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空间中的垂直关系
一. 教学内容：
空间中的垂直关系
二、学习目标
1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；
2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题；
3、在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决。
三、知识要点
1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。
2、直线与平面垂直的判定：常用方法有：
①判定定理： .
② b⊥α, a∥ba⊥α；（线面垂直性质定理）
③α∥β,a⊥βa⊥α（面面平行性质定理）
④α⊥β，α∩β=l，a⊥l，aβa⊥α（面面垂直性质定理）
3、直线与平面垂直的性质定理：
①如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（ a⊥α，b⊥α a∥b）
②直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线（）
4、点到平面的距离的定义： 从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。
特别注意：点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不能确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足。
5、平面与平面垂直的定义及判定定理：
（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就说这两个平面互相垂直。
记作：平面α⊥平面β
（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
（简称：线面垂直，面面垂直）
6、两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（简称：面面垂直，线面垂直。）
思维方式：判定两相交平面垂直的常用方法是：线面垂直，面面垂直；有时用定义也是一种办法。
【典型例题】
例1、（1）对于直线m、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是（ ）
A、m⊥n，m∥α，n∥β B、m⊥n，α∩β=m，nα
C、m∥n，n⊥β，mα D、m∥n，n⊥β，m⊥α
（2）设a、b是异面直线，给出下列命题：
①经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b；
②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b；
③存在分别经过直线a和b的两个平行平面；
④存在分别经过直线a和b的两个平面互相垂直。21世纪教育网
其中错误的命题为（ ）
A、①与② B、②与③ C、③与④ D、仅②
（3）已知平面α⊥平面β，m是α内一条直线，n是β内一条直线，且m⊥n，那么，
甲：m⊥β；乙：n⊥α丙：m⊥β或n⊥α；丁：m⊥β且n⊥α。这四个结论中，不正确的三个是（ ）
解：（1）对于A，平面α与β可以平行，也可以相交，但不垂直。
对B，平面α内直线n垂直于两个平面的交线m，直线n与平面β不一定垂直，平面α、β也不一定垂直。
对D，m⊥α，m∥n则n⊥α，又n⊥β，所以α∥β。
只有C正确，m∥n，n⊥β则m⊥β又mα，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β。
故选C。
（2）①正确，过a上任一点作b的平行线b′，则ab′确定唯一平面。
②错误，假设成立则b⊥该平面，而a该平面，∴a⊥b，但a、b异面却不一定垂直。
③正确，分别过a、b上的任一点作b、a的平行线，由各自相交直线所确定的平面即为所求。
④正确，换角度思考两个垂直的平面内各取一直线会出现各种异面形式，综上所述：仅②错误
选D
（3）丙正确。举反例：在任一平面中作平行于交线的直线m（或n），在另一平面作交线的垂线n（或m）即可推翻甲、乙、丁三项。
思维点拨：解决这类问题关键是注意这是在空间而非平面内。
例2、如图，ABCD 为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥平面ABCD。PA=a。
（1）求证：PC⊥CD。
（2）求点B到直线PC的距离。
（1）证明：取AD的中点E，连AC、CE，
则ABCE为正方形，ΔCED为等腰直角三角形，
∴AC⊥ CD，
∵PA⊥平面ABCD，
∴AC为PC在平面ABCD上的射影，
∴PC⊥CD
（2）解：连BE，交AC于O，则BE⊥AC，
又BE⊥PA，AC∩PA= A，
∴ BE⊥平面PAC
过O作OH⊥PC于H，则BH⊥PC，
∵PA=a，AC=a,PC=a，
∴ OH=，
∵BO=a，
∴BH=即为所求。
例3、在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC
（1）若D是BC的中点，求证 AD⊥CC1；
（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证 截面MBC1⊥侧面BB1C1C；
（3）AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？21世纪教育网
请你叙述判断理由。
命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质。
知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质。
错解分析：（3）的结论在证必要性时，辅助线要重新作出。
技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的
思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙地作辅助线。
（1）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC
∵底面ABC⊥侧面BB1C1C，
∴AD⊥侧面BB1C1C
∴AD⊥CC1 ( http: / / www. / / )
（2）证明：延长B1A1与BM交于N，连结C1N
∵AM=MA1，
∴NA1=A1B1
∵A1B1=A1C1，
∴A1C1=A1N=A1B1
∴C1N⊥C1B1
∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，
∴C1N⊥侧面BB1C1C
∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C
∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C
（3）解：结论是肯定的，充分性已由（2）证明，
下面证必要性。
过M作ME⊥BC1于E，
∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C
∴ME⊥侧面BB1C1C，
又∵AD⊥侧面BB1C1C
∴ME∥AD，
∴M、E、D、A共面
∵AM∥侧面BB1C1C，
∴AM∥DE
∵CC1⊥AD，
∴DE∥CC1
∵D是BC的中点，
∴E是BC1的中点
∴AM=DE=AA1，
∴AM=MA1
即是截面的充要条件
例4、如图，在正三棱锥A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H
（1）判定四边形EFGH的形状，并说明理由 ( http: / / www. / / )
（2）设P是棱AD上的点，当AP为何值时，
平面PBC⊥平面EFGH，请给出证明
（1）证明：∵AD//面EFGH,
面ACD∩面EFGH＝HG，AD面ACD
∴ AD//HG.
同理EF∥HG，
∴EFGH是平行四边形
∵A—BCD是正三棱锥，
∴A在底面上的射影O是△BCD的中心，
∴DO⊥BC，
∴AD⊥BC，
∴HG⊥EH，四边形EFGH是矩形
（2）作CP⊥AD于P点，连结BP，
∵AD⊥BC，
∴AD⊥面BCP
∵HG∥AD，21世纪教育网
∴HG⊥面BCP，HG面EFGH 面BCP⊥面EFGH，
在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=AB=a,
∴AP=a ( http: / / www. / / )
例5、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC是直角三角形，∠ABC=90°，2AB=BC=BB1=a，且A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交于DE。求证：
（1）A1B1⊥平面BB1C1C；
（2）A1C⊥BC1；
（3）DE⊥平面BB1C1C。
证明：（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
∴侧面与底面垂直，
即平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，
又∵AB⊥BC，
∴A1B1⊥B1C1
从而A1B1⊥平面BB1C1C。
（2）由题设可知四边形BB1C1C为正方形，
∴BC1⊥B1C，
而A1B1⊥平面BB1C1C，
∴ A1C在平面BB1C1C上的射影是B1C，
由三垂线定理得A1C⊥BC1
（3）∵直三棱柱的侧面均为矩形，
而D、E分别为所在侧面对角线的交点，
∴D为A1C的中点，E为B1C的中点，
∴DE∥A1B1，21世纪教育网
而由（1）知A1B1⊥平面BB1C1C，
∴DE⊥平面BB1C1C。
思维点拨：选择恰当的方法证明线面垂直。
本讲涉及的主要数学思想方法21世纪教育网
1、直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，应熟练掌握直线与平面垂直的
定义、判定定理、性质定理，并能依据条件灵活运用。
2、注意线面垂直与线线垂直的关系和转化。
3、距离离不开垂直，因此求距离问题的过程实质上是论证线面关系（平行与垂直）与解三角形的过程，值得注意的是“作、证、算、答”是立体几何计算题不可缺少的步骤。
4、在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并要有利于证明，不能随意添加。在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直。解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”，“面面垂直”间的转化条件和转化应用。
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1.1.1构成空间几何体的基本元素教案
一、教学目标
1、 知识与技能目标：掌握空间点、线、面之间的相互关系以及相互之间的位置关系。
2、 过程与方法目标：通过让学生探究点、线、面之间的相互关系，掌握文字语言、符号语言、图示语言之间的相互转化。
3、 情感、态度与价值目标：通过用集合论的观点和运动的观点讨论点、线、面、体之间的相互关系培养学生会从多角度，多方面观察和分析问题，体会将理论知识和现实生活建立联系的快乐，从而提高学生学习数学的兴趣。[来源:21世纪教育网]
二、教学重点和难点
重点：点、线、面之间的相互关系，以及文字语言、符号语言、图示语言之间的相互转化。
难点：从集合的角度理解点、线、面之间的相互关系。
三、教学方法和教学手段
在上课前将问题用学案的形式发给各组学生，让学生先在课下研究探讨，在课上以小组为单位就学案中的问题展开讨论并发表自己组的研究结果，并引导同学展开争论，同时利用课件给同学一个直观的展示，然后得出结论。下附学生的学案
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
课题引入 让同学们观察几个几何体，从感性上对几何体有个初步的认识，并总结出空间立体几何研究的几个基本元素。 学生观察、讨论、总结，教师引导。 提高学生的学习兴趣21世纪教育网
新课讲解基础知识能力拓展探索研究 一、构成几何体的基本元素。[来源:21世纪教育网]点、线、面二、从集合的角度解释点、线、面、体之间的相互关系。点是元素，直线是点的集合，平面是点的集合，直线是平面的子集。三、从运动学的角度解释点、线、面、体之间的相互关系。1、 点运动成直线和曲线。2、 直线有两种运动方式：平行移动和绕点转动。3、 平行移动形成平面和曲面。4、 绕点转动形成平面和曲面。5、 注意直线的两种运动方式形成的曲面的区别。6、 面运动成体。四、点、线、面、之间的相互位置关系。1、 点和线的位置关系。点A2、 点和面的位置关系。3、 直线和直线的位置关系。4、 直线和平面的位置关系。5、 平面和平面的位置关系。 通过对几何体的观察、讨论由学生自己总结。引领学生回忆元素、集合的相互关系，讨论、归纳点、线、面之间的相互关系。通过课件演示及学生的讨论，得出从运动学的角度发现点、线、面之间的相互关系。引导学生由生活中的实际例子总结出点、线、面之间的相互位置关系，让学生有个感性认识。 培养学生的观察能力。培养学生将所学知识建立相互联系的能力。让学生在观察中发现点、线、面之间的相互运动规律，为以后学习几何体奠定基础。培养学生将学习联系实际的习惯，锻炼学生由感性认识上升为理性知识的能力。
课堂小结 1、 学习了构成几何体的基本元素。2、 掌握了点、线、面之间的相互关系。3、 了解了点、线、面之间的相互的位置关系。 由学生总结归纳。 培养学生总结、归纳、反思的学习习惯。
课后作业[来源:21世纪教育网] 试着画出点、线、面之间的几种位置关系。 学生课后研究完成。 检验学生上课的听课效果及观察能力。
附：1.1.1构成空间几何体的基本元素学案
（一）、基础知识
1、 几何体：________________________________________________________________
2、 长方体：________________________________________________________________
3、 长方体的面：____________________________________________________________21世纪教育网
4、 长方体的棱：____________________________________________________________
5、 长方体的顶点：__________________________________________________________
6、 构成几何体的基本元素：__________________________________________________
7、 你能说出构成几何体的几个基本元素之间的关系吗？
（二）、能力拓展
1、 如果点做连续运动，运动出来的轨迹可能是______________________ 因此点是立体几何中的最基本的元素,如果点运动的方向不变,则运动的轨迹是_____________ 如果点运动的轨迹改变,则运动的轨迹是____________ 试举几个日常生活中点运动成线的例子___________________________________
2、 在空间中你认为直线有几种运动方式_______________________________________分别形成_______________________________________________________你能举几个日常生活中的例子吗
3、 你知道直线和线段的区别吗 _______________________________________如果是线段做上述运动,结果如何 _______________________________________.现在你能总结出平面和面的区别吗 ______________________________________________
（三）、探索与研究
1、 构成几何体的基本元素是_________,__________,____________.
2、 点和线能有几种位置关系_________________________你能画图说明吗
3、 点和平面能有几种位置关系_______________________你能画图说明吗
4、 直线和直线能有几种位置关系________________________你能画图说明吗
5、 直线和平面能有几种位置关系________________________你能画图说明吗
6、 平面和平面位置关系________________________你能画图说明吗
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课题 [来源:21世纪教育网] 2.3.4圆与圆的位置关系 课时21世纪教育网 121世纪教育网[来源:21世纪教育网]
课型 新授
教学目标 知识与技能：（1）理解圆与圆的位置关系的种类；会用圆心距判断两圆的位置关系．（2）进一步培养学生用坐标法解决几何问题的能力。
过程方法与能力：用代数方法来分析几何问题，是平面几何问题的深化，理解用方程来研究两圆位置关系的过程，并体会其中蕴含的数学思想方法。
情感态度与价值观： 让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．
重点分析 判断圆与圆的位置关系．
难点分析 用坐标法判断圆与圆的位置关系．
学法教具 图片、多媒体
板书设计 圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系的判断方法：2、用坐标法判断圆与圆的位置关系3、应用举例
教 学 过 程 与 内 容 师生活动
一、复习引入：1、点、直线与圆的位置关系有哪些？如何判断？2、初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？如何判断？点M与圆，直线与此圆（1）相交点M在圆 。（2）相离点M在圆 。（3）相切点M在圆 。二、研探新知：1、圆与圆的位置关系的判定：设两圆半径分别为R和，圆心距为设圆C：，圆C′：则两圆外离 外切 相交 圆心间的距离 内切 内含 2、如果两圆 和相交，则方程表示过的交点的圆系方程，表示过的交点的直线方程。变形：过直线与圆的交点的圆系方程：3、方程的方法研究两圆的位置关系以为坐标原点，使轴通过建立直角坐标系，设的圆心的坐标为这时两圆的圆心的距离等于两圆的方程分别为 ① ②①－②整理可得将值代入①若，则有两解，方程组有两解，两圆相交若，则方程组有一解，两圆内切、外切若，则无解，方程组无解，两圆不相交，相离或内含
教 学 过 程 与 内 容 师生活动
应用举例：例1：判断下列两个圆的位置关系： （1）（相交于两点） （2）（内切）例2：两圆相切，试确定常数的值。（）例3：（1）求经过两圆和的交点，并且圆心在直线上的圆的方程。。注：（1）所求圆过原点？（2）所求圆面积最小？ (2)求过圆和直线的交点，且圆心在直线上的圆的方程是_.注：（1）所求圆过原点？（2）所求圆面积最小？（3）已知圆：x2＋y2＋4x－4y－1＝0与圆：x2＋y2＋2x－13＝0相交于P,Q两点，则直线PQ的方程为，公共弦PQ的长为 6 例5：求与圆及x轴相切的动圆圆心C的轨迹方程。解：设动圆圆心与x轴切于M，圆心A（0，3）当外切时：当内切时：例6、已知曲线C：（1＋a）x 2＋（1＋a）y 2－4x＋8ay＝0，（1）当a取何值时，方程表示圆；（2）求证：不论a为何值，曲线C必过两定点；（3）当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值。（4）当曲线C表示圆时求圆心C的轨迹。解：（1）当a＝－1时，方程为x＋2y＝0，为一直线； 当a≠－1时，（x－）2 +（y＋）2 ＝表示圆。 （2）方程变形为：x2 + y2－4x ＋a（x2 + y2 + 8y）＝0∴C过定点A（0，0），B（，－） （3）以AB为直径的圆面积最小（为什么？） 得圆的方程：（x－）2 +（y＋）2 ＝∴＝，＝，＝解得：a＝（4）三、巩固练习：
教 学 过 程 与 内 容 师生活动
1、课本P---110 练习A,B 2、已知两圆C1：x2+y2+4x-4y-5=0，C2：x2+y2-8x+4y+7=0。(1)证明此两圆相切，并求过切点的公切线的方程；（）(2)求过点(2，3)且与两圆相切于上述切点的圆的方程。（3x2+3y2+24x-20y-27=0） 注：两个圆的公切线情况：外离时，内、外公切线共4条；外切时，共3条；相交时，2条外公切线；内切时，1条外公切线；内含时无公切线。 课堂小结：（1）两个圆的位置关系的判断方法及其应用；（2）用坐标法分析两个圆的位置关系的过程；（3）数学思想：数行结合、分类讨论。四、基础训练与自主探究：1、若圆C1：（x－a）2＋（y－b）2＝b2＋1始终平分圆C2：（x＋1）2＋（y＋1）2＝4的圆周，则a，b应满足的关系式为 （ ）A.a2＋2a＋2b+5＝0 B. a2－2a－2b－3＝0 C. a2＋2b2＋2a＋1＝0 D.3 a2＋2b2＋2a＋2b+1＝02、两圆C1：x2+y2+4x-4y+7=0与C2：x2+y2-4x-10y+13=0的公切线有（ ）A、1条 B、2条 C、3条 D、4条3、若圆C1：x2+y2－2mx+m2=4与圆C2：x2+y2+2x－4my=8－4m2相交，则m的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、4、x2＋y2＋6x－7＝0与x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系 5、点P在圆x2+y2-8x-4y+11=0上，点Q在圆：x2+y2+4x+2y+1=0上，则|PQ|的最小值是；最大值是（相离时圆的连心线减半径或加半径。）6、自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程．（一题多解：3x+4y-3=0或4x+3y+3=0）
反馈练习
教学后记
A
C
M
x
y
C
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“三视图”（第1课时）教学设计
教学任务分析教[来源:21世纪教育网]学目标[来源:21世纪教育网]知识技能1．会从投影角度深刻理解视图的概念。21世纪教育网2．会画简单几何体及简单几何体组合的三视图。21世纪教育网数学思考1．通过具体活动，积累学生的观察、想象物体投影的经验。2．通过观察、操作、猜想、讨论、合作等活动，使学生体会到三视图中位置及各部分之间大小的对应关系，积累数学活动的经验。 解决问题会画实际生活中的简单物体的三视图。情感态度1．培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，使学生体会从生活中发现数学。2．在应用数学解决生活中问题的过程中，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情。重点1．从投影的角度加深对三视图概念的理解。2．会画简单几何体及其组合的三视图。难点1．对三视图概念理解的升华。2．正确画出三棱柱的三视图和小零件的三视图。 教学流程安排活动流程图活动内容和目的活动1 情景设计 导入新课 活动2 形成知识 引出定义 活动3 演示操作 探索规律 活动4 应用实践 解决问题 活动5 小结知识 拓展升华情景引入制作小零件，明确学习三视图的作用，并且明确正投影画视图的意义。 对长方体的六个面进行正投影，讨论比较全面研究几何体至少需要研究几个不同的视图。引出三视图的概念，并让学生理解学习三视图的意义。 通过教师课件演示，学生合作探究，发现三视图位置关系及大小的对应关系。 采用多种形式学习和解决简单几何体的三视图，并在此基础上最终解决实际生活中的模型（小零件）的三视图。 师生共同归纳总结收获体会。 教学过程设计问题与情景师生行为设计意图〔活动1〕1．情景引入制作小零件。张师傅是铸造厂的工人，今天我有事情拜托他，想让他给我制作一个如图所示的小零件，我如何准确的告诉他小零件的形状和规格？2．给出视图的定义。3．欣赏工程中的三视图。4．介绍视图的产生。 教师提问：（1）如何准确的表达小零件的尺寸大小？（2）除了用文字的语言，可不可以用图形的语言表示？（3）你们生活中见过三视图吗？活动中教师应关注：学生是否理解将立体图形分解成平面图形来表达的意义。明确学习三视图的作用，并且为明确正投影画视图的意义？ 通过介绍视图的产生，使学生感受到数学来源于生活，产生于实践。 〔活动2〕 1．对长方体的六个面进行正投影，并思考为什么选择用三视图来表达几何体的形状及尺寸。总结：从前向后正投影在正面内得到主视图。从左向右正投影在侧面内得到左视图。从上向下正投影在水平面内得到俯视图。教师提问：（1）选择什么样的视图可以比较准确全面的表达几何体？（2）我们对长方体的六个不同方向进行正投影，可以分别得到什么样的视图？（3）这些视图分别反映了几何体的哪些尺寸？（4）只要观察哪些视图就可以比较全面的表达这个长方体的形状、大小？活动中教师应关注：（1）学生是否理解用投影定义视图。（2）学生是否理解用三种视图表示立体图形的道理。 引出三视图的概念，并理解用三视图来表达几何体形状、大小的意义。 在定义三维投影面时，让学生举出教室里的三维投影面，如墙角。 帮助学生理解互相垂直的三维投影面。〔活动3〕1．思考三视图的画法。2．课件演示：对几何体进行正投影得到三视图。 3．将水平面、侧面、正面展开到同一平面，观察得到三种视图的位置关系。4．同桌讨论得到三种视图大小上的规律。 教师提问：（1）如何绘制一个几何体的三视图？（观察：从不同方向正视几何体观察几何体的三视图）。（2）除了观察，将这三种视图画在同一平面它们的位置和大小尺寸有什么关系吗？ （3）现在将空间中的三种视图展开到同一平面，你还能确定它们各自的名称吗？（4）除了位置上的关系，在大小尺寸上，三种视图彼此之间又存在什么关系？（5）对于其他几何体，如何表示它的长、宽、高？ （6）探索了这些规律后，我们在画三视图时，除了要观察三个方向的正投影外，还需要考虑什么 活动中教师应关注：（1）学生是否理解展开后的三视图位置的特殊要求？（2）学生是否探究发现展开后的三种视图对几何体长、宽、高的对应关系？（3）学生是否明确几何体长、宽、高的概念？ （4）学生是否充分展开探究？观察很重要，要强调，要正对物体用视线对所看物体进行正投影。 通过课件演示有利于学生发现三种视图在位置和大小上的关系。 讨论交流有助于学生发现三种视图的大小对应关系，主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，左视图与俯视图宽相等。 明确长宽高概念：从正面观察几何体。长是几何体从左到右的距离，宽是几何体从前到后的距离，高是几何体从上到下的距离。有助于学生更加深刻地理解三视图的大小对应关系。 〔活动4〕 1．选择判断圆柱体的三视图，分析学生诊断错误的原因。 2．由三棱镜引出正三棱柱板演正三棱柱的三视图。 3．与学生讨论：（1）从三个方向看正三棱柱应看到什么形状？ （2）三棱柱的宽是三棱柱上哪部分距离？（3）总结三视图的画法步骤。 4．课件演示底面是一般的三棱柱的三视图画法。5．通过积累得知识和经验完成课前提出的任务。小组探究合作完成小零件的三视图。6．课件演示得到小零件三视图的过程。 〔活动5〕小结升华 布置作业1．小结知识并指出重点。2．课件展示辛勤工作的设计师，及各种零件的三视图，总结升华。 活动中教师应关注：（1）学生在画图之前要正对几何体，从三个方向观察投影。（2）板演三视图时，总结出明确的步骤。（3）先确定主视图位置，画主视图。添加平行线在主视图下方“长对正”画出俯视图。添加平行线在主视图右方“高平齐”画左视图。用圆规截取左视图的宽与俯视图“宽相等”。注意：三视图用粗线画出，辅助线用细线初学时，标注长对正，高平齐，宽相等，可以加深印象。 （1）利用手中的长方体搭建模型帮助想象。（2）从各个方向的观察得到正确的投影。（3）按照投影规律画出几何体的三视图。（4）小组审核完成。 教师提问：（1）这一节课你收获到了什么？（2）我们今天学习的内容和以前“从不同方向看”有哪些不同？（3）画一个几何体的三视图的一般步骤是怎样的？活动中教师应关注：（1）引导学生总结：本节课的学习使我们不但知道三视图的形状，还明确了三种视图之间的位置关系及大小对应关系。（2）学生是否明确三视图的画法步骤？（3）向学生渗透将立体图形分解成平面图形的研究方法。 通过师生共同讨论三视图的画法，并明确画法步骤，为准确的画出三视图打好基础。 画底面是一般三角形的三棱柱的三视图为了总结得到“长对正，高平齐，宽相等”的规律应该是对几何体的整体和局部都满足的。 通过小组合作讨论解决难点。 通过摆放的模型帮助分析想象。 通过小结帮助学生梳理本节课的知识点，并从中领悟将立体图形分解成平面图形的研究方法。通过总结三视图画法，指出三视图的学习培养了我们精益求精的学习品质。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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课题： 球的体积和表面积
教学目标：
1.熟记球的体积公式和表面积公式；
2.会用球的体积公式和表面积公式解决有关问题
教学重点：球的体积公式和表面积公式及其应用
教学难点：球的体积公式和表面积公式及其应用
教学过程：
1、创设情景，引入新课：
提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。
设疑引课：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。
二、探究新知：
1．探究球的体积公式
回顾祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等。
构造新的几何体,结合祖暅原理推导球的体积公式(见P32页)
2. 探究球的表面积公式：
设球的半径为，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用表示，则球的表面积:
以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积可近似地等于“小棱锥”的底面积，球的半径近似地等于小棱锥的高，因此，第个小棱锥的体积，当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积:21世纪教育网
，
又∵，且[21世纪教育网]
∴可得，21世纪教育网
又∵，∴，
∴即为球的表面积公式
三、例题示范,巩固新知：
例1已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积
解：设截面圆心为，连结，设球半径为，21世纪教育网
则，
在中，，
∴，∴，
∴．
例2．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积
解：作轴截面如图所示，
，，
设球半径为，
则
∴，
∴，．
例3．表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积
解：设球半径为，正四棱柱底面边长为，
则作轴截面如图，，，
又∵，∴，
∴，∴，
∴．
例4. 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.
求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的；
(2) 球的表面积等于圆柱的侧面积。
四、练习反馈,理解加深：
补充练习：
1．三个球的半径之比为，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍；
2.若球的大圆面积扩大为原来的倍，则球的体积比原来增加 倍；
3.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ；
4.正方体全面积是，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ．
答案：1. 3 2. 7 3. 6 4. ，
5?球O1、O2、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的表面积之比．21世纪教育网
分析：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可．
解：设正方体棱长为a，则三个球的半径依次为、，
∴ 三个球的表面积之比是．
5、小结归纳 ：
球的表面积公式的推导及应用；球的内接正方体、长方体及外切正方体的有关计算“分割求近似和化为准确和”的方法，是一种重要的数学思想方法——极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；球的体积公式和表面积公式要熟练掌握．
6、作业布置：
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www.
球的体积公式：
证明:(1) 设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.
因为 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
所以,
(2) 因为 ,,
所以,.
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空间两点间的距离公式
【情景导入】
（多媒体投影）
三楼屋顶有一蜂窝，住户报119，消防官兵拟用高压水枪击落蜂巢，但水枪有效射程只有20米，而消防车也只能到达宅基线距离楼房角A处8米远的坡坎边，若屋的长、宽、高分别为15米、10米、4.2米，蜂巢能被击落吗？
【引导】
师：这是一个很有趣的实际应用题，同学们你能根据题意画出符合条件的示意图吗？
生：阅读题目，并作出相应的空间图形。
师：好！显然据题意知蜂巢能否被击落，实质上就是比较图形中消防车所对应的点距离三楼屋顶对应的长方体的一顶点间的距离与水枪有效射程的大小，这个问题可以通过立体几何的知识可以解决，但我们想换一种思维即采用代数的方法，借助于空间直角坐标系利用这两点的空间坐标来表示出两点的距离，我们就可以解决上面的这个实际应用题。这就是我们这一节将要学习的：（书写课题）空间直角坐标系。
【新知探究】
【引导】
师：距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如建筑设计中常常需要计算空间两点间的距离，通过上一节的学习，我们知道建立空间直角坐标系后，空间中的任一点P与一组有序实数对（x,y,z）建立了一一对应的关系，类比平面两点间的距离公式的推导，你能猜想一下空间两点、间的距离公式吗？
生：空间两点、间的距离公式为：
（由于有前面学习的基础学生完全能借助平面上两点间的距离公式，考虑到此距离与竖坐标有关，猜想出空间两点间的距离公式。）
师：很好！猜想是我们探索未知世界的一种重要的思维方法，但终归是猜想只有和严格的数学逻辑思维的证明，这样才算是一个完整的思维过程。下面我们考虑如何根据两点的坐标来证明两点间的距离公式为：[来源:21世纪教育网]
【引导】
师：为了使同学们更好的理解空间两点间的距离公式的推导过程，我们按照由特殊到一般的思维过程先研究比较简单的情形。然后再利用类比的方法推广到一般情况。
【师生互动】[来源:21世纪教育网]
师：如果两点P1、、、P2是三个坐标平面中的其中一个平面上的任意两点，如何计算这两点之间的距离？它们适合公式
吗？
生：作图并分别写出两点P1、、、P2在三个坐标平面中的坐标，并思考如何求出两点间的距离。
师：巡视指导，并点拔：“若两点P1、、、P2都在平面XOY中，两点的坐标的形式是什么？”“实质上这两点的距离是否就是平面上两点两点间的距离，利用两点间的距离公式验证它是否符合？”
师：显然平面上两点间的距离公式是空间两点间距离公式的特殊情况，如果P（x,y,z）那么它到坐标原点O的距离如何求解呢？如图：设点P在XOY平面上的射影是B，则B点的坐标根据空间中点的坐标的定义是什么？如何在空间立体图形中求出OP的长？
生：观察图形通过立体几何知识分析图中的线面关系？
师：引导学生回顾求解空间中两点间的距离的思想，即将空间问题最终转化为平面问题，常常在一些平面图形中求解，如在三角形、梯形中。
生：回答教师提出的问题，教师及时纠正学生的错误，并由学生口述解题过程，教师板书：
据题意知点P在平面XOY上的射影B点的坐标是（x,y,o），在平面XOY中，由于PB平面XOY，故PBOB，因此在直角三角形OBP中，根据勾股定理：因为，所以，这说明，在空间直角坐标系）O—XYZ中，任意一点P（x,y,z）与原点的距离
【师生互动】
师：如果的长是定值R，则方程表示何图形？
生：思考并与同桌交流。
师：巡视指导，并适时点拔：“在平面直角坐标系中，方程表示以原点为圆心，半径为的圆”据此类比“方程左端的形式与我们学习的那个知识相似？它表示的几何意义是什么？”“在空间中满足条件的点构成什么图形？”
生：回答，此过程中可能会引起学生的争论，教师要注意正确的引导。
【点拨】
师：在平面直角坐标系中，方程表示以原点为圆心，半径为的圆，据此，学生不难将此推广到空间，得出表示以原点为球心，半径为的球面
类似地不难将平面直角坐标系中的中点公式也可以推广到空间直角坐标系中。即如果，则两点的中点P的坐标为。
师：有了上基础，我们不难将OP的长度推广到空间任意两点间的距离公式，证明过程如下：（多媒体投影）[来源:21世纪教育网]
[来源:21世纪教育网]
【点拔】
空间两点、间的距离反映在立体几何中，实质上是以、作为长方体的一条体对角线的端点的所在体对角线的长，其中此长方体的长为，宽为，高为。
师：下面我们通过具体例题来说明两点间距离公式的应用。
（多媒体投影）
已知A(x，2,3)、B(5,4，7)，且|AB|=6，求x的值。
【引导】
师：利用空间两点间的距离公式，寻找关于x的方程，解方程即得。
生解答并回答解题过程
|AB|=6，∴
即，解得x=1或x=9
∴x=1或x=9
【点拨】
求字母的值，常利用方程的思想，通过解方程或方程组求解。
证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形△ABC是一等腰三角形.
解答：由两点间距离公式得：
由于，所以△ABC是一等腰三角形
（多媒体投影）
3．点P在坐标平面xOy内，A点的坐标为(-1,2，4)，问满足条件|PA|=5的点P的轨迹是什么？
【引导】
师：因点P一方面在坐标平面xOy内，另一方面满足条件|PA|=5，即点P在球面上，故点P的轨迹是坐标平面xOy与球面的交线。
生：思考并解答
（多媒体投影）
设点P的坐标为(x, y, z)。点P在坐标平面xOy内，∴z=0|PA|=5，∴即=25，
∴点P在以点A为球心，半径为5的球面上，
∴点P的轨迹是坐标平面xOy与以点A为球心，半径为5的球面的交线，即在坐标平面xOy内的圆，且此圆的圆心即为A点在坐标平面xOy上射影(-1,2，0)。
点A到坐标平面xOy的距离为4，球面半径为5，21世纪教育网
∴在坐标平面xOy内的圆的半径为3。
∴点P的轨迹是圆=9，z=0。
【点拔】
师：对于空间直角坐标系中的轨迹问题，可用平面直角坐标系中的轨迹问题的求解方法类比解决。
（迁移应用一）
（多媒体投影）
1． 已知A(2,5，-6)，在y轴上求一点B，使得|AB|=7。
【引导】
师：注意Y轴上点的坐标的特点。
生： B(0,2，0)或B(0,8，0)。
（多媒体投影）
2．点P在坐标平面xOz内，A点的坐标为(1,3，-2)，问满足条件|PA|=5的点P的轨迹方程。
答案：点P的轨迹方程是=16，y=0。
新知探究（二）
【引导】学习了空间直角坐标系后，我们就可在空间直角坐标系中研究空间几何图形的有关问题。用坐标法解决有关立体几何问题时，与其它方法相比，可以避免烦琐的说理、证明，因此坐标法在求解有关立体几何问题中有着较广泛的应用，特别是在学习了向量的有关知识后，如将坐标法与向量方法相结合，那在研究立体几何问题时将显得更优越。下面我们通过具体例题来说明它的应用。
（多媒体投影）
例2．在四面体P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，设PA=PB=PC=a，求点P到平面ABC的距离。
【引导】
师：通过前面的学习，我们可以通过坐标法即用代数的方法解决几何问题，同学们回想一下坐标法解题的步骤是什么？你能否将在平面上解决问题的方法迁移到空间当中去？
生：坐标法解题的步骤是：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题，第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论。
师：同学们解答此题，然后教师用多媒体投影：
解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz，则P(0,0，0)，A（a,o,o），B（o,a,o），C（o,o,a）.
过P作PH平面ABC，交平面ABC于H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离。PA=PB=PC,∴H为ABC的外心，又 ABC为正三角形，∴H为ABC的重心。由重心的坐标公式有：可得H点的坐标为，∴|PH|=。
∴点P到平面ABC的距离为。
【点拔】（多媒体投影）
师：坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：①在立体几何图形中建立空间直角坐标系；②依题意确定各相应点的坐标 ；③通过坐标运算得到答案。
迁移应用（二）
（多媒体投影）如图在正方体OABC－D1A1B1C1的棱长为a，，求MN的长。
学生解答，然后教师投影：
【知能总结】
（学生总结教师点评）
本节课学习的主要内容有: （多媒体投影）
（1） 空间中两点间的距离公式及其推导。
（2） 球面方程
（3） 空间中两点间距离公式的简单应用：应用坐标法解立体几何中的有关问题。
教学思想与方法：
（1） 培养学生类比的方法和养成严谨论证的思维习惯。
（2） 体会由特殊到一般解决问题的思维方法。
作业：P147B组第1题和第3题。
附一：板书设计：
课题：空间中两点间的距离公式
一．空间中两点间的距离公式的推导。1．空间中点P到坐标原点的距离。2．任意两点的距离公式。3．巩固练习 二．空间中两点间的距离公式在立体几何中的应用。例题 三．小结1．2．3．作业
附二。教学札记：
本节课在课堂教学设计中，力求从如下几个方面使课堂教学达到最优化：
1．学生参与课堂教学的整个过程，所有知识的生成和问题的解决都是在教师的适当引导下，由学生探究完成的。让学生成为课堂教学的主人，教师只起导演的作用，摒弃以教师为中心的课堂教学观，通过具体的教学过程来看整堂课学生是不仅全员参与学，而且学生还参与教，把教与学的角色集于一身。没有学生积极
参与的课堂教学，是谈不上开发学生潜能的。而且通过设置难度适宜的问题和教师的巧妙点拔使学生敢于提出问题、发表见解，并使学生看问题与见解是否有挑战性与独创性。学生的主动创造是课堂教学中最令人激动的一道风景，而创造这样的景观绝非教师一日之功。如在在推导空间两点间的距离公式时，我并不是直接给出公式而是让学生根据所学的平面上两点间的距离公式进行大胆的类比猜想，调动了学生的学习热情，使学生经历一个从易到难，从特殊到一般的过程。其目的在于让学生掌握类比的方法和养成严谨的思维习惯。
（2）通过将所学知识与生活中有实际联系的蜂巢能否被击落这样一个有趣的问题的导入，增强了讲授的吸引力，因为只有设好疑，才能促进学生去解疑;惟有激情趣，才能吸引学生去听、去想、去思考，这样极大的调动了学生学习的热情和课堂气氛，使课堂上的人际交往产生了良好的合作氛围。激发了学生探究新知的欲望和合作探究的精神，通过现代技术的使用提高了教学效率和教学效果。
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课题： 1.2.2线面平行的判定
学科 数学 课型 新课 授课教师 肖瓒酉 授课班级 1年3班
教21世纪教育网学[来源:21世纪教育网][来源:21世纪教育网]目21世纪教育网标 知 识与技能21世纪教育网 1.掌握直线和平面的位置关系2.掌握直线和平面平行的判定定理3.应用直线和平面平行的判定定理证明线面平行有关问题
过 程与方法 培养学生的空间想象能力，逻辑推理能力，合作沟通能力
情 感态 度与价值观 让学生积极参与观察、分析、探索等课堂教学活动，在掌握知识的过程中体会成功的喜悦，提高学习兴趣，激发学生的求知欲，培养学生的探索精神。
教学模式 合作探究
重 点 直线和平面平行的判定定理。
难 点 直线和平面平行的判定定理的应用，体会空间与平面问题的差异。
教 学 过 程 设 计
教学程序 知识梳理与构建一条直线和一个平面的位置关系有以下三种 关系图形符号公共点个数直线在平面上直线与平面相交直线与平面平行引导学生观察身边的实物实例感受1.在生活中，注意到门扇的两边是平行的．当门扇绕着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面没有公共点，此时门扇转动的一边与门框所在的平面给人以平行的印象．实例感受2.将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？如何去确定这种关系呢？这就是我们本节课所要学习的内容。1. 教学线面平行的判定定理：探究: 有平面和平面外一条直线a,什么条件可以得到a//？分析: 要满足平面内有一条直线和平面外的直线平行。判定定理: 平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行. 符号语言: 2.辨析与示例辨析1.在以下的三个命题中，其中正确的有( )①直线与平面内的任一条直线不相交，则直线与平面平行②平行于同一平面的两条直线平行③两平行线其中一条与一个平面平行，则另一条也与之平行2. (1)a、b是两条直线，且a∥b,那么a 平行于经过b的任何平面；(2)过直线外一点，可作无数个平面与这条直线平行(3)过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条例1求证：:空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面.→改写：已知：空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点，求证：EF//平面BCD.→ 分析思路 → 学生试板演例2长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1B和B1C的中点， 判断直线EF和面ABCD的关系，并说明理由. → 分析思路 →师生共同完成 → 小结方法 → 变式训练：还可证哪些线面平行3练习1.全等矩形ABCD和ABEF公共边为AB，M,N在对角线AE,BD上，AM:AE=DN:DB,证明：MN//面BEC2. AB,BC,CD为不共面的3条线段，E是BC中点，过E点是否存在平行于AC,BD的平面 试证明你的判断3. △ABC中D,E为AC,AB中点，沿DE将△ADE折起至A1，连接A1B,A1C,取A1B中点M，证明ME//面A1DC4.在△ABC所在平面外有一点P，M、N分别是PC和AC上的点，过MN作平面平行于BC，画出这个平面与其他各面的交线，说明理由 4.小结 师生活动 设计意图
板书设计
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直线的方程
一、复习目标：
1．深化理解倾斜角、斜率的概念，熟练掌握斜率公式；
2．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能熟练写出直线方程．21世纪教育网
二、知识要点：
1．过两点、的直线斜率公式： ．
2．直线方程的几种形式：点斜式： ；斜截式： ；
两点式： ；截距式： ；一般式： ．21世纪教育网
三、课前预习：
1．设，则直线的倾斜角为 （ ）
2．已知，则过不同三点，，的直线的条数为 （ ）
多于21世纪教育网
3．已知的顶点,，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是
或；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是.
4．若直线的方向向量是,则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率k的取值范围为
或.
四、例题分析：
例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程.
解：设点，①当=2时，，代入中，得.∴点．由两点式，得的方程为：.
②当=-2时，得点，由两点式，得的方程为：.
综上所述，
小结：的方程为：或.
例2．（1）已知，试求被直线所分成的比λ；
（2）已知，，若直线与直线相交于点，不与重合，求证：点分的比.
解：（1）由两点式求出直线的方程为：，与联立，求得两条直线的交点为（，）.由定比分点公式，得.
（2）证明：设分的比为λ，则，.
∵（，）在直线上，∴ ，
即.∵（，）不在直线上，∴.∴.
例3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程.
解：设直线的方程为，则它在轴，轴上的截距分别为，.由＞0且，得.设两截距之和为，则
，当且仅当，即时，取得最小值.此时直线的方程为.
例4．的一个顶点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程．
解：∵三角形的顶点不在两条高所在直线上，∴设方程为边的高所在直线的方程，方程为边的高所在直线的方程，
∴边AC所在直线的方程为，即①．
∴边AB所在直线的方程为，即②．
由得；由 得．
∴边BC所在直线方程为，即．
∴边AB、AC、BC所在直线的方程分别为，，．
五、课后作业： 班级 学号 姓名
1．若，则过点与的直线的倾斜角的取值范围是（ ）
2．以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为的正方形的四条边的方程为 （ ）21世纪教育网
3．已知三点，，在同一直线上，则的值为或．
4．过点的直线与轴、轴分别交于、两点，点分有向线段所成的比为，则直线的斜率为，直线的倾斜角为.
5．设，，则直线的倾斜角为 （ ）
．
6．不论为何实数，直线恒过定点．
7．设过点作直线l交x轴的正半轴、y轴的正半轴于A、B两点，
（1）当取得最小值时，求直线l的方程．
（2）当取得最小值时，求直线l的方程．
解：（1）如图1，设直线l的方程为：．
令，得点；令，得点．
∴＝21世纪教育网
＝≥＝，当且仅当，即时取等号．
∴直线l的方程为，即．
（2）设直线的方程为：.
∵点，∴，∴，∴，当且仅当，即，时取等号．由题设知，的最小值为，此时，．
∴直线l的方程为，即．
8．对直线上任意一点，点也在直线上，求直线的方程．
解：由题意知不平行于轴，设：①，则②．
联立①②，消去得对恒成立，则，解得或，∴直线的方程是或．
9．求过点P(0，1)的直线l，使它包含在两已知直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0间的线段被点P所平分．
解法1：(求另一点坐标)如图2所示，设直线l与l1，l2的交点分别为A，B．
∵点A在直线l1上，∴设点A的坐标为(a，－2a＋8)，∵点P(0，1)是AB的中点，
∴点B的坐标xB＝2×0－a＝－a，yB＝2×1－(－2a＋8)＝2a－6．
∵点B在直线l2上，∴(－a)－3(2a－6)＋10＝0，得a＝4．
即点A的坐标是(4，0)．由A、P坐标得l方程，即x＋4y－4＝0．
解法2：(求斜率)如图2所示，设直线l的方程为y－1＝kx．
则由方程组解出l与l1的交点A()；
由解出l和l2的交点B ()．
∵P(0，1)是AB的中点，
∴＝０，得k＝－．
∴直线l的方程为y－1＝－x，即x＋4y－4＝0．
解法3：(构造方程)如图20所示，设l与l1的交点A(x1，y1)．
∵P(0，1)是AB的中点，则l和l2的交点B(－x1，2－y1)．
∴2x1＋y1－8＝0，－x1－3(2－y1)＋10＝0，即2x1＋y1－1＝7①，x1－3(y1－1)＝7②．
由①－②，得x1＋4(y1－1)＝0，∴直线x＋4(y－1)＝0过点A(x1，y1)与P(0，1)，
∴l的方程为x＋4(y－1)＝0，即x＋4y－4＝0．
10．设同在一个平面上的动点、的坐标分别是、，并且坐标间存在关系，，当动点在不平行于坐标轴的直线上移动时，动点在与直线垂直且通过的直线上移动，求直线的方程．
解：设直线的方程为 ①，则动点的轨迹为 ②．
把，代入②得， ③
①与③是同一条直线，所以可得、、之间的比例关系，
∴或，∴所求直线方程是或．
0
x
y
A
，
B
P(2，1)
l
图1
A
B
0
P
x
y
l1
l2
l
图2
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1.1.4投影与直观图
教学目标：1、了解表示空间图形的投影方法原理
2、掌握斜二测画法
3、了解中心投影方法
教学重点：掌握斜二测画法
教学过程：
一、投影法
物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。人们将这种自然现象加以科学的抽象，总结其中的规律，提出了投影的方法。如图1—1所示，以不在投影面上的定点S为投影中心，由S射出投影线，该投影线通过空间点A与投影面P相交于点ɑ，点ɑ就是空间点A在投影面P上的投影。同理，点b则是空间点B在投影面P上的投影。这种使物体在投影面上产生图像的方法叫投影法。工程上常用各种投影法来绘制用途不同的工程图样。
二、投影法分类
1.中心投影法
投影线均通过投影中心的投影法称为中心投影法(图1—2)。其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形。
图1—1 投影法 图1—2 中心投影法
2.平行投影法
投影线相互平行的投影法称为平行投影法(图1—3)。其中，投影线倾斜于投影面叫平行斜投影法〔图1—3(ɑ)〕；投影线垂直于投影面叫平行正投影法简称正投影法〔图1—3(b)〕。
(ɑ)平行斜投影 (b)平行正投影
图1—3 平行投影法
应用正投影法，能在投影面上反映物体某些面的真实形状及大小，且与物体到投影面的距离无关，因而作图方便，故在工程中得到广泛的应用。工程图样就是用正投影法绘制的。
三、平行投影的基本特性
平行投影的基本特性，是指空间几何要素——点、线、面经过平行投影后的特性。
1.点的投影仍为点
如图1—4所示，空间A点的投影为点ɑ。
2.直线的投影一般仍为直线
如图1—5所示，AB直线的投影为直线ɑb。
图1—4 点的投影 图1—5 直线的投影
3.一点在某直线上，则点的投影一定在该直线的投影上
如图1—6所示，点M在直线AB上，那么点M的投影m也一定在直线AB的投影ɑb上。21世纪教育网
4.直线上两线段之比，等于其投影之比
从图1—6中可以看出，点M分直线AB为AM和MB，而其投影为ɑm和mb，则AM∶MB=ɑm∶ mb。因位于同一平面的两直线(AB及ɑb)被若干平行直线所截，则被截各段成比例。
5.两直线平行，其投影亦平行21世纪教育网
如图1—7所示，设AB∥CD，则ɑb∥cd。因AB与CD平行，AB、CD与投影线所构成的二平面——ABbɑ与CDdc必然互相平行，它们与第三平面H相交，其交线也一定平行。
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图1—6 点在直线上的投影 图1—7 平行两直线的投影
6.两平行线段之比，等于其投影之比
如图1—7所示，当线段AB∥CD，则ΔABM相似于ΔCDN，又AM=ɑb，CN=cd，所以AB:CD=AM:CN=ɑb:cd。
7.直线、平面图形投影的三种特性
(1)积聚性——当直线或平面图形与投影线平行时，则它们的投影有积聚性。如图1—8所示，直线AB和ΔCDE皆平行于S，所以AB的投影积聚为一点；而ΔCDE积聚成一条直线cde。
(2)实形性——当直线或平面图形平行于投影面时，则其投影反映实形。如图1—9中，直线AB与平面ΔCDE均平行于投影面H，则它们的投影ɑb=AB反映线段实长；Δcde=ΔCDE反映平面的实形。
(3)类似性——直线或平面图形倾斜于投影面时，直线的投影变短了；而平面图形变成小于原图形的类似形，如图1—10所示。
图1—8 平行投影的积聚性 图1—9 平行投影的实形性
图1—10 平行投影的类似性
四、常用的投影图概述
1、轴测投影图
图1—11 轴测投影图
用平行正投影法或斜投影法将空间几何形体及确定其空间位置和形状的直角坐标系，共同投影在单一投影面上所得的图形称为轴测投影图，简称轴测图。如图1—11所示，空间一立方体连同其直角坐标OX、OY、OZ一同向平面P投影，得到轴测投影轴O1X1、O1Y1、O1Z1及立方体的轴测图
轴测投影的种类很多，常用的是斜二轴测投影和正等轴测投影
2、透视投影图
透视投影图采用中心投影法，它与照相成影的原理相似，投影图接近于视觉映象。所以透视投影图富有逼真感，直观性强。按照特定规则画出的透视投影图，完全可以确定空间几何元素的几何关系。图1—13是某一几何体的透视投影图，但它不能直接反映物体真实的几何形状和大小。由于采用中心投影法，所以空间平行的直线，投影后就不平行了。
透视投影图虽然直观性强，但由于作图复杂且度量性较差，故在工程上只用于土建工程及大型设备的辅助图样。随着计算机绘图技术的发展，用计算机绘制透视图，可避免人工作图的繁杂性。由此，在某些场合如工艺美术及宣传广告图样中广泛地采用透视图，以取其直观性强的优点。
图1—13 几何体的透视图
五、斜二测画法见教材
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课堂练习：
小结：21世纪教育网
平行投影的概念及基本性质，斜二测画法.
课后作业：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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两条直线的位置关系
一、复习目标：
1．掌握两直线平行与垂直的条件，两直线的夹角和点到直线的距离公式．
2．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．
二、知识要点：
1．已知两条直线与：（1） ．
（2） ；
（3）与重合 ．
2．直线到的角公式： ；直线与的夹角公式： ．
3．点到直线的距离公式： ；两平行直线间的距离公式： ．21世纪教育网
三、课前预习：
1．中，是内角的对边，且成等差数列，则直线与的位置关系（ ）
重合 相交不垂直 垂直 平行
2．点到直线的距离为的最大值是 （ ）
3．设直线：与直线：.
①若互相垂直，则的值为 0或2 ；②若没有公共点，则的值为或.
4．已知三角形的三个顶点为、、．
（1）；（2）的平分线所在的直线方程为.
5．点关于直线的对称点的坐标为．
四、例题分析：
例1．光线从点射出，经直线：反射，反射光线过点．
（1）求入射光线所在直线方程；
（2）求光线从到经过的路程.
解：设点关于直线的对称点是
．∴，
解之得，∴．
（1）∴入射光线所在直线方程即直线方程：．
（2）设入射光线与直线交于点，则共线．
∴．
小结：
例2．已知的顶点，过点的内角平分线的方程是，过点的中线方程为，求顶点的坐标和直线的方程．
解：设点，由过点的内角平分线方程得①，又∵的中点在过的中线上，∴②，联立①、②解得，∴点．
又∵，过点的角平分线的斜率，由到角公式得，解得，故直线的方程为．
小结：
例3．求过点且被两直线：
，:所截得的线段长的直线的方程.
解：如图，设所求直线分别交、于点B、C，[来源:21世纪教育网]
∵∥
∴、之间的距离|BD|=.
由已知|BC|=3，∴∠BCD=45°，
即所求直线与（或）的夹角为45°，设所求直线的斜率为k，
则有：tan45°=，解之得，k1=-7或k2=-.
∴所求直线的方程为y=-7(x-2)或y-3=(x-2)，即，7x+y-17=0或x-7y+19=0.
小结：
1．过点引直线，使它与两点、距离相等，则此直线方程为（ ）
或
或
2．把直线绕原点逆时针方向转动，使它与圆相切，则直线转动的最小正角是 （ ）
3．等腰三角形底边所在的直线的方程为,一腰所在的直线的方程为,点在另一腰上,则此腰所在的直线的方程为.
4．已知为坐标原点，点的坐标为，为线段垂直平分线上的一点，若为锐角，则点的横坐标的取值范围是或．
5．△ABC中，顶点、、内心，则顶点的坐标为．21世纪教育网
6．已知直线：，：，求直线关于直线对称的直线的方程.
x+y-1=0， x=
解法1 由 得
2x-y+3=0， y=
∴过点P（，）.
又，显然Q（-1，1）是直线上一点，设Q关于直线的对称点为（，），则有
=0
解之，得
=2
即（0，2）.
直线经过点P、，由两点式得它的方程为x-2y+4=0.
解法2 由解法1知，与的交点为P（，）.
设直线的斜率为k，且与的斜率分别为-1和2.
∵ 到的角等于到的角，
∴ =， ∴ .
∴直线的方程为y-=（x+），即x-2y+4=0.
解法3 设M（x，y）是直线上的任意一点，点M关于直线的对称点为，坐标为（，），则
=1-y
解得
=1-x
即点（1-y，1-x），因为点在直线上，将它的坐标代入直线的方程得，x-2y+4=0，即为直线的方程.
7．已知三条直线：，：，：，它们围成.
（1）求证：不论取何值时，中总有一个顶点为定点；
（2）当取何值时，的面积取最大值、最小值？并求出最大值、最小值.
证明⑴ 将直线：mx-y+m=0化为m（x+1）-y=0，
x+1=0，
由 得x=-1，y=0，即直线经过定点（-1，0）.
-y=0，
同理，将：（m+1）x-y+（m+1）=0化为m（x+1）+（x-y+1）=0，
x+1=0
由 得x=-1，y=0，即直线经过定点（-1，0）.
x-y+1＝021世纪教育网
从而，直线、都过同一个定点（-1，0），由于、的交点是△ABC的一个顶点，故△ABC中总有一个顶点为定点.
⑵ 设、的交点为A（-1，0），、的交点为B，、的交点为C（如图），则A到直线的距离为
EMBED Equation.3 =
=.
mx-y+m=0， x=
由 解得
x+my-m（m+1）=0， y=+m
即B（，+m+1）.
x+my-m（m+1）=0， x=0
由 解得
（m+1）x-y+（m+1）=0 y=m+1
即C（0，m+1）.
所以，.
于是，△ABC的面积===21世纪教育网
∵ ≥2|m|， ∴ ≤，
∴ ，从而S∈[，].
令S=，则m=-1；令S=，则m=1.
所以，当m=1时，△ABC有最大面积；当m=-1时，△ABC有最小面积.
8．已知正方形的中心为直线和的交点，正方形一边所在直线的方程为，求其它三边所在的直线方程．
解：∵直线和的交点为，且设与平行的边所在的直线方程为，则，∴，故此直线方程为．
又设与垂直的边所在的直线方程为，则
，∴或．
所以其它三边所在的直线方程为，，．
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圆的标准方程
教学目标
（1）认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法；
（2）掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径；
（3）能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程．
教学重点
圆的标准方程及其运用．
教学难点
圆的标准方程的推导和运用．
教学过程
一、问题情境
1．情境：
河北赵州桥是世界上历史最悠久的石拱桥，其圆拱所在的曲线是圆，我们能否表示出该圆弧所在圆的方程呢？
2．问题：
在表示方程以前我们应该先考察有没有坐标系？如果没有坐标系，我们应该怎样建立坐标系？如何找到表示方程的等式？
二、学生活动
回忆初中有关圆的定义，怎样用方程将圆表示出来？
三、建构数学21世纪教育网
1．由引例赵州桥圆弧所在圆的方程的求解过程推导一般圆的标准方程：
一般地，设点是以为圆心，为半径的圆上的任意一点，则，由两点间距离公式，得到：即（１）；
反过来，若点的坐标是方程的解，则，
即，这说明点到点的距离为即点在以为圆心，为半径的圆上；
2．方程叫做以为圆心，为半径的圆的标准方程；
3．当圆心在原点时，圆的方程则为；
特别地，圆心在原点且半径为１的圆通常称为单位圆；其方程为[来源:21世纪教育网]
四、数学运用
1．例题：
例1．分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径：
⑴； ⑵
⑶ ⑷21世纪教育网
⑸
解：（如下表）
方程 圆心 半径
例2．（１）写出圆心为，半径长为的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上；
（２）求圆心是，且经过原点的圆的方程。
解：（１）∵圆心为，半径长为
∴该圆的标准方程为
把点代入方程的左边＝右边即点的坐标适合方程，∴点是这个圆上的点；
把点的坐标代入方程的左边即点坐标不适合圆的方程，∴点不在这个圆上；
（２）法一：∵圆的经过坐标原点，
∴圆的半径为
因此所求的圆的方程为即；
法二：∵圆心为
∴设圆的方程为
∵原点在圆上即原点的坐标满足圆方程即即
∴所求圆的标准方程为：
例3．（１）求以点为圆心，并且和轴相切的的圆的标准方程；
（２）已知两点，，求以线段为直径的圆的方程．
解：（１）∵圆与轴相切∴该圆的半径即为圆心到轴的距离；
因此圆的标准方程为；
（２）∵为直径∴的中点为该圆的圆心即
又∵∴[21世纪教育网]
∴圆的标准方程为
例4．已知隧道的截面是半径为的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为，高为的货车能不能驶入这个隧道？
解：以某一截面半圆的圆心为原点，半圆的直径所在的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示，那么半圆的方程为：
将代入得
即离中心线处，隧道的高度低于货车的高度
因此，该货车不能驶入这个隧道；
思考：假设货车的最大的宽度为，那么货车要驶入高隧道，限高为多少？
略解：将代入得即限高为
五、回顾小结：
1．圆的标准方程及其表示的圆心和半径；
2．建系思想和方程思想；
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平面的基本性质及推论 一
教学目标：理解公理1、2、3的内容及应用
教学重点：理解公理1、2、3的内容及应用
教学过程：
（1） 公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内21世纪教育网
1、直线与平面的位置关系
2、符号:点在直线上,记作,
点在平面内,记作,
直线在平面内,记作
（2） 公理二:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.
今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线).
两个平面有且只有一条公共直线,称这两个平面相交,公共直线称为两个平面的交线,记作.
（3） 公理三:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
（4） 问题：
(1)如果一条线段在平面内,那么这条线段所在直线是否在这个平面内
(2)一条直线经过平面内一点和平面外一点,它和这个平面有几个公共点 为什么
(3)有没有过空间一点的平面 这样的平面有多少个
(4)有没有过空间两点的平面 这样的平面有多少个
(5)有没有过一条直线上三点的平面 这样的平面有多少个
(6)有没有过不在同一条直线上三点的平面 这样的平面有多少个
(五)给出几个正方体作出截面图形
课堂练习：教材第40页 练习A、B
小结：21世纪教育网
本节课应了解：1.理解公理一、三,并能运用它解决点、线共面问题.
2.理解公理二,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题.
3.初步掌握“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”三种语言之间的转化.
课后作业：略
平面的基本性质及推论 二
教学目标：理解推论1、2、3的内容及应用
教学重点：理解推论1、2、3的内容及应用
教学过程：
（5） 推论1：直线及其外一点确定一个平面21世纪教育网
（6） 推论2：两相交直线确定一个平面
（7） 推论3：两平行直线确定一个平面
（四）例1已知：空间四点、、、不在同一平面内．
求证：和既不平行也不相交．
证明：假设和平行或相交，则和可确定一个平面，则，，故，，，.这与已知条件矛盾.所以假设不成立,即和既不平行也不相交．
卡片:1、反证法的基本步骤：假设、归谬、结论；
2、归谬的方式：与已知条件矛盾、与定理或公理矛盾、自相矛盾．
例2已知：平面平面=，平面平面=，平面平面=且不重合．
求证：交于一点或两两平行．
证明：(1)若三直线中有两条相交，不妨设、交于．
因为，，故，
同理，，
故．
所以交于一点．
(2)若三条直线没有两条相交的情况，则这三条直线两两平行．21世纪教育网
综上所述,命题得证.
例3已知在平面外，它的三边所在的直线分别交平面于．
求证：三点共线．
证明：设所在的平面为，则为平面与平面的公共点，
所以三点共线．
卡片：在立体几何中证明点共线，线共点等问题时经常要用到公理２．
例4正方体中,E、F、G、H、K、L分别是的中点.
求证：这六点共面．
证明：连结和，
因为 是的中点，
所以 ．
又 矩形中，
所以 ，21世纪教育网
所以 可确定平面，
所以 共
面，
同理 ，
故 共面．
又 平面与平面都经过不共线的三点，
故 平面与平面重合，所以E、F、G、H、K、L共面于平面．
同理可证，
所以，E、F、G、H、K、L六点共面．
卡片：证明共面问题常有如下两个方法：
(1)接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；
(2)间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合．
课堂练习：
1.判断下列命题是否正确
(1)如果一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线确定一个平面． ( )
(2)经过一点的两条直线确定一个平面． ( )
(3)经过一点的三条直线确定一个平面． ( )
(4)平面和平面交于不共线的三点A、B、． ( )
(5)矩形是平面图形. ( )
2.空间中的四点，无三点共线是四点共面的 条件．
3.空间四个平面两两相交，其交线条数为 .
4.空间四个平面把空间最多分为 部分．
5.空间五个点最多可确定 个平面．
6.命题“平面、相交于经过点M的直线a”可用符号语言表述为 .
7.梯形ABCD中,AB∥CD,直线AB、BC、CD、DA分别与平面交于点E、G、F、H.那么一定有G 直线EF,H 直线EF.
8.求证：三条两两相交且不共点的直线必共面.
小结：
本节课学面的基本性质的推论及其应用
课后作业：略
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1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征
教学目标：理解棱锥、棱台的基本概念
教学重点：理解棱锥、棱台的基本概念
教学过程：
1．“一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形”是棱锥的本质特征．
正棱锥是一种特殊棱锥．正棱锥除具有棱锥的所有特征外，还具有：①底面为正多边形；②顶点在过底面正多边形的中心的铅垂线上．
“截头棱锥”是棱台的主要特征，因此，关于棱台的问题，常常将其恢复成相应的棱锥来研究．
2．正棱锥的性质很多，但要特别注意：
(1)平行于底面截面的性质 [来源:21世纪教育网]
如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么：
①棱锥的侧棱和高被这个平面分成比例线段．
②所得的截面和度面是对应边互相平行的相似三角形．
③截面面积和底面面积的比，等于从顶点到截面和从顶点到底面的距离平方的比．
(2)有关正棱锥的计算问题，要抓住四个直角三角形和两个角：
正棱锥的高、侧棱及其在底面的射影、斜高及其在底面的射影、底面边长的一半可组成四个直角三角形．
四个直角三角形是解决棱锥计算问题的基本依据，必须牢固掌握．
3．棱台的性质都由截头棱锥这个特征推出的，掌握它的性质，就得从这个特征入手
同棱锥一样，棱台也有很多重要性质，但要强调两点：
(1)平行于底面的截面的性质：
设棱台上底面面积为S1，下底面面积为S2，平行于底面的截面将棱台的高分成距上、下两底的比为m∶n，则截面面积S满足下列关系： [来源:21世纪教育网]
(2)有关正棱台的计算问题，应抓住三个直角梯形、两个直角三角形：
正棱台的两底面中心的连线、相应的边心距、相应的外接圆半径，侧棱，斜高，两底面边长的一半，组成三个直角梯形和两个直角三角形(上、下底面内各一个直角三角形)．
正棱台中的所有计算问题的基本依据就是这三个直角梯形、两个直角三角形和两个重要的角，必须牢固掌握．
4．棱锥、棱台的侧面展开图的面积，即侧面积，是确定其侧面积公式的依据．
(1)正棱锥的侧面是彼此全等的等腰三角形，由此可得其侧面积公式： [来源:21世纪教育网]
(2)正棱台的侧面是彼此全等的等腰梯形，由此可得其侧面积公式：
棱锥的全面积等于：S全=S侧+S底
棱台的全面积等于：S全=S侧+S上底+S下底
(3)棱柱、棱锥和棱台的侧面公式的内在联系必须明确，它有利认识这三个几何体的本质，也有利于区分这三个几何体，在正棱台侧面积公式中：
当C'=C时，S棱柱侧=Ch 21世纪教育网
可以联想：棱柱、棱锥都是棱台的特例．
6．关于截面问题
关于棱锥、棱台的截面，与棱柱截面问题要求一样，只要求会解对角面、平行于底面的截面(含中截面)、以及已给出图形的截面，或已给出全部顶点的截面，但对于基础较好，能力较强的同学，也可以解一些其他截面，比如：平行于一条棱的截面，与一条棱垂直的截面，与一个面成定角的截面，与一个面平行的截面等．
作截面就是作两平面的交线，两平面的交线就是这两个平面的两个公共点的连线，或由线面平行、垂直有关性质确定其交线，这是画交线，即作截面的基本思路．
课堂练习：
小结：本节课学习了棱锥、棱台的基本概念 [来源:21世纪教育网]
课后作业：
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高一数学必修2 平面直角坐标系中的基本公式
一、教学目标：
1、了解两点间距离公式的推导过程；熟练掌握两点间的距离公式、中点公式；
2、灵活运用两点间的距离公式和中点公式解题；
3、培养学生的数学思维能力。
二、教材分析
1．重点：熟记并能会运用两点间的距离公式、中点公式解简单的题目；
2．难点：灵活运用两点间的距离公式和中点公式解几何综合题和对称问题．
三、活动设计
自主学习、归纳讲授、合作探究、分组讨论、检测反馈、总结反思．
四、教学过程
(一)自主学习：
1. 自学“两点间的距离公式”的推导过程（课本68--69页）。（5分钟完成）
2. 准备回答下列问题：
（1）公式对原点、坐标轴上的点都适应吗？
（2）求两点间的距离有哪四步？
（3）记忆公式有什么规律？
（二）合作探究之一：两点间的距离公式
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？ |P1P2|=|x1-x2|
思考2:在y轴上，已知点P1(0，y1)和P2(0，y2)，那么点P1和P2的距离为多少？ |P1P2|=|y1-y2|
思考3:已知x轴上一点P1(x0，0)和y轴上一点P2(0，y0)，那么点P1和P2的距离为多少？
思考4:在平面直角坐标系中，已知点A(x，y) ，原点O和点A的距离d(O,A)
思考5:一般地，已知平面上两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，利用上述方法求点A和B的距离
由特殊得到一般的结论21世纪教育网
公式1：A（x1,y1）、B(x2,y2)两点间的距离，用d（A，B）表示为
（三）题型分类举例与练习
【例1】已知A（2、-4）、B（-2，3）. 求d（A，B）
〖课堂检测1〗
课本第71页练习A， 1.求两点间的距离（提问学生，回答结果）
【例2】已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0)
求证：三角形ABC是等腰三角形。
证明：因为 d(A,B)=
d(A,C)= d(C,B)=21世纪教育网
即|AC|=|BC|且三点不共线
所以，三角形ABC为等腰三角形。
〖课堂检测2〗 已知：A（1，1）B（5，3）C（0，3）求证：三角形ABC是直角三角形
【例3】证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和的两倍.该题用的方法----坐标法。可以将几何问题转化为代数问题。
用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤：
第一步；建立坐标系，用坐标表示有关的量
第二步：进行有关代数运算
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系
（四）合作探究之二：中点公式
自主学习：自学“中点公式”的推导过程（课本70--71页）。
（2分钟完成）
公式2、中点公式:已知A（x1，y1）, B（x2，y2），M(x,y)是线段AB的中点，计算公式如下
【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
解：因为平行四边形的两条对角线中点相同,
所以它们的中点的坐标也相同.
设D 点的坐标为(x,y).则
解得 x=0 y=4
∴D(0,4)
拓展延伸：请问你还能找到几种方法？
〖课堂检测3〗
1、求线段AB的中点： （直接提问学生口答）
（1) A（3，4） , B（-3,2）
（2) A (-8,-3) , B (5,-3)
2、求P(x,y)关于坐标原点的对称点P’的坐标.关于点M（a,b）的对称点呢？ （自我探究规律）
3、已知 :平行四边形的三个顶点坐标分别是(- 1,-2),(3,1),(0,2).求:第四个顶点的坐标。（分组讨论有几种情形及求解方法）
[21世纪教育网
本节课总结： [来源:21世纪教育网]
一、知识点： 1.两点间的距离公式；2.中点坐标公式
二、题型： 1.求两点间的距离；2.应用距离关系研究几何性质；[来源:21世纪教育网]
3.中点公式与中心对称
三、数学思想方法：1.特殊到一般；2.方程与化归的思想；
3.坐标法（几何与代数的转化）
作业：
P71练习A：1－4. P72：习题2－1A：1－4.
选做：B组题
教学反思：
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圆柱、圆锥、圆台和球
教学目标：1、理解球面、球体和组合体的基本概念，
2、掌握球的截面的性质,
3、掌握球面距离的概念.
教学重点：球的截面的性质及应用，会求球面上两点之间的距离
教学过程：
复习引入
1、圆柱、圆锥、圆台，它们分别由矩形、直角三角形、直角梯形旋转而成的。
2、通过篮球、排球、足球等等球体的形象引出课题.
新授
1、球的概念：球也可以由一个平面图形旋转得到。半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫球面。球面所围成的几何体叫球体，简称球。指出球心、半径、直径。值得注意的是：
1）球面与球体是两个不同的概念，我们要注意它们的区别与联系。
2）球面的概念可以用集合的观点来描述。球面是由点组成的，球面上的点有什么共同的特点呢？与定点的距离等于定长的所有点的集合（轨迹）叫球面。如果点到球心的距离小于球的半径，这样的点在球的内部.
否则在外部.
3）球的表示：用表示球心的字母表示球，比如，球O.[来源:21世纪教育网]
2、球的截面的性质：用一个平面去截球，得到一个截面，截面是圆面，把过球心的截面圆叫大圆，不过球心的截面圆叫小圆.
球的截面有什么性质呢？连接球心与截面圆心，连线OO1与截面圆O1会有什么关系呢？
1） 球心与截面圆心的连线垂直于截面。
2） 设球心到截面的距离为d，截面圆的半径为r，球的半径为R，则：r=
3、练习一：
判断正误：（对的打√，错的打×）[来源:21世纪教育网]
（1）半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球。（ ）
（2）到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球。（ ）
（3）球的小圆的圆心与球心的连线垂直于这个小圆所在平面。（ ）
（4）经过球面上不同的两点只能作一个大圆。（ ）
（5）球的半径是5，截面圆的半径为3，则球心到截面圆所在平面的距离为4。（ ）
4、关于地球的几个概念：地球可以近似的看作一个球体，为了描述地球上某地的地理位置，我们在地球上规定了经线、纬线、南极、北极等概念。21世纪教育网
5、球面距离：假如我们要坐飞机从北京到巴西去，选择怎样的航线航程最短呢？我们把球面上过两点的大圆，在这两点之间的劣弧的长叫球面上两点间的球面距离。因此，飞机、轮船都尽可能以大圆弧为航线航行。21世纪教育网
6、例1 我国首都北京靠近北纬40度。（1）求北纬40°纬线圈的半径约为多少千米。（2）求北纬40度纬线的长度约为多少千米（地球半径约为6370千米）。
7、 练习二：
1）填空
（1）设球的半径为R，则过球面上任意两点的截面圆中，最
大面积是 。
（2）过球的半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，则
这截面圆的半径是球半径的 。
（3）在半径为R的球面上有A、B两点，半径OA、OB的夹角[来源:21世纪教育网]
是n°（n＜180＝，求A、B两点的球面距离。
2） 地面上，地球球心角1′所对的大圆弧长约为1海里，一海里约是多少千米？
3） 思考题：地球半径为R，A、B是北纬45°纬线圈上两点，它们的经度差是90°，求A、 B两地的球面距离。
8、 组合体
请举出一些由柱、锥、台组合而成的几何体的实例
课堂练习：
小结：
a) 半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。球面所围成的几何体叫做球体.
b) 以过球心的平面截球面，截面圆叫大圆。以不经过球心的平面截球面，截面圆叫小圆.
c) 球心和截面圆心的连线垂直于截面，由勾股定理，有：.
d) 把地球看作一个球时，经线就是球面上从北极到南极的半个大圆。赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆.
球面距离是球面上过两点的大圆在这两点之间的劣弧的长度.
课后作业：略
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课题：柱体、锥体、台体的表面积与体积（一）
一、教学目标
1、知识与技能
（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台的全积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2、过程与方法
（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。
（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积的关系。
3、情感与价值
通过学习，使学生感受到几何体面积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。
二、教学重点、难点
重点：柱体、锥体、台体的表面积计算
难点：台体表面积公式的推导
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：实物几何体，投影仪
四、教学设想
一、复习准备：
1. 讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→ 正方体、长方体的表面积计算公式？21世纪教育网
2. 讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？ → 圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？
二、讲授新课：
1. 教学表面积计算公式的推导：21世纪教育网
① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）
② 练习：求各面都是边长为10的等边三角形的正四面体S-ABC的表面积.
一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.21世纪教育网
③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）
圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线）， S=2，S=2，其中为圆柱底面半径，为母线长。
圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为，S=， S=，其中为圆锥底面半径，为母线长。
圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角为，S=，S=.
④ 练习：一个圆台，上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°，求圆台的表面积. （变式：求切割之前的圆锥的表面积）
2. 教学表面积公式的实际应用：
① 例1：一圆台形花盆，盘口直径20cm，盘底直径15cm，底部渗水圆孔直径1.5cm，盘壁长15cm. 为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂200个这样的花盘要多少油漆？（黑板上画图）
讨论：油漆位置？→ 如何求花盆外壁表面积？ 列式 → 计算 → 变式训练：内外涂
② 练习：粉碎机的上料斗是正四棱台性，它的上、下底面边长分别为80mm、440mm，高是200mm, 计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积.（黑板上画图）
3. 小结：表面积公式及推导；实际应用问题[来源:21世纪教育网]
三、巩固练习：
1. 已知底面为正方形，侧棱长均是边长为5的正三角形的四棱锥S-ABCD，求其表面积.
2. 圆台的上下两个底面半径为10、20, 平行于底面的截面把圆台侧面分成的两部分面积之比
为1：1，求截面的半径.
3. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，求这个圆锥的表面积.21世纪教育网
*4. 圆锥的底面半径为2cm，高为4cm，求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值.
*5. 面积为2的菱形，绕其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少？
四、小结：（见黑板版书）
五、 作业
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空间直角坐标系
【情景导入】
师：（手中拿一小球）如何描述我手中小球在教室中的位置。
【引导】
师:通过我们对直角坐标系的学习和应用，我们知道在平面上要确定一点的位置，只需要知道该点在相应坐标中的橫、纵坐标，即由一组有序实数对（x,y）即可确定。那么在空间中要确定一点的位置显然由一组有序实数对（x,y）是不可能确定这点的位置的，例如用我站在教室中距前墙和左墙的距离来描述我手中小球在教室中的位置，但是我们知道满足条件的点有无数多个，都在经过我所站立的点且垂直于地面的直线上，还应加什么条件限制才能准确确定球的位置呢？
生：在确定我站在教室中距前墙和左墙的距离的基础上，还应加小球离地面的距离。
师：很好，只有这样我们才能准确描述出小球的位置，也就是说为了表示空间一点的位置，只用两个数字是不够的，而应需要三个数字，再如为了确定一架正在飞行的飞机的位置，我们不仅需要经度和纬度，还需要确定它距离地面的高度，这就是这一节我们将要学习的:21世纪教育网
书写课题：空间直角坐标系
（新知探究）
【引导】
师：为了确定空间点的位置，我们在直角坐标系x0y中，通过原点O，再作一条数轴Z，使它与x轴、y轴垂直，这样它们中的任意两条互相垂直，这样我们称就建立了一个空间直角坐标系。
（多媒体投影）
空间直角坐标系----从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox、Oy、Oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴。
坐标平面----通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面。
右手直角坐标系----在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
如图所示：
【师生互动】
师：观察上图，建立了空间直角坐标系后，得到了三个平面xOy平面、yOz平面、zOx平面，同学们结合我们学习的立体几何的知识，这三个平面将空间分成了几部分？
生：观察图形，并进行空间想象。
师：巡视指导，让学生发挥自已的空间想象能力。
生：答
【点拔】21世纪教育网
师：可结合教具和学生分析出分成各个部分的位置。三个坐标平面将空间分成八部分，每一部分我们称之为一个卦限。
师：下面我们研究如何确定空间一点的坐标。
（多媒体投影）设点M为空间直角坐标系中的一点，过点M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于P、Q、R点，设点P、Q、R在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x、y和z，那么点M就有唯一确定的有序实数组(x, y, z)；反过来，给定有序实数组(x, y, z)，可以在x轴、y轴、z轴上依次取坐标为x、y和z的点P、Q和R，分别过P、Q和R点各作一个平面，分别垂直于x轴、y轴、z轴，这三个平面的唯一的交点就是有序实数组(x, y, z)确定的点M。
如图
【师生互动】21世纪教育网
师：通过空间一点坐标的定义可以看出，对于空间任意一点一定有唯一确定的一组有序实数对 (x, y, z)和它对应，和直角坐标系一样，我们思考一下有序实数组(x, y, z)是否和空间一点建立了一一对应关系？即反过来给定一组有序实数组(x, y, z)是否对应空间中唯一一点呢？
生：思考并与同桌讨论。
师：巡视指导，可能有的同学主观上认为是正确的，应引导学生不要主观臆断，让事实说话，
即根据定义按照刚才作图的相反顺序具体做图是否确定唯一一点。
【点拔】
师：在坐标轴上分别作出点Px、Py、、、Pz.使它们在X轴、Y轴、Z轴上的坐标分别是x、y、z。再分别通过这些点作平面平行于平面YOZ、XOZ、XOY，由于这三个平面只有一个交点。这样我们就在空间任意一点与三个实数的有有序实数组(x, y, z)（点的坐标）之间，建立起了一一对应的关系：P。21世纪教育网
师：下面我们通过具体题目来巩固我们所学知识。
（多媒体投影）
例1已知长方体ABCD—A1B1C1D1的边长为AB =14，AD =6，AA1 =10 以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB 、AD 、AA1分别为ox、oy、oz轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各顶点的坐标。
师：请同学们根据空间中点的坐标的定义完成题目。
学生解完并回答：
（师生互动）
师：讨论：若以C点为原点，以射线BC、CD、CC1 方向分别为ox、oy、oz轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么，各顶点的坐标又是怎样的呢？
生：
师：这说明不同的坐标系的建立方法，所得的同一点的坐标也不同。通过练习同学们思考在三个坐标轴上的点及三个坐标平面上的点的坐标有何特点？
生：作图并思考
师：巡视指导，这些点都是特殊点，其目的在于在找出这些特殊点的过程中，要善于发现它们的规律。
【点拔】（多媒体投影）
师：在xOy平面上的点的竖坐标都是零，在yOz平面上的点的横坐标都是零，在zOx平面上的点的纵坐标都是零；在Ox轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零，在Oy轴上的点的横坐标、竖坐标都是零，在Oz轴上的点的横坐标、纵坐标都是零。
（多媒体投影）
例2已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标。
【引导】
师：先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的性质，建立适当的空间直角坐标系。
生：正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，∴正四棱锥的高为。
以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB、BC所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，-2,0)、B(2,2，0)、C(-2,2，0)、D(-2，-2,0)、P(0,0，)。
【点拔】
师：在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标
（多媒体投影）
求点P(1,2，3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标。
【引导】
师：根据对称的定义求解。21世纪教育网
生：设点P关于坐标平面xOy的对称点为，连交坐标平面xOy于Q，
则坐标平面xOy，且|PQ|=|Q|，
∴在x轴、y轴上的射影分别与P在x轴、y轴上的射影重合， 在z轴上的射影与P在z轴上的射影关于原点对称，
∴与P的横坐标、纵坐标分别相同，竖坐标互为相反数，
∴点P(1,2，3)关于坐标平面xOy的对称点的坐标为(1,2，-3)。
【点拔】（多媒体投影）
对称问题，常用对称的定义求解。一般地，点P(x, y, z) 关于坐标平面xOy、yOz、zOx的对称点的坐标分别为(x, y,- z)、(-x, y, z)、(x, -y, z)；关于x轴、y轴、z轴的对称点的坐标分别为(x, -y,- z)、(-x, y, -z)、(-x, -y, z)；关于原点的对称点的坐标为(-x,- y,- z)。
迁移应用：（多媒体投影）
在长方体中，AB=12，AD=8，=5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标。
学生运算并回答：
以A为原点，射线AB、AD、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)、B(12,0，0)、C(12,8，0)、D(0,8，0)、(0,0，5)、(12,0，5)、(12,8，5)、(0,8，5)。
（多媒体投影）
2．在空间直角坐标系中，作出点M(6，－2, 4)。
【引导】
师：点M的位置可按如下步骤作出：先在x轴上作出横坐标是6的点，过点过作与YOZ平行的平面，再在Y轴上作出横坐标是－2的点，过点作与平面XOZ平行的平面，同理过Z轴上横坐标是4的点M3作与平面XOY平行的平面，那么三个平面的交点即为所求点M。
生：解答
（多媒体投影）
M点的位置如图所示。
【点拔】
师：通过空间一点P作平行于坐标平面的平面与坐标轴的交点：Px、Py、、、Pz，其实质过程也就是作点P在坐标轴上的投影，即从点P向坐标轴引垂线，它们的垂足分别为Px、Py、、、Pz，所以点P在空间坐标为点P在坐标轴上的投影在这些坐标轴上的坐标。
（多媒体投影）
求点M（2，-3，1）分别关于xOy平面、Oy轴和原点的对称点。
解：点M关于xOy平面的对称点是第三个分量变号，即（2，-3，-1），关于Oy轴的对称点是第一，第三分量变号，即（-2，-3，-1），关于原点的对称点是三个分量都变号即（-2，3，-1）。
【知能总结】
（学生总结教师点评）
本节课学习的主要内容有（多媒体投影）
（1） 空间直角坐标系的产生
（2） 空间直角坐标系的定义及空间中点的坐标和点的对应关系
（3） 空间直角坐标系的应用。
教学思想与方法
培养学生运用类比、交换、数形结合等数学思想方法，培养学生的思想品质。同时锻炼学生的空间思维能力。
作业：
附一板书设计：
课题：空间直角坐标系
一：空间直角坐标系定义。 二：空间直角坐标系应用 三．小结1．2．3．作业：
附二教学札记：在研究过程中，我充分运用了类比、交换、数形结合等数学思想方法，有效地培养学生的思想品质。同时也锻炼了他们的空间思维能力。本节课主要采用了启发式教学方法，通过激发学生学习的求知欲望，使学生主动参与教学实践活动。首先，为了使学生比较顺利地从平面到空间的变化，即从二维向量到三维向量的变化，我采用了类比的数学教学手段，顺利地引导学生实现了这一转化，同时也引起了学生的兴趣。然后，从与平面直角坐标系内点的坐标是借助一个长方形得到的过程，使学生顺理成章地想到空间点的坐标可能是通过借助长方体得到的，让学生亲手实践后，证实了这一结论，增强了学生学习的信心。此后，马上将书上的例1作为学生的口答练习，（一般学生都能回答正确）然后，及时提出问题；如果改变坐标系的确定方法，点的坐标会发生什么变化？经过思考，学生一般也能回答正确，同时，又让学生明确了：坐标系建立的不同，得到的点的坐标也不同。再让学生练习正四棱锥、正三棱锥的空间直角坐标系的建立方法以及根据不同的坐标系，求出各顶点的坐标。
在整个教学过程中，内容由浅入深、环环相扣，不仅使学生在学习过程中了解了知识的发生、发展的过程，也使学生尝到了成功的喜悦，对于增强学生的学习信心，起到了很好的作用。
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