本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
课时2 空间几何体的表面积与体积
一、复习目标：
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆），会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积．
二、知识回顾：
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积公式：
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式及表面积公式：
3．柱体、锥体、台体的体积公式：
4．球的表面积公式和体积公式：
三、基础训练：
1．已知圆锥的底面半径为2cm，高为2cm，则该圆锥的侧面积为_________．
2．把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为 ．
3．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，
①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与
BM成60o角；④DM与NB垂直．以上四个命题中，
正确命题的序号是 ．
[来源:21世纪教育网]
4．正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 ．
5．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出
的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积
是 ．
四、例题选讲：
例1．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，BB1＝c，并且a＞b＞c＞0．求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长．
例2．有三个球，第一个球内切于正方体六个面，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．21世纪教育网
例3．三棱锥S－ABC中，一条棱长为a，其余棱长均为1，求a为何值时三棱锥的体积最大，并求最大值．
21世纪教育网
五、反馈练习：
1．以下的几个图形，可能作为空间几何体的平面展开图的有_______．
21世纪教育网
2．已知某个几何体的三视图如下（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm），
可得这个几何体的体积是 ．
3．如图，一个空间几何体的正视图，侧视图，俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角
三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为___________．
4．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB,CD
在原正方体中的位置关系是 ．
5．若一个六棱锥的侧棱为10cm，底面是边长为6cm的正六边形，则这个六棱锥的体积 ．
6．圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为8：3，则圆台的体积为 ．
7．水管或煤气管经常需要从外部包扎，以便对管道起保护作用，
包扎时用很长的带子缠绕在管道外部．若需要使带子全部包住管
道且没有重叠的部分（不考虑管子两端的情况，如图所示），这就
要精确地计算带子的缠绕角度（指缠绕中将部分带子拉成图中
所示的平面ABCD时的∠ABC，其中AB为管道侧面母线的一部分）．
若带子宽度为1，水管直径为2，则缠绕角度的余弦值为 ．
8．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的外接球表面积为__ ___cm2．
21世纪教育网
9．一几何体的表面展开如图所示，则这个几何体是哪一种几何体？选择适当的角度，画出它水平放置时的直观图与三视图，并计算该几何体的体积。
6
6
6
10．如图所示，三棱锥D－ABC一条侧棱AD＝8cm，底面一边长BC＝18cm，其余四条棱长都是17cm，求三棱锥D－ABC的体积．
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
D
C
M
E
B
A
N
20
20
正视图
20
侧视图
10
10
20
俯视图
A
B
C
D
B1
A1
C1
D1
①
③
④
②
俯视图
10
左视图
主视图
8
12
4
8
正视图
侧视图
俯视图
D
C
A
B
6
主视图
左视图
6
俯视图
6
6
A
B
C
D
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
普通高中课程标准实验教科书—数学必修Ⅱ[苏教版]
直线的斜率（1）
教学目标
（1）理解直线的斜率的概念及过两点的直线斜率的计算公式；
（2）掌握直线的倾斜角的概念及倾斜角的范围．
教学重点
直线的斜率和倾斜角的概念．
教学难点
过两点的直线斜率的计算公式的推导．
教学过程
一、问题情境
1．情境：
多媒体投影现实世界中的一些美妙曲线：飞逝的流星、雨后的彩虹、古代的石拱桥（赵州桥）、股市走势图、行星围绕太阳运行的轨迹……这些曲线都和方程息息相关，在数学中，我们可以通过研究这些曲线的方程来认识这些曲线．
初中时我们已经初步接触到了直线的方程，例如：．在平面直角坐标系中，用有序实数对表示平面内的点，代数方程的解看作平面上的点的坐标，这些点的集合即为直线．
一般地，关于的一个方程，将它的解看作平面上的点的坐标，这些点的集合是一条曲线．
2．问题：
我们都知道，两点可以确定一条直线．还有什么样的条件可以确定一条直线吗？
答：一点和直线的方向（即直线的倾斜程度）．
二、建构数学
1．坡度
楼梯或路面的倾斜程度可用坡度来刻画．21世纪教育网
坡度指斜坡起止点间的高度差与水平距离的比值．
说明：铁路的坡度一般比较小，用千分率（‰）表示，
而公路的坡度相对较大，用百分率（％）表示．
2．直线的斜率
已知两点，如果，那么直线的斜率为．21世纪教育网
说明：
（1）斜率公式与两点的顺序无关；
（2）如果（即直线与轴垂直时），那么直线的斜率不存在（如图2）；
（3）对于不垂直于轴的直线的斜率与直线上所选两点的位置无关；
（4）对于与轴不垂直的直线，斜率可看作：．
3．直线的倾斜角
问题：在直角坐标系中，过点的一条直线绕点旋转，不管旋转多少周，它对轴的相对位置有几种情形？
倾斜角的定义：平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角称为直线的倾斜角．[来源:21世纪教育网]21世纪教育网
规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，
所以，倾斜角的范围是．
说明：倾斜角和斜率都是刻画直线倾斜程度的量，当斜率侧重于数量关系，而倾斜角则侧重于直观形象．
四、数学运用
1．例题：
例1．如图，直线都经过点，又分别经过点，，试计算直线的斜率．
解：设的斜率分别为，则
，
由图可知，
（1）当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜（），此时直线倾斜角为锐角；
（2）当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜（），此时直线倾斜角为钝角；
（3）当直线的斜率为0时，直线与轴平行或重合（），此时直线倾斜角为．
例2．已知直线经过点、，求直线的斜率及当时的倾斜角．
解：当时，直线的斜率不存在，此时倾斜角为；
当时，直线的斜率．
例3．已知三点在一条直线上，求实数的值．
解：由题意，，
∴，∴或．
练习：求证：三点共线．
例4．经过点画直线，使直线的斜率分别为：（1）；（2）．
分析：根据两点确定一条直线，只需再确定直线上另一个点的位置．21世纪教育网
解：（1）根据斜率，斜率为表示直线上的任一点沿轴方向向右平移4个单位，再沿轴方向向上平移3个单位后仍在此直线上，
将点沿轴方向向右平移4个单位，再沿
轴方向向上平移3个单位后得点，即可确定直线．
（2）∵，∴将点沿轴方向向右平移5
个单位，再沿轴方向向下平移4个单位后得点，
即可确定直线．
2．练习：课本第72页 练习 第1，2，3题．
五、回顾小结：
1．直线的斜率的概念及过两点的直线斜率的计算公式；
2．直线的倾斜角的概念及倾斜角的范围．
六、课外作业：
课本第72页 练习 第4，5题．
补充：已知三点共线，求的值．
宽度
高度
直线
（图2）
（图1）
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
1.2.2空间中的平行关系（1）
教学目标：1、理解公理4
2、掌握等角定理及其应用
教学重点：1、理解公理4
2、掌握等角定理
教学过程：
（1） 复习平面几何中有关平行线的传递性的结论
（2） 公理4：平行于同一直线的两条直线平行（应指出：此“公理”并不是真正的公理，可以证明，但不一定给学生证明）
（3） 异面直线的概念：不同在任一平面内的两条直线
（4） 异面直线的判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线（注：第（三）、（四）两条课标均未设计，但应重视）
（5） 等角定理：见教材[来源:21世纪教育网]
（6） 空间两直线成的角：过空间一点作两直线的平行线。得到两条相交直线，这两条相交直线成的直角或锐角叫做两直线成的角.
（7） 例子与练习
(1)在立方体中过点能作 条直线，与直线、都成角.21世纪教育网
(2)空间三条直线，下面给出三个命题：①，则；②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c是异面直线；③若a、b共面，b、c共面，则a、c共面；上述命题正确的个数是 .21世纪教育网
(3)过空间一点能否作直线与两给定异面直线都相交？过一点能否作一平面与两给定的异面直线都相交？
(4)空间四边形中，M、N分别是AB、CD的中点;求证：①与异面；②.
(5)下列命题：
①垂直于同一直线的两条直线平行；21世纪教育网
②平行于同一直线的两条直线平行.
其中正确的是 .21世纪教育网
(6)已知、是异面直线，直线平行于直线，那么与（ ）.
A. 一定是异面直线
B. 一定是相交直线
C. 不可能是平行直线
D. 不可能是相交直线
课堂练习：(略)
小结：本节课学习了公理4和等角定理，了解异面直线的概念和直线成角的概念
课后作业：略
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
1.2.3空间中的垂直关系（2）
教学目标：1、平面与平面垂直的概念
2、平面与平面垂直的判定与性质
教学重点：平面与平面垂直的判定与性质
教学过程：
（1） 两平面垂直的概念
（2） 平面与平面垂直的判定：如果一平面经过另一个平面的垂线，则两个平面互相垂直
（3） 平面与平面垂直的性质：
（1）平面与平面垂直，则在第一个平面内垂直与交线的直线垂直于第二个平面
（2）平面与平面垂直，过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线在第一个平面内且垂直与交线
（4） 例子与练习
例1求证：若两相交平面垂直于同一平面，那么，其交线也垂直于这个平面.
已知：平面、、，，且
求证：
证明：方法一：
设，
在内作，
由平面与平面垂直的性质可得：
因为
所以
同理
故
方法二：
设，
在内作直线，在内作直线
由平面与平面垂直的性质得：，
故
又因为 ,
得
因为 ，
故
所以
例2如图，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD//CE且CE=CA=2BD,M是EA的中点.21世纪教育网
求证:（1）=21世纪教育网
（2）平面BDM⊥平面ECA
证明：（1）如图设为的中点，连结、.
因为 △ABC为正三角形，
所以
又因为 ，
所以且
故 四边形是平行四边形，
由于 ，
所以 平面21世纪教育网
所以 平面
所以 [来源:21世纪教育网]
故 =
（2）由（1）知平面，平面BDM
所以 平面BDM⊥平面ECA21世纪教育网
课堂练习：教材第59页 练习A、B
小结：本节课学面与平面垂直的判定与性质
课后作业：教材第60页 习题1-2A：16
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
1.2.2空间中的平行关系（3）
21世纪教育网
教学目标：1、平面与平面平行的概念
2、平面与平面平行的判定与性质21世纪教育网
教学重点：平面与平面平行的判定与性质[来源:21世纪教育网]
教学过程：
（1） 直线与平面无公共点——平行
（2） 平面与平面无公共点——平行
（3） 平面与平面平行的判定定理：一个平面内有两条相交直线与另一平面平行，那么这两个平面平行.——线面平行，面面平行.
(此定理的证明方法是反证法应进一步巩固证明方法步骤：反设、归谬、结论)
推论：一个平面内有两条相交直线与另一平面内两条相交直线平行，那么这两个平面平行.——线线平行，面面平行
（低一级的位置关系判定高一级的位置关系）
（4） 直线与平面平行的性质定理：如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行.——面面平行，线线平行.
（5） 例子与练习
1、已知：在正方体中；求证：平面平面.
解析：因为21世纪教育网
所以平面平面
卡片：判断两平面平行的方法主要有：
（1）两平面平行的定义；
（2）如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，则两平面平行；
（3）如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面内的两相交直线，则两平面平行；
2. 平面//平面，A、B，B、D,点E、F分别在线段AB、CD上，且.求证：//
3. 若不共线三点到平面的距离相等且不为0，则该三点确定的平面β与平面的关系为（ ）
A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.重合
4. 求证：平行于同一平面的两个平面平行.
课堂练习：教材第50页 练习A、B21世纪教育网
小结：本节课学面与平面平行的概念, 平面与平面平行的判定与性质
课后作业：教材第60页 习题1-2A：8.B:5、7.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
1.2.3空间中的垂直关系（1）
教学目标：1、直线与平面垂直的概念
2、直线与平面垂直的判定与性质
教学重点：直线与平面垂直的判定与性质21世纪教育网[来源:21世纪教育网]
教学过程：
（1） 两条直线成的角为直角——两条直线垂直
（2） 一直线与一平面内的所有与它相交的直线都垂直——直线与平面垂直
（3） 一组概念：平面的垂线、垂足、垂线段、点到直线的距离、点到平面的距离、直线的垂面
（4） 直线与平面垂直的判定：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线、那么这条直线与这个平面垂直
（5） 推论：如果两条平行直线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面
（6） 直线与平面垂直的性质：
（1）直线与平面垂直，则直线垂直于平面内的所有直线
（2）垂直于同一平面的两条直线平行21世纪教育网
（7） （1）过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个
（2）过一点与已知平面垂直的直线有且只有一个
（8） 例子与练习
例1 已知:在空间四边形ABCD中,AC=AD,BC=BD,求证：AB⊥CD
证明：如图9-15，设CD中点为E，连接AE、BE，
因为ΔACD为等腰三角形,21世纪教育网
所以AE⊥CD;
同理BE⊥CD.
所以CD⊥平面ABE,
所以CD⊥AB.
例2 已知VC是ΔABC所在平面的斜线，V在平面ABC上的射影为N，N在ΔABC的高CD上，M是VC上的一点，∠MDC=∠CVN,求证：VC⊥平面AMB
证明:如图9-16，因为∠MDC=∠CVN,且∠VNC=,
所以∠DMC=,
即VC⊥MD.
又VN⊥AB,CD⊥AB
所以AB⊥平面VCN
所以VC⊥AB，
所以VC⊥平面AMB.
例3 如图9-18,已知AP是∠ABC所在平面的斜线,PO是∠ABC所在平面的垂线,垂足为O.
(1)若P到∠BAC两边的垂线段PE、PF的长相等，求证：AO是∠BAC的平分线.
(2)若∠PAB=∠PAC,求证：AO是∠BAC的平分线.
证明：（1）连OE、OF，
因为PE⊥AB，PF⊥AC，
由三垂线定理的逆定理知：
OE⊥AB，OF⊥AC，
由已知：PE＝PF，故ΔPEO≌ΔPFO，所以EO＝FO
所以AO是∠BAC的平分线.
（2）过P作PE⊥AB，PF⊥AC,
垂足为E、F，
因为∠PAB=∠PAC，所以易知ΔPEA≌ΔPFA，
则PE＝PF.
（以下同（1））
课堂练习：教材第55页 练习A、B
小结：本节课学习了直线与平面垂直的判定与性质21世纪教育网
课后作业：教材第60页 习题1-2A：13、14、15
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
1.2.2空间中的平行关系（2）
教学目标：1、直线与平面平行的概念
2、直线与平面平行的判定与性质
教学重点：直线与平面平行的判定与性质
教学过程：
（1） 复习公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内
（2） 按直线与平面的公共点的个数给直线与平面的位置关系分类：1、直线与平面有且只有一个公共点——相交；2、直线与平面无公共点——平行；3、直线与平面有无数个公共点——直线在平面内.
（3） 直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么平面外的直线与这个平面平行.——线线平行，线面平行.
(此定理的证明方法是反证法应讲明证明方法步骤：反设、归谬、结论)
（4） 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线与这两个平面的交线平行.——线面平行，线线平行.
（5） 例子与练习
例1、直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（ ）21世纪教育网
A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.任意一条直线都不相交D.无数条直线都不相交
解析：直线与平面平行，那么直线与平面内的任意直线都不相交，反之亦然；故应选C
例2、“平面内有无穷条直线都和直线l平行”是“”的（ ）.[来源:21世纪教育网]
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件
解析：如果直线在平面内，直线可能与平面内的无穷条直线都平行，但直线不与平面平行，应选B
例3、已知：正方形与正方形不共面，=.21世纪教育网
求证：平面.
证法一：21世纪教育网
如图，连结AM并延长交BC于G，
则==，所以.
又MN平面, EG平面.
故平面.[来源:21世纪教育网]
证法二：如图，过N作直线NH//EB交直线AB于H
连结MH.
因为==, 所以 HM//AD//BC,
于是 平面MHN//平面CBE.
MN平面MHN,
所以 平面.
卡片:判断直线与平面平行常用的方法有:
(1)根据直线与平面平行的定义;
(2)根据直线与平面平行的判定定理;
(3)若两平面平行,那么其中一个平面内的任意直线平行与另一平面.(此条可讲完下节后补充)
课堂练习：教材第47页 练习A1.2.3、B
小结：本节课学习了直线与平面平行的概念,直线与平面平行的判定与性质
课后作业：教材第60页 习题1-2A：7、9.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
《空间直角坐标系》教学设计
教材教法分析
本节课是苏教版普通高中课程标准实验教科书数学必修（2）第2章第三节的第一节课.该课是在二维平面直角坐标系基础上的推广，是空间立体几何的代数化.教材通过一个实际问题的分析和解决，让学生感受建立空间直角坐标系的必要性，内容由浅入深、环环相扣，体现了知识的发生、发展的过程，能够很好的诱导学生积极地参与到知识的探究过程中.同时，通过对《空间直角坐标系》的学习和掌握将对今后学习本节内容《空间两点间的距离》和选修2-1内容《空间中的向量与立体几何》有着铺垫作用.由此，本课打算通过师生之间的合作、交流、讨论，利用类比建立起空间直角坐标系.
学情分析
一方面学生通过对空间几何体：柱、锥、台、球的学习，处理了空间中点、线、面的关系，初步掌握了简单几何体的直观图画法，因此头脑中已建立了一定的空间思维能力.另一方面学生刚刚学习了解析几何的基础内容：直线和圆，对建立平面直角坐标系，根据坐标利用代数的方法处理问题有了一定的认识，因此也建立了一定的转化和数形结合的思想.这两方面都为学习本课内容打下了基础.
教学目标
1．知识与技能
1 通过具体情境，使学生感受建立空间直角坐标系的必要性
2 了解空间直角坐标系，掌握空间点的坐标的确定方法和过程
3 感受类比思想在探究新知识过程中的作用
2．过程与方法
1 结合具体问题引入，诱导学生探究
2 类比学习，循序渐进21世纪教育网
3．情感态度与价值观
通过用类比的数学思想方法探究新知识，使学生感受新旧知识的联系和研究事物从低维到高维的一般方法.通过实际问题的引入和解决，让学生体会数学的实践性和应用性，感受数学刻画生活的作用，不断地拓展自己的思维空间.
教学重点
本课是本节第一节课，关键是空间直角坐标系的建立，对今后相关内容的学习有着直接的影响作用，所以本课教学重点确立为“空间直角坐标系的理解”.21世纪教育网
教学难点
“通过建立恰当的空间直角坐标系，确定空间点的坐标”。
先通过具体问题回顾平面直角坐标系，使学生体会用坐标刻画平面内任意点的位置的方法，进而设置具体问题情境促发利用旧知解决问题的局限性，从而寻求新知，根据已有一定空间思维，所以能较容易得出“第三根轴”的建立，进而感受逐步发展得到“空间直角坐标系”的建立，再逐步掌握利用坐标表示空间任意点的位置.总得来说，关键是具体问题情境的设立，不断地让学生感受，交流，讨论.[来源:21世纪教育网]
教具准备
投影仪
课时安排
1课时
教学过程
1． 创设情境，引入新课
之前我们学习了直线和圆，我们对解析几何的学习将告一段落.解析几何是根据坐标，利用代数处理几何的方法科学.现在，请大家思考一个问题：黑板平面内停留着一只苍蝇，问如何确定苍蝇的位置？由此激发学生对平面坐标系建立（定位）的意识. 在此讲明平面内的点与二元数组的一一对应.具体到点坐标的确定（根据点在轴、轴射影与原点之间的距离）.设问：当苍蝇飞离黑板所在平面，那苍蝇的位置在现有的基础上如何确定？（引出空间直角坐标系）
2． 新课讲授
1．对空间右手直角坐标系（环境）的认识
1 构成的元素：以点（原点）、线（、、轴）、面平面、平面、平面）角度阐述.
这样是遵循立体几何研究方法的条理性，使学生能很自然地接受，并对之产生继续认识，了解的欲望.
2 对三轴之间夹角和单位长度的规定，消除学生对以往平面直角坐标系中单位长度横纵轴一致的固有认识，同时结合之前“直观图画法”的说明，达成共识，体现自然科学知识的规律性.
2．例题讲解
例1．在空间直角坐标系中，作出点
先让学生自行作图，同桌，前后桌可以交流，讨论.教师巡视，参与到学生的分析和讨论中，适当的点拨和引导有困难的学生.
之后师生一起交流，明确这个作图问题的操作步骤和体现成图的直观性（即通过从原点出发沿轴平移的手段或构造一个长方体（为例2埋下伏笔）.
通过这个问题的解决，使学生感受在新的环境“空间直角坐标系”中掌握确定最基本的图形——一个点的位置的方法.让学生尝到成功的喜悦，增强学生的学习信心，激发学生进一步学习的欲望，使学生主动参与到下面的教学探究活动中.21世纪教育网
例2．如图已知长方体的边长为，以这个长方体的顶点为坐标原点，射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体每个顶点的坐标.
先让学生根据题意作出长方体，再建立空间直角坐标系，确定各顶点坐标，最后把顶点的坐标改为，这样把问题较一般化，使学生在解决的过程中，得出在空间直角坐标系中特殊点①点（原点）②线（坐标轴）上的点③面平面、平面、平面）内的点坐标的一般规律.以此加深学生对空间直角坐标系中确定点的坐标的理解和掌握.
例3．（1）在空间直角坐标系中，画出不共线的3个点、、，使得这三个点的坐标都满足，并画出图形；
（2）写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件.
对与（1），师生经过交流达成共识：简便起见，取三点为、、.21世纪教育网
对于（2）让学生之间讨论，发表意见后师生一起交流探讨，得出结论.在此过程中，锻炼学生对空间问题的分析处理能力，培养学生思考并不断勇攀高峰的良好品质并向学生渗透这类空间“点的集合（轨迹）问题”的处理方法，为本节第2课时所要介绍的类似问题做铺垫.
由对这3个例题的交流、讨论和解决基本上完成了教学任务，学生的头脑中已建立了一定的利用空间直角坐标系解决一些空间问题的意识，思维较上课前已有一定的变化（对三维空间的感受），而时间尚有余，所以补充一下对称的问题.
补充：求点关于平面、平面及原点的对称点.
通过对这个具体问题的解决，再让学生刻画关于点（原点）、线（坐标轴）、面平面、平面、平面）的对称点的一般规律.
进一步培养学生对所学知识的归纳能力.
3．课堂小结
选一位语言表达能力较强的学生作出对本节课所学知识和方法初步的小结.再由师生一起补充完善.（让学生结合着所讲例题）
知识：空间直角坐标系、空间点的坐标的确定、空间点对称
方法：类比、转化（数形结合）
4．反馈练习
结晶体的基本单位称为晶胞，下图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），其中空心点代表钠原子，黑点代表氯原子.如图，建立空间直角坐标系后，试写出全部钠原子所在位置的坐标.
这个题目是以化学中的晶胞为情境，能引人入胜，一方面检验学生对空间直角坐标系的理解和对确定空间点的坐标的掌握情况；另一方面能体现数学与其他学科的联系，体现数学对自然科学研究的工具性，表达“学有用的数学”这一新课程的基本理念.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
棱柱、棱锥和棱台的结构特征
教学目标：理解棱锥、棱台的基本概念
教学重点：理解棱锥、棱台的基本概念
教学过程：
1．“一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形”是棱锥的本质特征．21世纪教育网
正棱锥是一种特殊棱锥．正棱锥除具有棱锥的所有特征外，还具有：①底面为正多边形；②顶点在过底面正多边形的中心的铅垂线上．
“截头棱锥”是棱台的主要特征，因此，关于棱台的问题，常常将其恢复成相应的棱锥来研究．
2．正棱锥的性质很多，但要特别注意：
(1)平行于底面截面的性质
如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么：
①棱锥的侧棱和高被这个平面分成比例线段．
②所得的截面和度面是对应边互相平行的相似三角形．
③截面面积和底面面积的比，等于从顶点到截面和从顶点到底面的距离平方的比．
(2)有关正棱锥的计算问题，要抓住四个直角三角形和两个角：
正棱锥的高、侧棱及其在底面的射影、斜高及其在底面的射影、底面边长的一半可组成四个直角三角形．
四个直角三角形是解决棱锥计算问题的基本依据，必须牢固掌握．
3．棱台的性质都由截头棱锥这个特征推出的，掌握它的性质，就得从这个特征入手
同棱锥一样，棱台也有很多重要性质，但要强调两点：
(1)平行于底面的截面的性质：
设棱台上底面面积为S1，下底面面积为S2，平行于底面的截面将棱台的高分成距上、下两底的比为m∶n，则截面面积S满足下列关系：
21世纪教育网
(2)有关正棱台的计算问题，应抓住三个直角梯形、两个直角三角形：
正棱台的两底面中心的连线、相应的边心距、相应的外接圆半径，侧棱，斜高，两底面边长的一半，组成三个直角梯形和两个直角三角形(上、下底面内各一个直角三角形)．
正棱台中的所有计算问题的基本依据就是这三个直角梯形、两个直角三角形和两个重要的角，必须牢固掌握．
4．棱锥、棱台的侧面展开图的面积，即侧面积，是确定其侧面积公式的依据．
(1)正棱锥的侧面是彼此全等的等腰三角形，由此可得其侧面积公式：
(2)正棱台的侧面是彼此全等的等腰梯形，由此可得其侧面积公式：
棱锥的全面积等于：S全=S侧+S底
棱台的全面积等于：S全=S侧+S上底+S下底21世纪教育网21世纪教育网
(3)棱柱、棱锥和棱台的侧面公式的内在联系必须明确，它有利认识这三个几何体的本质，也有利于区分这三个几何体，在正棱台侧面积公式中：
当C'=C时，S棱柱侧=Ch
可以联想：棱柱、棱锥都是棱台的特例．
6．关于截面问题
关于棱锥、棱台的截面，与棱柱截面问题要求一样，只要求会解对角面、平行于底面的截面(含中截面)、以及已给出图形的截面，或已给出全部顶点的截面，但对于基础较好，能力较强的同学，也可以解一些其他截面，比如：平行于一条棱的截面，与一条棱垂直的截面，与一个面成定角的截面，与一个面平行的截面等．
作截面就是作两平面的交线，两平面的交线就是这两个平面的两个公共点的连线，或由线面平行、垂直有关性质确定其交线，这是画交线，即作截面的基本思路．21世纪教育网
课堂练习：
小结：本节课学习了棱锥、棱台的基本概念
课后作业:
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
圆与方程预习提纲
1．圆的标准方程：
2．圆的一般方程：
3．直线与圆的位置关系的判断：
4．圆与圆的位置关系的判断：
圆与方程教案
例1：已知两点P1（4，9）和P2（6，3），求以P1P2为直径的圆的方程，并且判断点
M（6，9），N（3，3），Q（5，3）是在圆上，在圆内，还是在圆外。
例2：圆x2 + y2 ＝4与圆（x－3）2 +（y－4）2 ＝16的位置关系。
例3：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x－4y－7=0相切的圆的方程.
例4：过点A（3，1）和B（－1，3），且它的圆心在直线3x－y－2＝0上的圆的方程。
例5：求半径为10，和直线4x＋3y－70＝0切于点（10，10）的圆的方程。
[来源:21世纪教育网]
例6：已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0， y0）的切线的方程.
例7：求过点A（2，4）向圆x2 + y2 ＝4所引的切线方程。
例8：两直线分别绕A（2，0），B（－2，0）两点旋转，它们在y轴上的截距b，b′的乘积bb′＝4，求两直线交点的轨迹。
例9：已知一圆与y轴相切，圆心在直线l：x－3y = 0上，且被直线y＝x截得的弦AB长为2，求圆的方程。
例10：求过三点O（0，0）、M1（1，1）、M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.
例11：已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.
例12：已知曲线C：（1＋a）x 2＋（1＋a）y 2－4x＋8ay＝0，（1）当a取何值时，方程表示圆；（2）求证：不论a为何值，曲线C必过两定点；（3）当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值。
例13：已知圆x2 + y2＝1，求过点P（a，b）的圆的切线方程。
21世纪教育网
例14：已知圆方程为x2 + y2－4x－2y－20＝0，（1）斜率为－的直线l被圆所截线段长
为8，求直线方程；（2）在圆上求两点A和B，使它们到直线l：4x＋3y＋19＝0的距离分别取得最大值或最小值。
例15：自点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2 + y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程。
[来源:21世纪教育网]
21世纪教育网
圆与方程教案
例1：已知两点P1（4，9）和P2（6，3），求以P1P2为直径的圆的方程，并且判断点
M（6，9），N（3，3），Q（5，3）是在圆上，在圆内，还是在圆外。
解：根据已知条件，圆心C（a，b）是P1P2的中点，那么它的坐标为：
a＝＝5，b＝＝6
再根据两点的距离公式，得圆的半径是：
r＝︱CP1︱＝＝
∴所求圆的方程是：（x－5）2 +（y－6）2 ＝10
∵︱CM︱＝，︱CN︱＝＞，︱CQ︱＝3＜
∴点M在圆上，点Q在圆内，点N在圆外.
例2：圆x2 + y2 ＝4与圆（x－3）2 +（y－4）2 ＝16的位置关系。
解：∵圆心距＝5＜r1＋r2＝6
∴两圆相交
例3：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x－4y－7=0相切的圆的方程.
解：因为圆C和直线3x－4y－7=0相切，所以半径r等于圆心C到这条直线的距离.
根据点到直线的距离公式，得
因此，所求的圆的方程是
说明：例3中用到了直线和圆相切的性质，即圆心与切点连线垂直于切线且等于半径.
例4：过点A（3，1）和B（－1，3），且它的圆心在直线3x－y－2＝0上的圆的方程。
解：设圆的方程为 （x－a）2 +（y－b）2 ＝r 2
则：（3－a）2 +（1－b）2 ＝r 2，（－1－a）2 +（3－b）2 ＝r 2，3a－b－2 ＝0
解法二：线段AB的中点坐标是（1，2）
则 kAB＝＝－
所以，线段AB的垂直平分线方程为：
y－2＝2（x－1） 即：2x－y＝0
由
得圆心坐标为C（2，4）， 又r＝︱AC︱＝
∴圆的方程是：（x－2）2 +（y－4）2 ＝10
例5：求半径为10，和直线4x＋3y－70＝0切于点（10，10）的圆的方程。
解：设圆心坐标为C（x 0，y 0），则
eq \b\lc\{(\a\al( ·（－）＝－1,（x 0－10）2 +（y 0－10）2 ＝100))
解得：x 0＝2，y 0＝4或x 0＝18，y 0＝16
∴所求圆的方程是：
（x－2）2 +（y－4）2 ＝100或（x－18）2 +（y－16）2 ＝100
例6：已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0， y0）的切线的方程.
解：设切线的斜率为k，半径OM的斜率为k1,因为圆的切线垂直于过切点的半径，
于是k=－ .
经过点M的切线方程是：
整理得：
因为点M（x0，,y0）在圆上，所以
所求切线方程为：
当点M在坐标轴上时，上述方程同样适用.
例7：求过点A（2，4）向圆x2 + y2 ＝4所引的切线方程。
解法一：设切线方程为 y－4＝k(x－2) 即 kx－y＋4－2k＝0
由 得：
（k 2＋1）x 2＋4k（2－k）x＋4k 2－16k＋12＝0
由△＝0得：k＝
又：当过点A并且与y轴平行的直线恰与圆相切
∴所求切线方程为：
x＝2或3x－4y＋10＝0
解法二：设切线方程为 kx－y＋4－2k＝0
则：＝2 得：k＝
又：当过点A并且与y轴平行的直线恰与圆相切
∴所求切线方程为：
x＝2或3x－4y＋10＝0
解法三：设切点为（x 0，y 0），则：
x 0x＋y0y＝4 ∴2x 0＋4y0＝4
又：x02 + y02＝4
∴x 0＝2，y 0＝0 或x 0＝－，y 0＝
得切线方程：x＝2或3x－4y＋10＝0
例8：两直线分别绕A（2，0），B（－2，0）两点旋转，它们在y轴上的截距b，b′的乘积bb′＝4，求两直线交点的轨迹。
解：设M（x，y）为两直线l1、l2的交点
则有l1：＋= 1，l2：＋= 1
得：b＝，b′＝
∴bb′＝·＝4
x2 + y2 ＝4（y≠0）
例9：已知一圆与y轴相切，圆心在直线l：x－3y = 0上，且被直线y＝x截得的弦AB长为2，求圆的方程。
解：设圆心C（3a，a）
∵圆与y轴相切 ∴r＝3︱a︱
又：︱CD︱＝＝︱a︱ ︱BD︱＝︱AB︱＝
由勾股定理得：a＝±1[21世纪教育网]
∴所求圆的方程为：
（x＋3）2 +（y＋1）2 ＝9或（x－3）2 +（y－1）2 ＝9
例10：求过三点O（0，0）、M1（1，1）、M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.
解：设所求圆的方程为
用待定系数法，根据所给条件来确定D、E、F、
因为O、M1、M2在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标依次代入上面的方程，可得
解得
于是所求圆方程为：x2+y2－8x+6y=0
化成标准方程为：（x－4）2+[y－(－3)]2=52
所以圆半径r=5,圆心坐标为（4，－3）
说明：如果由已知条件容易求得圆心的坐标、半径或需利用圆心的坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程，如果已知条件和圆心坐标或半径都无关，一般采用圆的一般方程。
例11：已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.
解：在给定的坐标系里，设点M（x,y）是曲线上的任意一点，也就是点M属于集合.
由两点间的距离公式，点M所适合的条件可以表示为， ①
将①式两边平方，得
化简得x2+y2+2x－3=0 ②
化为标准形式得：（x+1）2+y2=4
所以方程②表示的曲线是以C（－1，0）为
圆心，2为半径的圆。
说明：到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆。
例12：已知曲线C：（1＋a）x 2＋（1＋a）y 2－4x＋8ay＝0，（1）当a取何值时，方程表示圆；（2）求证：不论a为何值，曲线C必过两定点；（3）当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值。
解：（1）当a＝－1时，方程为x＋2y＝0，为一直线；
当a≠－1时，（x－）2 +（y＋）2 ＝表示圆。
（2）方程变形为：x2 + y2－4x ＋a（x2 + y2 + 8y）＝0
∴C过定点A（0，0），B（，－）
（3）以AB为直径的圆面积最小（为什么？）
得圆的方程：（x－）2 +（y＋）2 ＝
∴＝，＝，＝
解得：a＝
例13：已知圆x2 + y2＝1，求过点P（a，b）的圆的切线方程。
解：（1）当P在圆内，即a2 + b2＜1时，无切线方程；
（2）当P在圆上，即a2 + b2＝1时，方程为：ax＋by＝1；
（3）当P在圆外，即a2 + b2＞1时，设直线方程为 y－b＝k（x－a），
即 kx－y－ka＋b＝0
由d＝＝1，得
（a 2－1）k 2－2abk＋b2－1＝0
当a≠±1时，k＝；当a＝±1时，k＝±
∴当a≠±1时，y－b＝(x－a)
当a＝1时，y－b＝ (x－1)或x＝1
当a＝－1时，y－b＝－ (x＋1)或x＝－1
例14：已知圆方程为x2 + y2－4x－2y－20＝0，（1）斜率为－的直线l被圆所截线段长
为8，求直线方程；（2）在圆上求两点A和B，使它们到直线l：4x＋3y＋19＝0的距离分别取得最大值或最小值。
解：（1）设所求方程为：y＝－x＋b，圆的方程可化为：
（x－2）2＋（y－1）2＝25
∴圆心C（2，1），半径r＝5
圆心到直线的距离为：d＝＝＝3
∴ b＝－或b＝
所求直线方程为：y＝－x－或y＝－x＋
即：4x＋3y＋4＝0或4x＋3y－26＝0
（2）解法一：设l′∥l且l′与圆相切，则所述距离即为l′与l间的距离，切点即为所求点。
设l′：4x＋3y＋m＝0 则由：
得：
25x 2＋4（2m－3）x＋m 2＋6m－180＝0
△＝16（2m－3）2－100（m 2＋6m－180）＝0
得：m＝14或m＝－36
又：x＝＝
∴x＝－2（m＝14时）或x＝6（m＝－36时）
得A（－2，－2），B（6，4）
解法二：过圆心作与直线l垂直的直线l′与圆交于A、B两点即为所求。
∵kl＝－ ∴k l′＝
∴l′：y－1＝（x－2） 即：3x－4y－2＝0
由 解出x、y即为A、B坐标
例15：自点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2 + y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程。
解：圆的方程可化为 （x－2）2＋（y－2）2＝1
所以圆心C（2，2），半径r＝1
设直线l的斜率为k，则l：y－3＝k（x＋3）且反射光线l′的斜率为k′＝－k，
又l交x轴于（－－3，0）
所以，反射光线方程为：y＝－k（x＋＋3）
即：k x＋y＋3＋3 k＝0
圆心到l′的距离＝1
得：k＝－或k＝－
所以，所求直线l的方程为：
y－3＝－（x＋3）或 y－3＝－（x＋3）
即：4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
课题： 柱体、锥体、台体的表面积与体积(1)
教学目标：
1、通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。[21世纪教育网]
2、了解柱、锥、台的表面积计算公式；能运用柱锥台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.
3、培养学生空间想象能力和思维能力。
教学重点：运用公式解决问题.21世纪教育网
教学难点：理解计算公式的由来.
教学过程：
一、创设情境,引入课题：
（1）教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的表面积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积？引导学生回忆，互相交流，教师归类。
我们可以求出正方体和长方体的表面积(公式略)。
（2）教师设疑：几何体的表面积等于它的展开图的面积，你们还记得正方体和长方体的侧面展开图吗 (见下图)
提出问题：柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？引入本节内容。
二、探究新知：
1. 教学表面积计算公式的推导：
探究：棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的多面体,它们的展开图是什么 如何计算它们的表面积
利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图,并组织学生讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？
例1：已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积.(教材P24页例1)
练习：一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.
想一想：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）
探究圆柱的表面积的求法：
图柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线），
设圆柱的底面半径为r,母线长为,则有:
S=2，S=2，其中为圆柱底面半径，为母线长。
探究圆锥的表面积的求法：
圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为，S=， S=，其
中为圆锥底面半径，为母线长。
探究圆台的表面积的求法：
圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角为，S=，S=.
练一练,巩固新知：一个圆台，上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°，求圆台的表面积.
变式：想一想,你能求出切割之前的圆锥的表面积吗 试试看！
例题示范,巩固新知：
例2：一圆台形花盆，盆口直径20cm，盆底直径15cm，底部渗水圆孔直径1.5cm，盆壁长15cm.. 为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盘要多少油漆？(π取3.14,结果精确到1毫升)
分析、思考：油漆位置在什么地方？→ 如何求花盆外壁表面积？
涂100个这样的花盘需油漆：0.1×100×100=1000(毫升).
答:涂100个这样的花盘需油漆1000毫升.
变式训练：若内外涂,涂100个这样的花盘需要多油漆
三、小结归纳：
让学生回顾本节所学表面积公式及推导过程；记忆所学公式。21世纪教育网
四 、作业布置21世纪教育网21世纪教育网
作业：
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
分析：由于四面体S-ABC的四个面是全等的等边三角形,所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的
4倍。
解先求△SBC的面积,过点S作SD⊥BC,交BC于点D.
因为BC=a,SD=
所以
因此,四面体的表面积
解:如图,由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
1.2.1平面的基本性质及推论（二）
教学目标：理解推论1、2、3的内容及应用21世纪教育网
教学重点：理解推论1、2、3的内容及应用
教学过程：21世纪教育网
（1） 推论1：直线及其外一点确定一个平面
（2） 推论2：两相交直线确定一个平面
（3） 推论3：两平行直线确定一个平面
（四）例1已知：空间四点、、、不在同一平面内．
求证：和既不平行也不相交．21世纪教育网
证明：假设和平行或相交，则和可确定一个平面，则，，故，，，.这与已知条件矛盾.所以假设不成立,即和既不平行也不相交．
卡片:1、反证法的基本步骤：假设、归谬、结论；
2、归谬的方式：与已知条件矛盾、与定理或公理矛盾、自相矛盾．
例2已知：平面平面=，平面平面=，平面平面=且不重合．
求证：交于一点或两两平行．
证明：(1)若三直线中有两条相交，不妨设、交于．
因为，，故，
同理，，
故．
所以交于一点．
(2)若三条直线没有两条相交的情况，则这三条直线两两平行．
综上所述,命题得证.
例3已知在平面外，它的三边所在的直线分别交平面于．
求证：三点共线．
证明：设所在的平面为，则为平面与平面的公共点，
所以三点共线．
卡片：在立体几何中证明点共线，线共点等问题时经常要用到公理２．
例4正方体中,E、F、G、H、K、L分别是的中点.
求证：这六点共面．
证明：连结和，
因为 是的中点，
所以 ．
又 矩形中，
所以 ，
所以 可确定平面，
所以 共
面，
同理 ，
故 共面．
又 平面与平面都经过不共线的三点，
故 平面与平面重合，所以E、F、G、H、K、L共面于平面．
同理可证，
所以，E、F、G、H、K、L六点共面．
卡片：证明共面问题常有如下两个方法：
(1)接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；
(2)间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合．
课堂练习：
1.判断下列命题是否正确
(1)如果一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线确定一个平面． ( )
(2)经过一点的两条直线确定一个平面． ( )21世纪教育网
(3)经过一点的三条直线确定一个平面． ( )
(4)平面和平面交于不共线的三点A、B、． ( )
(5)矩形是平面图形. ( )
2.空间中的四点，无三点共线是四点共面的 条件．
3.空间四个平面两两相交，其交线条数为 .
4.空间四个平面把空间最多分为 部分．
5.空间五个点最多可确定 个平面．21世纪教育网
6.命题“平面、相交于经过点M的直线a”可用符号语言表述为 .
7.梯形ABCD中,AB∥CD,直线AB、BC、CD、DA分别与平面交于点E、G、F、H.那么一定有G 直线EF,H 直线EF.
8.求证：三条两两相交且不共点的直线必共面.
小结：
本节课学面的基本性质的推论及其应用
课后作业：略
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
1.2.1平面的基本性质及推论（一）
教学目标：理解公理1、2、3的内容及应用
教学重点：理解公理1、2、3的内容及应用
教学过程：21世纪教育网
（1） 公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内
1、直线与平面的位置关系
2、符号:点在直线上,记作,
点在平面内,记作,
直线在平面内,记作
（2） 公理二:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.
今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线).
两个平面有且只有一条公共直线,称这两个平面相交,公共直线称为两个平面的交线,记作.
（3） 公理三:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.21世纪教育网
（4） 问题：
(1)如果一条线段在平面内,那么这条线段所在直线是否在这个平面内
(2)一条直线经过平面内一点和平面外一点,它和这个平面有几个公共点 为什么
(3)有没有过空间一点的平面 这样的平面有多少个
(4)有没有过空间两点的平面 这样的平面有多少个
(5)有没有过一条直线上三点的平面 这样的平面有多少个
(6)有没有过不在同一条直线上三点的平面 这样的平面有多少个
(五)给出几个正方体作出截面图形[来源:21世纪教育网]
课堂练习：教材第40页 练习A、B21世纪教育网
小结：21世纪教育网
本节课应了解：1.理解公理一、三,并能运用它解决点、线共面问题.
2.理解公理二,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题.
3.初步掌握“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”三种语言之间的转化.
课后作业：略
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
圆柱、圆锥、圆台和球
教学目标：1、理解球面、球体和组合体的基本概念，
2、掌握球的截面的性质,
3、掌握球面距离的概念.21世纪教育网
教学重点：球的截面的性质及应用，会求球面上两点之间的距离
教学过程：
复习引入
1、圆柱、圆锥、圆台，它们分别由矩形、直角三角形、直角梯形旋转而成的。
2、通过篮球、排球、足球等等球体的形象引出课题.
新授
1、球的概念：球也可以由一个平面图形旋转得到。半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫球面。球面所围成的几何体叫球体，简称球。指出球心、半径、直径。值得注意的是：
1）球面与球体是两个不同的概念，我们要注意它们的区别与联系。
2）球面的概念可以用集合的观点来描述。球面是由点组成的，球面上的点有什么共同的特点呢？与定点的距离等于定长的所有点的集合（轨迹）叫球面。如果点到球心的距离小于球的半径，这样的点在球的内部.21世纪教育网
否则在外部.
3）球的表示：用表示球心的字母表示球，比如，球O.
2、球的截面的性质：用一个平面去截球，得到一个截面，截面是圆面，把过球心的截面圆叫大圆，不过球心的截面圆叫小圆.
球的截面有什么性质呢？连接球心与截面圆心，连线OO1与截面圆O1会有什么关系呢？
1） 球心与截面圆心的连线垂直于截面。
2） 设球心到截面的距离为d，截面圆的半径为r，球的半径为R，则：r=
3、练习一：
判断正误：（对的打√，错的打×）
（1）半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球。（ ）
（2）到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球。（ ）[来源:21世纪教育网]
（3）球的小圆的圆心与球心的连线垂直于这个小圆所在平面。（ ）
（4）经过球面上不同的两点只能作一个大圆。（ ）
（5）球的半径是5，截面圆的半径为3，则球心到截面圆所在平面的距离为4。（ ）
4、关于地球的几个概念：地球可以近似的看作一个球体，为了描述地球上某地的地理位置，我们在地球上规定了经线、纬线、南极、北极等概念。21世纪教育网
5、球面距离：假如我们要坐飞机从北京到巴西去，选择怎样的航线航程最短呢？我们把球面上过两点的大圆，在这两点之间的劣弧的长叫球面上两点间的球面距离。因此，飞机、轮船都尽可能以大圆弧为航线航行。
6、例1 我国首都北京靠近北纬40度。（1）求北纬40°纬线圈的半径约为多少千米。（2）求北纬40度纬线的长度约为多少千米（地球半径约为6370千米）。
7、 练习二：
1）填空
（1）设球的半径为R，则过球面上任意两点的截面圆中，最
大面积是 。
（2）过球的半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，则
这截面圆的半径是球半径的 。
（3）在半径为R的球面上有A、B两点，半径OA、OB的夹角
是n°（n＜180＝，求A、B两点的球面距离。
2） 地面上，地球球心角1′所对的大圆弧长约为1海里，一海里约是多少千米？[来源:21世纪教育网]
3） 思考题：地球半径为R，A、B是北纬45°纬线圈上两点，它们的经度差是90°，求A、 B两地的球面距离。
8、 组合体
请举出一些由柱、锥、台组合而成的几何体的实例
课堂练习：
小结：
a) 半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。球面所围成的几何体叫做球体.
b) 以过球心的平面截球面，截面圆叫大圆。以不经过球心的平面截球面，截面圆叫小圆.
c) 球心和截面圆心的连线垂直于截面，由勾股定理，有：.
d) 把地球看作一个球时，经线就是球面上从北极到南极的半个大圆。赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆.
球面距离是球面上过两点的大圆在这两点之间的劣弧的长度.
课后作业：略
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
普通高中课程标准实验教科书—数学必修Ⅱ[苏教版]
两条直线的平行与垂直（2）
教学目标
（1）掌握两条直线垂直的判定方法，并会根据直线方程判断两条直线是否垂直；
（2）理解两条直线垂直条件的推导过程，注意解几思想的渗透和表述的规范性，培养学生的探索和概括能力．[21世纪教育网
教学重点、难点
掌握两条直线垂直的判定方法及分类讨论．
教学过程
一、问题情境
1．复习：两条直线平行的判断方法：（可结合作业对斜截式方程和一般式方程进行归纳）
2．问题：两条直线平行的位置关系可用斜率来刻画，那么能否用它来刻画两条直线垂直的位置关系呢？
二、建构数学
1．两条直线垂直的判断方法：
若（都不与轴垂直），如图作出两个直角三角形（直角边分别平行于坐标轴），设的斜率分别为，则 ，
由于，∴
∴，即，反过来，若，则
2．结论：（1）当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相垂直，那么它们的斜率的乘积等于，反之，如果它们的斜率的乘积等于，那么它们互相垂直，即：
（均存在）
（2）若两条直线中的一条斜率不存在，则另一条斜率为时，
三、数学运用
1．例题：
例1．（1）已知四点，求证：．
（2）已知直线的斜率为，直线经过点，且，
求实数的值．
解：（1）由斜率公式得：，[来源:21世纪教育网]
则， ∴．
（2）∵，∴，即，解得或，
∴当或时，．
例2．已知三角形的三个顶点为，求边上的高所在的直线方程．
解：直线的斜率为， ∵，
∴，根据点斜式，得到所求直线的方程为
， 即
练习：求过点，且与直线垂直的直线的方程．
说明：一般地，与直线垂直的直线的方程可设为，其中待定．
例3．在路边安装路灯，路宽23，灯杆长，且与灯柱成角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？（精确到）21世纪教育网
解：记灯柱顶端为，灯罩顶为，灯管为，灯罩轴线与道路中线交于点．以灯柱底端为原点，灯柱为轴，建立如图所示的直角坐标系．
点的坐标为，点的坐标为，
∵，∴直线的倾斜角为，
则点的坐标为（），
即（），
∴，由直线的点斜式方程，
得的方程为，
灯罩轴线过点，∴，
解得 [21世纪教育网
答：灯柱高约为．
2．练习：
（1）已知两直线，，求证：．
（2）以为顶点的三角形是 （ ）
（）锐角三角形 （）直角三角形 （）钝角三角形
（3）过原点作直线的垂线，若垂足为，则直线的方程是 ．
（4）若直线与互相垂直，
则实数的值为 ．
四、回顾小结：
1．两直线垂直的判定条件；
2．与直线垂直的直线的方程可设为，其中待定．
五、课外作业：
课本第87页第1（2）、2、6、11（2）题
补充：21世纪教育网
1．已知直线的方程为，求直线的方程，使与垂直且与坐标轴围成的三角形面积为．
2．已知直线，（1）若，试求的值，
（2）若，试求的值．
23
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
