两角和与差的三角函数 同步练习(二)
1．可以化成（ ）
A． B． C．sinxcos2y D．
2．的值是（ ）
A． B． C．－ D．－
3．等于 （ ）
A． B． C． D．
4．下列四个式子中是恒等式的是（ ）
A．＝＋
B．
C．
D．·
5．若∠＝23°，∠B＝22°，则等于（ ）
A． B．2 C． D．
6、的值是（ ）
A、 B、1 C、 D、
7、已知，，则的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
8、的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
9、已知，，，，求。
10、设，，且都是锐角，求。
11、计算的值（）。
12、若为锐角，且，化简。
13、已知，，化简。
14、已知，求证：。
15、在中，，则与1的关系适合（ ）
A、 B、
C、 D、不能确定
16、已知在中，，
。试判断的形状。
17、已知、是方程的两根，且，。求：（1）及的值；（2）的值。
18、如果方程的两根与的比是3:2，求 的值。
19、已知，求的值。
20、化简下列各式：
（1）= 。
（2）若，则= 。
21、化简：。
22、已知，求证：。
23、已知，，求证：。
24、已知，，，，
求证：。
25、在中，若，则此三角形形状是（ ）
A、直角三角形 B、钝角三角形
C、锐角三角形 D、等腰三角形
26、等腰三角形一个底角的正弦和余弦的和为，那么这个三角形的顶角（ ）
A、一定是 B、一定是
C、要么是，要么是 D、要么是，要么是
27、在中，若，，求的值。
28、求值：（1）；（2）。
29、要使等式有意义，求的取值范围。
30、求函数的最大值和最小值。
31、（1）函数的最大值是 。
（2）当时，函数的（ ）
A、最大值是，最小值是-1 B、最大值是1，最小值是
C、最大值是2，最小值是-2 D、最大值是2，最小值是-1
答案:
1、A 2、B 3、D 4、D 5、B
6、B 7、B 8、A
9、
10、
11、
12、
13、
14、 15、B 16、等腰三角形
17、
18、
19、 20、,
21、
22、
23、
24、
25、B 26、D
27、
28、(1) - ; (2)
29、
30、 31、(1) (2)D弧度制
班级： 姓名：
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列各组角中，终边相同的角是
A.与kπ+ (k∈Z) B.kπ±与 (k∈Z)
C.(2k+1)π与(4k±1)π (k∈Z) D.kπ+与2kπ± (k∈Z)
2.若角、的终边关于y轴对称，则α、β的关系一定是（其中k∈Z）
A. +=π B. －=
C. －=（2k+1）π D. +=(2k+1)π
3.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为
A. B.
C. D.2
4.在半径为10 cm的圆中，的圆心角所对弧长为
A.π B.π
C.π D.π
5.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是
A. B.－
C. D.－
6.圆的半径是6 cm，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是
A. cm2 B. cm2
C.πcm2 D.3π cm2
二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分.把答案填在题中横线上）
7.4弧度角的终边在第 象限.
8.－πrad化为角度应为 .
9.设α,β满足－＜＜＜，则－的范围是 .
10.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍.
11.若角的终边与π角的终边相同，则在［0，2π］上，终边与角的终边相同的角是 .
三、解答题（本大题共3小题，共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
12.（8分）1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及圆心角所夹的扇形的面积.
13.（10分）已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
14.（10分）如下图，圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.
§4.2 弧度制
一、1.C 2.D 3.C 4.A 5.B 6.B
二、7.三 8.－345°
9.－π＜α－β＜0 10.
11.π π π π
三、12.解：由已知可得r=,
∴l=r·α=
S扇=l·r=·r2·α=·
=
13.解：∵l=20－2r
∴S=lr= (20－2r)·r=－r2+10r
=－(r－5)2+25
∴当半径r=5 cm时，扇形的面积最大为25 cm2
此时，α===2(rad)
14.解：A点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜π
14分钟后回到原位，∴14θ=2kπ,
θ=，且＜θ＜π，
∴θ=π或π
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.弧度制的练习
一、 选择题
1．如将分针拨慢10分钟，则分针转过的弧度数是（ ）。
A． B．－ C． D．－
2．下列与 的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．设集合 ， ，则M、N的关系是（ ）
A． B． C． D．
二、 填空题
4．用弧度制表示，终边落在坐标轴上的角的集合为 。
5．若 ，则 是第 象限角。
6．若 ，则 的范围是 。
7．一个半径为R的扇形，若它的周长等于它所在圆的周长的一半，则扇形圆心角的度数为 。
三、 解答题
8．两角差为 ，两角和为1 ，求这两角的弧度数。
9．已知扇形的圆心角为 ，弧长为 ，求此扇形内切圆的面积。
【弧度制的练习参考答案】
一、 选择题
1．A 2．C 3．A
二、 填空题
4．
5．一、三．
6．
7．
三、 解答题
8．设两角分别为 、 ，则有
∴
9．设扇形半径为R，其内接圆半径为 ，
则有 ，
于是
故内切圆面积
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.第二章 平面向量 同步练习(一)
A组
1．向量有两个要素，一是___________，二是____________．
2．“向量a，b的模相等”是“向量a，b相等”的_________条件．
3．画有向线段，分别表示一个方向向下，大小为15N的力和一个方向向右大小为25N的力（用1 cm的长度表示10 N）．
4．在平面直角坐标系中，有三点O（0，0），A（1，－2），B（4，2）．请用有向线段分别表示O到A，A到B，B到O的位移．
B组
1．以下命题总，正确的有______．（请填上序号）
平行向量一定方向相同；
共线向量一定相等；
起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量；
不相等的向量一定不平行；
向量与向量的模相等．
2．选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量：
（1）终点A在起点O的正南方向2 m处；
（2）自点O向西北方向移动4 m到达B；
（3）自点O向东偏北方向移动3 m到达点C．
3．如图，在四边形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，且，找一找图中还有哪几对相等的向量．
4．如图，在以正方体ABCD－的顶点为起点、终点的向量中，
（1）写出所有与相等的向量；
（2）写出所有与相等的向量．平面向量
（考试时间 重点班45分钟，平行班60分钟，★祝你考试顺利★）
一、选择题（每题6分，共72分，答案填在表格中）
1．已知平面向量，则向量（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．若是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知点C在。 设，则等于( ）A. B. 3 C. D.
4．如图，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是（ ）
A. B. C. D.
5．已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则= （）
A. B. C. D.
6．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则
A． B． C． D．
7．在△ABC中，∠C=90°，则k的值是 （ ）
A．5 B．－5 C． D．
8．P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
9．将的图像按向量平移，则平移后所得图像的解析式为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
10．已知向量 （ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
11．在中，，，，则（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
12．若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为（ ）
A．0 B． C． D．
二、填空题（每题10分，共40分，答案填在题后的横线上）
13．直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是__________。
14．已知向量．若向量，则实数的值是 .
15．在中，，M为BC的中点，则_______。（用表示）
16．若向量，满足，，，则向量，的夹角的大小为 .
姓名 班级 得分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
三、解答题（各题12＋13＋13分，共38分,解答要有必要的步骤）
17. 已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－＜θ＜．（Ⅰ）若a⊥b，求θ；（Ⅱ）求｜a＋b｜的最大值．
18. 设函数，其中向量 . （Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的.
19. 已知△顶点的直角坐标分别为.（Ⅰ）若，求sin∠的值;（Ⅱ）若∠是钝角，求的取值范围.
参考答案
1－12DBBAB BADAC AD
13、x+2y-4=0 14、－3 15、 16、
17. 解：（Ⅰ）若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0，
由此得 tanθ＝－1(－＜θ＜)，所以 θ＝－；
（Ⅱ）由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)得
｜a＋b｜＝＝＝，
当sin(θ＋)＝1时，|a＋b|取得最大值，即当θ＝时，|a＋b|最大值为＋1．
18. 解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)
＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).
所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是＝.
（Ⅱ）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，
于是d＝（，－2），k∈Z.
因为k为整数，要使最小，则只有k＝1，此时d＝（―，―2）即为所求.
19. 解：(Ⅰ) , 当c=5时，
进而
(Ⅱ)若A为钝角，则
AB﹒AC= -3(c-3)+( -4)2<0
AB≠λAC 解得c≠0且c>∴c>
故当A为钝角时，c的取值范围为[，+)
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.平面向量数量积的坐标表示 同步练习(二)
已知两点 A（2，4），B（2，3），则｜｜等于（ ）
A．1 B．7 C． D．
2．设非零向量，则下列命题中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则k＝ （ ）
A． B．－ C．－ D．
4．下列命题中不正确的是（ ）
A．0与任何一向量垂直
B．若非零向量，，则＝0
C．若A，B不全为0，则当时一定有向量（A，B）与直线垂直
D．若，则a与b不共线
5、已知，=（1，2），且，则的坐标为 。
6、中，A（1，0），B（3，1），C（2，0），则与的夹角为
。
7、已知=（1，0），=（1，1）且与垂直，则实数=（ ）
A、1 B、-1 C、1或-1 D、非上述答案
8、平面上有三个点A、B、C，坐标分别是（1，3），（7，），（2，2），若，则值为（ ）
A、9 B、8 C、7 D、6
9、已知=（3，4），=（-1，2），且，则= 。
10、已知=（-1，2），=（3，），且，则= 。
11、已知向量=（-2，3），则与垂直的单位向量的坐标为 。
12、中，A（1，2），B（2，3），C（-2，5），则为（ ）
A、直角三角形 B、锐角三角形
C、钝角三角形 D、等腰直角三角形
13、若，，且，。
（1）用表示；
（2）求的最小值及此时与的夹角大小。
14、如图2-6-1，以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰三角形OAB，，求点B和的坐标。
15、若将向量=（2，1）围绕坐标原点按逆时针方向旋转得，则的坐标为 。
16、已知向量=（1，1），=（2，-3），若与垂直，则实数=
。
17、已知：，，
（1）求证：与互相垂直；
（2）若与长度相等（其中为非零实数），求的值。
答案:
1、A 2、B 3、D 4、D
5、()或()
6、45° 7、B 8、C 9、
10、4
11、
12、A
13、第二章 平面向量 同步练习(三)
一、选择题
1．已知a＝（4，5），b＝（－3，4），则的坐标是（ ）
A．（16，11） B．（－16，－11）
C．（－16，11） D．（16，－11）
2．是a=0或b=0的（ ）
A．充要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．既非充分又非必要条件
3．已知A（2，1），B（3，2），C（－1，5），则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形
4．已知P（4，－9），Q（－2，3），且轴与线段PQ的交点为M，则M分所成的比是（ ）
A．2 B．3 C． D．
5．下列命题中的真命题是（ ）
A． B．a∥b在b 上的投影为
C． D．
6．在△ABC中，若解三角形时有两解，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
7．把一个函数的图像按平移后得到的图像的解析式为，那么原函数的解析式为（ ）．
A． B． C． D．
8．设为两不共线的向量，则与共线的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
9．下列说法中正确的是（ ）
一个平面内只有一对不共线的向量可作为基底；
两个非零向量平行，则它们所在直线平行；
零向量不能作为基底中的向量；
两个单位向量的数量积等于零．
A． B． C． D．
10．已知，点延长线上，且，则点P 坐标是（ ）
A．（－2，11） B．（，3） C．（，3） D．（2，－7）
二、填空题
11．若，则______．
12．已知，则a与b的夹角＝_______．
13．已知平面向量反向，且，则点D的坐标为________．
14．若平面向量，点P在轴上，则当最小时，_________．
三、解答题
15．已知，且a∥b．求a的坐标．
16．设．求的取值范围，使得：
（1）p与q的夹角为钝角； （2）p与q的夹角为锐角．
17．已知M（1，－3），N（4，6），P（，3）三点共线．求点P分有向线段MN所成的比及的值．
18．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，0），B（2，3），C（－1，2），试求：
（1）BC边上的中线AD所表示的向量的坐标；
（2）以A，B，C为三顶点的平行四边形的第四个顶点E的坐标．
19．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍．
20．某人骑车以a km/h的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a km/h时，感到风从东北方向吹来．试求实际风速和方向．
21．设A，B，C，D，O是平面上的任意5点，试化简：________．
22．已知MN是△ABC的中位线．求证：MN＝，且MN∥BC．
23．你能用向量的方法证明吗？
24．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．
25．已知非零向量a，b，满足．求证：b－a垂直于a＋b的充要条件是．
26．已知a，b都是非零向量，且a + 3b与7a – 5a垂直，与垂直．求a与b的夹角．
27．求点P（－1，2）到直线：（1）；（2）的距离．
28．已知，，a与b的夹角为．求．
29．设非零向量a，b，c，d，满足．求证：．
30．从轴上一点A向点M（－4，6）连线延长后交轴于点B．若，求A，B两点的坐标．
31．已知方向向量，定点A（2，3）．写出经过点A且与向量平行的直线的向量方程．
32．证明以A（2，5），B（5，2），C（10，7）为顶点的三角形是直角三角形．
33．已知直线和．求直线和的夹角．
34．已知a＝（1，－2），求与a方向相反的单位向量的坐标．
35．已知a＝（5，12），，且．求向量b的坐标．
36．已知，和的夹角是，求．
37．已知，a和b的夹角是．求：
（1）； （2）．
38．已知．求．
答案:
选择题
1、D 2、C 3、A 4、A 5、C 6、C 7、B
8、D 9、D 10、A
21、
22、
23、
24、
25、
26、
27、
28、
29、
30、
31、
32、
33、45°
34、
35、
36、 37、(1)-1 (2)1 38、从位移、速度、力到向量 同步练习(一)
在下列六个物理量：质量、力、速度、加速度、距离、位移中，不能称为向量的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
下列说法中正确的是（ ）
两个长度相等的向量一定是相等向量
零向量与任意非零向量平行
相等向量的起点相同
与是共线向量，则A，B，C，D四点必共线
下列四个命题正确的是（ ）
A．a，b是两个单位向量，则a与b相等
B．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
C．两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同
D．共线的单位向量必相等
4．设点O是正△ABC的中心，则向量，，是（ ）
A．有相同起点的向量 B．平行向量
C ．模相等的向量 D．相等向量
5．判断下列命题的正误：
（1）若向量a与b共线，b与c共线，则向量a与c共线．
（2）若向量a与b不共线，则向量a与b的夹角为锐角．
（3）若向量与共线，则A，B，C，D四点一定共线．
（4）长度相等且方向相反的两个向量不一定是平行向量．
6、下列说法正确的是（ ）
A、共线向量是在同一直线上的向量
B、平行向量方向相同
C、共线向量一定相等
D、平行向量一定是共线向量
7、下列命题正确的是（ ）
A、若，则 B、若，则
C、若，则 D、若与不相等，则与不共线
8、如图2-1-3，四边形ABCD中，，则相等的向量是（ ）
A、 B、
C、 D、
9、M是正三角形ABC的中心，则、、是（ ）
A、有相同起点的向量 B、相等向量
C、共线向量 D、模相等的向量
10、如图2-1-4，在菱形ABCD中，，则以下说法错误的是（ ）
A、与相等的向量只有一个（不含）
B、与的模相等的向量有9个（不含）
C、的模恰为模的倍
D、与不共线
11、以下命题：①若，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；②若，，则；③若，，则；④单位向量都是共线向量。其中正确命题的个数是（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
12、如图2-1-5，四边形ABCD何BCED都是平行四边形。
（1）写出与相等的向量： 。
（2）写出与共线的向量： 。
13、在图2-1-6所示的方格纸上，已知以A为起点的向量，（1）以B为终点画一向量，使得；（2）在图中画一个以A点为起点的，使，并说出向量的终点构成什么图形？
14、如图2-1-7，等腰梯形ABCD两腰上的向量与的关系是 。
答案:
1、B 2、B 3、B 4、C 5、(1)正确 (2)(3)(4)错误
6、D 7、C 8、D 9、D 10、D
11、B周期现象与周期函数 同步练习(一)
1、判断题（正确的打√，错误的打×）
（1）周期函数的定义域可以是有限集。 （ ）
（2）周期函数的周期有唯一一个。 （ ）
（3）“”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量的增加值。 （ ）
（4）周期函数的周期T可正，可负。 （ ）
2、如图是光滑水平面上的一个弹簧振子，把振子由平衡位置O拉到右方位置B，再放开，它就沿着水平面在B，C之间不停地振动，振动周期是0．4s，若在振子由C向B运动经Ｏ点开始计时（t = 0），则t = 0 .15s时（ ）
A．振子正在从C向O运动 B．振子正在从O向B运动
C．振子正在从B向O运动 D．振子正在从O向C运动
3．太阳表而有些地方温度低，显得暗些，有些地方温度高，显得亮些，暗的地方就称为太阳黑子，据观察记录，太阳黑子有的年份多，有的年份少，看下图判断太阳黑子变化的周期大约是（ ）
A．11年 B．12年 C．5年 D．6年
4、设是定义在R上的以3为周期的奇函数，且，则的值是（ ）
A、-1 B、1 C、2 D、-2
5．读下图，月球绕地球一圈在不同日期形成了不同的月相，所用时间大约30天，请估算每两种月相之间需要几天？
6、证明：若函数的图像关于对称，且关于对称，则是周期函数，且是它的一个周期。
7、设是定义在R上以2为周期的周期函数，且为偶函数，在区间上，。求时，的解析式。
8、设是定义在R上的偶函数，其图像关于对称，对任意的，都有。
（1）设，求，。
（2）证明是周期函数。
答案:
2、C
3、A
5、3.75天从速度的倍数到数乘向量 同步练习(一)
若，则向量等于（ ）
A．2a B．－2a C． D．－
2．将化简成最简式为（ ）
A． B． C． D．
3．已知△ABC中，重点为点G，D为AB的中点，则＋－等于（ ）
A．4 B．－4 C．6 D．－6
4．设是不共线的向量，则与共线时，的值为（ ）
A．0 B．－2 C．－ D．－4
5．已知向量不共线，实数满足，则的值等于（ ）
A．3 B．－3 C．0 D．2
6．下列选响中，a与b不共线的是（ ）
A．
B．
C．
D．不共线
7、若点O是平行四边形ABCD的中心，，，则=（ ）
A、 B、 C、 D、
8、若，，，则=（ ）
A、 B、 C、 D、
9、如图2-3-2，、、的终点A、B、C在一条直线上，且，设，，，则以下等式成立的是（ ）
A、 B、
C、 D、
10、设点O是 ABCD两对角线交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与。可作为该平面其他向量基底的是（ ）
A、①② B、①③ C、①④ D、③④
11、在四边形ABCD中，，，，其中、不共线，则四边形ABCD为（ ）
A、梯形 B、平行四边形 C、菱形 D、矩形
12、若不共线，且，则（ ）
A、， B、
C、， D、，
13、如图2-3-3，中，P为BC边上一点，且，
（1）用、为基底表示= ，
（2）用、为基底表示= 。
14、已知向量不共线，实数满足等式
，则值为 ，值为 。
15、如图2-3-4，在梯形ABCD中，AB//DC，且AB=2CD，E、F分别是DC、AB的中点，设，，试用为基底表示、、。
16、以O为起点的三个向量的终点A、B、C在同一直线上，求证：存在一对实数，使得，且。
17、如图2-3-5，在中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP:PM的值。
18、已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括A、C），则=（ ）
A、 B、
C、 D、
19、如图，在△ABC中，D为BC边的中点，若向量＝，＝b，则向量 ＝________．
20、如图在◇OACB中，BD＝，OD与AB交于点E，求证：＝．
答案:
1、B 2、B 3、A 4、D 5、A 6、D
7、C 8、D 9、A 10、B 11、A 12、B
13、
14、
15、
16、
17、
18、A
19、
20、函数的图像 同步练习(一)
1、下列命题正确的是（ ）
A、要得到的图像，只需将函数的图像上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍
B、要得到的图像，只需将函数的图像向上平移3个单位
C、要得到图像，只需将函数的图像上每一点横左边不变，纵坐标变为原来的3倍
D、要得到的图像，只需将图像上每一点横坐标不变，总坐标变为原来的
2、要得到的图像（ ）
A、只需将函数的图像向右平移个单位
B、只需将函数的图像上每一点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍
C、只需将函数的图像上每一点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍
D、只需将函数的图像上每一点纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标也伸长到原来的2倍
3、将函数的图像向坐平移个单位，得到的图像的函数解析式是（ ）
A、 B、
C、 D、
4、下列命题中正确的是（ ）
A、将的图像向右平移个单位，得到的图像
B、将的图像向右平移2个单位，得到的图像
C、将的图像向左平移2个单位，得到的图像
D、函数的图像是由的图像向左平移个单位而得到的
5、要得到的图像，只需将的图像（ ）
A、向左平移个单位 B、向右平移个单位
C、向左平移个单位 D、向右平移个单位
6、要得到的图像，只需将的图像（ ）
A、向左平移个单位 B、向右平移个单位
C、向左平移个单位 D、向右平移个单位
7、函数的部分图像是（ ）
8、三角函数式：
①；②；
③；④。
其中在上的图像如图1-7-1所示的函数是（ ）
A、③ B、①② C、①②④ D、①②③④
9．函数的单调递减区间是（ ）
A．［＋，＋］（） B．［－，＋］（）
C．［2＋，2＋］（） D．［2－，2＋］（）
10．要得到函数的图像，只需将的图像（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
11．函数＋k的图象如右图，则它的振幅A与最小正周期T分别是（ ）
A．A=3，T= B．A=3，T=
C．A=，T= D．A=，T=
12．已知函数｜是（ ）
A．周期是π的偶函数 B．周期是2π的偶函数
C．周期是π的奇函数 D．周期是的偶函数
13．将函数的图象向左平移个单位，所得图象的函数解析式为（ ）
A．＋) B．＋)
C．－) D．－)
14．函数的最小正周期是____________．
15．为了得到，的图象，只需把的图象上所以点的__________．
16．将的图象上所有点________可得到的图像．
17．（A，为正数）在同一个周期内，当时，，当 时．，该函数的解析式是__________________．
◆能力提高
1．函数（）的最大值与最小值分别是__________．
2．方程在区间［0，2π］内解的个数是____________．
3．设，若函数在［－，］上单调递增，则的取值范围是_______．
4．已知函数的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值是________．
6．已知函数，将的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿轴向左平移个单位，这样得到的曲线与的图象相同，那么函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
◆技能培养
1．下图中，函数（其中A＞0,＞0，0＜＜的图象只可能是（ ）
如右图所示，函数的图象，那么（ ）
A．＝， B．＝，－
C．＝2， D．＝2，－
3．函数 在区间［a，b］上是增函数，且＝－M，在［a，b］上（ ）
A．可以取得最大值M B．是减函数
C．可以取得最小值－M D．是增函数
4．如右图是一个单摆的振动图像，其中横轴为时间t（单位：s），纵轴为位移h（单位：m）．根据图象回答下面各题：
（1）单摆振幅多大？
（2）振动频率多高？
（3）摆球速度首次具有最大负值的时刻和位置？
（4）摆球运动加速度首次具有最大负值的时刻和位置？
（5）若当地，此单摆摆长多少？
◆拓展空间
1．设函数，若是偶函数，则的一个可能值是__________．
2．设M和m分别表示函数的最大值和最小值，则M＋m = __________．
3．已知 ，，则的图象（ ）
A．与的图象相同 B．与的图象关于y轴对称
C．向左平移个单位，得的图象 D．向右平移个单位，得的图象
4．右图是函数，，，在［，］上的图象，则它们所对应的图象的编号顺序是（ ）
A． B．
C． D．
答案:
1、C 2、C 3、D 4、A 5、D
6、B 7、C 8、C 9、B 10、B
11、D 12、B 13、B 14、
15、
16、
17、第一章三角函数
一、选择题.（每小题5分，共50分）
1. 的值等于
A. B. C. D.
2. 下列角中终边与 330° 相同的角是
A. 30° B. - 30° C. 630° D. - 630°
3. 函数y =++的值域是
A. {1} B. {1，3} C. {- 1} D. {- 1，3}
4. 如果 = - 5，那么tan α的值为
A. -2 B. 2 C. D. -
5. 如果 sin α + cos α =，那么 sin3 α – cos3 α 的值为
A. B. - C. 或- D. 以上全错
6. 若 a为常数，且a＞1，0≤x≤2π，则函数f(x)= cos2 x + 2asin x - 1的最大值为
A. B. C. D.
7. 函数y = sin的单调增区间是
A. ，k∈Z B. ，k∈Z
C. ，k∈Z D. ，k∈Z
8. 若函数y = f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍；再将整个图象沿x轴向左平移个单位；沿y轴向下平移1个单位，得到函数y =sin x的图象；则函数 y = f(x)是
A. y = B. y =
C. y = D. y =
9. 如图是函数y = 2sin(ωx + φ)，φ＜的图象，那么
A. ω = ，φ = B. ω = ，φ = -
C. ω = 2，φ = D. ω = 2，φ = -
10. 如果函数 f(x)是定义在(-3，3)上的奇函数，当0＜x＜3时，函数 f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cos x＜0的解集是
A.∪(0，1)∪
B.∪(0，1)∪
C.(- 3，- 1)∪(0，1)∪(1，3)
D.∪(0，1)∪(1，3)
二、填空题. （每小题5分，共30分）
11. 若，那么的值为 .
12. 若扇形的半径为R，所对圆心角为，扇形的周长为定值c，则这个扇形的最大面积为___.
13. 若 sin θ =，cos θ =，则m =___.
14. 若 cos(75° + α)=，其中α为第三象限角，则cos(105° - α)+ sin(α - 105°)= ___.
15. 函数y = lg (sin x) +的定义域为 .
16. 关于函数f(x)= 4 sin(x∈R)，有下列命题：
①函数 y = f(x)的表达式可改写为y = 4cos(2x - )；
②函数 y = f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；
③函数 y = f(x)的图象关于点对称；
④函数 y = f(x)的图象关于直线x = - 对称.
其中正确的是___.
答题卷
一、选择题.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题.
11、 12、
13、 14、
15、 16、
三、解答题.（共70分）
17. （12分）已知角α是第三象限角，
求：（1）角是第几象限的角；（2）角2α终边的位置.
18.（16分）(1)已知角α的终边经过点P(4，- 3)，求2sin α + cos α的值；
(2)已知角α的终边经过点P(4a，- 3a)(a≠0)，求 2sin α + cos α的值；
(3)已知角α终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3 : 4，求2sin α + cos α的值.
19. （12分）已知tan α，是关于x的方程 x2 - kx + k2 - 3 = 0的两实根，
且3π＜α＜π，求cos(3π + α)- sin(π + α)的值.
20. （14分）已知0≤x≤，求函数y = cos2 x - 2a cos x的最大值M(a)与最小值m(a).
21. （16分）某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元. 该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元.
（1）试分别建立出厂价格、销售价格的模型，并分别求出函数解析式;
（2）假设商店每月购进这种商品m件，且当月销完，试写出该商品的月利润函数；
(3) 求该商店月利润的最大值.
参考答案
一、选择题.
1. A
【解析】=.
2. B
【解析】与 330° 终边相同的角为{α|α = 330° + k 360°，k∈Z}.
当 k = - 1时，α = - 30°.
3. D
【解析】将x分为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限四种情况分别讨论，可知值域为{- 1，3}.
4. D
【解析】∵ sinα - 2cos α = - 5(3sin α + 5cos α)，
∴ 16sin α = - 23cos α，∴ tan α = -.
5. C
【解析】由已知易得 sin α cos α = -.
∴ |sin3 α - cos3 α| = |(sin α- cos α)(sin2 α + cos2 α + sin α cos α)|
= |1 + sin α cos α| = .
∴ sin3 α - cos3 α = ±.
6. B
【解析】f(x)= 1 - sin2 x + 2asin x - 1
= - sin2 x + 2asin x.
令sin x = t，∴ t∈[-1，1].
∴ f(t)= - t2 + 2at = -(t - a)2 + a2，t∈[-1，1].
∴ 当t = 1时，函数 f(t)取最大值为2a - 1.
7. D
【解析】∵ y = sin(- 2x)= - sin(2x -)，∴ + 2kπ ≤ 2x -≤+ 2kπ，
∴ + kπ ≤ x ≤+ kπ.
8. B
9. C
10. B
二、填空题.
11. -1
【解析】=
12. .
【解析】设扇形面积为S，弧长为l .
∴ S = lR = (c-2R)· R = -R2 +cR.
∴ 0＜R＜.
当 R = 时，Smax =.
13. 0或8；
【解析】sin2 θ +cos2 θ = 1，
∴ (m - 3)2 +(4 - 2m)2 =(m + 5)2，
m = 0，或m = 8.
14. .
【解析】cos(105 - α)+ sin(α - 105 )
= - cos(75 + α)- sin(α + 75 ).
∵ 180 ＜α＜270 ，∴ 255 ＜α + 75 ＜345 .
又 cos(α + 75 )=，∴ sin(α + 75 )= -.
∴ 原式 =.
15. [- 4，- π)∪(0，π).
【解析】由已知得
∴ x∈[- 4，- π)∪(0，π).
16. ①③.
【解析】① f(x)= 4sin= 4cos
= 4cos
= 4cos.
② T == π，最小正周期为π.
③ ∵ 2x += kπ，当 k = 0时，x =，
∴ 函数 f(x)关于点对称.
④ 2x += kπ +，当 x = -时，k =，与 k∈Z 矛盾.
∴ ①③正确.
三、解答题.
17.【解】(1)由2kπ + π＜α＜2kπ +π，k∈Z，
得kπ +＜＜kπ +π，k∈Z.
将整数 k 分奇数和偶数进行讨论，易得角为第二象限或第四象限的角.
(2)由2kπ + π＜α＜2kπ +π，k∈Z，
得4kπ + 2π＜2α＜4kπ + 3π，k∈Z.
∴ 2α终边位置可能在第一象限、第二象限或y轴的非负半轴.
18.【解】(1)∵ = 5，
∴ sin α =，cos α =，
∴ 2sin α + cos α =.
(2)∵ ，
∴ 当 α＞0时，∴ r = 5a，sin α =，cos α =
∴ 2sin α + cos α =；
当 a＜0时，∴ r = -5a，sin α =，cos α = -，
∴ 2sin α + cos α =.
(3)当点P在第一象限时， sin α =，cos α =，2sin α + cos α = 2；
当点P在第二象限时， sin α =，cos α =，2sin α + cos α =；
当点P在第三象限时，sin α =，cos α =，2sin α + cos α = - 2；
当点P在第四象限时，sin α =，cos α =，2sin α + cos α =.
19.【解】由已知得 tan α = k2 - 3=1，
∴ k =±2.
又 ∵ 3π＜α＜π，∴ tan α＞0，＞0.
∴ tan α += k = 2＞0 (k = -2舍去),
∴ tan α == 1,
∴ sin α = cos α = -,
∴ cos(3π +α) - sin(π +α) = sin α - cos α = 0.
20.【解】y = cos2 x - 2a cos x = (cos x -a)2 - a2，
令 cosx = t，
∵ 0≤x≤，
∴ t∈[0，1].
∴ 原函数可化为f(t) = (t - a)2 - a2，t∈[0，1].
①当 a＜0 时，M(a) = f(1) = 1 – 2a，m(a) = f(0) = 0.
②当 0≤a＜ 时，M(a) = f(1) = 1 – 2a，m(a) = f(a) = –a2.
③当 ≤a≤1 时，M(a) = f(0) = 0，m(a) = f(a) = –a2.
④当 a＞1 时，M(a) = f(0) = 0，m(a) = f(1) = 1–2a.
21. 【解】
分别令厂价格、销售价格的函数解析式为
厂价格函数： ,
销售价格函数：,
由题意得：；,；
；
；
∴；
把x=3,y=8代入得
把x=5,y=10代入得
∴；
（2）、
=
（3）、当时y取到最大值，
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
(第9题)
(第10题)
C从速度的倍数到数乘向量 同步练习(二)
已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A，C），则 等于（ ）
A．（＋），（0，1）
B．（＋），（0，）
C．（－），（0，1）
D．（－），（0，）
2．已知◇ABCD的两条对角线交于点E，设＝，＝，用，表示的表达式为（ ）
A．－－ B．－＋ C．－ D ．＋
3、设是两个不共线的向量，，则a与b共线的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．与是不共线向量，则向量a与b不共线的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若a与b不共线，＝，＝，，则A，B，C三点共线的充要条件是（ ）
A．＝1 B．＋＝1 C．= D．－= 1
6．已知平行四边形ABCD中，点E为对角线AC上靠近A的一个三等分点，设= a，＝b，则向量等于（ ）
A．＋ B．－
C．－ D．－－
7、以下运算正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
8、若，，且，则四边形ABCD是（ ）
A、平行四边形 B、等腰梯形 C、菱形 D、不等腰的梯形
9、点G是的重心，D是AB的中点，则=（ ）
A、 B、 C、 D、
10、中，AD、BE、CF是三条中线，G是它们的交点，下列等式错误的是（ ）
A、 B、
C、 D、
11、在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，若，，则向量是（ ）
A、 B、 C、 D、
12、设BO是边AC上的中线，，，则= 。
13、化简：的结果是（ ）
A、 B、
C、 D、
14、若，，则（ ）
A、共线 B、不共线 C、不确定 D、
15、以下各组中，不一定共线的是（ ）
A、与 B、与
C、与 D、与
16、设、不共线，则与共线的条件是
。
17、以点O为起点的三个向量的终点分别为A、B、C，如图2-3-1，若，且实数，求证：A、B、C三点共线。
18、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，东点P满足，则P点的轨迹一定过的（ ）
A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心
19．已知△ABC中，点M，分别在边AB，AC上，且＝，＝，则＝________．
20．已知点D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的重点，设＝a，＝b，则下列各式正确的有_________．
＝－a－b = a＋b
=－a＋b ＋＋＝ 0
21、右图所示，在△OAB的边OA，OB上分别有一点P，Q已知OP：PA＝1：2，OQ：QB＝3：2，连结AQ在AQ上取一点R，满足AR：RQ＝5：1.
（1）用，表示；
（2）证明：点R在线段BP上．
答案:1、 A 2、B 3、D 4、B 5、A
6、D 7、C 8、B 9、A 10、B
11、D 12、C 13、A 14、C
15、
16、
17、
18、B
19、
20、①②③④
21、21世纪教育网 同步练习(二)
1、在中，下列各式中为常数的是（ ）
①；②；③；④；⑤。
A、①②③ B、③④⑤ C、①②④ D、①③⑤
2、若的三个内角是A、B、C，则下列等式正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
3、的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、若，则的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
5、已知，则等于（ ）
A、 B、 C、 D、
6、函数的定义域是（ ）
A、 B、
C、 D、
7、的值域（ ）
A、 B、 C、 D、以上都不对
8、的值域为（ ）
A、 B、 C、 D、
9、函数的最大值为（ ）
A、 B、1 C、0 D、不存在
10、函数的定义域是 。
11、求下列函数的定义域。
（1）；（2）。
12、已知函数的定义域是，求的定义域。
13、求函数的值域。
14、求函数的值域。
15、求函数的值域。
16、若时，的值总大于零，求实数的取值范围。
17、计算：
（1）；
（2）。
18、化简：。
19、已知，求。
20、已知，求的值。
21、证明：。
22、已知A、B是锐角，求证：。
23、设函数（为非零常数），已知，求。
答案:
1、A 2、A 3、A 4、A 5、B
6、D 7、C 8、B 9、B
10、
11、
12.
13、
14、
15、
16、
17、
18、
19、
20、
21、
22、
23、三角函数的简单应用 同步练习(二)
图中，电灯的重力G = 10N ，绳AO与顶板间夹角为45°，绳BO水平，则绳AO所受的拉力和绳BO所受的拉力各为多大？
如图，重为10 N的小球在竖直挡板作用下静止在倾角为30°的光滑斜面上，已知一挡板也是光滑的，求挡板对小球弹力的大小；斜面对小球弹力的大小．
3、函数，的大致图像是（ ）
4、如图3-5-2，在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形面积最大？
5、如图3-5-3，一个大风车的半径为8，每12旋转一周，最低点离地面。求证：风车翼片的一个端点P离地面的距离与时间之间的函数关系式是。
9、某港口的深度（米）是时间（，单位：时）的函数，记作，下面是某日水深的数据：
（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
（米） 10.3 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
经长期观察，的曲线可以近似地看成函数的图像。
（1）试根据以上数据，求出函数的近似表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）。某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米。如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）？
7、如图3-5-4，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足。（1）求这段时间最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式。
答案:第一章 三角函数 同步练习(三)
一、单项选择题
1．与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
2．等于（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－1
3．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
4．已知且，则角在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．等于（ ）
A． B． C．－ D．－
6．下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．要得到的图像，需把的图像（ ）
A．向左移 B．向右移 C．向左移 D．向右移
8．若，则等于（ ）．
A． B．－ C． D．以上都不对
9．下列命题中，唯一正确的命题是（ ）
A．若角在第二象限，且，则
B．无论为何角，都有
C．总存在一个角，使得
D．总存在一个角，使得
10．设第四象限角，且，则所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
11．比较大小：_________．
12．扇形的中心角为，弧长为，则其半径______．
13．函数的递增区间是________．
14．函数，当_______时，取最大值_______．
三、解答题
15．化简：（为第二象限的角）
16．求证：．
17．已知，求的其他的三角函数值．
18．已知圆中一段弧长正好等于该圆外切正三角形的边长，求这段弧所对的圆心角．
19．已知，且，求的值．
20．已知关于的二次方程有实数根，求的最大值，并求出此时的值．三角函数的简单应用 同步练习(一)
知识检测
1、下表是某城市1973-2002年月平均气温（华氏）
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 73.1 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7
若用表示月份，表示平均气温，则下面四个函数模型中最合适的是（ ）
A、 B、
C、 D、
2、如图3-5-1为一半径为3的水轮，水轮圆心O距离
水面，已知水轮自点B开始1旋转4圈，水轮上
的点P到水面距离与时间满足函数关系
，则有（ ）
A、， B、，
C、， D、，
能力提高
如图所示，足球比赛地宽为a m，球门宽b m在足球比赛中，甲方边锋从乙方球门附近过人沿直线（贴近球场边线）向前推进．试问：该边锋在距乙方底线多远时起脚射门的可命中角最大（图中AB表示乙方所守球门，AB所在直线为乙方边线，表示甲方边锋前进的直线）？
一条河宽1 km，相距4 km（直线距离）的两座城市A与B分别位于河的两岸（如下图），现需铺设一条电缆线连通A与B，已知底下电缆的修建费用为2万元／km，水下电缆的修建费用为4万元／km，假定河的两岸是平行的直线，问应如何铺设电缆可以使总的修建费用最少？
技能培养
物体沿斜坡由静止下滑，物体下滑到坡底的水平距离为定值S，若不计摩擦阻力，求当斜坡倾斜角为何值时，物体到达坡底的时间最短？
如图甲所示，人（眼）在点C处看一幅画AB，AB＝6 km，OB =2 m，问人应站在何处，使视角∠ACB最大？
拓展空间
倾角为45°的山坡上某处有一风暴点，该风暴点到达山脚有两条路，一条是笔直到达山脚的销路，另一条是与小路夹角成45°的直线公路，若某辆汽车的最大爬颇度数是35°，问这辆汽车能否到达该风暴点？
平面上有两个向量，今有动点P向（－１，2）开始沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度为｜｜，另一动点Q从点（－2，－1）出发，沿与向量＋相同的方向做匀速直线运动，速度为｜ ｜，设P，Q在时刻t = 0 s 时分别在处，求当时，t为多少？
答案:
知识检测
1、C 2、A21世纪教育网 同步练习(一)
在△ABC中，A＞B是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．函数（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既不是奇函数，也不是偶函数 D．既是奇函数，也是偶函数
3．函数是（ ）
A．奇函数且是减函数
B．偶函数且是增函数
C．奇函数但非单调函数
D．偶函数，有时递增，有时递减
4、下列不等式正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
5、若，则的范围（ ）
A、
B、
C、
D、
6、函数在一个周期的图像是（ ）
7、已知点在第一象限内，则在内的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
8.已知，若，且＞，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．＞ B．＜
C．＋＞0 D．｜｜＞｜｜
9．△ABC的内角A满足，则角A的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（，） C．（，） D．（，π）
10．方程在区间［0，2π］上解的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
11．函数与的图像在（－，）上的交点有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．如图所示，函数的图像是（ ）
13．已知点P在第一象限，则在［0，2π］内的取值范围是（ ）
A．（，） B．（，）（π，）
C．（，）（，） D．（，）（，π）
14．已知集合｝，，则M N等于（ ）
A．＜＜ B．｛｜0＜＜｝
C．｛｜＜＜｝ D．｛｜0＜＜｝
15．若，则（ ）
A．（，－） B．（－，0） C．（0，） D．（，）
16、下列函数种，不是奇函数的是（ ）
A、 B、
C、 D、
17、函数的最小正周期是（ ）
A、 B、 C、 D、
18、下列命题正确的是（ ）
A、函数，上是奇函数
B、周期函数一定有最小正周期
C、函数的图像关于轴对称
D、若是第一象限角，则是增函数，是减函数
19、给出下列五个命题，正确的个数是（ ）
①是奇函数；②若是偶函数，则；③值域是；④当，取最大值；⑤点是图像的一个对称中心。
A、2 B、3 C、4 D、5
20、下列函数中，既是以为周期的奇函数，又是上的增函数的是（ ）
A、 B、 C、 D、
21、的递增区间是（ ）
A、R B、
C、 D、
22、若函数的最大值为，最小值为，求函数的最小正周期。
23、已知函数，且，求（-5）。
24、函数，的值域为 。
25、比较下列各组数的大小
（1），，；（2），。
26、21世纪教育网，且的图像叫 ，它是由被相互平行的一组直线所隔开的 支曲线组成的。
27、函数图像的对称中心坐标是 。
28、将函数的图像向左平移个单位后得到的图像解析式是
。
29、作出下列函数的图像
（1）； （2）。
30、直线与的图像相邻两个交点间的距离为 。
31、在上，与图像交点的个数是 。
32、已知点在第三象限内，则的终边落在第 象限。
答案:
1、D 2、A 3、D 4、B 5、C
6、A 7、B 8、D 9、C 10、B
11、D 12、C 13、B 14、A 15、B
16、B 17、A 18、C 19、C 20、C
21、C
22、
23、
24、
25、
26、
27、
28、
29、
30、
31、2
32、二三角函数
一、选择题
1．电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如右图所示，则当秒时，电流强度是 （ ）
A．安 B．安
C．安 D．安
2．已知函数的一部分图象如右图所示，则函数可以是（ ）
A B
C D
3．函数的最小正周期是 （ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，给出下列四个命题：
①若，则 ②的最小正周期是
③在区间上是增函数． ④的图象关于直线对称
其中真命题是 （ ）
．①②④ ．①③ ．②③ ．③④
5．函数是 （ ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
6．已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
7．若函数，则是 （ ）
A.最小正周期为的偶函数 B. 最小正周期为的奇函数
C. 最小正周期为的偶函数 D. 最小正周期为的奇函数
二、填空题
1．若，则= .
2．设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是 2 。
3.若函数f(χ)是偶函数，且当χ＜0时，有f(χ)=cos3χ+sin2χ，则当χ＞0时，f(χ)的表达式为 .
三、计算题
1．函数。
（1）求的周期；（2）解析式及在上的减区间；
（3）若，，求的值。
2．已知：函数．
（1）求函数的最小正周期和值域；
（2）若函数的图象过点，.求的值．
3.在平面直角坐标系下，已知A(2，0)，B(0，2)，，．
（Ⅰ）求f (x)的表达式；
（Ⅱ）求f (x)的最小正周期和值域．
答案；
一.选择题
1.A 2.D 3.D 4.D 5.B 6.D 7.D
二.填空题
1. 2. 2 3.
三.解答题
1.【解】（1）
，（）
所以，的周期。
（2）由，得。
又，
令，得；令，得（舍去）
∴ 在上的减区间是。
（3）由，得，
∴ ， ∴
又，∴
∴ ，∴
∴。
2.【解】（1）
∴函数的最小正周期为，值域为。
（2）解法1：依题意得：
∵ ∴
∴＝
＝
∵＝
∴＝
解法2：依题意得： 得----①-
∵ ∴
∴＝
由＝得
①+②得，∴＝
解法3：由得，
两边平方得，，
∵ ∴由知
∴
由，得
∴ ∴＝．
3.【解】（Ⅰ）依题意得
∴
（Ⅱ） 由(Ⅰ)得,所以f(x)的最小正周期为
∴
∴
所以函数f(x)的值域是
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.余弦函数 同步练习(二)
1、使有意义的的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、函数，的值域是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、函数的最大值是（ ）
A、 B、 C、3 D、5
4、函数的定义域是（ ）
A、 B、
C、 D、
5、以下四个结论中，正确的个数是（ ）
①；②；③； ④。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
6、若、满足，下列式子中正确的是（ ）
①；②；③；④。
A、①③ B、①④ C、②③ D、②④
7、已知函数，下列四个等式：①；②；③；④。成立的个数是（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
8、已知，是第四象限角，则=（ ）
A、 B、 C、 D、
9、已知，则=（ ）
A、 B、 C、 D、
10、设、分别是函数的最大值、最小值，则=（ ）
A、 B、 C、 D、
11、在上既是增函数，又是奇函数的是（ ）
A、 B、 C、 D、
12、在区间上，下列函数中为增函数的是（ ）
A、 B、 C、 D、
13、若函数在区间上是增函数，且，，则函数在上（ ）
A、是增函数 B、是减函数
C、可以取最大值 D、可以取最小值
14、函数在区间上是增函数，且，，则在上（ ）
A、是增函数 B、是减函数
C、可以取得最大值 D、可以取最小值-2
15、若，，，则（ ）
A、 B、 C、 D、
16．已知角的余弦线是单位长度的有向线段，那么角的终边（ ）
A．在轴上 B．在轴上
C．在直线上 D．在直线上
17．函数的图像，只可能是下列各图中的（ ）
18、已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．它是奇函数 B．它不是周期函数
C．它的定义域是［－1，1］ D．它的值域是［］
19．函数的定义域为（ ）
A．［－，］ B．［，kπ+］()
C．［2kπ－，2kπ+］() D．［kπ－，kπ+］()
20．已知函数的图像和直线围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是（ ）
A．4 B．8 C．2π D．4π
21．使＜成立的x的一个变化区间是（ ）
A．［－，］ B．［－，］ C．［－，］ D．［0，π］
22．函数的单调递增区间是（ ）
A．［，］ B．［，］
C．［2kπ，2k］ D．［2，］
23．已知，则＝__________．
24．若＞1，则函数的最小值是_________．
25．判断函数奇偶性：）是________；是__________函数；是_______函数；是________函数。
26、当时，= 。
27、求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）。
28、已知，求的值。
29、已知，
求 的值。
30、求证：。
31、若，求证：。
32、设函数，（其中为非零实数），若，求。
33．计算：
（1）90°+°－3270°+10180°；
（2）(－1320°)°+(－1020°)°．
34．比较下列各组数的大小：
（1）°与°； （2）与．
35．写出函数上的单调递增区间．
36．下列各等式能否成立？为什么？
（1）； （2）．
37．在同一坐标系内画出；；；的图像，观察哪个函数既是 上的增函数，又是以为周期的偶函数．
38．在同一坐标中，曲线和的图像的交点坐标是什么？
39．当时，求方程的解的个数．
答案:
1、C 2、C 3、C 4、D 5、C
6、B 7、A 8、B 9、B 10、D
11、A 12、D 13、C 14、C 15、B
16、A 17、D 18、D 19、C 20、D
21、A 22、D
23、 24、1-2a 25、①奇 ②偶 ③偶 ④偶
26、
27、
28、
29、
30、
31、
32、
33、(1)-2 (2)1
34、
35、[0,]
36、
37、
38、
39、三个解向量应用举例 同步练习(一)
1、下列各量：面积、力、加速度、电流、质量，其中向量有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
2、用力F推动一物体水平运动，力F与水平面的夹角为，则力对物体所做的功为（ ）
A、 B、 C、 D、
3、作用于原点的两个力=（1，1），=（2，3），为使它们平衡，需要加力= 。
4、已知 ABCD三个顶点分别为A（-2，1），B（-1，3），C（3，4），则顶点D的坐标为（ ）
A、（2，1） B、（2，2） C、（1，2） D、（2，3）
5、中，顶点A（-2，3），B（4，-2），重心G（2，-1），则C点坐标 。
6、 ABCD的中心为O，P为该平面上任一点，且，则
= 。
7、点O是所在平面上一点，且满足，则点O是的（ ）
A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心
8、已知向量、、满足：，且，求证：是正三角形。
9、四边形ABCD中，设，，，，已知，试判断四边形ABCD的形状。
10、如图2-7-1，已知ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于F。求证：AF=AE。
11、将函数的图像按向量作平移得到函数
的图像。
12、质量为2.0的木块，在平行于斜面向上的拉力的作用下，沿倾角的光滑斜面向上滑行=2.0的距离（如图2-7-2）。
（1）分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功。
（2）在这一工程中，物体所受各力对物体所做功的
代数和是多少？
（3）求物体所受合外力对物体所做的功，它与物体所受各力对物体做功的代数和之间有什么关系？
13、已知平面上三点A、B、C满足：，，，则的值等于 。
如图，水平电线AB对竖直电杆的拉力为300N，斜牵引索BC的拉力为500N，此时电杆恰好不偏斜，求斜拉索与地面所成角的正切值及由此引起的电杆对地面的压力（电杆自重不计）．
已知两个力的夹角是直角，且知它们的合力F与的夹角是60°，｜F｜＝10N，求的大小．
已知从A地按南偏西75°的方向飞行500km到达B地，再从B地按北偏西15°的方向飞行500km到达C地，求两次位移的和．
答案:
1、B 2、B 3、(-3,-4) 4、B 5、(-4,-4)
14、
15、
16、同角三角函数的基本关系 同步练习(一)
1．若，则下列结论中一定成立的是（ ）
A． B．－ C． D．
2．已知，那么角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、已知且，则=（ ）
A、 B、 C、 D、
4、已知，且，则在（ ）
A、第一或第二象限 B、第三或第四象限
C、第一或第四象限 D、第二或第三象限
5、已知，则的值是（ ）
A、 B、3 C、 D、
6、已知，则的值为（ ）
A、-4 B、4 C、-8 D、8
7、已知，，则= 。
8、已知，求，的值。
9、若，则= 。
10、已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）。
11、已知在直角坐标系中，角的终变落在上，求的值。
12、若，则= 。
13、已知是第二象限角，且，求，，的值。
14、设与是方程的两根，求与的值。
15、已知，试用表示的值。
答案:
1、D 2、A 3、D 4、A 5、A 6、C
7、
8、
9、
10、
11、
12、1
13、
§8同角三角函数的基本关系(2)原式=sin0,cb-(inb+cs
第一课时:求值问题
sin20+cos2 6
1.①③2.③④
sin Acos 8-sin20--c0s20
sin20-+2cos 8
3.D提示:sinA
一丌
tan0-tan26-12-22+11
∴cosA=-√1-sin2A
(3)原式=2mO-3sin0os0-3o30
. tan A-sIn A
2tan20-3tan 8-
4.A提示:∵cosa=m,tana
2×22-3×2-3
22+1
∴cosa与tana同号.∴a在第一,二象限
10.解:∵角a的终边落在
提示:∵cosa+|cosa|=
不妨设x=3,则y=-4,即终边过(3,-4)
∴|cosa|=-cosa.∴cosa<0.
tan a=s-4
-sin2a=-√1-x
351a=-5,cosa=
COs a=
tan as sin a
sin a(sin a+
6.sina=s,a是第一或第二象限角
-3(-3-3)+(3
当a为第一象限角时,csa=√1
-sIn a
∴tana≈Slna4
11.解:∵sina-cosa=
当a为第二象限角时,cosa
∴1-2 sIn acos a=
3
tan a
. sIn acos a-
7.A提示原式=2tana2
tan a cos a SIn a
3
提示:原式=
sin-a
sIn acos a
(sina+cos a)+cost
12.1
sin a
sin at 2cos'a tana+2 22+2 3 13.: :sin a+ cos a=5,
tan26+222+2
9.解:(1)原式=3tan20-43×2-4
1+2sin acos a=从位移的合成到向量的加法 同步练习(二)
在平行四边形ABCD中，＝a ，＝b，则用a和b可表示向量＋的是（ ）
A．a + a B．b + b C．0 D．a + b
2．在平行四边形ABCD中，若｜＋｜＝｜－｜，则必有（ ）
A．＝0 B．= 0 或 ＝0 C．ABCD是矩形 D．ABCD是正方形
3．若四边形ABCD是矩形，则下列命题中不正确的是（ ）
A．与共线 B．与相等
C．与是相反向量 D．与模相等
4．下列命题中正确的是（ ）
A．单位向量相等
B．任一向量与它的相反向量不相等
C．平行向量不一定是共线向量
D．模为0是一个向量方向不确定的充要条件
5、平行四边形ABCD，若，，则（ ）
A、， B、，
C、， D、，
6、在平行四边形ABCD中，=（ ）
A、 B、 C、 D、
7、如图2-2-5，四边形ABCD中，设，，，则=（ ）
A、 B、
C、 D、
8、以下推理错误的是（ ）
A、
B、
C、
D、
9、平面上有三点A、B、C，设，，若的长度恰好相等，则有（ ）
A、A、B、C三点必在同一直线上
B、必为等腰三角形且为顶角
C、必为直角三角形且
D、必为等腰直角三角形
10、下列等式：①；②；③；④。正确的个数是（ ）
A、2 B、3 C、4 D、1
11、点M是△ABC的重心，则下列各句量中与共线的是（ ）
A．＋＋ B．＋＋
C．＋＋ D．3＋
12．已知a，b方向相同，且｜a｜＝3，｜b｜＝7，则｜2a－b｜= _________．
13．若非零向量，满足｜｜＝｜｜，则｜2a－b｜= ________．
14．一架飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300km后到达B地，然后向C地飞行，已知C地在A地北偏东60°的方向，切A，C两地相距300km，求飞机从B地向C地飞行的方向及B，两地的距离．
15、某人先“向东走3”，位移为，接着再“向北走3”，位移为，则表示（ ）
A、 向东南方向走 B、向东北方向走
C、向东南方向走6 D、向东北方向走6
16、若M是的重心，则下列各向量中与共线的是（ ）
A、 B、
C、 D、
17、化简：
（1）= 。
（2）= 。
（3）= 。
18、在梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD交于O点，则=
。
19、向量满足，，则的最小值为 ，最大值为 。
20、如图2-2-6，已知，求作：。
21、试求：成立的条件。
答案:
1、A 2、C 3、B 4、D 5、C
6、A 7、A 8、A 9、C 10、A
11、C 12、1 13、90°
14、方向:东偏南15°
15、A 16、C
17、(1)0 (2)0 (3)0
18、
19、2,4
20、
21、第一章 三角函数 同步练习(二)
1．函数的图像与直线有_______交点．
2．在同一坐标系中画出下面两个函数的图像．
（1）； （2）．
3．计算：．
4．化简：．
5．函数与函数的图像有______交点．
6．如果，那么是第______象限的角．
7．根据函数的图像，写出使成立的的取值集合．
8．函数的单调减区间是__________．
9．函数的定义域是__________．
10．求函数的最大值和最小值，并写出使函数取得最大值和最小值时的自变量的集合．
11．比较下列各组数的大小：
（1）与； （2）与．
12．函数的定义域是____________．
13．判断下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
14．求函数的单调递增区间．
15．21世纪教育网是周期函数，它的最小正周期是____________．
16．已知角终边经过点P（4，－5），则＝________．
17．求下列正切值：
（1）； （2）； （3）．
18．为什么？
19．函数的单调减区间是_____________．
20．函数是周期函数，它的最小正周期是_________．
21．函数的定义域是____________．
22．判断下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
23．__________；1 =________．
24．________．
25．化简：．
26．已知，则＝__________．
27．求函数的定义域．
28．已知，且，试求和的值．
29．函数的周期是__________；的周期是________．
30．函数的单调增区间是__________．
31．写出函数的单调增区间．
32．函数的周期是________．
33．试说明将函数的图像作怎样的变换就可以得到函数的图像．
答案:
5、一个 6、四
7、
8、
9、
10、
11、
12、
13、
14、
15、 16、 17、(1)1 (2)1 (3)1
18、
19、
20、
21、
22、
23、-1, 24、0 25、0 26、
27、
28、
29、,
30、
31、
32、
33、三角函数的和差化积与积化和差 同步练习(二)
函数的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
2．的值是（ ）
A． B． C． D．
3、的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
4、化和差的结果是（ ）
A、 B、
C、 D、
5、求下列各式的值。
（1）；（2）。
6、不查表求值。
。
7、求函数的最小值。
8、求证：。
9、已知，求证：。
10、若，求的值。
11、求函数的最小值。
12、3．＝_________．
13．函数的最大值是__________．
14．求的值．
15．已知，求的值．
16、在直角坐标系中，已知，且△ABC的重心在（，）处，求及的值．
答案:
1、D 2、D 3、D 4、D
12、
13、
14、
15、
16、
第二课时:积化和差公式
9证明::3- tan atan B= sin asin B
1.B2.A3.D4.D
cos acos
5.解:(1)sin20°sin40°sin80°=sin20
Loos(a+P)-cos(a-B)]
即3[cs(a+B
(cos120°-cos40°)
Lcos(a-+B)+oos(a-B]
2sn20cs40=sn20+4(sn60
cos(a-B)]=-2Lcos(a+B)-cos(a-B)]
cos(a一B+5cos(a+B=0.…∴原式成立
200)=1-sin 60 = 3
10.解:由题设等式知
n(120°+x)+sin(120°-x)43
(2)cos20°cos40°cos80°=cos20°
1(c0s120°+c0s40)=-1cos20°+
. 2sin 120 cos x=-(cos 2x-cos 240
2cos20°cos40=
cOs 20+
2×。cosx=
22(20-1+1)
(cos60°+cos20°)
4cos'r-3cos x-1=0
6.解:原式=cos27°cos70°-sin39°sin44°+
∴cosx=-、l
或co
cos 66'sin 19-l( cos 97.+cos 43 )+ 11M: y(sin 3rsin 2)sin'-I+(cos 3izcos z)c0s'x
(cos83°-cos5°)+-(sin85°-sin47°)
--(cos 4x-cos 2x)six
+sin 2r-
(-sin7+cos43+sin7°-cos5°+cos5
cos x(cos 2r+cos 4r)
cos43)=0.
aos' 2r
7.解
COS T
cos 4x(oosx-sin x)
2[(x-)+m()]
y=osin Zr-
1∵x∈R
2cos 2x(oos'xtsinrx)
∴当sn(2x-6)=-1时,ym=-4
2 cos zoos 2r+ 2 cos 2r
8证明:左边=sim80°640°=1sin(80°+
1-+oos 4r
40°)+sin(80°-40)]=1(sn120°+
2r
sin40)=+-sin40=右边.∴原式成立
√2ain(2x+
∴函数的最小值是ym=2三角恒等变形
[第一部分：基础知识]
基本公式 常见变形
一、两角和与差公式及规律 常见变形
二、二倍角公式及规律 常见变形
( ※ )三、积化和差与和差化积公式
四、学习本章应注意的问题
1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础，应记准该公式的形式.
2、倍角公式有升、降幂的功能，如果升幂，则角减半，如果降幂，则角加倍，根据条件灵活选用.
3、公式的“三用”（顺用、逆用、变用）是熟练进行三角变形的前提.
[第二部分：基本技能与基本数学思想方法]
整体原则-------从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手，寻求三角变形的思维指向；
角度配凑方法 如
等;
方程思想；
消参数思想；
“1”的代换；
关于间的互相转化；
关于的齐次分式、二次齐次式与间的互相转化；
配凑辅助角公式:
一般地，其中
9、关于已知条件是的求值、化简、证明的变形及其思维方法。其中是任意角；等等。
[第三部分：应用举例]（供选用）
［例１］已知
求
若求的值．
［分析］求三角函数式的值，一般先化简，再代值计算．
［略解］当时，
当时，
故当n为偶数时，
当n为奇数时，
［例２］已知求的值．
［分析］已知三角函数式的值，求其它三角函数式的值的基本思路：考虑已知式与待求式之间的相互转化．
［略解］原式＝
［例３］已知
求的值；
当时，求的值．
［分析］从角度关系分析入手，寻求变形的思维方向．
［略解］（１）
［方法１］
从而，
［方法２］设
（２）由已知可得
[例4]已知求的值.
[分析]根据问题及已知条件可先“化切为弦”。由，只需求出和，问题即可迎刃而解.
[略解]
[点评] 对公式整体把握，可“居高临下”的审视问题。
[例5]已知求的值.
[分析]要想求出的值，即要求出的值，而要出现和，只需对条件式两边平方相加即可。
[ 略解 ] 将两条件式分别平方，得
将上面两式相加，得
[ 例6]已知方程有两根，求的最小值.
[分析] 可借助于一元二次方程的根与系数关系求出关于m的解析式。
[ 略解]
又
解得
故 的最小值为
[例7]已知求的值.
[分析]注意到 可通过与的正、余弦值来求出的值。
[略解] 由已知可得
[例8] 的值等于 （ ）
A． B． C． D．
[分析]从角度关系分析入手，尝试配凑已知角、待求角、特殊角之间的和、差、倍、半表示式。
[略解]
故选B.
[例9]求函数的最小值。
[分析]注意到，故可把用表示。
[略解]
其中 故函数的最小值为。
[例10] 已知满足方程其中为常数，且。
求证：当时，
[分析]从角度关系分析入手，先将、转化为。
[略解]由两边平方，并化简得
①
依题意，是方程①的两个实根。
==
[例11]若且求证：.
[分析] 比较条件式与已知式，可以发现需要消去.
[证明]得
。┅┅（3）
得
。┅┅（4）
得 .
作业设计：
1、写出你学习本章的复习小结或心得体会以及对今后的学习有何计划.
2、完成教材P162~163中A组习题.
3、（选做）复习题3的B、C组试题.
[课后反思]
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4平面向量
一、选择题
1．已知,则是三点构成三角形的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．已知向量，且，则的坐标是 （ ）
A. B. C. D.
3．，则与的夹角是 （ ）
A. B. C. D.
4．在平行四边形中，若，则必有 ( )
A. B. C. 是矩形 D. 是正方形
5．已知，与的夹角为，则等于 （ ）
A. 1 B. ２ C. D.－1
6．已知下列各式：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的有 （ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7．若 （ ）
A. B. C. D.
8．已知，则的取值范围是 （ ）
A. [3，8] B. （3，8） C. [3，13] D. （3，13）
9．已知，则等于 （ ）
A. 23 B. 35 C. D.
10．设，则C、D的坐标分别是 （ ）
A. B. C. D.
11．已知向量且,则=（ ）.
A． B. C. D.
12．已知向量 （ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
13．若，且，则向量与的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
14．若三点共线，则 （ ）
A. B. 3 C. D. 51
15．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么 =（ ）.
A． B． C． D．4
16．已知分别是的边上的中线,且,则为 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题
17．若的方向相反，且
18．化简：
（1）_____________。
（2）______________。
（3）______________。
19．已知向量，且A、B、C三点共线，则k=
20．分别是的边的中点，且给出下列命题
① ② ③ ④
其中正确的序号是_________。
21．已知不共线，，当______时，共线。
22．若向量与垂直，与垂直，则非零向量与的夹角是 ______..
23．已知平面上三点A、B、C满足 则的值等于 .
24．已知如果与的夹角是钝角，则的取值范围是________________。
三、解答题
25．如图，是以向量为边的平行四边形，又，试用表示。
26．已知向量，
求的值.
27．已知平面向量
证明：；
若存在不同时为零的实数和，使，且，试求函数关系式；
28．已知向量.
求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在[0，π]上的单调区间.
平面向量
一、选择题
1－5 BABCA 6－10 BBCCA 11－15 ACCBC 16 B
二、填空题
17. 18. (1) (2) (3) 19. k= 20. ①②③④
21. 22. 23. －25 24. 或且
三、解答题
25．，，
26．解法一：
由已知，得
又
所以
解法二：
由已知，得
27．（1）易证，从略 （2）
28．解：
=.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.角的概念的推广
一．选择题
1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）
A．30° B．-30° C．630° D．-630°
2、－1120°角所在象限是 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是 （ ）
A．45°－4×360°B．－45°－4×360°C．－45°－5×360°D．315°－5×360°
4、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ）
A．｛α∣90°<α<180°｝
B．｛α∣90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z｝
C．｛α∣－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z｝
D．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝
5、下列命题是真命题的是（ ）
Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B．第一象限的角必是锐角
C．不相等的角终边一定不同
D．=
6、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ）
A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C
7、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是 （ ）
A．第一象限角 B．第一、二象限角 C．第一、三象限角 D．第一、四象限角
8、若是第四象限的角，则是 ．(89上海)
A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角
二．填空题
1、写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________．
2、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________．
3、若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．
4、在0°到360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为 ．
三．解答题
1、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：
（1）； （2）．
2、求，使与角的终边相同，且．
3、设集合,
,求,.
4、已知角是第二象限角，求：（1）角是第几象限的角；（2）角终边的位置。
参考答案
选择题
BDDD DBCC
二．填空题
1、；
2、与；
3、；
4、与
三．解答题
1、（1）∵，
∴与终边相同的角的集合为。
其中最小正角为，最大负角为。
（2）∵，
∴与终边相同的角的集合为，
其中最小正角为，最大负角为。
2、∵，
∴满足条件的角为、、、、。
3、∵
∴；
。
4、∵，
∴；
当为偶数时，在第一象限，当为奇数时，在第三象限；
即：为第一或第三象限角。
∵，
∴的终边在下半平面。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.(共14张PPT)
三角恒等变形
差角公式
知识回顾
和角公式
变形：
,且 ，
二倍角公式：
引申：公式变形：
升幂降角公式
降幂升角公式
引申：公式变形：
，
，
半角公式：
练习
练习
．
练习
求证：
例1
，
例2
提示：
例3
．
练习
[ WWWI COM]-教育资源
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网校通,全校免点下载!提升形象和升学率同角三角函数的基本关系 同步练习(二)
1．已知，则等于（ ）
A． B．－ C．－ D．
2．已知A为锐角，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．若是三角形的一个内角，且，则三角形为（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
4．函数的值域是（ ）
A．｛0，2｝ B．｛－2，0｝ C．｛－2，0，2｝ D．｛－2，2｝
5、化简：。
6、化简：。
7、求证：。
8、求证：。
9、求证：。
10、求证：。
11、当实数，分别为何值时，三角函数式
的值与无关，且恒等于1。
12、已知，若，则可化简为
。
7．已知，求，．
8．化简．
9．化简．
答案:
1、C 2、D 3、A 4、C
13、
14、
15、
第二课时:化简与证明
6.解:原式=1anz(1+sinx
an x+tan rcos x
1.C提示:√+2in4cos4=√(sn4+s4)2
n I 1+sin I 1+cos x sin x
=in4+s44x4_3)不
sin x 1+cos x
+sin x
-tan T
∴sin4<0,cos4<0.∴.sin4+cos4<0
7.证法1:tan2a-sino=sin2a
∴原式=-(sin4+cos4)
提示:原式=(sin21°+sin289°)+
in a sin2 acosta sin a(1-cos2 a)
(sin2°+sin288°)+…+(sin244°+sin246°)
sna·sin-a
=tan“a·S
cOs a
+sin245°=44+
原式成立
3.0提示:原式=
证法2:tan2a-sin2a=tan2a-tan2acos2a
(4-5cos a)(4+5cos a)+(3-5sin a)(3+-5sin a) =tana(l-cos2a)=tan a. sin a
(3-5sin a)(4+5cos a)
∴原式成立
16-25cos2a+9-25sin2a
(3-5ina)(4+5c0sa)=0
8.证明:左边
4.解:(1)原式
cos a(+sin a)
a(l+sin a)
(1-sin a)(l+sin a)
1-sin'a
cosa+(I+
cos a
COs a
sIn a
cosa(1+sina)1+sino右边
-Vcos a-sin a)cos a+sin a(sin atc
cOs a
= Vcos a-sin acos a+sin a+sin acos a
原式成立
sin a
cos a
=1
9.证明:左边=
1+sin a+cos a (1+sin. a
(2)原式
cosa
V(+COS a)2TN(-cos a)
sin c
sin af
cos a(1+sin atcos a)
1-+cos a 1-cos
I+sin atcos a
1+sin a
sin a(l-+sin a+cos a)
∴原式
sin a
SIn a
cos a+
sin a
cos a
cos a
1+sin a+cos
1-+sin a
sin a
1-+cos a
tsin a+cos a
1-sin a
sin a
cOs a
T sin a
cOS a
sina+ cosa)
(cos a+1-sin
1-(1-2sin2acos2a)
1-(sin+a-sin acosta+cosa)
Icos a)--
2(0asna=右边
1+sin a+cos.a
2sin acos a
原式成立
2sin acos a 2弧度制 同步练习(二)
1．下列四个角，－5；π；－π其；1 023°中第一象限的角是（ ）
A． B．②和③
C．①和② D．①②③
2．与－π终边相同的角是（ ）
A .240° B.60° C．150° D．480°
3．下面说法正确的是（ ）
A．的弧度数是75° B．的度数是3弧度
C．的度数与弧度数相等 D．的弧度数是3
4．大小不同的圆内，凡圆心角为1弧度，则圆心角所对的弧长（ ）
A．相等 B．等于所在圆半径
C．等于57.3°R/180° D．以上都不对
5、一条弦长等于圆的半径，则这条弦所对圆心角的弧度数是（ ）
A、 B、 C、1 D、
6、圆的半径为1，所对圆心角为-3弧度的弧长是 。
7、若1 rad的圆心角所对的弦长为2，求该圆心角所对弧长。
8、求图1-3-2中公路弯道处弧的长。
9、圆的半径是6，则的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
10、中心角为的扇形，它的弧长为，则它的内切圆的半径围（ ）
A、2 B、 C、1 D、
11、半径为R的扇形的周长为4R，则此扇形所含弓形的面积为（ ）
A、 B、
C、 D、
12、若扇形OAB的面积是1，它的周长是4，求扇形圆心角的弧度数。
13．315°= ________弧度，π弧度= _______度
14．已知M ={α｜α＝2kπ+，k∈Z}，N＝{α|α=2kπ+π，k∈Z}.则M∪N=_______.
15．若三角形的几个内角之比是1：2：3，则这三个内角的弧度数分别是_________．
16．2个弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是_________．
17、已知扇形OAB的圆心角为，半径为6，求扇形弧长及所含弓形的面积。
18、蒸汽机飞轮的直径为1.2米，以300周/分钟的速度作逆时针旋转，求（1）飞轮每一秒转过的弧度数；（2）轮周上一点每一秒所转过的弧长。
19、已知一扇形的周长40，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形面积最大？最大面积是多少？
答案:
1、C 2、D 3、D 4、 B 5、A
6、3
7、
8、
9、 B 10、A 11、 D
12、
13、,105
14、
15、,,
16、1
17、
18、
19、向量应用举例 同步练习(二)
1、直线过点（2，1），它的方向向量是（1，2），则直线的方程是（ ）
A、 B、
C、 D、
2、直线和直线的位置关系是（ ）
A、平行 B、垂直 C、相交不垂直 D、重合
3、直线与平行，则=（ ）
A、-3 B、-6 C、 D、
4、已知力，，且它们的夹角为，则它们的合力F的大小为 。
5、平面上三个力同作用于一点而处于平衡状态，，，与的夹角为，则= ，与的夹角为 。
6、如图2-7-3，支座A受两个力作用，，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力，求角、合力F与水平方向夹角。
7、某人骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度大小为（ ）
A、 B、 C、 D、
8、初速度为，发射角为，则炮弹上升的高度与之间的关系（是飞行时间）为（ ）
A、 B、
C、 D、
9、如图2-7-4，一条河的两岸平行，河宽为，一船从A出发航行到河的对岸，船行速大小为，水流速大小为，那么与夹角多大时船才能垂直到达对岸B处？船的航行时间为多少？
10、两个粒子，从同一射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为=（4，3），=（2，10）。
（1）写出此时粒子相对粒子的位移；
（2）计算在方向上的射影。
11、已知力，，，且三力共同作用于一个物体，使物体从（1，-2，1）移动到（3，1，2），则合力所做的功是 。
12. 求点A（0，5）到直线的距离．
若两条直线与平行，求a的值．
一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度．
15、静水中划船的速度是每分钟40m，水流的速度是每分钟20m，若船从A处出发，沿垂直水流的航线到达对岸，船的航速是多少？方向怎样？
答案: 1、B 2、B 3、B 4、
12、
13、a=-1
14、
15、第一章 三角函数练习 同步练习(一)
选择题
1．若＝1，则对任意正整数n，的取值为（ ）
A．1 B．区间（0，1） C．2：3 D．不能确定
2．已知，则的图象是下图中的（ ）
3．下列各对函数值符号相同是的（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．下列四个不等式中，，错误的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．若，且＜＜，则的值的等于（ ）
A． B． C．－ D．
6．函数在下列区间上是增函数的是（ ）
A．［－，］ B．［－，］ C． D．［－，］
7．函数的图象可以看成是把函数的图象做以下平移得到（ ）
A．左平移 B．右平移 C．左平移 D．右平移
8． 等于（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．
9．按照下列方式排列，周期是_________，第100个位置是_________．
10．试举出在日常生活中5个周期现象的例子．
11．若与的单调性相反，则在第_________象限。
12．是以4π为周期的函数，当时，，则．
13．函数的定义域是________．
14．已知角的终边在函数是图像上，则．
15．已知，则…．
16．如下图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是一半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在上，相邻两边CQ，CR落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值。
17．求函数（a为定值）的最大值M．
18．如果，那么函数的最小值是多少？
19．函数的图像如图所示，是周期函数吗？
20．函数的图像如图所示，是周期函数吗？
21．已知 857 142…它的小数点后第100位的数字是___________．
22．已知函数，由可以构造出周期函数，试用图表示这个周期函数．
23．已知函数，由可以构造出周期函数，试用图表示这个周期函数．
24．证明是非周期函数．
25．终边在轴上的角的集合是_____________．
26．与－终边相同的角的集合是____________．
27．在～范围内，与角－18＇终边相同的角是___________．
28．写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－的元素写出来．
（1）； （2）； （3）－15＇
29．第一象限的角的集合S是_____________．
30．如果是锐角，试说明所在的象限．
31．如果角与角的终边在同一条直线上，试问角与角有什么关系？
32．30＇化为弧度制是___________．
33．－化成角度是___________．
34．扇形的中心角为，弧长为，则其内切圆的半径________．
35．把下列各角化成0～的角加上的形式，并指出它们是哪个象限的角．
（1） （2）－2
36．与－终边相同的最小正角是________．
37．求下列各式的值：
（1） （2） （3）
38．半径为20m的车轮为4rad/s的速度旋转，求轮上一点经过10 s所转过的弧长．
39．已知角终边经过点P（4，－5），则＝_________．
40．求下列正弦值：
（1）； （2）； （3）．
41．为什么？
42、若角的终边落在直线上，求的值．
43、已知点P（a，2）是角终边上一点，且＝，求a的值．
44、用定义证明：．
45．函数的图像与直线有_________交点．
46．在同一坐标系中画出下面两个函数的图像，其中．
（1）； （2）
47．计算：．
48．化简：．
49. 函数与函数的图像有_____交点．
50．如果，那么是第__________象限的角．
51．根据函数的图像，写出使成立的的取值集合．
52．函数的单调递增区间是___________．
53．函数的定义域是__________．
54．求函数的最大值和最小值，并写出使函数最大值和最小值时的自变量 的集合．
55．比价下列各组数的大小：
（1）与； （2）与．
56．函数的定义域是_________．
57．判断下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
58．研究方程的根的个数．
答案:
1、A 2、C 3、B 4、A 5、C
6、B 7、A 8、C
9、
10、
11、二或第三 12、
19、不是 20、不是
21、8
22、如图
23、如图
24、
25、
26、
27、
28、
29、
30、
31、
32、 33、-450° 34、3
35、
36、
37、(1) (2) (3)
38、
39、
40、(1) (2) (3)
41、
42、
43、
44、
45、一个
46、略
47、
48、
49、一 50、三,四
51、
52、
53、R
54、
55、
56、
57、
58、
59、半角的三角函数 同步练习(一)
知识检测
1、（1）求，，的值；（2）求，的值；（3）求的值。
2、设，且，则等于（ ）
A、 B、 C、 D、
3、如果，，则等于（ ）
A、 B、 C、 D、
4、已知，并且，求，，的值。
5、已知，，求。
◆ 能力提高
1．若是第二象限角，且，则＝___________．
2．函数的最大值是________，最小值是_______．
3．在直角三角形ABC中，A，B为锐角且满足条件，则∠A＝_______．
4．已知，是第四象限角，求．
5．若求．
◆ 技能提高
1．如果，，那么等于（ ）
A．－ B．－ C． D．
2．如果，，那么等于（ ）
A． B． C．－ D．－
3．已知，且，则等于（ ）
A．3 B．2 C．－2 D．－3
4．，则的值分别为（ ）
A．－，－ B．，± C．，－ D．，
5．设，是第二象限角，则的值等于（ ）
A． B．± C． D．±
6．函数的最小正周期是（ ）
A． B．－ C．14π D．－14π
7．已知，，求．
8．已知，求下列各式的值：
； ； ．
拓展空间
设等腰三角形顶角的正弦值为，求其底角的余弦值．
已知，是关于的的两根，这里为锐角，且的值．
答案:
知识检测
1、(1) (2) (3)
2、D 3、C 4、
5、2二倍角的正弦、余弦和正切 同步练习(一)
1．,为第四象限角，则的值是（ ）
A． B．－ C．± D．
2．的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知为第三象限角，且，那么的值是（ ）
A． B．－ C． D．－
4．若，则可能位于（ ）
A．第二、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
5．若＜＜3π，则的值是（ ）
A． B． C．－ D．
6．若，则等于（ ）
A． B．－ C． D．±
7．等于（ ）
A．2 B．－2 C．1 D．－1
8．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．2
9．的取值范围是（ ）
A．［－1，0］ B．［0，1］ C．［－1，1］ D．［－2，2］
10、求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；
（4）。
11、求的值。
12、求值：。
13、求的值。
14、已知，求下列各式的值。
（1）；（2）；
（3）。
15、已知，（1）求的值；（2）求的值。
16、已知，，求的值。
17、已知，，，则的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
18、已知为锐角，且，。求的值。
19、证明：内切圆半径为定值的直角三角形中，以等腰直角三角形的周长最小。
20、在中，角A、B、C所对的边分别为且。求的值。
答案:
1、C 2、D 3、A 4、B 5、A
6、B 7、A 8、D 9、C
10、(1), (2) (3) (4)-
11、1 12、 13、
14、(1)-3+ (2) (3)
15、(1) (2)
16、 17、
18、
19、 20、平面向量的坐标 同步练习(一)
已知向量，则a与b的关系是（ ）
A．不共线 B．相等 C．同向 D．反向
2．已知，且a与b的关系是（ ）
A．6 B．5 C．7 D．8
3、以下命题错误的是（ ）
A、若将平移，使起点M与坐标原点O重合，则N点坐标为
B、相反向量的坐标为
C、若与轴垂直，则必有
若是一个单位向量，则小于1
4、已知A（-5，-1），B（3，-2），则=（ ）
A、（8，1） B、（-4，） C、（-8，1） D、（-8，-1）
5、以下向量中，单位向量有（ ）
①；②；③；④。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
6、在平面直角坐标系中，给出下面四种判断：
相等的向量坐标相同；
一个向量对应于唯一的坐标；
一发坐标对应于唯一的一个向量；
平面上一个点与以原点为起点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确的判断有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．若向量（，）＝0，则必有（ ）
A．或 B．且 C． D．
8．已知A（3，1），B（2，1），则的坐标为（ ）
A．（－2，－1） B．（2，1） C．（－3，－2） D．（－1，－2）
9．已知＝（2，8），＝（－7，2），则等于（ ）
A．（3，2） B．（－，－）
C．（－3，－2） D．（－，4）
10、设点A（-1，2），B（2，3），C（3，-1），且，则点D坐标为（ ）
A、（2，16） B、（-2，-16） C、（4，16） D、（2，0）
11、正方形ABCD边长为1，设，，，则向量的模是（ ）
A、 B、5 C、6 D、3
12、设，，则=（ ）
A、（10，13） B、（14，13） C、（10，5） D、非上述结论
13、若，B点的坐标是（1，-3），则A点坐标为 。
14、设，，，，则= 。
15、已知，，且和是一组基底，饿角的集合为 。
16、已知三个力，，，它们的合力，则= 。
17、已知，，。
（1）求证：是一组基底；
（2）用表示。
18、已知点O（0，0）、A（1，2）、B（4，5）及，试求
（1）为何值时，点P在轴上？点P在轴上？点P在第一象限？
（2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的；若不能，说明理由。
19、已知点O（0，0）、A（6，3），若点P在直线OA上，且，又点P是线段OB中点，则点B的坐标是 。
答案:
1、D 2、C 3、D 4、B 5、B
6、C 7、B 8、C 9、C 10、A
11、B 12、A 13、(3,-8) 14、(-5,2)
15、
16、(-5,1)
17、
18、
19、第三章 三角恒等变形 同步练习(一)
A组
一、选择题
1．函数最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3．若，是方程的两解，则的值是（ ）
A．2和－ B．2和－ C．2 D．－
4．已知△ABC中，，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
5．的值为（ ）
A． B．－ C． D．
6．函数在一个周期内的图像为（ ）
7．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．－1
9．已知，则+等于（ ）
A．1 B．－1 C．0 D．
10．已知是第三象限角，若，那么等于（ ）
A． B．－ C． D．－
二、填空题
11．若，，则＝_________．
12．函数的最小正周期是_________．
13．函数的最大值是________．
14．若，则a，b的大小关系是_______．
三、解答题
15．已知函数．
（1）当函数取得最大值时，求自变量的集合；
（2）该函数的图像可由的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
16．化简．
17．已知，且，是方程 的两解．求的值．
18．已知，，求，的值．
19．已知．求证：．
20．求函数的值域．
21．求值：（1）； （2）．
22．化简．
23．（1）求证：；
（2）已知，求的值．
21、(1) (2) 22、
23、平面向量的坐标 同步练习(二)
1．已知＝（，），点B的坐标为（－3，3），则的坐标为（ ）
A．（，） B．（，）
C．（－，） D．(，)
2．已知，则有（ ）
A．与b共线 B．与a共线
C．与c共线 D．a与共线
3．已知两点A（0，2）B（2，0）则与向量方向相同的单位向量是（ ）
A．（－，－） B．（，－）
C．（－，） D．（，）
4、向量，，则与的关系（ ）
A、不共线 B、相等 C、同向 D、反向
5、若，，，则=（ ）
A、 B、 C、 D、6
6、下列各组的两个向量，共线的是（ ）
A、， B、，
C、， D、，
7、下列各组向量中，能作为它们所在平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A、， B、，
C、， D、，
8、已知A（1，-3），B，且A、B、C三点共线，则C点可以是（ ）
A、（-9，1） B、（9，-1） C、（9，1） D、（-9，-1）
9、以下命题错误的是（ ）
A、若分别是与轴、轴同向的单位向量，则
B、已知，，若，则
C、零向量的坐标表示为（0，0）
D、一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标
10、已知向量，，且，则=（ ）
A、1 B、-2 C、-16 D、1或-16
11、若A（1，1），B（2，-4），C（，-9）三点共线，则= 。
12、已知点A（-3，-1），B（6，3），向量=（2，-1），则= ，C点坐标为 。
已知A（2，3），B（－1，5），且＝，＝3,=，点C，D，E的坐标分别为C_______，D________，E________．
已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若＝＋（），试求为何值时，点P在第三象限内？
如图，已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC和OB交点P的坐标．
16、已知A（-3，2），=（8，0），求线段AB中点的坐标。
17、已知平面上三点坐标A（-2，1）、B（-1，3）、C（3，4），求D点坐标，使得这四点构成平行四边形。
18、已知向量，的对应关系。
（1）设=（1，1），=（1，0），求；
（2）求使（为常数）的向量的坐标。
19、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（3，1）、B（-1，3），若C点满足，其中且，则点C的轨迹方程为（ ）
A、 B、
C、 D、
20．若向量，且∥，求的值．
21．若点共线，求点C的坐标及＝中实数的值．
22．平面内给定三个向量．
求；
求满足的实数m，n；
若∥，求实数k．
23．已知A，B，C，D四点坐标分别为（－1，1），（1，3），(0,5)，（－2，3）．求证：顺次连接四点ABCD组成的图形为平行四边形．
24、已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），且．回答下列问题：
当t变化时，点P是否恒在一条直线上运动？
当t取何值时，点P在y轴上？
OABP能否成为平行四边形？若能，求出响应的t值；若不能，请说明理由．
已知△ABC的面积为14cm2点D，E分别为边AB，BC上的点，且AD ：DB＝BE：FC＝2：1．求△APC的面积．
答案:
1、C 2、D 3、B 4、D 5、D
6、D 7、C 8、C 9、B 10、D
11、3 12、(9,4),(4,4)
13、
14、
15、
16、
17、
18、
19、D
20、
21、
22、
23、
24、
25、函数的图像 同步练习(二)
1、图1-7-2是函数的图像的一部分，它的振幅、周期、初相分别是（ ）
A、
B、
C、
D、
2、函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A、 B、R C、 D、
3、函数图像的一条对称轴是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、曲线的一个对称中心是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、在区间上是增函数，且，，则在上（ ）
A、是增函数 B、是减函数
C、可以取得最大值2 D、可以取得最小值-2
6、若函数的图像（部分）如图1-7-3所示，则和 的取值是（ ）
A、 B、
C、 D、
7、已知函数在一个周期内，当时，取得最大值2；当时，取得最小值-2，那么（ ）
A、 B、
C、 D、
8、如图1-7-4，已知函数的图像，则函数表达式为（ ）
A、
B、
C、
D、
9、如图1-7-5是周期为的三角函数的图像，那么（ ）
A、 B、
C、 D、
10、如图1-7-6是函数的图像，那么（ ）
A、 B、
C、 D、
11、函数关于直线（ ）这
A、轴对称 B、对称 C、对称 D、对称
12、函数的一条对称轴是，则=（ ）
A、 B、 C、 D、
13、函数是偶函数，则=（ ）
A、 B、 C、 D、
14、函数为偶函数的充要条件是（ ）
A、 B、
C、 D、
15、的图像的一个对称中心是（ ）
A、 B、 C、 D、
16、函数的图像关于原点成中心对称图形，则=（ ）
A、 B、
C、 D、
17、关于函数，下列命题中正确的（ ）
①的表达式可以写成；
②的图像关于点对称；
③的图像关于对称。
A、①② B、②③ C、③ D、①②③
18、函数的图像向右平移个单位（）得到的图像恰好关于对称，则的最小值是 。
19、函数的图像如图1-7-11所示，试依图推出：
（1）的最小正周期；
（2）时的取值集合；
（3）使的的取值集合；
（4）的单调递增区间和递减区间；
（5）使取最小值的的取值集合；
（6）图像的对称轴方程；
（7）图像的对称中心。
20、已知函数是R上的偶函数，其图像关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。
21、如图1-7-9所示的曲线是的图像的一部分，求这个函数的解析式。
22、函数在同一周期内，当时，有最大值为，当时，有最小值，求此函数的解析式。
23、设（，）最高点O的坐标为，由最高点运动到相邻的最低点F时，曲线域轴的交点为E（6,0）。求：
（1），，的值；
（2）确定的表达式，使其图像与的图像关于对称。
答案:
1、B 2、D 3、A 4、C 5、C
6、C 7、B 8、C 9、B 10、C
11、C 12、C 13、C 14、B 15、C
16、B 17、A 18、
19、
20、
21、
22、
23、正弦函数 同步练习(一)
1、下列三角函数：①；②；③；④。其中函数值与的值相同的是（ ）
A、①② B、②④ C、①③ D、①②④
2、的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
3、已知，，，则（ ）
A、 B、
C、 D、
4、若，则的取值范围是（ ）
A、
B、
C、
D、
5、关于函数，有下面四个结论：①是奇函数；②当时，恒成立；③的最大值是；④的最小值是。其中正确结论的个数为（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
6、函数的部分图像是（ ）
7、下列命题中正确是是（ ）
A、为奇函数 B、既不是奇函数也不是偶函数
C、为偶函数 D、为奇函数
8、若，则= 。
9、已知锐角终边上一点（3，4），求角的正弦值。
10、已知是角终边上一点，求的值。
11、已知角的终边落在直线上，求的值。
12、若是方程的根，求的值。
13、化简：。
14、已知A、B、C是的内角，求证：。
15、若实数，满足，求：的值。
16、已知函数的最大值为0，最小值为-4，若，求、的值。
17、对于函数，，有，所以是，的周期，这种说法对吗？为什么？
18、对于函数，，有，所以是，的周期，这种说法对吗？若不对，它的周期是什么？
19、证明为周期函数，并求函数的值域。
20、若函数为奇函数，周期为，，求。
答案:
1、B 2、B 3、A 4、D 5、A 6、C 7、A
8、
9、
10、
11、
12、
13、
14、
15、
16、
17、
18、
19、
20、从位移的合成到向量的加法 同步练习(一)
1．给出下列四个命题：
如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a，b之一的方向相同；
在△ABC中，必有＋＋＝0；
若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；
若a，b均为非零向量，则｜a+b｜与｜a｜＋｜b｜一定相等．
其中真命题的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
2. 在平行四边形ABCD中，则下列等式不正确的是（ ）
A．＋＝ B．－＝
C．－＝ D． －＝
3．a，b为非零向量，且｜a+b｜=| a |＋| b |，则（ ）
A．a∥b，且a，b方向相同 B．a = b
C．a∥b，且a，b方向相反 D．a =－ b
4．已知ABCD是平行四边形，O为平面上任意一点，设＝a，＝b，＝c，＝d，则（ ）
A．a＋b＋c＋d = 0 B．a－b + c－d = 0
C．a＋b－c－d = 0 D．a－b－c＋d = 0
5．化简下列向量：
（1）＋＋；（2）－＋－；（3）++－
（3）－＋．
结果为零向量的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．设Ｏ是△ABC内一点，且＋＋＝0，则Ｏ是△ABC的（ ）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
7．设＝a，＝b，＝c，则为（ ）
A．a－b + c B．b－( a + c ) C．a + b + c D．b－a + c
8．平面内有四边形ABCD和点Ｏ,若＋＝＋，则四边形ABCD的形状是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．正方形
9、如图2-2-1，O是内一点，且，则O是的（ ）
A、内心 B、外心 C、重心 D、垂心
10、如图2-2-2，=（ ）
A、0 B、O C、 D、
11、对任意向量，在下式中：①；②；③；④，恒成立的有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
12、向量是飞零向量，下列说法错误的是（ ）
A、向量与反向，且，则与同向
B、向量与同向，且，则与同向
C、向量与同向，则与同向
D、向量与反向，则与反向
13、正方形ABCD的边长为1，，，，则为（ ）
A、0 B、 C、3 D、
14、向量表示“向东走1”，表示“向南走1”，则表示（ ）
A、向东南方向走 B、向东南方向走2
C、向东北方向走 D、向东北方向走2
15、已知O为正三角形ABC的中心，求证：。
16、已知向量、、，如图2-2-4所示，求作：向量。
17、若满足，，则的最大值为 ，最小值为
。
18、一渔船距对岸4，以2的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8，求河水的流速。
答案:
1、B 2、B 3、A 4、B 5、C 6、C 7、A 8、C
9、C 10、B 11、C 12、D 13、D 14、A
15、
16、
17、
18、 5,1
19、角的概念的推广练习
一、 选择题
1．把 化成 的形式是（ ）
A． B．
C． D．
2．在直角坐标系中，若 与 的终边互相垂直，则 与 的关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．若 是第三象限的角，则 是（ ）
A．第一、二、三象限角
B．第一、二、四象限角
C．第一、三、四象限角
D．第二、三、四象限角
二、 填空题
4．设集合：
, ， ，
则A、B、C的关系是 。
5．角 终边落在第二、四象限的角的平分线上，则角 的集合是 。
6．角 ， 的终边关于原点对称，则 ， 满足关系 。
7．角 ， 的终边关于 轴对称，则 ， 满足关系 。
三、 解答题
8．当12点过15分的时候，时钟长短针的夹角是多少度？
9．已知 ， 角的7倍角的终边和 角的终边重合，试求这个角 。
【角的概念的推广练习参考答案】
一、 选择题
1．D； 2．D； 3．C．
二、 填空题
4．
5．
6． ， 。
7． ， 。
三、 解答题
8．分针旋转 时，时针旋转 ，那么分针旋 时，时针旋转 ，故夹角为 。
9．由题设，得 ，
∴
又 ，即 ，
∴ 且（ ），
∴
故
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.平面向量数量积的坐标表示 同步练习(一)
知识检测
1、已知=（-2，4），=（-1，-2），=（2，3），则的值为（ ）
A、10 B、14 C、-10 D、-14
2、已知=（2，），=（-7，0），则它们的夹角为（ ）
A、 B、 C、 D、
3、=（-4，3），=（5，6），则=（ ）
A、23 B、57 C、63 D、83
4、=（-4，7），=（5，2），则= 。
5．已知向量＝（－1，2），＝（3，m），若，则m＝_______．
6．已知，，，则＝_______； ；
7．在△ABC中，已知A（4，1），B（7，5），C（－4，7），则角A的平分线AT的长为_______．
8．已知直线和，则直线和的夹角是_______．
9．以点A（2，3），B（6，－7）为直径的圆的方程是_______．
◆能力提高
1．设a，b是两个非零向量，则是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知，其中则有（ ）
A．∥b B． C．a与b夹角为45° D．｜a｜＝｜b｜
3．已知A（－1，3），B（3，１），点C在坐标轴上，且，则满足条件的点C的个数为）（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知向量，且向量a与b的夹角为锐角，则x的取值范围是（ ）
A． B．且
C．且 D．且
5．已知点A（－2，－3），B（19，4），C（－1，－6），则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C ．直角三角形 D．等腰直角三角形
6．已知，且，则向量b在a上的射影是_______．
7．已知，则｜a+b｜= _____，______．
8．已知，且a∥b，则向量a的坐标是________．
9．若将向量围绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则向量b的坐标为_______．
10．在△ABC内求一点P使最小．
技能培养
已知，则与a垂直的单位向量的坐标是_______
以方程 的两组实数解（，（）分别为A，B两点的坐标，Ｏ为原点，且＝12，则a的值为___________．
若，为实数，则a与b为相反向量时＝_________．
已知，则a与b夹角的余弦值为__________．
在△ABC中，，且△ABC的一个内角为直角，则＝_______．
已知），且存在实数k和t，使得,且，试求的最大值．
拓展空间
已知向量与向量的对应关系用表示．
证明：对于任意向量a,b及常数m,n，恒有成立．
设求向量．
知识检测
1、B 2、B 3、D 4、-50 5、4同角三角函数的基本关系 同步练习(二)
1．已知，则等于（ ）
A． B．－ C．－ D．
2．已知A为锐角，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．若是三角形的一个内角，且，则三角形为（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
4．函数的值域是（ ）
A．｛0，2｝ B．｛－2，0｝ C．｛－2，0，2｝ D．｛－2，2｝
5、化简：。
6、化简：。
7、求证：。
8、求证：。
9、求证：。
10、求证：。
11、当实数，分别为何值时，三角函数式
的值与无关，且恒等于1。
12、已知，若，则可化简为
。
7．已知，求，．
8．化简．
9．化简．
答案:
1、C 2、D 3、A 4、C
13、
14、
15、
第二课时:化简与证明
6.解:原式=1anz(1+sinx
an x+tan rcos x
1.C提示:√+2in4cos4=√(sn4+s4)2
n I 1+sin I 1+cos x sin x
=in4+s44x4_3)不
sin x 1+cos x
+sin x
-tan T
∴sin4<0,cos4<0.∴.sin4+cos4<0
7.证法1:tan2a-sino=sin2a
∴原式=-(sin4+cos4)
提示:原式=(sin21°+sin289°)+
in a sin2 acosta sin a(1-cos2 a)
(sin2°+sin288°)+…+(sin244°+sin246°)
sna·sin-a
=tan“a·S
cOs a
+sin245°=44+
原式成立
3.0提示:原式=
证法2:tan2a-sin2a=tan2a-tan2acos2a
(4-5cos a)(4+5cos a)+(3-5sin a)(3+-5sin a) =tana(l-cos2a)=tan a. sin a
(3-5sin a)(4+5cos a)
∴原式成立
16-25cos2a+9-25sin2a
(3-5ina)(4+5c0sa)=0
8.证明:左边
4.解:(1)原式
cos a(+sin a)
a(l+sin a)
(1-sin a)(l+sin a)
1-sin'a
cosa+(I+
cos a
COs a
sIn a
cosa(1+sina)1+sino右边
-Vcos a-sin a)cos a+sin a(sin atc
cOs a
= Vcos a-sin acos a+sin a+sin acos a
原式成立
sin a
cos a
=1
9.证明:左边=
1+sin a+cos a (1+sin. a
(2)原式
cosa
V(+COS a)2TN(-cos a)
sin c
sin af
cos a(1+sin atcos a)
1-+cos a 1-cos
I+sin atcos a
1+sin a
sin a(l-+sin a+cos a)
∴原式
sin a
SIn a
cos a+
sin a
cos a
cos a
1+sin a+cos
1-+sin a
sin a
1-+cos a
tsin a+cos a
1-sin a
sin a
cOs a
T sin a
cOS a
sina+ cosa)
(cos a+1-sin
1-(1-2sin2acos2a)
1-(sin+a-sin acosta+cosa)
Icos a)--
2(0asna=右边
1+sin a+cos.a
2sin acos a
原式成立
2sin acos a 2角的概念的推广同步练习
基础练习
第一类：时针、分针旋转问题
1、分针转2小时15分，所转的角度是多少？若将时钟拨慢5分钟，时针、分针各转了多少度？（答案P3：-8100；2.50;300）
2、自行车大轮48齿，小轮20齿，大轮转一周小轮转多少度？（答案P1：8640）
3、自行车大轮m齿，小轮n齿，大轮转一周小轮转多少度？（答案P1：3600）
第二类：终边角问题讨论
1、若 与β的终边角相同，则 β的终边角一定在（答案P1: A）
A、x的非负半轴上 B、x的非正半轴上
C、y的非正半轴上 D、y的非负半轴上
2、如果 与x+450有相同的终边角, β与x-450有相同的终边角,那么 与β的关系是(答案P1: D )
A、 β=0 B、 β=0
C、 β= k·360° D、 β=900+ k·360°
3、若 与β的终边关于直线x-y=0对称，且 0，则β= _______。（答案：k·360°+1200 ，）
第三类：象限角和轴线角讨论
1、 是四象限角，则180° 是（答案P1：C ）
A、第一象限角 B、第二象限角
C、第三象限角 D、第四象限角
2、判断下列命题是否正确，并说明理由：
（1）小于90°的角是锐角； （ ）
（2）第一象限角小于第二象限角； （ ）
（3）终边相同的角一定相等； （ ）
（4）相等的角终边一定相同； （ ）
（5）若 ∈〔90°，180°〕，则 是第二象限角． （ ）
答案：（1）不正确．小于90°的角包含负角．
（2）不正确．反例：390°是第一条象限角，120°是第二象限角，但390°＞120°．
（3）不正确．它们彼此可能相差2 的整数倍．
（4）正确．此角顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合的前提下．
（5）不正确．90°、180°均不是象限角．
3如果 =450+ k·180°则 是第（答案：P1A ）
A、第一或第三象限角 B、第一或第二象限角
C、第二或第四象限角 D、第三或第四象限角
4、若 是一象限角，那么 、分别是第几象限角？（答案：P2一或二或Y正半轴；一或三）
5．设 是第二象限角，则的终边不在（C）．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：360°·k＋90°＜a＜360°·k＋180°，则120°·k＋30°＜＜120°·k＋60°，如图答4－2，角终边不在第三象限．K取0或1或-1等
7．已知β∈｛ | =k·180+(-1)K·450, ｝,判断 的终边所在的象限。（答案：一或二）
第四类：综合练习易错题
1．判断下列命题是否正确，并说明理由：
（1）集合P＝｛锐角｝，集合Q＝｛小于90°的角｝，则有P＝Q；
答案：不正确．小于90°的角包含负角．
（2）角 和角2 的终边不可能相同；
答案：不正确．如，则 与2 终边相同．
（3）在坐标平面上，若角β的终边与角 终边同在一条过原点的直线上，则有 ＝k ＋ ，k∈Z；答案：正确．
（4）若 是第二象限角，则2 一定是第三或第四象限角；
答案：不正确．也可能是Y轴非正半轴上．
（5）设集合A＝{射线OP}，集合B ＝{坐标平面内的角}，法则f：以x轴正半轴为角的始边，以OP为角的终边，那么对应f：OP∈Ａ→是一个映射；
答案：不正确．以OP为终边的∠xOP不唯一．
（6）不相等的角其终边位置必不相同．
答案：不正确．终边相同角未必相等．
2．角的顶点在坐标系的原点，始边与x轴的正半轴重合，那么终边在下列位置的角的集合分别是：
（1）x轴负半轴________；答案：
（2）坐标轴上________； 答案：；
（3）直线y＝x________； 答案：；
（4）两坐标轴及y＝±x________．答案：．
3．“x是钝角”是“x是第二象限角”的（A）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件
4．S是与－374°15′终边相同的角的集合，M＝{ ｜｜ ｜＜360°}，则＝（D）．
A．S B．{14°15′}
C．{14°15′，－14°15′} D．{－14°15′，345°45′}
5．如图4－1所示，如按逆时针旋针，终边落在OA位置时的角的集合是________；终边落在OB位置时的集合是________．
答案：．
6．已知 的终边与 的终边关于Y轴对称，则 ________；已知 的终边与 的终边关于原点对称，其中绝对值最小的 ________；
答案： = k·360°+1500 β=2100+ k·360°其中绝对值最小的 角是 时，β=-1500
7．集合M=｛x|x= k·90°450 }与P=｛x|x=m·45°}之间的关系为（A）
A．MP B．PM C．M=P D．M∩P=
8．设角 的终边落在函数y＝-|x|的图象上，求角 的集合。（答案：｛ | = k·360°+2700450 }）
9．已知半径为1的圆的圆心在原点，点P从点A（1，0）出发，依逆时针等速旋转，已知P点在1秒转过的角度为β（00＜β＜ ），经过2秒到达第三象限，经过14秒又回到出发点A处，则β______（答案：P3例4题，7200/7；9000/7）
10．已知 与β都是锐角， β的终边与-2800的终边相同； β的终边与-6700的终边相同，求 与β的大小。（答案：P3例5题，150，650）
11．已知集合A= ｛ |300+ k·180°＜ ＜900+ k·180 }，B= ｛β|-450+ k·360°＜β＜450+ k·360 }，求A∩B。（答案：P3例6，｛θ|30°+ k·360°＜θ＜450+ k·360 }
12．在直角坐标系中， 的顶点在坐标原点，始边在）x轴非负半轴上，若 的终边过函数y＝-2x与y＝-㏒(-X)的图象的交点,求满足条件的 的集合 答案 P3例7题；应该熟悉对数与反函数）
若a︿n=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b)
1、a︿(log(a)(b))=b；2、log(a)(a︿b)=b；3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 5、log(a)(M︿n)=nlog(a)(M) ；6、log(a︿n)M=1/nlog(a)(M
7、log(a)(b)=1/log(b)(a)；8、log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.二倍角的正弦、余弦和正切 同步练习(二)
已知，那么角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知，那么等于（ ）
A．± B．± C．－ D．
3．化简的结果是（ ）
A． B． C．2sin2 D．2cos2
4．为锐角，，则等于（ ）
A． B．
C． D．＋
5、已知是第三象限角，且，那么的值等于（ ）
A、 B、 C、 D、
6、已知，，那么，的值依次是（ ）
A、 B、 C、 D、
7、已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是（ ）
A、 B、 C、 D、
8、已知，，求，，。
9、已知，，求的值。
10、若，则=（ ）
A、 B、 C、 D、
11、已知，则的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
12、化简：
（1）；
（2）。
13、已知，。求证：。
14、证明：（1）；（2）；
（3）。
15、已知是方程的两实根，求
（1）的值；（2）；（3）。
16、已知是方程的两实根，且，求与 的值。
17、圆心角为的扇形AOB的半径为1，C是AB弧上一点，作矩形CDEF，如图3-2-1，当C点在什么位置时，这个矩形的面积最大？这时等于多少度？
18、已知，，则等于（ ）
A、 B、 C、 D、
19．＝___________．
20．若为第二象限角，且，则角所在象限是_________．
21．若则＝________．
22．化简＝_________．
23．已知方程的一个根是，求．
24．＝____________．
25．已知，则＝___________．
26．__________．
27．已知，求．
答案:
1、D 2、C 3、B 4、C 5、B
6、C 7、A 8、 9、
10、C 11、D
12、(1) (2)
13、
14、
15、
16、或 17、最大值 18、D
19、 20、第三象限 21、
22、 23、
24、1 25、 26、
27、平面向量 同步练习
选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 若e，e，且，则四边形ABCD是 （ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形
2．已知A（1,2,－1）关于面xoy的对称点为B，而B关于x轴对称的点为C，则（ ）
A．（0,4,2） B．（0,－4,－2） C．（0,4,0） D．（2,0,－2）
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的共有 （ ）
（1）（+）+ （2）（+）+
（3）（+）+ （4）（+）+
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．若 则是的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．已知向量、是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量在直线l上，则·=0且·=0是l⊥α的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在下列3个命题中，假命题的个数为 （ ）
（1）+++…+是的相反向量；
（2）当λ1，λ2…，λn∈R且λ1+λ2+…+λn=0时，λ1+λ2+λ3+…+λn =0
（3）已知λ1，λ2…，λn∈R，且λ1+λ2+…+λn=0，，，…，是n个向量，且 ++…+=0，则λ1+λ2+…+λn =0.
A．０个 B．1个 C．2个 D．3个
7．已知a=（cosα,1,sinα）,b=（sinα,1,cosα）,且sinα≠cosα,则向量a+b与a－b的夹角
是 （ ）
A．0° B．30° C．60° D．90°
8．已知a、b为异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB=2，CD=1，则a与b所成的角是 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC、M,N分别是对边OA、BC的中点，点G 在线段MN上，且分MN所成的定比为2，现用基底向量、、表示向量，设=x+y+z，则x、y、z的值分别为 （ ）
A．x=、y=、z= B．x=、y=、z=
C．x=、y=、z= D．x=、y=、z=
10．已知=i+2j+3k，=－2i+3j－k，=3i－4j+5k，若，，共同作于一物体上，使物体从M1（1，－2，1）移到点M2（3，1，2）则合力所作的功是 （ ）
A．10, B．14 C．2 D．－14
二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果.
11．若向量x与向量a=（2,－1,2）共线，且a·x=－18，则|x|= .
12．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，用a，b，c表示
= .
13．两异面直线a，b所成角为，它们的公垂线段为AB；E、F分别为两异面直线a，b上的点.若|AE|=m，|BF|=n，|EF|=p，则AB的长度为 .
14．G为△ABC内一点，则G为△ABC的重心的充要条件为++=，在空间四面体中，类比可得性质 .
三、解答题：本大题满分84分.
15．（本小题满分14分）已知a2+b2+c2=1，x2+y2+z2=1，其中a、b、c和x、y、z均为实数，用向量法证明－1≤ax+by+cz≤1.
16．（本小题满分14分）用向量法证明以下定理：如果一直线与一平面内的两条相交直线垂直则该直线与该平面垂直.
17．（本小题满分14分）已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），设a=，b=.
（1）求a与b的夹角；
（2）若向量ka+b与ka－2b互相垂直，求k的值.
18．（本小题满分14分）已知E,F,G,H为空间四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点.
（1）用向量法证明E,F,G,H四点共面；
（2）用向量法证明：BD∥平面EFGH；
（3）设M是EG和FH的交点，
求证：对空间任意一点O，有=（+++）.
19．（本小题满分14分）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，
∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1，A1A的中点，
（1）求
（2）求
（3）
20．（本小题满分14分）如图，已知向量 可构成空间向量的一组基底，若a=（a1,a2,a3）,b=（b1,b2,b3）, c=（c1,c2,c3）,在向量已有的运算法则基础上，新定义一种运算a×b=（a2b3－a3b2,a3b1－a1b3,a1b2－a2b1）.显然a×b的结果仍为一向量，记作p.
（1）求证：向量p为平面OAB的法向量；
（2）求证：以OA，OB为边的平行四边形OADB面积等于|a×b|;
（3）将到四边形OADB按向量 平移，得到一个平行六面体
OADB—CA1D1B1，试判断平行六面体的体积V与|（a×b）·c|的大小.
参考答案
一、选择题
CBDAB BDCDB
10．解: P=（++）·=（2,1,7）·（2,3,1）=14,选B
二、填空题
11．6； 12． （a+b+c）；13．
14．G为四面体A－BCD内一点，则G为四面体A－BCD重心的充要条件为+++=
三、解答题：本大题满分74分.
15．证明：构造m=（a,b,c），n=（x,y,z），…………（4分）由已知得|m|==1，|n|==1，…………（8分）m·n= ax+by+cz ，|m·n|=|m|·|n|·|cos|≤|m|·|n|=1，…………（12分）即－1≤ax+by+cz≤1.…………（14分）
16．证明：设直线的方向向量为f，平面内两相交直线的方向向量为m和n，…………（2分）则由已知可知f·m=0，f·n=0.…………（6分）根据平面向量基性质及分解定理知该平面内任一直线的方向向量a都可用m和n表示，设a=xm+yn，…………（10分）有f·a= f·（xm+yn）=xf·m+y f·n=0，即直线垂直平面内的任意直线，所以该直线与该平面垂直.…………（14分）
17．解：a==（1，1，0），b==（－1，0，2）…………（2分）
⑴cos===－,所以a与b的夹角为－arccos;…………（8分）
⑵ka+b=（k－1,k,2）,ka－2b=（k+2,k,－4），所以（k－1,k,2）·（k+2,k,－4）=2k2+k－10=0，解得k=－或k=2.…………（14分）
18．证明：⑴连接BG，则=+=（+）=++=+，由公共面向量推论知：E,F,G,H四点共面；…………（4分）
⑵因为=－=（－）=，所以BD∥EH，又EH面EFGH，BD在平面EFGH外，所以BD∥平面EFGH；…………（9分）
⑶连OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG,由⑵知=，所以=，即EH=FG且EH∥FG，所以EG和FH的被交点M平分，所以=（+）=（（+）+（+））=（+++）.…………（14分）
19．解：（1）以射线建立坐标系，…………（2分）则B（0，1，0）
20． 解：
a·p=(a1,a2,a3)·(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)=a1a2b3-a1a3b2+a2a3b1-a1a2b3+a1a3b2-a2a3b1=0
∴a⊥p,同理b⊥p,且a,b不共线 即p为平面OAB为法向量.…………（4分）
（2）∵
……（9分）
（3）设C到平面OAB的距离为h（即为平行六面体的高）. 与平面OAB所成角为α 则V=Sh=|a×b||c|sinα,又(a×b)·c=|a×b||c|cos=|a×b|·|c|(±sinα),∴|(a×b)·c|=|a×b||c|sinα,即V=|(a×b)·c|…………（14分）从力做的功到向量的数量积 同步练习(一)
下列说法正确的是（ ）
b在a方向上的投影就是b在a所在直线上投影的长度
向量数量积的结果可以是任意实数
｜a·b｜表示向量a·b的长度
向量的数量积满足交换律、分配律、结合律
已知｜a｜＝2，｜b｜＝4，a·b＝－4，则向量a与b的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．150° D．120°
3．以下四个命题中真命题是（ ）
A．a∥b，周则a在b方向上的投影是｜a｜
B．若｜a－b｜=0，则（a－b）·c＝0
C．（a－b）·c＝0，则（a－b）＝0或c＝0
D．两个非零向量a和b的夹角的余弦值是非负实数
4．下列命题：
；
＝0，；
＝，且；
．
A．0 B．1 C．2 D．3
5、下列命题正确的是（ ）
A、若，则 B、若，则
C、若，则 D、对任意向量恒成立
6、已知，，它们的夹角为，则=（ ）
A、12 B、3 C、6 D、
7、以下等式中恒成立的有（ ）
①； ②； ③；
④
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
8、，的对边分别为，，，，则=（ ）
A、 B、 C、 D、
9、向量，且，，则，的夹角为（ ）
A、 B、 C、 D、
10、已知，，，则，的夹角为（ ）
A、 B、 C、 D、
11、非零向量满足，则与的夹角为 。
12、已知，在方向上的正射影的数量为-4，则=（ ）
A、-8 B、8 C、4 D、-4
13、，，且，则在方向上的射影为 。
14、已知，是单位向量，它们的夹角为，则在方向上的摄影为 。
15、在中，设，，，若，求证：为正三角形。
16、求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。
17、在中，设向量，，求证：的面积。
18、设O为坐标原点，抛物线与过焦点的直线交于A、B两点，则=（ ）
A、 B、 C、3 D、-3
19、在菱形ABCD中，（＋）·（－）＝_________．
20、设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知（＋－2）·（－）= 0，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
21、点O是平面上一定点，点A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
22、在△ABC中，设＝b，＝c，若，求证：△ABC是正三角形．
23、设＝a，,若．
(1)求a与b的夹角
(2)设C点在以点O为圆心过点A，B的圆上移动，且，求证：当时，△ABC的面积最大．
答案:
1、B 2、D 3、B 4、B 5、C
6、C 7、C 8、D 9、C 10、C
11、60° 12、A 13、 14、
15、
16、
17、
18、B
19、0 20、B 21、B
22、
23、《平面向量》综合测试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 若A（2，-1），B（-1，3），则的坐标是 ( )
A.（1，2） B.（-3，4） C. （3，-4） D. 以上都不对
2.与a=（4，5）垂直的向量是 ( )
A.（-5k,4k） B. (-10，2） C. () D.（5k, -4k）
3. △ABC中,=a, =b,则等于 ( )
A.a+b B.-(a+b) C.a-b D.b-a
4.化简(a－b)－(2a+4b)+(2a+13b)的结果是 ( )
A.ab B.0 C. a+b D. a－b
5.已知|p|=,|q|=3, p与q的夹角为,则以a=5p+2q,b=p－3q为邻边的平行四边形的一条对角线长为 ( )
A.15 B. C. 16 D.14
6.已知A(2,-2),B(4,3),向量p的坐标为(2k-1,7)且p∥,则k的值为 ( )
A. B. C. D.
7. 已知△ABC的三个顶点，A、B、C及平面内一点P满足，则点P与△ABC的关系是 ( )
A. P在△ABC的内部 B. P在△ABC的外部
C. P是AB边上的一个三等分点 D. P是AC边上的一个三等分点
8.已知△ABC的三个顶点，A (1,5)，B(-2,4)，C(-6,-4)，M是BC边上一点,且△ABM的面积是△ABC面积的,则线段AM的长度是 ( )
A.5 B. C. D.
9.设e1,e2是夹角为450的两个单位向量,且a=e1+2e2,b=2e1+e2,则|a+b|的值 ( )
A. B.9 C. D.
10.若|a|=1,|b|=,(a-b)⊥a,则a与b的夹角为 ( )
A.300 B.450 C.600 D.750
11.把一个函数的图象按向量a=(,-2)平移后，得到的图象对应的函数解析式为y=sin(x+)-2,则原函数的解析式为 ( )
A.y=sinx B.y=cosx C.y=sinx+2 D.y= -cosx
12.在△ABC中，=c, = a, =b,则下列推导中错误的是 ( )
A.若a·b<0,则△ABC为钝角三角形 B. 若a·b=0,则△ABC为直角三角形
C. 若a·b=b·c,则△ABC为等腰三角形 D. 若c·( a+b+c)=0,则△ABC为等腰三角形
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13.在△ABC中，已知且则这个三角形的形状是 .
14.一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，则船实际航行的速度的大小和方向是 .
15. 若向量,现用a、b表示c,则c= .
16.给出下列命题:①若a2+b2=0,则a=b=0;
②已知AB,则
③已知a,b,c是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c|
④已知,e1,e2是一组基底,a=λ1e1+λ2e2则a与e1不共线,a与e2也不共线;
⑤若a与b共线,则a·b=|a|·|b|.其中正确命题的序号是 .
三、解答题(本大题共6小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.如图,ABCD是一个梯形,, M、N分别是的中点,已知a,b,试用a、b表示和
18.设两个非零向量e1、e2不共线.如果=e1+e2,2e1+8e2,=3(e1-e2)
⑴求证:A、B、D共线;
⑵试确定实数k,使ke1+e2和e1+ke2共线.
19.已知△ABC中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD.⑴求证:AB⊥AC;⑵求点D与向量的坐标.
20.已知△ABC的三个顶点为A(1,2),B(4,1),C(3,4).⑴求AB边上的中线CM的长;⑵在AB上取一点P,使过P且平行与BC的直线PQ把的面积分成4:5两部分,求P点的坐标.
21.已知a、b是两个非零向量，证明：当b与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb的模取得最小值.
22.已知二次函数f(x) 对任意x∈R，都有f (1-x)=f (1+x)成立，设向量a=(sinx,2), b=(2sinx,),
c=(cos2x,1),d=(1,2)。
（1）分别求a·b和c·d的取值范围；
（2）当x∈[0,π]时，求不等式f(a·b)>f(c·d)的解集。
参考答案
一、1-5BCDBA；6-10DDADB；11-12BD
二、13.等边三角形；14.大小是4km/h,方向与水流方向的夹角为600 ; 15.a－2b ; 16.①③④
三、17.∵||=2||∴∴a,b－a , =a－b
18.⑴∵5e1+5e2= , ∴又有公共点B,∴A、B、D共线
⑵设存在实数λ使ke1+e2=λ(e1+ke2) ∴ k=λ且kλ=1 ∴k=
19.⑴由可知即AB⊥AC
⑵设D（x,y）,∴
∵ ∴5(x-2)+5(y-4)=0
∵ ∴5(x+1)－5(y+2)=0 ∴ ∴D()
20.⑴
⑵设P（x,y）
21. 当b与a+λb(λ∈R)垂直时，b·(a+λb)=0,∴λ= -
| a+λb |==
当λ= -时，| a+λb |取得最小值.
∴当b与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb的模取得最小值.
22. (1）a·b=2sin2x+11 c·d=2cos2x+11
（2）∵f(1-x)=f(1+x) ∴f(x)图象关于x=1对称
当二次项系数m>0时, f(x)在（1，）内单调递增，
由f(a·b)>f(c·d) a·b > c·d, 即2sin2x+1>2cos2x+1
又∵x∈[0,π] ∴x∈
当二次项系数m<0时,f(x)在（1，）内单调递减，
由f(a·b)>f(c·d) a·b > c·d, 即2sin2x+1<2cos2x+1
又∵x∈[0,π] ∴x∈、
故当m>0时不等式的解集为;当m<0时不等式的解集为
A
B
N
M
D
C