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8．4（1）向量的应用（1）
一、教学内容分析
向量作为工具在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用。
本小节的重点是结合向量知识证明平面几何中的平行、垂直问题，以及不等式、有关三角公式的证明、物理学中的应用.
本小结的难点是如何结合向量知识去解决有关问题，突破难点的关键是如何启发学生发现问题和提出问题,学会分析问题和创造性地解决问题.
二、教学目标设计
运用平面向量的知识解决平面几何中的平行、垂直等问题；提高分析问题、解决问题的能力.
三、教学重点及难点
教学重点：利用平面向量知识证明平行、垂直等问题；
教学难点：数形结合方法的渗透，思维能力的提高.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
1、 复习与回顾
思考并回答下列问题
1．判断：（平行向量的理解）
（1）若A、B、C、D四点共线，则向量；（ ）
（2）若向量，则A、B、C、D四点共线；（ ）
（3）若，则向量； （ ）
（4）只要向量满足，就有；（ ）
2．提问：（1）两个非零向量平行的充要条件是什么？
（2）两个非零向量垂直的充要条件是什么？
[说明] 教师可引导学生多写出一些两向量平行、垂直的表达形式.
二、学习新课21世纪教育网
例题分析
例1、证明：菱形对角线互相垂直。（补充）21世纪教育网
证：设== , ==
∵ABCD为菱形
∴|| = ||
∴= ( + )( ) = 2 2 = ||2 ||2 = 0 ∴
证法二：设B(b ,0)，D(d1,d2)，
则= (b ,0), = (d1,d2)
于是=+= (b ,0) + (d1,d2)= (b +d1 ,d2)
== (d1 b ,d2)
∵ = (b +d1)(d1 b ) + d2d2 = (d12 + d22) b 2
= ||2 b 2 = ||2 b 2 = b 2 b 2 = 0
∴
[说明]二种方法进行比较，开拓学生的解题思维，提高能力.[来源:21世纪教育网]
例2、已知，，，求证是直角三角形.(补充)
例3、
(课本P72例2)
[小结]以上三题均是垂直问题的证明,请同学们注意它们间的区别与联系.[来源:21世纪教育网]
例4、证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.(课本P71例1)
三、课堂练习
例5、用向量方法证明：对角线相等的平行四边形是矩形.(习题册P39习题8.4 A组1)
四、课堂小结
1.用向量知识证明平行、垂直问题.21世纪教育网
2.要注意挖掘平面图形本身的几何性质.
四、作业布置
1、书面作业:课本P73, 练习8.4 1, 2, 3
2、习题册P39，习题8.4 A组/1；习题册P40，习题8.4 B组/1
3、思考题:
如图,在中，D，E分别是边AB、AC的中点，F，G分别是DB、EC的中点，
求证：向量与共线.
3、思考题:
如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，
求证：AD、BE、CF相交于一点.
七、教学设计说明
1．注意区分两向量平行、垂直充要条件的差别.建议学生结合图形,这样理解较为深刻.
2.在用向量证明有关数学问题时,要注意利用平面图形的几何性质,找到解题的突破口.
3.学生要注重综合能力的训练,要会举一反三、融会贯通.
实例引入
概念辨析
例题解析、巩固练习
课堂小结并布置作业
证明垂直
证明平行
C
A
B
D
a
b
O
(A)
B
C
D
C
H
B
A
A
B
C
D
E
F
H
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7.7（1）数列的极限
一、教学内容分析
极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一，因为微积分中其它重要的基本概念（如导数、微分、积分等）都是用极限概念来表述的，而且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导，同时数列极限的掌握也有利于函数极限的学习，所以，极限概念的掌握至关重要.
二、教学目标设计
1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限.
2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力.
3．利用刘徽的割圆术说明极限，渗透爱国主义教育，增强民族自豪感和数学学习的兴趣.
三、教学重点及难点
重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解.
难点：数列极限的定义的理解.
四、教学用具准备
电脑课件和实物展示台，通过电脑的动画演示来激发兴趣、引发
思考、化解难点，即对极限定义的理解，使学生初步的完成由有限到无限的过渡，运用实物展示台来呈现学生的作业，指出学生课堂练习中的优点和不足之处，及时反馈.
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、 情景引入
1、创设情境，引出课题
1. 观察
教师：在古代有人曾写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 哪位同学能解释一下此话意思？
学生：一根一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取第一天剩下的一半，…… ，如此继续下去，永远也无法取完.[来源:21世纪教育网]
2. 思考
教师：如果把每天取得的木棒长度排列起来，会得到一组怎样的数？
学生 ：
3．讨论
教师； 随着的增大，数列的项会怎样变化？
学生： 慢慢靠近0.
教师：这就是我们今天要学习的数列的极限----引出课题
二、学习新课
2、观察归纳，形成概念
（1）直观认识
教师：请同学们考察下列几个数列的变化趋势
（a）
①“项”随的增大而减小 ②但都大于0
③当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数0
（b）
①“项”的正负交错地排列，并且随的增大其绝对值减小
②当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数0
（c）
①“项”随的增大而增大 ②但都小于1
③当无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数1
教师：用电脑动画演示数列的不同的趋近方式：
（a）从右趋近 （c）从左趋近 （b）从左右
两方趋近，使学生明白不同的趋近方式
教师：上面的庄子讲的话体现了极限的思想，其 实我们的先辈还会用极限的思想解决问题,我国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元前 263年创立的“割圆术”借助圆内接正多边形的周长，得到圆的周长就是极限思想的一次很好的应用.刘徽把他的操作方法概括这样几个字：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆和体，而无所失矣.”
概念辨析
教师：归纳数列极限的描述性定义
学生：一般地，如果当项数无限增大时，数列的项无限的趋近于某一个常数那么就说数列以为极限.
教师：是不是每个数列都有极限呢？
学生1：（思考片刻）不是.如
学生2：
教师：请大家再看一下，下面的数列极限存在吗？如果有，说出极限.
（a）
（b）无穷数列：21世纪教育网
学生1：数列（a）有极限，当是奇数时，数列的极限是0，当是偶数时，数列 的极限是1.数列（b）的极限是0.4.
教师： 有不同意见吗？
学生2：数列（b）的极限是0.34
学生3：数列（b）的极限不存在
（这时课堂上的学生们都在纷纷议论，大家对数列（b）的极限持有各自不同的观点，但对数列（a）的极限的认识基本赞同学生1的观点.）
教师： 数列（a）有极限吗？数列（b）的极限究竟是多少？（学生们沉思）
学生4：数列（a）没极限，原因是极限的描述性定义中要求趋近与一个常数,数列（b）的极限是.
教师：回答的非常正确（用动画演示数列（b）的逼近过程），同学们对（a）判断错误的原因是对描述性定义还未很好的理解.对（b）判断错误的原因是描述性定义的局限性导致的，数列（b）随着的无限增大，它会趋近于0.4、0.34、0.334，但是接近到一定的程度就不在接近了，所以无限的接近必须有量化的表述.
（2）量化认识
教师：用什么来体现这种无限接近的过程呢？ [来源:21世纪教育网]
学生：用和之间的距离的缩小过程，即 趋近0
教师：现在以数列为例说明这种过程观察：
距离量化：，随着的增大，的值越来越小，不论给定怎样小的一个正数（记为ε），只要充分的大，都有比给定的正数小.
教师：请同桌的两位同学，一个取ε，另一个找.
问题拓展
学生：老师再来几个其它的数列
教师：以上我们以提到的和 为例，大家可以再操作一下.
教师：（学生问答完毕）大家作了这项活动以后有什么感受？
学生：只要数列有极限，对于给定的正数ε，总可以找到一项，使得它后面的所有的项与数列的极限的差的绝对值小于ε.
教师：顺理成章的给出数列极限的定义：
一般地，设数列是一个无穷数列，是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N，使得只要正整数，就有，那么就说数列以为极限，记作，或者时.
教师：常数数列的极限如何？
学生：是这个常数本身.
教师：为什么？
学生：因为极限和项的差的绝对值为0，当然比所有给定的正数小.
三、巩固练习
讲授例题
已知数列
① 把这个数列的前5项在数轴上表示出来.
②写出的解析式.[21世纪教育网
③中的第几项以后的所有项都满足
④指出数列的极限.
课堂练习
第41至42的练习.
四、课堂小结
①无穷数列是该数列有极限的什么条件.
②常数数列的极限就是这个常数.
③数列极限的描述性定义.
④数列极限的的定义.21世纪教育网
五、作业布置
1．课本第42页习题2，3,4
2．根据本节课的学习，结合你自己对数列极限的体会，写一篇《我看极限》的短文，格式不限（本作业的意图是想把学生的态度、情感、价值观融入到所学的知识中去.）
七、教学设计说明
对于数列极限的学习，对学生来说是有限到无限认识上的一次飞跃，由于学生知识结构的局限性和学习习惯、方法的影响，学习过程中的困难会较大，根据一般的认识规律和学生的心理特征，设计了直观认识、量化认识和极限定义三个教学步骤，由浅入深，由表及里，由感性到理性的逐步深化，力求使学生很好的理解极限的概念.
实例引入
几何
理解
数列的极限
概念
符号
运用与深化(例题解析、巩固练习)
课堂小结并布置作业
n是偶数
n是奇数
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8.1（2）向量的坐标表示及其运算（2）
一、教学内容分析
向量是研究数学的工具，是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以及向量运算的坐标形式，则从“数、式”的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定量的描述.本节课是8.1向量的坐标及其运算的第二课时，一方面把“形”与 “数、式”结合起来思考，以“数”入微，借“形”思考，体会并感悟数形结合的思维方式；另一方面通过例5的演绎推理教学，体会代数证明的严谨性，也为下节课定比分点（三点共线）的教学提供基础.
二、教学目标设计
1．掌握向量模的求法，知道模的几何意义；
2．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充要条件的证明方式；
3．会用平行的充要条件解决点共线问题；
4．感悟向量作为工具解题的优越性.
三、教学重点及难点
课本例5的演绎证明；
分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用；
特殊——一般——特殊的探究问题意识.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
创设问题情景
问题一、已知向量.
（1）在坐标平面上，画出向量；并求= ；[来源:21世纪教育网]
（2）若向量终点Q坐标为，则向量的始点P坐标为_______；
（3）向量的模与两点P、Q间距离关系是 .
若 ，则
练习1：已知向量，求
[说明] 在问题一中，先给出向量，要求学生在坐标平面上画出向量，增强数形结合的解题意识，感悟向量的模即平面上两点的距离.由此发现并掌握向量模的求法及几何意义.安排（2）小问的目的在于复习巩固位置向量与自由向量的概念，体会并感悟到任何一个自由向量都可转化为位置向量.通过自由向量与位置向量的学习，引出向量平行的概念.
向量平行的概念：对任意两个向量，若存在一个常数，使得成立，则两向量与向量平行，记为：.
问题探究反思
问题二.在坐标平面上描出下列三点,完成下列问题：
（1）请把下列向量的坐标与模填在表格内：
向量坐标 (1,2) (2,4) (3,6)
向量的模
（2）通过画图，你得出什么结论？
三点A、B、C在一条直线上
（3）分析表格中向量的模，你发现了什么？
（4）分析表格中向量，你还发现了什么？
，，
[说明] 养成解题后反思的习惯，总结如何判断三点共线？
方法一：计算三个向量的模长关系.
方法二：看两个非零向量之间是否存在非零常数.
（5）分析表格中向量坐标，你又发现了什么？
向量坐标之间存在比例关系.
思考：如果向量用坐标表示为，则是的（ ）条件.
A、充要 B、必要不充分
C、充分不必要 D、既不充分也不必要
由此，通过改进引出
课本例5 若是两个非零向量，且，
则的充要条件是.
分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨.
证明：分两步证明，
（Ⅰ）先证必要性：
非零向量存在非零实数，使得，即
，化简整理可得：，消去即得
（Ⅱ）再证充分性：
（1）若,则、、、全不为零，显然有，即
（2）若，则、、、中至少有两个为零.
①如果，则由是非零向量得出一定有，，
又由是非零向量得出，从而，此时存在使，即
②如果，则有，同理可证
综上，当时，总有
所以，命题得证.
[说明] 本题是一典型的代数证明，推理严密，层次清楚，要求较高，是培养数学思维能力的良好范例.
练习2：
1．已知向量，，且，则x为_________；
2．设=(x1，y1)，=(x2，y2)，则下列与共线的充要条件的有（ ）
① 存在一个实数λ，使=λ或=λ； ②；③(+)//(－)
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
3．设为单位向量，有以下三个命题：（1）若为平面内的某个向量，则；(2)若与平行，则；（3）若与平行且，则.上述命题中，其中假命题的序号为 ；
[说明] 安排此组练习快速巩固所学基础知识，当堂消化，及时反馈.
知识拓展应用
问题三：已知向量，且A、B、C三点共线，则k=____
（学生讨论与分析）
[说明] 三点共线的证明方法总结：21世纪教育网
法一：利用向量的模的等量关系[来源:21世纪教育网]
法二：若A、B、C三点满足，则A、B、C三点共线.
*法三：若A、B、C三点满足，当时，A、B、C三点共线.
课外探索学习
课外作业：
1．练习册P38：4、5、6、7
补充作业：
1．关于非零向量和，有下列四个命题：
（1）“”的充要条件是“和的方向相同”；
（2）“” 的充要条件是“和的方向相反”；
（3）“” 的充要条件是“和有相等的模”；
（4）“” 的充要条件是“和的方向相同”；21世纪教育网
其中真命题的个数是 （ ）
A． 1 B. 2 C. 3 D. 4
2．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量=（4，－3）（即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后该质点P的坐标为（ ）
A．（－2，4） B．（－30，25） C．（10，－5）D．（5，－10）[来源:21世纪教育网]
3．已知向量，则的最大值为 .
4．设C、D为直线上不重合的两点，对于坐标平面上动点，若存在实数使得，则= .
5．在直角坐标系xOy中，已知点和点，若点C在∠AOB的平分线上，且，则=_________.
6．已知＝（5，4），＝（3，2），求与2－3平行的单位向量.
问题一引入
向量平行的充要条件
三点共线的充要条件
问题二解决
问题三解决
课堂小结
作业反思，形成问题
创设问题情景
问题探究反思
知识拓展应用
课外探索学习
模的求法
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8.1（1）向量的坐标表示及其运算（1）
一．教学内容分析
按现行上海市中小学数学课程标准，本章内容是在初中学习了向量的基本概念、向量的加法、减法、实数与向量的积等基础之上的后继学习.但与初中有所不同的是，初中教材对向量的学习是以“形”为主，主要从“形”的角度展开，而本章内容则主要是以“数”为主，从“数”的角度进行论述.当然，由于向量本身所具有的数形结合的特点，本章教材在以“数”为主旨处理教学内容的同时并没有弱化向量的“形”的方面的特征，而是二者相得益彰，互为依赖、互为补充.
以“数”为主旨研究向量，其核心手段是向量及其运算的坐标表示.向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，向量的加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积等就完全可以用它们的坐标的加法、减法、数乘、数量积等运算来进行，使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来.这样，就使得很多问题，可以转化为熟知的数量的运算进行解决.向量及其运算的坐标表示，一方面为用代数方法处理几何问题提供了通道，另一方面也为向量概念推广到高维空间指明了途径，同时，它也是高中数学中描述与处理如立几、解几、三角等诸多问题的一个有力的工具，在高考中也占有一个重要的地位.
作为本章的第一课时，本节课的主要内容是向量的坐标表示及其运算.它是本章重要的基础性与前提性内容，它引入了将向量问题代数化的基本手段与方法——向量的坐标表示.
本节内容课本上的基本处理方法是在引入一些相关的基础性的概念之后，通过任意向量都可以正交分解为基本单位向量的线性组合，在向量的正交分解的基础上抽象概括出向量的坐标表示形式，并依据向量的正交分解的本质得到向量坐标形式下的运算法则.[来源:21世纪教育网]
本节课要着力解决三个问题：一是要解决引入向量的坐标形式的必要性的问题，以引起学生学习的动机，二是要解决如何引入向量的正交分解及如何由此抽象出向量的坐标形式或者说是如何让学生理解向量坐标的本质的问题，三是要解决引入向量坐标形式以后如何以坐标形式进行运算的问题.作为本节课（本章的第一个课时）来说，第二个问题是重中重之中，因为如果学生不能理解向量的坐标是怎么来的，它的本质是什么，就会对后继学习带来一定的困难.因此，我们在课上要对这一点特别的重视.
二．教学目标设计
1.了解基本单位向量、位置向量、向量的正交分解等概念；会用坐标表示向量；会用两向量的坐标形式的和、差及实数与向量的积等运算解决相关问题.
2. 经历如何将位置向量及任意向量表示为基本单位向量的线性组合这一正交分解的过程，以及经历如何通过向量的正交分解的本质概括抽象出向量的坐标表示的过程，初步形成抽象思维的能力；理解平面向量与一对有序实数对的一一对应关系，理解向量的坐标表示方法及其运算法则；体会数形结合的思想方法.
3.感知数学中的运动、变化、相互联系与相互转化的规律，加深对辩证唯物主义观点的体验；发展从数学的角度分析和解决问题的能力，以及通过积极参与数学学习和问题解决的过程，增强学习的主体意识，形成数学的应用意识，养成严谨、慎密的思维习惯.
三．教学重点及难点
教学重点是如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用；教学难点是对向量的正交分解的过程的理解以及由向量的正交分解抽象出向量的坐标表示的过程的理解.
四．教学流程设计
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五．教学过程设计
一.情境引入
上海市莘庄中学的健美操队四名队员A、B、C、D在一个长10米，宽8米的矩形表演区域EFGH内进行健美操表演.
（1）若在某时刻，四名队员A、B、C、D保持如图1所示的平行四边形队形.队员A位于点F处，队员B在边FG上距F点3米处，队员D位于距EF边2米距FG边5米处.你能确定此时队员C的位置吗？
[说明] 此时队员C在位于距EF边5米距FG边5米处.这个图形比较特殊，学生很快就会得到答案，这时教师引入第二个问题.
（2）若在某时刻，四名队员A、B、C、D保持如图2所示的平行四边形队形.队员A位于距EF边2米距FG边1米处，队员B在距EF边6米距FG边3米处，队员D位于距EF边4米距FG边5米处.你能确定此时队员C的位置吗？
[说明] 不要求学生写出结果，只引导学生思考.这个图形更为一般一些，学生解决的可能不是很顺，这时，教师就可以说，这一节我们就来学习一个新的内容：向量的坐标表示及其运算，学习了这个内容之后，同学们只要花上两分钟或者只要一分钟的时间就可以解决这个问题了，引起学生学习的兴趣与探究的欲望.
二．学习新课
1. 向量的正交分解
我们称在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为，如图，称以原点O为起点的向量为位置向量，如下图左，即为一个位置向量.
思考1：对于任一位置向量，我们能用基本单位向量来表示它吗？
如上图右，设如果点A的坐标为，它在小x轴，y轴上的投影分别为M，N，那么向量能用向量与来表示吗？（依向量加法的平行四边形法则可得），与能用基本单位向量来表示吗？（依向量与实数相乘的几何意义可得），于是可得：
由上面这个式子，我们可以看到：平面直角坐标系内的任一位置向量都能表示成两个相互垂直的基本单位向量的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解.
2.向量的坐标表示
思考2：对于平面直角坐标系内的任意一个向量，我们都能将它正交分解为基本单位向量的线性组合吗？如下图左.
显然，如上图右，我们一定能够以原点O为起点作一位置向量，使.于是，可知：在平面直角坐标系内，任意一个向量都存在一个与它相等的位置向量.由于这一点，我们研究向量的性质就可以通过研究其相应的位置向量来实现.由于任意一个位置向量都可以正交分解为基本单位向量的线性组合，所以平面内任意的一个向量都可以正交分解为基本单位向量的线性组合.即：
==
上式中基本单位向量前面的系数x,y是与向量相等的位置向量的终点A的坐标.由于基本单位向量是固定不可变的，为了简便，通常我们将系数x,y抽取出来，得到有序实数对（x,y）.可知有序实数对（x,y）与向量的位置向量是一一对应的.因而可用有序实数对（x,y）表示向量，并称（x,y）为向量的坐标，记作：
=（x,y）
[说明]（x,y）不仅是向量的坐标，而且也是与相等的位置向量的终点A的坐标！当将向量的起点置于坐标原点时，其终点A的坐标是唯一的，所以向量的坐标也是唯一的.这样，我们就将点与向量、向量与坐标统一起来，使复杂问题简单化.
显然，依上面的表示法，我们有：.
例1.（课本例题）如图，写出向量的坐标.
解：由图知
与向量相等的位置向量为，
可知
与向量相等的位置向量为，
可知
[说明] 对于位置向量，它的终点的坐标就是向量的坐标；对于起点不在原点的向量，我们是通过先找到与它相等的位置向量，再利用位置向量的坐标得到它们的坐标.那么，有没有不通过位置向量，直接就写出任意向量的坐标的方法呢？答案是肯定的，而且很简便，但我们需几分钟后再来解决这个问题.让我们先学习向量坐标表示的运算：
3.向量的坐标表示的运算
我们学过向量的运算，知道向量有加法、减法、实数与向量的乘法等运算，那么，在学习了向量的坐标表示以后，我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢？
设是一个实数，
由于
所以
于是有：
[说明]上面第一个式子用语言可表述为：两个向量的和(差)的横坐标等于它们对应的横坐标的和(差)，两个向量的和(差)的纵坐标也等于它们对应的纵坐标的和(差)，可笼统地简称为：两个向量和(差)的坐标等于对应坐标的和(差)；
同样，第二个式子用语言可表述为：数与向量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的积，数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标的积，也可笼统地简称为：数与向量积的坐标等于数与向量对应坐标的积.
4.应用与深化
下面我们来研究刚才提出的不通过位置向量，如何直接写出任意向量的坐标的问题：21世纪教育网
例2.如下图左，设、是平面直角坐标系内的任意两点，如何用P、Q的坐标来表示向量？
解：如上图右，向量
从而有
[说明]上面这个式子告诉我们：平面直角坐标系内的任意向量的横坐标等于它终点的横坐标与它起点的横坐标的差，纵坐标也等于它终点的纵坐标与它起点的纵坐标的差，可简称为“任意向量坐标=终点坐标-起点坐标”.
例3.（课本例题）如图，平面上A、B、C三点的坐标分别为、、.
（1）写出向量的坐标；
（2）如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标.
解：（1）
（2）在上图中，因为四边形ABCD是平行四边形，所以
设点D的坐标为，于是有
又
故
由此可得 解得
因此点D的坐标为.
练习：（1）请大家用两分钟的时间解答本节课一开始我们所提出的在某时刻，健美操队员C的位置问题.即：在某时刻，四名队员A、B、C、D保持如图所示的平行四边形队形.如下图左，队员A位于距EF边2米距FG边1米处，队员B在距EF边6米距FG边3米处，队员D位于距EF边4米距FG边5米处.你能确定此时队员C的位置吗？
解：以点F为坐标原点，以边FG为x轴，以边FE为y轴，建立如上图右所示直角坐标系.则依题意有A(2,1),B(6,3),D(4,5),设C(x,y),则由ABCD是平行四边形可得：
又
故
于是 x=8, y=7,即C（8，7）.
答：队员C位于距EF边8米、距FG边7米处.
（2）在某时刻，四名队员A、B、C、D保持平行四边形队形.已知队员A位于距EF边2米距FG边1米处，队员B在距EF边6米距FG边3米处，队员C位于如下图左所示的矩形阴影部分区域内（包括边界）某一位置.你能确定此时队员D可能的位置区域吗？
解：以点F为坐标原点，以边FG为x轴，以边FE为y轴，建立如上图右所示直角坐标系.依题意有A(2,1),B(6,3),设D(x,y),则由ABCD是平行四边形可得：
又D(x,y)，所以可得C(x+4,y+2)
由题意
于是可得队员D可能的位置区域如图所示阴影部分（除去点B）：
例4.已知向量与，求的坐标.
解：因为，
所以
三．巩固练习
1. 如图，写出向量的坐标.
2.已知，若其终点坐标是(2,1),则其起点的坐标是 ；若其起点坐标是(2,1),则其终点的坐标是 .
3.已知向量与，求及的坐标.
解：1.由题意：
2.设起点的坐标是(x,y)，则(2,1)-(x,y)=(-1,2),解得：(x,y)=(3,-1)，即起点的坐标是(3,-1)；
设终点的坐标是(x,y)，则(x,y)-(2,1) =(-1,2),解得：(x,y)=(1,3)，即起点的坐标是(1,3).
3. =3
=3
[另法]：==
四．课堂小结：
本节课我们讲了哪些内容？（请学生作答）
1.向量的正交分解（是如何对向量进行正交分解的？）
2.向量的坐标表示（是用什么表示向量的坐标的？）21世纪教育网
3.向量的坐标运算（运算法则是什么？）
五．作业布置
1.已知则与的坐标分别为( )
(A)(3,3),(3,-3) (B)(3,3),(1,-3)
(C)(1,3),(3,3) (D)(1,3),(3,-3)
2.若点A坐标为(2,-1),的坐标为(4,6),则B点的坐标为( )
(A)(-2,-7) (B)(2,7)
(C)(6,5) (D)(-2,5)
3.已知若则x= ,y= .
4.已知，且的坐标所表示的点在第四象限，则x的取值范围是 .
5.已知A(5,-2),B(2,-5),C(7,4),D(4,1),求证：.21世纪教育网
6.已知并且求x,y的值.
7.已知，且求的值.
六．教学设计说明及反思
在本节课的设计上，我是先用一个实际的情境问题引入，引起学生学习的兴趣，同时也在最后通过应用向量坐标这个工具对于这个问题的简便解决以及对于这一问题的进一步深化，使学生体会到引入向量坐标形式这个工具的必要性，并培养学生数学的应用意识，体会到数学是有用的，是有价值的；另外，在新授课内容的设计上，主要采用了以知识内容本身的逻辑关系而形成的继承关系为顺序的直线型的设计，主要有四个板块：一是向量的正交分解，二是向量的坐标表示，三是向量的坐标运算，四是应用与深化.其中向量的正交分解是从介绍基本单位向量与位置向量的概念入手，然后通过先处理位置向量的正交分解，再处理任意向量的正交分解；向量的坐标表示也是先处理位置向量的坐标表示然后再处理可化为位置向量的向量的坐标表示，最后在研究了坐标形式的运算之后才以例题的形式处理任意向量的坐标表示，这样设计的思路与课本上先交代任意向量都可以作一个与之相等的位置向量，然后只要研究位置向量就能得到原来向量的性质的思路略有不同，这样设计的出发点主要是希望能够给学生的学习创造一个按知识自身的逻辑顺序而层层递进的、螺旋上升的学习过程，使学生能够步步为营的在充分弄清前一个问题的基础上进入下一个问题，从而达到有效分散学生在学习中的难点的目的.在应用与深化这一板块上，我主要设计了五个问题，第一个问题是例1，置于向量的坐标表示这一板块之中，其目的是为了在初次接触坐标表示时，加深对位置向量与可化为位置向量的坐标的理解，以及舒缓一下学生在较长时间的数学纯理论学习中所聚集的紧张或疲劳情绪，为下面的学习作点准备；第二个问题是例2，解决任意向量的坐标表示问题，这也是这一节课必须要解决的一个重点问题；第三个问题是例3，其目的是通过对任意向量的坐标表示公式的应用，强化对这一公式的记忆与掌握，同是也为下一问题即引入问题的解决作知识与方法上的铺垫；第四个问题是解决引入的情境问题并作进一步深化；第五个问题是对向量坐标表示运算公式的应用.同时，最后又设置了三个小题，作为课内练习，机动使用.
整个一节课，如果用一句话概括基本的设计思路，那就是：低起点（使学生容易入手）、小步走（使学生容易理解）、重视过程（重视知识的发生过程及重视学生的学习过程）、强化训练（训练是掌握与提高的有效途径）.
小结与作业
坐标表示的运算
运用与深化
知起点与终点的
向量的坐标表示
情境问题
向量的正交分解
向量的坐标表示
位置向量的
正交分解
任意向量的正交分解
位置向量的
坐标表示
任意向量的坐标表示
返回到情境问题
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8.3平面向量的分解定理
一、教学目标
1．理解和掌握平面向量的分解定理；
2．掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基的概念，并能够用基表示平面内的向量；
3．根据学生已有的物理知识经验，在熟悉的问题情景中，体会研究向量分解的必要性。
4．经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想。
二、教学重点及难点 ：平面向量分解定理的发现和形成过程；分解唯一性的说明。
三、教学过程设计
（一）、 设置情景，引入课题
（1）观察
前面我们学过向量的加法，知道两个向量可以合成一个向量，反过来，一个向量是否可以分解成两个向量呢？
下面让我们来看一个实例：
实例：一盏电灯，可以由电线CO吊在天花板上，也可以由电线OA和绳BO拉住.CO所受的力F与电灯重力平衡，拉力F可以分解为AO与BO所受的拉力F1和 F2 .
思考：从这个实例我们看到了什么？
答：一个向量可以分成两个不同方向的向量.
（2）复习正交分解，并抽象为数学模型21世纪教育网
（二）、探索探究，主动建构
概括讨论，提出新问题：
如果向量是同一平面内的两个不平行的向量，是该平面内的一个非零向量，是否能用向量表示向量？
数学实验1
实验设计：
(1)实验目的：通过实验让学生探究：给定平面内的两个不平行向量，对于给定的非零向量是否能分解成方向上的两个向量，且分解是否是唯一的？
(2)实验步骤：
a.以四位同学为一组，给每一位同学一个图，上面有两个不平行向量和；
b.每个同学先独立作图；
c.小组对照，比较所分解的两向量的长度和方向是否相同.并得出结论.
(3)实验报告：(由学生发言)可以分解，且分解的长度和方向唯一的.
师：既然可以分解并且是唯一的，能不能用数学式子把和的关系表示出来？
生：是不平行向量，是平面内给定的向量，在平面内任取一点O
（1）作；
（2）过C作平行于直线OB的平行线与直线OA相交于点M；
（3）过C作平行于直线OA的平行线与直线OB相交于点N；
（4）四边形为平行四边形，由向量平行的充要条件可知存在实数，使得，，则.
对于给定的向量可以唯一分解成给定的两个不平行向量，那么对于任意的向量是否也可以得到同样的结论呢？下面让我们来做一个实验.
数学实验2
实验设计：
(1)实验目的：通过几何画板向量分解动画，让学生体会对于任意向量都可以分解成给定的两个不平行向量，且分解是唯一的.
(2)实验步骤：
a.利用几何画板画出两个不平行向量，画出一个任意向量(该向量可以任意拖动终点来改变)；
b.学生从拖动中体会其向量的任意性. （一些特殊位置，，）
(3)实验报告：
3．探究结果
几何角度：平面内的任一向量都可以表示为给定的两个不平行向量的线性组合，即，且分解是唯一的.
代数角度：说明唯一性：
说明：（1）当时，
（2）当时，假设，则有
=
.由于不平行，故，即.
4．概括得出定理：21世纪教育网
平面向量分解定理：如果是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使.
我们把不平行的向量叫做这一平面内所有向量的一组基.
注意：21世纪教育网
（1）基底不共线；
（2）将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；
（3）基底给定时，分解形式唯一，是被，，唯一确定的数量
（通过实验的制作，学生的动手作图能力得到提高，通过学生对实验结果的讨论，学生的抽象概括能力，语言表达能力得到训练.）
（三）．例题分析
例1（教材P66．例2）如图：平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且 ，分别用表示和.
21世纪教育网
解： 在平行四边形ABCD中，
，
注：（1）把作为一组基，用向量表示平面内的任何一个向量
（2）平行四边形法则简化为三角形法则。
练习：学生完成教材后面练习P67 （2）[来源:21世纪教育网]
思考：由例1和练习（2）平行四边形ABCD中还有哪些线段可以作为一组基？哪些线段不可以作为一组基？为什么？
思考题（教材P67．例 3）已知是不平行的两个向量，是实数，且，用表示.
解：
（四）、课堂小结：（1）平面向量的分解定理. 对分解定理的理解：基底为两个不平行向量，向量的任意性，实数对的存在性和唯一性；
（2）从基的角度认识几何图形。
（五）、作业布置
《练习册》P37 A组3，4 ，5 B组2，3
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7.2(1)等差数列
一、教学内容分析
本小节的重点是等差数列和等差中项的概念，理解的关键是发现相邻项之间的关系．
本小节的难点是等差数列的递推公式．突破难点的关键是掌握相邻两项或三项之间运算关系．
二、教学目标设计
理解等差数列和等差中项的概念; 能正确计算公差及相关的项；通过对等差数列的学习，培养观察、分析能力．
三、教学重点及难点
重点：等差数列和等差中项的概念；[来源:21世纪教育网]
难点：等差数列递推关系．
四、教学流程设计
五、教学过程设计 21世纪教育网
一、复习回顾
思考并回答下列问题[来源:21世纪教育网]
什么叫数列？递推数列？研究递推关系有何意义？
二、讲授新课
１、等差数列
（１）等差数列的概念引入
研究下面3个数列的递推公式及其特点（课本P10）
2，5，8，11，14，17，…； ①
，，0，，，，…； ②
-7，-5，-3，-1，1，1，3， …； ③
解答：数列①②③的递推公式分别是：
数列①：，
数列②：，
数列③：．
[说明]启发学生观察并发现如下结论：这三个递推公式都可以写成的形式，得出相邻两项之间的关系．
（２）等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这样的数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用小写字母d表示．
２、等差中项
（１）等差中项的概念引入
观察下面三个等差数列：
3，5，7；
-5，10，25；
，，
讨论：这三个等差数列都具备什么共同特点？
[说明]启发学生观察并发现如下特点：中间项的2倍等于首、末两项的和.
（２）等差中项的概念形成
等差中项的定义
一般地，由成等差数列，可得
即
反过来，如果，那么，，即成等差数列.
定义：如果成等差数列，那么A叫做的等差中项.
等差中项的性质
（1） 如果三个数成等差数列，那么等差中项的2倍等于另两项的和.
（2） 在一个等差数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它前一项与后一项的等差中项.
（3） 以A为等差中项的三个数可表示为：，体现了和谐性与对称性.
3、例题解析
例1.在数列中，如果数列为等差数列，，求公差及，并用计算器计算、．
解： ，=53，=206，=435.5
[说明]①启发学生利用等差数列的定义，即相邻两项的关系解决问题．②让学生回味计算过程，为研究通项公式作铺垫．
例2．求9与25的等差中项A．
解：Ａ＝17．[来源:21世纪教育网]
三、巩固练习
练习7.2（1）
四、课堂小结
等差数列与等差中项的概念，探究它们的递推关系，利用定义进行正确的计算；.21世纪教育网
五、课后作业
书面作业： 习题7.2 A组 1、 6、7、10
运用与深化(例题解析、巩固练习)
递推关系
特征分析
实例引入
课堂小结并布置作业
等差数列、等差中项概念
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第1课时 算法的概念
教学目标：1.通过实例体会算法思想，了解算法的含义与主要特点；
2.能按步骤用自然语言写出简单问题的算法过程学；
3.培养学生逻辑思维能力与表达能力.
教学重点：将问题的解决过程用自然语言表示为算法过程．
教学难点：用自然语言描述算法．
教学过程
一．序言
算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机理论和技术的核心．在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具．听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域．那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始．同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力．
在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想．
阅读教材第4页．
二．问题情境
1．情境：介绍猜数游戏（见教材第5页）．
2．问题：解决这一问题有哪些策略，哪一种较好？
三．学生活动21世纪教育网
学生容易说出“二分法策略”，教师要引导学生进行算法化（按步骤）的表达．
说明：以上过程实际上是按一种机械的程序进行的一系列操作．
四．建构数学21世纪教育网
在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过实施这些步骤来解决问题，通常把这些步骤称为解决这些问题的算法．
1．广义的算法——某一工作的方法和步骤，例如：歌谱是一首歌曲的算法，空调说明书是空调使用的算法．
在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序．
2．本章主要讨论的算法（计算机能够实现的算法）——对一类问题的机械的、统一的求解方法．例如：解方程（组）的算法，函数求值的算法，作图问题的算法等．
3．本节采用自然语言来描述算法．
五．数学运用
1．算法描述举例
例1．给出求1+2+3+4+5的一个算法．
解： 算法1 按照逐一相加的程序进行．
第一步：计算1+2，得到3；
第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；
第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10；
第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15．
算法2 运用公式直接计算．
第一步：取=5；
第二步：计算；
第三步：输出运算结果．
算法3 用循环方法求和．
第一步：使，；
第二步：使；
第三步：使；
第四步：使；
第五步：如果，则返回第三步，否则输出．
说明：①一个问题的算法可能不唯一．
②若将本例改为“给出求的一个算法”，则上述算法2和算法3表达较为方便．
例2．给出求解方程组的一个算法．
分析：解线性方程组的常用方法是加减消元法和代入消元法，这两种方法没有本质的差别，为了适用于解一般的线性方程组，以便于在计算机上实现，我们用高斯消元法（即先将方程组化为一个三角形方程组，在通过回代过程求出方程组的解）解线性方程组．
解：用消元法解这个方程组，步骤是：
第一步：方程①不动，将方程②中的系数除以方程①中的系数，得到乘数；
第二步：方程②减去乘以方程①，消去方程②中的项，得到
；
第三步：将上面的方程组自下而上回代求解，得到，．
所以原方程组的解为．
说明：（1）．从例1、例2可以看出，算法具有两个主要特点：
①有限性：一个算法在执行有限个步骤后必须结束．
“有限性”往往指在合理的范围之内，如果让计算机执行一个历时1000年才结束的算法，这虽然是有限的，但超过了合理的限度，人们也不把它视作有效算法．“合理限度”一般由人们的常识和需要以及计算机的性能而定．
②确定性：算法的每一个步骤和次序应当是确定的．
例如，一个健身操中一个动作“手举过头顶”，这个步骤就是不确定的、含糊的．是双手都举过头，还是左手或右手？举过头顶多少厘米不同的人可以有不同的理解．算法中的每一个步骤不应产生歧义，而应当是明确无误的．
（2）．一般来说，算法应有一个或多个输出，算法的目的是为了求解，没有输出的算法是没有意义的．
2．练习：课本第6页练习第1、2、3题．
练习1答案：第一步 移项得；
第二步 两边同除以2得．
练习2答案：第一步：使，； 21世纪教育网
第二步：使；
第三步：使；
第四步：使；
第五步：如果，则返回第三步，否则输出．
练习3答案：第一步 计算斜率；
第二步 用点斜式写出直线方程．
补充：
1．一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动物．没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊．请设计过河的算法．
解：算法或步骤如下：
S1 人带两只狼过河；
S2 人自己返回；
S3 人带一只羚羊过河；
S4 人带两只狼返回；
S5 人带两只羚羊过河；
S6 人自己返回；
S7 人带两只狼过河；
S8 人自己返回；
S9 人带一只狼过河．
2．写出求的一个算法．
解：第一步：使，；
第二步：使；
第三步：使；
第四步：使；
第五步：使；
第六步：如果，则返回第三步，否则输出．
六．回顾小结
1．算法的概念：对一类问题的机械的、统一的求解方法．算法是由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者是按照要求设计好的有限的计算序列，并且这样的步骤或序列能解决一类问题．
2．算法的重要特征：
（1）有限性：一个算法在执行有限步后必须结束；
（2）确切性：算法的每一个步骤和次序必须是确定的；
（3）输入：一个算法有0个或多个输入，以刻划运算对象的初始条件．所谓0个输入是指算法本身定出了初始条件．
（4）输出：一个算法有1个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果．没有输出的
算法是毫无意义的．
七、课外作业：21世纪教育网
课本第X页第X题，
补充：
1． 有A、B、C三个相同规格的玻璃瓶，A装着酒精，B装着醋，C为空瓶，请设计一个算法，把A、B瓶中的酒精与醋互换．
2．写出解方程的一个算法．[21世纪教育网]
3．已知，，写出求直线AB斜率的一个算法．
4．“鸡兔同笼”是我国隋朝时期的数学著作《孙子算经》中的一个有趣而具有深远影响的题目：
“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”
请你先列出解决这个问题的方程组，并设计一个解该方程组的算法．
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7．6 归纳—猜想—论证
一、教学内容分析
归纳法是由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法．归纳法分为不完全归纳法与完全归纳法．对于无穷尽的事例，用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，这就是“归纳—猜想—论证”的思维方法．教材在介绍归纳法的基础上，通过例题，引导学生体验和学习这种科学研究的思维方法．论证时采用的数学归纳法是证明与自然数有关命题的一种重要方法，是演绎推理．本节内容将归纳推理和演绎推理紧密结合起来，使学生对归纳与演绎这一重要的数学思想有一个整体认识．
二、教学目标设计
1．了解数学推理的常用方法：归纳法与演绎法，进一步理解数学归纳法的适用情况和证明步骤．
2．通过实例，理解利用归纳的方法，发现规律、提出猜想，然后用数学归纳法证明的思想方法，获得对于“归纳—猜想—论证”过程的体验，初步形成在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力．
3．体验概念形成过程，引起对“归纳—猜想—论证”思维方法的兴趣，提升数学素养．
三、教学重点与难点
重点：“归纳—猜想—论证”思维方法的渗透和学习．
难点：对数学归纳法的进一步理解和应用．
四、教学流程设计
21世纪教育网
五、教学过程设计
1．引入21世纪教育网
问题1．用数学归纳法证明：
选题目的：回顾并熟练掌握用数学归纳法证明数学命题的过程与
基本步骤，为新课的引入做好铺垫．
2．归纳猜想
我们已经学习了用数学归纳法来证明一些等式，但是这些等式又
是如何得到的呢？21世纪教育网
[说明] 引起学生思考，探求结论获得的可能方法：一是直接计算获得结论，二是归纳猜想．
问题2．数列的通项公式，计算的值，你
可以得到什么结论？
问题3．费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他是解
析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．
费马认为，当n∈N时，一定都是质数，这是他对n=0，1，
2，3，4作了验证后得到的．
18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了=4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．
问题4．设，则当n∈N时，是否都为质数？
，，，，，，，
，，，，，．21世纪教育网
但是是合数．
找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来！
3．归纳猜想论证21世纪教育网
在数学问题的探索中，为了寻求一般规律，往往先考虑一些特例，
进行归纳，形成猜想，这是归纳与猜想．但猜测的结论一定正确吗？不一定！通过归纳猜测的结论可能错误也可能正确，然后一定要去证明这些猜想的正确与否．证明一个命题为假命题只需要举出一个反例．证明一个命题为真命题需要逻辑推理．
例1．依次计算数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…的前四项值，由此猜测的有限项表达式，并加以证明．
选题目的：（1）引导学生体验从特殊到一般的思考过程，形成归纳猜想的意识．
（2）这里去掉了原题中“并用数学归纳法证明”的证明方法的要求，以期证明方法的开放性，引起学生更开阔的思考．如：
（3）要证明对一切正整数都成立，一个一个验证是不可能的．一些与正整数有关的命题可以用数学归纳法加以证明．
例2．已知数列，，，…，，…，设为该数列前n项和，计算的值．根据计算结果猜测关于n的表达式，并用数学归纳法证明．
选题目的：经历和体验“归纳—猜想—论证”的完整过程，理解掌握这一重要的思维方法．
4．练习
P36—1，2，3
5．小结
本节课主要学习用“归纳—猜想—论证”的方法分析和解决问题．
归纳—猜想—论证是我们分析和解决问题的常用方法，它经历三个过程：尝试，观察特例；体验，归纳猜测一般规律；理性，证明猜想．这也告诉我们在分析和解决问题时要“大胆假设，小心求证”．大胆假设，也就是大胆猜测，这是探索发现真理的重要手段，是创造的源泉；但对猜想要小心求证，这是思维严谨的体现．
在证明过程中，我们进一步学习了如何用数学归纳法进行演绎推理证明．
6．作业
P15—2，3 P16—4
六、教学建议与说明
1．以问题为中心．通过对问题1的分析与解决，追根溯源，提出疑惑．通过对问题2，3，4的感受体验，思维冲击，大胆质疑．通过分析解决例题1，形成方法．
2．以思维方法为主线．应切实让学生感受“归纳—猜想—论证”这一重要数学思维方法的发展过程和理性认识，将归纳推理和演绎推理紧密结合起来，使学生对归纳与演绎这一重要的数学思想有一个整体认识．
例1，体验方法
复习回顾
实例引入
例2，认识方法
运用与深化(例题解析、巩固练习、课后习题)
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8.3平面向量的分解定理
一、教学内容分析
本节课内容是对前面向量知识的综合运用，在本章知识结构中起着承上启下的作用，是平面向量线性运算向坐标运算过渡的桥梁，是运用向量知识解决问题的理论基础.
二、教学目标
1.理解和掌握平面向量的分解定理；
2.掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示;
3.掌握基的概念，并能够用基表示平面内的向量;
4.经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、交流合作能力.
三、教学重点及难点
平面向量分解定理的发现和形成过程.
四、教学用具准备
电脑，幻灯机，实验用的图片等等.
五、教学流程设计
[来源:21世纪教育网]
六、教学过程设计
（一）、 设置情景，引入课题
1.观察
前面我们学过向量的加法，知道两个向量可以合成一个向量，反过来，一个向量是否可以分解成两个向量呢？
下面让我们来看一个实例：
实例：一盏电灯，可以由电线CO吊在天花板上，也可以由电线OA和绳BO拉住.CO所受的力F与电灯重力平衡，拉力F可以分解为AO与BO所受的拉力F1和 F2 .
2.思考：从这个实例我们看到了什么？
答：一个向量可以分成两个不同方向的向量.[来源:21世纪教育网]
3. 概括讨论，提出新问题：
如果是平面内的两个不平行的向量，是该平面内的任意一个非零向量，那么与之间有什么关系呢？
（二）、探索探究，主动建构
1、 数学实验1
实验设计：
(1)实验目的：通过实验让学生探究：给定平面内的两个不平行向量，对于给定的非零向量是否能分解成方向上的两个向量，且分解是否是唯一的？
(2)实验步骤：
a.以四位同学为一组，给每一位同学一个图，上面有两个不平行向量和；
b.每个同学先独立作图；
c.小组对照，比较所分解的两向量的长度和方向是否相同.并得出结论.
(3)实验报告：(由小组长发言)可以分解，且分解的长度和方向唯一的.
师：既然可以分解并且是唯一的，能不能用数学式子把和的关系表示出来？
生：是不平行向量，是平面内给定的向量
（1） 作，21世纪教育网
（2） 作，
（3） 作，
（4） 作平行四边形，则.
对于给定的向量可以唯一分解成给定的两个不平行向量，那么对于任意的向量是否也可以得到同样的结论呢？下面让我们来做一个实验.
2、数学实验2
实验设计：
(1)实验目的：通过几何画板向量分解动画，让学生体会对于任意向量都可以分解成给定的两个不平行向量，且分解是唯一的.
(2)实验步骤：
a.利用几何画板画出两个不平行向量，画出一个任意向量(该向量可以任意拖动终点来改变)；
b.学生自己拖动从中体会其向量的任意性.
(3)实验报告：(让学生来概括整实验的过程.)
3、探究结果(实验报告)
平面内的任一非零向量都可以表示为给定的两个不平行向量的线性组合，即，且分解是唯一的.
4、证明唯一性：
证明：（1）当时，
（2）当时，假设，则有
.由于不平行，故，即.
5、概括得出定理：
平面向量分解定理：如果是平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使，我们把不平行的向量叫做这一平面内所有向量的一组基.
（三）．例题分析[来源:21世纪教育网]
例1：自定义两个不共线向量，求作向量 .(图见课件ppt)
解：1.取点，作；
2．作平行四边形OACB，即为所求
例2．如图：平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且 ，分别用表示和.(图见课件ppt)
解： 在平行四边形ABCD中，
，
思考题：
例 3．如图，已知是不平行的两个向量，是实数，且，用表示.(图见课件ppt)
解：
（四）、课堂小结
（五）、作业布置21世纪教育网
1、组织学生完成教材后面练习，由学生自评或互评。
2.《练习》
七、教学设计说明
本课主要是平面向量的分解定理及简单的应用.
在课堂设计上做一种新的尝试，把数学实验带入课堂，让学生通过实验探究定理的内容.课堂组织形式比较新颖，引起学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，学生们积极的参与了整堂课的学习过程.
通过实验的制作，培养了学生的动手作图能力，通过学生对实验结果的讨论，培养学生的抽象概括能力，语言表达能力.
学生在原有知识的基础上，自主建构自己新的知识结构，充分体现了学生为主体，教学为主导的建构主义教学观.学生的学习效果很好，基本上掌握分解定理的实质内容，并能把定理的思想应用到具体的问题当中
设置情景，引入课堂
探索探究，主动建构
例题分析
课堂小结
布置作业
1.观察实例
2.思考问题
3.概括讨论，提出新问题
1.数学实验1
2.数学实验2
3.探究结果
4.证明唯一性
5.归纳概括，得出结论
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7.8（1）无穷等比数列的各项和（1）
一、教学内容分析
本小节的重点是无穷等比数列的各项和公式及简单应用．教材在前面已经介绍了等比数列的前n项和与极限的概念，利用极限不难将“等比数列的有限求和”转化为“等比数列的无限项求和”．教材这样处理，既符合学生的认知规律，又让学生深刻体会从有限认识无限、从已知认识未知、从近似认识精确的极限思想，能充分调动学生的求知欲望，开扩学生思路，激发学习数学的兴趣．[来源:21世纪教育网]
本小节的难点是正确理解无穷等比数列的各项和的定义．突破难点的关键是创设问题情景，利用对问题的分析，得出定义，推导出无穷等比数列的的各项和的公式，激发学生学习知识的兴趣，引导学生进行思维创新，在不断探索中发现问题、解决问题．
二、教学目标设计
1．理解无穷等比数列的各项和的定义；
2．掌握无穷等比数列的各项和的公式，会应用公式求无穷等比数列的各项和；
3．理解无限个数的和与有限个数的和在意义上的区别；
4．通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一些简单的实际问题过程中，形成和提高数学的应用意识.
三、教学重点及难点
教学重点：无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用.
教学难点：正确理解无穷等比数列的各项和的定义.
四、教学用具准备
实物投影仪
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、复习引入
思考下列问题：
1、和1哪个数大？为什么？
2、由于空气的阻力，因此某一类钟的钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%.假设其第一次摆动弧的长度为40cm，求它在停止前所有摆动的弧的长度和.
对于问题1，先让学生进行讨论，然后展示他们的结果.
引导学生回答以下问题：
（1）如果你认为，那么比1小多少？
（2）如果你认为，那么你能否找到一个实数a，使得成立？
换一个角度来看，事实上
而是首项为，公比为的无穷等比数列，它的前n项和为
.
于是可以把看作当时的极限，从而
.21世纪教育网
对于问题2，同样进行分析.
对比以上两个问题，它们有何共同特征？
二、讲授新课
1、无穷等比数列的各项和的公式的推导
提问：在问题1的讨论中，我们将看成首项为、公比为的无穷等比数列的前n项和的极限.请同学们思考，是否无穷等比数列的前n项和的极限都存在？如果它的极限存在，那么极限等于什么？
指出：当无穷等比数列的公比满足时，其前n项和的极限才存在.
当时，无穷等比数列前项和的极限如下：
∵ （）
∴
.
∵ ，∴.
∴ ．
让学生尝试从上述推导过程中归纳出无穷等比数列的各项和的公式．
强调：只有当无穷等比数列的公比满足时，其前n项和的极限才存在．
2、无穷等比数列的各项和的定义
提问：通过刚才的讨论，你能否给无穷等比数列各项和下一个定义？请用数学语言来描述一下．
我们把的无穷等比数列的前项的和当时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号表示.
（）.21世纪教育网
强调：只有当无穷等比数列的公比满足时，其前n项和的极限才存在．
3、无穷等比数列各项和的应用
例1 化下列循环小数为分数：
（1）； （2）.
分析：设法将循环小数化成等比数列的前n项和，然后求极限.
解：（1）
等式右边是首项为，公比是的无穷等比数列的各项的和，所以
.
（2），
等式右边是加上一个首项为，公比是的无穷等比数列的各项的和，所以
.
师生共同总结得出：
循环小数化为分数的法则：
1． 纯循环小数化分数：将一个循环节的数作分子，分母是99……9，其中9的个数是循环节数字的个数．
2． 混循环小数化分数：将一个循环节连同不循环部分的数减去不循环部分所得的差作分子，分母是99…900…0，其中9的个数与一个循环节的个数相同，0的个数和不循环部分的数字个数相同．
练习：
例2（补充） 求下列循环小数的和．
分析：把每一个循环小数化为分数，然后再求和．
解：同例1可求得，
，，，…
∴ 原式=
上式表示首项为，公比为的无穷等比数列的各项和．
∴ 原式=．
练习：求下列循环小数的和：．答案：
例3 如图，正方形ABCD的边长为1，联结这个正方形各边的中点得到一个小正方形A1B1C1D1；又联结这个小正方形各边的中点得到一个更小正方形A2B2C2D2；如此无限继续下去.求所有这些正方形周长的和与面积的和．
分析：关键是求出第n个正方形
的边长与前一个正方形的边长的关系.
解：由题意得
第1个正方形的边长，第n个
正方形的边长
，.
即所有正方形的边长组成的数列为
，
于是所有正方形的周长组成的数列为
，
这是首项为4、公比为的无穷等比数列，故所有的正方形的周长之和为
.
所有正方形的面积组成的数列为
，
这是首项为、公项为的无穷等比数列，
故所有的正方形的面积之和为
.
练习：.
补充练习：（可以和作业的思考题（2）联系讲解）
在边长为1的正方形ABCD中，取AD、BC中点、，得矩形；取、DC中点、，得一小矩形；再取、中点，得一小矩形；如此无限继续下去，求所有这些矩形的面积之和．
所有面积组成首项为，公比为的无穷等比数列，所有这些矩形面积之和为1．事实上，从作图的过程可知，让作图无限下去，这些矩形面积之和正好是边长为1的正方形的面积.
三、课堂小结
1. 无穷等比数列的各项和的公式：S=()；
2．无穷等比数列各项的和，是一个极限值，并且这个极限是可以达到的；
3．无穷等比数列的各项和存在是有条件的，即公比满足；
4．要学会从特殊问题的解决过程中体会一般化问题的解决方法．
四、课后作业21世纪教育网
1、书面作业：；
2、思考题：（1）正项等比数列的首项为1，前n项和为，求．
（2）早在公元前四世纪我国的公孙龙就有“一尺之捶，日取其半，万事不竭”的提法，（1）请写出此数列并求其各项的和；（2）可把此数列与哪个图形的面积联系起来，使此数列各项的和等于其面积和．
参看小结前的补充练习．
七、教学设计说明21世纪教育网
1．本节课的关键是让学生体会到：无穷多个数相加时，加法法则不再适用．求无穷多个数的和实际上是求一个极限（并且这个极限可以达到）．一个无穷等比数列的各项和存在的关键是该数列的前n项和的极限存在．所以，在新课引入时，利用课本的问题2让学生充分的讨论.得出无穷等比数列的各项和的概念，并推导出无穷等比数列的各项和的公式．
2．本节课的设计意图在于用问题驱动学生学习，让学生在解决问题的过程中体会无穷的思想，真正理解为什么要用极限来定义一个无穷等比数列的各项和．当学生对无穷等比数列的各项和的概念理解后，应用也就水到渠成了．
无穷等比数列的各项和的定义
无穷等比数列的各项和
公式的推导
无穷等比数列
公式的运用与深化(例题解析、巩固练习)
实例引入
课堂小结并布置作业
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8．4（2）向量的应用（2）
一、教学内容分析
向量作为工具在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用．
本小节的重点是结合向量知识证明数学中直线的平行、垂直问题，以及不等式、三角公式的证明、物理学中的应用．
二、教学目标设计
1、通过利用向量知识解决不等式、三角及物理问题，感悟向量作为一种工具有着广泛的应用，体会从不同角度去看待一些数学问题，使一些数学知识有机联系，拓宽解决问题的思路．
2、了解构造法在解题中的运用．21世纪教育网
三、教学重点及难点21世纪教育网
重点：平面向量知识在各个领域中应用．
难点：向量的构造．
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、复习与回顾
1、提问：下列哪些量是向量？
（1）力 （2）功 （3）位移 （4）力矩
2、上述四个量中，（1）（3）（4）是向量，而（2）不是，那它是什么？
［说明］复习数量积的有关知识．
二、学习新课
例1（书中例5）
向量作为一种工具，不仅在物理学科中有广泛的应用，同时它在数学学科中也有许多妙用！请看
例2（书中例3）
证法（一）原不等式等价于，由基本不等式知（1）式成立，故原不等式成立．
证法（二）向量法
［说明］本例关键引导学生观察不等式结构特点，构造向量，并发现（等号成立的充要条件是）
例3（书中例4）
［说明］本例的关键在于构造单位圆，利用向量数量积的两个公式得到证明． 21世纪教育网
二、巩固练习
1、如图，某人在静水中游泳，速度为 km/h.21世纪教育网
（1）如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？
答案：沿北偏东方向前进，实际速度大小是8 km/h．
（2） 他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进 实际前进的速度大小为多少？
答案：朝北偏西方向前进，实际速度大小为km/h．
三、课堂小结
1、向量在物理、数学中有着广泛的应用．
2、要学会从不同的角度去看一个数学问题，是数学知识有机联系．21世纪教育网
四、作业布置
1、书面作业：课本P73, 练习8.4 4
２、（补充）
（1）已知作用于同一物体的两个力、，||=5N，||=3N，、所成的角为，则|+|= 7 ; +与的夹角为 ．
［说明］力的分解与合成是向量在物理中运用的典型例子之一．
（2）上网查阅柯西——许瓦兹不等式有关知识并整理一些证法．
［说明］①柯西——许瓦兹不等式是一个著名不等式，教学时应加以渗透数学史的教学，并且通过对不同证明方法的整理可以感受数学知识的有机联系以及解决问题的多样性．
②以小组形式，时间为一星期为宜．
实例引入
复习回顾
巩固练习
课堂小结并布置作业
证明两角差的展开公式
证明柯西不等式
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7.5数学归纳法的应用
一、教学内容分析
1． 本小节的重点是用数学归纳法证明等式、证明数或式的整除.教学时应对书写与表达提出严格的要求.尤其是在证明数或式的整除性时，更要注意说理清楚，并以此作为培养学生逻辑推理能力的一个抓手.
2． 本小节的难点是用数学归纳法证明数或式的整除性.突破难点的关键是在授课时要重点分析“补项法”的证明思路：通过补项为运用归纳假设创造条件.不要让学生单纯机械地模仿.另外还常用作差方法，通过相减后，证明差能被某数（或某式）整除,再利用归纳假设可得当n=k+1时命题成立.
二、教学目标设计
1．会用数学归纳法证明等式；
2．会用数学归纳法证明数或式的整除；
3．进一步掌握数学归纳法的证明步骤与数学归纳法的实质.
三、教学重点及难点：
用数学归纳法证明等式、证明数或式的整除.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
1．复习回顾：
用数学归纳法证明命题的两个步骤，是缺一不可的.如果只完成步骤（i）而缺少步骤（ii）不能说明命题对从n0开始的一切正整数n都成立.
如+1，当n=0、1、2、3、4时都是素数，而n=5时，+1=641×6700417不是素数.
同样只有步骤（ii）而缺少步骤（i），步骤（ii）的归纳假设就没有根据，递推就没有基础，就可能得出不正确的结论.
如2+4+6+…+2k=k2+k+a（a为任何数）
2．讲授新课:
用数学归纳证明等式
例1:用数学归纳法证明:1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n（n+1）2
例2：用数学归纳法证明：12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）.21世纪教育网
[说明]上述两例师生共同讨论完成.完成两例讨论后向学生指出：
(1)由于证明当n=k+1等式成立时，需证明的结论形式是已知的，只要将原等式中的n换成k+1即得，因此学生在证明过程中，证明步骤必须完整，不能跳步骤；（2）有些等式证明题在证明当n=k+1正确时，需用恒等变形，技巧较高，对基础较差的学生来说完成很困难，这时可通过左、右边的多项式乘法来完成.
如 求证：… （nN*）.
证明：
（1） 当n=1时，左边=1，右边=×1×（4-1）=1等式成立.
（2） 假设当n=k（kN*）时等式成立，即,
则n=k+1时，
又
即等式成立.
由（1）（2）知，等式对任何nN*都成立.
(3) 用数学归纳法证明恒等式成立时，在逆推过程中应注意等式左右的项数的变化.由当n=k到n=k+1时项数的增加量可能多于一项，各项也因n的变化而变化,因此要根据等式的特点仔细分析项数及各项的变化情况.
例如：求证：
（*）.
例3 （补充）在1与9之间插入2n-1个正数数，使1，，9成等比数列，在1与9之间又插入2n-1个正数，使1，，9成等差数列.设，,
（1） 求、
（2） 设，是否存在最大自然数m，使对于nN*都有被m整除，试说明理由.
解：（1）
21世纪教育网
（2）
当n=1时，=64
当n=2时，=320=5×64
当n=3时，=36×64
由此猜想：最大自然数m=64
用数学归纳法证明上述猜想：
1.当n=1时，猜想显然成立;
2.假设当n=k（kN*）时成立，即能被64整除，
则当n=k+1时，
由归纳假设知能被64整除，又也能被64整除，所以也能被64整除.
由1、2知，能被64整除（nN*）.
又因为，所以存在最大自然数64，使能被64整除（nN*）.
[说明]本例是较难的数列与数学归纳法的综合题.在第（1）小题的解题过程中充分利用了等差、等比数列的性质，起到了对等差、等比数列知识的复习作用.本例也可以先将等差、等比数列的公差d、公比q用n表示，然后求出、（可让学生完成），同时本例的第（2）小题既复习了用数学归纳法证明数式的整除性，又为进一步掌握归纳—猜测—论证的问题提供了保证，是否选用本题教师可根据学校学生的实际数学学决定.
3.巩固练习:
练习7.6(2)1,2,321世纪教育网
4．课后习题：
习题7.5 A组 习题7.5 B组
5.课堂小结:
（1）本节中心内容是数学归纳法的应用，数学归纳法适用的范围是：证明某些与连续自然数有关的命题；
（2）归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分类是完全归纳法和不完全归纳法二种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明; 归纳法是有一系列特殊事例得出一边结论的推理方法，它属于归纳推理.而数学归纳法它是一种演绎推理方法，是一种证明命题的方法！因此，它不属于“不完全归纳法”！甚至连“归纳法”都不是！
(3)学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推(递归)思想，它的证明步骤必须是两步，最后还要总结；数学归纳法证题的步骤：
①验证P()成立.
②假设P(k)成立(k∈N*且k≥)，推证P(k+1)成立.
数学归纳法的核心，是在验证P()正确的基础上，证明P(n)的正确具有递推性(n≥).第一步是递推的基础或起点，第二步是递推的依据.因此，两步缺一不可，证明中，恰当地运用归纳假设是关键.
(4)本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、分类讨论思想、函数与方程思想从这节课的学习中你有何感想？你能否体会到数学归纳法的魅力？
六．教学设计说明
1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．
数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．21世纪教育网
把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义，也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试．
2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是在于加强学生对教学过程的参与程度．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，尽快提出适当的问题，并提出思维要求，让学生尽快投入到思维活动中来，是十分重要的．这就要求教师把每节课的课题作出层次分明的分解，并选择适当的问题，把课题的研究内容落于问题中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得新的发展．本节课的教学设计也想在这方面作些研究．
3．理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k时命题成立这个条件．
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即n=k+1时等式也成立．
这是不正确的．因为递推思想要求的不是n=k，n=k+1时命题到底成立不成立，而是n=k时命题成立作为条件能否保证n=k+1时命题成立这个结论正确，即要求的这种逻辑关系是否成立．证明的主要部分应改为
以上理解不仅是正确认识数学归纳法的需要，也为第二步证明过程的设计指明了正确的思维方向．
运用与深化(例题解析、巩固练习、课后习题)
数式整除
实例引入
等式证明
复习回顾
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数学归纳法
教学目标
1.了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力．
2.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤．
3.抽象思维和概括能力进一步得到提高．
教学重点与难点
重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析．
难点：数学归纳法中递推思想的理解．
教学过程设计
（一）引入
师：从今天开始，我们来学习数学归纳法．什么是数学归纳法呢 应该从认识什么是归纳法
开始．
（板书课题．数学归纳法）
（二）什么是归纳法（板书）
师：请看下面几个问题，并由此思考什么是归纳法，归纳法有什么特点． [来源:21世纪教育网]
问题1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办
（可准备一袋白球．问题用小黑板或投影幻灯片事先准备好）
生：把它例出来看一看就可以了．
师：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．顺序操作怎么做
生：一个一个拿，拿一个看一个．
师：对．问题的结果是什么呢
（演示操作过程）
第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白
球． 问题2：在数列｛an｝中，a1＝1，an+1＝（n∈N+），先计算a2，a3，a4的值，再推测通项an的公式．（问题由小黑板或投影幻灯片给出）
生：a2＝，a3＝，a4＝．由此得到：an＝（n∈N+）．
师：同学们解决以上两个问题用的都是归纳法，你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点
吗
生：归纳法是由一些特殊事例推出一般结论的推理方法．
特点是由特殊 一般（板书）．
师：很好!其实在中学数学中，归纳法我们早就接触到了．例如，给出数列的前四项，求它
的一个通项公式用的是归纳法，确定等差数列、等比数列项公式用的也是归纳法，今后的学
习还会看到归纳法的运用．
在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史
资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．
还应该指出，问题1和问题2运用的归纳法还是有区别的．问题1中，一共12个球，全看了，
由此而得了结论．这种把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法．对于问题2，由于自然有无数个，用完全归纳法去推出结论就不可能，它是由前4项体现的规律，进行推测，得出结论的，这种归纳法称为不完全归纳法．
（三）归纳法的认识（板书）
归纳法分完全归纳法和不完全归纳法（板书）．
师；用不完全归纳法既然要推测，推测是要有点勇气的，请大家鼓起勇气研究问题3．
问题3：对于任意自然数n，比较7n-3与6（7n+9）的大小．（问题由小黑板或投影幻灯片给
出） （给学生一定的计算、思考时间）
生：经过计算，我的结论是：对任意n∈N+，7n-3＜6（7n+9）．
师：你计算了几个数得到的结论
生：4个．
师：你算了n＝1，n＝2，n＝3，n＝4这4个数，而得到的结论，是吧
生：对．
师：有没有不同意见
生：我验了n＝8，这时有7n-3＞6（7n+9），而不是7n-3＜6（7n+9）．他的结论不对吧!
师：那你的结论是什么呢
（动员大家思考，纠正）
生：我的结论是：
当n＝1，2，3，4，5时，7n-3＜6（7n+9）；
当n＝6，7，8，…时，7n-3＞6（7n+9）．
师：由以上的研究过程，我们应该总结什么经验呢
首先要仔细地占有准确的材料，不能随便算几个数，就作推测．请把你们计算结果填入下表
内：
师：依据数据作推测，决不是乱猜．要注意对数据作出谨慎地分析．由上表可看到，当n依1，2，3，4，…变动时，相应的7n-3的值以后一个是前一个的7倍的速度在增加，而6（7n+9）
相应值的增长速度还不到2倍．完全有理由确认，当n取较大值时，7n-3＞6（7n+9）会成立的． 21世纪教育网
师：对问题3推测有误的同学完全不必过于自责，接受教训就可以了．其实在数学史上，一
些世界级的数学大师在运用归纳法时，也曾有过失误．
资料1（事先准备好，由学生阅读）
费马（Fermat）是17世纪法国著名数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立
作出贡献最多的人之一，是概率论的的创始者之一，他对数论也有许多贡献．
但是，费马曾认为，当n∈N+时， +1一定都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．
18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了+1＝4 294 967 297＝6 700 417×641
，从而否定了费马的推测．
师：有的同学说，费马为什么不再多算一个数呢 今天我们是无法回答的．但是要告诉同学
们，失误的关键不在于多算一个上!
再请看数学史上的另一个资料（仍由学生阅读）：
资料2
f（n）＝n2+n+41,当n∈N+时，f（n）是否都为质数
f（0）=41,f（1）＝43,f（2）＝47,f（3）＝53,f（4）＝61,
f（5）＝71,f（6）＝83,f（7）＝97,f（8）＝113,f（9）＝131,
f（10）＝151，… f（39）＝1 601．
但f（40）＝1 681＝412是合数．
师：算了39个数不算少了吧，但还不行!我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错
，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原
因，并研究出对策来． [来源:21世纪教育网]
师：归纳法为什么会出错呢
生：完全归纳法不会出错．
师：对!但运用不完全归纳法是不可避免的，它为什么会出错呢
生：由于用不完全归纳法时，一般结论的得出带有猜测的成份．
师：完全同意．那么怎么办呢
生：应该予以证明．
师：大家同意吧 对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验
，因为实践是检验真理的唯一标准．对于数学问题，应寻求数学证明．
（四）归纳与证明（板书）
师：怎么证明呢 请结合以下问题1思考．
生：问题1共12个球，都看了，它的正确性不用证明了．
师：也可以换个角度看，12个球，一一验看了，这一一验看就可以看作证明．数学上称这种
证法为穷举法．它体现了分类讨论的思想．
师：如果这里不是12个球，而是无数个球，我们用不完全归纳法得到，这袋球全是白球，那
么怎么证明呢 （稍作酝酿，使学生把注意力更集中起来）
师：这类问题的证明确不是一个容易的课题，在数学史上也经历了多年的酝酿．第一个正式
研究此课题的是意大利科学家莫罗利科．他运用递推的思想予以证明．
结合问题1来说，他首先确 定第一次拿出来的是白球．
然后再构造一个命题予以证明．命题的条件是：“设某一次拿出来的是白球”，结论是“下
一次拿出来的也是白球”． 这个命题不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的到底是不是白球，而是研究若某一次是白球这个条件能保证下一次也是白球的逻辑必然性．
大家看，是否证明了上述两条，就使问题得到解决了呢
生：是．第一次拿出的是白球已确认，反复运用上述构造的命题，可得第二次、第三次、第
四次、……拿出的都是白球．
师：对．它使一个原来无法作出一一验证的命题，用一个推一个的递推思想得到了证明．
生活上，体现这种递推思想的例子也是不少的，你能举出例子来吗
生：一排排放很近的自行车，只要碰倒一辆，就会倒下一排．
生：再例如多米诺骨牌游戏．
（有条件可放一段此种游戏的录相）
师：多米诺骨牌游戏要取得成功，必须靠两条：
（1）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒；
（2）第一张牌被推倒．
用这种思想设计出来的，用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明方法就是数学
归纳法．
（五）数学归纳法（板书）
师：用数学归纳法证明以上推测问题而得的命题，应该证明什么呢
生：先证n＝1时，公式成立（第一步）；
再证明：若对某个自然数（n＝k）公式成立，则对下一个自然数（n＝k+1）公式也成立（第
二步）．
师：这两步的证明自己会进行吗 请先证明第一步．
生：当n＝1时，左式＝a1＝1，右式＝＝1．此时公式成立．
（应追问各步计算推理的依据）
师：再证明第二步．先明确要证明什么
生：设n＝k时，公式成立，即ak＝．以此为条件来证明n＝k+1时，公式也成立，即ak+1＝也成立． [来源:21世纪教育网]
师：应注意，这里是证明递推关系成立，证明ak+1＝成立时，必须用到ak＝这个条件
生：依已知条件，ak+1＝．
师：于是由上述两步，命题得到了证明．这就是用数学归纳法进行的证明的基本要求．
师：请小结一下用数学归纳法作证明应有的基本步骤．
生：共两步（学生说，教师板书）：
（1）n＝1时，命题成立；
（2）设n＝k时命题成立，则当n＝k+1时，命题也成立．
师：其实第一步一般来说，是证明开头者命题成立．例如，对于问题3推测得的命题：当n＝6，7，8，…时，7n-3＞6（7n+9）．第一步应证明n＝6时，不等式成立．
（若有时间还可讨论此不等关系证明的第二步，若无时间可布置学生课下思考）
（六）小结
师：把本节课内容归纳一下：
（1）本节的中心内容是归纳法和数学归纳法．
（2）归纳法是一种由特殊到一般的推理方法．分完全归纳法和不完全归纳法二种．
（3）由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确，因而必须作出证明，证明可用数学归
纳法进行．
（4）数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推（递归）思想，它的操作步骤必
须是二步．
数学归纳法在数学中有广泛的应用，将从下节课开始学习．
（七）课外作业
（1）阅读课本
（2）书面作业 21世纪教育网
课堂教学设计说明
1.数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是二步呢 于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n＝k时命题成立呢 教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．
数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的
认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递
推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．
把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义
，也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试．
2.在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是在于加强
学生对教学过程的参与程度．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引
导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，尽快提出适当的问题，并提出思维要求，
让学生尽快投入到思维活动中来，是十分重要的．这就要求教师把每节课的课题作出层次分
明的分解，并选择适当的问题，把课题的研究内容落于问题中，在逐渐展开中，引导学生用
已学的知识、方法予以解决，并获得新的发展．本节课的教学设计也想在这方面作些研究．
3.理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n＝k+1命题成立时必须用到n
＝k时命题成立这个条件．
例如用数学归纳法证明：（n∈N+）时，其中第二步采用下
面证法：
设n＝k时，等式成立，即，则当n＝k+1时，
，
即n＝k+1时等式也成立．
这是不正确的．因为递推思想要求的不是n＝k，n＝k+1时命题到底成立不成立，而是n＝k时命题成立作为条件能否保证n＝k+1时命题成立这个结论正确，即要求的这种逻辑关系是否成立．证明的主要部分应改为
以下理解不仅是正确认识数学归纳法的需要，也为第二步证明过程的设计指明了正确的思维
方向．
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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7.1 (1)数列（数列及通项）
一、教学内容分析
本小节的重点是数列的概念．在由日常生活中的具体事例引出数列的定义时，要注意抓住关键词“次序”，准确理解其概念，还应让学生了解数列可以看作以正整数集（或它的有限子集）为定义的函数，使学生能在函数的观点下理解数列的概念，这里要特别注意分析数列中项的“序号”与这一项“”的对应关系（函数关系），这对数列的后续学习很重要．
本小节的难点是能根据数列的前几项抽象归纳出一些简单数列的通项公式．要循序渐进的引导学生分析归纳“序号”与“”的对应关系，并从中抽象出与其对应的关系式．突破难点的关键是掌握数列的概念及理解数列与函数的关系，需注意的是，与函数的解析式一样，不是所有的数列都有通项公式；
给出数列的有限项，其通项公式也并不唯一，如给出数列的前项，若，则都是数列的通项公式，教学上只要求能写出数列的一个通项公式即可．
二、教学目标设计
理解数列的概念、表示、分类、通项等，了解数列与函数的关系 ，掌握数列的通项公式，能用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．发展和培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力．
三、教学重点及难点
理解数列的概念；能根据一些数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式．
四、教学流程设计
五、教学过程设计 21世纪教育网
一、复习回顾
思考并回答问题： 函数的定义
二、讲授新课
1、概念引入
请同学们观察下面的例子，看看它们有什么共同特点：（课本p5）
1 食品罐头从上到下排列成七层的罐头数依次为：
3，6，9，12，15，18，21
2 延龄草、野玫瑰、大波斯菊、金盏花、紫宛花、雏菊花的花瓣数从少到多依次排成一列数：3，5，8，13，21，34
3 的不足近似值按精确度要求从低到高排成一列数：[来源:21世纪教育网]
1，1.7，1.73，1.732，1.7320,1.73205,
4 -2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂 依次排成一列数：
-2，4，-8，16，
5 无穷多个1排成一列数：1，1，1，1，1，
6 谢尔宾斯基三角形中白色三角形的个数，按面积大小，从大到小依次排列成的一列数：1，3，9，27，81，
7 依次按计算器出现的随机数：0.098,0.264,0.085,0.956
由学生回答上面各例子的共同特点：它们均是一列数，它们是有一定次序的，由此引出数列及有关定义：
1、定义：按一定次序排列起来的一列数叫做数列．
其中，数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，第3项,第项，
数列的一般形式可以写成:
简记作
2、函数观点：数列可以看作以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量按照从小到大的 顺序依次取值时，所对应的一列函数值
3、数列的分类：
有穷数列： 项数有限的数列 （如数列①、②、⑦）
无穷数列：项数无限的数列 （如数列③、④、⑤、⑥）
4、数列的通项：
如果数列的第项与之间可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．
启发学生练习找上面各数列的通项公式：
数列① ：
数列④：[来源:21世纪教育网]
数列⑤： （常数数列）
数列⑥：
指出（由学生思考得到）数列的通项公式不一定都能由观察法写出（如数列②）；数列并不都有通项公式（如数列③、⑦）；由数列的有限项归纳出的通项公式不一定唯一 （如数列①的通项还可以写为：
5、数列的图像：请同学练习画出数列①的图像，得出其特点：数列的图像都是一群孤立的点
2、例题精析
例1：根据下面的通项公式，写出数列的前5项：（课本P6）
（1）；
（2）
解：（1）前5项分别为：
（2）前5项分别为：
[说明]由数列通项公式的定义可知，只要将通项公式中依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.
例2：写出下面数列的一个通项公式，使它前面的4项分别是下列各数：
（1）1，5，9，13；
（2）
（3）
解：（1）
（2）
（3）
[说明]：认真观察各数列所给出的项，寻求各项与其项数的关系，归纳其规律，抽象出其通项公式.
例3：观察下列数列的构成规律，写出数列的一个通项公式（补充题）
（1）
（2）9，99，999，9999，
（3）
（4）2，0，2，0，2，0，
解：（1）
（2）
（3） 可写成
（4）2=1+1，0=1-1
（或，
或）
[说明] 本例的（2）-（4）说明了对数列项的一般分拆变形技巧．
例4、根据图7-5中的图形及相应的点数，写出点数的一个通项公式 ： （课本Ｐ７）
解：
[说明] 本类“图形分析”题，解题关键在于正确把握图形依次演变的规律，再依点数写出它的通项公式
三、巩固练习
练习７.１（１）
四、课堂小结
本节课学习了数列的概念，要注意数列与数集的区别，数列中的数是按一定次序排列的，而数集中的元素没有次序；
本节课的难点是数列的通项公式，要会根据数列的通项公式求其任意一项，并会根据数列的一些项由观察法写出一些简单数列的一个通项公式．
五、课后作业
1．书面作业：课本习题７．１ A组 习题1.----5
2．思考题：（补充题及备选题）
１．有下面四个结论,正确的是（Ｃ）
①数列的通项公式是唯一的；
②每个数列都有通项公式；
③数列可以看作是一个定义在正整数集上的函数 [来源:21世纪教育网]
④在直角坐标系中，数列的图象是一群孤立的点
A、①②③④ B、③ C、④ D、③④
２．若一数列为：，则是这个数列的（Ｂ）
A、第6项 B 、第7项 C、第8项 D、第9项
３．数列7，9，11，13，… 2n-1 中，项的个数为（Ｃ）
A、 B 、２－１ C、－３ D、－４
４．已知数列的通项公式为：
，它的前四项依次为____________
解：前四项依次为：
５．试分别给出满足下列条件的无穷数列的一个通项公式
（1）对一切正整数n，
（2）对一切正整数n，
解：（１） （不唯一）
（２） 等（不唯一）
６．写出下列数列的一个通项公式
（１）
（２）3，8，15，24，35，…
（3）
（４）0，0.3,0.33,0.333,0.3333,…
（５）1，0，-1，0，1，0，-1，0，…
解：（１）；
（２）
（３）
（４）
（５）
７．根据下面的图像及相应的点数，写出点数的一个通项 公式：
解：以中间点为参照点，把增加的点作为方向点来分析，有：
第1个图形有一个方向，点数为1点；
第2个图形有2个方向，点数为1+21=3点；
第3个图形有3个方向，点数为1+32=7点；
第4个图形有4个方向，点数为1+43=13点；
…………
第n个图形有n个方向，点数点
六、教学设计说明
本节课为概念课，按照“发现式”教学法进行设计
结合一些具体的例子，引导学生认真观察各数列的特点，逐步发现其规律，进而抽象、归纳出其通项公式
例题设计主要含以下二个题型：
（1） 由数列的通项公式，写出数列的任意一项；[来源:21世纪教育网]
（2） 给出数列的若干项，观察、归纳出数列的一个通项公式
补充的思考题，可作为学有余力的同学的能力训练题，也可作为教师的备选题．
数列
（概念）
数列
通项
运用与深化(例题解析、巩固练习)
函数观 点
实例引入
课堂小结并布置作业
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7.３(1)等比数列
一、教学内容分析
本小节的重点是等比数列和等比中项的概念，理解的关键是发现相邻项之间的关系．
本小节的难点是等比数列的递推公式．突破难点的关键是掌握相邻两项或三项之间运算关系．
二、教学目标设计
理解等比数列和等比中项的概念; 能正确计算公比及相关的项；通过对等比数列的学习，培养观察、类比分析能力．
三、教学重点及难点
重点：等比数列和等比中项的概念；
难点：等比数列递推关系．[来源:21世纪教育网]
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、复习回顾
思考并回答下列问题
什么叫等差数列、等差中项？递推关系式是什么？
二、讲授新课
１、等比数列
（１）等比数列的概念引入
研究下面3个数列的递推公式及其特点（课本P19）
1，2，4，8，…； ①
5，25，125，625，…； ②
1，-，，-，…； ③
解答：数列①②③的递推公式分别是：
数列①：，
数列②：，
数列③：．
[说明]启发学生观察并发现如下结论：这三个递推公式都可以写成的形式，得出相邻两项之间的关系．
（２）等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这样的数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用小写字母q表示．
２、等比中项
（１）等比中项的概念
与等差中项的概念类似，如果成等比数列，那么G叫做的等比中项.
等比中项的性质：
（1） 如果三个数成等比数列，那么等比中项的平方等于另两项的积.
（2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它前一项与后一项的等比中项.
3、概念深化
以为等比中项的三个数可表示为，显然它们的积是等比中项的立方.[来源:21世纪教育网]
4、例题解析[来源:21世纪教育网]
例1.在数列中，如果数列为等比数列，，求公比及，并用计算器计算、．
解： ，=-25，=-6.25，=-0.78125
[说明]①启发学生利用等比数列的定义，即相邻两项的关系解决问题．②让学生回味计算过程，为研究通项公式作铺垫．
例2．求9与25的等比中项G．
解：G＝．
例3．在2与9之间插入两个数，使前三个数依次成等差数列，后三个成等比数列，试求出这个数列.21世纪教育网
解：设插入的两个数依次为，则有
，
解得分别为或4，6，
所以这个数列的各项为2，，9或2，4，6，9
例4．有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和为37，第二个数与第三个数的和为36，求这四个数.（补充）
解：设前三个数分别为，则第四个数为，
由
解得，，
所求的四个数是12，16，20，25或.
[说明] 合理利用等差中项与等比中项的性质，可使本题求四个量转化为求两个量.
三、巩固练习
练习7.3（1）
四、课堂小结
等比数列与等比中项的概念，探究它们的递推关系，利用定义进行正确的计算．
五、课后作业21世纪教育网
书面作业： 习题７.3 A组 ５、７ Ｂ组 １、３
运用与深化(例题解析、巩固练习)
递推关系
特征分析
实例引入
课堂小结并布置作业
等比数列、等比中项概念
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８．2（2） 向量的数量积（2）
教学目标设计
1．深刻领会向量的数量积的概念和运算性质、向量的夹角公式及其内涵、两向量垂直的充要条件；
2．掌握求向量的长度、求两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法；
3．初步运用向量的方法解决一些简单的几何问题，领略向量的数量积的数学价值；
4．通过对问题的分析研究，体会数学思考的过程．
教学重点及难点
重点：向量的数量积的运算性质、向量的夹角公式、向量垂直的条件及其应用；
难点：向量的夹角公式的应用.
教学用具准备
直尺，投影仪
教学过程设计
一．情景引入：
1．复习回顾
(1)两个非零向量的夹角的概念：
对于两个非零向量，如果以为起点，作，那么射线的夹角叫做向量与向量的夹角，其中．
(2)平面向量数量积（内积）的定义：
如果两个非零向量的夹角为（），那么我们把叫做向量与向量的数量积，记做，即．并规定与 任何向量的数量积为0．21世纪教育网
(3) “投影”的概念：
定义：叫做向量在方向上的投影．
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为；当 = 180时投影为．21世纪教育网
(4)向量的数量积的几何意义：
数量积等于的长度与在方向上投影|的乘积．
(5)向量的数量积的运算性质：
对于，有
（1）当且仅当时，＝
（2）
（3）
（4）
２．分析思考：
(1)类比实数的运算性质，向量的数量积结合律是否成立？
学生通过讨论，回答：一般不成立
(2)如果一个物体在大小为２牛顿的力的作用下，向前移动１米，其所做的功的大小为１焦耳，问力的方向与运动方向的夹角是否为？
分析：设该物体在力的作用下产生位移，所做的功为，与的夹角为， 则由知
二．学习新课:
1.向量的夹角公式:
在学习了向量数量积的定义之后，我们很容易推导出两个非零向量的夹角满足
因此,当时,,反之,当时, .考虑到可与任何向量垂直,所以可得：
两个向量垂直的充要条件是．
２.例题分析
例1：化简:．(课本P66例2)
解:
=
=
=
例2:已知,且与的夹角为,求．(课本P66例3)
解:
所以
例3：已知,垂直,求的值．(课本P66例4)
解： 因为垂直，所以
化简得
即
由已知，可得
解得 ．
所以，当时，垂直．21世纪教育网
例4：已知、都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角．
解：由 ①
②
两式相减：
代入①或②得：
设、的夹角为，则
∴ = 60
３.问题拓展
例5．利用向量数量积的运算证明半圆上的圆周角是直角．21世纪教育网
证明：设AB是⊙O直径，半径为r
设,则;,则
则
，即∠ACB是直角．
三．巩固练习
1已知,(1)若∥,求；
(2)若与的夹角为60°，求；
(3)若与垂直，求与的夹角．
2已知,向量与的位置关系为（ ）
A．平行 B．垂直 C．夹角为 D．不平行也不垂直21世纪教育网
3已知,与之间的夹角为，则向量的模为（ ）
A．2 B．2? C．6 D．12
4已知与是非零向量，则是与垂直的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
四．课堂小结
1．向量的数量积及其运算性质；
２．两向量的夹角公式；
３．两个向量垂直的充要条件；
4．求向量的模、两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法．
五．作业布置
练习8.2(1) P67 T2、T3、T4 ； P35 T3 、 T4
思考题
1已知向量与的夹角为，,则|+|·|-|= ．
2已知+=2-8,-=-8+16,其中、是直角坐标系中轴、轴正方向上的单位向量，那么= ．
3已知⊥、与、的夹角均为60°，且则＝_____ _．
4对于两个非零向量与，求使最小时的t值，并求此时与的夹角．
5求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和
教学设计说明及反思
本节课是在上节课学习了向量的数量积的概念、向量的数量积的运算性质之后．再一次抛出物理模型问题，学生通过交流、分析．讨论，解决问题．进一步推而广之，由数量积的定义，通过变形十分容易的导出向量的夹角公式．并推出了两向量垂直的充要条件．之后，通过例题分析，学生体验了运用向量的数量积的定义和运算性质求向量的模、向量的夹角、以及研究一些简单几何问题的过程．学生获取了知识、掌握了方法、提高了技能、训练了能力．
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三阶行列式
一、教学内容分析
三阶行列式按一行(或一列)展开是三阶行列式计算的另外一种法则，学习这种法则有助于学生更好地理解二阶行列式、三阶行列式的内在联系，同时这个法则也是较复杂的行列式计算的常用方法，这个法则更是蕴涵了数学问题研究过程中将复杂问题转化为简单问题的研究方法．本节课的教学内容主要围绕代数余子式的符号的确定研究三阶行列式按一行(或一列)展开法则．[来源:21世纪教育网]
二、教学目标设计
⑴ 掌握余子式、代数余子式的概念；
⑵ 经历实验、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的符号的确定方法和三阶行列式按一行(或一列)展开方法，体验研究数学的一般方法；21世纪教育网
(3)体会用简单（二阶行列式）刻画复杂（三阶行列式）、将复杂问题简单化的数学思想．
21世纪教育网
三、教学重点及难点
三阶行列式按一行(或一列)展开、代数余子式的符号的确定．
四、教学过程设计
一、情景引入
(1)将下列行列式按对角线展开：
_______________ _______________
_______________ _______________
(2)对比、分析以上几个行列式的展开式，你能将三阶行列式表示成含有几个二阶行列式运算的式子吗？
[说明]
(1)请学生展开几个行列式的主要目的是：巩固复习前面学习的知识；同时，有意识地设计这几个行列式的展开，有助于学生发现三阶行列式与相应的二阶行列式间的关系．
(2)将三阶行列式表示成几个含有二阶行列式运算的式子，结果可能不唯一，可以有等等．
二、学习新课
１．知识解析
在刚才的实验中，将三阶行列式表示成了含有三个二阶行列式运算的式子，主要有：
等等．
请同学生选择其中的一个为例谈谈他们是如何发现这些等式的？21世纪教育网
事实上，以为例，先将展开式变形为：
，然后分别提取公因式，可以得到
再利用已有的展开式
①
②
③
从而很容易就得到结果了．
其中二阶行列式①、②、③分别叫做元素，，的余子式，添上相应的符号(正号省略)，如
，
、、分别叫做元素，，的代数余子式．于是三阶行列式可以表示为第一行的各个元素与其代数余子式的乘积之和：
象这样的展开，我们称之为三阶行列式按第一行展开．类似的，我们可以将三阶行列式按第二行或按列展开．从上述研究，我们不难发现这种展开方法的关键是要找到三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式．不难发现，要确定某元素的代数余子式，我们可以先确定其余子式，然后确定代数余子式符号，而最主要的就是其符号的确定．
为了让学生有较深刻的体会，教师可以组织学生完成
总结代数余子式的确定方法：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
[说明]
(1)以上主要由学生合作完成，实验的目的主要是让学生经历实验、归纳、猜想、抽象并获得新知的过程；
(2)教师可以将学生分成数个学习小组，合作实验研究，并交流研究结果，最后由教师总结．
(3)通过上述研究，教师要引导学生发现：确定某个元素的余子式其实就是将这个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按照原来的位置关系所组成的二阶行列式；而这个元素的代数余子式与该元素所在行列式的位置(即第行，第列)有关，其代数余子式的正负号是“”．
一般地，三阶行列式可以按其任意一行(或一列)展开成该行(或该列)的各个元素与其代数余子式的乘积之和．其中，最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式(尤其是其符号)．
２．例题解析
例题1 按要求计算行列式：
(1)按第一行展开；
(2)按第一列展开．
[说明]
(1)一个三阶行列式可以按其任意一行(或一列)展开，其中，最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式(尤其是其符号)；21世纪教育网
(2)当一个三阶行列式的某一行(或某一列)元素中，0的个数较多，我们往往将行列式按照该行(或该列)，这样计算往往比较方便．
例题2.计算：
〖参考答案〗 0
描 述: 教学目标⑴掌握余子式、代数余子式的概念；⑵经历实验、对比、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的符号的确定方法和三阶行列式按一行(或一列)展开方法，体验研究数学的一般方法；(3)体会用简单（二阶行列式）刻画复杂（三阶行列式）、将复杂问题简单化的数学思想．教学重点及难点三阶行列式按一行(或一列)展开、代数余子式的符号的确定．
四、课堂小结
(1)余子式、代数余子式的概念；
(2)三阶行列式按一行(或一列)展开方法．
五、作业布置
根据学生的具体情况，对习题册中的问题进行增减．
五、教学设计说明
本节课的教学内容是三阶行列式按一行(或一列)展开方法，从内容上看，这部分内容与上节课一样，同样概念性比较强，同样容易上成教师“一堂言”的枯燥无味的数学课，但是这部分内容却蕴涵了重要的数学思想方法．单纯的死记硬背不是好的学习方法，理解比记忆重要，能力比知识的本身重要．我把本节课的教学模式设计为通过实验探究、对比分析、大胆猜想、证实猜想，从而逐步获得新知，让学生体验数学学习的乐趣，感悟数学研究的一般方法．
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10.1 算法概念
一、教学内容分析
随着计算机在社会各方面的普及，软件的地位日渐突出；软件通常所指的就是计算机可以执行命令的集合，即程序．算法初步就是针对编写计算机程序而设计的一章教学内容．我们知道数学可以培养学生逻辑思维能力和抽象思维能力，算法和编程同样需要很强的逻辑思维能力和抽象思维能力，从这个方面来说，它是数学学科实际应用的一个重要内容．通过本章的学习，可以让学生体会到计算机是一个重要的工具，通过程序的编写和执行，学生可以体会到人的思维在计算机上得到延续．21世纪教育网
二、教学目标设计
1. 了解算法的基本概念，能够叙述一些简单问题的算法；
2. 理解算法与计算机（器）应用之间的关系，通过简单的算法设计初步认识算法的作用.
三、教学重点及难点
重点：理解算法的作用：算法是解决“做什么”和“怎么做”的问题；21世纪教育网
难点：设计算法，认识算法的几个特性．
四、教学流程设计
五、教学过程设计
（一）算法的引入
做任何事情都有一定的步骤．例如，你要买电视机，先要选好货物，然后付款，开票，取货．（最好再举出一些更专业的例子）用二分法求函数的零点，也是一套按一定步骤的解题方法．不要以为只有“计算”的问题，才是算法．广义地说，为解决一个问题而采取的方法和步骤，就称为“算法”．
（二）设计几个算法
例1 设计算法：求．
解法1 ①先求，得到结果；
②将步骤①得到的乘积再乘以3，得到结果6；
③将6再乘以4，得到24；
④将24再乘以5，得到120．这就是最后的结果．
[说明]一共4个步骤依次执行，这种结构为顺序结构．这样的算法虽然是正确的，但是太过繁琐．如果是，需要999个步骤，这种做法显然是不可取的．
解法2 [分析]可以设计两个变量，一个代表乘数，一个变量代表被乘数．用循环算法来求结果．
①把1赋给变量；
②把2赋给变量；
③做，乘积仍放在变量中，可表示为；
④使的值加1，即；
⑤如果的值不大于5，返回重新执行步骤③以及其后的步骤④和⑤；否则，算法结束．最后的的值就是120．
[说明] 不能理解为数学中的，同样不能理解为数学中的等式；解法2表示的算法具有通用性、灵活性，如只要把步骤⑤中的数值5改变为100，就可以求出的值．步骤③④⑤组成一个循环，在实现算法时，要反复多次执行③④⑤步骤，直到某一时刻，在执行步骤⑤时经过判断，乘数已超过规定的数值而不返回到步骤③为止．此时结束算法，变量的值就是所求的结果．
例2 对于第七章阅读材料中所给出的Fibonacci 数列：
计算并输出和前项的和．
[说明]该例题对于刚接触算法的同学有些过难了．有例1的铺垫，例2就可以很好的理解了．
例3 对于任意五个数，设计算法
（1）求它们中的最大数；
（2）在求得最大数的同时，给出该数的序号．
[说明]如果,那么…；否则…．该结构成为条件结构．
例4 将任意给定的五个数按数值由小到大的顺序排列．
[说明]步骤①中，就可以实现最大值与的对换，顺序不能颠倒；如果是顺序执行，的值就消失了，这样就出现逻辑上的错误．
从几个实例中，可以体会到算法的一些特点：有限性（如不能出现程序无法终止的情况，如例1步骤⑤中把“的值不大于5”误写成了“的值大于-1”，程序就无法终止了）；确定性（每一个步骤不能存在“二义性”）；可行性；有输入和输出．
根据上面几个例子，介绍顺序结构；条件结构和循环结构．[21世纪教育网]
（三）课堂小结
由学生总结交流：通过本节学习，你对算法的认识是什么？
（四）课后作业21世纪教育网
补充：1、写出算法．[来源:21世纪教育网]
练习10.1两个题目．
巩固与练习
算法的描述
设计实际问题的算法
引入实际问题，体会算法
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10.2 程序框图
一、教学目标设计
1. 理解几种常见的基本程序框的意义，掌握顺序结构、条件结构和循环结构的框图表示；21世纪教育网
2. 能利用程序框图来完整地描述算法，能通过程序框图来表达算法设计思想.
3. 通过算法设计活动体会程序框图对表达算法流程和算法设计思想的作用.
二、教学重点及难点
重点：了解程序框图的基本构成：不同意义的几何图形框和箭头（有时加上必要的说明）；
难点：能利用流程图来正确地表示一些简单的算法.
三、教学流程设计21世纪教育网
四、教学过程设计
（一）几个基本程序框的介绍
1、起、止框；
2、输入、输出框
3、处理（执行）框
4、判断框
（二）顺序结构、条件结构和循环结构
1、顺序结构
2、条件结构（又成为分支结构）21世纪教育网
3、循环结构
（三）几个实例
例1 对于任意给定的两个数和，如果，那么；如果，那么，用框图表示.
[说明]在讲解时，给定几组和的值，让学生去思考流程是如何“走的”.
例2 对于和，如果，那么；如果，那么不变，用框图表示.
[说明]与例1比较可知，例1的两个分支都要执行（处理）步骤；例2中，只有一支有执行（处理）步骤，而另一支无执行（处理）步骤.可以与10.3中的Scilab语言中的条件语句来对应.
例3 用框图表示“求一元二次方程的实数根”的条件结构.
[说明]不妨给出几组的值来观察流程的“走法”.
例4 用框图表示“计算的值”的循环结构.
[说明]循环结构中必须有判断语句，因为无判断语句循环就不会停止.要让学生体会如何循环，一要体会的作用，二要体会的值的变化.21世纪教育网
例5 求任意五个数中最大数的算法（见10.1算法的概念的例1第(1)题）的框图表示.
书中的例6、例7、例8很典型，下面的几个例子可参考使用或练习.
例6、求和，画出程序框图.
[说明]其中，的作用就是这次循环如果为1，下次循环就为-1；流程图不是唯一的，题目中所用的判断“”可以参考书中的例6改为用“”，在循环中每次加1.
例7 一个输入的正整数，判断是否为素数，画出程序框图.（素数，是指除了1和该数本身之外，不能被其他任何整数整除的数）
[说明]判断101是否为素数，只需要判断101是否能被从2到的所有整数中的一个整除即可.
（四）布置作业
练习10.2(1)
练习10.2(2)[来源:21世纪教育网]
练习10.2(3)
五、教学设计说明
本节教学设计分两个课时完成，第一个课时为顺序结构、条件结构和循环结构的框图表示；第二个课时为利用三种结构的框图表示来完整地描述一个算法.
顺序结构、条件结构和循环结构的框图表示
举出几个实际的例子，运用框图描述算法
介绍几种重要的框图（起、止框；输入输出框、处理框、判断框）
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9.2矩阵运算
一、教学内容分析
这一节重点介绍矩阵的三种基本运算：矩阵的加减、实数与矩阵相乘、矩阵的乘法.例2、例3是二阶矩阵的加、减法；例6是二阶矩阵与23阶矩阵的乘法；这三个例题是矩阵的基本运算.必须掌握好矩阵基本运算，并掌握它们的运算律.
例7、例8是矩阵的实际应用题，说明矩阵可用于处理一些复杂的数据问题.
二、教学目标设计
1、理解和掌握矩阵的运算及其运算律;
2、提高分析矩阵的实际问题和解决矩阵的实际问题的能力.
三、教学重点及难点
1、提高矩阵的运算能力是重点;
2、矩阵乘法是教学难点.
四、教学流程设计:
五、教学过程设计
（一）情景引入
小王、小李在两次数学考试中答对题数如下表表示：
题型答题21世纪教育网21世纪教育网姓 数 名[来源:21世纪教育网]21世纪教育网 期中21世纪教育网 期末
填空题 选择题 解答题 填空题 选择题 解答题
小王 10 3 2 8 4 4
小李 9 5 3 7 3 3
填空题每题4分，选择题4分，解答题每题10分.
1、 观察：
2、 思考（1）：如何用矩阵表示他们的答对题数？他们期中、期末的成绩？
思考（2）：如果期中占40%，期末占60%，求两同学的总评成绩
3、 讨论：今天如何通过矩阵运算来研究上述问题？
（二）学习新课
1、矩阵的加法
（1）引入
记期中成绩答题数为A 期末答题数为B
确定两次考试的小王，小李的各题型答题总数的矩阵C
（2）矩阵的和（差）
当两个矩阵A，B的维数相同时，将它们各位置上的元素加（减）所得到的矩阵称为矩阵A，B的和（差）,记作：A+B（A-B）
（3）运算律
加法运算律：A+B=B+A
加法结合律：（A+B）+C=A+（B+C）
（4）举例：P80 例2，例3
2、数乘矩阵
（1）引入：计算小王、小李各题型平均答题数的矩阵
（2）矩阵与实数的积
设为任意实数，把矩阵A的所有元素与相乘得到的矩阵叫做矩阵A与实数的乘积矩阵.记作：A
（3）运算律：（为实数）
分配律： ；
结合律：
（4）举例：P81 例4
3、矩阵的乘积
（1）引入：P83的两次线性变换
（2）矩阵的乘积：
一般，设A是阶矩阵，B是阶矩阵，设C为矩阵
如果矩阵C中第i行第j列元素是矩阵A第i个行向量与矩阵B的第j个列向量的数量积，那么C矩阵叫做A与B的乘积.记作：C=AB
（3）运算律
分配律：，
结合律：，
注：交换律不成立，即
（4）举例
例1（1） （2）
（3） （4）
（5）
答案：1） 2) 3) 4) 5)
注：（1）（2）结果不同.（3）（4）结果不同，说明矩阵乘法交换律不成立.
例2：P85 例8
（三）回归情景：讨论如何使用矩阵运算进一步研究小王、小李的考试成绩.
（四）课堂练习：P83，P86
（五）课堂小结
（六）布置作业：见练习册
七：教学设计说明
1、 通过情景题小王、小李的成绩情况引入矩阵运算，说明矩阵运算的重要性.
2、 课堂按“加减法→数乘→乘法”展开研究，层层深入，重在掌握2阶，3阶的矩阵的基本运算.
3、 对矩阵运算律只进行总结，不进行证明.旨在今后学生能灵活地使用运算律进行运算.这里特别强调乘法的交换律不成立.这是学生思维上不易接受点，在过去的学习的实数运算、集合运算、向量运算的不同之处，必须引起重视.
4、 加强了实际问题的分析，说明矩阵在实际问题中的重要运用.
情景引入
矩阵的运算
矩阵加法
矩阵减法
实数与矩乘积极
矩阵乘积
实际应用
回归情景题
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课 题 2.1矩阵的概念 时间
教学目的 学习矩阵相关的概念
重点难点 1．矩阵概念； 2特殊矩阵
时间分配 教 学 过 程 教学方法教学手段
30ˊ 一、导言矩阵是从实际问题的计算中抽象出来的一个数学概念，是数学研究中常用的工具，它不仅在数学中的地位十分重要，而且在工程技术各领域中也有着广泛的应用。二、新授1．矩阵定义：由个数排成的行列的表称为行列矩阵（matrix）,简称矩阵。2．特殊形式矩阵：（1）n阶方阵：在矩阵中，当时，称为阶方阵（2）行矩阵：只有一行的矩阵叫做行矩阵列矩阵：只有一列的矩阵 叫做列矩阵（3）零矩阵：元素都是零的矩阵称作零矩阵3．相等矩阵：对应位置上的元素相等的矩阵称作零矩阵4．常用特殊矩阵：（1）对角矩阵： （2）数量矩阵： 讲授法板演
时间[来源:21世纪教育网]分配 教 学 过 程 教学方法教学手段
21世纪教育网 （3）单位矩阵：（4）三角矩阵：称作上三角矩阵（称作下三角矩阵。[来源:21世纪教育网]四、小结：本节主要介绍敌阵概念和矩阵的特殊形式和特殊矩阵，要求掌握这些内容。21世纪教育网21世纪教育网
课后记事 注意矩阵与行列式从形式上的区别。
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课题：二阶行列式与二元一次方程组
教学目的：理解二阶行列式的定义；
掌握用二阶行列式解二元一次方程组；
用行列式判断二元一次方程组解的情况。
教学过程：
1、 设问：什么叫二阶行列式？
（一）定义：
1、 我们用记号表示算式
即 =
其中记号叫做行列式，因为它只有两行、两列，所以把它叫做二阶行列式。21世纪教育网
2、 叫做行列式的展开式，其计算结果叫做行列式的值。
3、 叫做行列式的元素。
（二）二阶行列式的展开满足：对角线法则
实线表示的对角线叫主对角线，虚线表示的对角线叫副对角线。
二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号．[来源:21世纪教育网]
（三）例和练习：
例1、判断以下几项中哪些是二阶行列式？是的，求出值。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）21世纪教育网
例2：将下列各式用行列式表示：——解唯一吗？
（1）
2、 用二阶行列式解二元一次方程组
(四)设有二元一次方程组
用加减消元法
得 21世纪教育网
(1)当 时，有（A）有唯一解，
(B) 求根公式。
(2)当 时,无穷组解；
（3）当 时无解。
（五）记，系数行列式 ，
——类比，对照
则（1）当D≠0时，方程组(A) 的解(B)可以表示成
；
（2）当D=0时, 无穷组解；
(3) 当D=0时, 无解。
系数行列式也为二元一次方程组解的判别式。
（六）学生巩固记忆理解。
（七）例和练习。21世纪教育网
用行列式解方程组。
解：标准形式
3、 作业：
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7.1（2）数 列（数列的递推公式）
一、教学内容分析
本节课是数列的第二课时，教学内容是“数列的递推公式”，学生对数列已有的认知程度：数列的有关概念和数列的通项公式.
二、教学目标设计
1、知道递推公式也是给出数列的一种方法；
2、理解数列通项公式的意义，观察数列项与项之间的内在联系，逐步形成学生的观察能力；
3、通过阅读框图，正确理解算法程序，掌握建立递推关系式的方法，形成数学阅读能力.
三、教学重点及难点
重点：理解数列通项公式的意义，利用递推关系式，揭示数列项与项之间的内在联系.
难点：阅读算法程序框图，建立递推关系式.
四、教学用具准备
多媒体设备
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、 情景引入
1．观察
. ①
2．思考
在数列①中，项与项之间有什么关系？
[说明]：
或
3．讨论
由此，数列①也可以用下面的公式表示：
或
二、学习新课
1．概念辨析
如果已知数列的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一种方法.21世纪教育网
2．例题分析
例3.根据下列递推公式写出数列的前4项：
（1）
（2）
解：（1）由题意知：
这个数列的前4项依次为1，3，7，15.
（2）由题意知：
这个数列的前4项依次为100，-85，100，-85.
[说明] 已知数列的首项（或前几项），利用递推公式可以依次求出数列以后的项.
例4．根据图7-5中的框图，建立所打印数列的递推公式，并写出这个数列的前5项.
解：由图7-5可知，数列的首项为3，从第二项起数列中的每一项都是前一项与前一项减1所得的差之积，即[来源:21世纪教育网]
利用上述递推公式，计算可得到数列的前5项依次为
3，6，30，870，756030.
[说明] 解答本例的关键是要读懂框图，框图呈现的是算法程序，该程序就是递推关系.
3．问题拓展
例1.
解：由题意知：
这个数列的前4项依次为1，1，2，3.
[说明] 由递推公式给出的数列叫做斐波那契数列.
斐波那契（L.Fibonacci,1170-1250），意大利数学家，他在1202年所著的《计算之书》中，提出的“兔子问题”所用的数列被后人称为斐波那契数列.
斐波那契的兔子问题：假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每个月都会生下一对兔子．那么，由一对初生兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？
用记号“”表示初生的幼兔，“”表示成熟的兔子，则有下图
得到前七项：1，1，2，3，5，8，13
进一步可以发现：从第三项起，每一项都是前面两项之和.
下面给出证明：
设表示第n个月的兔子数，表示第n个月幼兔，表示第n个月的成熟兔，则：
由题意有： 21世纪教育网
，证毕.
∴1到12个月的兔子数依序是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，243.
∴12个月后共有243对兔子.
例2.已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出.
（1）写出这个数列的前5项；
（2）利用上面的数列，通过公式构造一个新数列，写出数列的前5项；
（3）继续计算数列的第6项到第10项，你发现数列的相邻两项之间有怎样的关系.
解：由递推关系：
（1）数列的前5项依次为：1，2，3，5，8
（2）数列的前5项依次为：.
（3）数列的第5项到第10项依次为：.
观察1：，…，.
于是，数列的相邻两项之间具有：.
观察2：，…，
.
于是，数列的相邻两项之间具有：.
[说明]（1）题是利用递推关系求数列的项；（2）题是构造一个数列写出部分项；（3）题是通过观察部分项，猜想递推关系式.
例3.根据框图，建立所打印数列的递推公式，并写出数列的前5项.
解：根据框图，数列的递推公式为
数列的前5项依次为：.
[说明] 阅读框图，正确理解框图中的赋值语句，准确把握递推信息，是解此类题的关键.[来源:21世纪教育网]
三、巩固练习: 7.1（2）1,2.
四、课堂小结
1、数列递推公式的概念；
2、利用递推公式解题的基本类型：
（1）根据递推公式，求数列的部分项；21世纪教育网
（2）已知数列的部分项，写出数列相邻两项的关系；
（3）根据算法程序框图，建立递推关系式.
五、作业布置
练习册（A）6、7、8；练习册（B）2、4.
七、教学设计说明
本节课是数列的第二课时，学生对数列已有的认知程度：数列的有关概念和数列的通项公式．因此，本节课的教学设计应围绕以下几点开展教学：
1、让学生明白：递推公式也是给出数列的一种方法；
2、理解数列通项公式的意义，观察数列项与项之间的内在联系，以此来培养学生的观察能力；
3、通过阅读框图，正确理解算法程序，掌握建立递推关系式的方法，以培养学生的数学阅读能力.
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