为；②短轴长为；③离心率；④若以AB方向为x轴正方向，F为坐标原点，则与F对应的准线方程为，其中正确的序号为________．
三、解答题（共44分）
17．（本小题10分）已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上.若右焦点到直线的距离为3.
（1）求椭圆的方程;
（2）设椭圆与直线相交于不同的两点M、N.当时，求m的取值范围.
18．（本小题10分）双曲线的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率的取值范围.
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19.（本小题12分）如图，直线与抛物线交于两点，与轴相交于点，且.
（1）求证：点的坐标为；[来源:21世纪教育网]
（2）求证：；
（3）求的面积的最小值.
20．（本小题12分）已知椭圆方程为，射线（x≥0）与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）．
（1）求证直线AB的斜率为定值；
（2）求△面积的最大值．
圆锥曲线单元检测答案
1. A 2.B 3 D 4 理C 文A 5 D 6 A 7 D 8A 9 理B 文B 10 D 11 B 12 B
13．或 14． 15． 16．①③④
17.（1）依题意可设椭圆方程为 ，则右焦点F（）由题设
解得 故所求椭圆的方程为.
………………………………………………4分.
（2）设P为弦MN的中点，由 得
由于直线与椭圆有两个交点，即 ①………………6分
从而
又，则
即 ②…………………………8分
把②代入①得 解得 由②得 解得 .故所求m的取范围是（）……………………………………10分
18．设M是双曲线右支上满足条件的点，且它到右焦点F2的距离等于它到左准线的距离，即，由双曲线定义可知 ……5分
由焦点半径公式得 …………………………7分
而 即 解得 但 ……………………………………10分
19. (1 ) 设点的坐标为, 直线方程为, 代入得
① 是此方程的两根,
∴，即点的坐标为（1, 0）.
(2 ) ∵
∴
∴ .
（3）由方程①，, , 且 ,
于是=≥1，
∴ 当时，的面积取最小值1.
20．解析：（1）∵ 斜率k存在，不妨设k＞0，求出（，2）．直线MA方程为，直线方程为．
分别与椭圆方程联立，可解出，．
∴ ． ∴ （定值）．
（2）设直线方程为，与联立，消去得
．
由得，且，点到的距离为．
设的面积为．
∴ ．
当时，得．
圆锥曲线课堂小测
时间：45分钟 分数：60分 命题人：郑玉亮
一、选择题（每小题4分共24分）
1．是方程 表示椭圆或双曲线的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分不必要条件
2．与曲线共焦点，而与曲线共渐近线的双曲线方程为 （ ）
A． B．
C． D．
3．我国发射的“神舟3号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点A距地面为m千米，远地点B距地面为n千米，地球半径为R千米，则飞船运行轨道的短轴长为（ ）
A． B．
C．mn D．2mn
4．若椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是 （ ）
A．4 B．2 C．1 D．
5．圆心在抛物线上，且与轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知双曲线的离心率，．双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角记为，则的取值范围是（ ）．
A．， B．， C．， D．，
二、填空题（每小题4分共16分）
7．若圆锥曲线的焦距与无关，则它的焦点坐标是__________．
8．过抛物线的焦点作直线与此抛物线交于P，Q两点，那么线段PQ中点的轨迹方
程是 .
9．连结双曲线与（a＞0，b＞0）的四个顶点的四边形面积为，
连结四个焦点的四边形的面积为，则的最大值是________．
10．对于椭圆和双曲线有下列命题：
椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点;
双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点;
双曲线与椭圆共焦点;
椭圆与双曲线有两个顶点相同.
其中正确命题的序号是 .
三、解答题（20分）
11．（本小题满分10分）已知直线与圆相切于点T，且与双曲线相交于A、B两点.若T是线段AB的中点，求直线的方程.
[来源:21世纪教育网]
12．（10分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点和的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点，若直线与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．
参考答案
1 B 2 A 3 A 4 C 5 D 6 C 7．（0，）8． 9． 10.①②
11．解：直线与轴不平行，设的方程为 代入双曲线方程 整理得
……………………3分 而，于是
从而 即 ……5分
点T在圆上 即 ①
由圆心 . 得 则 或
当时，由①得 的方程为 ；
当时，由①得 的方程为.故所求直线的方程为 或 …………………………10分
12．解：（1）直线AB方程为：．[来源:21世纪教育网]
依题意 解得
∴ 椭圆方程为 ．
（2）假若存在这样的k值，由得．
∴ ． ①
设，、，，则 ②
而．
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即．
∴ ． ③
将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立．
综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E．
