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7、乘法原理
[问题一]书架上有4本故事书，7本科普书，小华从书架上任取一本故事书和科普书，一共有多少种不同的取法？
想：小华取书要分两步：先取故事书，再取科普书。当小华取了第一本故事书后，再取科普书，可以取7本中的任意一本，所以，有7种不同的取法。取出故事书4本中的任意一本后，都可以取科普书7本中的任意一本，所以，一共有4×7=28（种）不同的取法。
解：4×7=28（种）
答：一共有28种不同的取法。
[试一试]
1、书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语书、语文书各一本，共有多少种不同的取法？
2、有5顶不同的帽子，2件不同的上衣，3条不同的裤子。从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。一共有多少种不同的装束？21世纪教育网
3、学校食堂中餐供应5种荤菜，3种素菜和2种汤，妈妈要求小凡搭配一荤一素和一汤的中餐，他共有多少种不同的买法？
[问题二]由数字0、1、2、3组成三位数，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
想：在确定三位数的过程中，应该一位一位地去确定，所以要分三个步骤来完成。首先，百位上不能取0，有3种不同的取法；然后，十位上由于已在1、2、3中取走一个，再加上0，所以也还有3种不同的取法；最后，各位上还剩2个数字可取，有2种不同的取法。
解：3×3×2=18(种）
答：可以组成18个没有重复数字的三位数。
[试一试]
1、用1、2、3三个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的三位数？
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2、由数字1、2、3、4、5、6一共可以组成多少个没有重复数字的四位奇数？
3、某市的电话号码是六位数，首位不能是0，其余各位数上可以是0-9中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复。那么这个城市最多可以容纳多少部电话机？
[问题三] 如图，地图上有A、B、C、D四个国家，现用红、蓝、黄、绿四种颜色给地图涂色，使相邻国家的颜色不同，问有多少种不同的涂法？
想：这个染色问题可以用乘法原理来解答。先从A国想起，有4种不同的染色方法；再考虑B国，去掉一种颜色，还有3种不同的染色方法；C国则有2种，D国也有两种（想想为什么）。
解：4×3×2×2=48（种）
答：共有48种不同的涂法。
[试一试]
1、如图，A、B、C、D、E五个区域分别用红、黄、蓝、白四种颜色中的某一种染色。若要求相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？
2、用4种不同的颜色给下面的这幅地图染色，使相邻的两块颜色不相同，共有多少种不同的染色方法？
[问题四]右图中有7个点和10条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过。这只甲虫最多有几种不同的走法？[21世纪教育网
想：要从A点到B点，必须经过C点，所以，完成这段路分两步，即由A到C，再由C到B。而由A到C有三种走法，由C到B也有三种走法。
解：3×3=9（种）
答：这只甲虫最多有9种不同的走法。
[试一试]
1、某街区的街道图，从西南角A处走到东北角B处，要求任何线段和点不得重复经过，一共有多少种不同的走法？
2、如图，在三条平行线上分别有一个点、四个点、三个点（且不在同一条直线上的三个点不共线）。在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形。一共可以画出多少个不同的三角形？
[练一练]
1、警察叔叔要从甲地途径乙地和丙地到丁地抓捕逃犯，现在知道从甲地到乙地有3条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从丙地到丁地有4条路可走，那么警察叔叔有几种不同的追击方法？
2、两只箱子里分别放着写着数字的卡片，在一只红箱子里装着20张分别标有1，2，3，……，19，20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被乘数；在另一只绿箱子里装着标有10张分别标有1，2，……，9，10的白卡片，从中任抽一张，把上面的数作为乘数。那么一共可以写出多少个乘法式子？
3、有6个不同的文具盒，3枝不同的铅笔，4枝不同的圆珠笔，2把不同的尺子，若从中各取出一个，配成一套学习用具，最多有多少套不同的学习用具？
4、某短跑队有9名运动员，其中3人起跑技术好，另外有2人弯道技术好，还有2人冲刺技术好。现在要从中选4人参加4×100米接力赛，为使每人充分发挥特长，共有多少种组队方式？
5、某市的电话号码已升至八位，每一位上的数字可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，中的任一个数字，而且不同数位上的数字可以重复。如果把00000000也算一个电话号码，那么这个城市最多可以容纳几部电话机？
6、用9、8、3、0四个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？
7、用4种不同的颜色给下面的图涂色，使相邻的长方形颜色不同，有多少种不同的涂色方法？
8、由1、2、3、4四个数字组成的四位数共有24个，将它们从小到大排列起来，第18个数等于多少？
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[挑战题]
1、 4男2女6个人站成一排合影留念，要求2个女的紧挨着排在正中间，有多少种不同的排法？
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2、如图，图中有25个小方格，要把5枚不同的硬币放在方格里，使每行、每列只出现一枚硬币，那么共有多少种放法？
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14.3（3）空间直线和平面的位置关系
一、教学内容分析
空间直线和平面的位置关系及其表示法是空间几何的语言基础，也是进行空间几何研究的起点.
14.3空间直线和平面的位置关系（3）是在学习了空间直线和平面垂直之后,进一步探索空间直线和平面的特殊位置关系之二 —— 直线和平面平行.
课本通过两个例题要求学生能理解空间直线和平面，平面和平面平行的含义，掌握空间直线和平面平行、平面和平面平行的性质定理，并能用反证法进行证明.
通过练习1，要求学生掌握空间直线和平面平行的判定定理，并能据此判断长方体中的线面关系.
空间直线与平面平行是直线和平面位置关系中的一种特殊情况，它也是研究空间中平面与平面平行的基础，判定定理用来判断直线和平面平行，性质定理用来证明空间两条直线平行，判定定理和性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可继续推下去，我们可称此为平行链.，见如下示意图：
线线平行线面平行线线平行
根据教材编排的特点，及平行链的完整，本节设计拓展了面面平行的判定定理，可视学生的具体情况酌情处理.
二、教学目标设计
在通过观察和实验，探索直线和平面平行的位置关系的过程中，理解空间直线和平面平行的含义，会用文字语言、图形语言、符号语言表述这种位置关系，掌握空间直线和平面平行的判定定理和性质定理，掌握空间平面和平面平行的性质定理，并会简单的应用，体会化归和转化的数学思想方法.
三、教学重点及难点
空间直线和平面平行的判定定理、性质定理；空间平面和平面平行的性质定理
四、教学用具准备
投影仪，多媒体课件
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、情景引入
引例:复习直线和平面的位置关系
[说明]同时用图形语言、符号语言、几何语言表述这些位置关系.
前面我们已经研究了空间直线和平面垂直，也掌握了这样一个规律：要证线线垂直，可找线面垂直，反之亦然.即：
今天我们来探索空间中直线和平面平行有没有这样一种规律，并且有什么作用.
二、学习新课
1、概念形成
如何判定一条直线和一个平面平行呢？
问题1：（1）在黑板的上方装一盏日光灯，怎样才能使日光灯与天花板平行呢？
（2）将课本的一边紧贴桌面，沿着这条边转动课本，课本的上边缘与桌面的关系如何呢？
（3）把门打开，门上靠近把手的边与墙面所在的平面有何关系？
[说明]引导学生类比直线与平面垂直的研究方法，利用“降维”的思想将直线与平面平行的问题转化为直线和直线平行的问题.
直线和平面平行的判定定理（即课本练习1）
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.21世纪教育网
符号语言：；图形语言：
[说明]1．该定理可简述为：线线平行线面平行.
2．用该定理判断直线和平面是否平行时必须具备三个条件：，这三个条件缺一不可.
3．该定理的作用：证明线面平行.
辨析1．如图，长方体中，
（1）与AB平行的平面是
（2）与平行的平面是
（3）与AD平行的平面是
[说明]通过此例，加深对定理的理解.掌握寻找与直线平行的平面的方法.
问题2：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线一定平行于这个平面内的所有直线吗？即该定理的逆命题是否成立？试举例说明.
[说明]学生很易通过举例说明知道该定理的逆命题不成立.此时可让学生思考加上什么条件可让结论成立，引出以下定理：
直线和平面平行的性质定理（即课本例4）21世纪教育网
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.
符号语言:
图形：
证明 ：方法（一）：定义法；
方法（二）：反证法；
[说明]1．课本上定理的证明采用了反证法，应用反证法时注意体会: ① “导出矛盾，肯定结论”是反证法的精髓，“否定之否定等于肯定”是反证法的原理.
②证题过程“没有把假设作为已知使用”的证法不能算作反证法..
2．该定理可简述为：线面平行线线平行.
3．该定理可看作直线和直线平行的判定定理.
4．定理中的三个条件缺一不可.
5．其作用是证明线线平行.
辨析2．以下命题（其中a，b表示直线，表示平面）
①若a∥b，b，则a∥
②若a∥，b∥，则a∥b
③若a∥b，b∥，则a∥
④若a∥，b，则a∥b
⑤过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条21世纪教育网
其中正确命题的个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
[说明]通过问题辨析，进一步加深对直线和平面平行的判定定理和性质定理的理解.体会三个条件的缺一不可.
2、例题分析
前面我们已学习了证明空间两条直线平行的两种判断方法，即：（1）用定义；（2）公里4.现在我们又可利用直线和平面平行的判定定理和性质定理证明空间两条直线平行，判定定理和性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可继续推下去，我们可称此为平行链.，见如下示意图：
线线平行线面平行线线平行
例1．如图，正方体中，E为的中点，
试判断与平面AEC的位置关系，并说明理由．
[说明] 1：要证明直线与平面平行可以运用判定定理；
2：能够运用定理的条件是要满足六个字：“面外、面内、平行”
3：运用定理的关键是找平行线；找平行线又经常会用到三角形中位线定理.
例2．如下图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PD上的点，且=，求证：直线MN∥平面PBC.
分析：要证直线MN∥平面PBC，只需证明MN∥平面PBC内的一条直线或MN所在的某个平面∥平面PBC.
证法一：过N作NR∥DC交PC于点R，连结RB，依题意得====NR=MB.∵NR∥DC∥AB，∴四边形MNRB是平行四边形.∴MN∥RB.又∵RB平面PBC，∴直线MN∥平面PBC.
证法二：过N作NR∥DC交PC于点R，连结RB，依题意有==，∴=，=+ + =.∴MN∥RB.又∵RB平面PBC，∴直线MN∥平面PBC.
[说明] 1：要证明直线与平面平行根据判定定理应该找平行线；但找平行线又根据性质定理的思想关键是找一个平面，借此可充分领会平行链的作用.[来源:21世纪教育网]
2．找平行线经常会用到平行线分线段成比例的性质.
3．鼓励学生一题多解,
[说明] 本题重点考查直线与平面平行的性质.
例3．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．即：
已知：
求证：
证法一：与没有公共点
与也没有公共点
证法二：反证法
[说明]实际这就是两个平面平行的性质定理，它的作用是判定两直线平行.成立的条件有三个，缺一不可.
3．问题拓展
问题3：两平面平行的条件是什么呢？ 能否转化为线面平行问题呢？
问题4：一个平面内至少有几条直线和另一个平面平行可以
确保两个平面平行即不相交？
[说明]引导学生分别研究一条直线、两条直线、无数条直线和一个平面平行的情况，得出结论：要想两平面平行，只要一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面即可.
两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
符号语言:
[说明]1．定理成立的条件有四条，缺一不可.特别注意“线不在多，相交则灵”.
2．其作用是判定两平面平行.
3．根据两个平面平行及直线和平面平行的定义，容易得出下面的结论：即：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．
到此为止，线线、线面、面面平行之间形成了一个非常完美的平行链.
例4．学习了两个平面平行的判定定理后，你是否还有其它方法解决例2 ？
证法三：过N作NQ∥AD交PA于点Q，连结QM，∵==，∴QM∥PB.又NQ∥AD∥BC，∴平面MQN∥平面PBC.∴直线MN∥平面PBC.
[说明]体会平行链中蕴含的数学思想：转化、降维.
例5．判断下列命题是否正确，并说明理由．
（1）若平面内的两条直线分别与平面平行，则与平行；
（2）若平面内有无数条直线分别与平面平行，则与平行；
（3）平行于同一直线的两个平面平行；
（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行；
（5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面．
[说明]通过问题辨析，加深对定理条件的理解.
三、巩固练习
已知分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱的中点（如图4），
求证：∥平面.
[说明]通过练习进一步掌握求直线和平面平行的判定定理及性质定理.
四、课堂小结
1．数学思想方法：转化的思想：空间问题 平面问题
2．判断平行的转化思想：
(1)平行公理
(2)三角形中位线21世纪教育网
(3)平行线分线段成比例
(4)相似三角形对应边成比例
(5)平行四边形对边平行
要判断 ，可以通过构造过直线的平面与平面相交于直线b，判断即可.
五、作业布置
1．如图，已知分别是三棱锥的侧棱的中点，
求证：平面．
分析：要证明平面，只要在平面内找一条直线与平行．
证明：，
又∵平面，且平面，
∴平面．
2．求证：如果三个平面两两相交于三条直线，并且其中两条直线平行，那么第三条直线也和它们平行．
已知：平面，，，，且，
求证：．
证明：，又∵，且，∴．
同理，．
六、教学设计说明
本节课教材通过两个例题，一个练习题给出了直线和平面平行的判定定理和性质定理，平面与平面平行的性质定理.其意图在于给出两直线平行的两种新的判定方法，同时要求学生能借此判断常见的几何体如正方体、长方体等立体图中的线面平行关系，并不要求掌握复杂的线面平行关系的判断或证明.
考虑到学生的思维发展状况，以及本节内容属于“直线和平面的位置关系”这一单元.因此，明确向学生指出本节将研究“直线与平面平行”，并且将本节内容顺序进行调换，先引导学生类比直线与平面垂直的研究方法，利用“降维”的思想得到练习1的结论（即直线与平面平行的判定定理），将直线与平面平行的问题转化为直线和直线平行的问题.接着引导学生思考该定理的逆命题是否成立.引出直线与平面平行的性质定理.
然后作为两直线平行的一种判定方法，直接以例题的形式给出了平面与平面平行的性质定理.
最后在问题拓展部分研究了平面与平面平行的判定定理.这个内容可视学生情况选讲.
对于“直线与平面平行的性质定理”和“平面与平面平行的性质定理”的证明，课本上均用了反证法，应用反证法时要注意体会: ① “导出矛盾，肯定结论”是反证法的精髓，“否定之否定等于肯定”是反证法的原理.②证题过程“没有把假设作为已知使用”的证法不能算作反证法..
空间直线与平面平行是直线和平面位置关系中的一种特殊情况，它也是研究空间中平面与平面平行的基础，判定定理用来判断直线和平面平行，性质定理用来证明空间两条直线平行，判定定理和性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可继续推下去，我们可称此为平行链.，见如下示意图：
线线平行线面平行线线平行
这种转化思想在整个14.3节中，广泛应用于判断直线之间，平面之间，以及直线与平面之间的平行、垂直，经过相关练习，提高了一定的逻辑推理能力.通过这节内容的学习，体验，探索了空间问题与平面问题之间的联系与转化，积累了将平面知识推广到空间和构建空间新知识的经验.
引入
探究
巩固
应用
总结
作业
直线与直线垂直
直线与平面垂直
α
β
a
b
D
B1
A
C1
B
C
A1
D1
E
F
图4
线//面
面//面
线//线
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16.5二项式定理(1)
教学目标 初步掌握二项式定理及相关概念、公式。
教学重点与难点
二项式定理。 二项式定理的理解。
教学方法 温故知新，启发式讲授法，讲练结合法。
教学流程
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教学过程
一、复习提问
1.什么叫多项式？，分别叫几项式？[来源:21世纪教育网][来源:21世纪教育网]
2.＝？
二、引入课题
我们知道是三项式，是二项式.对于二项式，如，它的乘方有特殊的性质.例如＝＋2＋，＝，，…，展开后的多项式有一定的规律，今天我们就来学习它.
引入课题：二项式定理.
三、讲授新课
1.由具体例子分析、归纳出二项式定理.
大家知道＝＋2＋，
＝，所以乘积的结果也可以用下面的方法得到，即各项为从每个括号里任取一个字母的乘积，
两个括号里都不取，作积；
在两个括号里有一个取，作积；
两个括号里都取，作积.
因此，．
再看＝()，它的等号右边的积的展开式的每一项，是从每一个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是3次式，即展开式应有下面形式的各项： ，，，.在上面3个括号中：每个都不取的情况有1种，记为种，所以的系数是；恰有1个取的情况有种，所以的系数是；恰有2个取的情况有种，所以的系数是；3个都取的情况有1种，记为种，所以的系数是.
因此，
.
同样，，
一般地，对于任意正整数，上面的关系式也是成立的，即 21世纪教育网
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，它一共有项，其中各项的系数叫做二项式系数.式子中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：
.
在二项式定理中，如果设＝1，＝，则得到公式(公式可以直接利用)：
2．例题
例1 求的二项展开式.
分析：这里，直接代公式.
解：
例2 求的二项展开式的第6项.
解：
.
例3 求的二项展开式中的系数.
分析：用设未知数列方程的思想.
解：设第项含，则有
根据题意，得
，
解得＝3. 因此，的系数是.
例4 求的展开式的第4项的系数.
分析：的展开式第4项的二项式系数是，这里是求第4项的系数，而不是二项式第4项的系数，不能弄混.
解：
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所以展开式第4项的系数是280.
例5 计算的近似值(精确到0.001).
解： ＝ ＝1－5×0.003＋10×－…
根据题中精确度的要求，从第3项以后各项都可勿略不计，所以
≈1－5×0.003＝0.985.
四、课堂小结
(1)二项式定理：
.
(2)二项展开式的通项(注意：它是第项).
(3)二项式系数： 等组合数.
二项展开式某一项的系数是指该项的数字因数或相当数字因数.
探索与讨论（a+b）n的展开，引出二项式定理。
复习多项式有关概念
引导学生使用二项式定理解决一些基本问题
小结所学内容
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15.2多面体的直观图
一、教学内容分析
多面体的直观图是学习了多面体的概念以后，如何在平面上画出具有立体感的空间图形的直观图.课本在解决这个问题上分了两步，第一步举例说明平面多边形的水平放置图的画法（矩形和正六边形）；第二步，以三棱柱和三棱锥为例说明了棱柱和棱锥的直观图的作法，这样处理使得学生比较容易掌握画直观图的基本技能，也培养了学生的空间想象能力.在画矩形和三棱柱的直观图过程中，课本特别介绍了不同位置放置时，不同的直观图，要求学生掌握各种情况下画直观图，真正理解“斜二测”画直观图的本质.
二、教学目标设计
知道平行投影原理，会用“斜二测”方法画简单的几何体（长方体、正方体、三棱柱、棱锥）；掌握画空间图形的基本技能，培养空间想象能力.
三、教学重点及难点
掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，掌握正棱柱、正棱锥的直观图的画法.
四、教学用具准备
三角板、圆规、彩色粉笔
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、 情景引入
1．观察课本P25正方体的直观图，理解不同视角，所得不同图形.
2．引出斜二测作图法及其规定（课本P26 图15-8）.
[说明]在此要对平行透视的方法进行适当的介绍.
二、学习新课
1．斜二测作图法
（1）规定按图15-8所示的位置和夹角作三条轴分别表示铅垂方向、左右方向以及前后方向的轴，依次把它们叫做轴、轴、轴；
（2）规定在轴和轴方向上的线段的长度与其表示的真实长度相等，而在轴方向上，线段的长度是其表示的真实长度的二分之一.
2．例题分析
例1.画水平放置的边长为和的矩形的直观图.[来源:21世纪教育网]
画法：（1）在已知矩形OABC中，取OA所在的直线为x轴，取OC所在的直线为y轴，画对应的 轴， 轴，使 ．
（2）在轴上截取，在轴上截取，过点作 ,连 ，则 就是矩形OABC的直观图．
[说明]（1）原矩形的放置也可以是,那么直观图的图形也会随之变化.（可由学生操作）
（2）在作图过程中，主要体会“斜二测”作图过程中，原图中的点、线在直观图中如何寻求.[来源:21世纪教育网]
例2.画水平放置的边长为2cm的正六边形的直观图．（如图7）
画法：（1）在已知正六边形ABCDEF中，取对角线AD所在的直线为x轴，取对称轴GH为y轴．画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′=45°．
（2）在x′轴上截取O′A′=OA，截取O′D′=OD，对于不在x轴、y轴上的顶点B，C，E，F，都向x轴作垂线，它们的垂足为M，N．在x′轴上截取O′M′=OM，截取O′N′=ON，过M′，N′作与y′轴平行的直线，在这两直线上截取.
（3）连A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′F′，则所得的六边形就是正六边形ABCDEF的直观图．
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[说明] 在斜二测画法中，直观图仍保留了原图中三个主要的性质：
第一，保平行．在正六边形 ABCDEF中， AB∥FE∥BC， BE∥AF∥CD，FC∥ED∥AB，在直观图六边形A′B′C′D′E′F′中A′D′∥F′E′∥B′C′，B′E′∥A′F′∥C′D′，F′C′∥E′D′∥A′B′．
第二，保共点、共线．在正六边形ABCDEF中，A，O，D三点共线，B，O，E三点共线，C，O，F三点共线；AD，BE，CF三线共点．在直观图六边形A′B′C′D′E′F′中，A′，O′，D′三点共线，B′，O′，E′三点共线，C′，O′，F′三点共线；A′D′，B′E′，C′F′三线共点．
第三，保平行线段的比不变．在正六边形ABCDEF中，AD∶FE∶BC=2∶1∶1、BE∶AF∶CD=2∶1∶1，CF∶ED∶AB=2∶1∶1.在直观图六边形A′B′C′D′E′F′中，A′D′∶F′E′∶B′C′=2∶l∶l， B′E′∶A′F′∶C′D′=2∶l∶1， C′F′∶E′D′∶A′B′=2∶1∶l．
正因为有这“三保”，所以直观图的形状虽然有很大的变化，但我们仍能借助于直观图加上概念想象出原图的形状和性质．
例3.画正三棱柱的直观图，使它的底面是边长为的正三角形，高度是.
例4.画三棱锥的直观图，使它的底面是腰长为的等腰直角三角形，过直角顶点的侧棱长为，且垂直于底面.
[说明]（1）直棱柱的作图，是在平面正多边形的直观图的基础上，使它沿轴正方向平移相应的长度，然后联结各定点所得.所以关键还是在于掌握平面多边形的直观图作法.
（2）棱锥的作图，主要是顶点的位置，顶点在底面上的射影沿轴正方向平移相应长度就能得到顶点.21世纪教育网
3．问题拓展
例5.矩形的面积是，求用斜二测画法得到的直观图的面积.21世纪教育网
[说明] 由斜二测作法的线段比例关系以及角度的关系，我们可以得到多边形的直观图的面积是原图面积的倍.
三、巩固练习
1.在水平放置的平面上，作一个边长为的正三角形的直观图.
2.作正六棱柱的直观图，使它的底面边长为，高是.
四、课堂小结
（1）平面多边形的水平放置图的画法；
（2）直棱柱和棱锥的直观图的作法.
五、作业布置
1.在水平放置的平面上，作满足下列条件的等腰直角三角形ABC及其重心M：（1）一条直角边平行于轴
（2）斜边平行于轴.
2.作正五棱柱的直观图，使它的底面边长为，高是.
3．作正四棱锥的直观图，使它的高为，且底面边长为.
4．应用斜二测画法得到的正三角形的直观图的面积为，求原正三角形的边长.
七、教学设计说明
通过学习斜二测画法，学会画棱柱与棱锥的直观图，并理解其本质是本课时教学的主要内容.通过画平面图形的直观图，说明画多面体的直观图的基础还是平面图形的直观图，将问题细化.通过例1和例2，学会画平面图形中点和线，最终构成了直观图.例3和例4则把棱柱和棱锥的作法具体化，进而把本教学内容具体化，进一步培养学生的空间感觉.例5的选取，则是为了进一步说明斜二测作图过程中，线的长度和角度之间的关系.
练习巩固
小结方法
课堂总结
布置作业
叙述概念
分析例题
回答问题
引出新课
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16.2排列（1）
一、教学内容分析
排列自成体系，内容抽象，方法灵活多样.考查多以多以基础知识和基本技能、方法为主，准确适用公式是重点.
二、教学目标设计
1、理解排列的意义，掌握排列数公式；
2、能够运用乘法原理和排列数公式解决一些基本问题.
三、教学重点及难点
正确理解排列定义中的“一定顺序”；准确把握排列数和乘法原理之间的关系.
四、教学用具准备
多媒体设备
五、教学流程设计
课本问题导入→引入排列→引入排列数公式→排列数公式的应用→方法小结→作业
六、教学过程设计
一、 导入
课本P51实例：
问题1： “飞机票的种类”
问题2： “三位数的个数”
由问题1、问题2可总结：这两个问题涉及到的元素都有次序问题.这就是我们要讲的一个新概念：
二、排列
（1）排列的定义：课本P52
一般地，从n个不同元素中取出m个元素个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
[说明]如果两个排列相同，那么必须满足：
1、 元素完全相同；2、元素的排列次序相同.
（2）定义的应用：课本P52 例1~例2
[说明]树形图的应用可以避免写出所有排列时产生的遗漏.请同学利用这种方法完成课本P52 16.2(1)
三、排列数
（1）定义：从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.
阅读课本P53~P54,可以得到：
（2）排列数公式：;
规定：.
（3）公式的应用：课本P55 例3~例5
其中例5强调：在解关于的方程或不等式时要注意m,n的限制条件，即
练习：课本P56 16.2(2)21世纪教育网
四、应用
课本P56~P58例6~例10,其中：[来源:21世纪教育网]
例6~例7为公式的直接应用；
关于例8：
1、例8中的“2部电影”则是特殊元素，一般情况下我们遵循这样的原则：特殊元素优先考虑.课本中的解答就是按照这个原则进行的，这种方法叫做“直接法”；
2、例8也可以从另一个角度来考虑，即：
先把这12部电影作全排列，再减去把2部电影在同一天放映的情况.
即
注：“”的解释：
“2”即从2天中任选1天的方法；
“”即从选定1天的6个空格中任选2个填入片名；
“”即把其余10部电影的片名在剩下的10个空格中任意填写.
这种方法叫做“间接法”21世纪教育网[来源:21世纪教育网]
关于例9：
1、分析中的“把3本数学书和2本外语书分别看成1本书”，这样的方法叫做“捆绑法”；
2、例9的改编：
8本各不相同的教科书排成一排放在书架上，其中数学书3本，如果3本数学书要互不相邻，那么有多少种不同的排列法？
分析：第1步，除去3本数学书，还有5本教科书，先把这5本作全排列；
第2步，这5本教科书形成了6个间隔，如果把3本数学书插入间隔中，就符合了“教科书”互不相邻的要求.
解：根据乘法原理，有种不同的方法.
[说明]这种方法我们把它形象地称为“插空法”.
关于例10：
1、（1）中有一个特殊位置，即“百位数不能为0”，而（2）中有两个特殊位置，即“百位数不能为0，个位数必须是3”；21世纪教育网
2、本题解答采用了“直接法”，我们可以用“间接法”解答如下：
；
五、小结
1、知识点小结：排列的定义，排列数公式；
2、方法小结： 直接法，间接法，捆绑法，插空法.
六、作业
习题册相应部分
七、教学设计说明
本教学设计体现了南模大容量，快节奏的教学特点.但教学目标可以得到较好落实.
（1） 本节课立足课本，着眼于基础知识和基本方法的落实；
（2） 经过高中两年的学习，学生已经具备了相当的阅读理解能力，所以教师不必在知识点上面面俱到，引导学生通过阅读掌握知识点的主线即可
（3） 在应用部分，充分利用了课本上例题，实现了一题多解，并适当作了有目的的改变，实现了基本方法的全覆盖，并对方法作了高度概括；
（4） 对于一般学校，该教学设计可分成2课时，即：知识点一节，应用一节.
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第二节 旋转体的概念和性质
1． 旋转体
定义：一条平面曲线（包括直线）绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫旋转面。这线叫旋转轴。无论旋转到什麽位置这条曲线叫旋转面的母线。封闭的旋转面围成的几何体叫旋转体。旋转面的轴叫旋转体的轴。
2． 几种常见的旋转体
定义：矩形绕一边旋转一周所围成的几何体叫圆柱。
绕一直角边旋转一周所围成的几何体叫圆锥。
直角梯形绕垂直于底边的腰旋转一周所围成的几何体叫圆台
圆绕它的直径旋转一周所围成的几何体叫球。
注意：（1）垂直于轴的线段绕轴旋转一周形成圆面。
（2）与轴相交的直线绕轴旋转一周形成圆锥面。21世纪教育网
（3）与轴平行的直线绕轴旋转一周形成圆柱面。
（4）不平行也不相交的线段绕轴旋转一周形成圆台面。
折线旋转形成 上锥、下台
2．性质
圆 柱 圆 锥 圆 台 球
底 面 平行且全等的圆 圆 面 相似的两个圆面
轴 线 过底面圆心且垂直底面 过顶点和底面圆心垂直于底面 过上下底面圆心且垂直底面 过球心
母 线 平行且相等且垂直于底面[来源:21世纪教育网] 相交于一点 延长线交于一点 大圆(过球心)小圆(不过球心
轴 截 面 全等的矩形,两边是母线,另两边是两底直径 全等的等腰三角形 全等的等腰梯 大圆
平行于底面的截面 全等的圆与底面相等 相似的圆（比例关系） 圆 球心和截面圆圆心连线垂直截面
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
三、体中各元素间的关系
上述个体中各元素间的关系是通过三角形、矩形、梯形、圆、扇形等来体现的。这些关系是求体积、表面积及其它有关问题的有力依据。
1．正n棱柱 （n3）
侧面展开图
h=l=
[来源:21世纪教育网]
三个矩形：ABB1A1 ，AOO1A1 ，GOO1G1
两个直角三角形：RtΔO1A1G1 ≌RtΔOAG
， ，
2．正n棱锥
侧面展开图
四个直角三角形：；
（1）RtΔVOA （2）RtΔVOF
（3）RtΔVAF （4）RtΔOAF
3．正n棱台
三个直角梯形：
(1)梯形OO1A1B
(2)梯形OO1E1E
(3)梯形EE1B1B
两个相似三角形：RtΔOBE ∽ RtΔO1B1E1
；；=；=
4．圆柱
矩形OO1BA h=l
矩形ABCD AD=BC=2πr BD=
S圆柱侧=S矩ABCD=2πrl
BD是从B绕圆柱侧面一周到A的最短距离
21世纪教育网
5．圆锥： 一个三角形及一个扇形
RtΔOPA中
扇形中 =C=2πr ；θ= ；=2lsin
为从A出发绕圆锥侧面一周再回到A的最短距离
S圆锥侧=S扇=πrl=cl
6．圆台： 一个梯形及一个扇环。（可恢复成锥）
直角梯形中
扇环中 =2π=C ；=2πr =C ；θ=
S圆台侧=S扇环=π（r+）l=（c+）l
为从绕圆台一周到A的最近距离。
证明：∵ 由比例性质
∴ ∴θ=
7．球： 两个直角三角形
RtΔABC中 =（R+d）（R-d）
=2R（R+d）
=2R（R-d）
+==4
RtΔAO1O中 =+
四、表面积和体积公式
1． 球冠定义：球面被平面所截得的一部分叫做球冠，球冠也可以看作一段圆弧绕经过它的一个端点直径旋转所成的曲面。
S球冠 = 2πRh（舍）21世纪教育网
2． 球缺定义：一个球被平面剪下的一部分叫做球缺。
V球缺 = πh2（3R-h）（舍）
h：球缺的高； R：球的半径。
正棱台侧面积公式 S正棱台侧 = （c+）
c= =0
S正棱柱侧 = c S正棱锥侧 = c
圆台侧面积公式 S圆台侧 = （c+）l=π（R+r）l
c=（r=R） =0（r=0）
S圆柱侧 = cl = 2πRl S圆锥侧 = ch=πRl
台体的体积公式 V台 = h（s++）
s= =0
V柱 = sh V锥 = sh
圆台的体积公式 V圆台 = πh（r2+2+r）
r= =0
V圆柱 = πr2h V圆锥 = πr2h
球冠表面积：S球冠 = 2πRh h=2R S球 = 4πR2
球缺体积：V球缺 = πh2（3R-h） h=2R V球 = πR3 = πd3
五、球面距离
在球面上两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫两点间球面距离。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
O
O
O
O1
O1
A1
A1
V
A
A
A
r
d
G
A
B
C
h
B1
G1
A1
O1
O
l
F
A
B
r
d
E
O
C
D
V
h
l
l
D
C1
A1
D1
C
B
A
a
d
r
E
h
l
B1
E1
O
O11
A
D
C
B
l
h
O1
O
r
侧面展开图
2πr
红色为轴截面
θ
P
B
A
O
r
h
l
M
侧面展开图
红色为轴截面
O
A
r
h
l
侧面展开图
B
θ
红色为轴截面
O
P
Q
O
A
B
K
40°
经度
纬度
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14．2 （2）异面直线
一、教学内容分析
在空间两条直线的平行位置关系后，要求学生学习、掌握第三种空间直线的位置关系——异面.这是一个空间内的新概念，要求学生全面、深入了解异面直线，并与相交、平行的位置关系进行区别学习.并应用等角定理，确定异面直线所成角.应用公理四、余弦定理、直角三角形计算异面直线所成角大小.
二、教学目标设计
从两个角度学习异面直线的概念：一、相交、平行、异面；二、共面、异面.设置问题，进行问题教学，引导学生思考——探索——得出结论.会判断、会画出空间内任意两条异面直线.复习反证法，学习用反证法证明两条异面直线.应用等角定理，确定异面直线所成角，利用直线平行计算异面直线所成角大小.
三、教学重点及难点
重点：异面直线定义、异面直线所成角.
难点：反证法、计算异面直线所成角.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、引入课题
提问：空间中两直线的位置关系：有平行、相交.除此以外，还有其他位置关系吗？请同学列举.（激发学生空间想象能力）
二、讲授新课
（1） 异面直线
1、定义：把不能置于同一平面的两条直线，称为异面直线.
2、与平行直线、相交直线的区别：
相交直线：在同一平面内，有且只有一个交点.
平行直线：在同一平面内，没有公共点.
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
3、异面直线的画法：
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过渡：用两张图例说明，分别在两个平面内的直线，并不一定是异面直线.
4、异面直线的判定 ：不平行、不相交的直线.
5、空间直线的位置关系
（2） 证明异面直线
复习：反证法：假设否定的结论，从假设出发，引出矛盾——与条件矛盾，或者与已知的公理、定理矛盾.
复习例题：l上有且只有一点，求证：
证明：假设l上所有的点都属于，
与已知：l上有且只有一点矛盾.
通过例题学习如何证明异面直线.（详见例3 ）
（三）异面直线所成角
1、异面直线a与b所成的角：在空间内任取一点P，过P 分别作a和b的平行线,则所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角.
问题1: 理论依据—等角定理.
问题2：为什么规定异面直线所成角只是锐角或直角？
答：因为两条相交直线交出四个角，只要知道其中一个，就可以知道其他所有的角，因此我们只研究其中较简单的锐角或直角.
2、异面直线所成角范围
（四）例题分析
例1 两条异面直线指的是（ D ）
（A）空间不相交的两条直线
（B）分别位于两个不同平面上的两条直线
（C）某平面上的一条直线和这个平面外的一条直线
（D）不能同在一个平面上的直线
[例题解析]：异面直线概念掌握
例2 若a、b是两条异面直线，且分别在平面内，若，则直线l必定（ B ）
A．分别与a、b相交； B. 至少与a、b之一相交；
C. 与a、b都不相交； D. 至多与a、b之一相交.
[例题解析]：异面直线的概念掌握.
例3 书第10页例2：直线l与平面相交于点A，直线m在平面上，且不经过点A，求证：直线l与m是异面直线.
证明：书第10页
[例题解析]学习用反证法证明异面直线.
例4（1）正方体中，哪些棱所在直线与直线成异面直线？
答：共有6条棱.
（2）如图所示，空间四边形ABCD 中，H、F 是AD边上的点，G、E是BC边上的点.
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与AB 成异面直线的线段有：HG、EF、CD
与CD 成异面直线的线段有：AB、HG、EF
与EF 成异面直线的线段有：HG、AB、EF、CD
[例题解析]：在空间中能确定异面直线.
例5 书第11页例3（详见书第11页）
[例题解析]求异面直线所成角大小和解题规范格式.
（四）、问题拓展
1、空间内两直线所成角范围 21世纪教育网
当空间两直线所成角为直角时，
当空间两直线所成角为零角时，若，则
若，则
2、异面垂直
(1)定义:如果两条异面直线所成的角是直角,则这两条异面直线互相垂直
(2)记法:异面直线a,b互相垂直,记为a⊥b
(3)分类:
3、异面直线所成角例题
例6在长方体中，AB=5，BC=4，=3.
（1）所成角大小.
（2）所成角大小；
（3）所成角大小.
解：（1）
为异面直线所成角，
在中，，
，
异面直线所成角大小为.
（2），为异面直线所成角，21世纪教育网
在中，，
,
，
异面直线所成角大小为
（3），设 相交于O，
为异面直线所成角（或其补角）
在中，
利用余弦定理，
异面直线所成角大小为
例7 在空间四边形ABCD中，AB=CD=6，M、N分别是对角线AC、BD的中点且MN=5，求异面直线AB、CD所成角大小.
解：取AD中点，
在中，
在中，
为异面直线AB、CD所成角（或其补角）
在中，，
利用余弦定理，
异面直线所成角大小为
[说明]在空间四边形中，求解异面直线所成角是一种典型问题.
三、巩固练习
练习14.2（2）：1、2、3
四、课堂小结
1．异面直线定义.
2．空间直线与直线的位置关系
3．异面直线所成角定义、范围
4．求解异面直线所成角大小
(1)平移作角
(2)证(说)角
(3)平面图形中求角
五、课后作业
练习册相关习题
补充作业：
1．如果a,b是异面直线，b,c也是异面直线，则a,c的位置关系是（ ）.
A．异面； B.相交或平行； C.异面或平行； D.相交，平行，异面都有可能.
2．若直线a,b都垂直于直线c，则a,b的位置关系是（ ）
A．平行； B.相交或平行； C.异面或平行； D.相交，平行，异面都有可能.
3．长方体中，AB=2AD=3.求异面直线所成角大小.
21世纪教育网
4．长方体中，AB=4，AD=3，，求异面直线所成角大小.
5． 在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点.AB=CD=2， ，求AB 与CD 所成角的大小.
6．如图，三棱锥P-ABC三条棱PC、AC、BC两两垂直，E为线段AB的中点，，，当t变化时，
求异面直线PB与CE所成角的取值范围.
六、教学设计说明
1、对教材的研究认识：
异面直线所成角是第一个立体几何中涉及计算方面的问题，对于学生的计算能力和空间求解能力，都提出了相当高的要求.首先要让学生从平面几何的角度向立体几何的内容有一个飞跃——空间两条直线存在异面这种位置关系.不同于相交和平行，要让学生十分熟悉这种位置.从图形、概念理解上都对此有深层次掌握.其次要让学生明确本小结的内容关键——空间中两条直线的位置关系：平行、相交、异面.对于垂直——这种特殊的情况，进行特殊讲解.但强调、重视.最后对于异面直线所成角的内容和求解过程进行全面、完善的教授.让学生认清、区分有关角的概念.
2、课堂教学模式的设置：
主动探究仍然是教学的辅助方法.这节课中讲授法是主要方法，因为求解过程、解题步骤都应传授到位.当然在这个过程，可以设置问题情境，让学生发现问题，积极解决问题.比如：所求角是钝角与异面直线所成角不能是钝角时的矛盾.发挥同学空间想象能力，猜测新的位置关系，但是最后清晰的结论，要一致地推导，而且要明白无误地告知同学.所以讲授法委主要方法.
3、课堂练习题的说明：
首先通过选择题，让学生全面、多角度了解异面直线的概念.然后在基本图形中，确定成异面位置关系的直线，加深对概念的把握和理解.主要题型还是求解异面直线，通过正方体——长方体——空间四边形的图形改变.还有一般棱——对角线——中点等层层递进，加大这种类型题目的难度.让学生对层次思考，多种方法的应用.巩固、加强自己的数学知识掌握能力和应用分解能力.
学会求解异面直线所成角大小问题.
异面直线概念、确定异面直线、作异面直线图
引入新课：空间中两条直线的位置新关系——异面
学习、掌握反证法，会用证明异面直线
学习异面直线所成角相关概念.
课堂总结、布置作业
α
a
α
a
α
a
b
β
b
b
β
a
α
b
b
β
a
α
A
B
C
D
E
H
G
F
C
C
C
C
D
C
B
A
A
B
B
D
C
B
A
A
B
B
D
C
B
A
A
B
C
D
E
F
E
C
P
B
A
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多面体概念、性质及其应用
[复习重点]：系统梳理落实多面体的有关概念、性质以及运用概念性质分析处理以多面体为依托的立体几何基本问题的基本方法。
[复习难点]：面积、体积计算中角度、方位的转换；“等体积法”、“割补法”的灵活运用；锥、台关系及截面问题的分析处理。
[范例分析]：
例1．过正方体的每三个顶点都可以确定一个平面，其中能与这个正方体的12条棱所成角都相等的不同平面有几个？
分析：由正方体的概性，12条棱中可分为3组，每组的四条棱互相平行，要找出与12条棱成角都相等的平面，只需找出与共点的三条棱成角的平面即可。
解：（法一）正方体的每个顶点和所在面的面对角线对应一个正三棱锥，如A点对应正三棱锥A-A1BD。这个正三棱锥的底面A1BD是合条件平面，8个顶点对应8个平面，即满足题设要求的平面有8个。
（法二）正方体8个顶点，每三点可以确定一个平面，共 =56个，其中6个对角面中每三点所确定的平面与每个表面中每三个点所确定的平面均不符合条件，因此合条件的平面的个数是：
-6· =8（个）
[评注]：理解多面体的概念，是指不仅要知道这些概念，还应能灵活地运用这些概念所蕴含的性质正确推理，尤其是正方体，三棱锥的有关概性应更为关注。如本题关键的展开就在于运用正方体的性质把研究与12条棱或等角的问题简化为只研究与共点的三条棱成等角的问题。
例2．如图，三棱锥P-ABC中，PA=a, AB=AC=2a, ∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°, 求这个三棱锥的体积。
分析：由AB=AC，∠BAC=60°→ΔABC为正三角形，由∠PAB=∠PBC，点P在面ABC上的射影必在∠BAC的角平分线上。
解（法一）（直接用公式）：
作BC中点D，连结AD，PD；过P作PO⊥平面ABC于O，
∵∠PAB=∠PAC，AB=AC，∴ΔPAB≌ΔPAC，AD⊥BC，
∴ PB=PC， ∴PD⊥BC，∴ BC⊥平面PAD， ∴平面ABC⊥平面PAD，
∴ O点必在AD上，过O作OE⊥AB于E，连结PE，则PE⊥AB，
在RtΔPAE中，∠PAE=60°，PA=a，
∴ PE= a, AE= , OE=AE·tan30°,
在RtΔPOE中，PO= = a, 又易知SΔABC= a2,
∴ VP-ABC= ·SΔABC·PO= a3。
解（法二）（利用等积转换法）：
在ΔPAB中，PA=a, AB=2a, ∠PAB=60°,
∴ PB2=a2+(2a)2-2·a·(2a)·cos60°=3a2,
∴ ΔPAB是直角三角形，PA⊥PB，同理可证PA⊥PC，又PB∩PC=P，
∴ PA⊥平面PBC，
在ΔPBC中，PB=PC= a, BC=2a, ∴SΔPBC= a2,
∴ VP-ABC=VA-PBC= ·SΔPBC·PA= a3。
解 （法三）（用分割求积法解）：
由法一，BC⊥平面PAD，
∴ VP-ABC=VB-PAD+VC-PAD=2·VB-PAD= ·SΔPAD·BD= a3。
解（法四）（用补形法求解）：
延长AP到Q，使PQ=a, 连结QB，QC，可得到一个棱长为2a的正四面体，
∴ VP-ABC= VQ-ABC= · (2a)3= a3。
[评注]：10 形如这样 的图形，（三线共点两两成等角），其分析处理应熟练，因正棱锥，正棱台的局部就是这样的图形，此题法1中还可如右图示处理，证明AO平分∠BAC，它正是正棱锥性质中所说的四个RtΔ。
20 割补法、与三棱锥视角的转换是体积计算中的基本方法，要注意掌握运用。
例3．已知正三棱台上、下底面面积分别为S1和S(S1 解（法一）（直接用公式求解）：
如图，设正三棱台ABC-A1B1C1中，O1，O为上下底面中心，D1，D分别为B1C1，BC边的中点，
连结A1D1，D1D，AD，则D1D是斜高，
∠D1DO为侧面B1BCC1和底面ABC所成二面角的平面角，∴∠D1DO=θ，
再连结OO1,则在直角梯形O1ODD1中，O1D1= B1C1，OD= BC，
∴ D1D= ，
∴ S侧= ·3·(BC+B1C1)·D1D= ·(BC2-B1C12)
∵ S1= B1C12, S= BC2, ∴ BC2-B1C12= (S-S1)
∴ S侧= · (S-S1)= 。
解（法二）（用还台为锥法求解）：
分别延长AA1，BB1，CC1相交于P，把正三棱台还原为正三棱锥，
连结OA，OB，OC，O1A1，O1B1，O1C1，
由射影面积公式，有SΔPAB= ，SΔPBC= ，SΔPAC= ，
将上面三式相加，得SP-ABC侧=
同理可得： ，
∴ S正三棱台侧=SP-ABC侧- = 。
[评注]：10 对一些常见多面体的性质应熟记活用。
20 对射影面积公式虽未见诸国家统编教材形成定理，但还是应知道会用，（如2001年高考第11题）。本题所得结论S正棱台侧=S-S1/cosθ，适用于任何正棱台，当S1=0时，则正棱台变为正棱锥，∴ S正棱锥侧=S底/cosθ。
[例4]：长方体一个顶点上三条棱的长分别为a,b,c (a,b,c两两不等），一条对角线为AB，长方体的表面上A，B两点间的最短路程为 ，则a,b,c的大小关系是___________。
分析：长方体表面上A、B两点间的最短路程？ 侧面展开图上的直线段长；展开？怎样展开？有几种不同的展开方式？
解：在长方体表面上从A到B的最短路途，由于长方体的对称性，可从以下三种实现方式中比较获得：
（1）AB＇1= （2）AB＇2= （3）AB＇3=
由已知是短路程为第（2）种情况下获得：
∴ AB＇1>AB＇2且AB＇3>AB＇2,
而AB＇1与AB＇3则大小关系不定，
∴ 可知a,b,c的关系为：2ac>2bc且2ab>2bc，2bc与2ab不定。
即a>b且a>c，b,c关系不定。
[评注]：多面体的侧面展开图是研究多面体表面积的基础，也是化空间问题为平面问题的基本方法，是研究多面体有关问题必备的一种思路。其关键是掌握好空间图形的各元素在展开前与展开后各自相应的关系（包括位置关系和数量关系）。
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测试
选择题
1．如图，在四面体P-ABC中，PC⊥AB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点，则EF等于（ ）
A、1 B、 C、 D、
2．已知三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P是侧棱B1B上一点，则四棱锥P-ACC1A1的体积为（ ）
A、 B、 C、 D、
3．三棱锥的侧面两两互相垂直，且所有棱长之和为3+ ，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A、 B、 C、 D、
4．正三棱锥P-ABC的底面边长为a，过底边AB垂直于侧棱PC的截面交PC于D，截面DAB与底面所成角为θ，则截面以下部分的体积是（ ）
A、 B、 C、 D、
5．如 图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P、Q分别为AA1、CC1上的点，而且满足AP=C1Q，则四棱锥B-APQC的体积是（ ）
A、 V B、 V C、 V D、 V [来源:21世纪教育网]
6．已知正四棱台的上、下底面面积分别是S、Q，则它们的中截面把棱台的侧面分成两部分的侧面面积之比为（ ）。
A、 B、 C、 D、
7．已知圆锥的母线长为l，底面半径为R，如果过圆锥顶点的截面面积的最大值是 l2，则（ ）
A、 B、 C、 D、
8．若一球外切圆锥的高是这个球直径的2倍，则圆锥的全面积和球表面积之比是（ ）
A、2∶1 B、3∶1 C、3∶2 D、9∶4
9．球与圆台的上、下底面及母线都相切，且球面面积与圆台侧面面积之比为3∶4，则球的体积与圆台体积之比是（）
A、3∶4 B、7∶9 C、5∶14 D、6∶13
10．半径为1的球面上有A、B、C三点，已知A和B，A和C之间的球面距离均是 ，B和C之间的球面距离是 ，则过A、B、C三点的截面到球心的距离是（ ）
A、 B、 C、 D、 [来源:21世纪教育网]
答案与解析
答案：1、B 2、C 3、D 4、C 5、B 6、B 7、C 8、A 9、D 10、C
解析：
1．取PB中点M，连结EM，MF，则ME=MF=1，且ME⊥MF。
2．把2个完全相同的三棱柱放在一起，构成一个四棱柱ABDC-A1B1D1C1，
则 。
3．设三条侧棱长x,y, z，则
3=x+y+z+ ≥3
≥3 =3 ，
而体积V= xyz的最大值易求。
4．取AB中点M，连结DM，CM，则∠DMC=θ，并且ΔMCD为RtΔ，V= ·SΔABD·CD，易求。
5．取特殊点，P，Q为所在棱中点，结合上面第2题求解即可。
6．取特殊值，如果S=Q，则应为1∶1，舍去D。如果S=0(变成棱锥)，比为1∶3，代入验证，
答案为B，注意：千万不要去计算，做选择题之大忌。
7．因为 l2= l2·sin90°，所以圆锥轴截面顶角大于等于90°，据此求解即可。 8．画出轴截面图。设球半径R，则SO1=3R，并且OB=BM，设OB=r，在RT△SO1M和RT△SOB中列方程可解出。
9．画出轴截面，设圆台以上，下底半径r,R，则母线长为r+R，用r,R表示出球的半径，再表示出表面积和体积即可。
注意8，9这种组合体问题都要画出轴截面图。
10．把OABC拿出来，则OA⊥面BOC，∠BOC= ，要求的即O到面ABC的距离，根据体积相等求距离即可。
空间图形的分解与组合21世纪教育网
空间想象力是高考要求的能力之一，它也是对空间图形进行处理所必备的能力。其中一种表现方式就是在头脑中能对空间图形进行分解与组合。即把复杂图形分解为简单图形；把简单图形合成复杂图形；把空间图形拆成平面图形，把平面图形合成空间图形。在解决一些较复杂的立体几何问题时，就比较突出的表现出这种处理图形的能力。下面通过两个例题进行说明。
例1．已知三棱锥S-ABC，∠ABC=90°，AB=BC，且SA=SB=SC=m,问二面角A-SB-C多大时，其体积最大。
解：∵ SA=SB=SC，∴ 顶点S在底面的射影O是ΔABC的外心，
又ΔABC是等腰直角三角形，O是AC中点，作AH⊥SB，H是垂足，连CH，
∵ ΔSAB≌ΔSBC，∴ CH⊥SB，SB⊥平面AHC，
∠AHC是二面角A-SB-C的平面角，设∠AHC=θ，
设AB=BC=2a, 则AC=2 a,
在RtΔAHO中，AH= ，OH= a·cot2θ，
在ΔSAB中，SD= ，又AH×SB=AB×SD，
∴ ×m=2a× ，得2a2=(2-csc2 )m2=(1-cot2 )m2
又VS-ABC=VS-AHC+VB-AHC= SΔAHC·SH+ SΔAHC·BH= SΔAHC·SB，
其中SΔAHC= ×AC×OH=2a2cot =m2(1-cot2 )·cot
V= m3(1-cot2 )·cot
∴ V2= m6(1-cot2 )2cot2
= m6(1-cot2 )(1-cot2 )·2cot2
≤ m6·[ ]3= m6,
当且仅当1-cot2 =2cot2 ，即cot = , θ=120°时，等号成立。
故当二面角A-SB-C为120°时，三棱锥的体积最大。
评述：考虑到要建立V与θ的函数关系式，更容易的表达出V和找出θ,本题是把三棱锥分割成两个小三棱锥，利用“两个小三棱锥体积之和等于原三棱锥的体积”。实际上是把待处理问题的关键结构重新搭配，在新的关系结构中，寻求解决问题的途径。增加了ΔAHC面积这样一个内容，出现了二面角的平面角θ→面积SΔAHC→体积V的新关系，建立了V与θ的函数关系式。
当我们认为所给问题的关系结构不适合解决问题时，那就予以分解，重新组合，使之化为我们能解决的问题。这也是一种化归的思想方法。
例2．正三棱柱ABC-A1B1C1，E是BB1的中点。
（1）求证：平面A1EC⊥平面AC1；
（2）若AA1=AB=a，求CE与AC1面所成的角；
（3）在（2）的条件下，求平面A1EC与平面A1B1C1所成的二面角及CE与平面A1B1C1所成的角。
解：（1）设D是AC中点，F是A1C中点，连结BD，EF和DF，
∴ DF DF BE,
∴ 四边形DFEB是平行四边形，EF BD，
∵ 三棱柱是正三棱柱，∴ BD⊥AC，又平面ABC⊥平面AC1，
∴ BD⊥平面AC1，∴ EF⊥平面AC1， EF 平面A1EC，
∴ 平面A1EC⊥平面AC1。
（2）由（1）知，EF⊥平面AC1，
∴ AC1是CE在平面AC1的射影，∠ECA1是CE与平面AC1所成的角，
在RtΔEFC中，EF=BD= a，FC= A1C= a，tan∠ECA1= ,
即直线CE与平面AC1所成的角为arctan 。
（3）延长CE和C1B1交于G，连结A1G，则A1G是平面A1EC与平面A1B1C1的交线，
∵ BB1//CC1， EB1= BB1= CC1，∴ GB1=B1C1，
在ΔA1GC1中，A1B1=B1C1=GB1，
∴ ∠B1A1C1=60°，∠GA1B1=30°， ∴ ∠GA1C1=90°，
∵ CC1⊥平面A1B1C1，A1C1是A1C在平面A1B1C1的射影，GC1是CE在平面A1B1C1的射影，
又A1C1⊥A1G，由三垂线定理得A1C⊥A1G，
∴ ∠CA1C1是二面角C-A1G-C1的平面角，∠CGC1是CE与平面A1B1C1所成的角，
在RtΔA1C1C中，A1C1=CC1，∴ ∠CA1C1=45°，
在RtΔGC1C中，CC1=a, GC1=2B1C1=2a, ∴ tan∠CGC1= .
即平面A1EC与平面A1B1C1所成的二面角是45°；CE与平面A1B1C1所成的角为arctan 。
评述：本题在证明过程中要添加较多的辅助线，特别是截面与底面所成的二面角的棱未在图中出现。需要添加辅助线面找到两个面的交线。当用平面的性质找到棱A1G时，可以发现，本题的综合图形中包含一个常见的各面都是直角三角形的四面体，可以称为基本图形(如图所示）。由于此基本图形可以涉及到立体几何中许多重要的概念与定理，如异面直线和射影概念；三垂线定理；直线与平面，平面与平面的平行与垂直的概念和定理；各种角和距离的概念与计算等。因此如掌握这个基本图形，对解题会有很大帮助。“综合图形基本化”是解综合题的一个策赂，在解题时分析、观察，如果发现上述情况可以归为基本图形去解决。
高考中的立体几何综合题。主要考察的是空间想象能力。强调的是对图形的认识、理解和应用。要求即会用图形表现空间形体，又会由图形想象出直观的形象。既会观察、分析各种几何要素(点、线、面、体)的相互位置关系，又会对图形进行变换和综合，即对图形进行分解——分割，组合——拼补，变形——转换、位移或不同视角观察图形。
另外，高考试题中的图形，所涉及的线面、面面位置关系大多不是习惯所见的标准位置(如图中只有少数面是水平放置)。因此正确认识非标准位置的图形，成为空间想象能力的一个组成部分，也是高考的重点之一。因而在观察想象空间图形时，要善于排除无关因素的干扰(如一些遮挡的线、面)，抓住主体，正确作出判断。
高考真题
1．设命题甲：“直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ACB1与对角面BB1D1D1垂直”；命题乙：
“直四棱柱ABCD-A1B1C1D1是正方体”。那么，甲是乙的（ ）。
A、充分必要条件 B、充分非必要条件
C、必要非充分条件 D、既非充分又非必要条件
解：∵ 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1 面ACB1⊥面BB1D1D
而正方体ABCD-A1B1C1D1 面ACB1⊥面BB1D1D，
∴ 甲是乙的必要非充分条件
∴ 应选C。
2．如图，在 直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_____时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）。
解：应填“AC⊥BD”或任何能推导出这个条件的其他条件，例如ABCD是正方形或菱形等。
∵ A1A⊥底面ABCD，AC是A1C在底面ABCD的射影，
若AC⊥BD，则根据三垂线定理有A1C⊥BD，
又B1D1//BD A1C⊥B1D1。
∴ 应该填“AC⊥BD”。
3．如图1所示，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90°,AD=DC= AB=a，将ΔADC沿AC折起，使D到D＇。记面ACD＇为α，面ABC为β，面BCD＇为γ。
（1）若二面角α-AC-β为直二面角（如图2），求二面角β-BC-γ的大小；
（2）若二面角α-AC-β为60°, （如图3），求三棱锥D＇-ABC的体积。
分析：本题主要考察直线、平面的位置关系、空间想像能力、逻辑推理能力和运算能力
解：（1）∵AC= a, BC= a, AB=2a,
∴ AB2=AC2+BC2, ∴ AC⊥BC。
又α⊥β，BC b，α∩β=AC，∴ BC⊥α，∴ BC⊥CD＇，
得∠ACD＇是二面角β-BC-γ的平面角。
∵ ΔAD＇C是等腰直角三角形，∴ ∠ACD＇=45°，
∴ 二面角 β-BC-γ的大小为45°（如图4）
（2）设E是AC的中点，连D＇E，∵ D＇A=D＇C，∴ D＇E⊥AC，
作D＇H⊥α，垂足为H，连EH，则EH⊥AC，
∴ ∠D＇EH是二面角α-AC-β的平面角，∠D＇EH=60°，
D＇H=D＇EsinD＇EH= a· = a，
SABC= AC·BC= · a· a=a2,
∴ VD＇-ABC= SABC·D＇H= a3。
4．如 图所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2 ，且
AA1⊥A1C，AA1=A1C。
（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；
（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；
（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离。
分析：本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能 力，空间想象能力及运算能力。
解：（1）如图，作A1D⊥AC，垂足为D，
由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC，
∴ ∠A1AD为A1A与面ABC所成的角，
∵ AA1⊥A1C，AA1=A1C， ∴ ∠A1AD=45°为所求。
（2）作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB，
∴ ∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角。
由已知，AB⊥BC，得ED//BC，又D是AC的中点，BC=2，AC=2 ，
∴ DE=1，AD=A1D= ，tan∠A1ED= ，
故∠A1ED=60°为所求。
（3）由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离，
连结HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB，又A1E⊥AB，知HB//A1E，且BC//DE，
∴ ∠HBC=∠A1ED=60°，
∴ CH=BCsin60°= 为所求。（注：也可用体积相等来求）
5．如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD= 。
（I）求四棱锥S-ABCD的体积；
（II）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。
解：（I）直角梯形ABCD的面积是M底面= (BC+AD)·AB= ×1=
∴ 四棱锥S-ABCD的体积是V= ×SA×M底面= ×1× = 。
（II）延 长BA，CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱，
∵ AD//BC，BC=2AD，∴ EA=AB=SA，∴ SE⊥SB，
∵ SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线，
又BC⊥EB，∴ BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，
∴ CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角，
∵ SB= = ，BC=1，BC⊥SB，
∴ tan∠BSC= , 即所求二面角的正切值为 。
6．已 知VC是 所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且在 的高CD上， 之间的距离为 ，
（Ⅰ）证明∠MDC是二面角M–AB–C的平面角；
（Ⅱ）当∠MDC=∠CVN时，证明VC ；
（Ⅲ）若∠MDC=∠CVN= ，求四面体MABC的体积。
分析：本小题主要考查线面关系的基本概念，考查运用直线与直线、直线与平面的基本性质进行计算和证明的能力．
（Ⅰ）证明：由已知， ，
∴ ，∴ ，
又V、M、N、D都在VNC所在平面内，
所以，DM与VN必相交，且，
∴ ∠MDC为二面角的平面角。
（Ⅱ）证明：由已知，∠MDC=∠CVN，在中，∠NCV=∠MCD，
又∵ ∠VNC=，∴ ∠DMC=∠VNC=．
故有，∴ 。
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）、（Ⅱ），
，
∴ ，又∵ ∠，在 中， ，
．
仔细分析这几个高考题可以把握高考在这方面的要求和高考题的难度。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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14.3（1）空间直线和平面的位置关系
一、教学内容分析
空间直线和平面的位置关系及其表示法是空间几何的语言基础，也是进行空间几何研究的起点.
14.3空间直线和平面的位置关系（1）是在学习了空间直线和直线的位置关系之后,进一步探索空间直线和平面的特殊位置关系之一 —— 直线和平面垂直.[来源:21世纪教育网]
课本通过观察旗杆是否直立在地面上的问题,要求学生能理解空间直线和平面垂直的含义及其表示法，归纳出空间直线和平面垂直的定理.
通过图14-18，要求学生会用文字语言、图形语言、符号语言表述这种位置关系.
通过图14-1的长方体，要求能运用空间直线和平面垂直的定义及定理进行简单的推理，体会出几何推理证明的思考方法，基本规则和严谨性,
通过例1，要求学生能理解异面直线间的距离、点和平面的距离的概念，知道直线和平面的距离、平面和平面的距离的含义及其与点和平面的距离的转化关系，会在简单图形中进行有关距离的确定与计算.
空间直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是点、直线、平面和平面之间的距离以及直线和平面所成的角等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一.
二、教学目标设计
在通过观察和实验，探索直线和平面垂直的位置关系的过程中，理解空间直线和平面垂直的含义，会用文字语言、图形语言、符号语言表述这种位置关系，理解空间直线和平面垂直的定义及定理，体会几何推理证明的思考方法，基本规则和严谨性，发展空间想象力和逻辑思维能力，理解异面直线间的距离、点和平面的距离的概念，知道直线和平面的距离、平面和平面的距离的含义及其与点和平面的距离的转化关系，体会化归和转化的数学思想方法.
三、教学重点及难点
空间直线和平面垂直的定义、定理及其表示法，几何推理证明的思考方法，基本规则和严谨性，空间距离的确定与计算.
四、教学用具准备
投影仪，多媒体课件
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、情景引入
引例:简述下列问题的结论，并画图说明：
（1）直线，直线，则和的位置关系如何？
（2）直线，直线，则和的位置关系如何？
解：（1）；（2）.
[说明] （1）引导学生掌握空间直线与平面的各种位置关系，学会各种位置关系的画法与表示方法.注意立体几何中，文字、符号语言与图形直观的互相转化.
（2）小结空间直线和平面的位置关系
[说明]同时用图形语言、符号语言、几何语言表述这些位置关系.
今天我们来探索空间直线和平面相交中的一种特殊位置关系
——直线和平面垂直
二、学习新课
问题1：在日常生活中你见到最多的直线与平面垂直的情形是什么？请举例说明.
[说明]引导学生举出生活中常见的直线与平面垂直的例子，如旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系，教室内直立的墙角线和地面的位置关系等.
问题2： 结合对下列问题的思考，讨论能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线和这个平面垂直呢？
（1）如图1，阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么？随着太阳的移动，旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗
（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B′C′的位置关系又是什么？依据是什么？由此得到什么结论？
（3）如图2，当旗杆AB倾斜时，还能保证AB与地面上的任一直线都垂直吗？
[说明]（1）引导学生用“平面化”与“降维”的思想来思考问题，通过观察思考，感知直线与平面垂直的内涵.
（2）教师用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的变化而移动的过程，再引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆所在直线与地面内的任意一条直线都垂直.
（3）通过观察、思考与讨论，让学生感悟“一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直”是这条直线与平面垂直的本质内涵.
还可引导学生观察实例（如表示直线的笔与表示平面的桌面的位置关系）和几何模型（如棱锥、棱台的侧棱与底面的位置关系等），从中感知：只要平面外的直线不垂直于这个平面，平面内就有直线与平面外的这条直线不垂直，反之亦然.
（4）让学生归纳、概括出直线与平面垂直的定义.教师补充完善，同时给出直线与平面垂直的记法与画法.
定义：一般地，如果一条直线l与平面α上的任何直线都垂直，那么我们就说直线 l与平面α垂直（line perpendicular to plane α），记作： l⊥α.直线l叫做平面α的垂线（perpendicular line），平面α叫做直线l的垂面．l与面α的交点叫做垂足.
画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图3.
辨析1：下列命题是否正确？为什么？
（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直.
（2）如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线.21世纪教育网
[说明]通过问题辨析，加深概念的理解.由（1）使学生明确定义中的“任意一条直线”是“所有直线”的意思.而（2）给出了直线与直线垂直的一种判定方法.
引导学生给出命题（2）的符号表示：[来源:21世纪教育网]
问题3：通常定义可以作为判定的依据，那么用上述定义判定直线与平面垂直是否方便？为什么？如何改进？
[说明]感受用定义作判断不方便，引发学生探索判定定理的需要，体会有限与无限的辨证关系.
引导学生思考用定义作判断不方便的原因，再讨论平面内的直线减少到多少条才合适，先排除一条和两条平行的情形，对两条相交情形，可引导学生观察直立地面的棋杆与其在地面的影子，还可进行如下实验.
实验：如图4，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.
问题4：如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？由此你能得到什么结论？
[说明]通过折纸让学生发现当且仅当折痕娥AD是BC边上的高，即AD⊥BC时翻折后的折痕AD与桌面垂直.
引导学生发现折痕AD与桌面垂直的本质特征： AD是BC边上的高时，无论怎样翻折，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD，同时CD、BD是两相交直线不变，这就是说，当AD垂直于桌面内的两条相交直线CD、BD时，它就垂直于桌面所在的平面.
定理2：如果直线与平面上的两条相交直线、都垂直，那么直线与平面垂直.
用符号语言表示为：
辨析2：（1）下列命题是否正确？为什么？
如果一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，那么这条直线垂直于平行四边形所在的平面.
（2）如图5,若α内两条相交直线m、n与l无公共点且l⊥m、l⊥n，直线l还垂直平面α吗？
[说明] 通过辨析，让学生明白要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的.所谓：“线不在多，相交则灵”.
三、巩固练习
例1：如图,观察跨栏、跳高架，你认为跨栏的支架、跳高架的立竿能竖直立于地面的原因是什么
[说明]用学习到的知识解释实际生活中的问题，增强学生运用数学的意识，深化对直线与平面垂直定理的理解.
例2：如图6，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
[说明]初步感受如何运用直线与平面垂直的定理与定义解决问题，明确运用线面垂直定理时的具体步骤，防止缺少条件，特别是“相交”的条件.让学生用文字语言叙述：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.命题体现了平行关系与垂直关系的联系，其结果给出了直线和平面垂直的又一个判定方法.
例3：（1）如图7，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、CC1的中点，判断下列结论是否正确：
①AC⊥面CDD1C1 ②A A 1⊥面A1B1C1D1
③AC⊥面BDD1B1 ④ EF⊥面BDD1B1
⑤ AC⊥BD1
（2）将（1）中正方体改成长方体呢，以上结论是否正确？
[说明]利用所学知识解决直线与平面垂直的有关问题，体会转化思想在解决问题中的作用.其中①是定义的应用，②是定理的应用，④是思考题2结论的应用，③⑤是定理与定义的综合应用.
四、应用
应用之一是利用直线与平面垂直的定义、定理进行一些简单的推理，体会几何推理证明的思考方法，基本规则和严谨性.
我们继续研究图7
例4:如图7, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、CC1的中点，，连接，求证:
[说明]要证线线垂直，可找线面垂直，反之亦然.即：
这是立体几何证明垂直时常用的转化方法.除此之外，也要注意有时是从数量关系通过计算找线线垂直，如勾股定理等，有时会利用平面几何的性质，如等腰三角形底边上的三线合一等等.
应用之二是利用直线与平面垂直的定义、定理解决一些度量问题，如角、距离等，我们现在来探究距离的度量问题.
问题5：你能举例说明距离在日常生活中的重要性吗？
[说明] 引导学生举出生活中常见的需要测量距离的例子，如为了有合适的照明，需要确定吊灯与桌面的距离；为了保证安全，高压线离地面需要相当的距离；为了购买家具，需要知道天花板与地面的距离等等，体验探究距离的必要性，
距离定义：
（1）点和平面的距离：过点作平面的垂线，垂足为，我们把点到垂足之间的距离叫做点和平面的距离.[来源:21世纪教育网]
（2）直线和平面的距离：设直线平行于平面．在直线上任取一点，我们把点到平面的距离叫做直线和平面的距离.
（3）设平面平行平面，在平面上任取一点，我们把点到平面的距离叫做平面和平面的距离.
（4）异面直线和的距离：设直线和是异面直线，当点、分别在和上，且直线既垂直于直线，又垂直于直线时，我们把直线叫做异面直线和公垂线，，垂足、之间的距离叫做异面直线和的距离.21世纪教育网
[说明]立体几何中，求距离的关键是化归，即空间距离向平面距离的化归，体现了“降维”的思想.
我们继续研究图7
例5：如图7, 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，和的长分别为和.
（1）求点和点的距离；
（2）求点到棱的距离；
（3）求棱和平面的距离；
（4）求异面直线和的距离.
[说明]求距离的基本步骤是作、证、算，此外还要特别注意融合在运算中的推理过程，推理是运算的基础，运算只是推理过程的延续.因此求距离的关键是直线与平面位置关系的论证.
四、课堂小结
（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？
（2）上述判断直线与平面垂直的方法体现了什么数学思想？
（3）你会利用直线与平面垂直的定义和定理找到点、线、面的距离并计算吗？
五、作业布置
1、点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD. 求证：PO⊥平面ABCD.
2、探究题：如图，直四棱柱A′B′C′D′-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时， A′C⊥B′D′？
3、课本P14 练习
4．AB是⊙O的直径，C为圆上一点，AB＝2，AC＝1，
P为⊙O所在平面外一点，且PA⊥⊙O， PB与平面所成角为45
（1）证明：BC⊥平面PAC ；
（2）求点A到平面PBC的距离．
[说明]通过训练，巩固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力.其中第1题主要运用直线与平面垂直的判定定理，第2、是活用直线与平面垂直的定义与判定定理.第3、4题是利用直线与平面垂直的定义与判定定理找到点、线、面的距离并计算.
六、教学设计说明
空间直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是点、直线、平面和平面之间的距离以及直线和平面所成的角等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一.
在探索空间直线与平面垂直的定义及判定定理时，注意从具体实例出发，通过观察、思考与讨论，让学生感悟“一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直”是这条直线与平面垂直的本质内涵.引导学生思考用定义作判断不方便的原因，再讨论平面内的直线减少到多少条才合适，先排除一条和两条平行的情形，对两条相交情形，通过折纸活动进行讨论，再通过辨析，让学生明白要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的.所谓：“线不在多，相交则灵”.在这个过程中，用问题驱动课堂教学，引导学生自主探索、归纳、总结出相关概念，充分发挥学生主体作用，
在应用定义和定理证明空间直线与平面垂直的过程中，注意引导学生把在直线和平面关系转化为直线和直线的关系，渗透转化思想的应用.这种转化思想同样要渗透在求直线和平面、平面和平面之间的距离中，它们都可转化成求点和平面的距离.
空间直线与平面垂直的问题是立体几何中一个基本的问题，在后面的多面体学习中会继续涉及，因此，教学中要注意把握好“度”.所选例题和习题都不宜太难.同时，应注重思维过程的严谨性，无论是判断、证明，都要紧扣定义和定理.
巩固
探究
引入
作业
总结
应用
图1
A
B
C
B’
C’
图2
A
B
α
l
P
图3
D
C
B
A
图4
图5
o
a
b\b
图6
α
图7
C
D
A
B1
B
D1
A1
C1
E
F
直线与直线垂直
直线与平面垂直
图7
C
D
A
B1
B
D1
A1
C1
E
F
题3
A
D
C
B
A’
B’
C’
D’
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14．2 （1）空间直线与直线的位置关系
一、教学内容分析
掌握并熟练运用空间几何的公理4.通过对于平面几何中这一理论的复习与大胆推测，在立体几何中能通过寻找到作为中间桥梁的直线，达到证明和作图的目的.教育学生不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视科学方面大胆的猜测和思维的严密论证.对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力.21世纪教育网
二、教学目标设计
掌握公理4，在常见几何体内（如长方体、正方体等），能快速应用公理，找到问题突破口，寻找作为中间桥梁的直线.学会利用公理4画出几何体的截面.在公理4和定理的推导过程中，着重对初中知识的复习和掌握，引导同学大胆推测，尝试科学的探索精神.在空间四边形的中点、中位线图形中进行推广和证明.
三、教学重点及难点
重点：公理4、等角定理及其应用.
难点：寻找平行四边形解决有关平行的证明题，等角定理的应用.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、引入课题
从生活实例中寻找空间中平行的传递性..
二、讲授新课
（1） 公理4[来源:21世纪教育网]
问题1：平面中直线的平行传递性？
问题2: 利用教室内实例寻找空间中直线平行的传递性.
公理4:平行于同一直线的两条直线相互平行.
公理分析：要证明空间两条直线平行，要找到中间桥梁.
（2） 等角定理
问题1：初中学习的等角定理？如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组相交直线所成角相等或互补.
问题2：在空间中，这个定理仍然成立吗？
等角定理(书第9页)：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组相交直线所成的锐角（或直角）相等.
注意表述上区别：平面几何合立体几何中某些理论上的不一致应引起学生掌握理论时的重视.
证明：书第9页
（三）例题分析
例1：在长方体中，E、F分别为，AD 的中点，求证 ：
证明：取BC中点G，连结
[例题解析]：学会在空间中借助平行四边形，寻找起到桥梁作用的直线.
例2 书例1 （见书第9页）
[说明]公理4应用于作图题中.
例3 在长方体中，
求证：.
21世纪教育网
证明：,
,
是锐角，.
[说明]：掌握在空间中利用直线的平行来证明角相等.
（四）、问题拓展
1、空间四边形
空间四边形相关知识复习：在空间四边形ABCD中，E、H分别为AB、AD中点，F、G为CB、CD三等分点，且.求证：EF，HG，AC 三线共点.
[说明]复习公理1、2 ，对于空间四边形——这一立体几何内的新事物，进行回顾和整理，为下一步更好学习做好准备.
例4 已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边中点.
（1） 判断四边形EFGH 形状；（答：平行四边形.通过公理4）
（2） 若空间四边形中对角线AC=BD，判断四边形EFGH 形状；（答：菱形.平行四边形对角线相互垂直）
（3） 四边形EFGH什么情况下为矩形？（答：对角线相互垂直，即）
（4） 结合（2）、（3），可得正方形EFGH
（5） 第（2）、（3）、（4）题的逆命题是否成立？该如何求证？
如（2） 若四边形EFGH中，，则AC=BD
（6） 若E、H分别为AB、AD中点，F、G为CB、CD三等分点，且，判断四边形EFGH 形状.（梯形EFGH）
证明：E、H分别为AB、AD中点
梯形EFGH
[说明] 这是空间两条直线平行——公理4的典型应用，加以推测、证明的重要应用.
2、对于平面图形的结论:
有些可推广到立几图形并有完全相同的结论;
有些在立几图形中有相似的结论,但不完全相同;
有些在立几中则有完全不同的结论.
三、巩固练习
练习14.2（1）;1、2
四、课堂小结
1．空间两条直线平行的判定.
2．空间中等角定理得由来与应用
3．空间四边形各边中点的相关问题
4. 平面几何与立体几何结论间的比较与联系
五、课后作业
练习册相关习题
补充作业：
1． 在正方体中,点E、F分别是 中点，判断四边形的形状并加以证明.
2.正方体中，E、F 分别为AB、BC 中点，试画出过点E、F、的截面.
21世纪教育网
3.在正方体中，点E、F 分别在AB、AD 上，点G，H分别在 上，且满足，联结[来源:21世纪教育网]
求证：
4.空间四边形ABCD的各边中点依次为E、F、G、H，连结EG、FH.
（1）求证：EG 与HF 互相平分
（2）若BD=2，AC=4，求的值.
5.如图：在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，若AC+BD=m，AC+BD=n，则=
6.如图,A是ΔBCD所在平面外一点,M,N分别是ΔABC和ΔACD的重心,若BD=6,求MN的长.
六、教学设计说明
1、对教材的研究认识：
空间中直线与直线的平行关系，并非本章节内容的难点和重点.但是由于平面几何中也有平行的传递性质和等角定理，因此，对于学生数学类比、推测、论证能力都是一格很好的锻炼机会.因此除去基本知识要点以外，在教学设计上，我还有意识地加强类比、推测、论证能力的培养.此外，在空间几何的常规图形中，除了长方体、正方体等几何体外，空间四边形也有非常重要的地位.在立体几何刚刚开始的平面内容中，空间四边形——这一典型图形就频频出现，对于同学在三维空间中掌握知识要点十分有帮助.因此，探究空间四边形相关内容和知识要点，对于同学学习和掌握立体几何相关内容非常有帮助.所以在内容教授上又添加了空间四边形中线段平行理论的研究.
2、 课堂教学模式的设置：
自主探究是传统教学模式的一种补充，自主探究能够使学生成为研究问题的主人，能够培养学生的思维能力.数学是思维的科学，思维能力是数学的核心，教学过程的设计要能够体现教学本质；能够突出所学数学内容的本质；组织教学的过程要能触及学生的灵魂深处.因此，课堂教学中提倡问题教学，抓住学生的认识现实，恰当地创设问题情境，使学习者能够在课堂上进行积极有效的学习.
3、 课堂练习题的说明：
由于通过类比的教学方式，学生对于公理4和等角定理得学习未必能引起足够的重视.由于从平面中推广到空间中仍然成立.所以对于大多数同学来讲，一定觉得比较简单.可是对于空间想象能力比较差的同学来讲，在空间中未必能非常好的掌握利用平行证明角度相等.可能仍旧会应用平面几何中的知识来证明，因此空间能力的掌握目标并没有达到.因此老师在教授时也要注意空间想象能力的引导和对于此类题目的重视.空间四边形内容的扩充题也在锻炼同学应用和计算、分析等能力.
空间四边形有关结论的推导、知识要点的应用
立体几何公理4
辨析理论、分析例题应用技巧
引入新课：空间中两条直线的平行位置关系
等角定理的推理过程以及应用和掌握
观察问题、思考问题：立体几何理论与平面几何的区别与联系
课堂总结、布置作业
B
A
A
B
B
D
C
B
E
F
A
B
B
D
C
B
A
B
A
A
A
A
D
F
C
E
B
A
A
B
C
D
A
B
C
D
M
N
E
F
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15.5几何体的体积(2)
锥体的体积
一、教学内容分析
锥体的体积是学习祖暅原理与柱体体积之后，对几何体体积的进一步探索.其中三棱锥体积在这之中又尤为重要，起着承上启下的作用.推导三棱锥的体积要用到前一课时的内容；同时，n棱锥乃至圆锥的体积公式又是建立在三棱锥体积之上的.所以处理好三棱锥的体积问题，是这堂课的重中之重.
二、教学目标设计
学生通过具体实验感知三棱锥体积公式，通过严谨证明确认三棱锥体积公式，通过对新知识的应用推广得到n棱锥的体积公式，通过具体实例初步应用锥体体积公式.
能应用割补法求体积以及体积法求点到面的距离，在这个过程中，提高分析、综合、抽象、概括等逻辑推理能力.21世纪教育网
三、教学重点及难点
三棱锥体积公式及其探求.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、情景引入
1、复习祖暅原理：体积可看成是有面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等.
2、柱体体积公式：V棱柱=Sh21世纪教育网
3、问题：锥体的体积公式是什么？会不会和柱体的体积有什么联系？
实验：如图取一个三棱锥教具（无底面ABC），一个与之同底等高的三棱柱教具（无底面ABC）（教具可用硬板纸制作），以及黄沙若干.
用三棱锥盛满黄沙，倒入三棱柱容器中，发现倒三次正好把三棱柱容器填满.
从这个实验中，学生猜想三棱锥的体积公式为V三棱锥=Sh
这个实验的结果到底是一个美丽的巧合还是一个必然的结果？
二、学习新课
问题1：从猜想的三棱锥体积公式为V三棱锥=Sh看，体积只和三棱锥底面积和高有关，而与底面三角形的形状无关.那么，上述实验中的三棱柱不变，三棱锥变成与原三棱锥O-ABC等底等高的三棱锥P-DEF，结果是否会不变呢？
解决此问题，即要证明等底等高的三棱锥的体积相等.
已知三棱锥O-ABC和P-DEF的底面积都是S，高都是h.
求证：三棱锥O-ABC和P-DEF的体积相等.
证明：把两个三棱锥的底面都放在平面上，任意作平面，设平面截三棱锥O-ABC所得的截线为三角形A’B’C’，其面积为S1；平面截三棱锥P-DEF所得的截线为三角形D’E’F’，其面积为S2.如果三棱锥的顶点O和P与平面的距离为h1，那么推得：和，于是得，相似比是，同理可得，相似比也是.由相似形的性质得，.即.
因为任意平行于底面的平面截两个三棱锥时，所得的截面面积相等，所以由祖暅原理得三棱锥O-ABC和P-DEF的体积相等，即等底等高的三棱锥的体积相等.
问题2：为什么三棱锥的体积公式恰巧为V三棱锥=Sh，而不是？
观察实验中的三棱锥O-ABC，正好含在三棱柱OPQ-ABC中，于是我们通过连接OB，OC把三棱柱OPQ-ABC中的三棱锥O-ABC找出来，发现三棱柱OPQ-ABC是由三棱锥O-ABC和四棱锥O-BCQP组成的.进一步的，连接BQ，那么此时比较明显的有：
VOPQ-ABC=VO-ABC+VB-OPQ+VO-BCQ
由于等底等高的三棱锥的体积相等，故有：
VO-ABC=VB-OPQ =VO-BPQ=VO-BCQ
因此，V三棱锥=Sh
请学生叙述如果连接PC，怎样证明？
平面几何中求面积时，我们经常会用到割补法.同样的，立体几何求体积也会用到此法.上述的证明方法，本质上就是把一个三棱锥补成三棱柱后，再加以证明，是求体积的“补”法.
推广1：四棱锥的体积公式呢？
如果也采用三棱锥探求体积的方法，是否可行？
三棱锥体积的证明中用到了一个三棱锥非常个性化的特征：可以以任何一个顶点作为三棱锥的顶点.这是其它任何棱锥所不具备的特征.
那么，我们已经知道，并且证明了三棱锥的体积，四棱锥中有没有三棱锥呢？
通过连接AC，可得:
VP-ABCD=VP-ABC+VP-ACD
=( SΔABC+SΔACD)h=SABCDh21世纪教育网
其中h是P到底面ABCD的距离，即四棱锥的高.
推广2：n棱锥的体积公式呢？
基本上可由学生自行完成.课本P39也讲述的非常清楚.
总结：V棱锥=Sh
三、巩固应用
例：在正方体ABCD-A′B′C′D′中，已知棱长为a，求:(1)三棱锥B′-ABC的体积；
(2)这个三棱锥的体积是正方形体积的几分之几；
(3)B到平面AB′C的距离 （用2种方法答）
解：(1)由正方体棱长为a，得SΔABC=a，高h=a.
所以VB′-ABC=SΔABC·h=·a·a=a.
(2)因为V正方体=a，所以VB′-ABC∶V正方体=.
(3)方法一:如图，过B作BO⊥面AB′C于O，则O必为ΔAB′C的重心.连AO并延长交B′C于M，
因为 AB′=B′C=CA=a,[来源:21世纪教育网]
所以 AM=·a=a,OA=AM=a.
在RtΔAOB中，BO==，即B到面AB′C的距离为a.
方法二:设B到面AB′C距离为h,因为 AB′=B′C=CA=a，
所以 SΔAB′C= (a)=a，21世纪教育网
因此 ·a·h=VB-AB′C= VB′-ABC =·a·a=a，
故h=a 即B到面AB′C的距离为a.
方法二充分运用了三棱锥的特征：可以以任何一个顶点作为三棱锥的顶点.这为我们求解顶点到底面的距离提供了捷径，称之为体积法.
四、课堂小结
1、割补法求体积
2、V棱锥=Sh
3、体积法求点到面的距离
五、作业布置
课本P41练习15.5(2)
六、教学设计说明
数学是源于生活的.选用实际的实验操作能使学生对V棱锥=Sh有一个形象的、具体化的认识.
数学是严谨的.发现规律之后，需要的是严格的证明，证明的两个层次，老师要加以把关.证明过程中有使用了很多已学的立体几何知识，是一个很好的回顾与应用的过程；学生的空间想象能力也能在证明的过程中得以提高.
数学是发展的.在三棱锥的基础上，继续对广，四棱锥、n棱锥的体积公式，对比探求体积的“补”法与“割”法.
数学是为生活服务的.应用棱锥公式，解决实际问题.
复习已学知识
做好上课准备
通过实验
发现规律
提出质疑
严谨证明
继续推广
特殊到一般
简单应用
巩固公式
课堂小结
布置作业
B
C
A
O
B
C
A
O
P
Q
1
B
C
A
O
B
C
A
O
P
Q
1
P
A
B
C
D
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16.4组合（2）
一、教学内容分析
本节内容是学生在学习了乘法原理、排列组合和加法原理以后的知识，学生已经掌握了简单的组合问题，并且对两个计数原理已经有了一个比较清晰的认识.因此这节课时就是让学生在原有的基础上对组合问题的解决能有进一步的深入和提高.而排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题关键是就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.
二、教学目标设计
1.进一步掌握较复杂的组合问题；
2.能正确认识组合与排列的联系与区别；
3.通过练习与训练体验并掌握组合类题型；
三、教学重点及难点
组合的分析与进一步的应用.
四、教学用具准备
多媒体设备
五、教学过程设计
一、 复习引入
复习
我们在前几节中学习了加法原理以及组合的初步概念，请问你能说出加法原理和组合的定义吗？
加法原理： 做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十…十mn种不同的方法.
组合：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
以上由学生口答.
二、学习新课[21世纪教育网
例题分析
例1、 用红、黄、蓝三色纸板各做一套卡片，每套中有A、B、C、D、E字母的卡片各一张，从这15张卡片中每次取5张，要字母不同且三色齐全，共有多少种取法？
分析：取出5张卡片与顺序无关，是组合问题.而取出的5张卡片种要求三色齐全，需分两类不同的情况讨论.
一类是： 含三个字母同一色，另两个字母不同色；
另一类是：含两个字母同一色，另两个字母同一色，一个字母是剩下的一种颜色；21世纪教育网
（1） 在三色中取一种颜色有法，在这种颜色5张卡片中取3个字母有法，在剩下的两种颜色的卡片中各取1个字母有法，
（2）在三色中取两色有法，这两种颜色的卡片中各取2个字母有法，最后一种颜色只能选剩下的最后一个字母有法，
根据加法原理
例2、编号为1、2、3、4、5的五个人，分别坐在编号为1、2、3、4、5的座位上则至多有两人的编号与座位编号一致的坐法种数为多少？
解：（排除法）至多有2个号码一致的反面是含3个号码一致，或含4个号码一致（不可能）
以及5个号码都一致；
例3、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，问
（1） 从中任取4个球，红球的个数不少于白球的取法有多少种？
（2） 若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7的取法有多少种？
（1）解：
（2）解：设取红球x个，取白球y个，21世纪教育网
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例4、从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？
解：分为三类：1奇4偶有 ；3奇2偶有；5奇1偶有
所以一共有++．
例5、身高互不相同的7名运动员站成一排，甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？
解：（插空法）现将其余4个同学进行全排列一共有种方法，再将甲、乙、丙三名同学插入5个空位置中（但无需要进行排列）有种方法．根据分步计数原理，
一共有＝240种方法．
例6．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？
解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间的6个空档中插入3只熄掉的灯，
故所求方法总数为种方法．
例7．九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？
解：可以分为两类情况：
① 若取出6，则有种方法；
②若不取6，则有种方法．
根据分类计数原理，一共有+＝602种方法．
三、课堂小结
指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.
能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.
学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.
排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.
四、作业布置
(略)
六、教学设计说明
本节内容在学习了乘法原理、排列组合和加法原理以后的知识，学生已经掌握了简单的组合问题，并且对两个计数原理已经有了一个比较清晰的认识.因此，在实际学习的过程中，从排列问题引入，随即自然地过渡到组合问题.由此让学生对于排列与组合两者的异同初更深刻理解，并能更加自如地判断.
本节课在教学技术上通过多媒体课件大大缩短了教师板书抄题的时间，让学生能够更加连贯的思考以及探索问题.
由于是第二课时，所以在例题的设计上起点较高，层层递进，以积极发挥课堂教学的基础型和研究型功能，培养学生的基础性学力和发展性学力.
在课堂教学中教师遵循“以学生为主体”的思想，鼓励学生善于观察和发现；鼓励学生积极思考和探究；鼓励学生大胆猜想，努力营造一个民主和谐、平等交流的课堂氛围，采取对话式教学，调动学生学习的积极性，激发学生学习的热情，使学生开阔思维空间，让学生积极参与教学活动，提高学生的数学思维能力.
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“二项式定理（一）”教案
一、教学目标：
使学生掌握二项式定理及其证明(数学归纳法)，培养学生发现和揭示事物内在客观规律能力和逻辑推理能力。通过介绍“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育。
二、教学重、难点：
重点：二项式定理的推导及证明
难点：二项式定理的证明
三、教学过程：
(一)新课引入：
(提问)：若今天是星期一，再过810天后的那一天是星期几？
在初中，我们已经学过了
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3＝(a+b)2(a+b)＝a3+3a2b+3ab2+b3
(提问)：对于(a+b)4，(a+b)5 如何展开 (利用多项式乘法)
(再提问)：(a+b)100又怎么办？ (a+b)n(n∈N+)呢？
我们知道，事物之间或多或少存在着规律。这节课，我们就来研究(a+b)n的二项展开式的规律性
(二)新课：
(如何着手研究它的规律呢)？采用从特殊到一般（不完全归纳）的方法。
规律：(a+b)1=a+b
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=a2+2ab+b2
(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4[来源:21世纪教育网]
根据以上的归纳，可以想到(a+b)n的展开式的各项是齐次的，它们分别为an, an-1b, an-2b2,…，bn,展开式中各项系数的规律，可以列表：21世纪教育网
(a+b)1 1 1
(a+b)2 1 2 1[来源:21世纪教育网]
(a+b)3 1 3 3 1
(a+b)4 1 4 6 4 1
(a+b)5 1 5 10 10 5 1
（这表是我国宋代杨辉于1261年首次发现的，称为杨辉三角，比欧洲至少早了三百年。）
如何从组合知识得到(a+b)4展开式中各项的系数
(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
(1)若每个括号都不取b，只有一种取法得到a4即种21世纪教育网
(2)若只有一个括号取b，共有种取法得到a3b
(3)若只有两个括号取b，共有种取法得到a2b2
(4)若只有三个括号取b，共有种取法得到ab3
(5)若每个括号都取b，共有种取法得b4
…………
∴ (a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn(n∈N+)[来源:21世纪教育网]
以上我们采用不完全归纳法得到，不一定可靠，若要说明正确，须加以证明(数学归纳法)。
证明：(1)当n=1时，左边＝(a+b)1=a+b 右边＝a1+b1=a+b
∴ 等式成立
(2)假设n=k时，等式成立，即(a+b)k=ak+·ak-1b+…+ak-rbr+…·bk
那么当n=k+1时
(分散难点作法)
以 (a+b)4(a+b)与(a+b)k(a+b)进行类比
(a+b)4(a+b)＝(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)(a+b)
=（a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4）+（a4b+a3b2+
a2b3+ab4+b5）
由组合数性质知 ＝ ＋＝ ＋＝ ＋＝ ＋＝ ＝
则(a+b)5=a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5
(a+b)k+1=(a+b)k·(a+b)=(ak+·ak-1b+…+ak-rbr+…+·bk)(a+b)＝(·ak+1+akb+…+ak-r+1br+…+abk)+(akb+ak-1b2+…+·ak-rbr+1＋…＋·bk+1)
＝ak+1+(+)akb+…+(+)ak-rbr+1+…+(+)abk+·bk+1
由组合数性质得，= +=，…+=，+=，=
∴(a+b)k+1=ak+1+akb1+…+ak-rbr+1+…+abk+bk+1，即等式成立。
根据（1）（2）可知，等式对于任意n∈N+都成立。
一、指出：这个公式叫做二项式定理（板书），它的特点：
1．项数：共有(n+1)项
2．系数：依次为，，，…，…，其中(r＝0，1，2，…n)称为二项式系数
说明：二项式系数与展开中某一项系数是有区别的。例如：(1＋2x)6展开式中第3项中系数为·22＝60而第三项的二项式系数是＝15。
3．指数：an-r·br指数和为n，a的指数依次从n递减到0，b的指数依次从0递增到n。
三、小结：
（1）二项式定理(a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn是通过不完全归纳法，并结合组合的概念得到展开式的规律性，然后用数学归纳法加以证明。
（2）二项式定理的特点：1．项数 2．系数 3．指数
四、作业：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
810＝(7+1)10＝710+79+…+7+
＝2(733＋c133732+…+c3233·7+2
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球 面 距 离 的 发 现
教学目标：
1. 认知目标：理解球面距离的合理性，掌握几种简单球面距离的求法,改进有关“距离”的认知结构．
2. 能力目标：渗透类比、猜想及“数学化”的思想，提高动手实验、合情推理的能力，培养数学交流能力，体验基本的“科研”方法．
3. 情感目标：通过“做数学”，亲历“球面距离”的形成过程，并体验研究与成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，并潜移默化地得到热爱地球、热爱科学的德育熏陶；树立正确的“数学观”并初步形成创新意识和科学精神．
教学重点：
球面距离发现过程及激励学生主动参与、相互协作、探索研究的精神．
教学难点:
实际问题数学化（建模），球面距离定义的合理性．
教具学具：
TI-92Plus图形计算器、计算机、实物投影仪、橡皮筋、地球仪等．
教学过程
1． 创设问题情境 引发研究课题
教师： 同学们，今天是6月6日，请问昨天（6月5日）是一个什么日子？
学生众：世界环境日！
教师：对！是第30个世界环境日．联合国环境规划署将今年的环境日主题确定为：“让地球充满生机”，如果说上个世纪是人类环境意识觉醒的世纪，那么，新世纪将是人类保护环境、拯救地球开始采取切实可行的实际行动的世纪.为纪念并庆祝这一节日，我们今天研究一个关于地球的问题．
引例（计算机演示）：
1993年4月7日,中国东方航空公司的MU583航班喷气客机，从上海（A）飞往美国洛杉矶（B），因受强气流影响，被迫在美国阿拉斯加州阿留申群岛（C）的某空军基地紧急降落．经过紧急处置，除60名伤员仍留在阿拉斯加的安克雷奇医院中之外，其余173名旅客已于4月9日到达洛杉矶．（用FLASH软件制作演示文稿：世界政区图及客机动画模型,略）.
学生观察后提出问题：从世界地图（平面）上看似乎沿北纬300的圆“直行”最近，可为什么从上海飞往洛杉矶的飞机会迫降在东北方向的阿拉斯加呢？这岂不是在绕远道吗？
老师：同学们，生活中处处有数学，就看我们是否有发现的眼睛了．对于这一现象我们该做何解释呢？我们能用数学的观点给出一个合理、科学的解释吗？进而，我们能把这个问题一般化吗？
（回答多种多样，但最终统一到选择航线的主要标准是什么？——行程尽可能短．问题的一般化——球面上两地间的最短路线是什么？）
师：那么，怎样的航线可能最短呢？
生1：沿纬线圈走可能短些．
生2：不对，从上海飞往洛杉矶的飞机绕道东北方向的阿拉斯加这一现象，可以说明沿纬线圈走不是最短．
生3：对地球上任意两点来说，并不是都有同一纬线经过它们，所以沿纬线圈走不可能总是最短．
师：非常好！同学们的讨论说明这是一个值得研究的问题．即，到底什么是球面上两点间的最短路线 目前还不知道，那么,能否想起与这个问题类似而已经研究过的问题吗？
生4：蚂蚁在正方体的表面上从一个顶点爬行到相对顶点的最短路线问题．
生5：在圆锥、圆台侧面上爬行也可提出类似的问题．
生6：上述问题的解决方法是相同的，都是将空间图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短，使问题获解．
师：非常好！对我们的问题有帮助吗？
生7：把球面展成平面图形……
生8：球面不能展成平面图形！
师：有这方面的经验吗？21世纪教育网
生9：吃剩下的西瓜皮无论怎样切，它总是展不平．
师：对，球面是不可展的，这一点与多面体、圆柱、圆锥、圆台有本质的不同．那么，这些问题的解决方法对我们现在的问题有帮助吗？
学生10：有！前面那几个“最短路线”都是“平面曲线”它类似于直线，因此，可猜想球面上两点间最短的路线也是一条类似于“直线段”的曲线的长，它可能是某个平面与球面的交线，也就是一条特殊圆弧的长．
师：好极了，经验和直觉都告诉我们，球面上两点间最短的路线应是一条特殊圆弧．而在球面上经过两点的圆弧有无数多条，哪一条最短？同学们，数学是一种活动，不仅应该动脑，也应该动手，请同学们以小组为单位，动手探索球面上两点间的最短路线，并给出你的猜想．
2．动手实验 探索新知
学生以小组为单位，利用地球仪、橡皮筋,协作实验探索，2～3分钟后，
学生11、12到前面提供了实验1: 一位同学将橡皮筋的两头分别置于地球仪的上海和洛杉矶处(此时橡皮筋已被伸长),另一同学将橡皮筋在球面上来回移动，由于“摩擦力”的作用，橡皮筋并不是总回到“理想”位置，两同学面露难色．此时，一位女生跑上前去，提起橡皮筋的中部再突然放开,由于弹性的作用, 橡皮筋停止于最短的状态（同学们报以热烈掌声，团结协作精神也体现的淋漓尽致）．
由经验猜想:沿橡皮筋这条弧线航行行程最短．
师：wonderful！同学们，科学需要观察，但观察并不总是可靠的，眼睛有时也会欺骗我们．谁能进一步说明或者推翻他们的这一结论？
生13：（实验2）借助TI-92Plus图形计算器中“几何画板”功能，做出以线段AB为公共弦的若干圆，并用画板中的度量功能，分别测算出这几个圆中AB弦所对的劣弧的长，不难发现，较大的圆中AB弦所对的劣弧的长较小．
（用实物投影仪演示,如图1）
猜想1：以线段AB为公共弦的若干个圆，以半径较大的圆中AB弦所对的劣弧长较小.
生14：由于地球上大圆的半径最大，根据上述猜想1，学生11、12的结论是正确的，即地球上两地间的最短路线就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧．
3．思辩论证，得出结论
师：经过上面的实验和探索，我们已基本上“认同”了上述猜想，但“认同”毕竟不是“论证”．数学的一大特征是它的逻辑严谨性．我们能证明这一猜想吗？ 21世纪教育网
首先，我们要先弄清问题（将实际问题数学化—建模）．
生15：（实物投影）如图，AB是圆O1和圆O2的公共弦，O2A＞O1A，
求证：．
分析：分析：设∠A O1B=2α，∠A O2B=2β，O2A=R,O1A=r, 则0＜β＜α＜，0＜ r＜R．欲证，，即：2αr＞2βR（公式化），也就是，α·＞β·， ＞，或证，＜．又因为y=（0＜x＜是单调减函数，所以，问题得证．
在球面上，由于，大圆的半径最大，所以，大圆中所对的劣弧最短．
师：同学15用他浓郁的家乡话再一次向我们展示了他的聪明才智．但，我们也注意到在他的证明中用到了“（0＜x＜是单调减函数”这一结论，而它的证明有一定的困难，我们能检验这一结论吗？21世纪教育网
生16：能！用TI图形计算器，从下图示中，我们不难发现函数（0＜x＜是单调减函数．
师：漂亮！这从“形”的方面支持了同学15的证明是正确的，若那位同学能从“数”的一面给出证明，将显得严谨有力．由于时间的关系，这个问题留给感兴趣的同学课下研究．
师：我们已证明了上述猜想是正确的，那么，我们给球面上任两点这一条最短的路线的长度取个什么名字呢？
生众：两点间的球面距离．
（多媒体演示课题：球面距离）
师：好，请同学们用数学语言陈述球面距离的定义．
生17： …（投影球面距离的定义，略）
师：由上不难知道，为什么飞机、轮船都是尽可能以大圆劣弧为航线了．
4．看图辨析 强化概念
师：请同学们观察下列球面模型（多媒体演示，略）中，标出的弧AnB的长是不是A、B两点的球面距离？
同学通过观察、比较总结出球面距离概念的内涵：（1）A、B两点必须在大圆上;（2）是大圆在这两点间的劣弧（或不超过半圆弧）的长度 .
5．距离扩张的历程回顾
师：好，经过同学们的探索、研究发现了球面距离的概念，扩大了知识、提高了能力．请回忆,以前我们还学习了哪几种几何基本对象间的距离？它们有什么共同的特征？
经过学生的讨论可以回忆出下面各种距离：（演示文稿）
两点间的距离
点到直线的距离 异面直线间的距离21世纪教育网
点到平面的距离 平行直线间的距离
平行平面间的离 平行于平面的直线与平面间的距离
共同的特征：存在性、最小性、唯一性，是一条特殊线段的长．
师：正如同学们总结的那样，以前各种“距离”都是一条特殊线段的长，而“球面距离”却是一条特殊的圆弧长．但是，它们都是平面“曲线”,具有 “最小性”和“唯一性”，体现了数学概念“和谐发展”．
6．例题分类 寻求解法
师：数学来源于生产与科研实践，又服务于生产与科研实践．
例1． 东方明珠香港于97年7月1日回归祖国，之前京九铁路也已全面贯通．请计算北京（约北纬400、东经1160）与香港（约北纬220、东经1160）的距离大约是多少千米？
例2． 求上海到洛杉矶的距离．（上海和洛杉矶的纬度差不多都在北纬300 稍北的位置，而上海的经度为东经1200稍偏东，洛杉矶的经度为西经1200稍偏西）． [来源:21世纪教育网]
例3． 2004年的奥运会在雅典举行，2008年的奥运会在北京举行．请计算北京与雅典之间的距离．（供学有余力的同学课后研究）
同学们借TI图形计算器分组得出了例1、例2的答案，为规范书写格式提供“标准”答案仍是必要的（用文稿演示，略）．
师：例3的解决有一定的困难，请有兴趣的同学课下研究，我期待着你们的成功．从经纬度来看，球面距离问题可分为几种类型？如何解决？
生18：1.同经度不同纬度的两地间的距离—经度差的绝对值乘以地球半径；2.同纬度不同经度的两地间的距离—先在纬度圈（小圆）中求出弦长，再在大圆中求出这两点的球心角，进而求出劣弧的长，即：线段AB的长——→∠AOB的弧度数——→大圆劣弧AB的长；3.经、纬度都不同度的两地间的距离．
生19：计算球面距离的关键是先求出此两点所对应的球心角，再根据弧长公式即可求出劣弧长，即这两点的球面距离．
师：非常好！同学们先做后说，提炼出了程序性、操作性的方法，这就是算法．
7.课题小结 交流体验
师：同学们，一节课在不知不觉中就要过去了，愉快的时光总是显得那么短暂．下面就请同学们小结一下，你有何收获和体验？
生：……
师：随便说，一句不少，十句不多．
生20：数学无处不在、无处没有．现实生活中存在着大量的数学问题，我们要养成用数学的眼光观察、发现、分析、解决实际问题的习惯，做有数学头脑的人．
师：实际问题数学化是重要的数学能力，也是数学素养的体现．
生21：这节课跟以前的数学课不大一样，更像物理课．通过观察、转化、猜想、实验、证明，不仅知道了什么是球面距离，还了解了研究问题的一些方法．
师：方法往往比知识重要，而探索方法的过程更重要．
生22：TI图形计算器是我们探索数学奥秘的好帮手，能使我们更好地发现、探究和理解数学．
生23：这样上课很好玩、很有趣．好像是在“做数学”．
师：朴素的语言，真实的感受．
以上同学都谈的非常好，对体验、方法和球面距离的具体求法进行了总结．我相信其他同学也定会有不少感受，这样吧，请同学们课下将学习体会写出来，下周一交给课代表．.
结束语：同学们，6月5日是世界环境日，无独有偶，每年的4月22日为世界地球日．人类只有一个地球，为了明天更美好，为了我们的子孙后代，人类必须“善待地球”，为此，首先要更多地了解地球，那么,我们还应研究球体的那些问题呢？
生众：面积和体积！
师：对，下一节我们将研究这些问题．这一节课，同学们表现的都非常出色，祝同学们学习成功，下课！
案例分析
“距离”是数学中重要的“源”概念，作为中学八种距离中的最后一个的“球面距离”，因为不能像其它距离那样可以转化成一条特殊线段的长而成为学生的认和难点，所以，“球面距离”对于学生来说是一个极富有挑战性的问题．如何让学生在愉悦的环境中主动地对“球面距离”进行有意义的建构，并且在思维能力、人文素养等方面得到提升是本教案设计的初衷．
本课例，以现代建构主义理论为指导，辅以TI技术教育手段，既重视了学生“知识”和“技能”的学习，又注意思想方法的渗透和使用，并且，创设了一个很好的情景，使得既能向学生渗透“环保”的有关思想，又能自然地感受到拓展“距离”概念的必要性，同时，把探索发现“球面距离定义”的过程，作为教学重点，“既教猜想、又教证明”，准确地抓住了实际问题数学化和定义的合理性．
对球面距离定义的合理性，学生在原有的知识和经验的基础上，不难理解它的存在性和唯一性，但，对球面距离为什么是大圆劣弧的长颇感困惑．美国数学家哈尔莫斯说：“学习数学的唯一方法是做数学”．由于TI技术能以更多的方式向学生提供刺激(多元联系表示)，产生直观丰富的形象，从不同侧面认识数学的中的同一个对象(球面距离)，因而可以突破传统技术在时空上的限制，表现传统技术所不能表现的内容．学生通过亲自动手实验，辅以TI图形计算器的支持，可以地看到球面距离概念的形成和发展过程，深刻理解了概念的本质．
教材上对球面距离的处理是重计算、轻发现，枯燥、乏味，给人一种冰冷的感觉．而人类(学生)对数学的思考、发现却是火热的、生动活泼的．因此，本节课又遵循了“返璞归真”原则，把“球面距离”的学术形态转化为教育形态，“把冰冷的美丽变为火热的思考”．整个教学过程，沿着发现问题——提出问题——分析问题——探索和解决问题的途径展开，在师生共同参与下，亲历了知识生长(即“球面距离”概念的形成)过程，学生不仅认识到当前这个概念是应运而生，又是合理的(承袭了“距离”概念的极小性、存在性、唯一性，又有所不同——由直线段变成了圆弧的长)，而且，通过对拓广与承袭关系的分析，把新旧知识联结起来，形成更为完善的有关“距离”的认知结构(包括计算方法)．在亲历“球面距离”概念的形成和发展过程中，学生的创新精神得到了高扬、创新能力得到了培养，特别是为每一个学生个性的充分展开创造了空间，课堂上洋溢着浓郁的人文精神，体现着鲜明的时代特色．
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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16.2排列（2）
1、 教学内容分析
课本上的例题和习题有助于学生掌握排列应用题的基本方法.但对于初次接触到排列的学生来说，这部分思维要求比较高.而通常在排列中涉及到两大问题：“纯代数”问题以及实际应用问题，对这两方面问题加以强化必定会加强学生的实际应用能力.
二、教学目标设计
巩固与提高学生求解排列数的综合解题能力.
三、教学重点及难点
引导学生找到求解排列数的正确方法.
四、教学用具准备
多媒体设备
五、教学流程设计
基本方法复习→典型例题分析→方法小结→作业
六、教学过程设计
一、 基本方法复习
在上一节课，我们已经学习了求解排列数的一些基本方法，如：直接法；间接法；捆绑法；插空法等.这一节课我们将进行方法的再强化以及综合应用.
2、 典型例题分析：
例1、（1）求用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数的个数.
分析：本题只需把4个数全排列即可.
解：.
（2）求用1，2，3，4四个数字组成四位数的个数.
分析：与题（1）比较发现，少了“无重复数字”，每个数位上都有4种可能性.
解：由乘法原理，.
（3）求用1，2，3，4四个数字组成无重复数字且比2000小的四位数的个数.
分析：比2000小的肯定是1开头的.千位数只能是1，其它3个数全排列.
解：
（4）求用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位奇数的个数.
分析：个位数是特殊位置，应优先考虑.本题较简单，采用“直接法”比较合适.第1步，个位数有2种选择；第2步，把其余3数作全排列.
解：由乘法原理，四位奇数的个数为个.
[说明]本题也可以换一个视角，4个数字中有2个奇数，2个偶数，所以四位奇数和四位偶数的个数是相等的，所以.
请你用这个方法解决下面这道题：
（5）求用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中2在3的左边的个数.
分析：2在3的左边和2在3的右边是一样多的，所以.
例2、（1）从6名运动员中选4人参加米接力，如果甲、乙两人都不跑第一棒，那么共有多少种不同的参赛方法？
分析：第一棒是特殊位置.既可采用“直接法”，又可采用“间接法”.
方法一：；
方法二：.
（2）从6名运动员中选4人参加米接力，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，那么共有多少种不同的参赛方法？
分析：本题限制条件较多，采用“间接法”较合适.但本题极容易错答：，错因在于：甲跑第一棒，乙跑第四棒被减了2次.21世纪教育网[来源:21世纪教育网]
解：
例3、（1）要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，则有多少种不同的排法？
分析：“不得相邻”这个关键词暗示我们方法：“插空法”.6个歌唱节目作全排列，形成7个间隔，再把4个舞蹈节目插在7个间隔中.
解：
（2）要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目必须相邻，则有多少种不同的排法？
分析：“必须相邻”这个关键词暗示我们方法：“捆绑法”.4个舞蹈节目作全排列，再“捆绑”在一起和其它6个歌唱节目参与全排列.
解：
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（3）要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，6个歌唱节目按照一定次序排列，则有多少种不同的排法？
分析：6个歌唱节目无须作全排列.
解：
（4）要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单， 6个歌唱节目按照一定次序排列，则有多少种不同的排法？
分析：10个节目的全排列中包含了6个歌唱节目的全排列.
解：
五、小结
方法小结： 直接法，间接法，捆绑法，插空法.21世纪教育网
六、作业
习题册相应部分
七、教学设计说明
本教学设计选取了一些典型例题，力求把基本方法融入到实际运用中去.同时也对例题作了一些细微的改变，加强了灵活性，给学生更大的思考空间.[来源:21世纪教育网]
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15．4 几何体的表面积
一、教学内容分析
几何体的表面积是在学习多面体和旋转体的概念后，进一步学习直棱柱、圆柱、正棱锥和圆锥的表面积公式.课本通过将几何体的侧面展开成平面图形，将几何体侧面积的计算转化为平面图形面积的计算，并能通过公式求得直棱柱、圆柱、正棱锥和圆锥的表面积.它是对几何体进行研究的重要方面.
通过将几何体的侧面展开成平面图形计算几何体的侧面积，说明将空间图形转化为平面图形是立体几何中的有效方法.能通过观察和分析几何体，研究其展开图的性质，理解直棱柱、圆柱、正棱锥和圆锥的表面积公式的推导过程，并会计算它们的表面积.会用球的表面积公式计算球的表面积.
二、教学目标设计[来源:21世纪教育网]
会通过将几何体的侧面展开成平面图形计算几何体的侧面积，进而计算几何体的表面积.理解直棱柱、圆柱、正棱锥和圆锥的侧面展开图，并会计算直棱柱、圆柱、正棱锥和圆锥的表面积.会计算球的表面积.
三、教学重点及难点
将空间图形转化为平面图形的方法；直棱柱、圆柱、正棱锥和圆锥的表面积公式.
四、教学流程设计21世纪教育网
五、教学过程设计
一、情景引入
1．复习和回顾多面体和旋转体的定义
2．提出课题：
（1）如何计算柱体（棱柱和圆柱）、锥体（棱锥和圆锥）的表面积？
将表面积分为底面和侧面两个部分分别加以计算，其中关于侧面积的计算，常用的方法是将该几何体的侧面展开成平面图形，转化为计算平面图形的面积.
（2）如何展开？
将它们的侧面沿着一条侧棱或母线展开.
二、学习新课
1、直柱体的侧面积
（1）实物演示直棱柱的侧面展开图，提出问题：
①直棱柱的侧面展开图是什么图形？为什么？
②它的长和宽分别和直棱柱有什么关系？
③由此直棱柱的侧面积和表面积该如何计算？
④一般棱柱侧面积可否用这个侧面积计算公式？为什么？
（2）实物演示圆柱的侧面展开图，提出问题：
①圆柱的侧面展开图是什么图形？为什么？
②圆柱的的侧面积和表面积计算公式与直棱柱能统一起来吗？
2、锥体的侧面积
实物演示正棱锥和圆锥的侧面展开图，提出问题：
（1）正棱锥的侧面展开图有什么特点？
（2）正棱锥的侧面积和表面积应如何计算？
（3）圆锥的侧面展开图是什么图形？为什么？
（4）圆锥的侧面积和表面积应如何计算？
（5）正棱锥和圆锥的侧面积和表面积计算公式能统一起来吗？
例题选讲
例1 已知正三棱锥的底面边长为2cm，体高为1cm.求该三棱锥的表面积.（结果精确到0.1cm2）
[说明]应先求出正棱锥的斜高，在解答过程中，应当作图，并注意解题格式的规范书写.
例2 用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45°，容器的高为10cm.制作该容器需要多少面积的铁皮？（衔接部分忽略不计，结果精确到0.1cm2）
[说明]应先求出该容器底面面积，应注意本题中容器无盖，只需求侧面积.
3、球的表面积
球不能像柱体和锥体那样展开成平面图形，球的表面积计算公式为，其中r是球的半径.
三、巩固练习21世纪教育网[来源:21世纪教育网]
1、已知正棱锥的底面是边长为4的正方形，求分别满足下列条件时该正棱锥的表面积.
（1）侧面与底面夹角为60°；
（2）侧棱与底面夹角为60°.
2、已知正圆锥的母线，母线与旋转轴的夹角.求该正圆锥的表面积.
四、课堂小结
1、将空间图形转化为平面图形的方法；
2、直棱柱、圆柱、正棱锥、圆锥和球的表面积公式.
五、作业布置21世纪教育网
课本习题.
六、教学设计说明
将空间图形转化为平面图形是本节内容的核心方法，侧面展开图的实物演示可以提供直观的图形，同时注意逻辑推理，即回答为什么直柱体的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.在具体解题过程中还需注意区分表面积和侧面积两个概念.球的表面积教材并未展开，只要会应用公式求球的表面积即可.
观察图像
导出公式
寻找方法
展开图形
复习概念
引出新课
课堂总结
布置作业
练习巩固
小结方法
例题选讲
巩固公式
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14．1 （2）平面及其基本性质
——三个公理三个推论
一、教学内容分析
本节的重点和难点是三个公理三个推论.三个公理和三个推论是立体几何的基础，公理1确定直线在平面上；公理2明确两平面相交于一直线；公理3及三个推论给出了确定平面的条件.这些是后面学习空间直线与平面位置关系的基础.所以让学生透彻理解这些公理和性质，把现实中的具体空间问题抽象出来，初步认识直线与平面、平面与平面之间的关系并体会立体几何的基本思想，从而培养学生的空间想象能力，有利于学生更快更好的学习立体几何.
二、教学目标设计
理解平面的基本性质，能用三个公理三个推论解决简单的空间线面问题；了解一些简单的证明.培养空间想象能力，提高学习数学的自觉性和兴趣.
三、教学重点及难点
三个公理，三个推论.
四、教学过程设计
一、讲授新课
（一）公理1
如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上.
（直线在平面上）
用集合语言表述：21世纪教育网
（二）公理2
如果不同的两个平面、有一个公共点A，那么、的交集是过点A的直线.（平面与平面相交）
用集合语言表述：
（三）公理3和三个推论
公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面.（确定平面）这里“确定”的含义是“有且仅有”
用集合语言表述：A，B，C不共线=>A，B，C确定一个平面
推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面.
证明：
设A是直线外的一点，在直线上任取两点B和C，由公理3可知A，B和C三点能确定平面.又因为点，所以由公理1可知B，C所在直线，即平面是由直线和点 A确定的平面.[21世纪教育网]
用集合语言表述：
推论2：两条相交的直线确定一个平面.
用集合语言表述：
推论3：两条平行的直线确定一个平面.
用集合语言表述：[来源:21世纪教育网]
（四）例题解析
例1如图，正方体中，E，F分别是的中点，问：直线EF和BC是否相交？
如果相交，交点在那个平面内？
解：
又，则直线EF和BC共面；
设直线EF和BC相交于点p，则p在直线BC上，即点P在平面ABCD上.
[说明]利用公理1确定直线在平面内.
例2 如图，若，求证：直线C必过点P.
解：
[结论]三个平面两两相交得到三条交线，若其中两条交于一点，另一条必过此公共点.
例3 空间三个点能确定几个平面？
空间四个点能确定几个平面？
解：三点共线有无数多个平面；三点不共线可以确定一个平面.所以三点可以确定一个或无数个平面.
四点共线有无数个平面；有三点共线可确定一个平面；任意三点不共线能确定1个或3个平面.所以四点可以确定1个或3个或无数个平面.
[说明]公理3的简单应用.
例4空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？
空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？
解：三条直线相交于一点可以确定1个或3个平面；
四条直线相交于一点可以确定1个、4个或6个平面.
[说明]推论2的简单应用.
例5 如图，AB//CD，，求作BC与平面的交点.
解：连接EF和BC，交点即为所求BC与平面的交点.（公理3和公理2）
[说明]推论3的简单应用.
三、课堂小结
1.公理1：确定直线在平面内；
2.公理2：平面与平面相交于一直线；
3.公理3和三个推论确定平面的条件；
四、课后作业
练习14.1（1）2[来源:21世纪教育网]
练习14.1（2）1，2，3
五、教学设计说明
本章呈现了几何研究的范围从平面扩展到空间时的基本方法.把几何研究的范围从平面扩展到空间后，增加了新的对象——平面.空间几何学是平面几何学的推广，平面几何中研究点与点、点与直线、直线与直线三种位置关系；空间几何中则增加了点与平面、直线与平面、平面与平面三中位置关系.本节的主要内容是让学生理解三个公理和三个推论，运用这些公理和推论进行一些简单的证明.
公理是人们在长期的生活实践的观察和检验中发现的.可以联系生活中的情景来学习三个公理，从而帮助学生学习，加深他们对公理的理解.三个公理和三个推论是空间几何学习的基础，有了这个基础，才能进一步研究空间中点与面、线与面、面与面的位置关系和度量问题.
21世纪教育网
α
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14．1 （１）平面及其基本性质
——平面及其表示法
一、教学内容分析21世纪教育网
本节的重点是平面的概念、平面的画法，点、线、面的位置关系的集合语言表示法.集合语言是学生比较熟悉的内容，而点、线、面是学生刚刚接触不太熟悉的内容，用已知的知识来表示未知的内容，更有利于学生接受和掌握新知识，也让学生更清楚的明确点、线、面的关系.但要注意的是，这里仅是借用集合语言来表示点、线、面的关系，而并不完全等同于集合中的相应关系，如a∩α=A就是一个例子.21世纪教育网
本节的难点是平面的概念、平面的画法.“平面”没有具体的定义，它的概念是现实中平面形象抽象的结果，所以，可以从学生之前学习的点、直线的概念入手，让学生理解平面的“平，没有厚度，在空间无限延伸”的特点.通过对平面概念的理解以及动手在纸上划出一个或几个平面的过程，初步认识平面、平面与平面之间的关系并体会立体几何的基本思想，从而培养学生的空间想象能力，为以后解决空间一些基本直线和平面之间的位置关系打下基础.
二、教学目标设计
理解平面的概念，能画出平面和用字母表示平面，掌握用集合符号表示点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系；培养空间想象能力，提高学习数学的自觉性和兴趣.
三、教学重点及难点
平面的概念、平面的画法，点、线、面的位置关系的集合语言表示法.
四、教学流程设计21世纪教育网
[来源:21世纪教育网]
五、教学过程设计
一、立体几何发展史
立体几何在生活中无处不在；本章研究空间中的直线和平面，是处理空间问题、形成空间想象能力的基础.
二、讲授新课
（一）平面
定义：平面是平的，没有厚度的，在空间无限延伸的图形.
数学中的平面的概念是现实中平面形象抽象的结果.比如平静的湖面、桌面等.
平面的表示方法：
（1）用大写的英文字母表示：平面M，平面N等；
（2）用小写的希腊字母表示：平面，平面等；
（3）用平面上的三个（或三个以上）点的字母表示：（如图14-1）平面ABCD等.
图14-1
平面的直观图画法：
正视图 垂直放置的平面M 水平放置的平面M
图14-2
相交平面画法
注意：看得见的线用实线，看不见的线用虚线.
（二）空间点、线、面的位置关系的集合语言表示法
在空间，我们把点看作元素，直线和平面看作是由元素点所组成的集合，建立了如下点、线、面的集合语言表示法.
点与线：
点A在直线L上：（直线L经过点A）；
点Q不在直线L上：
点与平面：
点A在平面内：（平面经过点A）；
点B不在平面内：；
直线与平面：21世纪教育网
直线L在平面上：
直线L上所有的点都在平面上，即直线L在平面上，或平面经过直线L，记作.
直线L在平面外：
当直线L与平面只有一个公共点A时，称直线L与平面相交于点A，记作；
当直线L与平面没有公共点时，称直线L与平面平行，记作或.
直线与直线：
直线a与直线b相交于点A，记作.
平面与平面：
当平面上所有的点都在平面上时，称平面与平面重合；
当不同的两个平面与有公共点时，将它们的公共点的集合记为L，称平面与平面相交于L，记作.
当两个平面与没有公共点时，称平面与平面平行，记作或.
（三）例题解析
例1观察下面图形，说明它们的摆放位置不同．
解：我们看到了这个几何体的前后两个面.
[说明]培养学生的空间想象能力.
例2 正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面，分别记作，试用适当的符号填空.
解：
[说明]能够熟练运用集合符号来说明点、线、面间的位置关系.
例3 ：根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形.
解：（1）点A在平面内，点B不在平面内；
（2）直线L在平面上，直线m在平面外；
（3）平面交平面与直线L；
（4）点P在直线L上，不在平面上；点Q在直线L上，也在平面上.
三、课堂小结
1.平面的定义；
2.平面及相交平面的画法；
3.集合语言在平面中的使用；
四、课后作业
练习14.1（1）1
五、教学设计说明
本章呈现了几何研究的范围从平面扩展到空间时的基本方法.把几何研究的范围从平面扩展到空间后，增加了新的对象——平面.空间几何学是平面几何学的推广，平面几何中研究点与点、点与直线、直线与直线三种位置关系；空间几何中则增加了点与平面、直线与平面、平面与平面三中位置关系.本节的主要内容是让学生了解平面的概念，以及空间点、线、面的基本关系及其表示.
对于学生而言，初中时已学过平面中点与点、点与直线、直线与直线三种位置关系.而这节课可以利用类比的方法从学生熟悉的知识引出学生还比较陌生的知识，把平面问题扩展到空间；利用生活中的熟悉的情景问题来说明空间中的点、线、面的基本关系，把生活与学习联系在了一起.
本节课通过对平面概念，和点线面基本关系及其表示的学习，引导学生把平面知识扩展到空间，培养学生的空间想象能力！
立几发展史引入
平面的概念
平面的画法
集合语言表示法
运用与深化(例题解析、巩固练习)
课堂小结并布置作业
A
l
A
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15．1多面体的概念
一、教学内容分析[来源:21世纪教育网]
在教学中所涉及到的多面体中每一个概念的得出，都尽可能与实物相结合.让学生观察现实世界中实物的图片，引导学生将观察到的实物进行归纳、分类、抽象、概括，得出柱体、锥体的结构特征.在此基础上给出由它们组合而成的简单几何体的结构特征．并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构，发展几何直观能力.
在整个教学设计中，注重让学生经历观察、归纳、分类、抽象、概括这一过程.从增强学生参与数学学习的意愿入手，在学生明确学习任务的基础上，并在有序列地解决问题中展开学习.运用激活、展示、应用、和整合策略，以师、生、文本三者间的多维对话为手段，最终达到提高学生参与数学学习能力的目标，取得教学的实效性.教学过程中注重让学生体验有关的数学思想，提高学生自主学习、分析问题和解决问题的能力，培养学生合作学习的意识．
二、教学目标设计
1、了解多面体、凸多面体的概念．在对棱柱、棱锥的图片及实物进行观察、比较、分析的过程中，理解并能归纳出棱柱、棱锥的结构特征．
2、了解棱柱、棱锥的概念，掌握直棱柱、正棱柱、正棱锥的性质，在棱柱、棱锥的概念形成的过程中，培养观察、分析、抽象概括能力，几何直观能力，合情推理能力，及类比的思想方法，逐步培养探索问题的精神，善于思考的习惯．
3、通过创造情境激发学生学习数学的兴趣和热情，鼓励合作交流、互助交流，培养创新意识．
三、教学重点及难点
1．教学重点：感受大量空间实物及模型，概括出棱柱、棱锥的结构特征．
2．教学难点：如何让学生概括棱柱、棱锥结构特征．
四、教学用具准备
较多的物体模型
五、教学流程设计
六、教学过程设计
1．提出问题，探索新知
问题1：同学们能否将右图中16个物体进行分类？（要求从物体的结构特征方面分成两类）
【设计意图】借助具体的实物图及实物，引导学生主动地对图形及实物进行观察、分析、比较，并由图形的特点进行分类，根据不同类别图形的特点，抽象概括出多面体和旋转体的定义，培养学生的观察、分类、概括的能力．
教师：刚才我们将这张图片中的物体形状较粗地进行了分类，我们知道分类越细，事物就具有更明显一致的共性，几何的研究这样，整个数学的研究也如此，接下来我们再对刚才图片中总结出的多面体进行研究，探索，分类．
问题2：请同学们观察右图四个多面体，再结合你们自制的模型，发现它们有何特征呢？
经过学生的观察、讨论，得出它们具有三个特征：①有两个面互相平行，②其余各面都是四边形，③每相邻两个四边形的公共边都互相平行，教师指出具有这三个特征的多面体叫做棱柱．
得出定义后，师生共同研究棱柱的相关定义：棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点，棱柱的表示，棱柱的分类．（教师板演这块内容）[来源:21世纪教育网]
【设计意图】通过对实物的观察、比较、分析，进一步感知多面体的定义，通过对棱柱定义的抽象概括，结构特征的分析，掌握分类的原则，从中培养几何直观能力，分析、解决问题的能力．
2．设计问题，深化概念
问题1 如图，一个长方体，你能说出它的底面吗？
教师：同一个几何体由于所选平行平面的不同，得出的结论也不同．定义中有两个面平行中“有”的含义：存在，不一定唯一．
问题2 如图，长方体ABCD-A’B’C’D’中被截去一部分，
其中FG∥A’D’，剩下的几何体是什么？截去的几何体是什么？
你能说出它们的名称吗？
一部分学生回答不是棱柱，但在另一部分学生的提示下，得出了正确答案：分别是五棱柱和三棱柱.
教师：判定一个几何体是否为棱柱的思路：选定一组平行平面后，按定义考查其他条件．若条件满足，可下肯定结论；若不满足，不要急于否定结论，可再选另一组平行平面，按定义再次验证．
总之，观察问题一定要周到、仔细、全面．
问题3 有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗
此题较难，学生不易想到，在他们思索一会儿，举不出反例的情况下，教师给出右图的反例，让学生讨论．
【设计意图】考虑到学生的基础较好，设计了三个问题让学生深入理解棱柱的概念，在培养合情推理能力的同时，适当进行思辨论证．
3．类比学法，合作交流
在对棱柱的定义有了较为深刻的认识后，教师提供图片和实物，将棱锥的结构特征这部分的内容放手给学生自行完成，让学生类比棱柱结构特征的研究，通过合作学习，自主探索出棱锥和棱台的结构名称、分类标准、及表示方法，培养学学生自主学习、合作交流的能力．经过一定时间的观察、分析、讨论、交流，学生作探讨后的汇报，教师及时点评，得出棱锥的结构名称、分类标准、及表示方法，并将内容进行板演．
【设计意图】通过学生对图片和实物的观察、分析、比较，类比棱柱的联系与区别，得出棱锥和棱台的结构特征，培养学生自主学习能力，独立思考的习惯，通过比较学习，便于知识的建构．21世纪教育网
4．应用整合，强化新知
例1下面图形中，为棱锥的是
教师：判断的标准是定义．
【设计意图】深化棱锥的概念
5．谈谈感受，归纳整理21世纪教育网
让学生充分讨论并发表自己的意见，师生共同交流、总结．
1．知识方面：①多面体的定义
②棱柱、棱锥的结构特征
③棱柱、棱锥的联系：21世纪教育网
2．能力方面：几何直观能力的培养，口头表达能力的培养，合情推理能力的培养，思辨论证能力的培养．
3．思维：我们从图形的逐次分类中，感受了怎么去处理事物，更清晰地形成处理事物的方法，怎么去分类，明确了事物分得越细，它们所具有的共性更一致，而且在这过程中，我们的思维经历了几个层次的变化：从整体到局部，从具体到抽象，从形象思维到逻辑思维，
【设计意图】通过对本节课的小结，让学生构建自己的知识结构．
6．作业布置
七、教学设计说明
1、问题情景体现人文底蕴
众多建筑图片的展示是对世界文化遗产的关注，也是对科学精神的弘扬，众多生活中物体图片的展示，让学生感受到数学就在我们的身边，感受到数学与生活的密不可分，教学中穿插的德育教育，哲学思想的渗透，体现人文主义．
2、多媒体的合理使用
信息技术在立体几何教学中主要有以下几方面的作用：（1）通过现代信息技术，如计算机、网络等展示丰富的图片，让学生感受大量的实物，抽象出空间几何体及其结构特征．（2）运用现代信息技术和有关软件，制作一些课件，如动态演示空间点、直线、平面之间的位置关系，以及空间中的平行与垂直关系等等．以往的立体几何的教学，是通过教师的讲解和学生的空间想象认识几何体和理解知识，造成了学生学习立体几何难．信息技术与立体几何的整合使教师通过课件带给了学生看得见的几何图，知识的理解和接受不再是空洞无味，而是形象直观，同时也让学生走进立体几何．本节课借助于多媒体，使得学生学习空间几何体更加形象具体，学习积极性很高．
3、突出以几何直观能力为主的各方面能力的培养
教学中，对于柱、锥的结构特征的获得一直引导学生要观察手中的模型，通过模型与图片的观察得出定义，让学生在发现中获取，在创造中学习，在成功中升华．
4、给学生充分探索和交流的机会，促进自主、合作式学习方式的形成．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
提出问题，探索新知
作业布置
设计问题，
深化概念
类比学法，合作交流
应用整合，强化新知
谈谈感受，
归纳整理
A
B
B’
C’
C
D
D’
A’
A’
C’
C
D
E
H
F
D’
（1）
（2）
（3）
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16.1 计数原理I——乘法原理
一、教学内容分析21世纪教育网
本节是涉及计数问题的基本原理之一，也是推导排列、组合数的依据，所以较少单独应用，多与后面即将学习的加法原理结合起来综合应用
二、教学目标设计
1.掌握乘法原理的内容；
2.能够熟练运用该原理解决一些实际应用问题.[来源:21世纪教育网]
三、教学重点及难点
掌握乘法原理的核心：分步；分步时注意避免重复及遗漏.
四、教学用具准备
多媒体设备
五、教学流程设计
生活中的实例导入→引出乘法原理→分析乘法原理→乘法原理的应用→方法小结→作业21世纪教育网
六、教学过程设计
一、 导入
导入1：课本P49实例：“行走线路”
导入2：某校学生午餐的选择有两大类：
,.
学生每人选择两类中的各一种用餐，那么该校学生的午餐选择共有多少种？
分析：第一步，选面食，共有4种选择；第二步，选大米，有3种选择.所有选择如下：
面条——白米饭；面条——大米粥；面条——蛋炒饭；
饺子——白米饭；饺子——大米粥；饺子——蛋炒饭；
馒头——白米饭；馒头——大米粥；馒头——蛋炒饭；
锅贴——白米饭；锅贴——大米粥；锅贴——蛋炒饭.
所以共有12种选择.
由导入1、导入2可总结如下：
(1) 这两个问题都是分两个步骤完成；
(2) 方法总数只要把每个步骤的方法数相乘即可.这就是我们要学习的一个基本原理
二、乘法原理
乘法原理的内容：课本P49
如果完成一件事需要n个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，……，第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.
三、乘法原理分析
乘法原理的核心：分步.
四、乘法原理的应用
1、课本P49例1~例3
2、例3的改编：21世纪教育网
（1）540的不同正偶数约数有多少个？
分析：正偶数约数必须含因数2，则，即有2种选择，所以540的不同正偶数约数有个.
（2）540的不同的末位数是0的正约数有多少个？
分析：末位是0的正约数必须含因数2、5，则，即有2种选择，有1种选择，所以540的不同的末位是0的正约数有个.21世纪教育网
3、 巩固与提高
4名运动员争夺3项冠军，则冠军获得者的可能情形有多少种？
分析：第一项冠军获得者有4种可能性，第二项冠军获得者也有4种可能性，第三项冠军获得者还是有4种可能性，由乘法原理，冠军获得者的可能情形有种.
4、巩固练习：P50 16.1
五、方法小结
在乘法原理的应用中，首先要正确分清做一件事的步骤，其次要搞清楚每一个步骤的方法数.
六、作业
习题册相应部分
七、教学设计说明：
本教学设计紧扣课本，同时作了以下安排：
（1） 导入部分在课本实例的基础上增加一个实例，让学生对乘法原理有一个感性认识；
（2） 在应用部分，对例3进行了改编，不仅加大了容量，也增加了灵活性，能引起学生进一步探讨的兴趣，实现了源于课本而高于课本的目标；在完成课本例题分析的基础上，增加一道练习题，增进学生对乘法原理更深刻的认识.
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16.4 组合（1）
一、教学内容分析
本节内容是学生在学习了乘法原理、排列、排列数公式和加法原理以后的知识，学生已经掌握了排列问题，并且对顺序与排列的关系已经有了一个比较清晰的认识.因此关键是排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系，指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.
二、教学目标设计
1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；
2.能正确认识组合与排列的联系与区别
3.通过练习与训练体验并初步掌握组合数的计算公式
三、教学重点及难点
组合概念的理解和组合数公式；组合与排列的区别.
四、教学用具准备
多媒体设备
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、 复习引入
1．复习
我们在前几节中学习了排列、排列数以及排列数公式
定 义 特 点 相同排列 公 式21世纪教育网
排 列 [来源:21世纪教育网]
以上由学生口答.
2．引入[来源:21世纪教育网]
那么请问：平面上有7个点，问以这7点中任何两个为端点，构成有向线段有几条？
这是一个排列问题
若改为：构成的线段有几条？则为 ，
其实亦可用另一种方法解决，这就是组合.
二、学习新课
1. 探究性质
1. 组合定义： P16
一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
【说明】：⑴不同元素； ⑵“只取不排”——无序性；
⑶相同组合：元素相同.
2.组合数定义：
从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示.
如：引入中的例子可表示为
＝＝ 这是为什么呢？
因为 构成有向线段的问题可分成2步来完成：
第一步，先从7个点中选2个点出来，共有种选法；
第二步，将选出的2个点做一个排列，有种次序；
根据乘法原理，共有·＝ 所以
·判断何为排列、组合问题： 利用书本P16～P17例题请学生判断
·这个公式叫组合数公式
3．组合数公式：
如＝ ＝
用计算器求 、 、 、
可发现＝ ＝
由此猜想:
用实际例子说明：比如要从50人中挑选4个出来参加迎春长跑的选择方案有，就相当于挑46个人不参加长跑的选择方案一样.“取法”与“剩法”是“一 一对应”的.
证明：∵
又 ，∴
当m＝n时，
此性质作用：当时，计算可变为计算，能够使运算简化.
4. 组合数性质：
1、
2、＝+
可解释为：从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：一类含有元素，一类不含有．含有的组合是从这n个元素中取出m 1个元素与组成的，共有个；不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的，共有个．根据加法原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想.
证明：
21世纪教育网
得证.
【说明】1 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数.
2 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用.
2．例题分析
例1、(1)，求x
(2)
(3)
略解：(1)
(2)
(3)
例2、应用题：
有15本不同的书，其中6本是数学书，问：
（1） 分给甲4本，且都不是数学书；
略解：（1）
3．问题拓展
例3.题设同例2：
（2）平均分给3人；
（3）若平均分为3份；21世纪教育网
（4）甲分2本，乙分7本，丙分6本；
（5）1人2本，1人7本，1人6本.
略解：（2） （3）
（4） （5）
三、课堂小结
指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.
能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.
学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.
排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.
四、作业布置
(略)
七、教学设计说明
在学习过程中，从排列问题引入，随即自然地过渡到组合问题.由此让学生对于排列与组合两者的异同有深刻理解，并能自如地进行判断.
本节课在教学技术上通过多媒体课件大大缩短了教师板书抄题的时间，让学生能够更加连贯的思考以及探索问题.
在例题的设计上从最基本的组合数公式的利用，到简单的应用题，再到组合中较难的分组分配以及平均不平均分配问题的训练，由浅入深，层层递进，以积极发挥课堂教学的基础型和研究型功能，培养学生的基础性学力和发展性学力.
在课堂教学中教师遵循“以学生为主体”的思想，鼓励学生善于观察和发现；鼓励学生积极思考和探究；鼓励学生大胆猜想，努力营造一个民主和谐、平等交流的课堂氛围，采取对话式教学，调动学生学习的积极性，激发学生学习的热情，使学生开阔思维空间，让学生积极参与教学活动，提高学生的数学思维能力.
利用引入中的内容，浅显易懂的方式让学生了解了组合数及排列数之间的关系，并由此掌握组合数的性质
利用有向线段、线段
的区别由排列问题入手，引出组合概念
布置课外作业
引导学生利用实际问题理解组合数性质并证明，学会灵活应用公式，另一方面能利用组合知识解决一些实际例题；
结合学生具体情况加深知识点，归纳小结组合与排列的异同点.
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14.4（1）空间平面与平面的位置关系
一、教学内容分析
二面角是我们日常生活中经常见到的一个图形，它是在学生学过空间异面直线所成的角、直线和平面所成角之后，研究的一种空间的角，二面角进一步完善了空间角的概念.掌握好本节课的知识，对学生系统地理解直线和平面的知识、空间想象能力的培养，乃至创新能力的培养都具有十分重要的意义.
二、教学目标设计
理解二面角及其平面角的概念；能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；能作出二面角的平面角，并能初步运用它们解决相关问题.
三、教学重点及难点
二面角的平面角的概念的形成以及二面角的平面角的作法.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、 新课引入
1.复习和回顾平面角的有关知识.
平面中的角
定义 从一个顶点出发的两条射线所组成的图形，叫做角
图形
结构21世纪教育网 射线—点—射线
表示法 ∠AOB,∠O等
2.复习和回顾异面直线所成的角、直线和平面所成的角的定义，及其共同特征.（空间角转化为平面角）
3.观察：陡峭与否，跟山坡面与水平面所成的角大小有关，而山坡面与水平面所成的角就是两个平面所成的角.在实际生活当中，能够转化为两个平面所成角例子非常多，比如在这间教室里，谁能举出能够体现两个平面所成角的实例？（如图1，课本的开合、门或窗的开关.）从而，引出“二面角”的定义及相关内容.
二、学习新课
（一）二面角的定义
平面中的角 二面角
定义 从一个顶点出发的两条射线所组成的图形，叫做角 课本P17
图形
结构 射线—点—射线 半平面—直线—半平面
表示法21世纪教育网 ∠AOB,∠O等 二面角α—a—β或α-AB-β
（二）二面角的图示
1.画出直立式、平卧式二面角各一个，并分别给予表示.
2.在正方体中认识二面角.
（三）二面角的平面角
平面几何中的“角”可以看作是一条射线绕其端点旋转而成，它有一个旋转量，它的大小可以度量，类似地，"二面角"也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成，它也有一个旋转量，那么，二面角的大小应该怎样度量？
1.二面角的平面角的定义（课本P17）.
2.∠AOB的大小与点O在棱上的位置无关.
[说明]①平面与平面的位置关系，只有相交或平行两种情况，为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，有必要来研究二面角的度量问题.
②与两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角做类比，用“平面角”去度量.
③二面角的平面角的三个主要特征：角的顶点在棱上；角的两边分别在两个半平面内；角的两边分别与棱垂直.
3.二面角的平面角的范围：
（四）例题分析
例1 一张边长为a的正三角形纸片ABC，以它的高AD为折痕，将其折成一个的二面角，求此时B、C两点间的距离.
[说明] ①检查学生对二面角的平面角的定义的掌握情况.
②翻折前后应注意哪些量的位置和数量发生了变化, 哪些没变
例2 如图，已知边长为a的等边三角形所在平面外有一点P，使PA=PB=PC=a，求二面角的大小.
[说明] ①求二面角的步骤：作—证—算—答.
②引导学生掌握解题可操作性的通法（定义法和线面垂直法）.
例3 已知正方体，求二面角的大小.（课本P18例1）
[说明] 使学生进一步熟悉作二面角的平面角的方法.
（五）问题拓展
例4 如图，山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是，沿这条路上山，行走100米后升高多少米？
[说明]使学生明白数学既来源于实际又服务于实际.21世纪教育网
三、巩固练习
1.在棱长为1的正方体中，求二面角的大小.
2. 若二面角的大小为，P在平面上，点P到的距离为h，求点P到棱l的距离.
四、课堂小结
1.二面角的定义
2.二面角的平面角的定义及其范围
3.二面角的平面角的常用作图方法
4.求二面角的大小（作—证—算—答）
五、作业布置
1.课本P18练习14.4（1）
2.在二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是10，求它到棱的距离．
3.把边长为a的正方形ABCD以BD为轴折叠，使二面角A-BD-C成的二面角，求A、C两点的距离．
六、教学设计说明
本节课的设计不是简单地将概念直接传受给学生，而是考虑到知识的形成过程，设法从学生的数学现实出发，调动学生积极参与探索、发现、问题解决全过程.“二面角”及“二面角的平面角”这两大概念的引出均运用了类比的手段和方法.教学过程中通过教师的层层铺垫，学生的主动探究，使学生经历概念的形成、发展和应用过程，有意识地加强了知识形成过程的教学.
复习回顾
引入新课
类比引导
提出问题
定理证明
会用反证法
解决问题
例题选讲
定理应用
巩固练习
小结方法
课堂总结
作业布置
A
C
B
D
P
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16.3计数原理II-加法原理
一、教学内容分析
本节内容是学生在学习了乘法原理、排列的知识，学生已经掌握了（分步计数原理）乘法原理，排列、组合的计算公式都是以乘法原理为基础的，而一些较复杂的排列应用题的求解，更是离不开加法原理，所以在教学目标中特别提出要使学生学会准确地应用两个基本原理分析和解决一些简单的问题.正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件；分类用加法原理，分步用乘法原理，单纯这点学生是容易理解的，问题在于怎样合理地进行分类和分步.教的要诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.
二、教学目标设计
1.了解学习本节的意义,激发学生的兴趣；21世纪教育网
2. 理解分类计数原理,培养学生的归纳概括能力；
3. 会利用加法原理分析和解决一些简单的应用问题.
三、教学重点及难点
分类计数原理(加法原理)的准确理解.
四、教学用具准备
多媒体设备
五、教学流程设计
21世纪教育网
六、教学过程设计
一、 复习引入
1．复习
我们在前几节中学习了乘法原理、排列等知识，那么请问什么是乘法原理？
（学生答）做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1 m2…mn种不同的方法．
2．引入
那么请问：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
分析:因为乘火车有3种走法，
乘汽车有2种走法，所以，乘
一次火车再接着乘一次汽车
从甲地到乙地，共有种不同走法，如图所示，
所有走法：火车1──汽车1；火车1──汽车2；火车2──汽车1；
火车2──汽车2；火车3──汽车1；火车3──汽车2
（以上由学生口答）
若问题改为：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法？
分析：因为一天中乘火车有3种走法，
乘汽车有2种走法，每一种走法都可
以从甲地到乙地，所以，共有3+2=5
种不同的走法，如图所示
(1－2) 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法
分析：从甲地到乙地有3类方法：
第一类方法，乘火车，有4种方法；
第二类方法，乘汽车，有2种方法；第三类方法，乘轮船，有3种方法；所以，共有4+2+3=9种方法. （以上由学生口答）
这就是今天所要学习的加法原理（即分类计数原理）
二、学习新课
1. 探究性质
1. 加法原理： 定义P22
做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十…十mn种不同的方法.
【说明】计数原理
·注意“不重不漏”
2．原理浅释
分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事.只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以.
分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏．
如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理.
可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同．
两个原理的公式是: ,
这种变形还提醒人们，分类和分步，常是在一定的限制之下人为的，因此，在这里我们大有用武之地：可以根据解题需要灵活而巧妙地分类或分步．
强调知识的综合是近年的一种可取的现象．两个原理，可以与物理中电路的串联、并联类比．
两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数
两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”
2．例题分析
例1、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
解：从书架上任取1本书，有3类办法：第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类办法是从第3层取1本体育书，有2种方法根据分类计数原理，不同取法的种数是4+3+2=9种
所以，从书架上任取1本书，有9种不同的取法；
例2．甲厂生产的收音机外壳形状有3种，颜色有4种，乙厂生产的收音机外壳形状有4种，颜色有5种，这两厂生产的收音机仅从外壳的形状和颜色看，共有所少种不同的品种？
解：收音机的品种可分两类：
第一类：甲厂收音机的种类，分两步：形状有3种，颜色有4种，共种；
第二类：乙厂收音机的种类，分两步：形状有4种，颜色有5种，共种
所以，共有个品种
说明：分类和分步计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题区别在于：分类计数原理针对“分类”问题，其中方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤中方法相互独立，只有各个步骤都完成才算完成了这件事
3．问题拓展
例3. 1、 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书
(1) 从中任取一本，有多少种不同的取法？
(2)从中任取数学书与语文书各一本，有多少种不同的取法？
解：(1)从书架上任取一本书，有两种方法：第一类可从6本数学书中任取一本，有6种方法；第二类可从5本语文书中任取一本，有5种方法；根据加法原理可得共有 5+6=11 种不同的取法
(2) 从书架上任取数学、语文书各一本，可以分成两步完成：第一步任取一本数学书，有6种方法；第二步任取一本语文书，有5种方法根据乘法原理可得共有5×6=30种不同取法
2、 某班级有男学生5人，女学生4人21世纪教育网
(1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？
(2) 从中任选男、女学生各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法？
解：(1) 完成从学生中任选一人去领奖这件事，共有2类办法，
第一类办法，从男学生中任选一人， 共有 = 5种不同的方法；
第二类办法，从女学生中任选一人， 共有 = 4种不同的方法
所以, 根据加法原理, 得到不同选法种数共有 N = 5 + 4 = 9 种
(2) 完成从学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事, 需分2步完成,
第一步， 选一名男学生，有 = 5种方法；
第二步， 选一名女学生，有= 4种方法；
所以，根据乘法原理, 得到不同选法种数共有 N = 5 × 4 = 20 种
由例1可知： 解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成” ，还是“分步完成” “分类完成”用“加法原理” ；“分步完成”用“乘法原理”
3、满足∪=｛1,2｝的集合、共有多少组
分析一:、均是｛1,2｝的子集:φ,｛1｝,｛2｝,｛1,2｝,但不是随便两个子集搭配都行,；其全部解分为四类:
1)当=φ时,只有=｛1,2｝,得1组解;
2)当=｛1｝时,=｛2｝或=｛1,2｝,得2组解;
3)当=｛2｝时,=｛1｝或=｛1,2｝,得2组解;
4)当=｛1,2｝时,=φ或｛1｝或｛2｝或｛1,2｝,得4组解.
根据分类计数原理,共有1+2+2+4=9组解.
分析二: 设、为两个“口袋”,需将两种元素(1与2)装入,任一元素至少装入一个袋中,分两步可办好此事:第1步装“1”,可装入不装入,也可装入不装入,还可以既装入又装入,有3种装法;第2步装2,同样有3种装法.根据分步计数原理共有3×3=9种装法,即原题共有9组解.21世纪教育网
4、 在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和大于20的不同取法共有多少种
解:分类标准一,固定小加数.小加数为1时,大加数只有20这1种取法;小加数为2时,大加数有19或20两种取法;小加数为3时,大加数为18,19或20共3种取法…小加数为10时,大加数为11,12,…,20共10种取法;小加数为11时,大加数有9种取法…小加数取19时,大加数有1种取法.由分类计数原理,得不同取法共有1+2+…+9+10+9+…+2+1=100种.
分类标准二:固定和的值.有和为21,22,…,39这几类,依次有取法10,9,9,8,8, …,2,2,1,1种.由分类计数原理得不同取法共有10+9+9+…+2+2+1+1=100种.21世纪教育网
5、如下图,共有多少个不同的三角形
解:所有不同的三角形可分为三类”
第一类:其中有两条边是原五边形的边,
这样的三角形共有5个；第二类:其中有且只有一条边是原五边形的边,这 样的三角形共有5×4=20个；第三类:没有一条边是原五边形的边,即由五条对角线围成的三角形,共有5+5=10个
由分类计数原理得,不同的三角形共有5+20+10=35个.
三、课堂小结
本节课主要介绍了加法原理，并让学生理解两个计数原理的不同之处.解题时应紧扣原理，弄清事情完成的前后经过，分清是分类还是分步，或分类中含分步、分步中含分类无论是分类、分步，关键是做到不重不漏.
四、作业布置
(略)
七、教学设计说明
本节内容是学生在学习了乘法原理、排列以后的知识，两个原理是教与学重点，又具有相当难度．加法和乘法在小学就会，那么，在中学再学它与以往有什么不同 不同在于小学阶段重在运算结果的追求，而忽视了其过程中包含的深层次思想；两个原理恰恰深刻反映了人类计数最基本的“大事化小”，即“分解”的思想．更具体地说就是把事物分成类或分成步去数．“分类”、“分步”，看似简单，不难理解，却是全章的理论依据和基本方法，贯穿始终，所以，是举足轻重的重点．两个原理，要能在各种场合灵活应用并非易事，所以，着实有其难用之处
本节课在教学技术上通过多媒体课件大大缩短了教师板书抄题的时间，让学生能够更加连贯的思考以及探索问题.
在课堂教学中教师遵循“以学生为主体”的思想，鼓励学生善于观察和发现；鼓励学生积极思考和探究；鼓励学生大胆猜想，努力营造一个民主和谐、平等交流的课堂氛围，采取对话式教学，调动学生学习的积极性，激发学生学习的热情，使学生开阔思维空间，让学生积极参与教学活动，提高学生的数学思维能力.
利用浅显易懂的问题让学生初步了解加法原理，并由此掌握分类计数原理的本质
复习乘法原理进而用一个实际问题引出加法原理
布置课外作业
引导学生进一步掌握两个计数原理的区别，学会灵活应用，另一方面能利用加法知识解决一些实际例题；
结合学生具体情况加深知识点，归纳小结加法原理与乘法原理的异同点。
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15．5 几何体的体积
1、 教学内容分析
在前一章研究空间的直线与平面，和本章前面棱柱的定义、基本性质、画法的基础上，来研究柱体的体积，在这里点到平面的距离得到了具体的应用：体现在求柱体的高上.通过求体积的几种方法提高学生空间想象能力和解决实际问题的能力.[来源:21世纪教育网]
2、 教学目标设计
1、知道祖暅原理；2、掌握柱体的体积公式.
3、 教学重点与难点
柱体的体积公式；应用体积公式进行计算.21世纪教育网
4、 教学流程设计
引出祖暅原理导出柱体体积公式例题讲解巩固练习作业布置
5、 教学过程设计
（一）、祖暅原理
1、在生产实际中，经常遇到体积的计算问题，如兴修水利、修建道路需要计算土方，修建粮仓、水池需要计算建材数量和容积.
2、介绍我国古代劳动人民对几何体的体积研究的成果.
（1）到公元1世纪《九章算术》成书时，已经有了各种几何体的体积公式.
（2）祖暅的介绍.
3、祖暅原理：
祖暅原理的功能：从一种几何体的体积公式，推导另一种几何体的体积.
（二）、利用祖暅原理推柱体的体积公式
1、复习长方体的体积公式：V=sh.
2、用祖暅原理推导棱柱的体积公式：V=sh.
3、用祖暅原理推圆柱体的体积公式：V=sh或.
（三）、例题讲解
例1：已知三棱柱的底面为直角三角形，两直角边AC与BC的长分别为4cm与3cm，侧棱的长为10cm，求满足下列条件的三棱柱的体积：（1）侧棱垂直于底面；（2）侧棱与底面所成角为.
解：（1）因为侧棱底面，所以三棱柱的高等于侧棱的长，
而底面三角形的面积，21世纪教育网
于是三棱柱的体积.
（2）如图，过作平面的垂线，垂足为H，为三棱柱的高.因为侧棱与底面所成的角为，所以，可计算得.由（1）知底面三角形的面积，故三棱柱的体积
（四）、巩固练习：
1、在修铁路时，路基需要用碎石铺垫.已知路基的形状尺寸如图所示（单位：m），纹每修建1千米铁路需要碎石多少立方米.
(分析：将路基看作是一个底面为等腰梯形的直四棱柱 )
2、求底面半径为5cm，高为10cm的圆柱体的体积.
3、平行六面体的所有的面的边长都为a、锐角为的全等菱形，求其体积.
解：如图，过作平面的垂线，
垂足为Ｏ，为四棱柱的高.
因为21世纪教育网
所以在平面的射影Ｏ为正的中心．
在中，由，可得．21世纪教育网
故四棱柱的体积
（五）、课堂小结：
（1）祖暅原理：从一种几何体的体积公式，推导另一种几何体的体积.
（2）柱体的体积公式：V=sh.
（3）在应用体积公式之前，应运用直线与平面的有关知识作出高，然后进行运算.
（六）、作业布置. 略
Ａ＇
Ａ
B
C
B＇
C＇
H
1
2
4
1000
A
Ｃ＇
Ｂ＇
A＇
B
C
D
Ｄ＇
o
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14.4（2）空间平面与平面的位置关系
一、教学内容分析
在空间平面与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的位置关系.空间中平面与平面平行的定义与性质学生之前已经掌握，本节课使学生掌握两个平面平行的判定（证明）.通过两个平面平行的判定定理的证明过程，使学生进一步体会反证法的思想，加强用反证法证明某些简单命题的能力，培养和发展学生的归纳推理论证能力；通过两个平面平行的判定定理应用的教学，使学生体会转化思想（空间向平面；线线、线面、面面平行关系的相互转化）在解决问题中的运用.
二、教学目标设计
掌握空间两个平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理及其推导，能用两个平面平行的判定定理判定（证明）两个平面平行.
三、教学重点及难点
两个平面平行的判定定理的证明及其应用.
四、教学流程设计[来源:21世纪教育网]21世纪教育网
五、教学过程设计
一、 新课引入
问题1：空间两个平面之间的位置关系有哪些？
问题2：空间平面位置关系分类的依据是什么？
问题3：对于两个平面平行的位置关系，我们可以根据定义（没有公共点）来判断，但很难操作，除此之外，能否用简便的方法来判断呢？
二、学习新课
（一）两个平面平行的判定
1.平面内一条直线与平面平行，能否判断？
2.平面内两条直线与平面平行，能否判断？
3.平面内无数条直线与平面平行，能否判断？
[说明]通过长方体模型，引导学生观察、动手实验，探索出结论.
（二）两个平面平行的判定定理的证明
例1设、是平面内的两条相交直线，且，，求证：.
[说明]①让学生用文字语言和符号语言描述两个平面平行的判定定理，即如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
②小结反证法的证题步骤.
（三）例题分析
例2 如图，在正方体中，求证：平面平面.
[说明]进一步使学生明白运用定理时一定要注意寻求的是两相交直线，而后证明这两条直线分别平行与另一个平面，在论证及书写的过程中要力求规范.21世纪教育网
例3 已知、是异面直线，求证：过直线且平行于的平面与过直线且平行于的平面平行.
证明:过作平面,使
∵∥, ,,∴∥
又∵ , ,∴∥且∥
又、异面,∴与必相交,∴∥.
[说明]灵活地实现“线线”、“线面”、“面面”平行间的相互转换
（四）问题拓展
例4 有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′．要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？所画的线和面AC有什么关系？
解：（1）∵BC∥面A′C′，
面BC′经过BC和面A′C′交于B′C′，
∴BC∥B′C′．
经过点P，在面A′C′上画线段EF∥B′C′，
得：EF∥BC．
∴EF面BF,B面BF.连结BE和CF. BE,CF和EF就是所要画的线.
（2）∵EF∥BC，根据判定定理，则EF∥面AC；BE、CF显然都和面AC相交．
三、巩固练习
1.断下列命题是否正确，并说明理由.
(1)若平面内的两条直线分别与平面平行，则与平行.（ ）
(2)若平面内有无数条直线与平面平行，则与平行.（ ）21世纪教育网[来源:21世纪教育网]
(3)平行于同一条直线的两个平面平行. （ ）
(4)过已知平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行.（ ）
(5)过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面.（ ）
2.如图，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点.求证：平面ED1∥平面BF1.
四、课堂小结
1.空间两个平面的位置关系.
2.两个平行平面的判定定理.
五、作业布置
1.课本P19练习14.4（2）
2.如图，设G、H、E、F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1D1、A1B1、B1C1、C1D1的中点.求证：平面AGH∥平面DBEF.
七、教学设计说明
本节课在教学中引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，通过直观感知、操作确认，归纳出两个平面平行的判定方法，并引导学生将文字语言转化为图形语言和符号语言.要求学生能熟练运用判定定理证明两个平面平行，注重数学思想的渗透；注重数学知识与实际的联系.
复习回顾
引入新课
提出问题
引导发现
定理证明
解决问题
探索研究
解决问题
例题选讲
定理应用
巩固练习
小结方法
课堂总结
作业布置
C
D
B
A
β
α
E1
F1
F
E
B
B1
A
D
C
D1
C1
A1
E
G
F
H
B
B1
A
D
C
D1
C1
A1
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15.3旋转体的概念（1）
一、教学内容分析
本节课是在学习完棱柱、棱锥两种特殊的多面体之后，学习的第二类简单的几何体，圆柱与圆锥学生已经有所接触，但只是生活意义上的理解，课本这里是给出数学定义.圆柱与圆锥内容的承上之处是它们与棱柱、棱锥都是由四边形或三角形构成的，区别在于构成的方式不同，这里学生认知上的一个重要发展是曲面的概念及其形成的数学理解.而这一发展又正好是对球的概念及所有旋转体的概念的形成起到了启下作用，是学生后序发展的最近发展区.
二、教学目标设计
1、理解圆柱、圆锥及其有关概念的形成过程；
2、理解圆柱、圆锥的侧面的母线的概念及母线之间的关系，母线所具有的性质；21世纪教育网
3、通过对圆柱、圆锥的研究培养空间想象力及知识的自我生成和发展能力.
三、教学重点及难点
重点是圆柱、圆锥概念的生成；难点是母线及其相关性质的理解和简单应用.
四、教学用具准备
教具、学具：圆柱，圆锥实物模型、多媒体设备（宋体四号）
五、教学流程设计
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六、教学过程设计
一、 情景引入
1．观察
总结概括多面体及其重要特征，然后给出圆柱、圆锥、球和其他旋转体引入旋转体的概念.
2．思考
圆柱可看成由何种平面图形绕它所在平面内的一条直线旋转形成的？
3．讨论21世纪教育网
通过从不同角度观察圆柱并联想到特殊图形讨论可以是何种图形，如何旋转可得到圆柱
二、学习新课
1．概念辨析
圆柱的概念:圆柱的轴，圆柱的底面，侧面，侧面的母线及圆柱的高.
底面和侧面分别是由矩形的哪条边旋转得到的？
底面由与轴垂直的边旋转得到，所以圆柱的底面是圆面且垂直于轴.
侧面是由与轴平行的边旋转得到，所以侧面是曲面，且该边旋转到任何位置所得到的线段都是侧面的母线，因此母线有无穷多条,互相平且相等.
2．例题分析
例1用垂直于轴的平面截圆柱，所得截面是何种图形？
例2用平行于轴的平面截圆柱，所得截面是何种图形？
例3把圆柱的侧面沿一条母线展开，所得图形是哪种图形？
可以实物引导学生具体操作，探究并解决问题.
3．问题拓展
根据对圆柱的学习，你能否研究一下圆锥，得出与圆柱相应的概念、性质，并回答与圆柱的三个例题相对应的问题？
下面可以让学生独立或分组根据实物对圆锥进行研究，教师巡视观察学生的进展情况，并随时给予指导.
最后由学生总结研究结果.
在学习过圆柱和圆锥的基础上引导学生给出旋转体的概念.
三、巩固练习
1、举出生活中的圆柱和圆锥的实例.
2、用垂直于圆柱底面的平面截圆柱，何时截面面积最大？最大面积是多少？
3、若直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周所得几何体是何形状？
四、课堂小结
1、圆柱，圆锥，旋转体的概念，和侧面母线，侧面展开图形状.
2、圆柱与圆锥垂直于轴的截面和平行于轴的截面的特点.
五、作业布置21世纪教育网
练习册，
拓展作业：
1、求过圆锥顶点的截面三角形顶角的最大值和面积的最大值.
2、与圆柱和圆锥的轴斜交的平面截圆柱和圆锥所得截面是何种图形？21世纪教育网
七、教学设计说明
圆柱、圆锥学生已经有所接触，所以并不陌生，但是学生的经验或知识仅是感性经验，并没有上升到数学的角度，所以对圆柱和圆锥的本质特点往往把握不准.因此本节课在设计时把重点放在从数学的角度观察圆柱和圆锥，揭示其数学特征，并用数学语言表示描述其特征上，让学生体验把感性知识数学化的过程.在练习和作业中的截面问题要求较高，可根据学生的情况控制难度.
另外从知识的呈现次序上，与课本先总后分不同，采用了先分后总的次序，比较符合认识规律.
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复习多面体，给出模型引入课题
母线及其性质的理解
圆柱概念的生成及辨析
例题分析
拓展到圆锥
旋转体概念的概括
巩固练习
总结
作业布置
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